Введение к работе
Актуальность темы. В задачах физики часто возникает необходимость сжатия газа до больших значений плотности. В частности, получение больших плотностей требуется при лазерном (инерционном) термоядерном синтезе. Под «термоядерным синтезом» понимается реакция слияния легких атомных ядер в более тяжелые ядра. Некоторые такие реакция сопровождаются выделением огромного количества энергии. Так, например, реакция слияния двух ядер дейтерия Н2 высвобождает 3.25 миллионов электрон-вольт энергии, а реакция слияния изотопа лития Li6 и атома дейтерия — 22.4 миллиона электрон-вольт энергии. Из приведенных цифр видно, что управляемый термоядерный синтез даст новый источник энергии. Для реализации таких реакций требуется получить достаточно большое значение плотности и существенно повысить температуру исходного вещества.
На данный момент довольно масштабные эксперименты в этой области проводятся в Ливерморской Национальной лаборатории имени Лоуренса, Калифорния, США (Lawrence Livermore National Laboratory, California, USA). Здесь при помощи 192 лазеров сжимают мишени различной структуры. Основная проблема, с которой сталкиваются физики в Ливерморе при экспериментах — возникновение ударных волн в мишени и, как следствие, появление неустойчивости течения. Попытки «размазать» ударную волну при помощи различных оболочек мишени и сделать процесс более устойчивым, пока не дали результатов.
Считается, что исследование сильного сжатия в рамках модели газовой динамики для идеального политропного газа позволит выявить основные закономерности и дать некоторые рекомендации для реального осуществления требуемых процессов. Конечно, при требуемых плотностях и температурах газ будет далеко не идеальной средой: изменяются физико-химические свойства, будут происходить процессы ионизации, диффузные процессы, перенос энергии излучением. Ясно [19, стр. 307), что эти обстоятельства приводит к существенному усложнению математической модели и делает ее труднодоступной для качественно анализа. Тем не менее существенно, что упомянутые сложные физико-химические процессы в газе происходят на общем фоне чисто газодинамического течения, свойства которого во многом являются определяющими и подлежат независимому и: 'УІЩид^'ц Jq^ ' ' ' "1
БИБЛИОТЕКА 7 СПтрвург. \
БИБЛИОТЕК/ СПтрОург
В работе |14, стр. 9] отмечено, что «кумуляция (сильный рост плотности и давления) свойственна непрерывным средам и безусловным ее ограничением служит атомизм (конечные размеры атомов и их пробегов), но связанный с этим предел но размерам обычно в миллионы раз дальше того, что изучается в самых тонких опытах, и тогда практически он несуществен». Там же [14, стр. 165] отмечено, что, «несмотря на неустойчивость кумуляции в сплошных средах, она остается очень полезной идеализацией, допускающей точные решения и указывающей как к ней приближаться практически, не рассчитывая, однако, на самофокусировку (т.е. надо прилагать определенные усилия)».
При математическом моделировании процессов безударного сильного сжатия с помощью построения решений системы уравнений газовой динамики можно выделить два подхода:
Использование точных решений, полученных исходя из заранее указанных свойств этих решений: симметрия, автомодельность, линейность по части переменных и т.п. Только после построения этих решений под них подбираются начально-краевые задачи, имеющие содержательный газодинамический смысл.
Сначала ставятся нужные (с точки зрения газовой динамики для получения соответствующих течений сжатия) начально-краевые задачи для системы уравнений газовой динамики, а затем игцутся решения этих задач и анализируются свойства этих решений.
Исследования в рамках первого подхода привели к четырем точным решениям системы уравнений газовой динамики, описывающим процесс безударного сильною сжатия первоначально однородного и покоящегося газа:
Простая центрированная волна Б. Римана, описывающая сжатие одномерного плоско-симметричного слоя до бесконечной плотности (см., например, работы [14, 19]).
Автомодельные решения Л.И. Седова [20], интерпретированные на сжатие одномерных объемов газа со сферической или цилиндрической симметрией, например, в работах [15, 17].
Двумерное решение В.А. Сучкова [25], интерпретированное А.Ф. Сидоровым [22] на сжатие; призмы при согласованных значениях показателя 7 и угла призмы.
Трехмерное; решение А.Ф. Сидоіюва [21, 22], описывающее сжатие многогранника при согласованных значениях показателя 7 и двугранных углов.
С использованием указанных точных решений установлены законы движения сжимающих поршней, реализующих сжатие соответствующих объемов газа. При этом с помощью первого точного решения закон движения поршня получен в явном, виде [19]. В случае точных решений 2-4 установле-
Hbj приближенные законы движения поршня при t — ,.(17, 22, 23]. Также приближенные закономерности движения поршней исследовались в работах А.Ф. Сидорова, Г.В. Долголевой и А.В. Забродина, СП. Баутина, М.Ф. Прохоровой.
