Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основы стохастических методов управления активами и пассивами в коммерческом банке 6
1. Методы трансфертного ценообразования 8
2. Управление активами и пассивами в коммерческом банке 14
3. Стохастические методы управления активами и пассивами 17
Глава 2. Модели стохастической динамики срочных ресурсов 45
1. Финансовые ресурсы и их характеристики 45
2. Риск ликвидности и трансфертное ценообразование 48
3. Стохастические модели срочных финансовых ресурсов 63
4. Стохастическая модель позиции по риску ликвидности 81
Глава 3. Практическое использование моделей стохастической динамики срочных ресурсов . 86
1. Проверка предпосылок о факторах риска ликвидности и идентификация их распределений 87
2. Имитационное моделирование стохастической динамики срочных ресурсов . 93
Заключение 106
Приложение 107
Список литературы 125
- Управление активами и пассивами в коммерческом банке
- Стохастические методы управления активами и пассивами
- Стохастические модели срочных финансовых ресурсов
- Имитационное моделирование стохастической динамики срочных ресурсов
Введение к работе
Тема данной работы относится к области стохастических методов управления активами и пассивами коммерческого банка. Актуальность данной области в современной российской банковской системе не вызывает сомнения. Действительно, эффективное управление активными и пассивными операциями банка общепризнанно является одним из важнейших элементов его управления (см. [47, 49]), оказывая значительное влияние на величину как его прибыли, так и принимаемых им рисков. Одни из основных задач, возникающие в ходе этого управления, связаны с оценкой и управлением риском ликвидности и процентным риском.
В ходе своей работы банк сталкивается с целым рядов факторов неопределенности, оказывающих значительное влияние на его работу. Эта особенность в полной мере относится и к управлению его активными и пассивными операциям, что говорит о высоком потенциале, которые имеют в данной области стохастические методы.
Для последних нескольких лет существования банковской системы России характерны такие черты, как общее снижение доходности операций (особенно спекулятивных операций на финансовых рынках, до 1998 г. часто служивших основным источником прибыли банков) и усилением конкуренции на рынке услуг, оказываемых банками так называемому реальному сектору экономики. Кроме того, за этот период произошла определенная стабилизация работы банковской системы, а также сформировался ряд крупных универсальных банков, обладающих обширной и диверсифицированной клиентской базой. Уровень аналитического учета в ряде этих банков, а также наличие в них значительного объема исторической информации об операциях с клиентами позволяет им реализовать тот потенциал, которым обладают стохастические методы анализа финансовых ресурсов при их использовании в рамках управления активными и пассивными операциями. Одна из основных задач при этом состоит в определении влияния, которые на величину риска ликвидности и процентного риска банка оказывают трансфертные цены на привлекаемые и размещаемые им ресурсы.
На момент написания данной работы был опубликован целый ряд исследований, посвященных разработке моделей стохастической динамики финансовых ресурсов, а также постановке различных оптимальных задач управления активными и пассивными операциями банка. Давая им характеристику, в целом можно сказать, что они формируют базу, эффективное использование которой позволяет существенно улучшить уровень управления активами и пассивами в банке. В то же время, ряд элементов этих моделей и задач требует дальнейшего развития. Одним из важнейших его направлений с нашей точки зрения является разработка моделей стохастической динамики срочных ресурсов,
а также постановка на их основе задач оптимального управления риском ликвидности и процентным риском с помощью трансфертных цен. Актуальность развития данного направления главным образом обусловлена тем, что наиболее полно разработанные модели стохастической динамики финансовых ресурсов ([54, 30]) являются универсальными относительно вида анализируемых с их помощью величин. Эта особенность позволяет применять эти модели к показателям самой различной природы (таким как динамика ресурса, обменный курс валют или индекс РТС, см. [30, с. 235]), что, с точки зрения автора, является их несомненным достоинством. В то же время данная особенность формирует направление для дальнейшей работы в этой области, связанной с разработкой стохастических моделей для отдельных видов финансовых ресурсов, которые бы более полно учитывали присущие их поведению специфические особенности. Срочные ресурсы являются одним из таких видов. Одна из причин целесообразности разработки для них отдельных моделей состоит в том, что в результате исследования характеристик фактической динамки этих ресурсов, проведенного автором в одном из крупных российских банков, был сделан вывод о том, что они существенно отличаются от характеристик случайных процессов, порождаемых существующими моделями стохастической динамики финансовых ресурсов.
