Содержание к диссертации
Введение
1 Методы управления демпферными свойствами экономических систем 27
1.1 Роль и место межотраслевого баланса в анализе состояния и прогнозировании динамики экономических систем 27
1.2 Алгоритм численного поиска оптимального вектора конечного спроса 34
1.3 Функции качества переходных процессов, их свойства и особенности минимизации 51
1.4 Обобщенная функция качества для совокупности режимов и условий функционирования экономической системы 70
1.5 Прямое управление характеристическими корнями на базе сингулярного разложения матрицы уравнений прогноза 74
1.6 Факторы, ограничивающие степень колебательной устойчивости или степень экономического роста при оптимизации конечного спроса 83
1.7 Оценка вычислительной эффективности предложенных методов многопараметрической оптимизации собственных динамических свойств макроэкономических систем 87
Выводы по главе 1 91
2 Методы анализа и управления собственными динамическими свойствами макроэкономических систем 93
2.1 Математический аппарат для анализа СДС 93
2.2 Пример анализа СДС макроэкономической системы 109
2.3 Учет неопределенности параметров модели МОБ при решении задач устойчивости 123.
2.4 Идентификация отраслей народного хозяйства по степени их влияния на статическую устойчивость и экономические циклы 126
2.5 Численный анализ переходных процессов высокоразмерных моделей экономической динамики 135
Выводы по главе 2 158
3 Методы упрощения динамической модели межотраслевого баланса 160
3.1 Эффективность расчета корней характеристических уравнений высоких порядков при решении задач устойчивости 160
3.2 Методика эквивалентирования моделей МОБ при анализе устойчивости и оптимизации динамических свойств 177
3.3 Оценка погрешности и асимптотическое разложение характеристических корней по степеням параметра регулирования 186
Выводы по главе 3 189
4 Упрощение динамических моделей МОБ, описываемых жесткими системами дифференциальных уравнений 191
4.1 Жесткие системы и их свойства 191
4.2 Принцип квазистационарности производных (ПКП) в динамических моделях межотраслевого баланса 210
4.3 Методика понижения порядка динамической модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева на основе ПКП 229
Выводы по главе 4 235
5 Избирательное управление демпферными свойствами макроэкономических систем 236
5.1 Методика реализации избирательного управления 236
5.2 Аппроксимация модального управления 244
5.3 Эффективность модального управления 251
Выводы по главе 5 254
Выводы 255
Литература 260
- Алгоритм численного поиска оптимального вектора конечного спроса
- Учет неопределенности параметров модели МОБ при решении задач устойчивости
- Методика эквивалентирования моделей МОБ при анализе устойчивости и оптимизации динамических свойств
- Принцип квазистационарности производных (ПКП) в динамических моделях межотраслевого баланса
Введение к работе
Современная макроэкономика традиционно большое внимание уделяет проблемам экономической динамики [1-9, 115-167, 169-173]. Особое место занимают здесь развитые к настоящему времени теории экономического цикла, исследующие причины колебаний экономической активности во времени. При этом важнейшей научной и народнохозяйственной задачей является разработка и проведение мероприятий по обеспечению статической устойчивости функционирования сложных экономических систем в части сохранения приемлемых темпов экономического роста и демпфирования низкочастотных конъюнктурных колебаний, генерируемых совокупностью произвольных экономических факторов. Для выбора рациональных решений по управлению динамическими свойствами макроэкономических систем, в которых натурное экспериментирование по многим обстоятельствам социально-политического, теоретического и прикладного плана резко ограничено, разумной альтернативы экономико-математическому моделированию и вычислительному эксперименту не существует.
Известно, что любая макроэкономическая система подвержена колебаниям уровней промышленного производства, ВНП, занятости, безработицы. В разных странах в отдельные годы наблюдается стремительное падение производства и взлет безработицы, в другие — наоборот, — рост производства и занятости. Так, например, Соединенные Штаты прошли в XX веке 19 полнопериодных экономических колебаний, называемых деловыми циклами [і, 115,11 б]. При этом частоты отдельных составляющих движения макроэкономической системы и амплитуды колебаний существенно различаются друг от друга. Классическим примером наиболее длительного и глубокого падения ВНП является Великая депрессия, начавшаяся в 1929 г. и закончившаяся десятилетие спустя, когда этап падения от пика до дна занял 43 месяца (с августа 1929 г. до марта 1933 г.), а стадия подъема со дна до точки пика продолжалась 50 месяцев (с марта 1933 г. до мая 1937 г.). Между тем известно, что средние темпы прироста ВНП могут представлять собой положительную величину на протяжении длительных временных промежутков при том, что его погодовая динамика отнюдь не является стабильной. Если рассмотреть ХХ-е столетие, то можно легко найти примеры, когда в ряде случаев величина ВНП сокращалась по сравнению с предыдущим годом, период сокращения длился год или два, после чего рост ВНП возобновлялся. Самым же длительным за все послевоенное время подъемом, т.е. периодом между дном экономического цикла и ближайшим пиком, явилось расширение деловой активности 80-х годов, продлившееся с ноября 1982 г. до середины 1990 г. Таким образом, когда в экономике происходят нарушения равновесия различной природы — меняется денежная и фискальная политика, появляются новые продукты или новые методы производства, изменяются потребительские предпочтения людей или их предпочтения при выборе работы, изменяются цены на нефть и другие виды сырья и т.д., кривые совокупного спроса сдвигаются, а объем производства и цены меняются параллельно с этими сдвигами. Кривая совокупного спроса может сместиться в любой момент из-за изменений в области денежной и фискальной политики или потому, что изменился спрос частного сектора на производимую в экономике продукцию. Изменения цен на нефть и платы за труд также проявляются в виде сдвигов кривой совокупного предложения.
Здесь мы вторгаемся в область, где сосуществуют макроэкономические теории, которые абсолютно по-разному объясняют природу наблюдаемых бизнес-циклов. И при этом, пожалуй, не найдется ни одного теоретического или эмпирического исследования, в котором авторам удалось бы прийти к однозначным суждениям по важнейшим проблемам теории экономического цикла. Отмеченное положение объективно, так как экономические колебания в странах и регионах значительно отличаются по всем возможным параметрам и причинам возникновения. Ясно, что процессы в странах, экономика которых существенно зависит от условий внешней торговли, отличаются от процессов в странах с мощной экономикой, менее зависимой от условий, диктуемых внешним миром. Страны — экспортеры сырья испытывают воздействие иного типа факторов, нежели страны — экспортеры готовой продукции и высоких технологий. В рамках единой теории экономических колебаний невозможно дать объяснение всему этому многообразию.
Тем не менее, если бы различные бизнес - циклы не имели общих черт, товсякий из них следовало бы трактовать как уникальное явление, и тогда любая попытка обобщения, необходимая для создания единой теории, была бы обречена на неудачу. К счастью, для экономических циклов характерны некоторые общие свойства, что делает возможным их теоретическое изучение, экономико-математическое моделирование и управление ими.
