Методы генерирования экстремальных задач и их применение в экономико-математическом моделировании и АСУ-ВУЗ Капустин Виталий Федорович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Методы и принципы генерирования экономико-математических моделей и экстремальных задач 18

1.1. Генерирующий алгоритм (постановка проблемы). Принципы и виды'-генерирования 18

1.2, Выбор принципа генерирования. Примеры 34

1.3, Обеспечение необходимого разнообразия генери руемых задач. Использование датчиков псевдо случайных чисел 46

Глава 2. Генерирование задач линейного» выпуклого и дискретного программирования 50

2.1. Генерирование канонических задач линейного программирования . 51

2,2. Генерирование задачи линейного программирования с ограниченными сверху переменными 70

2.3. Генерирование транопортных задач в сетевой постановке 76

2.4. Обратное генерирование некоторых задач дискретного, квадратичного и выпуклого программирования 89

Глава 3. Применение генерирующих алгоритмов для автоматизации обучения по курсу магматические методы исследования операций 99

3.1. Общая характеристика организации практических занятий но курсу математические методы исследования операций и их проведение в рам ках функционирующей АСУ-ВУЗ 99

3.2. Общая характервотика отандартного блока зачет (АОС ЗАЧЕТ) АСУ-ВУЗ 110

3.3. Подсистема задачник . 1x2

3.4. Подсистемы контрольная и запрос хі4

3.5. Подсистема обучение І2Х

3.6. Организационное и техническое обеспечение АОС зачет 123

3.7. Программное обеспечение АОС зачет 127

3.8* Эффективность АОС зачет ХЗХ

Глава 4. Применение генерирущих алгоритмов в экономико-математического моделировании больших систем в условиях 136

4.Х. Свертка неопределенностей. Интервальное и стохастическое расширение линейных моделей 136

4.2. Нечеткие постановки. Интерпретации 140

4.3. Прямое и обратное размытие оптимизационных линейных моделей Х48

4.4. Области применения обратного и прямого размытия 153

Заключение

• Выбор принципа генерирования. Примеры
• Генерирование задачи линейного программирования с ограниченными сверху переменными
• Общая характервотика отандартного блока зачет (АОС ЗАЧЕТ) АСУ-ВУЗ
• Нечеткие постановки. Интерпретации

Введение к работе

Настоящая работа посвящена разработке принципов, методов н алгоритмов генерирования условий екстремальних задач (экономико-математических моделей) различных классов и типов, а также вопросам их применения в практике экономико-математи -ческого моделирования и обучения.

Алгоритмы генерирования экстремальных задач или, как они в дальнейшем называются, генерирующие алгоритмы предлагается использовать в имитационных моделях больших экономических систем о учетом экологических факторов, когда при их разработке необходимо по существу учитывать неопределенность, в условиях которой будут приниматься решения. Генерирующие алгоритмы предлагается также использовать при формировании зон неопределенности оптимального развития больших экономических систем. В этом случае на их основе предлагается модификация известного подхода, разработанного сотрудниками Сибирского энергетического института СО АН СССР /4,38, 4.53/. Наконец, обсуждаются вопросы использования специальных генерирующих алгоритмов сбора информации, необходимой для лиц, принимающих решения (ЛИР), а также информации, которую можно использовать при ыоделирова НИИ.

Вторая область применения генерирующих алгоритмов - учебная. Будет обсуждаться проблема разработки в рамках автоматизированной системы управления вузом (АСУ-ВУЗJ автоматизированной обучающей системы (АОС) для проведения практических занятий по курсу математические методы исследования операций, где в полной мере используются все разработанные в работе генерирующие алгоритмы. Актуальность и новизна темы диссертационной работы

Настоящая работа посвящена разработке принципов, методов н алгоритмов генерирования условий екстремальних задач (экономико-математических моделей) различных классов и типов, а также вопросам их применения в практике экономико-математи -ческого моделирования и обучения.

Алгоритмы генерирования экстремальных задач или, как они в дальнейшем называются, генерирующие алгоритмы предлагается использовать в имитационных моделях больших экономических систем о учетом экологических факторов, когда при их разработке необходимо по существу учитывать неопределенность, в условиях которой будут приниматься решения. Генерирующие алгоритмы предлагается также использовать при формировании зон неопределенности оптимального развития больших экономических систем. В этом случае на их основе предлагается модификация известного подхода, разработанного сотрудниками Сибирского энергетического института СО АН СССР /4,38, 4.53/. Наконец, обсуждаются вопросы использования специальных генерирующих алгоритмов сбора информации, необходимой для лиц, принимающих решения (ЛИР), а также информации, которую можно использовать при ыоделирова НИИ.

Вторая область применения генерирующих алгоритмов - учебная. Будет обсуждаться проблема разработки в рамках автоматизированной системы управления вузом (АСУ-ВУЗJ автоматизированной обучающей системы (АОС) для проведения практических занятий по курсу математические методы исследования операций, где в полной мере используются все разработанные в работе генерирующие алгоритмы. Актуальность и новизна темы диссертационной работы в полученных результатов обосновывается следующим.

Сфера применения математических методов и моделей для исследования экономических процессов, планирования и управления народным хозяйством продолжает расширяться» Намечается тенденция к качественному изменению экономико-математических исследований Она связана с существенным усовершенствованием экономико-математических моделей и использованием более адекватного математического аппарата для их анализа. Намечается переход от статических моделей к динамическим, от жесткого детерминистического подхода к более мягкому стохастическому или нечеткому, учитывающему вероятностный нечеткий» неопределенный характер экономических процессов и явлений» Все более широко в экономико-математических исследованиях используют методы имитационного и игрового моделирования» аппарат теории вероятностей, математической статистики, стохастичеокого программирования и нечетких множеств, разрабатываются специальные алгоритмы решения задач большой размерности, реализация которых становится возможной на ЭШ. Наконец» осуществляется постепенный переход от локальных исследований к системным, связанным с созданием комплекса взаимоувязанных моделей. Речь идет уже чаще всего не об обычной - традиционной модели, а об адаптивной модели, в которой по существу учитывается возможность изменения, неточность, недостоверность исходной информации.

Однако,следует согласиться с мнением А.А.Макарова, А.С.Макаровой и Б.Г. Санеева, которые в /4.53, с. 238/ пишут, что "в настоящее время в исследовании и оптимизации экономических систем (народное хозяйство в целом, его территориальных и отраслевых подоистем) преобладает детерминистический подход".