Трансфертные цены являются одним из основных инструментов управления активными и пассивными операциями, находящимся в распоряжении банка, поэтому их включение в разрабатываемые модели явялется необходимым условиям их эффективности. В силу сложности этих моделей для их эффективного исследования, с нашей точки зрения, помимо аналитических исследований целесообразно также использовать аппарат имитационного моделирования, способный существенно дополнить результаты теоретических исследований в данной области.
Таким образом, при проведении работы автором ставились следующие цели и задачи. Основной целью работы была разработка стохастических методов управления активными и пассивными операциями банка с помощью трансфертных цен. Для достижения указанной цели необходимо выполнение следующих задач:
исследование фактической динамики срочных финансовых ресурсов на основе имеющейся у автора информации о динамике таких ресурсов в одном из крупных российских банков,
анализ имеющихся моделей стохастической динамики финансовых ресурсов и задач оптимального управления активами и пассивами в коммерческом банке,
разработка теоретической модели стохастической динамки срочных финансовых ресурсов и задачи оптимального управления риском ликвидности и процентным риском на ее основе,
создание и исследование комплекса имитационных моделей по исследованию динамики срочных ресурсов, в том числе под влиянием трансфертных цен. Для достижения поставленной цели работы и решения перечисленных задач автором быпа выбрана следующая структура работы. Кроме введения, диссертация состоит из трех глав и заключения. В первой главе анализируются модели стохастической динамики финансовых ресурсов и задачи оптимального управления активными и пассивными операциями, опубликованные на момент ее написания. Вторая часть содержит описание разработанных автором моделей стохастической динамики срочных ресурсов и ставящихся на их основе задач оптимального управления риском ликвидности с помощью трансфертных цен. Третья глава посвящена разработке и применению комплекса имитационных моделей, использование которых дополняет теоретические результаты, полученные во второй главе. Наконец, заключение подводит итоги работы и отмечает возможные направления дальнейших исследований.
Управление активами и пассивами в коммерческом банке
Начало развития методологии управления активами и пассивами в коммерческом банке обычно относят к 60-м годам ХХ-го века в США. Весь процесс развития этих методов можно условно поделить на 3 следующих этапа (см. [34,47]): приоритет управления активами (до 60-х годов), приоритет управления пассивами (60-70-е гг.), совместное управление активами и пассивами (с 70-х годов по настоящее время).
Общие задачи управления активами и пассивами, существующие вне зависимости от того или этапа в его развитии, состоят в максимизации прибыли, зарабатываемой в результате работы банка по привлечению и размещению ресурсов, при ограничении на риски, связанные с этими операциями. Прежде всего к ним относится риск ликвидности, состоящий в риске невозможности банка выполнить свои платежные обязательства по причине нехватки ликвидных активов, а также процентный риск.
В течение этапа «управления активами», продолжавшегося до 60-х годов XX века, западные банки в целом воспринимали пассивы и собственный капитал как нечто «само собой разумеющееся». Основным источником их формирования были вклады населения, долгосрочные кредиты и эмиссия акций. Федеральная Резервная Система (ФРС) США запрещала депозитным организациям привлекать вкладчиков из географически удаленных регионов, предлагая им более высокие ставки процента, благодаря чему считалось, что величина и виды хранимых банком заемных средств, которые он мог привлечь, целиком определялись потребностями клиентов. П. Роуз (см. [47]) отмечает, что «публика как бы сама определяла количественное соотношение между чековыми депозитами, сберегательными вкладами и срочными депозитами, которые она желала держать». В результате в этот период банковская система была обеспечена пассивами в количестве, достаточном для проведения активных операций, и по доходности, достаточно низкой для поддержания банковской маржи на удовлетворительном уровне. При этом управление риском ликвидности в основном осуществлялось за счет управления активами. Это выражалось в выборе такой структуры инвестирования ресурсов, которая позволяла оперативно удовлетворять возникающие потребности банка в денежных средствах, обеспечивая при этом приемлемый уровень доходности. Кроме кредитования (в целом наименее ликвидного направления инвестирования), другими направлениями, перечисленными в порядке убывания ликвидности была покупка ценных бумаг или создание резервов (депозиты ФРС).