Сказанное позволяет охарактеризовать деловой цикл как следствие шоковых ситуаций и нарушений равновесия, поражающих экономику в разные периоды и имеющих последствия, повторяющиеся во времени. Иными словами, формулируется положение о склонности больших экономических систем к низкочастотному самораскачиванию.
Анализ деловых циклов всегда представлял собой одну из главных задач макроэкономики, ищущей ответы на вопросы: в чем их причины? что определяет глубину падения объемов выпуска в каждом конкретном случае? какие экономические силы вызывают колебания? являются ли причиной деловых циклов потрясения, шоки, различные неожиданные события, или же циклы обусловлены внутренними, т.е. собственными динамическими свойствами экономических систем, имеющими вполне определенную природу, предсказуемое и управляемое поведение? могут ли действия правительства сгладить или устранить колебательные явления в экономике? Это лишь некоторые из ключевых вопросов, поставленных и в какой-то мере решенных современной макроэкономикой.
Как уже очевидно, все, связанное с экономическим циклом и управлением его параметрами, представляет собой ряд наиболее дискуссионных проблем макроэкономики. Первые исследования кризисных и циклических явлений в экономике появились еще в работах Ж. Сисмонди (1773 - 1842), Т. Мальтуса (1766 - 1834), К. Родбертуса — Ягецова (1805- 1875).
Первая же серьезная попытка выделения общего в экономических циклах принадлежит А. Бернсу и У.К. Митчеллу. Их исследование, проведенное в рамках крупного научного проекта, осуществлявшегося в течение нескольких десятилетий Национальным бюро экономических исследований США NBER обобщено в [127]. Там же содержится и классическое определение экономического цикла.
Прогресс в расчетном и эмпирическом познании природы делового цикла и управления им стал возможен в результате улучшения качества макроэкономической информации. Начало формирования современной базы макроэкономических исследований в виде системы информации для счетов национального дохода, использование которой дает возможность изучать макроэкономические тренды, восходит к работам Нобелевского лауреата С. Кузнеца.
Далее следует сослаться на Дж. М. Кейнса с его "Общей теорией занятости, процента и денег" 1936 г. и другими фундаментальными трудами, внесшими огромный вклад в развитие экономической науки. Центральным пунктом теории Кейнса было положение о том, что рыночная экономика не обладает способностью к саморегулированию, т.е., иными словами, не обладает демпферными свойствами в отношении самораскачивания. Исследование природы экономических колебаний позволило Кейнсу сделать вывод о том, что сложные экономические системы подвержены циклическим колебаниям, обусловленным воздействием на них потрясений (шоков),
являющихся результатом качаний совокупного уровня инвестирования. Последний, в свою очередь, определяется переменами массовых настроений — от оптимизма к пессимизму и наоборот. В этом случае, если даже предположить, что рыночная экономика обладает естественными демпферными свойствами, но они слабы, то номинальные цены и зарплата реагируют на динамику колебаний недостаточно быстро для того, чтобы постоянно приводить к полной занятости. Тогда корректное государственное вмешательство, реализующее сдвиги в объеме государственных расходов, в налогообложении, а также в денежной политике, способно помочь стабилизации экономики. Конечно, идеи Кейнса рождены в 30-х и 40-х годах XX в., и в более позднее время так называемые "неокейнсианцы" создавали для них более жизнеспособную теоретическую базу, рассматривая другие виды потрясений и придя к выводу о том, что анализ экономических колебаний возможен, когда исследователь охватывает все многообразие их причин.
С другой стороны, начиная с другого лауреата Нобелевской премии М. Фридмена, развивались идеи монетаризма, в соответствии с которыми рыночная экономика является саморегулирующимся механизмом, а государственное вмешательство не влечет за собой ее устойчивого развития.
Не будем на этих страницах вставать категорически на сторону одной или другой парадигмы для объяснения природы деловых циклов. По-видимому, ни одна из них не может быть признана превосходящей, и каждая в конкретных схемно-режимных ситуациях функционирования экономической системы описывает лишь часть сложной реальности. При этом безусловно важен анализ вклада различных шоков — инвестиционных, технологических, спроса, предложения и их разновидностей в генерацию колебаний.
Однако, до настоящего времени статистики и экономисты не способны дать точные прогнозы конъюнктуры рынка, тенденцию. Это, в первую очередь, связано с недостаточной информационной обеспеченностью задач анализа экономической динамики, а во вторую — с ограниченностью возможностей той или иной математической модели цикла. Первая трудность объективна. На самом деле, трудно учесть все факторы, особенно в период нестабильности экономики и политических потрясений, точно оценить влияние на национальную экономику международного окружения, предугадать поведение предпринимателей, определить время прохождения фаз цикла. Вторая трудность субъективна. Не стоит ожидать многого от экономико-математической модели цикла, записанной в виде нескольких алгебраических выражений, связывающих основные макроэкономические переменные независимо от принадлежности к конкретной школе — кейнсианской или неоклассической. В настоящее время явление колебательной неустойчивости в так называемом маловозмущенном движении больших экономических систем принято наблюдать как бы "со стороны", не обращаясь к их собственным, т.е. внутренним динамическим свойствам. Основное внимание уделяется изучению макроэкономических трендов, и начало этому положили работы, выполненные, как уже отмечалось, в NBER США в 20-х годах под руководством будущего тогда Нобелевского лауреата С. Кузнеца (1901 - 1985) по сбору и анализу информации, что привело впоследствии к созданию системы национальных счетов. При этом представители различных макроэкономических школ полагали, что колебательная устойчивость системы будет сохранена за счет естественного демпфирования (монетаризм) либо за счет корректного и своевременного государственного вмешательства (кейнсианский подход). Однако многочисленные статистические данные постоянно указывают на факты возникновения околотрендового самораскачивания в экономиках самых различных стран, отличающихся друг от друга большим многообразием условий и режимов функционирования
[1-5]. При этом ранее других экономическая наука выделила циклы с периодом в 7 - 12 лет, которые впоследствии получили имя К. Жуглара (1819 - 1905) за его большой вклад в изучение природы промышленных колебаний во Франции, Великобритании и США на основе фундаментального анализа колебаний ставок процента и цен. Эти колебания обусловлены циклами инвестиций, которые, в свою очередь, инициируют изменения ВНП, инфляции и занятости. Например, Й. Шумпетер (1883 - 1950) в 1939 г. выделял 11 циклов Жуглара за период с 1787 по 1932 г. [3].
Так называемые коротковолновые циклы с периодом 2-4 года (циклы запасов или Китчина) были зафиксированы в 20-х годах на основе исследования финансовых счетов и продажных цен при движении товарных запасов [3].
