Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Скользящее планирование в модели с переменными выпуклыми технологическими множествами 18
1.1. Основные определения 18
1.2. Предположения и результаты 21
1.3. Теорема о магистрали 27
1.4. Доказательство основного результата 34
1.5. Доказательство вспомогательных
утверждений 39
Глава 2. Скользящее планирование в межотраслевой модели с переменными матрицами ... 43
2.1. Формулировка модели и основного результата 43
2.2. Эффективные функционалы 45
2.3. Доказательство теоремы 2.1 49
2.4. Доказательство вспомогательных утверждений 52
Глава 3. О сходимости скользящих планов 58
Глава 4. Структура оптимальных траекторий и скользящее планирование в упрощенной модели 66
4.1. Постановка задачи и предположения 66
4.2. Сводка результатов и схема доказетельства 73
4.3. Доказательство вспомогательных лемм 79
Глава 5. Об экспериментальных межотраслевых расчетах методом скользящего планирования 88
5.1. Общие сведения о работе... 88
5.2. Соотношения модели 90
5.3. Схема расчетов по методу скользящего планирования 94
Литература
- Предположения и результаты
- Доказательство основного результата
- Эффективные функционалы
- Сводка результатов и схема доказетельства
Введение к работе
Диссертация посвящена математическому обоснованию эффективности известной процедуры скользящего планирования, заключающейся в регулярной корректировке долгосрочного плана со сдвигом вперед его временного горизонта. Траектории развития, строящиеся с помощью этой процедуры, исследуются в рамках динамических моделей экономики неймановского и леонтьевского типов с изменяющейся технологией. Основными результатами работы являются утверждения о приближенной оптимальности траекторий скользящего планирования.
Актуальность темы. Неопределенность будущих технологий, ресурсов и предпочтений, а также вычислительные трудности накладывают естественное ограничение на длину горизонта народнохозяйственного планирования. При планировании с конечным горизонтом возникает известная проблема выбора межотраслевых пропорций на конец планового периода (назначаемых в виде целевой функции или фиксированных плановых заданий). Пусть оптимальный перспективный / -летний план определяется как траектория (т.е. последовательность векторов выпуска в каждый год планового периода) длины / , максимизирующая некоторую функцию, зависящую от выпуска в последний год, при фиксированном векторе начального состояния и технологических ограничениях*. Ясно, что планы, получаемые на последние годы планового периода, существенным образом зависят от вы-
х Понятиям, используемым во введении, далее будут даны точные определения.
бора целевой функции и тем самым могут, вообще говоря, быть неоптимальными с точки зрения дальнейшего развития, т.е. несогласованными с планами последующего периода. Точнее, план на 2Т-летний период, получаемый стыковкой двух последовательных оптимальных / -летних планов, вообще говоря, сам не будет оптимальным. Поэтому для обоснованного определения плановых заданий на некоторый момент времени необходимо принимать в расчет экономические возможности и цели на последующую перспективу (после-плановый период). В свою очередь, при выборе целей развития для указанного послепланового периода необходим учет еще более далекой перспективы и т.д. На этом требовании основан известный в теории и практике перспективного планирования и прогнозирования принцип скользящего планирования (см. /12, с. 59/, /14, с. 43/, /18, с. 3-4/, /24/, /36, с. 208-209/, /43/), согласно которому принятие текущего краткосрочного плана осуществляется в рамках регулярной корректировки долгосрочного плана со сдвигом вперед его временнбго горизонта. Общепризнано, что народнохозяйственное планирование целесообразно строить именно по этому принципу*. Реализация последнего отвечает актуальной задаче совершенствования системы планирования. Между тем, теоретически процедура скользящего планирования исследована и обоснована недостаточно, а опыт ее применения в практических плановых расчетах на макроуровне отсутствует.
Скользящее планирование состоит формально в следующем: в конце каждого года (или более длительного периода), исходя из достигнутого состояния, заново рассчитывается оптимальная траекто-
х Сфера применимости метода скользящего планирования, разумеется, не исчерпывается задачами макроуровня. Исследованию его свойств в моделях оперативного управления производством посвящены статьи /5, 30, 31/.
рия, причем горизонт планирования Т (назовем его горизонтом скольжения) остается постоянным, а в критерий оптимизации могут на каждой итерации вноситься изменения. Рассчитанным / -летним планом руководствуются в течение первого года, а затем осуществляется новая итерация перспективных расчетов. Заметим,что такая схема планирования хорошо вписывается в естественную ситуацию, когда горизонт прогнозирования будущих технологических возможностей ограничен некоторым числом лет ( / ), и отвечает требованию учета послеплановой перспективы при принятии плановых решений (согласно описанной схеме, план на некоторый год окончательно принимается, если к моменту его составления имелся достоверный прогноз динамики технологических параметров на достаточно длинный последующий период).
