Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оптимизация показателей хозяйственной деятельности предприятий машиностроения 11
1.1. Предприятие и его структура 11
1.2. Математическое оптимизационное моделирование 15
1.3. Выбор критериев оптимизации 19
1.4. Модели оптимизации производственной программы предприятия с одним критерием 21
1.5. Модели оптимизации производственной программы предприятия с несколькими критериями 27
1.6. Постановка цели и задач исследования 29
Глава 2. Инструментарий исследования оптимизационных задач 31
2.1. Задачи линейного программирования 31
2.2. Методы решения задач линейного программирования 34
2.3. Устойчивость и экономическая интерпретация двойственных оценок 41
2.4. Задачи дробно-линейного программирования 44
2.5. Задачи многокритериального программирования 45
2.6. Методы многокритериальной оптимизации 48
2.7. Алгоритм метода STEM 51
2.8. Методы последовательной безусловной минимизации 54
2.9. Полученные результаты и выводы 56
Глава 3 . Модели оптимизации производственной программы ма шиностроительного предприятия 57
3.1. Разработка моделей оптимизации производственной про граммы предприятия 57
3.2. Информационное обеспечение моделей оптимизации производственной программы машиностроительного предприятия 75
3.3. Полученные результаты и выводы 78
Глава 4. Анализ результатов использования оптимизационных моделей в ОАО «Ижевский подшипниковый завод» 81
4.1. Сравнительный анализ оптимальных решений однокритериальных задач 81
4.2. Сравнительный анализ оптимальных решений многокритериальных задач 93
4.3. Полученные результаты и выводы 107
Заключение 109
Литература 112
Приложение 120
- Модели оптимизации производственной программы предприятия с одним критерием
- Устойчивость и экономическая интерпретация двойственных оценок
- Информационное обеспечение моделей оптимизации производственной программы машиностроительного предприятия
- Сравнительный анализ оптимальных решений многокритериальных задач
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время весьма актуальна задача информатизации производства, создания информационных систем, которые, помимо данных о функционировании предприятия, могли бы анализировать и рассчитывать различные варианты оптимизации производства. Разработка производственных программ и выполнение различных функций по управлению производством основывается на использовании информации целевого характера о темпах и эффективности производственных процессов с использованием средств вычислительной техники для ускорения ее обработки.
Для эффективной реализации системы тактического планирования и оперативного управления производством весьма актуальным является наличие на предприятии разработанных математических моделей оптимизации основных экономических показателей и соответствующего программного продукта, а учитывая огромное значение машиностроительной отрасли в экономике Удмуртской Республики и России в целом, важно учесть при разработке такого рода моделей отраслевую специфику машиностроительных предприятий.
В зависимости от того, какие требования предъявляются к задаче тактического планирования и оперативного управления и к ее решению, это могут быть модели как однокритериальной, так и многокритериальной оптимизации.
В связи с усложнением структуры хозяйственных взаимосвязей и усилением неопределенности и изменчивости организационно-экономической среды, характерных для этапа формирования развитых рыночных отношений, актуальность изучения многокритериальной оптимизации неизмеримо возрастает. Кроме того, разработка многокритериальных моделей оптимизации производственной программы предприятия позволит задействовать аппарат математического моделирования и компьютерные технологии для нахождения оптимальной производственной программы промышленного предприятия, в частности, на ОАО «Ижевский подшипниковый завод» - одного из крупнейших машино-
7 строительных предприятий Удмуртской Республики, где в настоящее время нет четкой системы определения оптимального плана производства. Важно и то, что решение данных моделей позволит дать рекомендации руководству предприятия по выбору наиболее эффективной модели реализации плановых решений на уровне тактического планирования и оперативного управления им. Все это и определяет актуальность темы и исследования.
Объектом исследования является механизм формирования производственной программы машиностроительных предприятий с заданной номенклатурой выпуска изделий.
Предметом исследования являются основные экономические показатели деятельности машиностроительных предприятий.
Цель работы - разработка математических моделей оптимизации показателей хозяйственной деятельности предприятий машиностроения и создание пакета программ, реализующих алгоритмы решения разработанных математических моделей.
Поставленная цель обусловила необходимость решения следующих задач:
провести исследование предприятия машиностроения, выявить особенности его структуры и организации процесса производства;
предложить систему количественных и качественных показателей процессов управления производством, необходимых для выбора критериев оптимизации и поиска наиболее целесообразного варианта хозяйственной деятельности;
разработать систему ограничений, фиксирующую допустимую область решений с учетом основных внешних и внутренних свойств объекта исследования, а также определить уравнения связи;
на основе предложенных критериев оптимизации показателей хозяйственной деятельности предприятия построить ряд математических моделей текущего планирования таким образом, чтобы каждая последующая модель не
8 нарушала свойств объекта, отраженных в предыдущих моделях;
- разработать методику проведения сравнительного анализа прибыли, по
лучаемой в условиях разного ресурсного обеспечения.
Методология исследования. Работа основана на использовании элементов теории полезности, элементов теории принятия решений, линейного программирования, дробно-линейного программирования, нелинейного программирования теории многокритериальной оптимизации.
Построенные математические модели решены с использованием результатов научных трудов отечественных и зарубежных авторов по вопросам математического моделирования в области экономики. В этой связи особенно следует выделить работы таких ученых, как Е.Г. Голыптейн, А.Б. Горстко, Дж.Б. Данцинг, Л.В. Канторович, О.И. Ларичев, К.В. Павлов, В.А. Точилин, Н.П. Федоренко, Р. Штойер, Д.Б. Юдин.