Циклы Кузнеца длительностью 16-25 лет исследовались впервые в 1930-х годах при построении первых статистических индексов совокупного годового объема жилищного строительства в работах Дж. Риггольмена, В. Ньюмена и некоторых других. Впоследствии термин "строительный цикл" уступил место "длительным колебаниям", которые подробно исследованы в работе С. Кузнеца "Национальный подход", опубликованной в 1946 г. и содержащей выводы о том, что показатели национального дохода, потребления, чистых валовых инвестиций в производственное оборудование, здания и сооружения обнаруживают взаимосвязанные двадцатилетние колебания.
"Длинные волны" Кондратьева имеют период 40 - 60 лет. Первые попытки создания теории длинных волн относятся к началу XX века и принадлежат А. Гельфанду (Парвусу), Я. Ван Гельдерену и С. Де Вольфу. Однако фундаментальные результаты в этой области получены русским ученым Н.Д. Кондратьевым (1892 - 1938), который связывал генерацию длинной волны с массовым внедрением в производство новых технологий, с вовлечением в мировое хозяйство новых стран, с изменением объемов
добычи золота. Это выражалось в динамике индексов товарных цен, процентных ставок, ренты, заработной платы, производства важнейших видов продукции и т.д.
Таким образом, из известных общественной науке около 1400 типов цикличности экономика оперирует преимущественно четырьмя из них, хотя в настоящее время единой теории цикла не существует. Скорее всего это невозможно в рамках существующих макроэкономических школ, поскольку анализ экономических колебаний выполним, когда охватывает все многообразие причин и результатов. Сами упомянутые школы в соответствии с наиболее значительными направлениями экономической мысли делятся на кейнсианскую и неоклассическую (монетаристскую).
Исторически первым шагом на пути создания экономико-математических моделей цикла явилась модель Самуэльсона — Хикса (мультипликатора — акселератора), выражающая изменения дохода во времени [4,5]. Колебания рассматриваемой системы начинаются при возникновении внешнего толчка, причиной которого является изменение экзогенной величины автономных расходов на покупку благ или одной из его составляющих. При этом равновесие системы нарушается, а характер отклонения дохода будет зависеть от качественных характеристик конкретной экономической системы, а именно от показателей акселератора и мультипликатора. Естественно, что двухпараметрическая модель не может отражать адекватно природу экономических колебаний и многообразия динамических свойств макроэкономических систем.
Модель Т. Тевеса [6] отличается от модели Самуэльсона - Хикса тем, что помимо рынка благ рассматривается финансовый рынок путем добавления в основное уравнение модели соответствующего слагаемого, влияющего на устойчивое равновесие системы. Сама модель продолжает оставаться двухпараметрической и сохраняет в основном недостатки предыдущей.
Модель Калдора [7], относящаяся к так называемой старой кейнсианской теории эндогенного типа, специфична в том смысле, что рассматривает нелинейные функции сбережения и инвестиций. Состояние статической устойчивости системы при совмещении указанных зависимостей имеет место в случае превышения сбережений над инвестициями. Если они равны, то система находится на границе устойчивости, если инвестиции превышают сбережения, то равновесие неустойчиво. Указанные функциональные зависимости дохода от времени перемещаются в плоскости. Модель Калдора позволяет решать вопрос об устойчивости, не разделяя апериодическую и колебательную устойчивости.
Модель С. Фишера, или теория рациональных ожиданий [8], в предположении негибкости цен и заработной платы открывает новые кейнсианские работы в области цикла. Ее основными компонентами являются функции спроса и предложения труда, а также уравнение заработной платы. Уравнение модели Фишера показывает, что неожиданное экзогенное нарушение или неожиданное мероприятие в области денежной политики оказывает реальное воздействие на конъюнктуру и может привести к потере устойчивости экономической системы. В модели Фишера это воздействие продолжается в течение одного периода.
Прочие, относящиеся к кейнсианским, направления исследования цикличности связывают причины возникновения циклов с природой несовершенной конкуренции. В качестве факторов нарушения равновесия выступают особенности монопольной конкуренции, негибкость заработной платы и цен и др. В подобных моделях явление самораскачивания системы является результатом запаздывания приспособления перечисленных факторов к изменяющимся условиям рынка.
Неоклассические теории и модели цикла также можно условно разделить на старые и новые. Старые основаны на постулатах Нобелевского лауреата М. Фридмена. Уделяя основное внимание проблеме достижения оптимального функционирования рыночных механизмов, монетаризм, как и новая классическая макроэкономика, также подразделяет теории цикла на экзогенные и эндогенные.
Монетаристская теория цикла М. Фридмена исходит из равновесного состояния полной занятости с постоянным уровнем цен. Колебательные же явления в системе есть результат возникновения случайных колебаний денежной массы. Процесс приспособления экономической системы к новому равновесию протекает в соответствии с реакцией экономики на денежный импульс. При этом стабильность частного сектора полагается таковой, что за счет естественного демпфирования колебания являются затухающими. Вопросы об амплитудах, частотах и декрементах затухания не обсуждаются.
Модель Д. Лейдлера [9] является развитием теории М. Фридмена и демонстрирует зависимость изменений между предложением денег, реальным доходом и уровнем цен. Она содержит три составные части, три сектора: монетарный, реальный и кривую Филлипса, связывающую два первых сектора. Экзогенно задаваемые предложения денег не совпадают со спросом на них, что обуславливает возникновение переходного процесса в системе, который может носить как апериодический, так и колебательный характер. Спрос на деньги зависит от уровня цен и реального дохода. В краткосрочном периоде денежная политика оказывает влияние на ситуацию в области занятости. Таким образом, переходные процессы представляют собой реакцию реальных макроэкономических переменных на денежные шоки.
Продуктом новой классической школы является теория и модель экономического цикла. Теория объясняет возникновение колебаний реальными сдвигами в экономике: технологическими сдвигами, мероприятиями в области налоговой политики, добровольной безработицей и тому подобному. Изменение равновесного уровня, т.е. колебания дохода и ставки процента возможны как следствие сдвигов реального совокупного
спроса и сдвигов реального совокупного предложения. Первый может колебаться в результате резких изменений в государственных расходах и (или) налогах, второе - в результате резких технологических изменений или удорожания топливно-сырьевых ресурсов.
Существует также теория стохастических циклов, в соответствии с которой циклы могут возникать в экономике в результате воздействия хаотических потрясений, имеющих природу белого шума.
По-видимому, к числу общих недостатков упомянутых и им подобных моделей следует отнести неучет внутренних, т.е. собственных динамических свойств макроэкономических систем, их структурных особенностей, детально раскрывающих взаимосвязи между отраслями хозяйства.
Задачи устойчивости и экономической динамики рассматривались также в рамках односекторной (модель Солоу) и трехсекторной постановках, основанных на производственных функциях. Первая сводится к дифференциальному уравнению первого порядка, позволяющему получить закон изменения во времени ВВП, фондовооруженности или другого макроэкономического показателя.
