Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Элементы репрезентативной теории измерений 20
1.1. Шкальное направление в теории измерений 20
1.1.1. Шкалы наименований или номинальные шкалы ...22
1.1.2. Шкалы порядка или ординальные шкалы 23
1.1.3. Шкалы интервалов или равномерные шкалы 24
1.1.4. Шкалы отношений или пропорциональные шкалы 26
1.2. Физическое направление в теории измерений 28
1.2.1. Единицы и системы единиц измерения 28
1.2.2. Требование размерной однородности к уравнениям связи 29
1.3. Измерения полезности и количества блага в экономике 30
1.3.1. Рассмотрение кардиналистского и ординалистского подходов к измерению полезности с позиций репрезентативной теории измерений 30
1.3.2. Единицы измерения и размерности количества блага в экономикеЗ 1
1.3.3. Относительные единицы измерения, как обобщенные единицы количества блага в экономике 32
1.4. Итоги и выводы 34
ГЛАВА 2. Модели полезности и их верификация 35
2.1. Дифференциальное уравнение полезности потребления конкретного блага. Коэффициент удовлетворения kt 35
2.2. Уравнение полезности потребления конкретного блага (УППКБ) 39
2.2.1. Вывод уравнения полезности 39
2.2.2. Нулевая и отрицательная полезность.
Нейтральный уровень потребления 40
2.2.3. Интерпретация коэффициента удовлетворения hi 43
2.3. Полезность потребления некоторого блага как случайная величина. Плотность распределения персон по полезности потребления блага...44
2.3.1. Природа случайности на множестве персон 44
2.3.2. Плотность распределения персон по полезности потребления блага (нормальное распределение Гаусса) 46
2.4. Верификация УППКБ сравнением распределений персон по доходам.49
2.4.1. Распределение персон по количеству потребленного конкретного блага (логнормальное распределение) 49
2.4.2. Распределение персон по доходам 51
2.4.3. Сравнение плотности распределения персон по доходам с эмпирическими данными 54
2.4.3.1. Преобразование табличных данных о доходах 54
2.4.3.2. Эмпирическое распределение персон по доходам и его сравнение с логнормальным распределением 56
2.5. Обобщенное уравнение полезности потребления совокупности благ (ОУППСБ) 60
2.6. Верификация ОУППСБ сравнением уровней потребления в равновесии, полученных разными методами при дуальном потреблении и сравнением условий равновесия потребителя 63
2.6.1. Уровни потребления в равновесии. Рассмотрение методом максимизации полезности 64
2.6.2. Уровни потребления в равновесии. Рассмотрение методом квазиграфического анализа 67
2.6.2.1. Вывод уравнений карты кривых безразличия на основе уравнения полезности. 68
2.6.2.2. Потребление в состоянии равновесия 74
2.6.3. Сравнение полученных уровней потребления в равновесии 78
2.6.4. Сравнение условий равновесия с известным условием для дуального потребления 79
2.7. Итоги и выводы 83
ГЛАВА 3. Модель индивидуального спроса и ее использование при анализе экономического положения населения в России 87
3.1. Потребление совокупности благ в равновесии 87
3.1.1. Уравнение индивидуального спроса 87
3.1.1.1. Вывод уравнения индивидуального спроса методом максимизации полезности 87
3.1.1.2. Две интерпретации уравнения индивидуального спроса 91
3.1.2. Индексы для характеристики изменений индивидуального потребления 94
3.1.3. Условие равновесия потребителя 97
3.1.4. Абсолютные и относительные расходы в состоянии равновесия 98
3.2. Предпочтения индивида 100
3.2.1. Относительный коэффициент удовлетворения kij и его интерпретация 101
3.2.2. Определение каждого из относительных коэффициентов удовлетворения К., по эмпирическим данным 103
3.2.3. Невозможность эмпирического определения каждого из коэффициентов удовлетворения к. 105
3.2.4. Об измерениях полезности и коэффициентов удовлетворения по шкале отношений 106
3.3. Индивидуальное потребление в условиях роста цен 108
3.3.1. Изменение количества потребленного блага во времени 109
3.3.2. Условие сохранения потребления не ниже выбранного уровня. Индекс текущего потребления 115
3.3.3. Условие квазистабильного потребления в долгосрочном периоде. Индекс пиковых потреблений 118
3.3.4. Условияроста индивидуального потребления 122
3.3.5. Методика применения индексов индивидуального потребления. 127
3.4. О своевременности и достаточности повышений пенсий и заработной платы работникам бюджетной сферы в россии за период 2001-2004 годы (эмпирические данные) 132
3.5. Итоги и выводы 148
Заключение 152
Список литературы
- Шкалы отношений или пропорциональные шкалы
- Уравнение полезности потребления конкретного блага (УППКБ)
- Эмпирическое распределение персон по доходам и его сравнение с логнормальным распределением
- Вывод уравнения индивидуального спроса методом максимизации полезности
Введение к работе
"...Поскольку экономика действительно
имеет дело с количествами, она по
необходимости всегда была
математической в своей сути. ...Однако, не следует полагать, что, поскольку экономика становится математической по форме, она станет, поэтому предметом точных вычислений. Ее математические принципы могут стать формальными и определенными, тогда как ее индивидуальные данные остаются такими же неточными, какими были всегда".