Поскольку скользящий план "склеен" из начальных участков оптимальных траекторий, то можно надеяться, что влияние на него произвола при выборе целевых функций (терминальных условий), используемых при построении этих траекторий, относительно невелико. Это позволяет рассматривать скользящее планирование как возможный подход к решению обсуждавшейся выше проблемы динамического согласования плановых заданий. Отметим, что для достижения полного согласования, вообще говоря, потребовался бы учет бесконечной перспективы, т.е. решение задачи оптимального планирования на бесконечном интервале времени. Результат точного решения такой задачи, называемый бесконечной оптимальной траекторией, являясь, разумеется, чисто абстрактным объектом, служит удобным эталоном при рассмотрении динамических планов. В частности, проблему обеспечения согласованности динамических планов можно сформулировать как задачу приближенного вычисления бесконечной оптимальной траектории. Известно, что если технологические параметры постоянны во времени, то в ряде случаев, решив экстремальную за-
дачу относительно небольшой размерности, можно найти стационарное состояние (так наз. луч сбалансированного роста, или магистраль). Из теорем о магистрали (см. /16, 20, 21/) следует, что траектория, осуществляющая выход из начального состояния за конечный промежуток времени на указанный луч и дальнейшее движение по нему с максимальным темпом, аппроксимирует бесконечную оптимальную траекторию. Однако в реальной ситуации, когда происходят технологические изменения, этот метод не применим, и следует обратиться к итеративным процедурам, какой и является скользящее планирование.
Краткий обзор литературы36. Предположение о приближенной оптимальности скользящего планирования подтверждается результатами ряда работ, где оно изучается с помощью математических моделей. Переходя к их обсуждению, прежде всего следует отметить, что интерес представляют универсальные свойства рассматриваемой процедуры, т.е. присущие любой строящейся с ее помощью траектории. Очевидно, что если существует бесконечная оптимальная траектория, то существует и оптимальный (совпадающий с ней) скользящий план, однако задача его нахождения эквивалентна вычислению самой бесконечной оптимальной траектории. В /39/ рассмотрена такая исключительная ситуация, когда учет динамики технологических параметров и целевых функций на ближайший период, ограниченный некоторым горизонтом / , позволяет принимать текущие решения, оптимальные и с точки зрения более отдаленной перспективы. Ясно, что в этом случае скользящее планирование с горизонтом не менее / гарантирует оптимальность развития на бесконечном интервале
к Достаточно полный обзор современного состояния теории экономической динамики сделан в /26/, поэтому здесь мы ограничиваемся упоминанием работ, имеющих непосредственное отношение к проблеме скользящего планирования.
времени. На аналогичный факт указано в /10/.
В /34/ траектории скользящего планирования изучаются в рамках неоклассической модели оптимального экономического роста с непрерывным временем. Рассматриваются две стратегии назначения терминальных условий (в виде ограничения снизу на величину фондовооруженности труда в конце периода планирования). Доказано, что если величина терминальной фондовооруженности К остается постоянной от итерации к итерации, то скользящее планирование в пределе приводит к некоторой (вообще говоря, неоптимальной) траектории сбалансированного роста, параметры которой зависят от использовавшейся величины к . Если же на каждой итерации ставится условие, чтобы к концу периода планирования фондовооруженность была не меньшей, чем в текущий момент - к, гг ^ к± , где
І - текущий (для данной итерации) момент, I - горизонт скольжения, - то траектория скользящего планирования стремится к траектории оптимального сбалансированного роста (магистрали), а тем самым и к бесконечной оптимальной траектории. В /3/ для модели Неймана-Леонтьева с постоянной матрицей технологических коэффициентов при условии ее так наз. примитивности доказывается существование траекторий скользящего планирования, лежащих вблизи неймановского луча - магистрали. Кроме того, приведен пример траектории скользящего планирования, целиком лежащей на некотором луче сбалансированного роста, близком к неймановскому, но не совпадающем с ним. В /48/ для модели Неймана-Гейла (охватывающей, в частности, случай, рассмотренный в /3/) доказано, что в условиях теоремы о магистрали в сильной форме всякий скользящий план, построенный с использованием достаточно большого горизонта скольжения, лежит, начиная с некоторого момента, в малой окрестности магистрали. Во всех трех названных работах предполагается, что технология не меняется во времени. Однако, как отмечалось
выше, наибольшее значение имеет выяснение свойств процедуры скользящего планирования при наличии технологических изменений. В /22/я, где рассматривается модель равновесного экономического роста, изменение технологий допускается в пределах равномерных ограничений, и кроме того, предполагается, что технологические множества удовлетворяют равномерному условию строгой выпуклости. Траектория скользящего планирования строится в результате последовательных пересчетов траекторий равновесного роста с фиксированным конечным плановым горизонтом и нулевыми терминальными условиями (заданиями на объем производственного накопления в последний момент планового периода). Доказано, что при достаточно большом горизонте скольжения скользящее планирование обеспечивает движение системы вблизи траектории, описывающей оптимальное равновесное развитие на бесконечном интервале времени.
Уместно также упомянуть работы /38/ и /40/, где в рамках модели Неймана-Леонтьева с изменяющейся матрицей технологических коэффициентов рассматривается проблема определения длины периода планирования, достаточной для принятия плановых решений, позволяющих, в случае заблаговременной их корректировки (за определенное число лет до истечения достоверного прогноза технологий), достигнуть значений целевых показателей, близких к оптимальным. Однако, при скользящем планировании такие корректировки производятся многократно, и возникает вопрос, не происходит ли при этом накопления ошибок, приводящего к существенному отклонению от оптимума. Решение именно этой проблемы составляет основное содержание доказательства утверждений о приближенной оптимальности траекторий скользящего планирования.
* С результатами этой работы автор был знаком до написания /48/.
