Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Безударное сильное сжатие одномерных слоев теплопроводного невязкого газа 21
1. Система уравнений для описания одномерных течений теплопроводного невязкого газа 25
2. Задача о получении конечного наперед заданного одномерного распределения плотности 32
3. Одномерный аналог центрированной волны для течений теплопроводного невязкого газа 44
4. Приближенные закономерности неограниченного сжатия одномерных слоев теплопроводного невязкого газа 91
5. Построение составного течения 95
Глава 2. Безударное сильное сжатие двумерных слоев теплопроводного невязкого газа 98
6. Система уравнений для описания двумерных течений теплопроводного невязкого газа 101
7. Задача о получении конечного напер<зд заданного двумерного распределения плотности 109
8. Двумерный аналогии центрированной волны для течений теплопроводного невязкого газа 127
9. Приближенные закономерности неограниченного сжатия
двумерных слоев теплопроводного иевязкого газа 145
Заключение 149
- Задача о получении конечного наперед заданного одномерного распределения плотности
- Одномерный аналог центрированной волны для течений теплопроводного невязкого газа
- Задача о получении конечного напер<зд заданного двумерного распределения плотности
- Двумерный аналогии центрированной волны для течений теплопроводного невязкого газа
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование явлений неограниченной кумуляции энергии актуально в связи с различными приложениями в науке и технике. Одной из задач, связанных с эффектом неограниченной кумуляции, является управляемый термоядерный лазерный синтез, описанный, например, в книге Б.И. Забабахина, И.Е. Забабахина [1]. При термоядерном лазерном синтезе для инициирования термоядерных процессов необходимо получить очень большие значения плотности и температуры. С точки зрения минимизации затрат энергии для достижения требуемых значений параметров наибольший интерес представляют режимы, при которых осуществляется безударное сжатие вещества. Кроме этого, именно режимы безударного сильного сжатия позволяют получить большие значения плотности газа.
Решение задачи безударного сильного сжатия невозможно без математического моделирования, которое позволяет исследовать возникающие процессы без дорогостоящего, а иногда и просто невозможного физического эксперимента. В качестве математической модели, достаточно адекватно описывающей процессы сжатия, часто используется модель идеального газа. Система уравнений газовой динамики для нетеплопроводного невязкого газа имеет гиперболический тип, и поэтому в такой среде, в частности, возможны течения газа со слабыми разрывами на звуковых или контактных характеристиках. Наличие звуковых характеристик, распространяющихся с конечной скоростью, позволяет решать многие актуальные задачи газовой динамики, в том числе задачу о безударном сильном сжатии различных объемов газа.
Математическое моделирование безударного сильного сжатия газа ведется в различных направлениях.
Первое направление математического моделирования безударного сильного сжатия газа состоит в использовании точных решений систем уравнений газовой динамики для политропного газа. Для lj'iuiі u ^jLjffljjjJBMjiyycc иссле-
1 |_3ЁУ
дованными являются одномерные неустановившиеся течения. Для описания некоторых плоскосимметричных течений газа применяется центрированная волна Римана - классическое решение системы уравнений газовой динамики, обладающее особенностью
ft ~ ft Л^-гЛ i ^ г. _ con3t)
где t, Xj - независимые переменные, вектор и задает параметры течения газа. При t < t, центрированная волна Римана описывает течение, возникающее при безударном сильном сжатии плоского слоя в идеальном газе, что описано в работе К.П. Станюковича [2]. Е.И. Забабахиным, И.Е. Заба-бахиным [1] указано, что впервые центрированная волна Римана применена Гюгонио и Релеєм для описания сжатия плоского слоя газа до сколь угодно большой плотности. В случае цилиндрически и сферически симметричных течений особенностью, аналогичной особенности в центрированной волне Римана, обладают автомодельные решения Л.И. Седова [3], с помощью которых осуществляется описание безударного сильного сжатия первоначально однородного и покоящегося в цилиндре или в шаре идеального политропного газа. Интерпретации этих решений для задач о безударном сильном сжатии газа посвящены работы Я.М. Каждана [4, 5], И.Е. Забабахина, В.А Симоненко [6], А.Н. Крайко, Н.И. Тилляевой [7].
