Содержание к диссертации
Введение
Основная часть 7
1. Современное состояние проблемы 7
1.1. Истинность и ложность 7
1.2. Основы нечётких множеств 8
1.3. Нечёткость 15
1.4. Философские предпосылки 16
1.6. Применение нечёткой логики 26
1.7. Выводы по главе 1 31
2. Методы исследования 33
2.1. ТО нечеткой логики 33
2.2. Основы Байесовского вывода 45
2.3. Нечеткий логический вывод 58
3. Результаты исследования 66
3.1. Аппроксимация экспертных оценок динамическим нечётким числом... 67
3.2. Виды носителей нечетких множеств 78
3.3. Агрегирующие функции 82
3.4. Агрегирующие алгоритмы 85
3.5. Практический пример нечеткого контроллера 88
3.6. Альтернативный метод вывода 90
3.7. Детерминистский вывод 93
3.8. Нечеткий вывод как расширение Байесовского алгоритма 96
3.9. Разработка информационной системы оценки динамических экспертных оценок 97
3.10. Моделирование взаимосвязи показателей эффективности деятельности образовательного учреждения 130
3.11. Применение схемы смешанного вывода для моделирования деятельности образовательного учреждения 138
3.12. Моделирование сетей DBN 144
3.13. Расширение смешанной графовой модели на динамический случай с использованием смешанных DBN-сетей 150
Заключение 153
Список литературы
- Истинность и ложность
- Философские предпосылки
- Основы Байесовского вывода
- Разработка информационной системы оценки динамических экспертных оценок
Истинность и ложность
Аналитическое представление физических явлений может быть верным, как модель реальности, но иногда трудно понять, потому что оно не объясняет многое само по себе, и может остаться непрозрачным для неспециалистов. Психические представления имеют больше смысла, но проникнуты неопределённостью, которая включает в то же время отсутствие специфики лингвистических терминов, а также отсутствие чётких границ классов. Мы будем говорить о нечётких предикатах, или постепенных свойствах. Стремление представления человеческих знаний в человеческом, но строгом виде могло бы показаться бесполезным, как упражнение, на кторое не стоит тратить время , и даже смешное с научной точки зрения, сто лет назад. Однако тем временем появление компьютеров значительно повлияло на ландшафт науки, и теперь мы вступили в эпоху информационного управления. Развитие теории звука и эффективной технология для представления знаний и автоматизированных рассуждений стало серьёзной проблемой, теперь, когда много людей обладают компьютерами и общаются с ними для того, чтобы найти информацию, которая помогает им при принятии решений. Важным вопросом является хранение и использование человеческих знаний в различных областях, где мало объективных и точных данных. Теория нечётких множеств участвует в этом стремлении (Дюбуа, Прейд и Ягер, 1997), и, как таковая, имеет тесные связи с искусственным интеллектом.
Много попыток было сделано, особенно в этом веке, для увеличения репрезентативных возможностей логики, или для предложения неаддитивных моделей неопределённости. Один из самых радикальных и плодотворных из этих попыток был инициированы Лютфи Заде в 1965 году с публикации его статьи "Нечёткие множества". Начиная с идеи постепенного членства, эта статья была основой и для логики постепенности в свойствах и для нового, в частности, простого и эффективного исчисления неопределённости под названием "теория возможности" Заде (1978a) для работы с понятиями «возможность» и «уверенность» (или необходимость), как с постепенными условиями.
При внесении предложений нечётких множеств, проблемы Заде были явно сосредоточены на их потенциальном вкладе в областях распознавания образов (Беллмана и соавт., 1966), обработки и передачи информации, абстракции и обобщения (Заде, 1973). Несмотря на то, что актуальность Нечётких множеств в этих областях была довольно спорной в то время, когда они были впервые представлены миру, а именно в начале шестидесятых годов, будущее развитие информационных и технических наук доказало, что интуиция Заде была права и превзошла все ожидания. Здесь, однако, слово "нечёткие" применяется к словам, особенно предикатам, и предполагается, обращается к постепенному характеру некоторых из этих слов, что приводит к их представлению в качестве расплывчатого. Тем не менее, термин "неопределённость" означает гораздо большее видов недоопределения слова (в том числе двусмысленности), в целом.