Перечисленные подходы позволяют исследовать колебания и устойчивость в экономике на самом "верхнем" уровне и в самом общем смысле.
Новые возможности для аналитического исследования процессов экономической динамики открывает трехсекторная модель экономики, предложенная В.А. Колемаевым [10 - 16]. Несомненно удачное выделение материального, фондосоздающего и потребительского секторов позволило при высоком уровне агрегированности проследить промежуточный продукт, исследовать переходные процессы, распределение труда и инвестиций между секторами, вопросы цен и налогов, сбалансированные стационарные состояния и многое другое.
Хотя отмеченные выше недостатки в некоторой мере и преодолеваются
в трехсекторной экономике, исследование вопросов устойчивости наиболее целесообразно в рамках теории "затраты - выпуск" и "запас - поток" нашего соотечественника и Нобелевского лауреата ВВ. Леонтьева (1906 - 1999), где в качестве математической модели выступает динамический межотраслевой баланс. Исследования Леонтьева и его последователей в области межотраслевого анализа с самого начала были связаны с решением важнейших народнохозяйственных задач изучения состояний сложных экономических систем и планирования их развития. Ими был завершен широкий круг теоретических, расчетных и эмпирических работ по экономико-математическому моделированию и балансовым исследованиям [17 - 19]. В дальнейшем, в 1960-х , 70-х годах, интерес к этому направлению угасал, что было, скорее всего, связано со слабым развитием вычислительной техники, не позволявшей анализировать модели сколь-нибудь высокой размерности.
В настоящее время как средства вычислительной техники, так и телекоммуникаций, предоставляют современным экономистам расширяющиеся возможности для конструирования моделей, адекватно отражающих масштабы хозяйственной деятельности, сложность взаимосвязей между предприятиями, отраслями, регионами, временной разрыв между началом подготовки производства и моментом реализации продукции, растущее влияние хозяйственной деятельности на окружающую среду, многие другие факторы, значительно усложняющие структуру экономических задач и повышающие их размерность. Сказанное обуславливает возрастающее значение экономико-математического моделирования и численного анализа моделей для практики оценивания состояний макроэкономических систем, составления прогнозов их развития и увеличивает возможности теоретического анализа. При этом сохраняется тождественность сотен и даже тысяч переменных, существенно снижается острота проблемы агрегирования данных, когда первичная детальная информация преобразуется в относительно небольшое число "пакетов", называемых "капитал", "труд", "сырье", "общий уровень цен" и т.д. Здесь при утрате адекватности вследствие агрегирования может быть использована менее укрупненная модель.
Построение и применение межотраслевых моделей требует большой работы по сбору и стандартизации разнообразной экономической информации, что во все времена представляло собой достаточно трудоемкую задачу, включающую серию эмпирических исследований, которые до сих пор являются самым серьезным испытанием для национальных статистических и информационных систем. Говорить о снижении трудоемкости можно будет при эффективном использовании громадного количества данных по экономике, доступных через INTERNET.
Детально составленный динамический межотраслевой баланс (МОБ) может и должен служить математико-статистической базой для анализа как колебательной, так и апериодической устойчивости макроэкономических систем. Для этого широкое распространение могут получить матричные методы, основанные на оценке собственных значений матриц коэффициентов динамических МОБ, записанных в виде систем дифференциальных уравнений и предварительно приведенных к нормальной форме Коши. Спектр собственных значений однозначно характеризует внутренние, т.е. собственные динамические свойства (СДС) системы. Заметим, что если не рассматривать циклы, ограничивая задачи маловозмущенного движения только анализом апериодической устойчивости и темпов расширения экономики, то привлекаемый математический аппарат значительно упрощается и появляется возможность использовать критерий, фиксирующий обращение в нуль свободного члена характеристического уравнения системы при изменении условий и режимов ее функционирования. Подходы к исследованию статической устойчивости на основе матричных методов развивались в рамках теории автоматического управления и ряде прикладных областей [21-29]. Значительные усилия были затрачены на поиск эффективного алгоритма вычисления собственных значений, восходящие еще к оценкам С.А. Гершгорина и методу A.M. Данилевского [30, 31]. В настоящее время в распоряжении исследователя имеется хорошо зарекомендовавшая себя на практике программная реализация OR - алгоритма, представленная в пакетах прикладных программ по линейной алгебре [32-34] и вычислительных математических средах [35], позволяющая на основе полной информации о собственных числах и собственных векторах сделать необходимые выводы о свойствах системы. Альтернативным путем здесь являются алгоритмы для решения частичной проблемы собственных значений, которые сокращают время расчетов ценой определения лишь нескольких корней характеристического уравнения, связанных с колебательными составляющими движения. Следует, по-видимому, проводить работы по разработке и применению методов расчетов собственных чисел в заданной частотной области и области демпфирования, в том числе ориентированные на параллельные вычисления. Естественно, на этом пути встречаются сложности создания надежных и эффективных формализованных алгоритмов.
Знание собственных значений матрицы коэффициентов замкнутой динамической модели МОБ дает суждение не только об устойчивости, но и позволяет характеризовать динамические свойства системы в возмущенном движении при воздействии на экономику различного рода шоков (потрясений). Следует отметить, что ранее вопрос об улучшении демпферных свойств системы в отношении деловых циклов и одновременной оптимизации темпов экономического роста при численном поиске тех или иных варьируемых параметров в рамках балансовых моделей не возникал.
Расчет собственных значений имеет решающие преимущества при решении практических задач анализа устойчивости, оптимизации собственных динамических свойств по сравнению с перечисленными выше методиками и моделями. Недостатки последних легко вскрываются. Они, в первую очередь, заключаются в недостаточном учете СДС системы и их зависимости от параметров регулирования. Вместе с тем, глубокий анализ этих свойств необходим, в частности, для организации полностью автоматизированной процедуры численной оптимизации на предмет обеспечения устойчивого апериодического роста экономики и приемлемого уровня демпфирования колебаний.
Основными факторами, затрудняющими постановку и решение на ЭВМ задач статической устойчивости больших экономических систем, являются повышенные требования к информационному обеспечению, высокая размерность и сложность моделей МОБ. В связи с этим значительные усилия экономической науки затрачены на обоснование оптимального объема математического описания, адекватно отражающего СДС макроэкономических систем. Предварительное агрегирование призвано в рассматриваемой постановке с минимальной избыточностью обеспечить получение достоверных результатов оценки устойчивости. Подобные упрощающие допущения давно претендуют на признание их универсальности, однако могут быть приняты только при условии оценки возникающих погрешностей. Использование упрощенного моделирования и традиционного агрегирования может приводить к грубым ошибкам при оценке опасности общесистемных колебаний, что легко заметить на примерах решения модельных задач. Поэтому для сложных систем объем математического описания получается весьма значительным [36]. Упрощение же оказывается возможным лишь на основе первоначально полного математического описания. Только всесторонний учет зависимости между параметрами экономической системы и составляющими ее движения позволяет выявить слабые связи и тем самым упростить исходную модель. Среди методов, обеспечивающих такой подход, можно указать метод малого параметра [37-38]. В электроэнергетике развивалось частотное эквивалентирование [39-41, 42]. Однако, эти алгоритмы не были доведены до стадии формализованного практического использования при расчетах устойчивости. Они требовали достаточно высокой квалификации пользователя и не были реализованы в промышленных алгоритмах и программах.