Но при этом совершенно не учитывается двойственность природы /5 21/ функционирующих экономических систем и процессов» связанная с детерминированным действием экономических законов их развития, о одной стороны, и, с другой стороны, осуществлением этих законов только как тенденции, которая может нарушаться в силу ряда случайных факторов или трудно предсказуемых обстоятельств, что находится в противоречии с концепцией детерминистического подхода. Но тогда меняется и подход к анализу экономико-математических проблем: речь уже идет не о нахождении одного оптимального плана развития экономической сиотемы, необходимо искать серию оптимальных планов, каждый из которых отвечает некоторому конкретному варианту реализации параметров системы Следовательно, существует зона неопределенности оптимального функционирования системы, решения принимаются в условиях неопределенности, что предопределяет выбор соответствующего аппарата исследования.

Вопросам учета неопределенности и выбора решений в условиях неопределенности поовящена обширная литература. Бе далеко не полный перечень приведен в библиографии настоящей работы (см.«например, /4.8, 4.17, 4,20, 4.22, 4.24, 4.36, 4.38, 4.41, 4.43 и т.д.; 5.2-5 4, 5,6-5.8, 5,11-5.14 и т.д./). Практически каздый работающий в области применения математики в экономике в той или иной степени касается вопросов учета неопределенности при экономико-математическом моделировании. При этом, однако, следует констатировать, что обсуждаемая проблематика окончательно себя далеко не исчерпала и соответствующие вопросы остаются актуальными в современных научных исследованиях. Здесь необходима как систематизация полученных результатов, так и разработка новых методов и подходов к анализу и учету неопределенности в экономико-математических исследованиях, что и является одной из задач, поставленных в работе. Однако, поскольку подходы, которые предлагаются в работе, несколько отличаются от традиционных, необходимы некоторые объяснения, иллюстрирующие специфику предлагаемого. Кратко, центральная идея диссертации сводится к следующему. Традиционная практика экономико-математического моделирования состоит в построении математической модели функционирующей экономической системы (процесса , объекта и т.п.), сбора необходимой информации для определения параметров модели и последующего математического анализа модели или соответствующей экстремальной задачи (задач). В подавляющем большинстве случаев анализ может производиться только с использованием оамых совершенных ЭВМ. При этом доиок оптимальных планов (или другой информации) осуществляется чаще всего точными методами. Он трудоемкий, дорогостоящий и, что самое главное, совершенно не соответствует точности, достоверности той информации, которая обычно используется при расчете параметров модели. В медицине говорят, что наркоз должен соответствовать сложности осуществляемого хирургичеокого вмешательства. Проводя такую аналогию, вероятно, разумно придерживаться тезиса: оредства и затраты, связанные с поиском решения, должны соответствовать достоверности и точности параметров исследуемой модели. Боли же анализ ведется в условиях неопределенности или возможной флюктуации параметров модели и рассматривается модель с большим количеством ограничений и переменных (именно такими являются модели, которые наиболее часто приходится исследовать экономистам-математикам)у то обычный подход к ее анализу преде тавляется неоправданный по затратам времени и средств. Более того, что иногда также не учитывается, найденный оптимальный план может не соответствовать сложившейся структуре и организации использования технологии, механизмов и т.п. Возникает проблема перехода от существующего режима работы к оптимальному, что связано с затратами, которые могут даже превосходить экономию от дальнейшего использования оптимального режима. Поэтому в описанных условиях предлагается диаметрально противоположный подход и обосновывается разумность его применения Ероцесс исследования начинается о плава, который по некоторым внемодельным соображениям является приемлемым для реализации (например, скорректированный план предыдущего года периода и т.п.), и выбора типа модели, которая может аппроксимировать моделируемый объект. Затем ставится задача нахождения таких ее параметров, при которых выбранный план будет оптимальным, т.е. в достаточной мере обеспечен реоурсами и гарантирована его рентабельность, наилучшая эффективность и т.п. в зависимости от выбранного критерия. Определение таких параметров (для каждого фиксированного плана) в выбранном классе моделей (или экстремальных задач) и является решением задачи, которую естественно назвать обратной. Очевидно, что решение обратных задач неоднозначно. Каждому плану может отвечать множество моделей, для которых он является оптимальным. Поэтому необходимы более точные формулировки обратных проблем и задач и разработка специальных вычислительных процедур их решения, которые и названы в работе генерирующими алгоритмами.

Потребность в исследованиях, которые являются предметом обсуждения в работе, диктуется задачами реализации "Основ ннх направлений экономического и социального развития СССР на І98І-І985 годы и на период до 1990 года", принятых ХШ съездом КПСС. Действительно, в названном документе, материалах ХХУІ съезда КПСС, выступлениях на съезде руководителей партии и правительства обращается первоочередное внимание на совершенствование системы управления народным хозяйством, разработку эффективных методов управления, ставится задача "совершенствовать государственное управление и усилить контроль в области природопользования и охраны окружающей среды" /2.3, с. 184/. Там же отмечается необходимость "осуществить глубокие преобразования в важнейшей сфере жизнедеятельности людей - в труде , улучшить и облегчить его условия, обеспечить широкие возможности для высокопроизводительной и творческой работы" /2.3, с,136/. Эта проблема должна быть решена во всех отраслях народного хозяйства и в том числе - непроизводственных. Именно вопросам улучшения уоловий труда преподавателей вузов и повышению эффективности "работы всех звеньев и форм образования и подготовки кадров" /2,3, с. 181/ посвящена чаоть диссертационной работы. Хорошо известно, что в настоящее время процесс внедрения автоматизированных систем управления охватил практически все сферы народного хозяйства. Затронул он и непроизводственную сферу и, в частности, народное образование и такие его подразделения, как высшие учебные заведения. КПСС уделяет большое внимание более полному удовлетворению повдебностей страны в специалистах, повышению эффективности учебного процесса. Успешное решение этих проблем при подготовке экономистов-математиков и экономистов других специальностей возможно по различным направлениям. Непосредственное использование вычислительной техники и ЭВМ в процессе обучения является одним ив них. Именно на это особое внимание обращено в Постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 12 июля 1979 года "О дальнейшем развитии высшей школы и повышении качества подготовки специалистов". Все вышесказанное и объясняет актуальность выбранной темы.

Основной особенностью работы является наличие двух объектов исследования: процессы принятия эколого-экономических решений на уровне крупного промышленного города и проблема создания ДОС (в рамках АСУ-ВУЗ) по курсу математические методы исследования операций - одному из основных курсов учебного плана отделений экономической кибернетики экономических факультетов университетов и экономических вузов СССР, а также учебных планов многих специальностей неэкономических вузов. Качественная разнород -ность названных объектов очевидна, и возможность их рассмотрения в раыках одной работы объясняется применением единого аппарата (генерирующих алгоритмов) при создании АОС по названному курсу и разработке специальных имитационных моделей города и его подразделений.

Походя из анализа современного состояния научных исследований по названным проблемам, при написании диссертации преследовались следующие цели.