Полученные в работах [8, 9] точные автомодельные решения задачи об истечении газа в вакуум для двумерных и трехмерных течений были применены А.Ф. Сидоровым [10] для описания безударного сильного сжатия до бесконечной плотности газа, который в начальный момент покоится внутри призмы или многогранника при согласованных значениях показателя политропы газа 7 и двугранных углов. Рассмотренные в [11] аналитические решения привели к выводу, что использование сжимающего поршня специальной формы или организация специальных граничных условий позволяют получать в двух- и трехмерных течениях локальную кумуляцию выше, чем в сферически-симметричном случае. Данная гипотеза А.Ф. Сидорова, высказанная им на основе двух точных решений, для случая более общих объемов
политропного газа подтверждена результатами А.В. Рощупкина [12].
Второе направление математического моделирования безударного сильного сжатия газа связано с приближенными аналитическими, численными и комбинированными численно-аналитическими методами. Г.В. Долголевой, А.В. Забродиным [13-16] для течений с плоской, сферической и цилиндрической симметрией рассмотрена задача о достижении больших степеней сжатия по плотности и требуемого нагрева при минимально необходимом вложении энергии для зажигания термоядерной микромишени оболочечной структуры. Для этой задачи указан способ построения оболочечных систем и установлена зависимость вложения энергии от времени, реализация которой позволяет воспроизвести в средней части мишени необходимые для начала термоядерной реакции значения параметров среды. Эти значения, в том числе скорости и плотности газа, согласованы между собой в соответствии со связью между газодинамическими параметрами, имеющей место в центрированной волне Римана.
В монографии СП. Баутина [17] предложен единый подход к математическому моделированию безударного сильного сжатия газа. При этом сначала ставятся начально-краевые задачи, описывающие процесс безударного сильного сжатия произвольного, локально аналитического фонового течения на произвольной, локально аналитической поверхности. Для поставленных начально-краевых задач доказываются теоремы существования и единственности аналитических и кусочно-аналитических решений. Решения рассматриваемых задач представляются в виде бесконечных рядов с коэффициентами, рекуррентно определяемыми в явном виде или через квадратуры. Исследуются свойства решений, устанавливаются асимптотические законы поведения газодинамических параметров при неограниченном росте плотности. С использованием полученных математических свойств исследуемых процессов решаются конкретные задачи, моделирующие процессы безударного сильного сжатия газа. В том числе, для конкретных конфигураций сжимаемых объемов, используемых в физических экспериментах, а также при учете дополнительных физических факторов (излучение, теплопроводность) и реальных уравнений состояния. Многие полученные ранее точные решения, в том
числе центрированная волна Римана, вкладываются в решения, найденные с использованием методики С П. Баутина, как частные случаи, при которых обрываются соответствующие ряды и получаются конечные формулы. Этот подход получил дальнейшее развитие при математическом моделировании течений газа как в работах СП. Баутина [18-28, 39, 40], так и в работах его учеников: С.Л. Дерябина [23, 24, 29, 30], А.Л. Казакова [25, 31], Ю.В. Николаева [26, 32], А.В. Рощупкина [12, 27], С.А Ягупова [28-33] и автора [39-43].
В задачах о получении больших значений температуры и плотности для более адекватного описания возникающих течений необходимо учитывать равновесное излучение и комптоновский механизм рассеивания фотонов. Эти процессы описаны в работах Е.И. Забабахина, И.Е. Забабахина [1], Я.Б. Зельдовича, Ю.П. Райзера [34], Е.И. Забабахина, В.А. Симоненко [35]. Течения с такими свойствами, втом числе при больших значениях температуры, описываются с использованием математической модели теплопроводного невязкого газа. В работах СП. Баутина [36, 37] показано, что в течениях теплопроводного невязкого газа могут присутствовать слабые разрывы трех типов: на звуковых характеристиках, на контактных поверхностях и на фронте тепловой волны, распространяющейся по холодному фону. При этом скорость распространения звуковых характеристик в теплопроводном газе строго меньше скорости распространения звуковых характеристик в нетеплопроводном невязком газе и не зависит от коэффициента теплопроводности.
Наличие звуковых характеристик в течениях теплопроводного невязкого газа, распространяющихся с конечной скоростью, позволяет строить решения, описывающие безударное сильное сжатие газа (в частности, с помощью бесконечных сходящихся рядов), и затем состыковывать построенные решения через характеристики с заданными течениями.
Влияние лучистой теплопроводности на процесс кумуляции плоского слоя газа численно было исследовано М.Г. Анучиным с использованием комплекса программ 'Тигр" [38].
