Содержание к диссертации
Введение
1. Инструменты анализа экономического роста 14
1.1. Модели экономической динамики 14
1.2. Производственные функции 16
1.3. Учет научно-технического прогресса 19
1.4. Методы решения задач оптимального управления 20
2. Разработка метода решения многомерной задачи оптимального управления 24
2.1. Постановка задачи (каноническая форма) 24
2.2. Аналитический метод решения задачи 27
2.2.1. Метод построения оптимального управления как функции двойственных переменных 27
2.2.2. Метод построения оптимального управления как функции фазовых переменных '. 37
2.3. Численная реализация метода 41
3. Модели макроэкономической динамики 46
3.1. Двухфакторная задача оптимального управления 46
3.1.1. Постановка задачи 46
3.1.2. Анализ решения задачи 47
3.2. Задача оптимального управления с учетом научно-технического прогресса 52
3.2.1. Постановка задачи с учетом распределения факторов производства по возрастам 52
3.2.2. Редукция задачи к канонической форме 57
4. Анализ численных исследований 62
4.1. Результаты численной реализации двухфакторной модели 62
4.1.1. Численная реализация метода решения задачи 62
4.1.2. Тестирование метода 79
4.1.3. Параметрические исследования модели 86
4.2. Результаты численной реализации четырехфакторной модели 95
4.2.1. Численная реализация метода решения задачи 95
4.2.2. Параметрические исследования модели 100
Заключение 105
Библиографический список 107
- Производственные функции
- Метод построения оптимального управления как функции двойственных переменных
- Постановка задачи с учетом распределения факторов производства по возрастам
- Численная реализация метода решения задачи
Введение к работе
В России в последние годы наблюдается период экономического роста. В Послании Президента В.В. Путина Федеральному Собранию Российской Федерации 16 мая 2003 года [1] была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Именно динамика изменения ВВП на душу населения рассматривается в качестве оценки успеха мероприятий по обеспечению экономического роста. Особенно важен этот показатель в странах, выходящих из долгих периодов застоя или кризиса. Этот вопрос приобретает дополнительную актуальность в России по причине больших экономических потерь в период 1992-1998 гг., приведших к значительному снижению уровня жизни населения. В Программе социально-экономического развития России, утвержденной правительством РФ в январе 2006 года [2], также говорится о необходимости создания системы стимулирования экономического роста.
При выработке определенной политики улучшения макроэкономических показателей возникает необходимость в предварительном анализе экономики, сложившейся в настоящее время, в прогнозировании и планировании ее на будущее. Для этого применяются методы математического моделирования динамики макроэкономических систем, статистические методы обработки информации, методы оптимизации и др.
По мнению экономистов [3, 4], из четырех основных экономических проблем: размещение ресурсов, распределение дохода, экономическая устойчивость и экономический рост - последняя остается наиболее неизученной. В настоящей работе затрагиваются в большей или меньшей степени все названные проблемы, но именно оптимальный экономический рост является центральным понятием.
В работах, касающихся изучения экономической динамики, наиболее распространены одномерные модели. В реальных системах на экономический рост влияет множество факторов. Разработка и математический анализ многомерных моделей позволит расширить спектр решаемых прикладных задач.
Краткая историческая справка. В двадцатом веке в экономическом анализе основное внимание уделялось изучению статического развития экономических систем. В области изучения динамики, законов экономического, роста существуют многочисленные работы представителей неоклассической теории (Т. Свана [5], Р. Харрода [6, 7], И. Домара [8], П. Агийона [9-11],), в том числе Нобелевских лауреатов (например, Т. Купманса [12], С. Кузнеца [13], Р. Солоу [14-17]), в которых анализируются некоторые детерминанты экономического роста. Неоклассические модели связывают экономический рост с накоплением капитала и техническими изменениями [18]. В рамках неоклассической теории проблемами учета и моделирования научно-технического прогресса занимались такие ученые как Й. Шумпетер [19, 20], П. Роумер [21-23], М. Олсон [24], Д. Норт [25, 26].
Двадцатый век ознаменовался интенсивным развитием математических методов описания и исследования экономических процессов. Большой интерес представляют работы, в которых внимание уделяется построению и использованию.производственных функций.