Основной целью диссертации является математическое обоснование эффективности процедуры скользящего планирования в случае изменяющейся технологии в рамках получивших большое распространение динамических межотраслевых моделей неймановского и леонтьевского типов, в том числе моделей, используемых для практических расчетов.
Содержание работы. Среди множества моделей неймановского типа можно выделить два важных класса, различающихся по форме представления технологических ограничений:
1) Технологические множества (объединяющие допустимые тех
нологические процессы) являются строго выпуклыми конусами.
Конусность следует из предположения о линейной зависимости объема выпуска от объема производственных затрат*, свойство же строгой выпуклости можно интерпретировать как явление "внешней экономии", при котором одновременное использование различных технологических процессов приводит к повышению совокупной эффективности .
2) Технологические ограничения заданы в виде линейных нера
венств с использованием матриц технологических коэффициентов,
что соответствует классической модели Неймана (здесь для простоты
рассматривается известный частный случай - модель леонтьевского
типа). Заметим, что в моделях этого класса технологические множе
ства являются многогранными выпуклыми конусами.
Как известно, матричные динамические модели нашли широкое применение в практике планирования и прогнозирования, однако и модели, относящиеся к первому классу, представляют не только теоретический интерес, так как к ним можно свести некоторые модели (с дискретным временем), использующие производственные функции -
х Случай неконусной технологии, при которой отдача убывает с ростом масштаба производства, рассматривался автором в /47/.
-см., например, /27/.
Моделям из первого класса, т.е. так наз. моделям Неймана-Гейла, посвящена глава І, в главе 2 рассматривается классическая модель Неймана-Леонтьева, принадлежащая ко второму классу. Содержание излагаемых результатов состоит в основном в утверждении, что любая траектория скользящего планирования является близкой (в смысле межотраслевых пропорций) к бесконечной оптимальной, причем указанная близость, вообще говоря, тем теснее, чем больше горизонт скольжения. Используемые в доказательствах предположения различны для названных классов моделей. В первом случае, подобно /22/, предполагается, что условие строгой выпуклости выполняется в некотором смысле равномерно для всей последовательности технологических множеств. Во втором - что технологические матрицы примитивны, и притом также равномерно. Напомним, что траектория скользящего планирования "склеена" из начальных участков оптимальных траекторий. В доказательстве основных результатов глав I и 2 - теорем I.I и 2.1, соответственно, - можно выделить два основных момента: I) доказывается, что начальные участки оптимальных траекторий малочувствительны по отношению к изменению терминальных условий и длины интервала планирования, если последняя достаточно велика (это свойство оптимальных траекторий весьма типично для многих динамических моделей экономики - см. /32, 35, 42/); 2) устанавливается, что накопление "ошибок" на итерациях скользящего планирования не приводит к существенному отклонению межотраслевой структуры получаемой траектории от оптимальной (т.е. соответствующей бесконечной оптимальной траектории). При анализе чувствительности отклонения будут измеряться с помощью специальных нелинейных функционалов ("цен"), называемых эффективными функционалами, которые являются опорными для любой бесконечной оптимальной траектории (независимо от ее начального состо-
яния). Это понятие было предложено в /25/ для стационарной технологии. Здесь оно естественным образом обобщается на случай изменяющейся технологии.
Следует отметить, что в большинстве названных результатов речь идет о некотором приближении скользящих планов (при фиксированном горизонте скольжения) к бесконечной оптимальной траектории, т.е. попадание в ее малую окрестность. Приводившиеся выше примеры из /3, 34/ показывают, что некоторые скользящие планы могут отклоняться в пределах этой окрестности от бесконечной оптимальной траектории и тем самым не достигать максимальных темпов роста. В связи с этим возникает вопрос о возможности построения такого специального алгоритма скользящего планирования, который позволял бы строить траектории, сходящиеся к бесконечной оптимальной. В упоминавшемся результате из /34/ сходимость скользящего плана к оптимальной траектории сбалансированного роста в неоклассической модели обеспечивалась с помощью специальной стратегии назначения терминальных условий. В главе 3 аналогичная стратегия применяется при построении траекторий скользящего планирования в модели Неймана-Леонтьева с постоянной матрицей технологических коэффициентов: на каждом шаге t+i решается задача максимизации выпуска в конечный момент и + Т при фиксированных пропорциях, соответствующих состоянию в исходный момент І , т.е. используется полученная на предыдущем шаге информация. Доказывается сходимость строящихся таким образом скользящих планов к магистрали - траектории максимального сбалансированного роста.