Спецификой нечётких множеств является захват идеи частичного членства. Характеристическая функция Нечёткого множества, которую часто называют функцией принадлежности, это функция, область значений которой это упорядоченное множество, содержащее более двух (часто континуум) значений (как правило, единичный интервал). Таким образом, нечёткое множество часто можно понимать как функцию. Это было источником критики со стороны математиков (Арбиб, 1977), так как функции уже хорошо известны, и теории функций уже существует. Тем не менее, новинкой теории нечётких множеств, как впервые предложил Заде, является рассмотрение функции, как если бы они были подмножеством своих областей определения, так как такие функции используются для представления постепенных категорий. Это означает, что классические теоретико-множественных понятий, такие как пересечения, объединения, дополнения, включения и т.д. расширены таким образом, чтобы включать функций, определённые на упорядоченных множествах. В элементарной теории нечётких множеств, набор-объединение функций осуществляется путём снятия их поточечных максимумов, их пересечение — их поточечных минимумов, их дополнения с помощью реверсирования автоморфизма неравенства между функциями. Эта точка зрения не была предусмотрена ранее математиками, если не считать некоторых пионеров, в основном логиков.
Теория нечётких множеств действительно тесно связана с многозначной логикой, которая появилась в тридцатых годах, где степень членства понимается как степень истины, пересечение как конъюнкция, союз как дизъюнкция, дополнение как отрицание и включение как следствие. Проблема представления неопределённости в логике, в физике, в лингвистике, а также обсуждение понятия множества в ХХ веке привело к предварительным предложениям, которые были близки к теории Нечётких множеств. Они делают ее появление ретроспективно менее удивительным, если не ожидаемым. Можно показать, что теория нечётких множеств — не странный, беспричинный объект, который внезапно появился из ничего, но она кристаллизовала понимание многих учёных того века.
Существую две антологии работ Лютфи Заде (Ягер и соавт., 1987, Клир и Бо Юань, 1996). Первая опубликованная книга когда-либо, специально посвященная Нечётким множествам — (на французском языке) Кауфмана (1973, переведена на английский язык в 1975), тесно связанная с математическим трактатом по Негоиты и Ралеску (1975), основанным на монографии 1974 года на румынском языке. Основные общие книги по Нечётким множествам являются Дюбуа и Прейд (1980), Кандель (1986), Новак (1986), Клир и Бо Юань (1995) и другие. Книга Круз и соавт. (1994) больше ориентирована на основы, связями с теорией вероятности. Вводными, математически ориентированными, монографиями являются работы Готвальда (1993), Лоуена (1996), Нгуена и Уокера (1996), в то время как введение, больше связанное с методологическими вопросами и приложениями, принадлежат Циммерману (1985), Терано, Асаи и Сугено (1987), Клиру и Фолджеру (1988), Клиру и соавт. (1997), Педричу и Гомиду (1998). Для некоторых основных работы первых двадцати пяти лет и ссылок на другие книги, см. также антологию под ред. Дюбуа, Прейда и Ягера (1993).
Около ста лет назад американский философ Чарльз Пирс был одним из первых учёных в современную эпоху, который отметил и сожалел, что "Логики слишком часто пренебрегают изучением неопределённости, не подозревая, какую важную роль она играет в математической мысли.»(Пирс, 1931). Эта точка зрения была также выражена несколько позже Бертраном Расселом (1923). Разговоры о связи между логикой и неопределённостью не являются чем-то необычным в философской литературе в первой половине века (Копылович, 1939; Гемпель, 1939). Даже Витгенштейн (1953) отметил, что понятия в естественном языке не обладают чётким набором свойств их определения, но расширяемыми границами, и что есть центральные и менее центральные элементы данной категории. Несмотря на значительный интерес к нескольким логикам, описанным в 1930 году Яном Лукасевичем (1910a, б; 1920, 1930) и его школой, который разработал логики со средним значением истинности, именно американский философ Макс Блэк (1937), первым предложил так называемый «профиль согласованности»(предки Нечётких функций принадлежности) для того, чтобы «характеризовать расплывчатые понятия» Обобщения традиционных характеристической функции были впервые рассмотрены Г. Вейлем (1940), который явно заменяет их непрерывной характеристической функцией. Такое же обобщение было также предложено в 1951 г. Капланом и Скоттом (1951). Они предложили исчисление для обобщённых характеристических функций расплывчатых предикатов, и основной набор Нечётких связок уже появились в этих работах. Как ни странно именно математик вероятностных метрических пространств, Карл Менгер (1951а), в 1951 году был первым, кто использовал термин "ensemble flou" (французский аналог "Нечёткого множества") в названии своей работы. Некоторые аспекты раннего развития, описаны в деталях Готвальдом (1984) и Остасевичем (1991, 1992b). Другие точки зрения на эпистемологию Нечётких множеств можно найти в работах Тота (1987, 1992, 1997), фон Фюрстенберга (1990).