В. Рамсей предложил в 1928 году модель долгосрочного роста, предвосхитившую актуальные в наше время исследования по проблемам оптимального экономического роста [27].
Дж. фон Неймана разработал в. 1932 году многосекторную модель расширяющейся экономики [28], положившую начало магистральной теории. В России в начале XX века большой вклад в развитие этого направления внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий [29-32]. В 1960 — 80-е годы экономико-математическое моделирование особенно продвинулось благодаря таким ученым, как B.C. Немчинов [33], В.В. Новожилов [34], Л.В. Канторович [35-36], которые предложили модели многосекторной экономики. Строились много 8 уровневые системы моделей народно-хозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий [37-44].
Существенный вклад в развитие математических методов в экономике внесли Л. Вальрас [45], О. Курно, В. Парето [46], Ф. Эджворт, А.И. Анчишкин [47], С.А. Айвазян [48-49], В.И. Данилов и др. [37].
У истоков моделирования экономической динамики стоят работы В.В. Леонтьева. В дальнейшем эта область получила значительное развитие в работах Д. Гейла [50], В.Л. Макарова [51-52], A.M. Рубинова [52-53], И.В. Романовского [54],
Отдельно следует выделить работы Л.С. Понтрягина [55-57] и Р. Беллма-на [58], внесших большой вклад в разработку инструментальных методов оптимального управления и математического анализа динамических экономических систем.
Следует отметить, что оптимизационные динамические модели экономических систем основаны на классических работах Ф. Рамсея [27], Д. Касса [59], Т. Купманса [12], Р. Солоу [14-17]. Развитие этих моделей представлено работами В.Д. Матвеенко [60], В.З. Беленького [61-72] и др. [73-83].
Объектом исследования диссертационной работы является теория оптимального распределения капиталовложений в задачах макроэкономической динамики.
Предметом исследования является математический и инструментальный аппарат решения задач оптимального распределения капиталовложений.
Целью работы является разработка эффективного метода решения задачи оптимального распределения капиталовложений в фазовом пространстве произвольной размерности и анализ траекторий развития макроэкономической системы.
В ходе работы решались следующие научные и практические задачи.
1. Построение оптимизационной математической модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающей инвестиционные процессы; и максимальный рост благосостояния населения.
2. Разработка эффективного метода реализации многомерной модели; Тестирование разработанного метода для решения задач оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности.
3. Разработка многофакторной оптимизационной модели макроэкономи-: ческой системы, учитывающей научно-технический прогресс в производственной и социальной сфере.
4. Проведение анализа и параметрических исследований многомерных экономико-математических моделей.
Методы исследования. В работе использованы методы теории оптимизации, теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений, математического компьютерного моделирования.
На защиту выносятся:
1. Негомогенная; оптимизационная математическая модель динамики макроэкономической системы в многомерном» фазовом пространстве, учитывающая- инвестирование средств в = факторы производства;, критерием; оптимальности в которой является максимизация благосостояния населения.
2.. Метод решения задачи оптимального управления в многомерном фазовом; пространстве (индексный метод), основанный на применений принципа максимума Понтрягина. Результаты тестирования разработанного метода решения задачи в двумерном и четырехмерном фазовых пространствах.
3". Многофакторная оптимизационная математическая модель макроэкономической системы, учитывающая, научно-технический прогресс в производственной1 и социальной сфере . ...
4. Анализ результатов численной; реализации и; параметрических исследований экономико-математических моделей. ,
Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечена корректностью математических постановок задач (основанных на модели Рамсея-Касса-Купманса). Метод разработан на основе известного подхода к решению задач оптимального управления (принципа максимума Понтря-гина). При тестировании разработанного метода для моделей различной размерности выявлено влияние различных параметров макроэкономической системы на макроэкономическое развитие и доказана эквивалентность решений, полученных разработанным методом и принципом максимума. Полученные решения исследованы на сходимость, точность и устойчивость. Научная новизна заключается в следующем:
1. В негомогенной оптимизационной модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве впервые учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных.
