Содержание к диссертации
Введение
1 Балансовые экономико-математические модели и методы их анализа 17
1.1 Балансовые модели 17
1.1.1 Модель Леонтьева 17
1.1.2 Модель, двойственная к модели Леонтьева 24
1.1.3 Модель Леонтьева-Форда 25
1.1.4 Модель, двойственная к модели Леонтьева-Форда 28
1.1.5 Модель Леонтьева-Форда, учитывающая утилизацию вредных отходов 30
1.2 Сведения из линейной алгебры и математического программирования, используемые для анализа балансовых моделей производства 31
1.2.1 Теоремы о существовании и единственности решения систем линейных алгебраических уравнений 31
1.2.2 Собственные векторы и собственные значения матриц 32
1.2.3 Число обусловленности матрицы 33
1.2.4 Оптимизационные задачи 35
1.3 Продуктивность балансовых моделей 36
1.3.1 Продуктивность модели Леонтьева 36
1.3.2 Продуктивность модели Леонтьева-Форда 39
2 Планирование производства с помощью балансовых моделей 42
2.1 Планирование сельскохозяйственного производства в Карачаево-Черкесской Республике 42
2.2 Планирование сельскохозяйственного производства в агропромышленном комплексе СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района Карачаево-Черкесской республики 61
2.3 Планирование производства в ООО «Фактор» г. Черкесска Карачаево-Черкесской Республики 67
3 Анализ инструментальными средствами балансовых моделей экономических субъектов Карачаево-Черкесской Республики 79
3.1 Анализ продуктивной балансовой модели агропромышленного комплекса Министерства сельского хозяйства Карачаево-Черкесской республики 79
3.2 Анализ продуктивной балансовой модели агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань» 95
3.3 Анализ продуктивной балансовой модели ООО «Фактор» 95
3.4 Анализ обобщенной модели утилизации отходов производства ООО «Фактор» 100
3.5. Применение метода регуляризации для анализа балансовых моделей экономических субъектов КЧР 111
3.5.1. Анализ балансовой модели СХПК «Сторожевский» методом регуляризации 111
3.5.2 Применение метода регуляризации решения балансовой модели ООО «Фактор» 115
3.5.3 Применение метода регуляризации для решения балансовой модели, учитывающей утилизацию вредных отходов ООО «Фактор» 118
4 Оптимизационные задачи планирования производства в балансовых моделях 124
4.1 Анализ балансовых моделей экономических субъектов КЧР методами теории оптимизации 124
4.1.1 Оптимизационные задачи в рамках модели Леонтьева 124
4.1.2. Оптимизационные задачи в рамках модели Леонтьева-Форда 126
4.1.3 Оптимизационная задача в рамках модели Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов 127
4.1.4 Методы решения оптимизационных задач в рамках балансовых моделей 129
4.2 Анализ двойственных балансовых моделей методами теории оптимизации 131
4.3 Оптимальное планирование валового выпуска продукции экономических субъектов Карачаево-Черкесской республики 135
4.3.1 Оптимальное планирование валового выпуска продукции агропромышленного комплекса Министерства сельского хозяйства Карачаево-Черкесской республики 135
4.3.2 Оптимальное планирование валового выпуска продукции агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань» 136
4.3.3 Оптимальное планирование валового выпуска продукции ООО «Фактор» 138
4.4 Оптимальное планирование прибыли экономических субъектов Карачаево-Черкесской республики 140
4.4.1 Оптимальное планирование прибыли агропромышленного комплекса Министерства сельского хозяйства Карачаево-Черкесской республики.. 140
4.4.2 Оптимальное планирование прибыли агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань» 141
4.4.3 Оптимальное планирование прибыли ООО «Фактор» 142
Заключение 148
Список использованных источников 152
Приложение
- Теоремы о существовании и единственности решения систем линейных алгебраических уравнений
- Продуктивность модели Леонтьева-Форда
- Планирование сельскохозяйственного производства в агропромышленном комплексе СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района Карачаево-Черкесской республики
- Анализ обобщенной модели утилизации отходов производства ООО «Фактор»
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
На практике при выпуске некоторой отраслью, предприятием определенных видов продукции в условиях рыночной экономики может наблюдаться несоответствие спроса и предложения на неё. В одних случаях может наблюдаться превышение спроса над предложением, в других, наоборот, превышение предложения над спросом. Обе такие ситуации являются нежелательными для экономики региона или страны, т.к. могут принести определенный ущерб развитию этой отрасли, региону или в целом стране. При избыточном предложении и недостаточном спросе на продукцию будет наблюдаться нецелесообразное использование производственных и материальных ресурсов, израсходованных для производства нереализованной продукции. При недостаточном предложении и избыточном спросе наблюдается дефицит продукции, что может повлечь за собой необоснованный рост цен на продукцию, финансовые потери производителей этой продукции.
Поэтому процесс производства любых видов продукции всегда требует предварительного решения следующей важной проблемы: организовать производственный процесс рассматриваемых видов продукции таким образом, чтобы общий объем выпускаемой продукции был равен (соответствовал) общему спросу на неё.