Философские предпосылки
Поскольку границы интервала заданы нечетко, то разумно ввести абсциссы вершин трапеции следующим образом: а = (а1+а2)/2, в = (в1+в2)/2, при этом отстояние вершин а1, а2 и в1, в2 соответственно друг от друга обуславливается тем, что какую семантику мы вкладываем в понатие «примерно»: чем больше разброс, тем боковые ребра трапеции являются более пологими. В предельном случае понятие «примерно» выраждается в понятие «где угодно».
Если мы оцениваем параметр качественно, например, высказавшись «Это значение параметра является средним», необходимо ввести уточняющее высказывание типа «Среднее значение – это примерно от a до b», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования нечетких классификаций трапезоидные числа. На самом деле, это самый естественной способ неуверенной классификации.
На практике часто используется альтернативное определение нечеткого треугольного числа. Определение. Треугольным нечетким числом A называется тройка a, b, c (a b c) действительных чисел, через которые его функция принадлежности S определяется следующим образом: x-a
Например, на рисунке изображено нечеткое треугольное число A= 1,5,7 , которое лингвистически можно проинтерпретировать как "около 5" или "приблизительно 5" (Рисунок 4). Функция принадлежности треугольного числа В общем случае при определении нечеткого треугольного числа не обязательно использовать линейные функции. Часто в различных приложениях используются две функции, из которых одна монотонно возрастает на интервале [a, b], а другая монотонно убывает на интервале [b, c]. Однако Купер предложил так называемый landmark-based метод для систем управления, в соответствие с которым монотонности и дифференцируемости данных функций на соответствующих отрезках достаточно для того, чтобы система сходилась и имела единственное решение. Таким образом, без потери общности, каждое нечеткое треугольное число может быть представлено упорядоченной тройкой действительных чисел.
Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество, которое представляет собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной, можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке.
Заде определяет лингвистическую переменную так: = ,T(),U,G,M , где - название переменной, Т – терм-множество значений, т.е. совокупность ее лингвистических значений, U – носитель, G – синтаксическое правило, порождающее термы множества Т, М – семантическое правило, которое каждому лингвистическому значению ставит в соответствие его смысл М(), причем М() обозначает нечеткое подмножество носителя U.
К примеру, зададим лингвистическую переменную = «Возраст работника». Определим синтаксическое правило G как определение «оптимальный», налагаемое на переменную . Тогда полное терм-множество значений T = { T1 = Оптимальный возраст работника, T2 = Неоптимальный возраст работника }. Носителем U выступает отрезок [20, 70], измеряемый в годах человеческой жизни. И на этом носителе определены две функции принадлежности: для значения T1 – T1(u), для T1 – T2(u), причем первая из них отвечает нечеткому подмножеству M1, а вторая – M2. Таким образом, конструктивное описание лингвистической переменной завершено.
Определим в качестве носителя лингвистической переменной отрезок вещественной оси [0,1]. Любые конечномерные отрезки вещественной оси могут быть сведены к отрезку [0,1] путем простого линейного преобразования, поэтому выделенный отрезок единичной длины носит универсальный характер и заслуживает отдельного термина. Назовем носитель вида [0,1] 01- носителем. Теперь введем лингвистическую переменную «Уровень показателя» с терм-множеством значений «Очень низкий, Низкий, Средний, Высокий, Очень Высокий». Для описания подмножеств терм-множества введем систему из пяти соответствующих функций
Введем также набор нак называемых узловых точек j = (0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9), которые являются, с одной стороны, абсциссами максимумов соответствующих функций принадлежности на 01-носителе, а, с другой стороны, равномерно отстоят друг от друга на 01-носителе и симметричны относительно узла 0.5.