Методы исследования. В работе использованы аналитические и численные методы исследования математической модели - нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными для теплопровод-
ного невязкого газа. Учет теплопроводности приводит к тому, что рассматриваемая система дифференциальных уравнений имеет смешанный тип -уравнение энергии является уравнением параболического типа, а уравнения неразрывности и импульса образуют гиперболическую часть системы. Решения представляются в виде сходящихся рядов, для которых исследуется область сходимости и устанавливается возможность их применения для описания течений с большими значениями плотности. Начальные отрезки построенных рядов используются для приближенного описания возникающих течений с помощью численных методов, а также для установления приближенных закономерностей сильного сжатия теплопроводного невязкого газа. Целями работы являются:
1. Исследование процесса безударного сильного сжатия при учете влия
ния равновесного излучения и комптон-эффекта с использованием матема
тической модели теплопроводного невязкого газа. А именно, решение задач
о получении конечного наперед заданного распределения плотности и о по
лучении вертикального распределения плотности в одномерном и двумерном
случаях.
Уточнение области применимости построенных решений и обоснование возможности их использования для описания течений с большими значениями плотности. В том числе, получение приближенных закономерностей изменения параметров газа на сжимающем поршне.
Применение полученных приближенных аналитических представлений для численного восстановления полей течений, возникающих при безударном сильном сжатии одномерных и двумерных слоев теплопроводного невязкого газа.
Научная новизна работы заключается в следующем. С использованием аналитического подхода математически смоделированы ранее не исследовавшиеся течения газа при больших изменениях плотности и температуры с учетом дополнительных физических эффектов: равновесного излучения и комптоновского механизма рассеивания фотонов. В том числе, впервые построены одномерный и двумерный аналоги центрированной волны Римана для течений теплопроводного невязкого газа.
Теоретическая ценность работы состоит в следующем. Установлено существование течений газа, возникающих при безударном сильном сжатии одномерных и двумерных объемов газа при учете равновесного излучения и комптон-эффекта. Для описания течений построены бесконечные сходящиеся ряды, являющиеся решением системы дифференциальных уравнений смешанного типа.
Практическая ценность работы состоит в том, что найденные решения моделируют важные для физических экспериментов течения, возникающие при безударном сильном сжатии теплопроводного невязкого газа.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001 г.; на 19 Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов механики жидкости и газа" (САМГОП — 2002), Снежинск, РФЯЦ
- ВНИИТФ, 2002 г.; на Международной конференции "VI Забабахинские на
учные чтения", Снежинск, РФЯЦ - ВНИИТФ, 2001 г.; на Международной
конференции "VII Забабахинские научные чтения", Снежинск, РФЯЦ - ВНИ
ИТФ, 2003 г.; на Международной конференции "Современные проблемы при
кладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" (RDAMM
— 2001), посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко, Новосибирск, ИВТ
СО РАН, 2001 г.; на Всероссийской конференции "Аэродинамика и газовая ди
намика в XXI веке", посвященной 80-летию академика Г.Г.Черного, Москва,
МГУ, 2003 г.; на Всероссийской конференции "Актуальные проблемы при
кладной математики и механики", посвященной 70-летию со дня рождения
академика А.Ф.Сидорова, Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2003 г.; на Между
народной конференции "Математические модели и методы их исследования",
Красноярск, ИВМ СО РАН, 2001 г.; на Всероссийской конференции молодых
ученых "Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энер
гетических установок XXI века", Москва, ЦИАМ им. П.И.Баранова, 2000 г.;
на конференции молодых ученых по математике, математическому модели
рованию и информатике, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2001 г.; на Междуна
родной конференции молодых ученых по математическому моделированию
и информационным технологиям, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2002 г.; на IV
Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, ИВТ СО РАН, 2003 г.; на Межотраслевой научно-практической конференции "Снежинск и наука", Снежинск, 2000, 2003 г.г.; и на других конференциях.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы [39-60].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, девяти параграфов, имеющих сквозную нумерацию, заключения, приложений, в которые вынесены наиболее громоздкие выкладки, списка литературы и рисунков. Объем диссертации составляет 196 страниц машинописного текста, включая 12 рисунков и 85 библиографических ссылок.