Решение этой проблемы в большинстве случаев удается достичь с помощью балансовых моделей: Леонтьева, Леонтьева-Форда, Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов. Балансовые модели были предложены в работах американского экономиста В.В. Леонтьева. Первые результаты исследований были опубликованы им в 1936-1941 годах. Эти модели впоследствии все время уточнялись и развивались в многочисленных работах как российских, так и зарубежных ученых (экономистов, математиков). В Вестнике статистики 1926г. появилась работа П.И. Попова и Л.Н. Литошенко «Баланс народного хозяйства СССР». Такие исследования продолжаются до настоящего время. Тема диссертационной работы находится в русле этих исследований. Этим обуславливается её актуальность и практическая значимость.
Степень разработанности проблемы. Исследованию экономико-математических моделей межотраслевого баланса посвящены работы как российских ученых: Баренгольца М.И., Афанасьева А.П., Гранберга А.Г., Канторовича Л.В., Немчинова В.В., Новожилова В.В., Колемаева В.А., Торопцева Е.Л., Гурнович Т.Г., Браславеца М.Е., Кравченко Р.Г., Савкина Д.А., Федосеева В.В., Шикина Е.В., Гармаш А.Н., Дайитбегова Д.М., Орехова Н.А., Левина А.Г., Горбунова Е.А., Чхартишвили А.Г., Кузнецова Б.Т., Иванилова Ю.П., Лотова А.В., Браверманна Э.М., Куркаловой Л.А., Немчикова B.C., Громенко В.В. и др., так и зарубежных: Леонтьева В.В., Форда Д., . Самуэльсона Р.А., Купманса Т.К., Никайдо X., Джорджеску-Регена Н., Ацуми X., Моришима М., и др.
В настоящее время существует несколько признаков (достаточных, необходимых и достаточных), позволяющих определить продуктивность рассматриваемой модели. Однако, эти признаки позволяют указать только продуктивность, но не способ построения решения модели. Формально, выяснив продуктивность модели, можно найти её решение известными «точными» методами (Гаусса, Крамера и др.). Хорошо известно, что при большом числе уравнений в системе линейных алгебраических уравнений «точные» методы страдают рядом существенных недостатков: при их реализации на ЭВМ требуется выполнить значительное число различных арифметических операций, в результате выполнения которых накапливаются вычислительные погрешности (часто значительные). От этих недостатков в значительной степени избавлены итерационные численные методы.
В связи с указанными фактами представляют интерес исследования, направленные на разработку методики численного анализа (с применением современных компьютерных технологий) продуктивных экономико математических балансовых моделей, позволяющие ставить и решать оптимизационные задачи в рамках этих моделей.
Исследования, приводимые в диссертационной работе, направлены на решение в рамках сформулированной проблемы следующей комплексной научной задачи: развитие технологии и методик решения задач межотраслевого анализа, обеспечивающих оптимальное планирование объемов производства хозяйствующих субъектов экономики Карачаево-Черкесской республики, и доведение разработанных в рамках балансовых моделей методик до практических алгоритмов и программ.
Решение совокупности таких задач - эффективно планировать выпуск продукции на предприятиях исследуемого региона.
Малоисследованными, по мнению автора, в рамках балансовых моделей являются оптимизационные задачи.
Соответствие темы диссертации требованиям паспорта специальностей ВАК. Работа выполнена в рамках специальности 08.00.13 -Математические и инструментальные методы экономики: п. 1.5 «Разработка и развитие математических методов и моделей глобальной экономики, межотраслевого, межрегионального и межотраслевого социально-экономического анализа, построение интегральных социально-экономических индикаторов».
Объектом исследования являются сельскохозяйственные и промышленные предприятия Карачаево-Черкесской республики.
Предмет исследования - социально-экономические процессы, описываемые с помощью продуктивных балансовых моделей, оптимизационные задачи, возникающие в рамках этих моделей, в частности - в рамках балансовых моделей некоторых экономических субъектов Карачаево-Черкесской республики.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является теоретико-методологический анализ экономико-математических балансовых моделей, разработка на этой основе методик их численного решения, сопровождающаяся программной реализацией инструментальными средствами, а также разработка в рамках этих моделей методики решения оптимизационных задач планирования валового выпуска продукции.
Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:
1. Разработать систему экономико-математических балансовых моделей, обеспечивающих устойчивое развитие многоотраслевой экономики Карачаево-Черкесской республики и некоторых её субъектов, разработать общую технологию применения этих моделей в практике принятия решений в хозяйственной деятельности этих субъектов.
2. Разработать методику построения численными методами устойчивых неотрицательных решений продуктивных балансовых моделей Леонтьева, Леонтьева-Форда, Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов, в случае неустойчивости этих моделей к погрешностям вычислений (в случае, когда эти модели являются плохо обусловленными).
3. Изучить оптимизационные задачи, возникающие в рамках балансовых моделей; разработать методику их численного решения.
4. Реализовать предложенные методики в виде программных продуктов и разработать методику применения этих программных средств для подробного анализа многоотраслевой экономики Карачаево-Черкесской республики.
Теоретико-методологическая основа исследования. Теоретическую и методологическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных учёных-экономистов, посвященные проблемам экономико-математического моделирования эффективного планирования объема производства, учёта экологических требований в производственном процессе, оптимизации принятия управленческих решений.