Уильям Стенли Джевонс
Шкалы отношений или пропорциональные шкалы
Под измерением в физике понимают экспериментальную операцию, при выполнении которой производится сравнение (прямое или косвенное) интересующей величины с другой однородной ей величиной, принятой за единицу, что приводит к появлению чисел, которые отражают те или иные свойства объекта или явления.
Подходы к выбору единиц измерения и систем единиц измерения в физике рассмотрены в работе [88С1]. Общепринятые положения можно сформулировать следующим образом:
1. Единицы всех величин могут выбираться независимо друг от друга.
2. Однако наличие наряду с прямыми и косвенных измерений позволяет единицы разных величин связывать друг с другом.
3. При построении систем взаимно-связанных единиц единицы нескольких величин выбирают независимо от остальных и друг от друга. Такие единицы условно называют основными.
4. Для всех остальных величин устанавливаются так называемые производные единицы. Они связываются либо с основными единицами, либо друг с другом с помощью уравнений. Их называют определяющими уравнениями или уравнениями связи.
5. Уравнения связи представляют собой математическое выражение физических законов и определений физических величин.
6. Зависимость производной единицы от основных единиц определяется размерностью. Размерность представляет собой одночлен, образованный произведением обобщенных обозначений основных единиц, каждая из которых возведена в ту или иную (целую или дробную) степень.
7. Математическое выражение, связывающее между собой различные физические величины должно обладать размерной однородностью.
Размерности левой и правой частей должны быть одинаковыми. При этом в выражении может присутствовать размерный коэффициент пропорциональности, численное значение которого изменится при изменении основных единиц. 8. Построение системы единиц в принципе произвольно. Произвольными являются выбор основных единиц, их число и размер. Произвольным может быть и выбор определяющих уравнений (уравнений связи) для производных единиц.
Основываясь на физическом подходе к выбору единиц измерения и системы единиц уравнение связи между физическими величинами должно удовлетворять требованию размерной однородности.
Это должно относиться и к уравнению полезности, связывающему ощущения удовлетворения индивида от потребления некоторого количества блага с количеством потребленного блага. В этом уравнении размерности левой и правой частей должны быть одинаковыми.
Такое уравнение можно будет рассматривать в качестве уравнения связи (определяющего уравнения) для установления единицы измерения полезности.
Ощущение удовлетворения от потребления блага носит субъективный характер. Способы количественной оценки ощущений, как указывалось выше, разработаны в психофизике. Основоположники экономического учения о полезности не могли воспользоваться этими знаниями, т.к. развитие экономических представлений о поведении потребителя и психологических измерений происходило примерно в одно время, и независимо друг от друга (середина 19-го века). Теория и практика психологических измерений окончательно сформировалась примерно в середине 20 века и связана, главным образом, с именем С. Стивенса [60С1], его теорией шкал (см. пункт Шкальное направление в теории измерений).