В 60-х годах произошло существенное сокращение источников финансирования. Вместе со стабильным кредитным спросом со стороны клиентов банка это привело к невозможности удовлетворить спрос на ресурсы только за счет «традиционных» источников средств. Результатом стало появление новых инструментов привлечения банками ресурсов, типичным примером которых был обращающийся депозитный сертификат (negotiable certificate of deposit), впервые предложенный Ситибанком (Citibank). В целом произошло существенное усложнение инструментов привлечения ресурсов, что потребовало от банков совершенствования управления этим процессом. В конце 60-х - начале 70-х годов, сталкиваясь с быстрым ростом величины процентных ставок и интенсивной конкуренцией за источники средств, для сохранения темпов роста кредитования банки были вынуждены уделять повышенное внимание изысканию новых источников средств и обратиться к управлению обязательствами банка. Приоритетным для этого периода было управление пассивами для обеспечения кредитных вложений. При этом ими преследовались две основные цели:
Использовать те источники, которые минимизируют издержки привлечения средств. Выбирать «оптимальные» пропорции между величинами различных видов привлеченных ресурсов и капитала, обеспечивающие желаемый уровень стабильности фондов так, чтобы банк мог позволить себе держать высокодоходные долгосрочные активы.
Экономический спад середины 70-х годов на Западе, особенно в США, инфляция, повышенная изменчивость процентных ставок, усиление конкуренции со стороны небанковских организаций (таких как взаимные фонды), либерализация финансовых услуг, существенное развитие инструментов размещения и привлечения ресурсов, развитие рынка производных финансовых инструментов и другие факторы привели банки к необходимости совершенствования методологии управления как размещаемыми, так и привлекаемыми ресурсами. Это привело к возникновению методологии совместного управления активными и пассивными операциями (УАиП). Для понимания основных черт методологии УАиП можно выделить (см. [34]) следующие четыре фундаментальные понятия: ликвидность, временная структура, чувствительность к процентным ставкам, структура сроков до погашения и переоценки.
Под ликвидностью (liquidity) понимается способность актива быть легко превращенным в денежные средства (широкий спектр альтернативных определений понятия ликвидности содержится в [10, ее. 226-232]). Применительно к активам можно различать две разновидности ликвидности (см. [34, с. 15]): ликвидность, связанная со сроками действия (актив считается ликвидным, если до его погашения остался короткий срок), и ликвидность, связанная со способности актива быть быстро реализованным без существенной потери в стоимости.
Под временной структурой (term structure) понимается зависимость между сроком инвестирования и доходностью, по которой оно производится. Графическое представление временной структуры называется кривой доходности. Форма кривой доходности и ожидания относительно ее изменения играют важнейшую роль при управлении активами и пассивами.
Под чувствительностью к процентным ставкам можно понимать два разных явления, каждое из которых важно для целей УАиП. Обычно этот термин используется для описания того эффекта, который оказывает на изменение цены инструмента изменение его доходности. Другой подход к этому понятию используется при анализе привлеченных и размещенных ресурсов с фиксированными и плавающими процентными ставками. В данном случае под чувствительностью к процентным ставкам понимается степень влияния, которое изменение ставок на рынке оказывает на изменение ставок привлеченных и размещенных ресурсов банка.
Стохастические методы управления активами и пассивами
Основным аспектом управления активами и пассивами банка, рассматриваемым в данной работе, является оценка и управление риском ликвидности, на величину которого оказывают влияние все операции банка по привлечению и размещению ресурсов. При этом особенность работы банка с точки зрения риска ликвидности (как и во многих других областях) состоит в его высокой зависимости от факторов, значительная доля которых носит для банка случайный характер. Данное обстоятельство обусловливает целесообразность использования при оценке и управлении этим риском аппарата теории вероятностей и математической статистики. Подтверждением актуальности использования данного аппарата может служить наличие целого ряда стохастических моделей УАиП, опубликованных к моменту написания данной работы, краткому анализу основных результатов которых посвящен данный пункт.
Модели динамики финансовых ресурсов и связанные с ним задачи являются сравнительно молодой экономико-математической дисциплиной. Первые известные автору работы на эту тему относятся ко второй половине 90-х годов XX века. Одна из возможных причин их возникновения именно в этот период, с нашей точки зрения, связана с тем, что к этому времени: завершилось формирование первых частных «универсальных» банков (то есть банков, обладающих достаточно обширной и диверсифицированной клиентской базой), в целом завершился период существования российской банковской системы, в течение которого основным источником получения прибыли служили спекулятивные операции на валютном и финансовом рынках; ярким примером последнего может служить рынок государственных краткосрочных обязательств (ГКО). Данные операции приносили участникам этих рынков доход, не сопряженный со значительным риском (исключая дефолт 1998 года, фактически прекративший существование этих рынков), что зачастую не стимулировало банки к повышению эффективности управления активами и пассивами. В части управления риском ликвидности еще одной причиной этого служило то обстоятельство, что активное проведение операций на финансовом рынке требовало поддержание значительных объемов ликвидных активов, что снижало актуальность совершенствования методов управления этим риском выше уровня, не предполагающего разработку каких бы то ни было математических моделей.