1. С единой позиции поставить и рассмотреть проблему генерирования экстремальных задач и вконшако-математичееких моделей различных классов и типов. Разработать принципы, методы и алгоритмы генерирования некоторых известных экстремальных задач и моделей.

2. Показать возможность и необходимость применения генерирующих алгоритмов в экономико-математических исследованиях.

3. Разработать принципы и методы построения аффективной АОС по курсу математические методы исследования операций и показать ее место в функционирующей АСУ-ВУЗ. Рассмотреть некоторые вопросы эффективности и экономической эффективности таких АОС.

4. Показать, что одна из основных проблем при моделировании больших экономических систем о учетом экологических факторов -неопределенность, при которой необходимо принимать решения и моделировать. Неопределенность является основным, существенным свойством таких ситуаций и должна по существу учитываться в их экономико-математических моделях.

5. Провести критический анализ существующих методов учета неопределенности в математической экономике и обосновать перспективность интервальных и нечетких постановок экономико-математических моделей и соответствующих экстремальных задач.

6. Показать варианты применения генерирующих алгоритмов в имитационном моделировании больших экономических систем с учетом экологических факторов.

7. Показать возможность применения генерирующих алгоритмов в рамках известного подхода, связанного с формированием зон неопределенности оптимального развития экономических систем, с целью облегчения и сокращения времени вычислений.

Научная новизна и практическая значимость полученных результатов сводится к следующему.

І. В работе впервые с единых позиций рассмотрена проблема генерирования экстремальных задач и экономико-математических моделей, введены соответствующие понятия и терминология, разработаны принципы, методы и алгоритмы генерирования основных экстремальных задач и моделей (линейного, дискретного, квадратичного и выпуклого программирования). Генерирующие алгоритма доведены до возможности машинной реализации, которая в большинстве случаев и осуществлена.

2. Разработаны основные принципы, структура и математическое обеспечение АОС по курсу математические методы исследования операций.

3. Введены различные варианты нечетких постановок экономико-математических моделей и соответствующих экстремальных за -дач, осуществлен их математический и качественный анализ, приведены экономические интерпретации нечетких постановок. Впервые введены в рассмотрение понятия прямого и обратного размытия экстремальных задач и экономико-математических моделей, показаны направления их использования при принятии экономических и эколого-экономических решений на основе анализа экономико-математических моделей.

4. Введены в рассмотрение обратные задачи без существенных ограничений и обратные задачи с существенными ограничениями, приведена их экономическая интерпретация. Намечены пути решения обратных задач с существенными ограничениями на основе использования специальных обратных генерирующих алгоритмов. Показана возможность применения подхода, который в работе назван обратным, цри анализе конкретных эколого-экономичеоких проблем; разработаны соответствующие алгоритмы, доведенные до возможности их машинной реализации.

5. Показана возможность использования обратных генерирующих алгоритмов в рамках известного подхода, связанного с определением зон неопределенности оптимального развития экономических систем /см. 4.38, 4.53/. Соответствующая модификация позво ляет существенно сокращать время вычислений, организовывать вычисления в случаях, когда прямые расчеты осуществлять невозможно (например, из-за большой размернооти анализируемых моделей), и получать дополнительную экономическую информацию.

6. С позиций системного подхода дав качественный анализ ситуации, в которой необходимо принимать эколого-экономические решения на уровне крупного промышленного города. Показано, что решения здесь принимаются в условиях наличия практически всех видов неопределенности (приведена нетрадиционная классификация типов неопределенностей), т.е. в ситуации, которая названа в работе сверткой неопределенностей. Приведен критический анализ существующих методов учета неопределенности в экономико-математическом и математическом моделировании, показано, что в большинстве случаев речь идет об учете только одного типа неопределенности. Сделан вывод: при наличии свертки неопределенностей традиционные методы учета неопределенности неэффективны и их применение методологически не оправдано, необходимо использо -вать другие подходы, например, связанные с применением аппарата нечетких множеств и обратных генерирующих алгоритмов.

7. Практическую значимость представляют все разработанные методы и алгоритмы генерирования экстремальных задач и экономико-математических моделей, а также составленные на их основе генерирующие программы. Они используются в учебном процессе на отделении экономической кибернетики Ленгосуниверситета. Генерирующие алгоритмы применялись цри формировании экстремальных задач и упражнений учебного пособия автора /4.30/. Некоторые из обратных генерирующих алгоритмов и соответствующие программы допускают применение при осуществлении экономических имитационных экспериментов и, в частности, в рамках деловых игр различ ных типов и назначений. Обратное генерирование допуокает и другие применения в практике экономико-математических иоследова -ний.

Поставленные цели определили следующую структуру работы. В первой главе введено понятие генерирующего алгоритма и сформулированы требования к нему Определены основные принципы генерирования: прямое, обратное и смешанное. Обсуждаются вопросы, связанные о выбором принципа генерирования в конкретных ситуациях. Осуществлена классификация известных экстремальных задач (с точки зрения возможности их генерирования), и для каждого класса задач обсуждается проблема реализации каждого из трех принципов генерирования при разработке генерирующего алгоритма.

Вторая глава полностью посвящена описанию генерирующих алгоритмов (в работе они названы свободными) для различных классов экстремальных задач: канонической задачи линейного программирования и ее частных случаев, задачи линейного программирования с ограниченными сверху переменными, общей задачи линейного программирования, транспортных задач в сетевой постановке, некоторых задач дискретного, квадратичного и выпуклого программирования. Описание алгоритмов осуществлено таким образом, чтобы была возможной их машинная реализация. Наиболее подробно во второй главе рассмотрены алгоритмы, основанные на обратном принципе генерирования, так как они представляют наибольший интерес в приложениях.

приложения генерирующих алгоритмов представляются весьма разнообразными, и они ни в какой степени не ограничиваются только теми, о которых идет речь в главах 3, 4. В первую очередь (глава 3), обсуждаются учебные приложения генерирующих алгоритмов, их применение для подготовки экономистов-математиков, вопросы создания автоматизированной системы управления вузом и АОС по курсу математические методы исследования операций - в качестве ее стандартного блока.

В четвертой, заключительной главе работы, рассматриваются вопросы применения генерирующих алгоритмов при моделировании больших эколого-экономических систем в условиях неопределенности. щесь,в той или иной мере, решены проблемы 4-7, которые в качестве целевых оформулированы выше. При этом особое внимание уделяется следующим трем вариантам применения генерирующих алгоритмов в экономико-математических исследованиях:

- решение обратных проблем с последующим содержательным экономическим анализом полученных результатов;

- при обратном размытии для получения более адекватной економико-математичеокой модели конкретной экономической ситуации; использование этой модели, как адаптивной, при формировании зон неопределенности вместе с соответствующим обратным генерирующим алгоритмом;

- использование генерирующих алгоритмов как средств сбора информации в ситуации, когда другие методы ее получения отсутствуют .