В главе 4 рассматривается открытая динамическая модель, представляющая собой упрощенный вариант % -модели /II/. Ее основное отличие от традиционных моделей леонтьевского типа состоит в том, что помимо параметров, характеризующих затраты и выпуск продукции, в ней представлены также величины, описывающие динамику произвол-
ственных мощностей. Такая и подобные постановки лежат в основе ряда моделей, применяемых для вариантных расчетов в процессе разработки сводного раздела перспективных планов -см., например, /4, 15, 17/. Цель главы 4 - изучение свойств оптимальных траекторий и траекторий скользящего планирования в упрощенной % -модели с одной фондообразующей отраслью при медленно изменяющихся технологических коэффициентах. При условии, что абсолютная величина годового изменения каждого технологического коэффициента не превосходит некоторой малой константы (зависящей от параметров модели), дано описание оптимальных траекторий и траекторий скользящего планирования, из которого следует их структурная близость. Таким образом и в этой модели скользящее планирование обладает свойством приближенной оптимальности. Однако из полученного в главе 4 результата вытекает также, что в рассматриваемой ситуации существует способ точного построения ("синтеза") бесконечной оптимальной траектории. А именно, подобно случаю, когда технология постоянна, следует из начального состояния за определенное число лет /V выйти в состояние со стационарной межотраслевой структурой, которая определяется значениями технологических коэффициентов года t0 + N , где ьо - начальный момент. Затем движение должно происходить в режиме, аналогичном максимальному сбалансированному росту: для каждого года решается одношаговая задача максимизации объема выпуска продукции в фиксированной межотраслевой структуре, которая, однако, зависит от текущих значений технологических коэффициентов и медленно изменяется вместе с ними.
В главе 5 содержится информация о работе, ответственным исполнителем которой является автор, по проведению практических расчетов методом скользящего планирования, включенной в план создания АСПР Госплана Эстонской ССР. Излагается оптимизационная динамическая межотраслевая модель, подобная рассмотренной в главе
4, и алгоритм расчетов по ней, реализующий метод скользящего планирования. В отличие от данного выше определения скользящего планирования на итерациях этого алгоритма решается задача планирования, в которой технологические коэффициенты постоянны - используются их значения, соответствующие текущему (для данной итерации) году. При этом получаемая в результате траектория скользящего планирования удовлетворяет ограничениям задачи с изменяющимися технологическими коэффициентами. Такая модификация метода скользящего планирования обладает очевидными вычислительными преимуществами. Эвристическим основанием для ее применения является полученный в главе 4 результат для упрощенной модели, согласно которому значения выходных переменных, получаемых при скользящем планировании, не зависят от будущих значений технологических коэффициентов, если последние изменяются достаточно медленно.
В приложении приведен иллюстративный пример расчета скользящего плана по алгоритму, изложенному в главе 5.
Научная новизна работы. В диссертации впервые изучены свойства траекторий скользящего планирования (доказана их приближенная оптимальность) в динамических моделях неймановского типа с изменяющейся технологией. В частности, выяснена структура оптимальных траекторий и траекторий скользящего планирования для упрощенного варианта одной распространенной прикладной модели ( ЦС -модели) с медленно изменяющимися матрицами технологических коэффициентов - ранее подобные модели изучались математически лишь при постоянных матрицах. Доказательства основных результатов диссертации существенно опираются на предложенное автором обобщение понятия эффективных функционалов в динамических моделях на случай изменяющейся технологии.
Практическая значимость диссертации. Полученные в работе
результаты о приближенной оптимальности скользящего планирования позволяют рекомендовать его использование для вариантных расчетов в процессе разработки сводного раздела перспективных народнохозяйственных планов. Экспериментальные расчеты этим методом по динамической народнохозяйственной модели проводятся при участии автора в рамках плана создания АСПР Госплана Эстонской ССР. Наиболее целесообразно применять метод скользящего планирования на базе уже функционирующих систем плановых расчетов по оптимизационным динамическим межотраслевым моделям.
Доклады, публикации. Результаты диссертации докладывались автором на I Всесоюзной конференции "Системное моделирование социально-экономических процессов" (Воронеж, 1980), УШ Всесоюзном совещании по проблемам управления (Таллин, 1980), Второй конференции по оптимальному планированию и управлению народным хозяйством (Москва, 1983), на всесоюзных и республиканских школах и семинарах, а также на научных семинарах Института кибернетики АН ЭССР, ЦЭМИ АН СССР и ИПУ АН СССР. По теме диссертации автором опубликовано 10 научных работ /45-54/.
Связь с планом научных работ. Диссертация выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских и опытных работ Института кибернетики АН Эстонской ССР в области естественных и общественных наук по проблеме ІЛЛ7.І0 "Теория оптимизации" по темам:
"Разработка методов решения задач оптимизации иерархических структур, динамической оптимизации и нелинейных уравнений" (№ гос. регистрации 8II0398I);
"Приспособление методов оптимизации к решению прикладных задач" (№ гос. регистрации 81103982).