В качестве источников информации для исследования использовались научные материалы, статистическая и экономическая информация машиностроительного предприятия.
Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов подтверждены использованием построенных математических моделей на крупнейшем машиностроительном предприятии Удмуртской Республики -ОАО «Ижевский подшипниковый завод».
Научная новизна основных результатов диссертационной работы, которые выносятся на защиту, заключается в следующем:
разработаны более совершенные модели оптимизации производственной программы предприятия;
предложен метод решения нелинейных многокритериальных задач с помощью специально подобранной штрафной функции;
выявлены резервы и определены направления совершенствования производственной программы машиностроительного предприятия, основанные на результатах применения оптимизационных математических моделей.
Практическая ценность. На основании разработанных математических моделей руководство машиностроительных предприятий может оптимизировать план производства на уровне текущего планирования и оценивать альтернативные решения с точки зрения нескольких критериев.
Материалы диссертационного исследования могут быть использованы в процессе обучения студентов специальности 0618 по дисциплинам "Математические методы и исследование операций в экономике", "Теория оптимального управления", "Эконометрическое моделирование", "Методы социально-экономического прогнозирования" и др.
Осуществлены расчеты на основе статистических данных о хозяйственной деятельности машиностроительного предприятия, доказывающие жизнеспособность разработанных математических моделей оптимизации.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационного исследования были представлены на Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» (Ижевск, 2001); Международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию ИжГТУ (Ижевск, 2002); V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002); научно-технических конференциях ИжГТУ (Ижевск, 1999-2001).
Публикации. Результаты работы отражены в 7 научных трудах: 2 статьи в научных журналах, 3 публикации в трудах международных конференций и 2 тезиса докладов на международном конгрессе и научно-технической конференции.
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение, изложенные на 121с. машинописного текста. В работу включены 11 рис., 16 табл., список литературы из 92 наименований.
Введение содержит обоснование актуальности темы, формулировку цели и задач диссертационного исследования, основные положения, выносимые на защиту, и определяет содержание и методы выполнения работы.
В первой главе проведен обзор, описан общий подход к математическому моделированию, дан анализ работ по проблеме оптимизации показателей хозяйственной деятельности предприятия.
Во второй главе рассмотрены методы и алгоритмы, применяемые для решения задач линейного программирования, дробно-линейного программирования, нелинейного программирования, многокритериальной оптимизации.
В третьей главе содержится описание этапов построения математических моделей оптимизации производственной программы предприятия, задач, которые они призваны решать, и методов их решения.
В четвертой главе описаны результаты решения задач на основе построенных математических моделей на примере конкретного машиностроительного предприятия, а также осуществляется анализ полученных основных экономических показателей.
и Глава 1. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ МАШИНОСТРОЕНИЯ
1.1. Предприятие и его структура
Предприятие - являющийся юридическим лицом самостоятельно хозяйствующий субъект, созданный для производства продукции, выполнения работ и оказания услуг в целях удовлетворения общественных потребностей и получения прибыли [86].
Создание эффективных математических моделей и оптимизация технологических процессов невозможна без изучения структуры промышленного предприятия и основных характеристик производственного процесса.
Каждое промышленное предприятие состоит из производственных подразделений - цехов, участков, обслуживающих хозяйств, органов управления, организаций и учреждений, призванных удовлетворять нужды работников предприятия и их семей.
Комплекс производственных подразделений, организаций по управлению предприятием и обслуживанию работников, их количество, величина взаимосвязи и соотношения между ними по размеру занятых площадей, численности работников и пропускной способности представляют собой общую структуру предприятия.
Производственные подразделения предприятия - цеха, участки, обслуживающие хозяйства и службы (прямо или косвенно участвующие в производственном процессе), связи между ними, взятые в совокупности, - составляют его производственную структуру.
На производственную структуру влияет ряд факторов [18]:
- отраслевая принадлежность предприятия - номенклатура выпускаемой продукции, ее конструктивные особенности, используемые материалы, способы
12 получения и обработки заготовок;
простота конструкции и технологичность изделия;
уровень требований, предъявляемых к качеству продукции;
тип производства, уровень его специализации;
состав оборудования и технологической оснастки;
централизованная или децентрализованная организация обслуживания оборудования, текущего ремонта его и технологической оснастки;
способность производства оперативно и без больших потерь перестраиваться на новый выпуск продукции в измененной номенклатуре изделий;
характер производственного процесса.
Важнейшей характеристикой промышленного производства, во многом определяющей его структуру управления, является тип производства: массовое, серийное и единичное. Они отличаются объемом производства и периодичностью выпуска продукции [4].
Для массового производства характерен большой объем выпуска продукции при строго ограниченной номенклатуре (машиностроительное производство, шарикоподшипники, болты и др.). Это позволяет использовать высокопроизводительное специализированное оборудование и оснастку. Данный тип производства наиболее эффективный: здесь достигается высокая производительность труда, значительная рентабельность, низкая себестоимость продукции.
Для серийного производства характерно изготовление изделий ограниченной и периодически повторяющейся номенклатуры. Данный тип производства распространен, например, в радиотехнической промышленности, приборостроении, станкостроении.
Для единичного производства характерно изготовление разнообразных изделий определенного назначения в небольших количествах. Единичное производство преобладает на опытных предприятиях, при изготовлении уникальных приборов, машин и агрегатов.
Главное, чем отличается одно предприятие от другого, это производственный процесс.