Информационной и эмпирической базой исследования являются статистические материалы по Карачаево-Черкесской республике: агропромышленного комплекса Министерства сельского хозяйства, агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района, СХПК «Сторожевский» Зеленчукского района, Ассоциации крестьянских (фермерских) хозяйств и сельскохозяйственных кооперативов, ООО «Фактор» г. Черкесска, управления по технологическому и экологическому надзору, статистические материалы Территориального органа федеральной службы государственной статистики, материалы научно-практических конференций, фундаментальные разработки отечественных и зарубежных ученых-экономистов, работающих в области экономико-математического моделирования, а также личные наблюдения автора в процессе выполнения работ в рамках хозяйственных договоров.
Рабочая гипотеза диссертационного исследования основывается на системе научных взглядов автора, в соответствии с которыми применение экономико-математических балансовых моделей обеспечивает эффективный прогноз, планирование и устойчивое развитие многоотраслевой экономики, как на региональном уровне, так и на уровне страны в целом.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Методика численного решения продуктивных балансовых моделей (Леонтьева, Леонтьева-Форда, Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов), реализованная в программных продуктах «Комплекс программ "The productivity of model"», «Комплекс программ "Balance"». Она позволяет провести подробный комплексный анализ рассматриваемых моделей: выяснить существование и единственность неотрицательного решения модели, исследовать его на устойчивость к возмущениям элементов матрицы продуктивности и вектора спроса, затем - построить решение модели методом простой итерации с заранее заданной погрешностью. С её помощью можно находить неотрицательные решения указанных моделей большой размерности, что затруднительно с помощью методов, используемых в настоящее время на практике. Предлагаемая методика была использована для построения балансовых моделей хозяйствующих субъектов Карачаево-Черкесской республики.
2. Метод построения неотрицательных решений плохо обусловленных балансовых моделей (Леонтьева, Леонтьева-Форда, Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов), основанный на методе регуляризации решения модели по А.Н. Тихонову.
3. Метод анализа балансовых моделей с помощью аппарата многокритериальной оптимизации, линейного и нелинейного программирования. Он позволяет построить такие решения указанных моделей, которые: 1) максимизируют валовой выпуск продукции (или его стоимость); 2) одновременно максимизируют валовой выпуск продукции (или его стоимость) и минимизируют общий объем (или минимизирует его стоимость) вредных отходов, возникающих в процессе производства. Для максимизации и минимизации указанных величин предлагается использовать линейные критерии. В первом случае приходим к задаче линейного программирования, во втором — к двухкритериальной задаче, которая решалась методом свертки критериев.
4. Анализ и решение балансовых моделей двух-, трех- и четырехотраслевых экономик хозяйствующих субъектов Карачаево-Черкесской республики, построенных на основе статистических данных за период с 2002 по 2007 год. Такой анализ, позволяющий осуществлять оптимальный прогноз развития экономики Карачаево-Черкесской республики, до настоящего времени не проводился. Он заключается в исследовании указанных моделей на продуктивность, единственность и устойчивость решения к возмущениям элементов матриц продуктивности и векторов конечного спроса. Решение моделей сводится к максимизации валового выпуска продукции и минимизации объема вредных отходов производства.
Научная новизна. В диссертации изложены следующие результаты, полученные в ходе исследований:
1. Найдены достаточные условия, налагаемые на элементы технологической матрицы и вектора конечного спроса балансовой модели, которые обеспечивают сходимость последовательности приближенных решений с заданной погрешностью, полученных методом простой итерации, к неотрицательному решению этой модели. Этот результат следует из известного критерия сходимости последовательности приближенных решений системы алгебраических уравнений к её точному решению и достаточных признаков продуктивности балансовой модели Леонтьева. Предлагаемый подход построения решения балансовой модели методом простой итерации обладает существенными преимуществами по сравнению с «точными» методами, используемыми до настоящего времени на практике для построения решений этих моделей. Во-первых, предварительный анализ модели на продуктивность совмещен с процессом построения её решения. Во-вторых, он позволяет находить решения моделей большой размерности, что невозможно сделать с помощью «точных» методов.
Результаты реализованы в виде программных продуктов «Комплекс программ "The productivity of model"», «Комплекс программ "Balance"», которые зарегистрированы в Федеральном государственном учреждении «Федеральный институт промышленной собственности Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам» (ФГУ ФИПС).
Результаты рекомендуется использовать для подробного анализа с помощью ЭВМ балансовых моделей конкретных хозяйствующих субъектов, прогноза и планирования объемов производства производимой (выпускаемой) ими продукции.
2. Разработан метод построения неотрицательного решения балансовых моделей Леонтьева, Леонтьева-Форда, Леонтьева Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов методом регуляризации (по Тихонову) для тех случаев, когда модель является плохо обусловленной. Разработка метода основана на известных результатах исследования плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений методом регуляризации. Исследования плохо обусловленных балансовых моделей до настоящего времени в научной литературе не встречаются, по всей вероятности, они не изучались. Однако конкретные примеры, взятые из прикладных исследований, показывают, что такие задачи могут встречаться на практике. Полученные результаты исследования реализованы в виде программного продукта «Комплекс программ "ModelRegularized"».