2. Новый аналитический метод решения задачи оптимального управления макроэкономической системой, в отличие от существующих методов, не требует знания граничных условий для вектора двойственных переменных и позволяет строить оптимальные траектории в фазовых пространствах произвольной размерности.
3. В многофакторной оптимизационной математической модели впервые осуществляется одновременный учет научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере, а также распределения факторов во временно-возрастной плоскости.
4. Впервые индексным методом проведены комплексные исследования, в ходе которых установлены оптимальные пропорции распределения капиталовложений, а также выявлены существенные параметры, влияющие на показатели макроэкономического роста.
Значение научных результатов для теории
Сформулированная в работе модель динамики макроэкономической системы (региона) позволяет планировать оптимальное распределение капиталовложений при учете произвольного конечного числа факторов, влияющих на макроэкономическое развитие.
Доказана теорема, согласно которой, в случае выпуклых производственных функций, гамильтониан разработанной модели является выпуклым, что обеспечивает необходимость и достаточность условий оптимальности траекторий, построенных на основе принципа максимума.
Метод решения многомерных задач оптимального управления может быть непосредственно использован при построении и анализе экономических моделей.
Значение научных результатов для практики
Метод позволяет свести решение двойственной задачи оптимального управления с неизвестными граничными условиями для сопряженных переменных к решению прямой задачи для фазовых переменных, что в многомерном фазовом пространстве существенно сокращает объем необходимых вычислений для определения оптимальной траектории.
На основе построенного алгоритма разработан программный комплекс, который может быть использован для решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе в случае учета инновационных процессов. В качестве примера проведены расчеты по Удмуртской Республике.
Разработанный- метод используется в учебном процессе специальности 061800 «Математические методы в экономике» на факультете «Прикладная математика» Ижевского государственного технического университета.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVII» (Воронеж, 3-9 мая 2006 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие» (Чебоксары, 25 октября 2006 г.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы, теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января — 2 февраля 2007 г.); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVIII» (3-9 мая 2007 г.); 3-ей Международной научно-практической конференции «Достижения ученых XXI века» (Тамбов, 30-31 июля 2007 г.); Всероссийской научно-практической internet-конференции «Проблемы функционирования и развития социально-экономических систем» (Уфа; 15 октября — 15 ноября 2007 г.); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XIX» (3-9 мая 2008 г.).
Публикации. Результаты работы отражены в 12 научных публикациях [84-95], из них - 7 статей в научных журналах, в том числе 2 статьи [87, 94] в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит изг введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Работа изложена на, 118 страницах машинописного текста, содержит 42 рисунка, 5 таблиц и список литературы из 130 наименований.
Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, цели и задачи диссертационной работы, положения, выносимые на защиту, практическую и научную значимость работы.
В первой главе обзор существующих подходов к моделированию экономических процессов и анализу экономического роста. Особое внимание уделяется математическим методам решения задач оптимального»управления. Рассматриваются подходы, применяемые»при моделировании экономической динамики.
Во- второй главе формулируется негомогенная многомерная оптимизационная модель, приводится постановка задачи оптимального управления макроэкономической динамикой (каноническая форма) и ее решение на основе принципа максимума. Описывается разработанный аналитический алгоритм решения (индексный метод), который позволяет решать задачи оптимального управления динамикой макроэкономических систем при неизвестном значении вектора двойственных переменных в начальный момент времени, т.е. когда непосредственное применение принципа максимума затруднительно. Приводится алгоритм численной реализации индексного метода.
В третьей главе проводится анализ двумерных и четырехмерных моделей макроэкономической динамики. Приводится постановка и математический анализ решения двухфакторной задачи оптимального управления. Содержится постановка четырехфакторной задачи оптимального управления в частных производных с учетом научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере, а также распределения факторов во временно-возрастной плоскости. Описывается процесс сведения фазовых уравнений задачи в частных производных к канонической форме.
Четвертая глава содержит результаты численной реализации двух- и четырехфакторной моделей. Проводится экспериментальное тестирование индексного метода в двумерном фазовом пространстве. Приводятся результаты параметрических исследований рассмотренных моделей.
В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертационной работе.
Автор искренне признателен и благодарен научному руководителю — к.ф.-м.н., доценту Кетовой Каролине Вячеславовне — за постоянную помощь в работе и поддержку.