Предположения и результаты
Пусть задана модель типа Неймана-Гейла 7/Z , т.е. технологические множества /j. , соответствующие периодам времени І = = О, -/, ... j являются выпуклыми замкнутыми конусами с вершинами в точке (0,0) , лежащими в гі+ х а+ и удовлетворяющими стандартным условиям: АЛЛ. Из (0,и)Є JL следует U = О (при нулевых затратах выпуск равен нулю). A.I.2 (Х,0)е Ъ± для любого X 25 О A.I.3. (K.LfJeZj. ,0Z U влечет (oCf ) Z (свободное расходование). Заметим, что в силу АЛЛ, А Л.2 и так как /j, - выпуклый конус, верна также импликация (x}u) Zif z&x= (z,y)eZt. (1-І)
Известно /16/, что при сделанных предположениях для любого начального вектора Ха О существуют бесконечная оптимальная траектория Х = {ж±}і=0 и ее характеристика, т.е. последовательности линейных функционалов (равновесных цен) J =if±Jj.!=0 и положительных чисел o6=io6 j =0 , такие что 0,1&1 { для 1 = 0,4,..., (1.2) fo o = I-3 /ы / V(x fGZift-Oj,..., (1.4) fiAl =oii/ti- (I-5) Тройку б -Сх, У, w будем называть равновесной системой. Сделаем следующее важное предположение, которое можно назвать равномерной выпуклостью технологий3 . А. 1.4. Для любого 6 0 существует число 6(&) 0 такое что при любом о =0,4,... из условий (х,и)є L , (х, и. )є 7± , р(х,0с)& следует для любого вектора 1Ґ О , удовлетворяющего неравенству {/Ы1,//х /1}. Из А.1.4 непосредственно следует, что система б является равномерно строго равновесной, точнее +4 V - /i (1-7) если ( 9 )Zi , р(х,Х,±) Z 6, t=0,t,... . Замечания. I) Сопоставим предположение А.1.4 с понятием равномерной выпуклости для множеств: подмножество Q множества в нормированном пространстве называется равномерно выпуклым в с , если существует вещественная функция 6 (б) , где 6(0) = = 0 , (6(б) 0 при & 0 , такая что fe/ + uT для любых Z , Z2 є Q и любого вектора Ц- е Е , удовлет воряющего условию . Нетрудно показать, что предположение А.1.4 будет выполнено, если потребовать, чтобы се чения технологических множеств Z, (2 П () -мерной гиперплос к Аналогичные предположения о равномерной выпуклости используются в /22, 34/. костью $ ={(x,u)eft \iELoc(j = 4/ были равномерно выпук лы в К , причем функция (ГО) не зависела от номера t .
2) Свойство технологии, выражаемое предположением А,1.4, иногда называют внешней экономией: одновременное использование разнообразных технологических процессов приводит к повышению со вокупной эффективности. Если технологические множества задаются с помощью производственных функций Кобба-Дугласа: где а, - положительное число, If. -0. 2і Г. 4 , 0,4,..., то A.I.4. выполнено, когда эластичности f всех факторов і = 4,..., it равномерно отделены от нуля по V .
3) Предположение о строгой выпуклости является единственным конструктивным, обеспечивающим выполнение условия строгости ней мановского состояния равновесия (неравенство (1.7) представляет собой его обобщение на случай изменяющейся технологии), которое используется в большинстве работ, где доказывается теорема о ма гистрали для моделей типа Неймана-Гейла - см., например, /16, 21/. В частности, для рассматриваемой здесь модели в /28/ пред полагается выполнение (1.7).
Пусть, кроме того, траектория У равновесной системы равномерно положительна, т.е. выполняется A.I.5. Ы rnXft L и =С 0. Везде далее в этом параграфе будем предполагать АЛЛ -- АЛ.5 выполненными. Лемма 1.1х. Для любой допустимой траектории \ \ц.\,_, имеет место х Доказательство этой и всех последующих лемм параграфа приводится в 1.5. ДЛ 00 ) Р (I-8) где Д = Д С ) = tot П оС U, , \ = { X,} - траектория из равновесной системы.
В соответствии с леммой I.I будем говорить, что траектория имеет темп роста cL , если Д (/[) 0 . Этим свойством, в частности, обладает сама траектория X , так как, очевидно, Д(X J = і .Не составляет труда доказать (используя определение 3), что если из некоторой точки X исходит хотя бы одна допустимая траектория, имеющая темп роста оС , то бесконечная оптимальная траектория, исходящая из этой точки, также имеет темп роста оС . Таким образом, согласно лемме І.І все бесконечные допустимые траектории можно разбить на два класса: траектории, "отстающие" от бесконечных оптимальных, и траектории, имеющие темп роста ct , причем все траектории, принадлежащие ко второму классу, с течением времени сближаются (в смысле отраслевых пропорций).
Доказательство основного результата
Идея доказательства состоит в последовательном применении итеративной схемы, на каждой итерации которой рассматривается отрезок времени длиной 2/V , где /V - натуральное число, подбираемое исходя из теоремы о магистрали. На начальном шаге непосредственно с помощью предложения 1.4 устанавливается справедливость доказываемого неравенства (1.9) для моментов І =4,2.,..., 2/V. При переходе к следующей итерации рассматриваемый отрезок времени сдвигается вперед на /V периодов. Выполнение (1.9) для первых /V из рассматриваемых моментов следует из предыдущей итерации, а для последних /V сначала с помощью предложения 1.4 доказывается близость скользящего плана к траектории х, [N/J » откуда с помощью теоремы о магистрали и неравенства треугольника также устанавливается (1.9). После этого осуществляется переход к следующей итерации и т.д.
Следует обратить внимание, что в формулировках используемых здесь предложения 1.4 и теоремы 1.3 накладываются определенные условия на вектор начального состояния - он должен принадлежать некоторому конусу вида дд . Поэтому основным техническим мо-ментом при осуществлении изложенной схемы доказательства является такой подбор горизонта \0 и вспомогательных параметров Л и N І который бы обеспечил выполнение вышеупомянутых начальных условий для каждой ее итерации.