Дополнительное усложнение задачи экономико-математического моделирования переходных процессов, процедур агрегирования и эквивалентирования связано с насущной потребностью иметь единую математическую модель для анализа как апериодической, так и колебательной устойчивости сложных экономических систем.
Таким образом, целью данной диссертационной работы является разработка экономико-математических методов анализа и управления статической устойчивостью и динамическими свойствами макроэкономических систем в рамках балансовых моделей и теории "затраты - выпуск", "запас - поток". Поэтому в качестве объекта исследования выступает макроэкономика регионов и государств.
Предметом диссертационного исследования избраны методологические, теоретические, методические и практические проблемы математического моделирования переходных процессов экономической динамики высокоразмерных систем, их эквивалентных преобразований и статической устойчивости.
При достижении цели исследования была поставлена и решена следующая совокупность научно-экономических задач, образующих научную новизну:
- разработка методического подхода и математического аппарата для анализа собственных динамических свойств макроэкономических систем по балансовым моделям;
- выявление зависимости частот и затуханий отдельных составляющих движения экономики от условий ее функционирования и значений
параметров управления;
- создание математического аппарата для решения задач управления СДС, включая методику формирования функций качества при многопараметрическом поиске в условиях совокупности режимов функционирования экономики и ограничений по варьируемым параметрам;
- разработка методов эквивалентирования моделей МОБ, альтернативных традиционному агрегированию, с целью существенного повышения эффективности расчетов при многопараметрической оптимизации динамических свойств высокоразмерных экономических систем;
- синтез сигнала избирательного управления составляющими движения макроэкономических систем;
- разработка методов эквивалентирования жестких динамических моделей МОБ.
Методы исследования динамических свойств экономических систем базируются на аппарате линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, автоматического управления и модального анализа. При решении задач оптимизации использованы специальные функционалы качества и методы минимизации. Разработка перспективных законов управления СДС построена на основе теории чувствительности и модального управления.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.
В первой главе завершается начатый во введении анализ состояния вопроса и постановка задач исследования. Рассматриваются вопросы численного поиска оптимального вектора конечного спроса в макроэкономической системе, представленной динамической моделью МОБ. Сформулированы требования к программному обеспечению для решения этой задачи. Дан анализ возможных негативных свойств функций качества,
включая их негладкость и овражный характер линий уровня, влияющий на численный поиск варьируемых параметров.
Предложены критерии качества переходных процессов, позволяющие обеспечить заданные или предельно достижимые в соответствии с возможностями управления демпферные свойства в отношении системных колебаний и приемлемые темпы экономического развития. Критерии формируются на базе группы доминирующих корней характеристического уравнения, выделяемых в комплексной плоскости желаемыми степенями колебательной устойчивости и экономического роста. Выполнен анализ влияния параметров функции качества на эффективность процесса численного поиска и даны рекомендации по выбору их значений. Рассмотренные критерии качества обобщены на случай решения нестационарной задачи, моделируемой совокупностью режимов и условий функционирования экономики. При этом сама задача допускает две постановки: оптимизация СДС для совокупности режимов и оптимизация режимных параметров для заданного уровня СДС системы.
На основе предложенных функций качества разработан метод поиска единого вектора варьируемых параметров для нестационарной модели МОБ, позволяющий также учитывать неопределенность значений элементов матрицы системы. Важным моментом является установление зависимости роста объема вычислительных затрат от длины дискретного ряда матриц коэффициентов прямых затрат и капитальных коэффициентов, для которых находится единый вектор параметров. Он может включать в себя элементы вектора конечного потребления (спроса), матрицы капитальных коэффициентов (запасов) и другое.
Введены понятия степени колебательной устойчивости и степени экономического роста. Обобщены закономерности, ограничивающие возможности управления ими при оптимизации СДС.
На основе построения уравнений прогноза изменения вещественных частей собственных чисел матрицы состояния экономической системы при вариации оптимизируемых параметров предложен метод их численного поиска, значительно снижающий трудоемкость вычислений по сравнению с традиционными.
В главе 2 предложен математический аппарат для расчетов СДС сложных экономических систем. Показано, что для макроэкономических систем задача обеспечения статической апериодической и колебательной устойчивости должна решаться в рамках системного подхода и сочетаться с анализом СДС, а при необходимости и с их оптимизацией. Анализируется связь СДС, то есть частот и затуханий отдельных составляющих движения экономики, наблюдаемости, управляемости и других, а также их количественных характеристик, включая показатели наблюдаемости и коэффициенты чувствительности к изменению параметров системы, с собственными числами и векторами матрицы коэффициентов замкнутой системы уравнений переходных процессов, представляющей собой динамическую модель МОБ.
На основе разработанных алгоритмов и программ для расчетов СДС дан анализ динамических свойств модельных МОБ и получен ряд важных практических выводов. В частности, рассмотрена задача повышения затухания общесистемных составляющих возмущенного движения с высокими показателями наблюдаемости и ее связь с координацией конечного потребления. Выявлена связь между коэффициентами чувствительности характеристических корней по отношению к варьируемым параметрам и изменением модулей и фаз компонент собственных векторов, определяющих показатели наблюдаемости отдельных составляющих движения.
Рассмотрена эффективность процедуры выбора единого вектора спроса, обеспечивающего для данной макроэкономики приемлемое демпфирование деловых циклов и темпы расширения для совокупности условий и режимов функционирования. Тем самым моделируется нестационарная модель МОБ или неопределенность ее параметров вследствие наличия статистической ошибки в исходных данных.
Исследовано изменение характера взаимосвязи отдельных корней характеристического уравнения с варьируемыми элементами вектора конечного спроса в зависимости от степени агрегированности модели МОБ. Предложен эффективный метод численного интегрирования высокоразмерных моделей МОБ.
В главе 3 представлены методы эквивалентирования динамических моделей МОБ при управлении СДС экономических систем. Методы основаны на исключении из рассмотрения неуправляемых и слабоуправляемых корней характеристического уравнения.