Практически все алгоритмы главы 2 запрограммированы» программы отлажены. Результаты экспериментов с генерирующими программами в учебных вариантах приведены в приложениях 1-7. Они позволяют (уже в существующем виде) обеспечить курс математические методы исследования операций учебным материалом по большинству семинарских занятий. При наличии терминального класса они могут служить основой при построении блока АСУ-ВУЗ, описание которого приведено в главе 3. Программы написаны и отлаже ны под руководством автора студентами-выпускниками отделения экономической кибернетики экономического факультета ЛГУ.

В приложениях 8-Ю включены разделы, связанные с проблемами экономико-математического моделирования в условиях неопределенности. Они носят реферативный характер и включены в работу как справочный материал. В приложении II приведено описание линейной детерминированной эколого-экономическоЁ модели города, что сделано для конкретизации обсуждения в главе 4. в полученных результатов обосновывается следующим.

Сфера применения математических методов и моделей для исследования экономических процессов, планирования и управления народным хозяйством продолжает расширяться» Намечается тенденция к качественному изменению экономико-математических исследований Она связана с существенным усовершенствованием экономико-математических моделей и использованием более адекватного математического аппарата для их анализа. Намечается переход от статических моделей к динамическим, от жесткого детерминистического подхода к более мягкому стохастическому или нечеткому, учитывающему вероятностный нечеткий» неопределенный характер экономических процессов и явлений» Все более широко в экономико-математических исследованиях используют методы имитационного и игрового моделирования» аппарат теории вероятностей, математической статистики, стохастичеокого программирования и нечетких множеств, разрабатываются специальные алгоритмы решения задач большой размерности, реализация которых становится возможной на ЭШ. Наконец» осуществляется постепенный переход от локальных исследований к системным, связанным с созданием комплекса взаимоувязанных моделей. Речь идет уже чаще всего не об обычной - традиционной модели, а об адаптивной модели, в которой по существу учитывается возможность изменения, неточность, недостоверность исходной информации.

Однако,следует согласиться с мнением А.А.Макарова, А.С.Макаровой и Б.Г. Санеева, которые в /4.53, с. 238/ пишут, что "в настоящее время в исследовании и оптимизации экономических систем (народное хозяйство в целом, его территориальных и отраслевых подоистем) преобладает детерминистический подход".

Но при этом совершенно не учитывается двойственность природы /5 21/ функционирующих экономических систем и процессов» связанная с детерминированным действием экономических законов их развития, о одной стороны, и, с другой стороны, осуществлением этих законов только как тенденции, которая может нарушаться в силу ряда случайных факторов или трудно предсказуемых обстоятельств, что находится в противоречии с концепцией детерминистического подхода. Но тогда меняется и подход к анализу экономико-математических проблем: речь уже идет не о нахождении одного оптимального плана развития экономической сиотемы, необходимо искать серию оптимальных планов, каждый из которых отвечает некоторому конкретному варианту реализации параметров системы Следовательно, существует зона неопределенности оптимального функционирования системы, решения принимаются в условиях неопределенности, что предопределяет выбор соответствующего аппарата исследования.

Вопросам учета неопределенности и выбора решений в условиях неопределенности поовящена обширная литература. Бе далеко не полный перечень приведен в библиографии настоящей работы (см.«например, /4.8, 4.17, 4,20, 4.22, 4.24, 4.36, 4.38, 4.41, 4.43 и т.д.; 5.2-5 4, 5,6-5.8, 5,11-5.14 и т.д./). Практически каздый работающий в области применения математики в экономике в той или иной степени касается вопросов учета неопределенности при экономико-математическом моделировании. При этом, однако, следует констатировать, что обсуждаемая проблематика окончательно себя далеко не исчерпала и соответствующие вопросы остаются актуальными в современных научных исследованиях. Здесь необходима как систематизация полученных результатов, так и

разработка новых методов и подходов к анализу и учету неопределенности в экономико-математических исследованиях, что и является одной из задач, поставленных в работе. Однако, поскольку подходы, которые предлагаются в работе, несколько отличаются от традиционных, необходимы некоторые объяснения, иллюстрирующие специфику предлагаемого. Кратко, центральная идея диссертации сводится к следующему. Традиционная практика экономико-математического моделирования состоит в построении математической модели функционирующей экономической системы (процесса , объекта и т.п.), сбора необходимой информации для определения параметров модели и последующего математического анализа модели или соответствующей экстремальной задачи (задач). В подавляющем большинстве случаев анализ может производиться только с использованием оамых совершенных ЭВМ. При этом доиок оптимальных планов (или другой информации) осуществляется чаще всего точными методами. Он трудоемкий, дорогостоящий и, что самое главное, совершенно не соответствует точности, достоверности той информации, которая обычно используется при расчете параметров модели. В медицине говорят, что наркоз должен соответствовать сложности осуществляемого хирургичеокого вмешательства. Проводя такую аналогию, вероятно, разумно придерживаться тезиса: оредства и затраты, связанные с поиском решения, должны соответствовать достоверности и точности параметров исследуемой модели. Боли же анализ ведется в условиях неопределенности или возможной флюктуации параметров модели и рассматривается модель с большим количеством ограничений и переменных (именно такими являются модели, которые наиболее часто приходится исследовать экономистам-математикам)у то обычный подход к ее анализу преде

тавляется неоправданный по затратам времени и средств. Более того, что иногда также не учитывается, найденный оптимальный план может не соответствовать сложившейся структуре и организации использования технологии, механизмов и т.п. Возникает проблема перехода от существующего режима работы к оптимальному, что связано с затратами, которые могут даже превосходить экономию от дальнейшего использования оптимального режима. Поэтому в описанных условиях предлагается диаметрально противоположный подход и обосновывается разумность его применения Ероцесс исследования начинается о плава, который по некоторым внемодельным соображениям является приемлемым для реализации (например, скорректированный план предыдущего года периода и т.п.), и выбора типа модели, которая может аппроксимировать моделируемый объект. Затем ставится задача нахождения таких ее параметров, при которых выбранный план будет оптимальным, т.е. в достаточной мере обеспечен реоурсами и гарантирована его рентабельность, наилучшая эффективность и т.п. в зависимости от выбранного критерия. Определение таких параметров (для каждого фиксированного плана) в выбранном классе моделей (или экстремальных задач) и является решением задачи, которую естественно назвать обратной. Очевидно, что решение обратных задач неоднозначно. Каждому плану может отвечать множество моделей, для которых он является оптимальным. Поэтому необходимы более точные формулировки обратных проблем и задач и разработка специальных вычислительных процедур их решения, которые и названы в работе генерирующими алгоритмами.