Производственный процесс представляет собой совокупность различных действий [65]. Главными являются действия по изменению формы, размеров или свойств обрабатываемого материала - технологической операции. Они определяют технологический процесс и, как правило, не поддаются замене или исключению. Любой производственный процесс включает в себя технологические операции и вспомогательные: транспортные, складские, операции по ориентированию и фиксации обрабатываемых изделий, комплектации заготовок, инструмента и оснастки.
Эффективная деятельность предприятий в условиях рыночной экономики в значительной степени зависит от того, насколько достоверно они предвидят дальнюю и ближнюю перспективу своего развития, т.е. от прогнозирования. На уровне предприятий разработка плана осуществляется в расчете на собственные ресурсы.
Необходимость технико-экономического обоснования планов и повышения эффективности производства предопределили систему показателей плана. Показатели, применяемые в планировании, подразделяются на количественные и качественные.
Количественные показатели плана выражаются абсолютными величинами. К ним относятся: объем товарной, валовой продукции, объем реализации, численность работающих, численность рабочих, сумма прибыли, размер затрат различных производственных ресурсов (металла, топлива и т.д.) и др.
Качественные показатели являются величинами относительными. Они выражают экономическую эффективность производства, его отдельных факторов. Это рост производительности труда, снижение себестоимости продукции и др. К качественным показателям относятся также те, которые выражают соотношение количественных показателей между собой, например, рентабельность производства, рентабельность продукции и др.
14 Между количественными и качественными показателями существует взаимосвязь и взаимодействие. Для того чтобы обеспечить непрерывность и пропорциональность развития производства, нацелить работников на повышение эффективности производства, одного показателя недостаточно. Нужна система, сочетание количественных и качественных показателей.
Количественная оценка процессов управления производством основана на следующем:
Любая целенаправленная управленческая деятельность сопряжена с использованием определенных средств-ресурсов (людей, материалов, оборудования, денежных средств, времени и пр.), количество которых всегда ограничено и может быть численно измерено.
Конечный результат деятельности может быть достигнут при различных вариантах использования имеющихся ресурсов. Этот результат, как правило, тоже может быть численно измерен (прибыль, потери, объем выпуска, себестоимость и т.п.).
Выбор наиболее целесообразного варианта распределения ресурсов осуществляется по совокупности качественных и количественных характеристик. Количественная сравнимость вариантов может быть достигнута введением однозначной меры (критерия), оценивающей конечные результаты при различных способах распределения ресурсов.
В управлении производством главная задача руководителя состоит в том, чтобы определить, как целесообразнее использовать (распределить) имеющиеся ресурсы, чтобы достичь наилучшего результата, т.е. выбрать наиболее целесообразный вариант деятельности.
Системность и коллективный характер выполнения производственно-хозяйственной деятельности любого вида всегда предполагает наличие нескольких целей (выпуск данного вида продукции определенного объема и ассортимента, уровень производственных затрат на ее изготовление, степень использования производственных фондов и др.). Цели - это совокупность конеч-
15 ных частных и общих результатов целенаправленной управляемой деятельности. При управлении определенным процессом цели обычно бывают заданы.
Важнейший раздел плана развития предприятия составляет производственная программа, или план производства продукции. Основой для определения в плане объема продукции в стоимостном выражении служит план производства в натуральном выражении.
Задания по производству продукции в натуральном выражении устанавливаются в единицах измерения. Такими единицами могут быть тонны, метры, штуки и т.д., но во всех случаях единица измерения должна отражать специфику производства.
Стоимостными показателями производственной программы являются: объем реализации, товарная, валовая продукция.
1.2. Математическое оптимизационное моделирование
Для того чтобы использовать результаты и вычислительные процедуры теории оптимизации на практике, необходимо прежде всего построить математическую модель объекта оптимизации.
Под математической моделью любой реальной системы принято понимать совокупность соотношений, определяющих характеристики состояний системы в зависимости от начальных условий и времени [39].
В практике исследования производственно-экономических объектов модели могут применяться для самых разных целей, что вызывает использование моделей различных классов. Построение одной модели для сложной системы практически не представляется возможным без разработки вспомогательных моделей. Поэтому при создании конечной математической модели исследуемого объекта строят частные вспомогательные модели, отражающие ту или иную информацию об объекте, имеющуюся у разработчика на данном этапе построе-
ния модели.
Для построения модели необходима система правил (принципов), позволяющих корректно осуществлять процесс построения. Общие принципы системного экономико-математического моделирования вытекают из общих принципов системного анализа [29, 30, 74]:
принцип достаточности используемой информации;
принцип инвариантности используемой информации;
принцип преемственности модели;
принцип эффективной реализуемости комплекса экономико-математических моделей.
Принцип достаточности используемой информации означает, что в каждой частной модели должна использоваться только та информация, которая известна с требуемой для результатов моделирования точностью. Под известной информацией понимаются нормативные, справочные и другие данные о реальной производственной системе, имеющиеся к моменту моделирования, точность которой можно оценить.
Принцип инвариантности используемой информации требует, чтобы используемая в модели входная информация была независима от параметров моделируемой системы, которые еще неизвестны на данной стадии моделирования.
Суть принципа преемственности сводится к тому, чтобы каждая последующая модель не нарушала свойств объекта, установленных или отраженных в предыдущих моделях комплекса.
Принцип эффективной реализуемости. Необходимо, чтобы каждая частная модель могла быть реализована при помощи современных и характерных для каждого предприятия вычислительных систем. С другой стороны - требует обеспечения соответствия точности исходных данных, точности решения задачи и той точности результирующей информации, которая достаточна для практических целей.
При рассмотрении экономико-математических моделей оперируют следующими понятиями: критерий оптимальности, целевая функция, система ограничений, уравнения связи, решение модели.