Проведен анализ зависимости вычислительных затрат по определению собственных чисел матрицы коэффициентов уравнений динамического МОБ от размерности системы. Проведено сопоставление результатов тестирования с теоретическими оценками. Показана эффективность OR - алгоритма расчета собственных чисел матрицы состояния экономической системы по точности и быстродействию для моделей МОБ, как минимум, до 1000 дифференциального порядка. Высокая эффективность разработанного метода эквивалентирования подтверждена на примерах модельных балансовых схем.
Глава 4 содержит методы упрощения динамических моделей МОБ, описываемых жесткими системами дифференциальных уравнений. Жесткость балансовых моделей возникает при появлении быстропереходных процессов в экономических системах. В работе предложено формализованное описание класса жестких дифференциальных систем, позволяющее корректно определить типы уравнений,4относящиеся к этому классу, а также выявить и исследовать их свойства. Рассматриваются разработанные и исследованные на основании свойств жестких систем алгоритмы асимптотических преобразований дифференциальных уравнений с учетом их практической реализуемости, которые позволяют упростить модель МОБ за счет исключения быстропереходных процессов. Предлагаются и исследуются методы формализованного контроля за правильностью применения полученных алгоритмов и методик асимптотического приближения моделей.
Выявлены особенности применения предложенного аппарата упрощения математических моделей динамических МОБ, описываемых жесткими линейными и нелинейными системами дифференциальных уравнений высоких порядков, при моделировании переходных процессов в экономических системах.
В главе 5 рассматриваются вопросы избирательного управления одной составляющей движения экономической системы при постоянстве остальных. Дан анализ сигнала регулирования, отвечающего такому управлению, и проведено его значительное упрощение с сохранением свойства избирательности. Выявлена взаимосвязь количества значимых компонент сигнала избирательного управления с показателями наблюдаемости составляющей движения. Для оценки погрешности упрощения сигнала регулирования построены формулы относительной чувствительности корней характеристического уравнения к компонентам вектора избирательного управления.
На защиту выносятся следующие основные научные положения.
1. Математический аппарат и методический подход для анализа собственных динамических свойств макроэкономических систем. К числу этих свойств относятся частоты и затухания отдельных составляющих движения, наблюдаемость, управляемость и другие, а также их количественные характеристики, включая показатели наблюдаемости и коэффициенты чувствительности к изменению параметров системы.
2. Метод поиска единого вектора варьируемых параметров (конечного потребления, запасов и др.) для совокупности условий и режимов функционирования экономики, основанный на численной минимизации функции качества переходных процессов, учитывающий разнообразные ограничения на варьируемые параметры и допускающий одновременную координацию их произвольного числа.
3. Критерии качества для алгоритма численного поиска, позволяющие обеспечить заданные или предельно достижимые собственные динамические свойства макроэкономических систем и формируемые по группе доминирующих корней характеристического уравнения. Обобщение этих критериев при определении оптимального вектора варьируемых параметров для совокупности условий и режимов функционирования экономики.
4. Методика оптимизации функции качества в условиях некорректной постановки задачи.
5. Метод прямого (квазимодального) управления корнями характеристического уравнения на базе сингулярного разложения матрицы уравнений прогноза изменения их вещественных частей.
6. Методика идентификации отраслей народного хозяйства по степени влияния неопределенности их параметров на устойчивость и демпфирование колебаний.
7. Метод упрощения математических моделей при управлении собственными динамическими свойствами экономических систем, основанный на исключении слабоуправляемых и неуправляемых собственных значений матрицы замкнутой и приведенной к нормальной форме Коши динамической модели межотраслевого баланса.
8. Формализованное описание класса жестких дифференциальных систем, позволяющее корректно определить типы дифференциальных уравнений, относящихся к этому классу, а также выявить и исследовать их свойства. Доказательство принципа квазистационарности производных Ю.В. Ракитского и разработанные на его основе алгоритмы упрощения динамических моделей МОБ, описываемых жесткими уравнениями.
9. Методика модального управления СДС макроэкономических систем и предложение о значительном упрощении сигнала избирательного управления одной составляющей движения при постоянстве остальных.
10. Методика аппроксимации закона модального управления, позволяющая резко сократить число измеряемых компонент вектора выпуска в сигнале управления с сохранением основных свойств его избирательности.
Алгоритм численного поиска оптимального вектора конечного спроса
Во введении уже отмечалось, что на базе матричных методов в сочетании с алгоритмами численного поиска возможно создание высокоэффективных формализованных процедур определения оптимального конечного спроса в смысле демпфирования низкочастотного самораскачивания и обеспечения приемлемой динамики развития макроэкономической системы. Настоящий параграф посвящен разработке такого вычислительного алгоритма и критерия качества переходных процессов, в том числе и для совокупности режимов и условий работы экономики.
Задача разработки экономико-математических методов выбора оптимальных значений элементов вектора конечного потребления, отраслевых запасов или любых других параметров макроэкономических систем с целью обеспечения удовлетворительного демпфирования низкочастотного самораскачивания (деловых циклов) и приемлемых темпов расширения экономики является сложной научно-технической задачей. Это обусловлено рядом обстоятельств среди которых, во-первых, следует отметить нелинейный характер связей корней характеристического уравнения матрицы коэффициентов замкнутой динамической модели МОБ с варьируемыми параметрами системы, что значительно затрудняет решение вопросов управления [36, 174]. Эта нелинейность проявляется во встречном движении корней при изменении параметров регулирования. Во-вторых, чувствительности вещественных частей отдельных групп корней к вариации параметров различаются не только по величине, но и по знаку. Здесь во все большей мере проявляется свойство целостности экономической системы принципиальная несводимость свойств объекта к сумме свойств составляющих его элементов. Возникает задача целенаправленного изменения расположения в комплексной плоскости значительного числа корней за счет координации элементов вектора конечного спроса или других параметров системы: Анализировать эту задачу приходится в условиях высокой размерности (до и более тысячи отраслей) и связанности модели, а также значительного числа режимов и условий функционирования системы. Все это обуславливает потребность в качественно новом методическом подходе к ее решению, отличном от традиционно принятых в макроэкономике при работе с балансовыми моделями.
Естественно потребовать, чтобы процесс получения оптимальных параметров экономической системы был полностью автоматизированным ввиду большого объема перерабатываемой информации, что определяет соответствующие требования к комплексу программ, которому следует обеспечить: формализованный численный поиск оптимальных компонент вектора конечного спроса или других наперед заданных параметров путем минимизации специально разработанной функции качества, которая, в свою очередь, должна быть достаточно гладкой и ориентироваться на совокупность корней, определяющих качество переходного процесса; поиск единого вектора варьируемых параметров для выбранной совокупности режимов работы экономической системы, т.е. при учете временной зависимости элементов матрицы системы; учет ограничений на варьируемые параметры, принимаемых из инженерно-экономических соображений; надежность работы алгоритмов минимизации функции качества, особенно в условиях ее возможной овражности; обоснованное агрегирование динамической модели МОБ при численном поиске вектора спроса, основанное на исключении из рассмотрения слабоуправляемых и неуправляемых характеристических корней.