Потребность в исследованиях, которые являются предметом обсуждения в работе, диктуется задачами реализации "Основ

ннх направлений экономического и социального развития СССР на І98І-І985 годы и на период до 1990 года", принятых ХШ съездом КПСС. Действительно, в названном документе, материалах ХХУІ съезда КПСС, выступлениях на съезде руководителей партии и правительства обращается первоочередное внимание на совершенствование системы управления народным хозяйством, разработку эффективных методов управления, ставится задача "совершенствовать государственное управление и усилить контроль в области природопользования и охраны окружающей среды" /2.3, с. 184/. Там же отмечается необходимость "осуществить глубокие преобразования в важнейшей сфере жизнедеятельности людей - в труде , улучшить и облегчить его условия, обеспечить широкие возможности для высокопроизводительной и творческой работы" /2.3, с,136/. Эта проблема должна быть решена во всех отраслях народного хозяйства и в том числе - непроизводственных. Именно вопросам улучшения уоловий труда преподавателей вузов и повышению эффективности "работы всех звеньев и форм образования и подготовки кадров" /2,3, с. 181/ посвящена чаоть диссертационной работы. Хорошо известно, что в настоящее время процесс внедрения автоматизированных систем управления охватил практически все сферы народного хозяйства. Затронул он и непроизводственную сферу и, в частности, народное образование и такие его подразделения, как высшие учебные заведения. КПСС уделяет большое внимание более полному удовлетворению повдебностей страны в специалистах, повышению эффективности учебного процесса. Успешное решение этих проблем при подготовке экономистов-математиков и экономистов других специальностей возможно по различным направлениям. Непосредственное использование вычислительной

техники и ЭВМ в процессе обучения является одним ив них. Именно на это особое внимание обращено в Постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 12 июля 1979 года "О дальнейшем развитии высшей школы и повышении качества подготовки специалистов". Все вышесказанное и объясняет актуальность выбранной темы.

Основной особенностью работы является наличие двух объектов исследования: процессы принятия эколого-экономических решений на уровне крупного промышленного города и проблема создания ДОС (в рамках АСУ-ВУЗ) по курсу математические методы исследования операций - одному из основных курсов учебного плана отделений экономической кибернетики экономических факультетов университетов и экономических вузов СССР, а также учебных планов многих специальностей неэкономических вузов. Качественная разнород -ность названных объектов очевидна, и возможность их рассмотрения в раыках одной работы объясняется применением единого аппарата (генерирующих алгоритмов) при создании АОС по названному курсу и разработке специальных имитационных моделей города и его подразделений.

Походя из анализа современного состояния научных исследований по названным проблемам, при написании диссертации преследовались следующие цели.

1. С единой позиции поставить и рассмотреть проблему генерирования экстремальных задач и вконшако-математичееких моделей различных классов и типов. Разработать принципы, методы и алгоритмы генерирования некоторых известных экстремальных задач и моделей.

2. Показать возможность и необходимость применения генерирующих алгоритмов в экономико-математических исследованиях.

3. Разработать принципы и методы построения аффективной АОС по курсу математические методы исследования операций и показать ее место в функционирующей АСУ-ВУЗ. Рассмотреть некоторые вопросы эффективности и экономической эффективности таких АОС.

4. Показать, что одна из основных проблем при моделировании больших экономических систем о учетом экологических факторов -неопределенность, при которой необходимо принимать решения и моделировать. Неопределенность является основным, существенным свойством таких ситуаций и должна по существу учитываться в их экономико-математических моделях.

5. Провести критический анализ существующих методов учета неопределенности в математической экономике и обосновать перспективность интервальных и нечетких постановок экономико-математических моделей и соответствующих экстремальных задач.

6. Показать варианты применения генерирующих алгоритмов в имитационном моделировании больших экономических систем с учетом экологических факторов.

7. Показать возможность применения генерирующих алгоритмов в рамках известного подхода, связанного с формированием зон неопределенности оптимального развития экономических систем, с целью облегчения и сокращения времени вычислений.

Научная новизна и практическая значимость полученных результатов сводится к следующему.

І. В работе впервые с единых позиций рассмотрена проблема генерирования экстремальных задач и экономико-математических моделей, введены соответствующие понятия и терминология, разработаны принципы, методы и алгоритмы генерирования основных

экстремальных задач и моделей (линейного, дискретного, квадратичного и выпуклого программирования). Генерирующие алгоритма доведены до возможности машинной реализации, которая в большинстве случаев и осуществлена.

2. Разработаны основные принципы, структура и математическое обеспечение АОС по курсу математические методы исследования операций.

3. Введены различные варианты нечетких постановок экономико-математических моделей и соответствующих экстремальных за -дач, осуществлен их математический и качественный анализ, приведены экономические интерпретации нечетких постановок. Впервые введены в рассмотрение понятия прямого и обратного размытия экстремальных задач и экономико-математических моделей, показаны направления их использования при принятии экономических и эколого-экономических решений на основе анализа экономико-математических моделей.

4. Введены в рассмотрение обратные задачи без существенных ограничений и обратные задачи с существенными ограничениями, приведена их экономическая интерпретация. Намечены пути решения обратных задач с существенными ограничениями на основе использования специальных обратных генерирующих алгоритмов. Показана возможность применения подхода, который в работе назван обратным, цри анализе конкретных эколого-экономичеоких проблем; разработаны соответствующие алгоритмы, доведенные до возможности их машинной реализации.

5. Показана возможность использования обратных генерирующих алгоритмов в рамках известного подхода, связанного с определением зон неопределенности оптимального развития экономических систем /см. 4.38, 4.53/. Соответствующая модификация позво

ляет существенно сокращать время вычислений, организовывать вычисления в случаях, когда прямые расчеты осуществлять невозможно (например, из-за большой размернооти анализируемых моделей), и получать дополнительную экономическую информацию.

6. С позиций системного подхода дав качественный анализ ситуации, в которой необходимо принимать эколого-экономические решения на уровне крупного промышленного города. Показано, что решения здесь принимаются в условиях наличия практически всех видов неопределенности (приведена нетрадиционная классификация типов неопределенностей), т.е. в ситуации, которая названа в работе сверткой неопределенностей. Приведен критический анализ существующих методов учета неопределенности в экономико-математическом и математическом моделировании, показано, что в большинстве случаев речь идет об учете только одного типа неопределенности. Сделан вывод: при наличии свертки неопределенностей традиционные методы учета неопределенности неэффективны и их применение методологически не оправдано, необходимо использо -вать другие подходы, например, связанные с применением аппарата нечетких множеств и обратных генерирующих алгоритмов.