Критерием оптимальности называется некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, служащий формализацией конкретной цели управления и выражаемый при помощи целевой функции через факторы модели. Критерий оптимальности определяет смысловое содержание целевой функции.
Целевая функция математически связывает между собой факторы модели, и ее значение определяется значениями этих величин. Содержательный смысл целевой функции придает только критерий оптимальности.
При наличии нескольких критериев оптимальности каждый из них будет описываться своей частной целевой функцией.
Система ограничений определяет пределы, сужающие область осуществимых или допустимых решений и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Ограничения определяют область протекания процесса, пределы изменения параметров и характеристик объекта.
Уравнения связи являются математической формализацией системы ограничений. Различные по смыслу ограничения могут описываться одинаковыми уравнениями связи, а одно и то же ограничение в разных моделях может описываться разными уравнениями связи.
Решением математической модели называется такой набор (совокупность) значений переменных, который удовлетворяет ее уравнениям связи.
Общих способов построения математических моделей не существует, но можно условно разбить процесс на следующие основные этапы:
определение границ объекта оптимизации;
выбор управляемых переменных;
определение ограничений на управляемые переменные;
выбор критерия оптимизации;
формулировка математической задачи;
18 6. информационное обеспечение математической модели.
Требования к модели противоречивы. С одной стороны, она должна быть простой и понятной пользователю, с другой стороны - достаточно полной, т.е. в ней должны быть учтены важные факторы. Также она должна быть целенаправленной и надежной, в смысле гарантии от абсурдных результатов; удобная в управлении и в обращении; адекватной, т.е. позволяющей переходить к новым исходным данным; совершенствуемой, допускающей изменения и доработки.
Важнейшие требования к модели - адекватность, которая может быть количественной и качественной. Количественная адекватность - это соответствие того или иного параметра в системе с той или иной степенью точности. Качественная адекватность - это вывод об изменении характеристик (рост, падение, резонанс и др.).
С понятием адекватности тесно связано понятие идентификации - это создание непротиворечивого массива данных и свойств модели, обеспечивающих достоверную имитацию выбранных характеристик системы.
Одной из наиболее важных процедур является анализ чувствительности модели. При этом, если чувствительность сильная по какому-либо параметру, то необходимо предпринять дополнительные усилия для уточнения этого параметра.
Математическая модель, даже адекватная реальному объекту и достаточно полно отражающая его свойства, может оказаться бесполезной для практического использования, если отсутствует необходимая информация о величинах, параметрах, переменных, входящих в модель. Поэтому необходимо, чтобы было информационное обеспечение модели.
Информация позволяет получить решение, как эффективнее и экономически выгоднее организовать производство товаров и услуг.
Знания и информация становятся стратегическими ресурсами, поскольку
19 наряду с эмпирическим знанием и повседневным опытом в экономическую деятельность вовлекается систематизированное теоретическое знание. Признано, что факторами успеха в современном бизнесе являются: стратегия бизнеса, трудовые ресурсы и информационные системы [35].
Автоматизированные системы как связующее звено при выработке стратегии производства, управлении играют значимую роль в успешной реализации стратегии предприятия в целом. Применение автоматизированных систем ориентировано на факторы, повышающие конкурентоспособность предприятия:
эффективное размещение средств;
уменьшение себестоимости продукции и регулирование затрат;
повышение эффективности маркетинга;
регулирование рыночного риска и др.
1.3. Выбор критериев оптимизации
В профессиональной деятельности выбор критериев часто определяется опытом, многолетней практикой. В большинстве задач выбора имеется достаточно много критериев оценок вариантов решений. Эти критерии могут быть независимыми или зависимыми. Зависимыми называются те критерии, при которых оценка решения по одному из них определяет (однозначно либо с большой степенью вероятности) оценку по другому критерию.
Критерий должен быть всесторонним и измеримым, тогда им сможет воспользоваться лицо принимающее решение (ЛПР). Критерий является всесторонним, если ЛПР, зная значение критерия в определенной ситуации, полностью понимает, в какой степени достигается соответствующая цель. Критерий является измеримым, если он оказывается пригодным как для получения вероятностного распределения его возможных значений или в особых случаях для определения его точного значения, так и для количественного описания степени предпочтений ЛПР различных возможных значений критерия. Таким
20 образом, требование всестороннего характера критерия связано с оценкой пригодности критерия с теоретических позиций: даст ли он ту информацию, которую от него хотели бы получить, независимо от того, возможно ли вообще ее получить. А измеримость связана с практической стороной дела: возможно ли получение необходимых количественных оценок?
Во многих случаях, если цель ясна, выбор критерия не будет трудным. Если целью предприятия является максимальное увеличение прибыли, то логически вытекающим критерием будет прибыль, измеряемая в рублях. Значение того, какова прибыль от того или иного способа производства, покажет, насколько достигается цель максимально увеличить прибыль.
Поставим вопрос: соответствует ли проблеме выбранный набор целей и связанных с ними критериев? Для ответа на этот вопрос определим пять свойств, которыми должен обладать выбираемый нами набор критериев [36].
Во всякой проблеме, связанной с принятием решения, важно, чтобы используемый набор критериев был полным - охватывал все важные аспекты проблемы, действенным - мог быть с пользой применен в анализе, разложимым - чтобы процесс оценки можно было упростить, разбив его на части, не избыточным - не дублировать учет различных аспектов последствий, и минимальным - чтобы размерность проблемы оставалась по возможности минимальной. Рассмотрим подробнее эти свойства.