Тогда введенную лигвистическую переменную «Уровень фактора», определенную на 01-носителе, в совокупности с набором узловых точек здесь и далее будем называть стандартным пятиуровневым нечетким 01-классификатором.
Сконструированный нечеткий классификатор имеет большое значение для дальнейшего изложения. Его суть в том, что если о факторе неизвестно ничего, кроме того, что он может принимать любые значения в пределах 01-носителя (принцип равнопредпочтительности), а надо провести ассоциацию между качественной и количественной оценками фактора, то предложенный классификатор делает это с максимальной достоверностью. При этом сумма всех функций принадлежности для любого х равна единице, что указывает на непротиворечивость классификатора.
Также, если существует набор из i=1..N отдельных факторов со своими текущими значениями xi, и каждому фактору сопоставлен свой пятиуровневый классификатор (необязательно стандартный, необязательно определенный на 01 43 носителе), то можно перейти от набора отдельных факторов к единому агрегированному фактору AN, значение которого распознать впоследствии с помощью стандартного классификатора. Количественное же значение агрегированного фактора определяется по формуле двойной свертки:
Основы Байесовского вывода
Информационная система реализована в виде библиотеки классов на языке программирования высокого уровня Python с использованием объектно-ориентированных технологий и научных модулей SciPy и NumPy, а также средств визуализации данных Pylab и matplotlib.
Программа предназначена для: 1. моделирования динамических экспертных предпочтений с использованием аппарата нечеткой логики, нечеткого контроля и механизма динамических нечетких чисел. 2. экономико-математического моделирования с использованием аппарата нечеткой логики и нечеткого контроля. 3. моделирования процесса оценки качества товаров сложной структуры по иерархии показателей в условиях информационной неопределенности с использованием аппарата нечеткой логики и нечеткого контроля. 4. моделирования сложных социально-экономических процессов в сфере образования с использованием графических вероятностных моделей. 5. реализации методики оценки эффективности образовательного учреждения с использованием графических вероятностных моделей. Программа реализует: 1. динамическую версию нечеткого контроллера Такаги-Сугено-Канга и позволяет производить оценки экспертных предпочтений, изменяющихся с течением времени в условиях неопределенности. 2. нечеткий контроллер Мамдани в классическом и алгебраическом видах и позволяет производить численное моделирование процесса нечеткого логического вывода для целей разного рода. 3. алгоритм непараметрической экспертизы качества объектов сложной и позволяет производить оценку уровня качества анализируемых товаров, сравнивать ряд товаров между собой по данной системе показателей и решать задачи поддержки принятия решений в условиях неопределенности. 4. сети Маркова и предоставляет базовые методы для использования логического вывода в графической форме для целей математического моделирования процессов в сфере образования, включающих сложное многофакторное взаимодействие в динамике развития деятельности образовательного учреждения. 5. методику оценки эффективности, включающую в себя учет сложного взаимодействия слабоформализуемых факторов социально-экономического характера. Программа может использоваться для динамического моделирования деятельности образовательного учреждения, проведения факторного анализа, метода сценариев и осуществления краткосрочных прогнозов.