В работах [22] - [24] А.Ф. Сидоровым с помощью двух конкретных точных двумерного и трехмерного автомодельных решений показал, что при их реализации в отдельных областях течения газа степень кумуляции существенно выше, чем в других частях, а также выше, чем в случае одномерных течений. Это свойство в начале 90-х годов прошлого века вызвало настоящий бум в среде математиков и физиков г. Сарова и г. Снежинска, занимающихся сильным сжатием: «забрезжила» надежда зажечь термояд. Численными методиками в г. Сарове и г. Снежинске эти точные решения были воспроизведены и, в частности, воспроизведен эффект локальной кумуляции. Но сразу же выяснилось, что кроме этих двух точных решений (полученных при согласовании величин двугранных углов сжимаемых объемов газа и показателя политропы 7) другие течения (при других углах, но при нужном 7 = 5/3) подобным расчетом восстановить не удается, в первую очередь потому, что не известен закон внешнего воздействия. Если при «несогласованных» углах использовать закон внешнего воздействия, установленный в «согласованном случае», то в течении газа уже на первой стадии сжатия (когда газ сжат еще не сильно) возникают ударные волны. Именно это обстоятельство легло в основу решения физиков г. Сарова и г. Снежинска не проводить соответствующий физический эксперимент.
Возможность получения таких газодинамических эффектов с локальной кумуляцией говорит о важности исследования именно не одномерных процессов безударного сильного сжатия газовых слоев.
Второй подход к решению задачи о безударном сильном сжатии был предложен в книге СП. Баутина [3], где установлено, что течения, реализующие безударное сильное сжатие различных объемов газа, описываются решением соответствующих характеристических задач Коши (ХЗК).
В работе [3] показано, что для описания процессов безударного сжатия до бесконечной плотности необходимо для нелинейной системы.уравнений с частными производными (системы уравнений газовой динамики) решать одну характеристическую задачу - задачу о получении вертикального распределения (ХЗК1). Здесь термин «вертикальное распределение» указывает на то, что в момент сильного сжатия график зависимости плотности от пространственной координаты переходит в вертикальную прямую. Получаемая волна сжатия в одномерном плоскосимметричном случае есть центрированная волна Римана. В случае одномерных цилиндрически и сферически сим-
метричных течений, а также в двумерном и трехмерном случае эта волна есть соответствующее обобщение центрированной волны Римана. Указанное обобщение рассмотрено в работах (3, б, 10, 11], причем в работах [6, 10, 11] оно применено к описанию истечения газа в вакуум.
В работе [4] с использованием обобщения центрированной волны Римана получены приближенные законы движения одномерного непроницаемого поршня, обеспечивающего безударное сильное сжатие до бесконечной плотности одномерных слоев иолитропиого газа при ненулевых радиусах этих слоев. При помощи этих приближений установлено, что траектория одномерного сжимающего газ поршня, лежит в области сходимости рядов, решающих ХЗК1. Тем самым ранее была установлена правомерность использования обобщения центрированной волны Римана для описания процессов безударного сжатия до любого значения плотности, но лишь в случае одномерных течений.
Задача о безударном сильном сжатии слоев газа до конечной плотности решается состыковкой двух искомых течений через слабый разрыв. Первое течение — обобщение центрированной волны-Римана — описывается решением задачи о получении вертикального распределения (ХЗК1) и непрерывно примыкает к заданному фоновому течению. Второе течение описывается решением другой характеристической задачи Коши — задачи о получении наперед заданных распределений (ХЗК2). В работе [3] для случая одномерных течений в классе аналитических функций установлено существование и единственность решения этой второй характеристической задачи Коши.
После построения решений этих двух характеристических задач Коши становится возможным положительно ответить на вопрос: «Какое внешнее воздействие на газ осуществляет требуемое сжатие?» В частности, возможно ли построение закона движения сжимающего непроницаемого поршня. Такое построение траектории движения поршня ведется в обратном направлении изменения времени до её прихода на характеристическую поверхность, разделяющую фоновое течение и решение ХЗК1.
Все доказанные теоремы существования решений задачи о безударном сильном сжатии газа носят локальный характер. Они не указывают конкретное, значение массы газа, которую можно сжать безударно. Также не известно, как реально скажется наперед заданное распределение плотности на траекторию сжимающего поршня, и будет ли при различных распределениях плотности в момент t = t, возможность физически реализовать требуемое воздействие. Решение этих вопросов в настоящее время возможно только численными методами.
Численное исследование безударного сильного сжатия проведено, напри-
мёр; в работах [13, 9; 1, 7, 18] (здесь работы упомянуты в хронологическом порядке).