В этой главе свойства скользящего планирования изучаются в рамках динамической модели, в которой технологические ограничения заданы в виде систем линейных неравенств, так что в противоположность условию равномерной выпуклости, наложенному в главе I, технологические множества являются многогранными выпуклыми конусами. Допускается, что матрицы технологических коэффициентов могут изменяться с течением времени. При условии их равномерной ограниченности и примитивности доказано утверждение о приближенной оптимальности скользящего планирования (теорема 2.1). Его доказательство основано на тех же идеях, что и доказательство теоремы I.I и также использует эффективные функционалы, которые в данном случае удается аналитически выразить через оптимальные векторы выпуска (см. 2.2). Доказательство теоремы 2.1 изложено в 2.3, а доказательства остальных утверждений главы - в 2.4.
Рассмотрим модель /// - частный случай модели /7[ , когда технологические множества имеют вид: Z = j(X,Ujea х а+
A, U ОС] , где А , =\&ц (t/J - неотрицательная матрица размерности П х 1Ъ , элементы &. (t) которой интерпретируются как коэффициенты затрат продукции и -й отрасли на выпуск единицы продукции -й отрасли в году t . При этом л, U. есть вектор продукции, затрачиваемой на вектор выпуска II в году t , эти затраты покрываются за счет выпуска X в предыдущем году и не должны превосходить его. Таким образом, траектория { /4-=0 в рассматриваемой модели является допустимой, если и только если выполняется АІ+,ХІЧ 4 хі , Ж+»0, І-0,4,... (2.1)
Модель 77) является упрощенным вариантом модели Неймана-Леонтьева - одной из первых, для которых (в стационарном случае: А,= А , Ъ 4,2у- ) была доказана теорема о магистрали /41/. В работе /37/ свойство магистральности было доказано для рассматриваемой здесь модели с изменяющимися матрицами при условии их равномерной ограниченности, формулируемом ниже. А.2.І. Найдутся матрицы л т и л t размерности fixtl , такие что для І = 4,2, ... справедливо А 4 А± 4 А причем A , примитивна, т.е. существует натуральное % , такое Неравенство означает, что для обеспечения не что имеет место , 1/7иП/ mm, нулевого выпуска системы в течение периода длиннее, чем Ъ лет, требуются положительные начальные запасы всех продуктов. Обозначим через Си минимальный элемент матрицы /»/п Везде далее в этой главе будем считать условие А.2.1 выполненным.
Легко видеть, что модель Щ удовлетворяет всем условиям, наложенным в главе I на модель 77] » кроме условия равномерной выпуклости А.1.4 - в данном случае конусы 2. многогранны. Од-нако при выполнении предположения А.2.1 здесь также справедливо утверждение о приближенной оптимальности скользящего планирования, аналогичное теореме I.I.
Теорема 2.1. Для любого О существует натуральное га), такое что для всякого скользящего плана {ж(ъ)1±=0 с горизонтом Ъ Пе) и начальным состоянием X (6) 0 и любой оптимальной [х(о),0,о] -траектории /З? } для и 1 выполняется p(x(t), X ) Є. (2.2) Замечание. Пусть X, - оптимальный вектор выпуска в году І . Тогда, если заменить матрицу л на Л А, , где Я - положительный скаляр, а матрицы, соответствующие другим годам, оставить без изменения, то вектор X, /Л будет оптимальным в году Ъ . Из этого рассуждения следует, что утверждение теоремы сохранит силу, если предположение А.2.1 видоизменить следующим образом: тіп Л Ма) 1тд/х. , где Q (Ь) - числовая функция с положительными значениями (функция масштаба).
Эффективные функционалы
Обозначим /l = mtib іг( . Так как II fill = і , то к і и /і IIXII JIX J X Л для любого X 0 . Фиксируем 6 0 , такое что для N = N(e) , 6 СЬ&/пг(ос ) , где СО - константа из леммы 3.1, выполняется k 6N V42 . (3.4) Заметим, что существование такого числа 8 следует из леммы 3.2. Рассмотрим произвольный скользящий план jxCi)}? . » удовлетворяющий условиям теоремы. Возьмем произвольный момент С — Ъ J где, как и в главе 2, число t, есть наименьший показатель степени, такой что А О . Обозначим d = пъа/& у[Х[4;, Ху . в силу теоремы 2.1 найдется натуральное /%Л такое что если То ТГе) , то dr & . Положим , пусть т т . Обозначим ОгГ) максимальное значение целевой функции в задаче вида (3.1), решаемой на шаге Т + і скользящего планирования. Тогда, если {X,(T)J - оптимальная траектория, являющаяся решением этой задачи, то X т( С)&)Г( С)х( С), и по определе нию 4 имеет место x(TH) ATe4cc „Ст) ТМАТ ОС,(т). Т+Г0 По лемме 3.1 и выбору \о имеем так что справедливо x(r hlT(T)(d-edT)llx(T)Sx nT)(4-9d)ffix,Cf))x. (3.5) Аналогично (2.6) положим а(ОС)=пшъ J/co{P . По скольку рассматриваемая здесь модель является частным случаем модели Щ . , то для функционала О выполняются с соответствующими изменениями все утверждения теоремы 2.2. Рассмотрим точку U - X( 0cM)x(fC)/tlOcC t) . Ясно, что в нее можно за \0 шагов попасть из точки U- А UL (т.е. найдется допустимая траектория { Z, [Л 0 » такая что = U , &т = т ) Так как р(Цт }х) о(х(т);х) С то по лемме 3.1 О (UjX CL&CL . Отсюда, как легко показать, U4 (l + ud )(jlU)X, Так как П, - собственный вектор матрицы /\ , то / =/ = (х(М) и значит 114 (4 + 6(1 .)( (хЮ)Ы . Поскольку X(X) Z(x(,C))SO , то отсюда и так как в рассматриваемой модели, очевидно, выполняется условие свободного расходования, следует, что из точки х(х) можно за 70 шагов попасть в точку %/(4 г) = (Хт)Х(Т/іЬХ(Г)(і в ). Следовательно, поскольку jfft) - максимальное значение целевой функции в (3.1), имеем fM cj,(x(r))//ioc(r)(d 9dr) \ т Х #4 У/г Х(Т).