Производственные функции
Общий вид производственной функции. Важным этапом при построении математической модели развития экономики является выбор производственной функции. От правильности этого выбора зависит, насколько построенная модель будет адекватна изучаемому явлению.
Различают статические и динамические производственные функции; в статических функциях время как фактор не учитывается, в динамических -время учитывается в качестве самостоятельной переменной величины, показатель-фактор также может рассматриваться как функция времени [99].
Указания на соответствующий известный тип функции можно получить из предыдущих исследований и на основе теоретического анализа данного экономического явления [100-107]. Некоторые авторы не удовлетворяются известными функциями и разрабатывают новые специфические функции, как, например, в работе [108]. Однако предварительные знания в качестве основы для выбора типа функции часто отсутствуют и первоначально могут быть использованы алгебраические формулы, причем для их выбора применяются. разнообразные эмпирические критерии. При этом исходные данные подвергаются статистическому анализу. Американские статистики Э. Хеди и Д. Диллон считали, что для «экономических явлений представля 17 ется невероятным, чтобы всем условиям наиболее отвечал один тип функции. К тому же различные люди могут привести в одинаковой степени: основательные доводы; в пользу выбора того или иного типа функций» [109].
Еще в начале века были предложены первые производственные функции для анализа сельскохозяйственного производства: GIIIA, однако, возникновение теории производственных функций принято относить к 1928 году, когда появилась статья: американских ученых экономиста:П. Дугласа и математика Д. Кобба «Теория производства» [110]. В этой статье была предпринята" попытка определить эмпирическим; путем влияние величины- затрачиваемого капитала и труда на- объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Исследования, проводились на основе изучения динамики физического\ объема продукции, объема фондов и количества отработанных человеко-часов работниками обрабатывающей промышленности, США за период 1899-1992 гг. Именно степенную производственную функцию Кобба и- Дугласа многие статистики: предлагают использовать для моделей, обосновывая такой выбор тем;.что «удобной: формой взаимосвязи экономических показателей является произведение показателей», а также тем,, что такая форма облегчает последующий анализ модели [111].
Функция / определяет выпуск продукции на одного рабочего (производительность труда) в зависимости от величины капитала на одного рабочего (капиталовооруженность). 1.3. Учет научно-технического прогресса
Существует еще один фактор производства, который называется «научно-техническим прогрессом» (далее НТП). Этот термин следует понимать в общем смысле: в смысле тех явлений, которые при заданных величинах рабочей силы и оборудования позволяют увеличить региональное производст-во.[113, 114].
Р. Солоу изложил теорию роста в ряде статей! 956-1957 годов [14, 15]. Вывод, который он сделал, можно сформулировать следующим образом: инвестиции в физический капитал не могут служить источником роста в долгосрочной перспективе. Солоу утверждал, что единственный источник роста в долгосрочной перспективе - технический прогресс [115].
Остановимся на интерпретации сопряженных переменных. Как уже упоминалось выше, сопряженные переменные можно считать динамическим эквивалентом множителей Лагранжа, которые в статических задачах характеризуют чувствительность решения к изменениям постоянных ограничений [96]. Таким образом, сопряженные переменные также являются источником информации о чувствительности решения к изменениям параметров. В частности, начальные значения сопряженных переменных показывают, как изменится оптимальное значение целевого функционала при изменении начальных значений соответствующих фазовых переменных. Так, в ряде экономических задач сопряженные переменные могут интерпретироваться как теневая цена. Изучение зависимости конечного решения задачи управления от значений различных параметров в разрезе интерпретации сопряженных переменных может являться предметом отдельного исследования.
Метод построения оптимального управления как функции двойственных переменных
Для выпуклых задач условия оптимальности в форме принципа максимума являются не только необходимыми, но и достаточными [66, Лекция 5] (см. п. 1.4). Докажем, что задача (2.1) - (2.4) выпуклая, т.е. гамильтониан (2.5) есть выпуклая на X х Qn функция.