Полученные результаты рекомендуется использовать для подробного анализа с помощью ЭВМ плохо обусловленных балансовых моделей хозяйствующих субъектов.
3. В рамках изучаемых балансовых моделей в отношении региональной экономики были поставлены и исследованы оптимизационные задачи:
1) максимизации валового выпуска продукции (или его стоимости); 2) одновременной максимизации валового выпуска продукции (или его стоимости) и минимизации общего объема (или минимизации его стоимости) вредных отходов, возникающих в процессе производства. Первая задача решалась методами линейного программирования, вторая - методами многокритериальной оптимизации.
Полученные результаты рекомендуется использовать при анализе с помощью ЭВМ балансовых моделей Леонтьева-Форда.
4. На основе статистических данных за 2002-2007 годы предложены балансовые модели (Леонтьева, Леонтьева-Форда, Леонтьева-Форда, учитывающая утилизацию вредных отходов) хозяйствующих субъектов Карачаево-Черкесской республики: агропромышленного комплекса Министерства сельского хозяйства, ООО «Фактор» г. Черкесска, агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района, СХПК «Сторожевский» Зеленчукского района.
На основе результатов, указанных в п.п. 1-3, проведен их подробный анализ, который в экономике Карачаево-Черкесской республики до настоящего времени не проводился.
Результаты этих исследований могут быть использованы при анализе хозяйствующих субъектов в других регионах.
Теоретическая и практическая значимость результатов исследования.
Исследуемая проблема обогащена новыми доказательствами и фактами. В рамках проведенных исследований указаны новые задачи, подлежащие дальнейшему анализу. Теория построена на достоверных, проверяемых данных и фактах.
Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что основные положения, выводы и рекомендации диссертационной работы, результаты, доведенные до программных продуктов, ориентированы на их широкое использование при построении решений и анализе продуктивных балансовых моделей с целью достижения поставленных экономических целей конкретными хозяйствующими субъектами, краями, областями, республиками, регионами, округами, страной в целом. Они апробированы на хозяйствующих субъектах Карачаево-Черкесской республики: исследованы балансовые модели двух-, трех- и четырехотраслевой экономики Карачаево-Черкесской республики, ООО «Фактор» г. Черкесска, агропромышленного комплекса Министерства сельского хозяйства, агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района, СХПК «Сторожевский» Зеленчукского района. Такой подробный анализ отдельных отраслей экономики Карачаево-Черкесской республики проведен впервые. Очерчена сфера применения теории на практике, даны рекомендации для более высокого уровня организации производственной деятельности.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку на III Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2006 г.); III Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г. Нальчик, 2006 г.); VII Всероссийском симпозиуме прикладной и промышленной математики (г. Йошкар-Ола, 2006 г.); Всероссийском симпозиуме «Математические модели и информационные технологии в экономике» (г. Кисловодск, 2007 г.); IV Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве» (г. Камышин, 2006 г.); IV Всероссийской научной конференции молодых ученных и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2007 г.); VIII Всероссийском симпозиуме прикладной и промышленной математики (г. Сочи-Адлер, 2007 г.); the 6th International Congress on Industrial and Applied Matematics ( Zurich, 2007).
Полученные в ходе проведённых исследований результаты внедрены (что подтверждается соответствующими актами о внедрении) в различные хозяйствующие субъекты Карачаево-Черкесской республики:
агропромышленный комплекс Министерства сельского хозяйства; агропромышленный комплекс СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района; ООО «Фактор» г. Черкесска; СХПК «Сторожевский» Зеленчукского района; Ассоциацию крестьянских (фермерских) хозяйств и сельскохозяйственных кооперативов Карачаево-Черкесской республики; а также в учебный процесс Карачаево-Черкесского государственного университета: при изучении студентами специальности 080801 «Прикладная информатика в экономике» со специализацией «Информационные системы в бухгалтерском учете и аудите» дисциплины «Разработка и стандартизация программных средств и информационных технологий» и 050201 «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика» дисциплины «Исследование операций».
Всего получено б актов о внедрении. В результате внедрения к концу 2008 года хозяйствующими субъектами ожидается получение прибыли.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано в открытой печати 19 работ: 12 статей, 6 тезисов докладов, 2 зарегистрированных программных продукта (из них 3 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации в них результатов кандидатских диссертаций).
Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников и приложений. Исследование выполнено на 166 страницах основного текста, содержит 54 рисунка, 26 таблиц. Список использованной литературы содержит 160 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы её цель и задачи, описаны объект и предмет диссертационного исследования, обоснованы научная новизна и практическая значимость полученных результатов, отмечена их экономическая значимость, сформулированы защищаемые положения.
Первый раздел посвящен описанию экономико-математических балансовых моделей (Леонтьева, двойственная к ней модель, Леонтьева-Форда, Леонтьева-Форда, учитывающая утилизацию вредных отходов), которые использованы в проводившихся исследованиях, результаты которых приведены во второй-четвертой разделах. Приведены критерии продуктивности (существования неотрицательного решения) этих моделей. Приведено описание разработанной модели, двойственной к модели Леонтьева-Форда. Приведены основные сведения из математического программирования, линейной алгебры, описаны инструментальные средства, используемые в последующих разделах для анализа экономических задач.