7. Практическую значимость представляют все разработанные методы и алгоритмы генерирования экстремальных задач и экономико-математических моделей, а также составленные на их основе генерирующие программы. Они используются в учебном процессе на отделении экономической кибернетики Ленгосуниверситета. Генерирующие алгоритмы применялись цри формировании экстремальных задач и упражнений учебного пособия автора /4.30/. Некоторые из обратных генерирующих алгоритмов и соответствующие программы допускают применение при осуществлении экономических имитационных экспериментов и, в частности, в рамках деловых игр различ

ных типов и назначений. Обратное генерирование допуокает и другие применения в практике экономико-математических иоследова -ний.

Поставленные цели определили следующую структуру работы. В первой главе введено понятие генерирующего алгоритма и сформулированы требования к нему Определены основные принципы генерирования: прямое, обратное и смешанное. Обсуждаются вопросы, связанные о выбором принципа генерирования в конкретных ситуациях. Осуществлена классификация известных экстремальных задач (с точки зрения возможности их генерирования), и для каждого класса задач обсуждается проблема реализации каждого из трех принципов генерирования при разработке генерирующего алгоритма.

Вторая глава полностью посвящена описанию генерирующих алгоритмов (в работе они названы свободными) для различных классов экстремальных задач: канонической задачи линейного программирования и ее частных случаев, задачи линейного программирования с ограниченными сверху переменными, общей задачи линейного программирования, транспортных задач в сетевой постановке, некоторых задач дискретного, квадратичного и выпуклого программирования. Описание алгоритмов осуществлено таким образом, чтобы была возможной их машинная реализация. Наиболее подробно во второй главе рассмотрены алгоритмы, основанные на обратном принципе генерирования, так как они представляют наибольший интерес в приложениях.

приложения генерирующих алгоритмов представляются весьма разнообразными, и они ни в какой степени не ограничиваются только теми, о которых идет речь в главах 3, 4. В первую очередь (глава 3), обсуждаются учебные приложения генерирующих

алгоритмов, их применение для подготовки экономистов-математиков, вопросы создания автоматизированной системы управления вузом и АОС по курсу математические методы исследования операций - в качестве ее стандартного блока.

В четвертой, заключительной главе работы, рассматриваются вопросы применения генерирующих алгоритмов при моделировании больших эколого-экономических систем в условиях неопределенности. щесь,в той или иной мере, решены проблемы 4-7, которые в качестве целевых оформулированы выше. При этом особое внимание уделяется следующим трем вариантам применения генерирующих алгоритмов в экономико-математических исследованиях:

• решение обратных проблем с последующим содержательным экономическим анализом полученных результатов;

• при обратном размытии для получения более адекватной економико-математичеокой модели конкретной экономической ситуации; использование этой модели, как адаптивной, при формировании зон неопределенности вместе с соответствующим обратным генерирующим алгоритмом;

• использование генерирующих алгоритмов как средств сбора информации в ситуации, когда другие методы ее получения отсутствуют .

Практически все алгоритмы главы 2 запрограммированы» программы отлажены. Результаты экспериментов с генерирующими программами в учебных вариантах приведены в приложениях 1-7. Они позволяют (уже в существующем виде) обеспечить курс математические методы исследования операций учебным материалом по большинству семинарских занятий. При наличии терминального класса они могут служить основой при построении блока АСУ-ВУЗ, описание которого приведено в главе 3. Программы написаны и отлаже

ны под руководством автора студентами-выпускниками отделения экономической кибернетики экономического факультета ЛГУ.

В приложениях 8-Ю включены разделы, связанные с проблемами экономико-математического моделирования в условиях неопределенности. Они носят реферативный характер и включены в работу как справочный материал. В приложении II приведено описание линейной детерминированной эколого-экономическоЁ модели города, что сделано для конкретизации обсуждения в главе 4.

Выбор принципа генерирования. Примеры

Выбор принципа генерирования зависит от свойств формируемой задачи и конечной цели генерирования Сили имитации). Именно этот круг вопросов и обсуждается в настоящем параграфе.

Пусть с помощью генерирующего алгоритма сформирована последовательность (.) , С а г)і - » С3\ "5 ) экстремальных задач определенного типа. В дальнейшем предполагается, что при каждом к є І :о . задача С вИч ) полностью определяется выбором констант р . из некоторого заранее фиксированного множества констант Р , То есть речь будет идти только о формировании таких задач, условия которых (т.е. описание множества и вид функции 5Л ) однозначно определяется набором р .

Рассмотрим, например, опять каноническую задачу линейного программирования ОЛ,-5):б(зс са- тах, )= 4,-3 0} ( А - тхи. - матрица, а С и I соответственно вектор-строка из в и вектор-столбец из Я ) и некоторый свободный алгоритм, генерирующий последовательность канонических задач линейного программирования соответствующей размерности. Рассмотрим теперь множество экстремальных задач -{(Фі5)} , каздая аз которых однозначно определяется некоторым набором констант f из некоторого множества \ о и каждому р из №.4 отвечает экстремальная задача C --i)P Если из множества необходимо сгенерировать экстремальных задач (мы имеем ввиду свободное генерирование), то возникает проблема выбора соответствующего принципа генерирования с последующей разработкой генерирующего алгоритма. Обоснованием подобного выбора могут служить различные причины Прежде всего, необходимо основываться на целях генерирования и некоторых свойствах задач множества X .

Чтобы обсуждение было более предметным, приведем пример. Пусть опять множество ъ -((3 3)} есть множество канонических задач линейного программирования с Mx v -матрицей ограничений А , Тогда, как уже отмечалось, каждый вектор ( (яы)" определяет некоторую каноническую задачу № )р і .

Ясно, что для канонической задачи линейного программирования вполне может быть выбран принцип прямого генерирования: хорошо известны итеративные метода решения такой задачи, машинные программы которых еоть в математическом обеспечении практически любой современной ЭВМ. Понятно также, что препятствием такому выбору могут послужить только перечисленные выше недостатки прямого генерирования.

При генерировании канонической задачи линейного программирования может быть выбран и обратный принцип генерирования. Действительно, для этой задачи известны следующие условия оптимальности допустимого плана.