Полнота. Набор критериев является полным, если он способен показать степень достижения общей (глобальной) цели. Набор из п критериев полон, если, зная значение п- мерного векторного критерия, связанного с общей целью, ЛПР имеет полное представление о степени достижения общей цели.
Действенность (операциональность). Это связано с большим числом разнообразных факторов, в той или иной степени зависящих от предполагаемого использования анализа. Главное: поскольку смысл анализа решений - помочь ЛПР выбрать лучший курс действий, то и критерии должны служить этой цели. ЛПР должно понимать смысл критериев, а критерии должны быть такими, что-
21 бы их можно было объяснить другим.
Разложимость. Формальный анализ решения требует, чтобы мы нашли количественное выражение как предпочтений J11 IP относительно возможных последействий, так и его суждений о неопределенных событиях. Иначе говоря, крайне желательно, чтобы рассматриваемые задачи могли быть подразделены на части с меньшей размерностью.
Неизбыточность. Критерии должны быть определены так, чтобы не дублировался учет одних и тех же аспектов возможных последействий. Чаще всего избыточность может вкрасться в набор критериев.
Минимальная размерность. Желательно, чтобы набор критериев оставался настолько малым, насколько это возможно, т.к. с ростом числа критериев возникают трудности получения совместного распределения вероятностей и квантификации многомерных предпочтений. В некоторых задачах возможно объединение критериев и, следовательно, уменьшение размерности.
Очевидно, что минимально возможное число критериев равно 1. Однако, для большинства сложных проблем принятия решений это не сделает их более поддающимися обработке.
1.4. Модели оптимизации производственной программы предприятия с одним критерием
Задачи оптимизации в современном мире возникают повсюду: в естественных и гуманитарных науках, в технике и хозяйственной деятельности. Благодаря этому последние достижения теории оптимизации, особенно в математическом программировании, находят многие важные области применения и обещают стать еще более широко используемыми в будущем.
В настоящее время большое внимание уделяется вопросам совершенствования планирования, экономического анализа и управления экономикой. Необ-
22 ходимость такого совершенствования определяется ростом масштабов производства, усложнением экономических и производственных связей. Той же цели служит совершенствование экономической теории и практики, перестройка их на базе использования математических методов и ЭВМ.
Предметом исследования математической экономики являются математические модели, порожденные и связанные с определенными экономическими объектами и проблемами [56]. В условиях рыночных отношений центр экономической деятельности перемещается к основному звену всей экономики -предприятию. Каждое предприятие самостоятельно принимает решение в части того, что, сколько и как производить, где и как реализовывать свою продукцию и как распределять полученный доход. Формирование производственной программы - многовариантная задача, от оптимального решения которой во многом зависят конечные результаты работы предприятия.
Под оптимальной производственной программой понимается программа, обеспеченная сбытом, в наибольшей степени соответствующая структуре ресурсов предприятия и обеспечивающая наилучшие результаты по принятому критерию [76].
Качество производственной программы самым существенным образом зависит от принятой системы решений - при удачном ее выборе при меньших затратах может быть достигнут больший эффект и наоборот.
Расчет оптимальной производственной программы - это задача оптимального текущего планирования. В данном случае речь идет о составлении плана выпуска изделий на сравнительно краткий промежуток времени при определенных, более или менее неизменных условиях - используемых производственных процессах, ресурсах, средств производства, требования к продукции. Решение задачи зависит от ряда факторов, определяемых как структурой и характеристиками производства, так и ограничениями, поступающими от пользователя.
Наиболее популярной среди специалистов по экономико-математическо-
23 му моделированию и многих экономистов является оптимизационная модель, впервые сформулированная и исследованная академиком Л.В. Канторовичем, который назвал ее "основной задачей производственного планирования" [31]. В ней впервые вводилось понятие технологического способа, описываемого вектором {asx,as2,...,asm}, "положительные компоненты которого указывают объем
производства при однократном применении данного способа, отрицательные компоненты означают затраты".
В [31] автором сформулированы важнейшие элементы моделей, которые могут быть построены на базе основной задачи производственного планирования. Основные из них - продукты, фонды, труд и технологические способы. Продукты в экономико-математическом моделировании соответствуют конкретным предметам и результатам труда. Как правило, используются шесть подмножеств продуктов: выпускаемые (производимые) и затрачиваемые (потребляемые), основные и побочные, а также эндогенные и экзогенные. Под выпускаемыми (производимыми) понимаются результаты труда, под затрачиваемыми (потребляемыми) - предметы труда, потребление которых происходит однократно и полностью.
Модели оптимизации производственной программы предприятия с одним критерием
Задачи оптимизации в современном мире возникают повсюду: в естественных и гуманитарных науках, в технике и хозяйственной деятельности. Благодаря этому последние достижения теории оптимизации, особенно в математическом программировании, находят многие важные области применения и обещают стать еще более широко используемыми в будущем.
В настоящее время большое внимание уделяется вопросам совершенствования планирования, экономического анализа и управления экономикой. Необ ходимость такого совершенствования определяется ростом масштабов производства, усложнением экономических и производственных связей. Той же цели служит совершенствование экономической теории и практики, перестройка их на базе использования математических методов и ЭВМ.
Предметом исследования математической экономики являются математические модели, порожденные и связанные с определенными экономическими объектами и проблемами [56]. В условиях рыночных отношений центр экономической деятельности перемещается к основному звену всей экономики -предприятию. Каждое предприятие самостоятельно принимает решение в части того, что, сколько и как производить, где и как реализовывать свою продукцию и как распределять полученный доход. Формирование производственной программы - многовариантная задача, от оптимального решения которой во многом зависят конечные результаты работы предприятия.