Во втором разделе построены балансовые модели хозяйствующих субъектов Карачаево-Черкесской Республики: агропромышленного комплекса министерства сельского хозяйства, агропромышленного комплекса СХА (колхоз) Кубань Прикубанского района, ООО «Фактор» г. Черкесска, подвергнутые тщательному анализу с помощью разработанных и зарегистрированных программных продуктов «Комплекс программ "Balance"», «Комплекс программ "The productivity of model"».
В третьем разделе приведена методика построения неотрицательных решений балансовых моделей некоторых экономических субъектов Карачаево-Черкесской республики, разработанная на основе численных методов построения неотрицательного решения: экономико-математических балансовых моделей Леонтьева, Леонтьева-Форда и Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов. Эта методика реализована с помощью программных продуктов «Комплекс программ "Balance"», «Комплекс программ "The productivity of model"»; некорректно поставленных балансовых моделей (Леонтьева, Леонтьева-Форда, Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов) методом регуляризации (по Тихонову) и реализованной с помощью программного продукта «Комплекс программ "ModelRegularized"».
Четвёртый раздел посвящен подробному анализу балансовых моделей субъектов экономики Карачаево-Черкесской республики, основанному на решении оптимизационных задач, возникающих в рамках этих моделей: максимизации валового выпуска продуктов или максимизации дохода от его реализации.
В заключении обобщены основные результаты, сформулированы выводы, вытекающие из проведённых исследований и практические рекомендации, которые могут быть предложены экономическим субъектам на их основе.
Теоремы о существовании и единственности решения систем линейных алгебраических уравнений
Отметим основные свойства собственных значений и собственных векторов. 1. (теорема Перрона). Если все элементы квадратной матрицы положительны, то её наибольшее по модулю собственное значение является положительным вещественным числом, которое является простым корнем характеристического уравнения. Ему соответствует собственный вектор с положительными компонентами. 2. Если собственному значению )\ соответствует собственный вектор Xі , то вектор с Xі, где с - произвольное действительное число, также является собственным вектором, соответствующим собственному значению (при этом векторы х и с Xі очевидно, являются линейно зависимыми). 3. Попарно различным собственным значениям А,, Я7 соответствуют линейно независимые собственные векторы х , xJ. 4. К - кратному корню характеристического уравнения (1.2.2.3), построенного для произвольной матрицы Апхп, соответствует не более к линейно независимых собственных векторов.
Задача построения вектора (х1,х2,...,хп), удовлетворяющего системе ограничений (1.2.4.2), и доставляющего минимальное (максимальное) значение функции (1.2.4.3) называется задачей квадратичного программирования, функция (1.2.4.3) - целевой функцией. Задача квадратичного программирования является случаем задачи нелинейного программирования и может быть решена одним из методов решения таких задач [49].- Однако для решения задачи квадратичного программирования разработаны специальные, более эффективные методы решения: Била, Баранкина-Дорфмана, Франка-Вольфа [49].
Описана методика построения модели Леонтьева. Она позволяет на основе статистических данных (по указанным отраслям) выделить интересующие нас отрасли экономики, построить принципиальную схему (в виде таблицы) межотраслевого баланса и по этой схеме построить экономико-математическую модель баланса между отраслями (балансовую модель Леонтьева).
Отмечены основные условия, предъявляемые отраслям производства необходимые для построения модели Леонтьева. Очерчен круг экономических задач, которые можно решать с помощью этой модели: по заданным технологической матрице (матрице затрат) и желаемому вектору спроса с определить вектор требуемых объемов выпуска продукции х.
Описана модель, двойственная по отношению к модели Леонтьева, которая позволяет по заданным технологической матрице А и вектору добавленной стоимости v определить вектор цен продуктов. Отмечена взаимосвязь между моделью Леонтьева и двойственной к ней модели.
Описаны модели Леонтьева-Форда, позволяющие учитывать в модели Леонтьева объемы вредных отходов, получаемых при выпуске полезной продукции, затраты на их уничтожение и утилизацию; модель, двойственная к модели Леонтьева-Форда
Приведены известные, используемые в последующих разделах, критерии продуктивности (существования положительного решения) моделей Леонтьева, Леонтьева-Форда.
Кроме того, в данном разделе приведены некоторые сведения из линейной алгебры математического программирования, которые будут использованы в последующих разделах при анализе моделей Леонтьева, Леонтьева-Форда.
Продуктивность модели Леонтьева-Форда
Описана методика построения модели Леонтьева. Она позволяет на основе статистических данных (по указанным отраслям) выделить интересующие нас отрасли экономики, построить принципиальную схему (в виде таблицы) межотраслевого баланса и по этой схеме построить экономико-математическую модель баланса между отраслями (балансовую модель Леонтьева).
Отмечены основные условия, предъявляемые отраслям производства необходимые для построения модели Леонтьева. Очерчен круг экономических задач, которые можно решать с помощью этой модели: по заданным технологической матрице (матрице затрат) и желаемому вектору спроса с определить вектор требуемых объемов выпуска продукции х.
Описана модель, двойственная по отношению к модели Леонтьева, которая позволяет по заданным технологической матрице А и вектору добавленной стоимости v определить вектор цен продуктов. Отмечена взаимосвязь между моделью Леонтьева и двойственной к ней модели.