Для дальнейшего анализа нам потребуются две вспомогательные леммы. Лемма 1. Множество факторов X есть выпуклое множество. Доказательство. Докажем выпуклость множества X непосредственной проверкой. Выберем два произвольных элемента: хьх2 еХ = p = (x0,xb...,xn)\x ER"+l] (х\,х2 - и+ 1-мерные неотрицательные векторы) и промежуточный элемент х3 = Xi + (1 — Qx2, где , є [о, і] - константа. Очевидно, что х3 є X. Тогда, согласно определению, множество X выпукло. Лемма 2. Множество допустимых управлений Q„ вида (2.1) есть выпуклое множество. Доказательство. Согласно (2.1), два произвольно выбранных вектора Si,s2 eQ„ могут быть представлены в виде п s\ =( нміі»-,яіи): ЧІ є[р\;;], о в 5 1А. =і; к=0 п 52=foo 2b- 2«): 2/є[р\;/], 0 В 5 2А:=1. к=0 Выберем постоянную є[0,і], тогда промежуточный вектор s3 = s{ +(l-0 2 такой, что s3 = fc31,...,s3„), s3i =4 1/ +(1- 2і-Определим границы элементов вектора s3 : з/єЙР,+(1-)Р/;ф+(1-$)Д/], после преобразований выражения для границ элементов вектора s3 примут вид: 53гє[р/;5г], п откуда следует, что 0 В Х53 - =0
Стратегия управления (2.14) реализует оптимальную фазовую траекторию x(t) экономической системы. Движение по этой траектории в общем случае состоит из (п +1) -го этапа, на каждом из которых присутствуют конкурирующие факторы - такие факторы хг, для которых соответствующие коэффициенты Qi линейной формы максимальны, положительных и равны между собой (z є М2). Остальные факторы xit і є М\, назовем свободными.
Как было сказано выше, двойственные переменные qk принципа максимума интерпретируются как оценки соответствующих материальных факторов. В данном контексте, исходя из (2.18), назовем переменные Qj, і єМ весами значимости факторов производства (включая и трудовой фактор также). Наибольшие веса имеют конкурирующие факторы хіз ієМ2, при этом на каждом р-м временном интервале (?„_i, tp] множество М2 остается постоянным. Предлагаемый подход основан на результатах ранее проведенных расчетов и исследований [работы автора, а также 72, 82].
Значение вектора факторов, соответствующего оптимальной траектории (полученного при оптимальном управлении вида (2.14)), обозначим х. Материальные компоненты вектора JC разобьем на две части: хМг = (xi є М{) и хм2 (хі і є - 2)- Из (2-17, б) находим частные производные f x (x), і є M2, тем самым определен вектор.
В соответствии с допущением Д1 функция f(x) выпукла и дифференцируема на X, что, согласно теории выпуклых функций [117], позволяет по значению градиента восстанавливать единственное значение аргумента x = grad/ (и), где / - сопряженная по фазовым аргументам функция (двойственная по Фенхелю к функции /).
Применяя операцию Фенхель-сопряжения по переменным хм при фиксированных значениях Хщ и обозначая соответствующую функцию через ff2 , находим частичный вектор: ХМ2 = & /м2 Ом2 ) (2-19) Поскольку в соответствии с оптимальным управлением (2.14) S; =PZ-, і є Мі, то частичный вектор хм находится из (2.17, а), фазовые уравнения для него имеют вид: % = а$;/(х)- jjXj, /єМ]. (2.20) Таким образом, получаем весь вектор х = (хм ,хм ), зная который, из (2.17, а) можно определить переменные управления: si=si= ,ieM2. (2.21) Таким образом, любой произвольный этап р описывается уравнениями (2.17, а, б) при выполнении условий (2.16). Если на /7-й этап переходит одновременно более одного фактора (более одного Qk (t) становится равным бтах(0)з ТО продолжительность /7-го этапа считается равной нулю: tp -1„\ - 0; и далее расчет параметров производится для (/? + 1)-го этапа.
Постановка задачи с учетом распределения факторов производства по возрастам
В настоящее время особенно актуально моделирование развития экономики в переходном периоде. В условиях переходного периода одним из центральных понятий и механизмов становится научно-технический прогресс (НТП), причем НТП как в производственной, так и в социальной сфере. Экономика переходит на инновационный путь развития. Вместе с тем, возникает потребность адаптации существующих методов к решению задач моделирования инновационного развития.