Под оптимальной производственной программой понимается программа, обеспеченная сбытом, в наибольшей степени соответствующая структуре ресурсов предприятия и обеспечивающая наилучшие результаты по принятому критерию [76].
Качество производственной программы самым существенным образом зависит от принятой системы решений - при удачном ее выборе при меньших затратах может быть достигнут больший эффект и наоборот.
Расчет оптимальной производственной программы - это задача оптимального текущего планирования. В данном случае речь идет о составлении плана выпуска изделий на сравнительно краткий промежуток времени при определенных, более или менее неизменных условиях - используемых производственных процессах, ресурсах, средств производства, требования к продукции. Решение задачи зависит от ряда факторов, определяемых как структурой и характеристиками производства, так и ограничениями, поступающими от пользователя.
Наиболее популярной среди специалистов по экономико-математическо му моделированию и многих экономистов является оптимизационная модель, впервые сформулированная и исследованная академиком Л.В. Канторовичем, который назвал ее "основной задачей производственного планирования" [31]. В ней впервые вводилось понятие технологического способа, описываемого вектором {asx,as2,...,asm}, "положительные компоненты которого указывают объем производства при однократном применении данного способа, отрицательные компоненты означают затраты".
В [31] автором сформулированы важнейшие элементы моделей, которые могут быть построены на базе основной задачи производственного планирования. Основные из них - продукты, фонды, труд и технологические способы. Продукты в экономико-математическом моделировании соответствуют конкретным предметам и результатам труда. Как правило, используются шесть подмножеств продуктов: выпускаемые (производимые) и затрачиваемые (потребляемые), основные и побочные, а также эндогенные и экзогенные. Под выпускаемыми (производимыми) понимаются результаты труда, под затрачиваемыми (потребляемыми) - предметы труда, потребление которых происходит однократно и полностью.
Разделение продуктов на основные и побочные вытекает из понятия технологического способа. Технологический способ отражает реальный технологический процесс в виде вектора-столбца, элементами которого являются технологические коэффициенты. Технологический коэффициент - это некоторый объем продукта или ресурса, который выпускается или затрачивается в данном технологическом способе, а, следовательно, и в отображаемом технологическом процессе. Технологический способ может быть простым или составным. В простом способе выпускается только один продукт, в составном - два и более. Один из выпускаемых продуктов составного способа принимается в качестве основного, все остальные называются побочными. Один и тот же продукт может производится различными технологическими способами. При этом в одних способах он может быть основным, в других - побочным.
Экзогенные продукты - это затрачиваемые продукты, которые в пределах моделируемой производственной системы не выпускаются. Продукты, выпускаемые и потребляемые внутри моделируемой системы, называются эндогенными.
Типовыми оптимизационными моделями планирования являются модели для расчета оптимального плана, распределения производственной программы по календарным периодам, оптимальной загрузки оборудования [57].
Вопросы нахождения оптимального плана играют особую роль. С его помощью может быть достигнуто наиболее полное и эффективное использование имеющихся и выделенных для производства ресурсов, обеспечивающее максимальный выпуск продукции. Этой проблеме уделяется большое внимание в работе [25]. Поэтому в экономике из математических методов наибольшее значение получили методы нахождения наилучшего, оптимального решения.
Прежде всего в планировании можно выделить задачи текущего планирования. Речь идет о составлении плана на сравнительно краткий промежуток времени при определенных, более или менее неизменных условиях - используемых производственных процессах, ресурсах средств производства, требования к продукции.
Далее в текущем планировании выделяется задача составления плана некоторого отдельного хозяйственного подразделения (предприятия, фирмы и т.п.). Экономика такого подразделения является незамкнутой, ее функционирование рассчитано на получение сырья, материалов извне и выдачу продукции внешним потребителям. В [10, 14, 17, 51, 62] авторами изложены различные постановки задач о составлении оптимального плана в общем виде, с учетом влияния различных факторов и рассмотрением связей внутри системы.
Устойчивость и экономическая интерпретация двойственных оценок
Теория двойственности играет важную роль при исследовании и решении задач математического программирования. Переменные yt в двойственной задаче (2.7) - (2.9) носят название двойственных оценок. Часть методов линейного программирования автоматически вычисляют у І , для других их приходится искать отдельно. Двойственные оценки могут выступать в следующей экономической интерпретации: 1. Оценки как мера дефицитности ресурса. Если при одном из оптималь ных планов производства г -ый производственный ресурс используется не пол ностью, то по второй теореме двойственности его оценка равна нулю. Наобо рот, если оценка г -го производственного фактора (при любом векторе оценок) равна нулю, то существует такой оптимальный план производства, при котором ресурсы г -го фактора используется не в полном объеме. Таким образом, фак тор, запасы которого превышают потребности в нем (с точки зрения некоторого оптимального плана производства), не представляют ценности для производст ва: некоторое сокращение запасов по такому фактору не уменьшит возможно стей производства. Если при любом оптимальном плане производства г -ый производственный фактор используется полностью, то согласно второй теореме двойственности, оценка этого фактора будет положительна. Наоборот, положительная двойственная оценка возможна только у такого фактора, который используется полностью при любом оптимальном плане производства. Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества ресурса соответствующего вида на 1 единицу. 2.