Если посмотреть на существующие в настоящее время подходы к измерению полезности с позиции теории шкал, то нетрудно обнаружить следующее. Количественный (кардиналистский) подход предполагает измерение полезности по шкале самого высоко четвертого уровня — по шкале отношений (пропорциональной шкале), которая нашла широкое распространение в практике физических и технических измерений. Придумали даже название единице измерения полезности - ютил, но до сих пор не найден способ ее определения. Порядковый (ординалистский) подход предполагает измерение полезности по шкале, всего лишь, второго уровня — по шкале порядка, не допускающий даже простых арифметических операций. И, тем не менее, были получены важные научные результаты, касающиеся поведения потребителя на рынке товаров и услуг.
В этой связи приведем цитату из [75X1], где на странице 272 сказано: «Но представим себе, что можно было бы сделать, если бы психологические ценности измерялись по шкале отношений. Можно, например, применить критерий прибыли для суждения о психологической прибыли таким же образом, как он применяется для суждения об экономической прибыли. Можно решить массу новых задач на построение сложных систем целей, если бы эта единственная координата получила высший уровень измерения».
Исследование шкалы отношений дает возможность количественно связывать между собой различные величины, что, как известно, успешно реализуется в физике и технике. При этом уравнение связи должно удовлетворять требованию размерной однородности, которое заключается в совпадении размерностей левой и правой частей уравнения.
Уравнение полезности потребления конкретного блага (УППКБ)
Выясним экономический смысл произвольной постоянной X в уравнении полезности (2.4). Это нетрудно сделать, если вспомнить некоторые свойства логарифмической функции: Х- / 1) аргумент логарифмической функции (в нашем случае у ) всегда /Хг положителен; 2) для значений аргумента больше единицы (в нашем случае Xt х,») функция положительна; 3) при значении аргумента равном единице (в нашем случае X. = Хы) она равна нулю; 4) для значений аргумента меньше единицы (в нашем случае X. Хы) логарифмическая функция отрицательна.
Эти основные свойства дают возможность установить, что: 1) Хы 0, т.к. количество потребленного блага X. 0; 2) при количестве потребленного благаХ. Xoi полезность положительна, т.е. р, 0,что представляется вполне естественным, хотя и не раскрывает экономического смысла постоянной X ; Ol 3) при количестве потребленного блага X. = Хы полезность J9Z=0, т.е. индивид не испытывает удовольствия от потребления; 4) при количестве потребленного блага X,- Хы полезность отрицательна. Количественное уменьшение потребления (меньше некоторого количества X .) приводит индивида к качественно иным ощущениям. При Xj Хы вместо удовольствия от потребления (положительная полезность) он получает неудовольствие (отрицательная полезность). Полемика среди экономистов о существовании отрицательной полезности велась еще в конце 19 века, в связи с обсуждениями теории ценности [1894Б1].
Отрицательная полезность отождествлялась с «напрасными» расходами и рассматривалась в качестве независимого от цены фактора. Подробнее об этом говорилось в работе Дж. Винера [25В1].
По моему мнению, существование отрицательной и нулевой полезности вполне естественно.
Действительно, потреблению любого блага всегда предшествуют ожидания индивида. Это ожидания - либо получить от потребления примитивное удовольствие (конфета), либо получить удовлетворение какой-либо потребности (горькие таблетки удовлетворяют потребность в выздоровлении). Если от потребления индивид не предвидит удовлетворения каких-то своих потребностей, то потребление просто не состоится. Если же, ожидая удовлетворения каких-то своих потребностей, после потребления блага ожидания не оправдываются, появление отрицательных эмоций, представляется вполне естественным, т.е. полезность приобретает отрицательное значение.
Например, индивид ожидал получить некоторую сумму денег в качестве вознаграждения за что-либо, а получил меньше. Естественно удовольствия от этого он испытывать не будет, а скорее наоборот, будет испытывать неудовольствие - полезность отрицательна. Другой пример: индивид хочет пить. Вместо ожидаемого количества напитка, достаточного для утоления жажды, он получает его в меньшем количестве. Потребление такого количества напитка удовлетворения (удовольствия) не вызовет — полезность отрицательна. Можно привести большое число подобного рода примеров.