Реализуемая в процедурах численной оптимизации динамическая модель МОБ показывает, как связано между собой производство в течение ряда лет, иными словами, отражает экономическую динамику. Так называемая динамическая теория "Затраты - выпуск" подверглась первой экспериментальной проверке в 1953 - 1954 г.г. для модели американской экономики с матрицами размерностью 100x100. Для численного решения задачи на компьютере модель была агрегирована до размерности 20x20.
Если статическая модель МОБ позволяет рассчитывать необходимый объем производственных капитальных вложений, чтобы обеспечить необходимый объем выпуска по отраслям, то она не позволяет увязать потребности в производственных капитальных вложений и их ресурсы. Именно автономное задание производственных капитальных вложениях делает статическую модель пригодной для расчета только на 1 год. Значительно большая адекватность достигается в динамической модели, где капитальные вложения не рассматриваются как автономная экономическая величина. Их структура по отраслям и объемы определяются темпами расширения экономики. Динамическая модель увязывает планы текущего производства и планы капитальных вложений в народное хозяйство и является развитием статической модели.
Учет неопределенности параметров модели МОБ при решении задач устойчивости
Численные показатели собственных динамических свойств экономической системы рассчитываются для некоторого определенного режима и условий функционирования при детерминированных параметрах всех элементов системы. Очевидно, что такие оценки могут определенным образом изменяться в силу изменения режима работы системы при решении нестационарных задач, а также неопределенности параметров модели.
К числу неопределенных параметров следует отнести элементы матриц коэффициентов прямых затрат и капитальных коэффициентов. Здесь можно выделить неопределенность двух видов. С одной стороны, в расчетах указанные коэффициенты представляет собой генерируемые органами региональной и центральной статистики экономические эквиваленты, отражающие структуру и взаимодействие большого числа разнообразных по приоритету и характеристикам отраслей, их поведения с позиций решаемой задачи. Практически это означает необходимость проведения многочисленных научных исследований и системных экспериментов. С другой стороны, параметры эквивалентов зависят от времени и различных случайных факторов, поскольку состояние и структура реальной экономики постоянно изменяются.
Пусть вектор Р включает в себя все неопределенные параметры экономической системы, влияние которых на демпфирование колебаний и темпы экономического развития нужно оценить
Будем также полагать, что значения этих параметров независимы и что для каждого известен возможный диапазон его изменения
Любому набору элементов , j = \,т соответствует набор собственных чисел матрицы состояния экономической системы. Пусть к собственных чисел представляют интерес для анализа колебательной устойчивости. Тогда на основе их вещественных частей построим вспомогательную целевую функцию F аналогично тому, как это было с (1.9) где аи - фиксированная величина, характеризующая желаемые демпферные свойства системы, причем а0 ai для всех і.
Минимизация функционала F(F — min) за счет одновременного численного поиска всех компонент вектора Р при одновременном удовлетворении (2.25) приводит к смещению собственных чисел в направлении прямой а(). При этом необходимо выбрать значение а0 таким, чтобы в процессе минимизации ни одно из интересующих нас собственных значений не пересекло а0. В противном случае оно будет удерживаться на уровне этой прямой, что исказит возможный диапазон изменения собственного числа от вариации Р. В результате минимизации будет найдено наиболее "левое" расположение рассматриваемых корней на комплексной плоскости. Такую оценку назовем оптимистичной. Обозначим соответствующие значения параметров р""т а значения вещественных частей корней - а""т.
Аналогичная процедура максимизации функции F(F — max) приводит к смещению вправо корней на комплексной плоскости. Тогда в результате максимизации будет найдено наиболее "правое" расположение корней. Назовем такую оценку пессимистической, обозначим соответствующие значения параметров Р , а значения вещественных частей корней - а" .
Минимизация и максимизация функции F реализуется в рамках одной процедуры с использованием стандартного градиентного метода. При этом разница в поиске наибольшего и наименьшего значения функционала заключается только в движении по или против направления градиента в процессе нахождения экстремума.
В качестве оценки влияния неопределенности параметров Р на демпфирование / -ой формы движения будем использовать следующую величину
Если функция F формируется на базе собственных чисел, то полученная величина изменения затухания / -ой формы движения (2.27) не обязательно является максимально возможной, поскольку при получении оптимистических и пессимистических оценок рассматривалось смещение всей совокупности корней одновременно. В этом случае наибольшее изменение F не обязательно соответствует максимальному смещению каждого из собственных чисел. Максимальную величину Да, для конкретного /-го собственного значения можно получить, если построить функцию F на базе только одного / -го корня.
Значения Да, существенно зависят от величины диапазона неопределенности параметров (2.25), который, в свою очередь, часто известен лишь приближенно. Задание рп и рах, охватывающих весь потенциально возможный диапазон изменения параметра, может приводить к завышенным оценкам Да,, поскольку нахождение параметра на краях диапазона может быть очень маловероятным в то время, как чувствительность собственного числа к вариации параметра здесь может быть значительной. Поэтому имеет смысл вводить вероятностную оценку, суть которой заключается в следующем.
Предположим, что значениям рт и /?ах можно поставить в соответствие некоторую вероятность нахождения параметра /? внутри данного диапазона (2.25). Тогда получаемые оценки неопределенности вещественных частей собственных чисел Да, соответствуют принятой вероятности. Таким образом, задаваясь вероятностью, с которой может быть указан диапазон неопределенности параметра, можно получить соответствующую этой вероятности оценку неопределенности значения собственного числа.
Диапазоны изменения и соответствующие им вероятности нахождения параметров внутри диапазонов могут быть определены методами экономической статистики, которые позволяют построить зависимости плотности вероятности параметров модели от значений параметров. Такого рода данные позволяют легко установить диапазон изменения параметра при заданной вероятности нахождения параметра внутри.
Методика эквивалентирования моделей МОБ при анализе устойчивости и оптимизации динамических свойств
До настоящего времени известен один - единственный способ понижения размерности динамической модели МОБ — традиционное агрегирование. Различные варианты сведения частных показателей в обобщенные не могут не привести к утрате информации и искажению представления о собственных динамических свойствах макроэкономики. Этот тезис подтвержден выше.
Таким образом, непосредственное понижение дифференциального порядка исходной модели приводит не только к упрощению, но и вносит существенную погрешность в определение собственных чисел. Следовательно, свойства целостности, проявляемые современными макроэкономическими системами, не позволяют использовать заведомо упрощенные модели для оценки динамических свойств и управления ими. Излагаемый ниже подход к построению упрощенных моделей для решения поставленных задач носит достаточно формализованный характер и предполагает первоначальное использование максимально полного математического описания экономической системы. Основой для эквивалентирования служит оценка коэффициентов чувствительности собственных значений Я, матрицы G системы (1.4) от варьируемых параметров ; — элементов вектора конечного спроса.