В работах [13, 9,1] алгоритм расчета течений при безударном сильном сжатии основан на использовании известных точных решений. Следовательно, закон движения сжимающего поршня известен заранее до проведения расчетов. Указанные алгоритмы лишь восстанавливают все возникающие течения. Их использование ограничено теми конфигурациями, для которых получены точные решения.
В работах [7, 18] предложен алгоритм построения течения и траектории сжимающего поршня для задачи безударного сильного сжатия одномерных газовых слоев в случае плоской, сферической и цилиндрической симметрии. Исходная задача рассматривается в пространстве физических переменных (две независимые переменные) и решается методом характеристик.
Исследования, представленные в данной диссертации, проведены в рамках второго подхода к рассмотрению процессов безударного сильного сжатия идеального газа.
Методы исследования. В работе использованы аналитические и численные методы исследования математической модели — системы уравнений газовой динамики (нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа) — описывающей течения газа при больших степенях сжатия. Решения представляются в виде сходящихся рядов, а их начальные отрезки - для приближенного описания течений, возникающих при безударном сильном сжатии политропного газа. С помощью специальных разностных методов производится численное решение указанных характеристических задач Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными.
Целями работы являются:
Установить существование и единственность локально аналитического решения задачи о получении наперед заданных конечных распределений параметров газа в случае двумерных и трехмерных течений газа.
Определить приближенное аналитическое поведения сжимающего поршня, обеспечивающее безударное сильное сжатие двумерных и трехмерных слоев газа до бесконечной плотности.
Численно решить задачу о безударном сильном сжатии газа до конечной плотности в случае двумерных течений. Построить траекторию поршня, реализующею требуемое сжатие двумерных газовых слоев.
Научная новизна работы заключается в следующем. 1. Впервые установлено существование и единственность решения специальных начально-краевых задач, в том числе показано, что задача о полу-
чении наперед заданных распределений в случае двумерных и трехмерных течений имеет единственное локально аналитическое решение.
Приведены.новые приближенные законы поведения поршня при безударном сильном сжатии двумерных и трехмерных слоев газа до бесконечной плотности.
Предложен и реализован новый численный алгоритм решения двумерных нестационарных начально-краевых задач, имеющих конкретную особенность. Этот алгоритм позволяет рассчитать течения, возникающие при безударном сильном сжатии газа в случае двумерных течений и указать закон движения поршня, реализующего требуемое сжатие. Проведены численные расчеты безударного сжатия двумерных слоев газа до плотности, в шесть раз превышающей исходную.
Тем самым впервые обоснована возможность локальной кумуляции течений политропного газа в «несогласованном» случае.
Теоретическая ценность работы состоит в следующем.
Установлено существование решения специальных начально-краевых задач, моделирующих безударное сильное сжатие достаточно произвольных двумерных и трехмерных объемов газа.
Практическая ценность работы состоит втом, что построенные ряды и асимптотические приближения применимы к содержательным задачам газовой динамики. Предложенный численный алгоритм применим для расчетов задачи о безударном сильном сжатии двумерных слоев газа. Подтверждена «гипотеза А.Ф. Сидорова» о возможности локальной кумуляции в многомерных течениях с ненулевой массой газа, при сжатии которой возможны подобные газодинамические эффекты.
Апробация работы.
Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), VI.и VII Всероссийская школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механики жидкости и газа», (САМГОП - 2000, Пермь, 2000 г. и САМГОП — 2002, Снежинск, 2002 г.), Международная конференция «VI и VII Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2001, 2003 гг.), Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика, RDAMM — 2001», (Новосибирск, 2001 г.), Конференция «Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании», (ВТММ — 2000, Новосибирск, 2000 г., ВТММ - - 2002, Алма-Ата, 2002 г.), Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы исследования и разработок по созданию силовых и энергетических установок 21 века» (Москва, ЦИАМ, 2000 г.), III Междуна-
родная конференция «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 2002 г.), 31, 32 и 33 региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2000, 2001 и 2002 гг.), Межотраслевая научно-практическая конференция «Снежинск и нау ка» (Снежинск, 2000 г.), Всероссийская научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования транспорту — 2000» (Екатеринбург, 2000 г.), III научно-техническая конференция «Молодые ученые — транспорту» (Екатеринбург, 2001 г).
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 18 работ (3 статьи в журналах (26, 27, 28], 3 депонированных в ВИНИТИ статьи [29, 30, 31], остальные — труды и тезисы конференций).
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих десять параграфов, заключения, приложения (25стр.), списка используемой литературы, рисунков. Объем диссертации составляет страницы машинописного текста, включая рисунков и библиографическую ссылку.