Таким образом, в силу (3.5) и поскольку OL(X) d. , выполняется Сі(х(Т+і)) (і @d) CL (ос OL)) . Повторяя рассуждения применительно к моментам " + і , ..., +Н і , получим (x(r )X4-9drf\ Ыт) a-20Nd)cj,(co(t)) (3.6) для всех С % . Последнее в цепочке неравенств (3.6) следует из (3.4) и сравнения производных по функций ( 4 %) и /-Л/ , равных между собой при = О Положим .=/1 Xft+N), A f (x(T + N),x) , так что по лемме 3.1 р ( ,&) (X А Є , тем самым (4 вд) (llZ X и 0,( ,)(4 9А)ЇЇ,% . Следовательно, учитывая (3.4),/l2 (Z)/f /--fld) 4 )(і+2вл) . Так как скользящий план является допустимой траекторией, то 2 Х/г), и значит CL(Z) 0,(ОС (т)) Пусть п - количество отраслей в моделируемой системе, t0 -начальный момент времени, / - длина интервала планирования (в годах). Исходными параметрами модели, задаваемыми в стоимостном выражении для моментов t = t0, Ъ0 +4, -, "fc0 + I , являются: к Постановки, близкие к К -модели, см. в /2, 9, 13/. A, - id-- (І)). - неотрицательная матрица коэффициентов прямых текущих затрат в году t ; В -(о-- (І)).. - неотрицательная матрица коэффициентов затрат на расширение производства, ее элемент oL- (Ь) обозначает количество продукции і -й отрасли, необходимой для создания в году V дополнительной единицы мощности j -й отрасли; Ы і =4 " вектоР коэффициентов затрат труда (в де нежном выражении) в отраслях / = 4,--, П в году и ; С = (С ). 4 - вектор структуры потребления (на рубль оплаты труда) в году и ; - вектор объемов конечной продукции за выче-том личного потребления в году t .
Переменные модели - следующие стоимостные показатели: X= (Х ). - вектор объемов валовой продукции в отрас лях / = 4,..., /г , производимой в году і = Ь0 ,..., І0 +Т 7і 1-k 4=4 вектоР среднегодовых производственных мощностей в отраслях в году ъ =І0+4,..., t0 + Т +/( ; С = і Ч }-4 - вектор приростов среднегодовых производственных мощностей (включая восстановление выбывших) на отрезке времени L t,t + 4 J , где І s Ъ0 , ..., t0 + I Пусть задан начальный вектор мощностей Sj, . Задача оптимального планирования на интервале [ ъ0 , 0о +Т ] в рамках описываемой модели состоит в выборе (по некоторому критерию) траектории развития, т.е. последовательности значений векторов X, , д± » )i+4 для ъ Ъо -,Ъо +1 » удовлетворяющих следующим ограничениям36 : х В этой записи все векторы считаются матрицами, состоящими из одного столбца, значок т означает транспонирование. Xi AiXi+&A + CfCX + , (4.1) Ъ+ = 5 + ві (4.2) $ (4-3) Хі 0 , 9Ь 0. (4.4)
Соотношение (4.1) представляет собой баланс производства и распределения годовой продукции: в правой части неравенства суммируются текущие материальные затраты, затраты на распшрение производства, личное потребление и остальные элементы конечной продукций. Соотношение (4.2) описывает динамику производственных мощностей, а неравенство (4.3) ограничивает сверху валовой выпуск продукции отраслей имеющимися производственными мощностями.
Замечание. Одно из основных упрощений, принятых в рассматриваемой модели, - включение в баланс текущего года всех прямых затрат на прирост мощностей к началу следующего года. В оправдание такой постановки заметим, что можно либо считать единицу времени равной максимальному строительному лагу, либо, предполагая наличие линейной регрессии объема ввода новых мощностей на величину капитальных затрат в текущем году, учитывать соответствующие коэффициенты при построении матриц В, .
Сводка результатов и схема доказетельства
Из этих результатов легко вывести стандартные утверждения об асимптотической структурной близости различных оптимальных траекторий и скользящих планов, а именно, теорему о магистрали в сильной форме и теорему о приближенной оптимальности скользящего планирования, как в главах I и 2. Однако в данном случае, благодаря специальному виду технологических матриц, можно дать более точное описание оптимальных траекторий;и, соответственно, скользящих планов.
Обозначим через и вектор, являющийся первым столбцом ма трицы (Е А.) , т.е. вектор полных текущих затрат на произ водство единицы фондов, положим U, ЬУ, (нетруд но видеть, что MlE-AsbJ-U dJddd-Ajto) напомним, что если X т и есть /г -мерные векторы, то запись XII означает их скалярное произведение.