Упрощение математической модели выполняется за счет исключения составляющих движения ел , слабо зависящих от параметров у(. При этом само исключение не тривиально, поскольку прямая связь исключаемых корней и отвечающих им составляющих движения с параметрами и уравнениями системы отсутствует.
Суть решаемой задачи заключается в следующем. Положим, что уравнения динамического межотраслевого баланса после приведения к нормальной форме имеют вид [175] где (і(У\- У2 ---іУт) — матрица коэффициентов системы, элементы которой зависят от варьируемых параметров У\- Уг- ----,Ут- Структура динамической модели МОБ обеспечивает линейное вхождение варьируемых параметров в матрицу G системы (1.4), (3.16). Поэтому ее можно представить следующим образом где G()— матрица коэффициентов при нулевых значениях yt;
Н,— постоянные слабозаполненные матрицы (если т невелико по сравнению с размерностью балансовой модели).
Выбор коэффициентов yi осуществляется с целью изменения вещественных частей собственных значений матрицы G0 в направлении улучшения динамических свойств системы. Последнее предполагает смещение влево в комплексной плоскости комплексно-сопряженных пар корней для демпфирования колебательных составляющих движения, обуславливающих возникновение деловых циклов, и одновременное смещение вправо вещественных корней для увеличения степени экономического роста. Описанное управление реализуется минимизацией методами численного поиска функции качества (1.6).
Как уже отмечалось, исходную систему уравнений перед началом процесса поиска целесообразно упростить, устраняя те собственные значения матрицы Gn, которые слабо зависят от вариации ,. Естественно, что принятое упрощение должно быть справедливым при варьировании произвольного числа параметров yi во всем диапазоне их допустимых значений.
Важно подчеркнуть, что исключаемые собственные значения могут быть соизмеримы с характеристическими корнями упрощенной модели как по вещественным, так и по мнимым частям. Такая постановка задачи эквивалентирования качественно отличается от традиционных приемов упрощения, связанных с принятым в экономике агрегированием, либо с математическим методом малого параметра или с методами, подразумевающими разделение движений по скоростям их протекания на быстрые и медленные.
Очевидно, что с повышением размерности системы эффективность предлагаемого подхода возрастает.
Исключение слабоуправляемых составляющих движения и получение упрощенной модели может быть проведено по следующей схеме. Исключительно для большей ясности изложения будем полагать, что матрица G0 имеет простую структуру, то есть количество различных собственных векторов совпадает с размерностью системы п. Тогда выполнив замену переменных в системе (3.17) где U - матрица преобразования, столбцами которой являются собственные векторы матрицы G0 преобразуем исходные уравнения к виду
Принцип квазистационарности производных (ПКП) в динамических моделях межотраслевого баланса
Положим, что система (4.17) жесткая. Естественно в этом случае должно выполняться требование (4.10) при любых начальных условиях (tu,X())eG. Если выбрать X(t0) = p(tQ), то из приведенного решения системы (4.17) нетрудно видеть, что условие вида (4.10) должно выполняться не только для самого вектора X(t), но и для каждого из образующего его слагаемых в отдельности. А так как первое слагаемое является решением соответствующей однородной системы (4.2), то последняя обязана быть жесткой. Следовательно, из жесткости неоднородной системы следует жесткость соответствующей ей однородной системы. Иначе, если открытая по потреблению динамическая балансовая модель жесткая, то замкнутая модель также будет жесткой. Это утверждение свидетельствует о том, что жесткость является внутренним свойством линейной системы и не может появиться только вследствие изменений функции спроса b (t). Сказанное практически означает, что при оптимизации конечного спроса с целью улучшения собственных динамических свойств макроэкономических систем, описанной выше, "заработать" жесткость в процессе численного поиска нельзя. Все рассуждения остаются в силе, когда матрица А имеет переменные коэффициенты.
Ситуация изменяется, если в исследуемую динамическую модель межотраслевого баланса одной или несколькими строками вписать финансово-кредитную систему и смоделировать поведение макроэкономики при скачкообразном изменении элементов матрицы А. Тогда быстропереходные составляющие движения вследствие реакции рынка непременно возникают, как появляется и связанное с ними явление жесткости. Именно этого порядка процессы возникали в российской экономике после либерализации цен в 1992 г., в результате известного "шока" 17 августа 1998 г. ив некоторых других случаях. Затронутые вопросы еще ждут своего детального исследования.
Следующее важное свойство характеризует поведение составляющих решения жесткой системы и является основой для построения алгоритма упрощения математических моделей вне пограничного слоя.
Пусть матрица А имеет размерность (пхи) и среди п ее собственных чисел Я, первые т имеют большие модули, а отвечающие им частные решения быстро убывают в пределах пограничного слоя Нетрудно заметить, что если для комплексной пары корней Я,. /+] можно подобрать для построения (4.19) вообще произвольную вещественную комбинацию векторов Vt, Vi+], то для вещественного корня Я, в роли U может выступать соответствующий собственный вектор матрицы Ат.
Для всех собственных чисел Я,, удовлетворяющих (4.18), могут быть получены равенства аналогичные (4.19). В том случае, если среди Я,. имеются кратные, то для построения соответствующих скалярных произведений используются векторы, приводящие А к жордановой форме.
Таким образом, для жесткой системы межотраслевого баланса (4.2) вне пограничного слоя устанавливаются почти точные линейные алгебраические связи Число этих связей равно количеству быстроубывающих частных решений т. Следовательно, выражая т компонент вектора X(t) через остальные, приходим к выводу о возможности описания решения жесткой системы вне пограничного слоя решением системы меньшей размерности, уже не являющейся жесткой.
Вопросы практического построения коэффициентов указанных алгебраических связей и эквивалентных систем без явного вычисления собственных чисел и векторов рассмотрим ниже, в следующем параграфе.
Исследования жестких систем в упоминавшихся уже работах свидетельствуют о том, что даже при небольшом отклонении начальных условий от графика решения вне пограничного слоя компоненты вектора производных d X/d t резко возрастают.
Этому факту можно дать следующее пояснение. Общее решение модели (4.2) может быть записано как сумма компонент вида (4.11). Если начальная точка Х(0) находится на интегральной кривой вне пограничного слоя, то постоянные С,, отвечающие большим по модулю Я,, будут практически нулевыми. Производные же слагаемых (4.11), соответствующие малым по модулю Я7, будут невелики.
Однако даже небольшое возмущение начальных условий X (0) = (0) + 6: приведет к тому, что в решении появятся быстроубывающие составляющие (4.11) с большими производными. Подобный эффект резкого возрастания производных при отклонении начальных условий от решения вне пограничного слоя имеет место практически всегда. Поэтому для экономических систем, использующих статистические данные для анализа и имеющих отличный от нуля вектор є исключительно важна практическая реализация такой специальной