Задача о получении конечного наперед заданного одномерного распределения плотности
В этой главе исследуется процесс безударного сильного сжатия одномерных слоев газа при учете дополнительных физических эффектов, характерных для среды с большими значениями плотности и температуры: равновесного излучения и комптоновского механизма рассеивания фотонов [30, 33]. Численными методами такая задача для плоско симметричных течений исследовалась ранее в работе [1]. Для аналитического исследования влияния на процесс безударного сильного сжатия одномерных слоев газа указанных выше физических эффектов можно использовать математическую модель теплопроводного не вяз кого газа, в отличие от традиционно используемой модели идеального газа [7]. При этом соответствующие системы дифференциальных уравнений имеют смешанный тип. Например, в уравнении энергии коэффициент теплопроводности отличен от нуля, и поэтому это уравнение имеет параболический тип.
Полная система уравнений Навье - Стокса (см., например, [39, 42]), описывающая течения теплопроводного вязкого газа, имеет смешанный тип. В течениях такой сплошной среды также могут быть слабые разрывы на фронте тепловой волны, распространяющейся по холодному фону [4], либо на контактной поверхности ]5], являющейся характеристикой кратности единица.
Если в полной системе уравнений Навье-Стокса, рассматриваемой, например, в виде, приведенном ранее в [6], положить коэффициенты динамической и объемной вязкости равными нулю, то получится система дифференциальных уравнений для описания течений теплопроводного невнзкого газа. В работах [12, 13] показано, что в течениях теплопроводного невязкого газа могут присутствовать слабые разрывы трех типов: на звуковых характеристиках, на контактных поверхностях и на фронте тепловой волны, распространяющейся по холодному фону. Поэтому в течениях теплопроводного невязкого газа можно строить решения, описывающие сильное сжатие газа (в частности, с помощью бесконечных сходящихся рядов), и затем состыковывать построенные решения через характеристики с заданными фоновыми течениями (например, с однородным покоящимся газом).
В данной главе рассмотрены две задачи, возникающие при математическом моделировании безударного сильного сжатия одномерных слоев теплопроводного невязкого газа: 1. Задача о получении вертикального распределения плотности. 2. Задача о получении наперед заданного конечного одномерного распределения плотности. Для описания соответствующих течений в рассматриваемых задачах решались соответствующие характеристические задачи Коши (хзК). Поэтому о рассматриваемых в работе задачах далее мы будем говорить как о хзК1 (задача о получении вертикального распределения плотности) и хзК2 (задача о получении наперед заданного конечного одномерного распределения плотности) соответственно. Далее приводится математическая постановка рассматриваемых в данной главе задач хзК1 и хзК2. Пусть задано некоторое одномерное течение теплопроводного невязкого газагде po{t,r) - плотность, u0(i,r) - скорость, TQ(t,r) - температура, t - время, г - пространственная координата. Для фонового течения Uo(t, г) суіцествуют звуковые характеристики С [12,13j (индекс к в обозначении звуковой характеристики далее в работе означает, что речь идет о звуковых характеристиках в теплопроводном невязком газе). Далее будем предполагать, что функции фонового течения являются аналитическими в некоторой окрестности точки ( = , г г ). Тогда мы можем однозначно определить данные на звуковой характеристике С , которая в пространстве независимых переменных (, г) задается соотношением г = г о() Если в финальный момент времени t = t требуется получить конечное наперед заданное одномерное распределение плотности, то при t = t особенности пет и для получения единственного решения необходимо задать одно дополнительное условие - финальное распределение плотности (в = \пр) где функция в = в {г) считается аналитической, известной и связанной соотношением с наперед заданным в момент t = t требуемым одномерным распределением плотности р — р {г)- На рисунке 2 приведены графики для функции 6(t,r) в моменты времени to t и t при безударном сильном сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа до наперед заданной конечной плотности. При этом используются обозначения: r${t) - траектория движения звуковой характеристики С в пространстве переменных (t, г), rp(t) -траектория движения непроницаемого сжимающего поршня. В дальнейшем о характеристической задаче Коти с данными (0,1),(0.2) будем говорить как о задаче получения конечного наперед заданного одномерного распределения плотности и волне сжатия и в дальнейшем называть для краткости хзК2. Если в финальный момент времени t = t требуется получить вертикальное распределение плотности, то искомая волна сжатия должна обладать особенностью, аналогичной особенности у центрированной волны Римана [44], то есть график функции Q(t, r)lt=const t, при — 0 должен переходить в вертикальную прямую г = г . Это приводит к дополнительному "условию обеспечивающему единственность решения характеристической задачи, поскольку С к есть характеристика кратности один. На рисунке 4 приведены графики для функции 0(t,r) в моменты времени 0 t и t при безударном сильном сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа до бесконечной плотности. При этом функция го (і) - траектория движения звуковой характеристики С в пространстве переменных (t, г). В дальнейшем о характеристической задаче Коши с данными (0.1).(0.3) будем говорить как о задаче получения вертикального распределения плотности в одномерной волне сжатия в финальный момент времени t = t и для краткости называть хзК1.