Следствие 4.1. Пусть { X, , и, . , [ - оптималь ная траектория, а Л, М и /V - числа из теоремы 4.1, тогда при условии А.4.5 справедливы следующие утверждения. n f - О v )і0+М-4
I . Начальный ее участок \ X. , С/, , с, г является решением задачи: при начальном векторе, равном , ограни чениях (4.1) - (4.4) для І = Ъ0 , ...? І0 +М-4 и условии E,xU=/la, ,, + U, максимизировать скаляр Л . tp + M t„+M т0+М Пусть Д - максимальное значение Д в этой задаче.
2. Для І =t + М, ..., Ь0 + Т - N справедливо X = = / і =Д a + (L , где величины Л . определяются рекуррентно по формуле
3. Для построения конечного участка 1 — 5 z ! +т следует при найденном на этапе 2 значении +Т-А/ решить задачу (4.1) - (4.5) на интервале времени Т-ДІ І +Т« Заметим, что значение Л , получаемое по формуле (4.10) при известном Л, , соответствует решению одношаговой задачи на максимум Л при ограничениях (4.1) - (4.4) и фиксированной структуре мощностей = лД + , Ъ+4 Л(Іі+уі + И, .
В соответствии с определением 3 назовем бесконечной оптимальной траекторию \Х, 9и, у i+4ji=zi » каждый конечный отрезок которой { X в, f j 0+ , где / ,2,... , является оптимальной траекторией при каких-либо положительных значениях величин ft4 } ...,Яп . Тогда из следствия 4.1 непосредственно вытекает, что для построения бесконечной оптимальной траектории следует к моменту ио + М осуществить выход в состоя те \ м =\+м =\+м +\+М решив задачу из ут_ верждения 1, а затем для всех і t0 + M применять стратегию, описанную в утверждении 2. Аналогичный факт справедлив и для скользящих планов.
Следствие 4.2. Пусть ОС f Q } . J, _ - скользящий план и выполнены условия теоремы 4.2. Тогда найдется число X 0 , не превосходящее величины Д из следствия 4.1, та-кое что fi+M =Хс +м + Ц +м , а для і в + М 4 имеет место X, - %. = A.d+U, t где Л, определяется по формуле (4.10), Л. = Л Таким образом имеет место структурная близость скользящих планов и бесконечных оптимальных траекторий.
Переходя к изложению доказательств, заметим прежде всего, что последовательность \Q, , Ъ±.А, , удовлетворяет уело виям (4.1) - (4.4) тогда и только тогда, когда выполняется I ъ а п (4Л1) ДО і =і і +Т » гДе r =(F-A ) шУ Действительно, необходимость следует из неотрицательности матрицы (t л./ , а для доказательства достаточности нужно лишь положить х, = = (Е А±) В, В, + % для всех і - эти векторы, очевидно, удо X т х ъ влетворяют неравенствам (4,1) и (4,3). Таким образом, поскольку целевая функция задачи (4.1) - (4.5) не зависит от векторов X , то последовательность 1р Е ] + из любой оптимальной тра ектории этой задачи является оптимальным решением задачи (4.5), (4.II) (с тем же начальным вектором ). Следовательно, для иэу-чения свойств оптимальных траекторий производственных мощностей можно вместо задачи (4.1)-(4.4) исходить из задачи (4.5),(4.11). ( — — і і +Т Q z V - оптимальное решение задачи (4.5), (4.II). Будем говорить, что в оптимальном плане мощности отрасли і в году "Ь загружены полностью, если соответствующее неравенство в (4.II) выполняется как равенство, т.е. , =d. (І)о, и, + + VJ . Обозначим через Ї(І/ множество индексов / , для которых справедливо это равенство.
Сформулируем два предложения, использование которых будет играть основную роль при доказательстве теорем 4.1 и 4.2.
Предложение Rid) . в/ 0 =? і . Ь (і + j) . Иными словами, если в оптимальном плане в году у прирост мощностей в некоторой отрасли не равен нулю, то в следующем году мощности этой отрасли будут загружены полностью.__
Предложение если в оп тимальном плане мощности отрасли в году ъ загружены полностью, то в этом году должен быть обеспечен положительный их прирост. Следующие две леммы будут доказаны в 4.3.
Лемма 4.1. Найдется такое Ал 0 , что если при А = А. справедливо А.4.5 и для некоторого Ъ Ъ0 ,... ,и0 + Т" выполня ется , то верно и Лемма 4.2. Существуют натуральное N0 и положительное А 2 , такие что если при А = А2 справедливо А.4.5, / N0 и для некоторого и Ъ0 , ... , ьо + \ Н0 нарушается Pit) , то и неверно. Из лемм 4.1 и 4.2 немедленно следует Лемма 4.3. Если при А - гтйп АА, Д2 j справедливо А.4.5 и для некоторого Ъ = І0 ,..., t0 + Т п0 » где /\0 - число из леммы 4.2, нарушается Р2Ш , то и неверно. Таким образом, в условиях леммы 4.3 предложение г іґ) будет нарушаться для последовательности моментов /C t9t+4y..,t0+ I ri0 . Как будет показано, длина такой последовательности не может превосходить некоторого числа N , не зависящего от I .На этом факте основано доказательство следующего утверждения (см. 4.3).
