Введение к работе
Данная работа посвящена сравнительному анализу эффективности (точность и скорость) применения симплектических численных методов разных типов к уравнениям Гамильтона в зависимости от вида функции Гамильтона. Даны оценки точности сохранения физически значимых инвариантов на примере задачи Кеплера и задачи трех тел. Для задачи трех тел разработан составной симплектический метод неприводимый к методам из семейства Рунге-Кутта.
Актуальность темы
При численном моделировании динамических процессов на длительных промежутках времени (колебательные процессы, орбиты планет, электромагнитные колебания) необходимо следить за сохранением физических инвариантов, иначе численная модель не будет адекватно описывать эти явления и не будет соответствовать непрерывной модели. Наиболее простой пример — очень точное сохранение полной энергии системы (гамильтониана) даже для больших шагов сетки. Эта особенность дает возможность определить характер динамического процесса, используя лишь грубые вычисления (с большим шагом сетки).
При создании классических численных методов основное внимание уделялось производительности: скорости вычисления, экономии памяти и т.д. Однако, по мере усложнения решаемых задач и развития вычислительной техники появилась необходимость в моделировании явлений и процессов продолжительных по времени. При этом проявились недостатки большинства классических численных методов — несохранение физических инвариантов и геометрических структур. В 90-х годах прошлого века стали активно развиваться методы, сохраняющие геометрические структуры. В случае гамильтоновой механики такими методами являются симплектические численные методы.
Стоит также отметить, что некоторые из типов симплектических методов (составные методы, в частности методы Йошиды) отличаются простотой по-
строения компьютерных алгоритмов, так как изначально являются явными.
Следует отметить, что в сферу применимости симплектических численных методов входит такая сугубо прикладную область, как компьютерная графика и анимация.
Цель диссертационной работы
Целью работы является оценка применимости симплектических раздельных методов типа Рунге-Кутта и симплектических составных методов к различным задачам гамильтоновой механики, оценка точности сохранения физически значимых инвариантов (полная энергия, момент импульса и т.д.).
Задачи диссертационной работы
Систематизация известных симплектических численных методов для достижения единообразия в терминах и обозначениях;
оценка возможности записи конкретных симплектических численных методов в явном или диагонально-неявном виде (в случае раздельного метода Рунге-Кутта) в зависимости от функции Гамильтона;
сравнения методов типа Рунге-Кутта и составных симплектических методов по точности сохранения инвариантов в зависимости от шага сетки;
в ограниченной задаче трех тел гамильтониан не представим в виде H(p, q) = T(p) + U(q). Ввиду этого для этой задачи нельзя записать явные симплектические методы типа Рунге-Кутта и возникает проблема получения составных симплектических схем для ограниченной задачи трех тел;
разработка комплекса необходимых программы, реализующих рассматриваемые в работе симплектические численные схемы (вплоть до 10-го порядка).
Результаты, выносимые на защиту
Сформулированы и доказаны утверждения, касающиеся связи условий диагональной неявности и явности присоединенного метода к методу Рунге-
Кутта с условиями симплектичности раздельных методов Рунге-Кутта;
показана связь между составными методами и методами Рунге-Кутта для гамильтониана вида H(p, q) = T(p) + U(q);
на основе численных моделей линейного осциллятора и задачи двух тел дана оценка точности сохранения физически значимых инвариантов симплекти- ческими численными методами;
записаны несводимые к методам семейства Рунге-Кутта симплектические численные методы типа SABA и SS для ограниченной задачи трех тел.
Научная новизна
Ввиду малого количества статей по симплектическим интеграторам на русском языке (автору известны лишь статьи [8], [9]) представляется актуальным подробный обзор и систематизация известных симплектических методов на русском языке для достижения единообразия в терминологии и обозначениях;
получены утверждения, показывающие связь условий симплектичности раздельных методов Рунге-Кутта и условий диагональной неявности/явности присоединенных методов Рунге-Кутта.
дана оценка точности сохранения инвариантов для большого количества симплектических методов на примера задачи двух тел и линейного осциллятора;
получены формулы для симплектических численных схем для ограниченной задачи трех тел несводимые к раздельным методам Рунге-Кутта;
для записи численных схем использована тензорная нотация, ввиду того, что для описания симплектической структуры используется дифференциальная геометрия и тензорный формализм. На примере доказательств теорем об условиях симплектичности методов Рунге-Кутта, раздельного Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Нюстрёма показано, что использование тензорной нотации упрощает выкладки и делает их технически проще.
Методы исследования
Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы, методы дифференциальной геометрии, методы группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебр Ли.
Обоснованность и достоверность результатов
Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения использовались строгие и проверенные методы: методы Рунге-Кутта, раздельные методы Рунге-Кутта, методы Рунге- Кутта-Нюстрёма, составные методы, методы группового анализа ОДУ, методы качественного анализа ОДУ Везде, где это возможно, проводилось сравнения полученного численного решения с аналитическими решениями.
Практическая значимость
Широкое применение симплектические численные методы находят в теоретических исследованиях гамильтоновых систем, где необходимы вычисления на длительных промежутках времени. В особенности это касается небесной механики и космологических задач, где временные промежутки могут достигать столетий. Другая область применения — задачи молекулярной динамики, где временные промежутки существенно меньше, но скорости движения тел (молекул) напротив существенно выше.
Отдельно необходимо упомянуть такую прикладную область, как компьютерная графика и анимация длительных процессов (маятник настенных часов). С увеличением производительности компьютеров и появлением возможности создавать длительные анимированные сцены возникли проблемы классических численных методов, что привело к необходимости использования геометрических методов (в том числе и симплектических).
Апробация работы
Результаты, полученные в ходе выполнения работы, были представлены на:
Научной сессии НИЯУ МИФИ (Москва, 2013)
Семинаре «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦ РАН (Москва, 23 января 2013 года)
Всероссийской конференции (с международным участием) «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, РУДН, 2012)
Шестнадцатой научной конференции молодых учёных и специалистов ОИ- ЯИ (Дубна, 2012)
Научной сессии НИЯУ МИФИ (Москва, 2012)
Девятнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 30 января - 4 февраля 2012 г.)
Публикации
По теме диссертации опубликовано 7 работ [1-7], из которых 3 статьи [1,6, 7] — в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных высшей аттестационной комиссией.
Личный вклад автора
Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично автором и состоят в следующем:
Доказан ряд утверждений касающийся связи условий симплектичности раздельного метода Рунге-Кутта и условий диагональной неявности и явности присоединенного метода к методу Рунге-Кутта.
Записаны симплектические численные схемы для ограниченной задачи трех тел не сводимые к раздельным методам типа Рунге-Кутта.
Разработан комплекс программ на языках Fortran (вычислительная часть) и Python (использована библиотека numpy и библиотека для визуализации matplotlib), реализующий методы Рунге-Кутта, симплектические раздельные методы Рунге-Кутта, симплектические методы Рунге-Кутта- Нюстрёма, симплектические составные методы. Реализованы методы имеют порядок точности вплоть до 10-го. - С помощью этого комплекса программ проведено сравнение различных сим- плектических методов на примере линейного осциллятора, нелинейного осциллятора, задачи двух тел и ограниченной задачи трех тел. Построены графические изображения фазовых портретов и зависимости исследуемых величин от шага h. Полученные с помощью вычислений результаты использовались для оценки точности сохранения инвариантов системы.
Структура и объем диссертации
Похожие диссертации на Анализ составных симплектических методов и симплектических методов Рунге-Кутта на длительных интервалах времени