Дня оптимальности Ж с5 необходимо и достаточно, чтобы существовал такой вектор Л eft " , что аа =C t еоли X; 0 , где а - v -й отолбец матрицы Л

На основе этого критерия можно предложить следующий свободный алгоритм генерирования задачи (3), 6) . 1. Выбирается произвольное Х Я (в данном случае даже можно предполагать совпадение интервала С 5,ЯЛ с R ). 2. Случайным образом выбирается н іг -матрица А или, - Под случайным выбором мы понимаем здесь случайный выбор каждого элемента матрицы Л или каждой компоненты соответствующего (подробнее о соответствующих проблемах см. в следующем параграфе). 3. Вычисляется вектор п"Х и полагается I равным к% . 4. Случайным образом выбирается вектор л е R 5. Вычисляется вектор їлА и полагается С равным wА

Очевидно, что задача № ): С )-сх т хт ={ Лї4дїо], где матрица А , векторы С и о сформированы по приведенному только что алгоритму, является решением соответствующей обратной задачи без существенных ограничений, а X является оптимальным планом задачи (" -5) #

Наконец, совершенно очевидно, что для канонической задачи линейного программирования можно применять и смешанный принцип генерирования. Для этой цели в сочетании с приведенным свободным алгоритмов генерирования (или любым другим) применим любой из известных методов решения канонической задачи, например, сшшлекс-метод. Наиболее эффективным такое сочетание будет выглядеть реализованным на ЭВМ и, естественно, с возможным многократным использованием как для генерирования одиночных задач, так и для генерирования серий однотипных задач, серий различной длины. Все это возможно и не вызывает никаких теоретических или технических осложнений.

Подведем итоги. Было выяснено, что при генерировании канонической задачи линейного программирования возможно использовать любой из трех принципов генерирования экстремальных задач.

Прямое генерирование оказалось возможным, и это справедливо для любой линейной задачи, в силу наличия разработанных вычислительных методов ее решения и, более того, наличия готовых машинных программ соответствующих методов.

Обратное генерирование было возможно организовать в силу наличия у данной задачи достаточно простых условий оптимальности допустимого плана. Наличие таких условий, как нам представляется, всегда позволяет организовать такое генерирование. Однако, и в этом мы убедимся уже в этом параграфе, для организации обратного генерирования можно использовать и другие свойства генерируемой задачи.

Генерирование задачи линейного программирования с ограниченными сверху переменными

Постановка„проблемы. В данном параграфе будем рассматривать методы генерирования задачи С .-S): 4(%) = сх- тах, Я) = {-хеКЛ Аъ= Ь, о t ъ Ц где с є Я - вектор-строка, ЬЄ-К - вектор-отолбец, Л-vwm--матрица, Ws-K -вектор-столбец, \% 0 . Задачу (,. 5) называют задачей линейного программирования о ограниченными сверху переменными. В случае, когда на переменную X; нет ограничения сверху, то считается, что компонента Vv; = + «- \ множество тех компонент, для которых существует ограничение сверху, обозначим через \ { ієі-.vv: \v +» }. их число vv =\"5\ . Естественно считать, что для задачи линейного программирования с ограниченными сверху переменными vv , \ .

Для того, чтобы определить задачу линейного программирования с ограниченными сверху переменными,необходимо задать: матрицу ограничении А , вектор ограничений о , вектор коэффициентов целевой санкции С и вектор верхних границ переменных W с указанием множества " .

Прямое генерирование. Так как известны методы непосредственного решения задачи линейного программирования с ограниченными сверху переменными (см.,например, /4.1/), то при разработке генерирующего алгоритма возможно применить прямой принцип генерирования. Его непосредственная реализация не представляет трудностей и аналогична решению соответствующих проблем для канонической задачи линейного программирования. Следует лишь включить в процедуру генерирующего алгоритма блок, обеспечивающий генерирование компонент вектора W . При этом необходимо добиться разнообразия генерируемых задач, т.е. получения как задач, у которых на все переменные существуют ограничения сверху, так и задач с ограничениями сверху не на все переменные и т.д. Этого легко добиться, используя ДСЧ при формировании множества Л в различных вариантах: ЛнІ .W , Л !1 и т.д. Обратное генерирование. Как и каноническая (см. 2.1), задача линейного программирования с ограниченными сверху переменными относится к типу задач (см. 1 в 1.2), для которых известны эффективно проверяемые условия оптимальности допустимого плана. Поэтому для нее можно построить генерирующие алгоритмы, основанные на обратном принципе генерирования.

Для оптимальности допустимого плана X задачи (,Х , 6) необходимо и достаточно существование такого вектора w, е , что С і JAOT , для і. и - , если %; =0 , C:sy. XA ,ЄСЛИ О Х:Л; ,

Cj u-a4 , если = где Cv - \ -й столбец матрицы ограничений задачи.

На основе этого критерия оптимальности можно сформировать следующий генерирующий алгоритм. Он обеспечивает генерирование задач линейного программирования с ограниченными сверху пере -менными, каждая из которых имеет решение, с указанием этого решения, вектора двойственных оценок и максимального значения целевой функции. Он также позволяет формировать последователь -ность задач линейного программирования, у которых лишь на часть переменных существуют ограничения сверху и каждая из них не имеет решения; целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых планов, В алгоритм можно включить (если это необходимо) и процедуру генерирования задач с ограниченныш сверху переменными, каждая из которых имеет пустое множество допустимых планов Отметим основные особенности генерирующего алгоритма, который обсувдается. При описании алгоритма используются некоторые обозначения и термины из / 4,1, о. 194/. Как и в предыдущих алгоритмах» выбор Д(Н элемента из заданного интервала может производиться как в целочисленном, так и произвольном режимах.

Исходные параметры алгоритма: - произвольное число СЛ из промежутка [ОД] $ необходимое для работы ДСЧ; - числа vn и , vw vv , определяющие размерность генерируемых задач; - целое число L задач» формируемых алгоритмом, L 1 ; - целое число G 1 Ь задач, имеющих решения; - vv -мерные векторы Vv , W t О W \ъ ; m wv -матрицы A f A » A і A , определяющие соответственно интервалы изменений компонент вектора W и элементов матри цы ограничений А ; - чиола К . К . 0-ІКІ , и число 13 ,0 6 miwlV\, где W- - \ -я компонента вектора Vv , необходимые в процессе генерирования; - Vw -мерные векторы a , w r il U f определяющие интервалы дош выбора компонент вектора двойственных оценок.

Общая характервотика отандартного блока зачет (АОС ЗАЧЕТ) АСУ-ВУЗ

Структурное описание АОС ЗАЧЕТ. Система ЗАЧЕТ призвана обеспечивать проведение в автоматическом режиме части практических занятий по курсу математические методы исследования операций. Ее пользователями являются студенты, преподаватели» ведущие занятия по курсу математические методы исследований операций» и сотрудники деканата. Система ЗАЧЕТ должна решать следующие учебные и учетные задачи; - обеспечение студентов и преподавателей всем необходимым учебным материалом; - организация» проведение и соответствующее обеспечение контрольных работ по фиксированным разделам и темам курса; - контроль за текущей и итоговой успеваемостью и посещаемостью; - обучение студентов (некоторым вычислительным методам и алгоритмам).