Одномерный аналог центрированной волны для течений теплопроводного невязкого газа
Следовательно, с помощью ряда (3,25) нельзя математически строго доказать возможность сжатия до бесконечной плотности ненулевой массы газа (как это сделано в [7] для случая нстеплолроводного газа). Однако, можно показать, что для любой наперед заданной плотности 9 1 существует ненулевая масса покоящегося и однородного (с р — 1) газа, которую под действием непроницаемого поршня можно безударно сжать до плотности $2 (см. рис. 7).
Выберем момент времени t = to в который начинает движение непроницаемый сжимающий поршень. То есть, на рисунке 7 выберем точку A (о 0), лежащую на оси Ot. С использованием решения (3.25) поставим задачу Коши
Решение задачи Коши (4.7) даст нам функцию 9 = Щ_{Ь) - кривую ABC на рисунке 7. Из анализа полученного приближенного соотношения для плотности на сжимающем поршне (4.5) и области сходимости построенного решения (3.40) следует, что при t t\ значения функции 6\{t) выходят из области сходимости (3.40) (на рисунке 7 кривая ABC пересекает границу области сходимости ряда (3.25) в точке В (t\, 6 Q)). Начальный момент времени t — t$ и значение 9 — lnp = 0 для плотности в фоновом течении позволяют однозначно установить ширину слоя сжимаемого газа d\ — г о — т (при этом используются построенные ряды (3.25)). Следовательно, однозначно выбирается начальная масса mi однородного покоящегося газа, которую мы можем сжать безударным образом до плотности 0Q не выходя из области (3.40).
Покажем теперь возможность сжатия до плотности $2 #о- При этом сжатие также должно осуществляться безударным образом и решение не должно выходить из области (3.40). Для этого решается задача Коши в точке Е (3, &г)- Криная DE пересекает ось Ot в точке D (t2, 0), t\ t 2 3 0, что позволяет нам однозначно определить момент времени t — t i в который начинает движение непроницаемый поршень, осуществляющий безударное сильное сжатие газа до плотности В = 9%. Момент времени t% однозначно определяет ширину слоя сжимаемого газа d% = Г2 —г , а, следовательно, и начальную массу гог однородного покоящегося газа, которую мы можем сжать безударным образом до плотности #2 не выходя из области (3.40).
Таким образом, неограниченность по переменной О приводит к следующему, математически строго обоснованному выводу: для любой наперед заданной плотности 02 1 существует ненулевая масса покоящегося и однородного (с р — 1) газа, которую под действием непроницаемого поршня можно безударно сжать до плотности #2 (см. рис. 7).
Решение рассмотренной в третьем параграфе хзК1 (1.17) (1.19) описывает получение вертикального распределения плотности при безударном сильном сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа. Также в третьем параграфе доказано, что у хзКі в некоторой окрестности рассматриваемой точки ( , 0 ). в том числе при 6 — со в области (3.40), имеется единственное аналитическое решение.
В четвертом параграфе показано, что для любой наперед заданной конечной плотности #1 мы можем выбрать ненулевую массу газа т, которую можно сжать до плотности в\ безударным образом. При этом мы можем выбрать такое значение начального момента времени ti (см. рис. 7), что решение, описывающее получение заданной плотности 62, будет лежать в области сходимости построенного ряда (3.25). При выборе момента времени %ч мы также можем однозначно определить точку г . 0 Тч г+, из которой начинает движение непроницаемый поршень. Следовательно, однозначно определяется масса га сжимаемого слоя газа, имеющего ширину d = г — ті- Таким образом, построенное решение хзК1 описывает процесс сжатия газа до неограниченной плотности, по с ограничением на массу сжимаемого слоя, то есть процесс является "локальным по массе".