Описаны модели Леонтьева-Форда, позволяющие учитывать в модели Леонтьева объемы вредных отходов, получаемых при выпуске полезной продукции, затраты на их уничтожение и утилизацию; модель, двойственная к модели Леонтьева-Форда
Приведены известные, используемые в последующих разделах, критерии продуктивности (существования положительного решения) моделей Леонтьева, Леонтьева-Форда.
Кроме того, в данном разделе приведены некоторые сведения из линейной алгебры математического программирования, которые будут использованы в последующих разделах при анализе моделей Леонтьева, Леонтьева-Форда.
Согласно условию 4, (см. п.п. 1.1.1 из 1 раздела) одним из требований, которые должны быть выполнены при построении модели Леонтьева, является требование о постоянстве элементов технологической матрицы А и вектора чистого дохода / в модели (1.1.15) в течение некоторого заданного периода времени. Это может быть только в том случае, когда в схеме (таблице) межотраслевого баланса (см. таблицу 1) все элементы хи,/п х,, /, ./ = 1,..., п, являются постоянными в течение этого периода времени. На практике, как правило, всегда наблюдаются определенные (но не слишком существенные) колебания этих величин, т.е. если в рассматриваемый период времени в заданные моменты времени к = 1,2,..., г построены несколько таблиц межотраслевого баланса, то их элементы будут испытывать определенные колебания. Чтобы их сгладить здесь предлагается следующий подход.
Добавленная стоимость 335340 73211 198930 37593 Валовой продукт 402317 176982 243758 85066 Согласно этой таблице по строкам рассматривается распределение продукции по отраслям. Из общего объема продукции на сумму 4002317 тыс. руб. отрасли «растениеводство» распределяется: на сумму 63407 тыс. руб. - внутри самой отрасли, на 1005 тыс. руб. - поставляется в отрасль «животноводство», на 3000 тыс. руб. - поставляется в отрасль «промышленность», на 510 тыс. руб. — поставляется в отрасль «обслуживание» и на 334395 тыс. руб. её продукции идет на внешнее потребление.
Из общего объема продукции на сумму 176982 тыс. руб. отрасли «животноводство» распределяется: на сумму 99986 тыс. руб. - внутри самой отрасли, на 87 тыс. руб. поставляется в отрасль «растениеводство», на 21300 тыс. руб. поставляется в отрасль «промышленность», на 8312 тыс. руб. поставляется в отрасль «обслуживание» и на 47297 тыс. руб. её продукции идет на внешнее потребление.
Из общего объема продукции отрасли «промышленность» на сумму 243758 тыс. руб., распределяется: на сумму 17725 тыс. руб. внутри самой отрасли, на 1196 тыс. руб. поставляется в отрасль «растениеводство», на 808 тыс. руб. поставляется в отрасль «животноводство», на 851 тыс. руб. поставляется в отрасль «обслуживание» и на 223178 тыс. руб. её продукции идет на внешнее потребление.
Из общего объёма продукции на сумму 85066 тыс. руб. отрасли «обслуживание» распределяется: на сумму 37800 тыс. руб. распределяется внутри самой отрасли, на 2287 тыс. руб. поставляется в отрасль «растениеводство», на 1972 тыс. руб. поставляется в отрасль «животноводство», на 2803 тыс. руб. поставляется в отрасль «промышленность» и на 40204 тыс. руб. её продукции идет на внешнее потребление.
По столбцам рассматривается структура затрат соответствующей отрасли. Чтобы произвести продукции на сумму 402317 тыс. руб. в отрасли «растениеводство», тратится на сумму 63407 тыс. руб. продукции собственного производства, на 87 тыс. руб. продукции отрасли «животноводство», на 1196 тыс. руб. продукции отрасли «промышленность», на 2287 тыс. руб. продукции отрасли «обслуживание» и на 335340 тыс. руб. её продукции приходится на добавленную стоимость.
Чтобы произвести продукции на сумму 176982 тыс. руб. в отрасли «животноводство», используется на 99986 тыс. руб. продукции собственного производства, на 1005 тыс. руб. используется продукции отрасли «растениеводство», на 808 тыс. руб. используется продукции отрасли «промышленность», и на 1972 тыс. руб. используется продукции отрасли «обслуживание» и на 73211 тыс. руб. её продукции приходится на добавленную стоимость.
Чтобы произвести продукцию на сумму 243758 тыс. руб. в отрасли «промышленность» на 17725 тыс. руб. используется продукции собственного производства, на 3000 тыс. руб. отрасли «растениеводство», на 21300 тыс. руб. отрасли «животноводство», на 2803 тыс. руб. отрасли «обслуживание» и на 198930 тыс. руб. её продукции приходится на добавленную стоимость.
Чтобы произвести продукцию на сумму 85066 тыс. руб. в отрасли «обслуживание» на 37800 тыс. руб. используется продукции собственного производства, на 510 тыс. руб. отрасли «растениеводство», на 8312 тыс. руб. отрасли «животноводство», на 851 тыс. руб. — отрасли «промышленность» и на 37593 тыс. руб. её продукции приходится на добавленную стоимость.