Рассмотрим постановку четырехфакторной задачи с учетом НТП при предпосылках П1-П6 из п.2.2 и следующих дополнительных предпосылках. П7. Пусть fy — момент времени, когда инновационные факторы начинают учитываться в модели в явном виде. П8. В производстве однородного валового регионального продукта (ВРП) Y участвуют следующие факторы: 1) факторы, характеризующие производственный капитал К\ и К2, причем считается, что фактор К\ сформировался до момента времени ґ0, а инновационный фактор К2, учитывающий НТП вшроизводственной сфере, формируется после момента t0; 2) факторы, характеризующие человеческий капитал, Zj и Z2, причем инновационный фактор Z2 учитывает НТП в социальной сфере, имея при этом такую же природу, как фактор Zj. Введем вектор факторов производства X - {К\ ,K2,Zl,Z2), Х 0.
Примечание: Вместо факторов Z и Z2 могут рассматриваться любые факторы, характеризующие некоторый иной аспект производственного процесса. Здесь выбран именно человеческий капитал, поскольку в настоящее время эта проблема достаточно актуальна. Человеческий фактор играет существенную роль в формировании совокупного регионального продукта и, как правило, учитывается в виде показателей, характеризующих уровень образования, здоровья, культуры, а также различные интегрированные показатели (см., например, модель, представленную в [121]).
Научно-технический прогресс учитывается в овеществленной форме (см. п. 1.3). Производство конечного валового продукта описывается функцией вида: Y = F(X) = А іК?1 +(1- и)е К f/ai [wZf1 +(1- w zf1 f/Pl, (3.8) где 0 a + P 1, причем 0 a l, 0 j3 l; \xx, \i2 - темпы НТП в производственной и социальной сфере соответственно; и є (0; і) - коэффициент, отражающий различную степень влияния на выпуск продукта инновационных и неинновационных факторов.
Таким образом, задача оптимального управления распределением капиталовложений формулируется следующим образом: максимизируемый функционал имеет вид (3.12), уравнение баланса запишется в виде (3.9), динамика факторов описывается соотношениями вида (3.13), начальные и граничные условия факторов Х\,Х2 задаются выражениями (3.14), (3.15), факторов Х3,Х4 -(3.16), (3.17).
Данная постановка задачи предполагает наличие фазовых уравнений, записанных в частных производных, что обусловлено учетом распределения факторов производства по возрастам. В случае такой записи постановки задачи оптимального управления непосредственное применение принципа максимума Понтрягина требует дополнительных громоздких вычислений, поскольку в этом случае мы рассматриваем изменение факторов вдоль характеристик. Таким образом, принцип максимума также применяется вдоль характеристик.
Чтобы обеспечить возможность непосредственного применения принципа максимума при решении задачи в соответствии с индексным методом, изложенным в п. 2.3, данную постановку сводим к постановке с уравнениями в полных производных.
Численная реализация метода решения задачи
Рассмотрим результаты реализации двухфакторной модели экономической системы (3.1)-(3.3), где в качестве факторов производства рассматриваются основные производственные фонды (ОПФ, производственный капитал, К ) и фактор, характеризующий человеческий капитал, Z [123]. Вложения в каждый момент времени распределяются между потреблением, инвестициями в ОПФ и инвестициями в человеческий капитал. Объем выпуска описывается производственной функцией типа Кобба-Дугласа вида: F(K, Z) = 45147 К0 21 Z 32. (4.1) Значения функций и переменных, входящих в информационный паспорт задачи, а также коэффициенты производственной функции определялись по статистическим данным для Удмуртской Республики (УР) за период с 1994 по 2007 годы [124-129], а также на основе предыдущих исследований и исследований других авторов [например, 80]. В качестве начального момента времени t0 примем 2007 г.