Точка (to, ro(io)); рЛС — f"o(t) определяет закон движения звуковой характеристики С+ в пространстве переменных (,г), лежит па характеристике С (линия AD на рисунке 7), отделяющей фон от волны сжатия (решения хзК1). Естественно, что точка (Q, 0QI — 00( 0)) (см. рис. 9) лежит в области существования решения хзК1. Функция в — 9oo(t) определяет закон движения звуковой характеристики С в пространстве переменных (t,9),
С помощью решения хзК1 поставим задачу Копій для обыкновенного дифференциального уравнения
Функция в = вр(і), являющаяся решением задачи Коши (5.1), определяет ь пространстве независимых переменных (, 9) некоторую кривую АВ, которую надо знать только для t t$ (см. рис. 9). При этом г = r(t,ep(t)) задает в пространстве независимых переменных (і, г) закон движения сжимающего поршня, начинающего движение в момент t = to из тонки г = TQ - линию АВ (см. рис. 8). С помощью решения хзК1 поставим еще одну задачу Коши для другого обыкновенного дифференциального уравнения где в = In/) , а константа p равна значению р (г ). Функция р (г) является наперед заданным одномерным распределением плотности, которое мы должны получить в момент t — при сжатии исходного слоя газа массой т. Функция в = 9\{t), являющаяся решением задачи Коши (5.2), задает в пространстве независимых переменных (і, 9) характеристику С±к волны сжатия (решения хзК1), выходящую из точки (t , 9 = в ). Эту кривую 0 — Bi(t) необходимо строить при t до ее пересечения в некоторый момент времени t = ti, to t] і , с кривой АВ : 9 9\){t) (см. рис 8). Поскольку у хзК1 существует аналитическое решение, то у обеих задач Коши (5.1) и (5.2) существуют единственные аналитические решения в пространстве независимых переменных (t,9). Функция г = г(і,ві{і)) определяет характеристику С волны сжатия в пространстве независимых переменных [t,r). Характеристика С выходит из точки (t = і , г = т%) в обратном направлении изменения времени и в момент t = ti, t[) t\ t пересекается с АВ - траекторией сжимающего поршня г = r(t,6o(t)) (см. рис. 8). На этой характеристике С{ значения параметров газа являются аналитическими функциями
Задача о получении конечного напер<зд заданного двумерного распределения плотности
Произвольные функции, появившиеся в результате дифференцирования, определяются из условия примыкания построенного решения к заданному фоновому течению через звуковую характеристику в теплопроводном певяз-ком газе С , с использованием начальных условий (6.18). Эта процедура аналогична состыковке одномерного аналога центрированной волны Римана для течений теплопроводного невязкого газа с фоновым течением, что сделано в первой главе. Ввиду громоздкости соответствующие выкладки здесь не приводятся .
Таким образом, в виде ряда (8.28) построено формальное решение хзК1 (6.17) (6.19) с дополнительным условием (8.9). Для того, чтобы обосновать возможность применения построенного решения для описания течений с большими значениями плотности и для уточнения области сходимости решения детально проанализирована структура коэффициентов построенного степенного ряда (8.28) и, в частности, показано, что у ряда (8.28) ненулевой радиус сходимости при неограниченном росте плотности. Для этого используются следующие леммы. Коэффициенты %+i(0,), ггь(0,), г &(0,) и ТЦ6 ,) при к 1 являются многочленами от в и ев12 с коэффициентами, зависящими от . Коэффициенты щ+і{9,), щ(в,), vk(0,) и Tk(9,) при k 1 состоят из одночленов вида Qnem$!2; максимальная суммарная степень которых не превосходит 2k, то есть п + т/2 2k. Каждая из функций щ+і{0,), щ{в,0, г (0,) и Ть(в,) при произвольном номере к 1 содержит одночлен вида є с отличным от нуля коэффициентом перед ним. Доказательство лемм 4-6 проводится по индукции по аналогии с доказа- тельством, приведенным в первой главе для одномерного случая. При этом используются формулы (8.29) - (8.32). Ввиду громоздкости данное доказательство здесь не приводится. С помощью лемм 4-6 устанавливается, что область сходимости ряда (8.28), решающего хзК1 (6.17)- (6.19), задается формулой М()е2йг-г,( 1, (8.37) где М() - некоторая аналитическая функция, мажорирующая нуль. Таким образом, область сходимости построенного решения является неограниченной по переменной в в некоторой окрестности точки = fo Выше в параграфе была построена функция r]{t,6,) как решение системы (6.17) в виде ряда (8.28). То есть функция r)(t, в,) была найдена в виде где функции / (, 0, ), y(, 0, ), /і(і, 9, ), g(t, 0, ) ацалитические в области (8.37). По теореме о существовании неявно заданной функции первое из этих соотношений