Программная система предназначена для использования экспертами в области экономико-математического моделирования для проведения численных расчетов. FuzzyCalcFull - модуль, описывающий различные типы носителей нечетких множеств, а также реализующий функциональность нечетких правил логического вывода. Иерархия классов: class AggregationMetod Класс определяет интерфейс к различным методам агрегации частных показателей в интегральный. Подклассы данного класса реализуют алгоритмы интеграции различных типов нечетких контроллеров. class Classifier(FuzzySet)
Данный класс создает линейный неравномерный классификатор по точкам, указанным в параметрах. Характерной особенностью данного классификатора являтеся то, что для каждого элемента носителя сумма принадлежностей всех термов равна 1,0. Классификатор строится на действительном интервале. Термы классификатора именуются арабскими числами, начиная с 1. Синтаксис: Clas=Classifier(p=[0.0, 0.1, 0.3, 0.4, 0.6, 1.0], u=0.2)
Нечеткое подмножество типа Subset, или любого производного, играющее роль терма нечеткого множества (классификатора) name – Строка, идентифицирующая терм в составе данного множества. Используется для построении легенды в методе plot(), а также как ключ ассоциативного массива Sets classify(self, ss)
Возвращает имя терма, наиболее соответствующего переданному элементу. Будучи вызванным у квалификатора, соответствует квалификации точного значения или значения, выраженного нечетким подмножеством или числом. Синтаксис:
Данный класс представляет интерфейс для создания нечеткого контроллера со множественными входами и выходами. Входом нечеткого контроллера называется лингвистическая переменная, имеющая имя и множество терм-значений (классификатор), которой присваивается четкое, нечеткое или лингвистическое значение. Выходом контроллера называется лингвистическая переменная, имеющая имя и множество терм-значений, значение которой рассчитывается, исходя из значений входных переменных по определенному алгоритму, который называется тип контроллера. Синтаксис:
Параметры конструктора: input – C помощью этого параметра задаются входные переменные контроллера. В этот параметр следует передать ассоциативный массив, ключами которого являются строки-имена входных переменных, а значениями – соответствующие классификаторы, задающие терм-множество каждой переменной. out – Подобным же образом задаются и выходные переменные классификатора. rules – В данный параметр передаются нечеткие правила вывода (если они требуются). Следует передать массив, в котором каждый элемент это правило, представленное в виде пары (tuple) посылки и заключения, каждая из которых представлена в виде ассоциативного массива с ключами – именами переменны и значениями - именами термов. method – Данный параметр определяет тип контроллера. Фактически он задает метод (алгоритм) сводки частных показателей в интегральный. Может принимать в качестве значения
Абстрактный класс, реализующий интерфейс носителя нечеткого множества. Смысловую нагрузку несут подклассы этого класса, представляющие различные виды носителей. Преимуществом такого подхода является его универсальность: в качестве носителя при определении нечеткого множества можно задавать действительный интервал, целочисленный интервал, в принципе, любую итерируемую структуру.
Разработка информационной системы оценки динамических экспертных оценок
Как мы видим, данная цепь состоит из пяти переменных, которые могут быть интерпретированы как состояние одного и того же объекта на протяжении пяти промежутков времени. Рассматривая данную модель как Байесовскую сеть, нам потребуется задать пять распределений вероятности для полного параметрического определения данной модели: P(X1), P(X2X1), P(X3X2), P(X4X3), P(X5X4). Учитывая, что мощности всех этих переменных равны между собой, нам потребуется X-1+X(X-1)n = X2n-X(n+1)-1 численных переменных, задающих распределение вероятности, где n - количество временных отрезков, а X - мощность переменной. то есть асимптотика количества переменных выражается как O(X2n). Однако, принимая во внимание третью предпосылку моделирования, распределение полной вероятности может быть задано всего X-1+X(X-1) = X2-1 численными переменными, а именно распределениями P(X1) и P(X X), то есть асимптотика выражается как O(X2). Другими словами, количество переменных не зависит от количества временных отрезков.
Из этого следует, что условие Маркова позволяет строить графовые модели с неограниченным количеством временных отрезков без всякого усложнения модели. В такой интерпретации граф сети задается только начальным (Таблица 37) и переходным (Таблица 38) состоянием. Общепринятым обозначением такого типа графовых моделей является 2TBN - 2ime slice Bayesian network. В совокупности с заданием начального распределения сеть образует DBN - dynamic Bayesian network[80]. Приведем пример параметризованной DBN, состоящей из переменной с тремя состояниями (Рисунок 40) (30—КЗО Рисунок 39 - Простейшая DBN, основанная на 2TBN (цепь Маркова) 80 Murphy, Kevin (2002). Dynamic Bayesian Networks: Representation, Inference and Learning. UC Berkeley, Computer Science Division. Jensen Finn V. Bayesian Networks and Decision Graphs. — Springer, 2001.