В удельных переменных функция (4.1) принимает вид: f(k Z А- 45И7 /rQ 27r0 32 (АО\ где f(k,z,t) = F(K,Z)/L(t), к = KIL, z = ZIL. Рассмотрим величины, входящие в информационный паспорт у ix),P,a{t),у{[),%{{),L (t),bj задачи (3.1)-(3.3). Производственная функция f(x) имеет вид (4.2). Вектор /? = ((30,0,0), где (30 примем равной 0.3, исходя из значения доли" потребления в ВРП в предыдущие годы. Вектор a = (1, X(t)); вторая компонента вектора удельной эффективности факторов принимается равной доле X(t) трудоспособного населения L{t) в общей численности населения L {i). Это связано с тем, что инвестиции в человеческий капитал осуществляются в расчете на все население L (t), в то время как в процессе производства участвует только его часть L(t). Вектор у-(уi,Y2/ определяется на основе постоянных коэффициентов износа ті1 =0,12, г)2 =0,15. Коэффициент дисконтирования 5 принимается равным 0.05. Период планирования составляет 10 лет (Т = 10).
Назовем границей кривую, на которой ВРП на душу населения равен минимально допустимому потреблению в начальный момент времени, т.е. f(k,z)= cmin = $0/(к0,г$). Граница - это уровень, который фазовая траектория не должна пересекать. Если экономическая система приближается к границе, то это ситуация экономического спада, которая сопровождается уменьшением ВРП. На первых этапах иногда спад может быть необходимым условием для выхода на квазистационарный путь развития. На квазистационарном участке желательно, чтобы оптимальная траектория удалялась от границы. Такая ситуация соответствует экономическому росту системы.
На первом этапе все средства направляются. на потребление. Производственный капитал и человеческий капитал в это время амортизируют. Это связано с тем, что в начальный момент времени факторы производства работают неэффективно и их обслуживание занимает больше средств, чем отдача от них. В 2011 году индексы человеческого капитала и нулевого фактора выравниваются, и средства начинают распределяться между потреблением (около 85 % ВРП) и инвестициями в человеческий капитал (около 15 % ВРП). На рис. 4.5 представлена фазовая плоскость \k,z). Здесь график 2 — это совокупность точек (k,z) для задачи (3.1 )-(3.3) с производственной функцией (4.2) (орбита фазовой траектории). Видно, что кривая 2 не имеет общих точек с кривой 1 - границей.
Гарантированный уровень среднедушевого потребления составляет 30% от ВРП. На рис. 4.7 изображен график функционала J(t). Значение целевого функционала J задачи (3.1)-(3.3) достигает величины 1345 тыс. руб. Годовой объем потребления не является постоянной величиной на всем горизонте планирования. Так, до 2008 года весь произведенный продукт направляется на потребление. Начиная с 2008 года скорость увеличения накопленного потребления постепенно замедляется, что связано с тем, что часть средств начинает направляться на инвестиции в развитие факторов производства.
На первом этапе все средства, за исключением 30 % ВРП, инвестируются в человеческий капитал. Производственный капитал в это время амортизирует. В 2008 году индексы факторов выравниваются, и средства начинают распределяться в оптимальных соотношениях между факторами, при этом на потребление по-прежнему направляется 30 % ВРП. В 2012 году оптимальные фазовые траектории (рис. 4.9) переходят в квазистационарный режим.
В конце периода планирования величина удельного ВРП в 2,5 раза, больше соответствующей величины в начале периода (рис. 4.11, график 1), а величина среднедушевого потребления возрастает в 3,7 раза и в конце периода планирования составляет 108 тыс. руб./чел. в среднем за год. Причем в период выхода системы на квазистационарную траекторию темпы роста ВРП достаточно велики. Это объясняется тем, что в первые годы (до 2012 года) делаются вложения человеческий капитал и ОПФ. В этот период на потребление идет 30 % ВРП:
На первом этапе все средства, за исключением минимальной доли в 30 %, инвестируются в человеческий капитал, который находится ниже своего квазистационарного уровня. Производственный капитал в это время амортизирует (рис. 4.14). В 2009 году индекс человеческого капитала и нулевой индекс выравниваются (см. п. 2.4.3, (2.68)) и средства распределяются между потреблением и инвестициями в человеческий капитал. В 2011 году все индексы выравниваются, и система переходит на квазистационарный участок своей оптимальной траектории.
Похожие диссертации на Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой макроэкономической системы