Планирование сельскохозяйственного производства в агропромышленном комплексе СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района Карачаево-Черкесской республики
Добавленная стоимость 14892 6778 Валовой продукт 17629 8975 Согласно этой таблицы по строкам рассматривается распределение продукции по отраслям. Из общего объема продукции на сумму 17629 тыс. руб. отрасли «растениеводство» распределяется: на сумму 2732 тыс. руб. - внутри самой отрасли, на 32 тыс. руб. - поставляется в отрасль «животноводство» и на 14865 тыс. руб. её продукции идет на внешнее потребление.
Из общего объема продукции на сумму 8975 тыс. руб. отрасли «животноводство» распределяется: на сумму 2165 тыс. руб. - внутри самой отрасли, на 5 тыс. руб. - поставляется в отрасль «растениеводство» и на 6805 тыс. руб. её продукции идет на внешнее потребление.
По столбцам рассматривается структура затрат соответствующей отрасли. Чтобы произвести продукции на сумму 17629 тыс. руб. в отрасли «растениеводство» тратится на сумму 2732 тыс. руб. продукции собственного производства, на 5 тыс. руб. продукции отрасли «животноводство» и на 14892 тыс. руб. её продукции приходится на добавленную стоимость.
Чтобы произвести продукции на сумму 8975 тыс. руб. продукции в отрасли «животноводство» используется на 2165 тыс. руб. продукции собственного производства, на 32 тыс. руб. используется продукции отрасли «растениеводство» и на 6778 тыс. руб. её продукции приходится на добавленную стоимость.
Аналогично статистические данные межотраслевого баланса сельскохозяйственного производства агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района КЧР за 2003 год, взятые из [107], представлены в таблице 14:
Легко понять, что при изменении компонент bx,b2 на интервале [О, оо) вектора спроса (2.2.2) будут изменяться на этом интервале компоненты хх,х2 вектора валового выпуска (2.2.3) (это легко следует из соотношения х = (Е-А) Ь). Этот факт указывает на то, что х является вектор-функцией переменных 61562, т.е. =fAbxb2),x2=f2{b,b2). (2.1.10)
Задавшись одной из переменных b,, i = \,2 и фиксируя остальные переменные, легко проследить изменения значений хх,х2 в зависимости от изменения значений переменной Ь, на интервале [о,оо). Таблицы некоторых таких зависимостей, приведены в таблицах 20, 21, а их графики, полученные с помощью разработанного программного продукта «Комплекс программ «Balance» [11] (описание см. в п. 3.1. раздела 3) и построенные с помощью программы Microsoft Office Excel приведены на рисунках 40-44. Таблица 20 - зависимость xvx2 от изменений 6, (при Ь2 =8842.4 тыс. руб.)
Из общего объема продукции на сумму 49795.9 тыс. руб. цеха по производству «лакокрасочных изделий» распределяется: на сумму 15942.2 тыс. руб. - внутри самого цеха, на 3544 тыс. руб. — поставляется в цех для производства «емкостей для краски», на 70 тыс. руб. составляют выбросы вредных отходов, возникающих в процессе производства и на 30239.8 тыс. руб. её продукции идет на внешнее потребление.
Из общего объёма продукции на сумму 4896 тыс. руб. цеха по производству «емкостей для краски» распределяется: на сумму 706 тыс. руб. -внутри самого цеха, на 72 тыс. руб. - поставляется в цех для производства «лакокрасочных изделий», на 50 тыс. руб. составляют выбросы вредных отходов, возникающих в процессе производства и на 4068 тыс. руб. её продукции идет на внешнее потребление.
Из общего объёма «загрязнителя» на сумму 120 тыс. руб. приходится: на 70 тыс. руб. для цеха по производству «лакокрасочных изделий», 50 тыс. руб. для цеха по производству «емкостей для краски» По столбцам распределяется структура затрат соответствующего цеха, а также производство вредных отходов появляющиеся в процессе их производства:
Чтобы произвести продукции на сумму 49795.9 тыс. руб. в цехе по производству «лакокрасочных изделий» тратится на сумму 15942.2 тыс. руб. продукции собственного производства, на 72 тыс. руб. цеха для производства «емкостей для краски», на 70 тыс. руб. тратится для уничтожения вредных отходов.
Чтобы произвести продукции «емкостей для краски» на сумму 4896 тыс. руб. в цехе по производству тратится на сумму 706 тыс. руб. продукции собственного производства, на 706 тыс. руб. цеха для производства «лакокрасочных изделий», на 50 тыс. руб. тратится для уничтожения вредных отходов.
Построенные балансовые модели (на основе данных за 2002-2007 годы) основных отраслей экономики Карачаево-Черкесской республики и некоторых её субъектов: агропромышленного комплекса Министерства сельского хозяйства, агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань» Прикубанского района, ООО «Фактор» г. Черкесска, а также полученные результаты численного анализа продуктивности, результаты численного и приближенного решения этих моделей позволили определить структурную взаимосвязь между отраслями производства и потребления Карачаево-Черкесской республики.
1. На основе статистических данных, за 2002-2007 годы, приведённых в таблицах 2-15 построены: балансовые модели агропромышленного комплекса Министерства сельского хозяйства Карачаево-Черкесской республики, агропромышленного комплекса СХА (колхоз) «Кубань», ООО «Фактор» г. Черкесска.