Оценка как мера влияния ограничений на целевую функцию. Всякое из менение исходных данных прямой задачи может оказать влияние, как на ее оп тимальное решение, так и на систему оптимальных двойственных оценок. По этой причине важным становится вопрос анализа устойчивости двойственных оценок. Предположим, что прямая задача имеет невырожденные допустимые базисные решения и хотя бы одно из них является оптимальным. Максимальное значение целевой функции прямой задачи рассмотрим как функцию свободных членов системы ограничений: Fmax(bx,b2,..,bm). Это равенство означает, что изменение значений величин bt приводит к увеличению или уменьшению Fmax(bub2,..,bm). Изменение Fmax(b\,b2,..,bm) определяется величиной \yt\ и может быть охарактеризовано лишь тогда, когда при изменении величин bt значения переменных yt в оптимальном решении соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому представляет интерес определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений, в которых оптимальное решение двойственной задачи не меняется. Пусть известно оптимальное решение X = (х],х2,...,хп). Разобьем вектор X на два подвектора X О и Х = 0. В первый включены неизвестные, вошедшие в базис оптимального решения (т.е. ненулевые в оптимальном решении). Соответственно матрицу А ограничений задачи разобьем на две подматрицы: А (размерность тхт)и А0 (размерность тхп). Первая из них состоит из столбцов матрицы А, которые соответствуют ненулевым неизвестным в оп-тимальном решении. Тогда А X + АХ = О. Так как АХ = 0, то А X = В. Умножив обе части последнего равенства на матрицу, обратную матрице А , получим X = А ХВ. Обозначим А х через D, тогда X = DB. Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска про Следовательно, АХ = DAB. Это соотношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске продукции при изменении ограничений исходной задачи. Из отношений второй теоремы двойственности следует, что всякое изменение исходных данных прямой задачи может оказать влияние как на ее оптимальное решение (АХ = DAB), так и на систему оптимальных двойственных оценок. Это изменение определяется величиной yi и может быть определено лишь тогда, когда при изменении величин bt значения переменных уі в оптимальном решении соответствующей двойственной задачи остаются неизменными.
Поэтому необходимо определить интервалы устойчивости, в которых оптимальное решение двойственной задачи не меняется. Это имеет место тогда, когда среди компонент вектора X = DB нет отрицательных. Пределы уменьшения (нижняя граница) Ab} определяется по хк (к = \,т), для которых соответствующие dki О: Пределы увеличения (верхняя граница) определяются по хк (к = \,т), для которых dki 0: Ослабление какого-либо і -го ограничения приводит к тому, что с определенного момента оказывается возможным изменить структуру (набор векторов) в базисе допустимого решения, что ведет к скачкообразному уменьшению величины оценки. Так продолжается до тех пор, пока і -ый ресурс вообще перестает быть дефицитным и его оценка обратится в нуль. 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов. Согласно второй теореме двойственности способ производства ис пользуется в оптимальном решении в том и только в том случае, если при его реализации оценки полученной продукции и затраченных ресурсов совпадают. Другими словами, если некоторый способ производства связан с превышением расходов над доходами, то его использование не имеет смысла.
Информационное обеспечение моделей оптимизации производственной программы машиностроительного предприятия
Информация как совокупность данных и знаний представляет собой меру организации системы. От уровня организации процессов сбора, накопления, хранения, поиска, передачи и обработки информации зависит эффективность производства в целом.
База данных (БД) представляет собой информационную модель объекта исследования. В различных определениях базы данных [2, 20, 52] обращается внимание на две важные особенности ее организации: минимальную избыточность данных и независимость БД от программ, её использующих. Отсутствие избыточности означает, что не может быть ситуации, когда одни и те же данные находятся на разных стадиях обновления. Независимость данных от прикладных программ предполагает, что одни и те же данные могут использоваться для ответов на различные по своему смыслу запросы.
Пользователи должны иметь простой доступ к данным, для этого применяется система управления БД. Запросы на данные обрабатываются не прикладными программами, а с помощью высокоуровневого языка запросов; при этом не нужно знать подробности расположения файлов и адресации данных. БД может увеличиваться и изменяться без нарушения имеющихся способов использования данных.
Построение базы данных обеспечивает физическую и логическую независимость данных. Физическая независимость данных означает, что все изменения в физическом хранении данных и в аппаратуре, обеспечивающей хранение, отражаются в программном обеспечении БД, но не затрагивают прикладных программ. Логическая независимость данных означает, что изменения общей логической структуры данных могут быть реализованы без перезаписи тех прикладных программ, которые не были затронуты изменениями.
База данных, используемый язык как совокупность знаков и классификаторов, а также комплекс моделей и программ, обеспечивающих работу с данными, являются компонентами информационной системы производства.