Решение указанных задач обеспечивается четырьмя подсистемами АОС, выделяемыми по функциональному признаку: ЗАДАЧНИК» КОНТРОЛЬНАЯ, ЗАПРОС и ОБУЧЕНИЕ Подсистема ЗАДАЧНИК обеспечивает генерирование серии учебных задач и упражнений требуемого типа с выдачей на периферий ные устройства ЭВМ (например, на АЦПУ) условий задач, ответов и другой информации, которая может оказаться полезной преподавателям или студентам.

В подсистеме КОНТРОЛЬНАЯ осуществляется выдача студентам текстов регламентированных контрольных и производится в автоматическом режиме проверка выполненных работ с фиксацией сделанных ошибок- Здесь же обеспечивается фиксирование информации о получении (или не получении) зачета по контрольным работам.

Подсистема ЗАПРОС позволяет преподавателям и сотрудникам деканата получать оперативную информацию о ходе выполнения контрольных заданий каждым студентом, причинах невыполнения, итоговых результатах и т.п.

Подсистема ОБУЧЕНИЕ должна оказывать (без участия преподавателя) студентам помощь в усвоении материала отдельных разделов курса. В первую очередь, здесь имеютсяв видуразделы, посвященные вычислительным методам. Основой этой подсистемы будет служить пакет специальных обучающих программ, разработка которого осуществляется.

Разработка и внедрение системы ЗАЧЕТ. Система ЗАЧЕТ допускает последовательную поэтапную разработку, например, до выделенным подсистемам. Точно такке внедрение системы представляется поэтапным, а этапами - внедрение названных выше подсистем. Таким образом, на первом этапе должна разрабатываться подсистема ЗАДАЧНИК, причем, ее основные функциональные модули генерирующие программы - будут входить в состав остальных подсистем. На втором этапе (или параллельно) разрабатываются подсистемы КОНТРОЛЬНАЯ и ЗАПРОС, так как они имеют общую информационную базу. Наконец, на последнем этапе осуществляется разработка и внедрение подсистемы ОБУЧЕНИЕ, ее основные функциональные модули обучающие программы. При разработке необходимо предусмотреть возможность совершенствования и развития каждой из подсистем, например, за счет расширения состава функциональных модулей, т.е. новых генерирующих и обучающих программ.

Нечеткие постановки. Интерпретации

Общая характеристика. Понятие расплывчатого (нечеткого) множества было введено в работах Л.3аде (ом..например» /4.22, 5.61/) и достаточно широко обсуждается в научной литературе.

В статье Р.Беллмана и Л.3аде /5.6/ понятие расплывчатого множества было использовано для нечетких постановок некоторых динамических задач принятия решений. Там же делается "попытка построения логической схемы общей теории принятия решений в расплывчатых условиях" /5.6, с. 214/. Нечеткие постановки игровых задач, нечеткие автоматы и другие подобные вопросы обсуждались в /5 25/, где приведена соответствующая библиография. В работе /5.53/ рассмотрены основные результаты, полученные в теории расплывчатых множеств до 1979 года, и приведен краткий обзор достижений в области приложений соответствующего аппарата.

Из более поздних работ, прежде всего» следует выделить монографию С.А.Орловского /4.48/ и книгу Ю.Н.Минаева /4.41/, где наиболее полно в отечественной литературе рассмотрены вопросы принятия решений при нечеткой исходной информации и приведены соответствующие методы. Линейное программирование со многими нечеткими делями рассмотрено в /5.41/, аналогичные вопросы (нечеткое математическое программирование и робастное программирование) обсуждаются в /4.44/, даойственнооть в расплывчатом линейном программировании введена в /5.49/. Полезность понятий теории расплывчатых множеств при изучении сложных экономических объектов, вопросы применения этой теории в экономических и экономико-математических исследованиях обсуадаются в /5.16, 5.36, 5.38, 5.46, 5.47, 5.51, 6.1 и др./.

Нечеткие постановки экстремальных задач. Введем в рассмотрение нечеткие постановки экстремальных задач, которые будут строиться, как нечеткие расширения, "размытия" соответствующих базовых детерминированных моделей. В частности, по приведенным ниже рекомендациям возможно осуществить размытие экономико-эко-логкческой модели города, которая построена в приложении II В этом случае в качестве базовой модели будет рассматриваться каноническая задача линейного программирования или соответствующая оистеш ограничений.

Мы будем обсуждать свойства нечетких постановок. В частности» покажем, что в некоторых случаях решение нечетких задач можно овеоти к решению эквивалентных им задач математического программирования, 1. Предположим» что задан вектор о = Ьиьг».,., 4 ) (вектор "планируемых ресурсов") и содержащий этот вектор иг -мерный интервал L& Д] возможного "использования" этих ресурсов, 16 = . Кроме того» для каждого lel Wt, f задана функция % \ R - F t которая каждому плану ХЄК ставит в соответствие 55,( 0 -количество і -го ресурса» необходимое для его реализации. Оценка соответствия фактических затрат I -го ресурса ( iei wO плановым задается такой функцией JW a- C0U3 » что О Д )і f дащ ЧССІІЛІЗ где i ig соответственно - t -ые координаты векторов и

Рассмотрим экстремальную задачу С ЇЦ , 5) максимиза ции функции , , w+ vtv.vw J на множестве - = xeftH: Х ЇО% W , где X; - 1-я компонента вектора & » а і - некоторое подмножество индексов \\v\, . Задачу 1 ., $") можно интерпретировать как своеобразное "размытие", нечеткую постановку экстремальной задачи когда указаны "степени принадлежности" вектора »tv-« каждому из нетривиальных ограничений, определяющих множество 3) . Они задаются функциями р\ . Тем самым осуществляется замена "четкого" множества & нечетким (расплывчатым) множеством

О , которое является пересечением wv- нечетких множеств Знак % используется здесь в том смысле, что 5;СХ) при фиксированном Хє&т доласно быть примерно равно 7 \№\(Щ - является мерой равенства этих чисел. Тогда можно определить нечеткое множество и функцию мЗД = 1 C-SLW) » которая в соответствии о определением операции пересечения нечетких множеств /4.22, _. -_, s г -_- _ т нечеткому множеотву -U .

Если "цель" (она определяется функцией $m. ) также является расплывчатой, т.е. определено B e-fv и нечеткое множество ИП J с функцией принадлежности jw , то проблема сводится к решению задачи ( R, 5) : нахождению такого ftelv- »ко-торый в наибольшей степени удовлетворяет всем нечетким ограничениям. Естественно осуществляется обобщение для случая нескольких "де лей".