Если рассматривать концепцию существования отрицательной и нулевой полезности и считать, что потребление блага может приносить не только ощущение удовлетворения или удовольствия (положительная полезность), но и вызывать ощущение неудовлетворенности или неудовольствия (отрицательная полезность), то соотношение (2.4) может быть использовано для вычисления полезности при кардиналистском подходе.
В соответствии с уравнением полезности (2.4), при уменьшении количества потребляемого блага ниже X . происходит переход от ощущения удовольствия р. О к ощущению неудовольствия р. 0. Поэтому уровень потребления Xj = Xoj при котором р. = 0, можно рассматривать как уровень нейтрального потребления. При потреблении такого количества блага индивид не испытывает удовлетворения, но он не испытывает и неудовлетворения. Формально X . было введено в рассмотрение как произвольная постоянная, появившаяся при интегрировании дифференциального уравнения полезности. Произвольность численного значения уровня нейтрального потребления X . можно рассматривать как отражение субъективности ощущений индивида. Эти субъективные ощущения могут изменяться под воздействием различных экономических, социальных или психологических факторов. Это означает, что фиксированного численного значения X . не существует и при использовании уравнения полезности (2.4) оно может быть взято любым. В свою очередь это приводит к тому, что полезность р. также принимает произвольные значения, т.е. численно не может быть найдена. Это вполне согласуется с мнением сторонников ординалистского подхода к вопросу о полезности и по существу отражает субъективность ощущений индивида.
Эмпирическое распределение персон по доходам и его сравнение с логнормальным распределением
Реально каждый индивид потребляет большое число разнообразных благ. Количества потребления каждого из этих благ обозначим, соответственно, Xl9X2,...Xt,...XN. Математически полезность их потребления/? следует рассматривать как функцию многих переменных Xi,X2,...X.,...XN, т.е. рассматривать р\Х.)у где / =1, 2, ...N.
В этом случае, как известно, приращение функции р[х.), где / = 1,2... , т.е. её полный дифференциал dp, можно представить как сумму частных приращений - сумму частных дифференциалов dxp,T.Q. dp = j:dxp. (2.24)
Каждый из частных дифференциалов можно рассматривать как приращение общей полезности, вызванное увеличением потребления соответствующего блага на величину dx.. Тогда, воспользовавшись дифференциальным уравнением полезности потребления конкретного блага (2.2) можно записать:
С другой стороны, каждый из частных дифференциалов, как известно, связан с частной производной функции многих переменных и приращением соответствующей переменной соотношением: d D = — -dx.. (2.26) хУ 8х. Из сопоставления (2.25) и (2.26) следует, что: dp дх к і х (2.27)
Число таких дифференциальных уравнений в частных производных для общей полезности р следует написать равным числу потребляемых благ N, что приведет к системе дифференциальных уравнений в частных производных для общей полезности: др_ = К дх х где/=і, 2,3, ...N.
Решение этой системы позволит найти уравнение полезности для случая потребления совокупности благ. Поиски решения облегчаются тем обстоятельством, что дифференциальные уравнения, входящие в эту систему, оказались не связанными друг с другом. По этой причине в каждом из этих уравнений вместо общей полезности р можно взять частную полезность р., обусловленную потреблением только блага X.. В этом случае частную производную можно рассматривать как полную. В результате чего приходим к уравнению (2.2), решение которого уже получено ранее [см. (2.4)], т.е.: Хо, (2.29) Полагая, что общая полезность потребления совокупности благ является N величиной аддитивной, т.е. р = ]Г pt, решение системы (2.28) можно записать в виде: /? = /In —. (2.30) Это уравнение и будет представлять собою обобщенное уравнение полезности для случая потребления совокупности благ.
Убедиться в том, что оно является решением системы дифференциальных уравнений (2.28) можно непосредственной подстановкой (2.30) в (2.28). При этом, вычислив частные производные от полезности по дР всем переменным, т.е. , где / = 1,2,....N, получим систему уравнений (2.28).