В данной работе информационная система производства разработана на основе собранной информации для ОАО «Ижевский подшипниковый завод». Выбор данного предприятия объясняется рядом причин. Подшипниковая подотрасль Российской Федерации состоит из 20-ти известных производственных предприятий. В их число входит и ОАО «Ижевский подшипниковый завод». Данная подотрасль полностью удовлетворяет потребности внутреннего рынка и экспортирует свою продукцию в дальнее зарубежье. Доля экспортных поставок ОАО «Ижевский подшипниковый завод» колеблется от 25% до 70% от производства. Для того, чтобы соответствовать заявленному уровню, обоснованно рассчитывать на реализацию намеченного, необходимо иметь мощное программное обеспечение и компьютерное оснащение. Но дело на предприятиях, как правило, не идет дальше создания или приобретения автоматизированных рабочих мест. Для ОАО «Ижевский подшипниковый завод» причины данного решения понятны: приобретение серьезной системы производства просто не окупается. При этом задачи, которые нельзя решить в рамках подобной системы, решаются при помощи дополнительного программного обеспечения, которое часто имеет другую методологическую основу. Руководство ОАО «Ижевский подшипниковый завод» избрало подход, направленный на автоматизацию системы производства на единой методологической основе [38, 67, 68]. Несмотря на то, что данного рода системы появились относительно давно, универсальный подход к их созданию не выработан [13, 35, 37, 73]. Такие разработки в большей степени носят заказной характер. Информационная система производства ОАО «Ижевский подшипниковый завод» содержит информацию о следующих данных: - номенклатура выпускаемых изделий; - комплектующие детали изделий; - технологические процессы обработки деталей и сборки изделий; - парк оборудования; - основные материалы; - нормы затрат времени, энергии и материалов на производство каждой детали. Стоимостные величины, такие как: прибыль, цена, себестоимость используются в рублях на единицу изделия. Количественные величины: количество изделий, количество оборудования используются в штуках; количество основных материалов - в тоннах. Нормативные величины: нормы времени, нормы энергии, нормы затрат материалов используются в часах на тысячу штук, киловатт в час на тысячу штук и килограмм на тысячу штук соответственно. Вся исходная информация размещена в 6 таблицах. Таблица BEARING.DB предназначена для определения номенклатуры изделий, а также содержит информацию о стоимостных характеристиках изделий (себестоимость, оптовая цена) и нормативную информацию о времени сборки изделия. Таблица ASSEMBLY.DB содержит данные о комплектующих деталях изделия и их количестве в изделии. Таблица TECHPROCESS.DB предназначена для определения технологического процесса изготовления детали и содержит нормативную информацию о времени изготовления детали и количестве потребляемой оборудованием энергии. В таблице DETAIL.DB содержится информация о сериях и количестве готовых деталей, имеющихся на складе. Таблица EQUIPMENT.DB содержит информацию о видах оборудования, их количестве и времени работы в планируемом периоде, а также о количестве потребляемой энергии. Таблица WAREHOUSE.DB содержит информацию о материалах, имеющихся в наличии на складе и их количестве. Взаимосвязь таблиц базы данных и их структуры представлены на рис.3.1.
Сравнительный анализ оптимальных решений многокритериальных задач
При появлении многокритериальных задач возникли дополнительные трудности их решения, связанные с получением информации от ЛПР. Стремление получить такую информацию сразу и устранить многокритериальность приводит к объединению многих критериев в один. Этот подход реализован при решении Математической модели №5 методом взвешенных сумм с точечным оцениванием весов на основе выпуклой линейной комбинации [92].
Найденные значения критериев при решении Математических моделей №1,2 (см. табл. 4.9), недостижимые одновременно являются априорной информацией для ЛПР. По диагонали таблицы стоят наилучшие значения каждого из критериев, которые можно получить, если взять один из критериев как основной.
Оптимальное решение полученной однокритериальной задачи представлено в таблице 4.11. Производственная программа состоит из 7 видов изделий, из которых наибольший вклад в формирование прибыли и объема производства вносят изделия 8-202 и 6-180505 АС 17. В данном случае при включении определенных видов изделий в производственную программу становится важным учитывать не только наименьшие затраты ресурсов и производственных мощностей в производственном процессе, но и величину прибыли, получаемой от
реализации данной номенклатуры.
При этом оптимальном решении объем производства в сравнении с оптимальным решением Математической модели №2 уменьшился на 16 006 штук (что составляет 98,8% от наилучшего значения), а прибыль в сравнении с оптимальным решением Математической модели №1 уменьшилась на 3 535, 51 руб (что составляет 99,8% от наилучшего значения). Данное решение ЛПР было признано удовлетворительным.
Данные об остатках ресурсов при данной производственной программе приведены на рис. 4.7. Анализ значений показывает, что для изготовления 1 342 645 изделий используются 56 типов ресурсов из 87 имеющихся, причем из 56 полностью используются 39 типов.
В таблице 4.12 приведены остатки ресурсов машинного времени по типам оборудования. На основании этих данных можно сделать вывод, что нет резервов времени только у сборочных линий. Этот вывод подтверждают и двойственные оценки, представленные в виде диаграммы на рис. 4.8. Наибольшее значение двойственной оценки имеют сборочные линии, следовательно, они являются самым ценным ресурсов - увеличение их количества в следующем планируемом периоде принесет предприятию наибольшую выгоду.
При одновременном рассмотрении в качестве критериев оптимальности максимум прибыли от реализации, максимум объема производства и минимум себестоимости получится Математическая модель №6, которая представляет собой нелинейную многокритериальную задачу с линейными и дробно-линейными целевыми функциями. Для построения взвешенной суммы ЛПР были заданы следующие значения весовых коэффициентов Я,.: однокритериальных задач линейного и дробно-линейного программирования, записанных в виде Математических моделей № 1-3. На втором этапе ограничения задачи вводятся в целевую функцию в виде слагаемых: В результате выполненных преобразований получим нелинейную одно-критериальную задачу безусловной оптимизации вида: F «звеш ф = I F]HOPM ф + I норм ДО _ -iF W-fexpfila .-pJ max, решение которой найдено методом наискорейшего спуска. Для начала итерационного процесса в качестве начальной точки задается оптимальное решение модели №5. Оптимальная производственная программа модели №6 при заданных условиях состоит из изделий 70 видов изделий (см. таблицу 4.13). При этой производственной программе объем производства равен 1 261 013 изделиям (что составляет 92, 8 % от оптимального значения), а прибыль от реализации выпущенной продукции равна 2 653 979, 81 руб.