определяет в как функцию от трех переменных: (т? — 7? ) / (t — ), і, . Следовательно, три других газодинамических параметра и, v и Т также являются функциями этих переменных. Таким образом, построенное решение (8.28) обладает особенностью, аналогичной особенности в центрированной волне Римана. Из полученных представлений для двух компонент вектора скорости газа и и v также следует, что в момент времени t — і эти функции линейно зависят от в. В случае нетеплопроводного газа в аналогичном соотношении линейно связаны скорость газа и и степень плотности т = - показатель политропы идеального газа. Из сравнения соотношений (9.6) и (9.7) следует, что в рассматриваемой задаче при учете равновесного излучения и комптои-эффекта степени кумуляции плотности будут строго больше, чем в случае, когда теплопроводность не учитывается: При сравнении полученых соотношений для области сходимости (8.37) построенного ряда (8.28) и приближенного закона изменения плотности газа на сжимающем поршне (9.6) следует, что если при каких-то значениях t t значение функции 6\т_. лежит в области (8.37), то при t — 0 эти значения заведомо выйдут за границу области сходимости ряда (8.37) (см. рис. 7) и пользоваться там этим рядом будет уже неправомерно. Следовательно, с помощью ряда (8.28) нельзя математически строго доказать возможность сжатия до бесконечной плотности ненулевой массы [ аза (как это сделано [7] для математической модели идеального газа). Однако неограниченность по переменной в приводит к следующему, математически строго обоснованному выводу: при фиксированном для любой наперед заданной плотности рг() 1 существует ненулевая масса покоящегося и однородного (с p(t, ту, ) = 1) газа, которую под действием непроницаемого поршня можно безударно сжать до плотности ргСб) (см. рис. 7). В работе математически описан процесс безударного сильного сжатия одномерных и двумерных слоев газа при учете дополнительных физических эффектов, характерных для среды с большими значениями плотности и температуры: равновесного излучения и комптоповского механизма рассеивания фотонов. Для описания соответствующих течений использована модель теплопроводного псвязкого газа. Поставлены и решены две задачи о безударном сильном сжатии одномерных и двумерных слоев теплопроводного невязкого газа: 1) получение наперед заданного конечного распределения плотности, 2) получение вертикального распределения плотности. Начальные данные для рассмотренных задач задаются на звуковых характеристиках в теплопроводном невязком газе. Установлены существование и единственность локально аналитических решений соответствующих характеристических задач Коши с помощью сведения к стандартному виду, для которого ранее был доказан аналог теоремы Ковалевской. Решение задач построено в виде специальных бесконечных сходящихся рядов. Исследованы свойства построенных решений, описывающих опрокидывание волны сжатия в заданный момент времени, и показано, что эти решения являются аналогами центрированной волны Римаиа для одномерных и двумерных течений теплопроводного невязкого газа.
Для уточнения области существования решения детально проанализирована структура коэффициентов построенных рядов и доказано, что эти ряды имеют ненулевой радиус сходимости при бесконечном увеличении плотности. Тем самым обоснована возможность применения построенного решения для описания течений с большими значениями плотности.
Получены приближенные закономерности изменения плотности на сжимающем поршне и доказано, что в рассматриваемом случае степени кумуляции будут больше, чем без учета теплопроводности.
Двумерный аналогии центрированной волны для течений теплопроводного невязкого газа
Второе направление математического моделирования безударного сильного сжатия газа связано с приближенными аналитическими, численными и комбинированными численно-аналитическими методами. Г.В. Долголевой, А.В. Забродиным [24, 25, 27, 28, 32] для течений с плоской, сферической и цилиндрической симметрией рассмотрена задача о достижении больших по плотности степеней сжатия и требуемого нагрева при минимально необходимом вложении энергии для зажигания термоядерной микромишени оболо-чечиой структуры. Для этой задачи указан способ построения оболочечных систем и установлена зависимость вложения энергии от времени, реализация которой позволяет воспроизвести в средней части мишени необходимые для начала термоядерной реакции значения параметров среды. Эти значения, в том числе скорости и плотности газа, согласованы между собой в соответствии со значениями в центрированной волне Римана.