2. На основе предложенных моделей проведён численный анализ объемов, производства сельскохозяйственной продукции отраслей: «растениеводство», «животноводство», «промышленность», «обслуживание» по агропромышленному комплексу Министерства сельского хозяйства Карачаево-Черкесской республики; «растениеводство», «животноводство» по агропромышленному комплексу СХА (колхоз) «Кубань», в зависимости от изменения спроса на продукцию этих отраслей. 2.1.Анализ балансовой модели сельскохозяйственного производства, по
агропромышленному комплексу Министерства сельского хозяйства Карачаево-Черкесской республики показывает (см. таблицы 9-11 и графики, приведённые на рисунках 1-16), что с ростом спроса Ъх на продукцию отрасли «растениеводство» объёмы производства отраслей «растениеводство» ,, «животноводство» х2, «промышленность» х3 и «обслуживание» х4 постоянно возрастают (рис. 1-4).
С ростом спроса Ъг на продукцию отрасли «животноводство» хх объём объёмы производства отраслей «растениеводство» хх, «животноводство» х2, «промышленность» х3 и «обслуживание» х4 постоянно возрастают (рис. 5-8). С ростом спроса Ъъ на продукцию отрасли «промышленность» объёмы производства отраслей «растениеводство» х,, «животноводство» х2, «промышленность» х3 и «обслуживание» х4 постоянно возрастают (рис. 9-12).
С ростом спроса Ь4 на продукцию отрасли «обслуживание» объёмы производства отраслей «растениеводство» х15 «животноводство» х2, «промышленность» х3 и «обслуживание» х4 также постоянно возрастают (рис. 13-16).
Анализ балансовой модели сельскохозяйственного производства, по агропромышленному комплексу СХА (колхоз) «Кубань» показывает (см. таблицы 20-21 и графики, приведённые на рисунках 17-20), что с ростом спроса Ьх на продукцию отрасли «растениеводство» объёмы производства: этой отрасли х, и отрасли «животноводство» х2 постоянно возрастают (рис. 17,18).
Анализ обобщенной модели утилизации отходов производства ООО «Фактор»
Согласно усредненным статистическим данным ООО «Фактор» за 2005-2007 годы известно, что если ООО «Фактор» с помощью соответствующих технологических решений переработает утилизированную жесть (в целях получения полезной продукции) на сумму 49.75 тыс. руб., то в процессе этой переработки вновь появятся вредные отходы на сумму 4 тыс. руб. Такая переработка связана с определёнными затратами полезных продуктов на сумму 29.5 тыс. руб. При решении модели Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов (3.4.1) возникают следующие вопросы: 1. Существует ли неотрицательное решение модели Леонтьева-Форда, учитывающей утилизацию вредных отходов (3.4.1). 2. Если неотрицательное решение этой модели существует, то единственно ли оно? 3. Если модель (3.4.1) имеет единственное неотрицательное решение, то можно ли найти это решение аналитическими методами? 4. Если модель Леонтьева-Форда, учитывающая утилизацию вредных отходов имеет единственное неотрицательное решение и это решение нельзя получить аналитическими методами, то можно ли для этого использовать приближенные методы?
Ответы на первые три вопроса приведены в разделе 1. Для ответа на четвёртый вопрос нужно выяснить, устойчиво ли решение модели (3.4.1), относительно начальных условий.
Устойчивость решения модели (3.4.1) численными методами означает, что относительно небольшие искажения данных модели (3.4.1) и погрешности, появляющиеся при больших значениях размерности (п + т), должны привести к небольшим погрешностям результата решения.
Если число обусловленности cond А 1000, то решение неустойчиво. Численное решение этой модели методом последовательных приближений, где точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации, практически не зависит от ранее выполненных вычислений.
Приведём инструкцию для пользователя, разработанного программного продукта «Комплекс программ «The productivity of model» [10], и воспользуемся ею для решения следующей задачи. Пусть ООО «Фактор» на 2008 год запланировал конечный спрос: цеха по производству «лакокрасочных изделий» - на сумму 40240 тыс. руб.; цеха по производству «емкостей для краски» - на сумму 5036 тыс. руб. (при этом считать, что отходы не остаются во внешней среде после переработки предыдущих отходов). Требуется найти каким должен быть валовой продукт цехов и количество вредных отходов.
Или в меню File выберем команду Open (Открыть). На экране появится диалоговое окно Открыть (рис. 45). В раскрывающемся списке Папка выберем диск, а затем папку, где хранится нужный нам файл, дважды щелкнем имя выбранной папки мышью. Выделим файл, щелкнув мышью на ней, после чего в поле
При построении балансовой модели Леонтьева (3.5.1) на практике, как элементы матрицы А, так и элементы вектора / не могут быть заданы точно. В одних случаях незначительные ошибки в определении элементов A, f не существенно влияют на решение х модели, в других - существенно. Первый случай был достаточно подробно исследован ранее. Обратимся ко второму случаю, когда малые изменения исходных данных модели Леонтьева приводят к большим изменениям результатов ее решения. Задачу построения решения такой модели, согласно [132], будем называть некорректно поставленной, согласно этой терминологии саму рассматриваемую модель будем также назвать некорректно поставленной. В модели Леонтьева