Такая модель будет описываться следующим набором распределений: P(X1), P(Y1X1), P(X2X1), P(Y2X2,X1). Несложно посчитать, что понадобится X2Y+X(Y-1)-1 параметра. Если, например, переменная Х принимает 3 состояния, а переменная Y – два, то модель будет иметь 20 свободных параметров. Все данные расчеты аналогичны расчетам количества параметров модели, применяемым для классических Байесовских сетей, что подтверждает тот факт, что для полного определения неограниченного количества временных отрезков достаточно определения 2TBN.
Алгоритм вывода в DBN[81,82,83] полностью аналогичен простому Байесовскому выводу, описанному в предыдущей главе. Это позволяет применить описанный в той же главе модифицированные алгоритмы вывода и обобщить Байесовский вывод до нечеткого и строить по единому принципу и алгоритму вывода смешанные сети, но уже применимые для вычисления логических запросов в динамике относительно будущих периодов с горизонтом прогнозирования, ограниченным только мощностью вычислительных ресурсов.
Нам представляется, что применение такого подхода к моделированию деятельности вуза позволит достичь большей точности анализа, а также большей гибкости при очевидной универсальности. По нашему мнению, дополнительный объем работ, связанный с анализом большего количества данных оправдывается приведенными преимуществами.
Представленная в данной главе математическая модель является расширением методики, рассмотренной в предыдущей главе и предназначена для моделирования динамики развития социо-экономических систем. Данная методика расширяет модель динамических сетей Байеса (строящихся по принципу 2TBN) для использования со всеми возможными типами вывода смешанных сетей. Основными достоинствами данной модели мы полагаем следующие:
1. Линейность операторов вывода на пространствах терм-множеств, что позволит при проведении численных расчетов использовать оптимизированные и высокопроизводительные инструментальные средства линейной алгебры.
2. Доказанная нами сепарабельность вывода от двух и более переменных, что позволит существенно упростить как методологически, так и вычислительно разрабатываемые в данной время алгоритмы обучения смешанных сетей вывода.
3. Возможность математической формализации лингвистических знаний экспертов о принципах функционирования социо-экономических сетей в виде неравномерных терм-множеств произвольного вида, как сатических, так и динамических с использование активно разрабатывающегося на кафедре "Информационные системы в экономике" ВолгГТУ аппарата динамических нечетких чисел.
4. Возможность проведения численных расчетов при неполной или неточной информации.
Проведенное исследование позволило получить следующие результаты и выводы:
1. проанализированы существующие экономико-математические подходы к моделированию социо-экономических систем на основе современных методов теории принятия решений, нечеткого моделирования и других математических методов;
2. разработан математический аппарат моделирования сложных систем как набора взаимодействующих факторов в виде динамической математической модели, способной агрегировать нечеткие представления экспертов и учитывать динамику характера взаимодействия данных факторов;
3. предложена методика аппроксимации динамических нечетких экспертных предпочтений по ряду числовых экспертных оценок;
4. предложенная методика моделирования применена к конкретной социо-экономической системы на примере образовательной организации для оценки применимости модели для решения конкретных экономических задач и выбора набора параметров модели;
5. спроектирована и создана информационная система оценки динамических экспертных предпочтений для анализа многокритериальных задач, параметры которых изменяются со временем.
Предложенный системный подход к оценке эффективности деятельности позволяет учесть современные особенности функционирования различных сфер деятельности университета. Положенный в основу реализации системного подхода метод когнитивного моделирования, основанный на вероятностных графах (сетях Байеса) позволяет выставить итоговую оценку эффективности деятельности университета, определить его сильные и слабые стороны, а также перспективные направления его развития.
Данный подход может базироваться не только на качественных оценках экспертов, но и на количественных показателях эффективности деятельности университета. Данный подход в силу его универсальности применим для моделирования деятельности предприятия любой формы.
Нам представляется, что применение такого подхода к моделированию деятельности вуза позволит достичь большей точности анализа, а также большей гибкости при очевидной универсальности. По нашему мнению, дополнительный объем работ, связанный с анализом большего количества данных оправдывается приведёнными преимуществами.