В монографии СП. Баутина [7] предложен единый подход к математическому моделированию безударного сильного сжатия газа. При этом сначала ставятся начально-краевые задачи, описывающие процесс безударного сильного сжатия произвольного, локально аналитического фонового течения на произвольной, локально аналитической поверхности. Для поставленных начал ьно-красвых задач доказываются теоремы существования и единственности аналитических и кусочно-аналитических решений. Решения рассматриваемых задач представляются в виде бесконечных рядов с коэффициентами, рекуррентно определяемыми в явном виде или через квадратуры. Исследуются свойства решений, устанавливаются приближенные закономерности поведения газодинамических параметров при неограниченном росте плотности. С использованием полученных математических свойств исследуемых процессов решаются конкретные задачи, моделирующие процессы безударного сильного сжатия газа. В том числе, для конкретных конфигураций сжимаемых объемов, используемых в физических экспериментах, а также при учете дополнительных физических факторов (излучение, теплопроводность) и реальных уравнений состояния. Многие полученные ранее точные решения, в том числе цептриронанная волна Римана, вкладываются в решения, найденные с использованием методики СП. Баутина, как частные случаи, при которых обрываются соответствующие ряды и получаются конечные формулы. Этот подход получил дальнейшее развитие при математическом моделировании газовых течений как в работах СП. Баутина [8-14, 64, 65J, так и в работах его учеников: С.Л. Дерябина, А.Л. Казакова, Ю.В. Николаева, А. В. Рощупкина, С А. Ягупова [15-23, 43, 47, 61] и автора [64-68]. Использование реальных уравнений состояния и учет влияния дополнительных физических эффектов являются наиболее актуальными и востребованными практикой направлениями исследования процессов безударного сильного сжатия газа. В том числе и потому, что ранее высказывалось предположение, что процесс кумуляции ослабляется такими физическими факторами как теплопроводность, учет реальпых уравнений состояния вещества и т.д. [52, ЬЬ\. Рассмотрение дополнительных физических эффектов приводит к необходимости учитывать влияние диссипативиых процессов. Системы дифференциальных уравнений, описывающие эти процессы, свойством гиперболичности уже не обладают. В частности, полная система уравнений Навье - Стокса, описывающая течения теплопроводного вязкого газа, имеет смешанный тип. В течениях такой сплошной среды также могут быть слабые разрывы на фронте тепловой волны, распространяющейся по холодному фону, либо па контактной поверхности, что исследовано в работах С.П. Баутина [4, 51.
В задачах о получении больших значений температуры и плотности для более адекватного описания возникающих течений необходимо учитывать равновесное излучение и комптоновский механизм рассеивания фотонов. Эти процессы описаны в работах Е.И. Забабахина, И.Е. Забабахина [29], Я.Б. Зельдовича, Ю.П. Райзсра [33], Е.И. Забабахина, В.А. Симоненко [30]. Течения с такими свойствами, в том числе при больших значениях температуры, описываются с использованием математической модели теплопроводного невязкого газа. В работах СП. Баутина [12, 13] показано, что в течениях теплопроводного невязкого газа могут присутствовать слабые разрывы трех типов: на звуковых характеристиках, на контактных поверхностях и па фронте тепловой волны, распространяющейся по холодному фону. При этом скорость распространения звуковых характеристик в теплопроводном газе равна где с - скорость распространения звуковых характеристик в идеальном газе, то есть ск не зависит от коэффициента теплопроводности и строго меньше с. Наличие звуковых характеристик в течениях теплопроводного невязкого газа, распространяющихся с конечной скоростью, позволяет строить решения, описывающие безударное сильное сжатие газа (в частности, с помощью бесконечных сходящихся рядов), и затем состыковывать построенные решения через характеристики с заданными течениями.
Влияние лучистой теплопроводности на процесс кумуляции плоского слоя газа численно было исследовано М.Г. Апучиным с использованием комплекса программ Тигр" [1]. Целями данной работы являются: 1. Исследование процесса безударного сильного сжатия при учете влияния равновесного излучения и комптон-эффекта с использованием математической модели теплопроводного невязкого газа. А именно, решение задач о получении конечного наперед заданного распределения плотности и о получении вертикального распределения плотности в одномерном и двумерном случаях. 2. Уточнение области применимости построенных решений и обоснование возможности их использования для описания течений с большими значениями плотности. В том числе, получение приближенных закономерностей изменения параметров газа на сжимающем поршне. 3. Применение полученных приближенных аналитических представлений для численного восстановления полей течений, возникающих при безударном сильном сжатии одномерных и двумерных слоев тсплопроводиого невязкого газа.