Таким образом, уравнение (2.30) будет представлять собою уравнение полезности для случая потребления совокупности благ.
Отметим, что каждое слагаемое в (2.30) можно рассматривать как полезность потребления соответствующего блага и, следовательно, общую полезность рассматривать как сумму частных полезностей потребления конкретных благ.
Верификацию ОУППСБ для случая дуального потребления, которое хорошо изученного в экономической теории, проведем двумя способами.
Первый способ - сравнением уровней потребления каждого из двух благ, полученных разными методами.
Второй способ - сравнением условия равновесия (оптимума) потребителя, полученного на основе ОУППСБ, с условием, известным в экономической теории.
При использовании первого способа уровни потребления каждого из благ в равновесии будем находить разными методами, методом максимизация полезности и методом квазиграфического анализа.
Методом максимизации полезности уровни потребления в равновесии одного блага (X) и другого блага (Уед) будем находить из условия максимума полезности при наличии бюджетных ограничений путем совместного рассмотрения уравнений:
Вывод уравнения индивидуального спроса методом максимизации полезности
Рассмотрим индивидуальное потребление разнообразных благ, число которых обозначим как N. Количество потребления некоторого из них (количество /-го блага) обозначим как х,. Коэффициент удовлетворения и уровень нейтрального потребления для каждого из благ обозначим, соответственно, как fa и х0 Общая полезность \р) от потребления указанных благ будет представлять сумму полезностей \р.) от потребления каждого из них и будет определяться обобщенным уравнением полезности (2.30): Система уравнений (3.1) и (3.2) представляют собой математическую модель полиального потребления.
Найдем уровни потребления каждого из благ в равновесии. Определим функцию индивидуального спроса методом максимизации полезности, т.е. найдем значения переменных, когда общая полезность максимальна.
Математически это означает, что необходимо найти максимум функции (3.1) при выполнении условия (3.2), т.е. найти условный максимум функции многих переменных (3.1).
Сделать это удобно методом неопределенных множителей (методом Лагранжа). Для этого введем в рассмотрение неопределенный множитель
Этому выражению можно придать другой вид, если числитель и знаменатель в (3.9) разделить на fciy то в знаменателе получим сумму относительных коэффициентов удовлетворения каждого из остальных благ, относительно /то блага, уровень потребления которого нас интересует, т.е.: М 1 Х,= — -Й—, (3.10) с. ПК причем, когда j = І соответствующий относительный коэффициент удовлетворения равен единице \kj, = 1). Это означает, что сумма относительных коэффициентов удовлетворения, стоящая в знаменателе, всегда больше единицы.
Таким образом, уравнения (3.9) или (ЗЛО) представляют собою функцию индивидуального спроса, записанную в двух вариантах.
Отметим, что, количество потребленного блага, определяемое этими соотношениями соответствуют именно максимуму полезности.
Убедиться в этом можно, если, в соответствии с правилами математики, проанализировать второй полный дифференциал (d р) общей полезности. В случае максимума функции он должен быть отрицательным, т.е. d р 0. Это будет в том случае, когда квадратичная форма отрицательно определена, т.е. когда: N N О2 Р ЕЕ—— dx, dxt 0. (злі) =І дх.дх.
В свою очередь, квадратичная форма (3.11) является отрицательно определенной, если она принимает только отрицательные значения при всех допустимых значениях переменных, отличных от нуля. Как известно, для этого достаточно, чтобы соответствующие определители были бы попеременно отрицательными и положительными, т.е.:
Уравнение функции индивидуального спроса допускает два варианта интерпретации. Первый вариант интерпретации. Если в выражении (3.9) числитель и знаменатель разделить на к. и переписать его в виде: и переписать его в виде: то числители этих выражений показывают, что свой доход М индивид делит на части (в числителе доход М делится на число, большее единицы). Каждая часть расходуется на приобретение по цене С. (потребление) того или иного конкретного /-го блага, причем деление дохода на части производится в соответствии с предпочтениями индивида, что представлено в (3.9) коэффициентами удовлетворения к., а в (3.10) - относительными коэффициентами удовлетворения