После кризиса 1998-го года прибыльность и, следовательно, объем спекулятивных операций на финансовых рынках значительно снизились. Это увеличило сравнительную привлекательность операций по размещению ресурсов в коммерческие кредиты, в том числе «реальному сектору» экономики. Связанное с этим увеличение рисков, в том числе риска ликвидности, повысило актуальность корректной оценки его величины и эффективного управления им. К этому периоду относится увеличение количества публикаций, посвященных совершенствованию процедур оценки и управления банковскими рисками, в том числе экономико-математическому моделированию оценки и управления риском ликвидности. В данном пункте мы рассмотрим типичные подходы к построению стохастических моделей управления активными и пассивными операциями банка, существующие на момент написания работы.
Всю совокупность этих работ можно условно разделить на две части. В первой рассматриваются методологические вопросы организации анализа данных, позволяющей проводить эффективную оценку и управления рисками банка с использованием экономико-математических методов ([12, 13, 20, 21, 31, 38, 47-49]). Во второй рассматриваются конкретные модели и задачи такого управления, при этом чаще всего рассматривается риск мгновенной ликвидности.
Говоря о «методологических» работах, следует отметить достаточно полное, с точки зрения автора, освещение в них элементов организации оценки рисками в банке. Так, отмечается необходимость разделения будущей динамики срочных ресурсов на детерминированную и случайную части: первая соответствует погашению ресурсов, имеющихся в банке на момент оценки, а вторая — динамике ресурсов, возникших после него. Несмотря на значительный потенциал развития в данной области, анализ указанных публикаций позволяет, с нашей точки зрения, говорить о существовании методологической базы, в целом достаточно эффективной для эффективного управления активами и пассивами в банке с использованием вероятностных методов.
Говоря о работах, посвященных экономико-математическим методам управления активами и пассивами, можно разделить их на два класса. Работы, входящие в первый класс ([18, 19, 33-36, 39, 41, 50]) , содержат описания стохастических моделей и задач управления риском ликвидности и процентным риском. При этом их общей особенностью, с точки зрения автора несколько снижающей как их практическую, так и теоретическую ценность, является недостаточное внимание, уделяемое в них разработке моделей стохастической динамике рассматриваемых в них финансовых ресурсов. Работы, входящие во второй класс ([10,11,23-28, 30]), посвящены моделированию этой динамики2.
Типичная постановка стохастической задачи управления риском ликвидности состоит в следующем. Объектом рассмотрения является объем некоторого показателя мгновенной ликвидности, например остатков на корреспондентском счете банка в ЦБ РФ. Каждому рабочему дню t сопоставляется одно значение остатка xt, соответствующее, например, остатку на конец этого дня. Эти остатки рассматриваются как реализации некоторых случайных величин . Далее предполагается, что в момент времени t0 некоторый объем остатков V инвестируется на срок L под ставку R. Величины V и L являются неизвестными, значения которых необходимо определить в результате решения задачи. Целевой функцией является разность между процентным доходом VLR от инвестирования ресурсов и оценки G уровня случайных расходов по финансированию дефицита ликвидности, который может возникнуть в течение отвлечения ресурсов в объеме V.
Стохастические модели срочных финансовых ресурсов
Для дальнейшей формализации процесса изменения объема ресурсов и позиции по р.л. нам потребуется описать модель времени, в рамках которого будут происходить эти изменения. Основываясь на классических моделях банковского времени ([57, 30, с. 66-68; 10, с. 13-15; 28, с.149-150]), рассмотрим следующую модель. Из «непрерывного» банковского времени, задаваемого с помощью всех неотрицательных вещественных чисел, выделяется совокупность промежутков вида ([fpf2)], каждый из которых соответствует некоторому промежутку рабочего банковского времени (/, - момент начала данного диапазона рабочего времени, t2 — момент его окончания). Например, каждый из них может соответствовать одному рабочему дню. Последовательность этих промежутков является упорядоченной, поэтому каждому их них может быть сопоставлен номер в этой последовательности. В данной работе совокупность этих номеров и задает совокупность всех возможных моментов времени. Предполагается следующий режим работы банка: все характеристики его работы, влияющие на работу по привлечению и размещению ресурсов, происходят на границах промежутков рабочего времени. Так, решение об изменении трансфертной цены может вступить в силу только с началом промежутка, следующего за тем, в течение которого оно было принято. Соответственно, интенсивность привлечения (размещения) может измениться только с началом этого или следующих промежутков. Работа же банка по привлечению и размещению ресурсов происходит в течение соответствующего промежутка, формируя состояние банка по его итогам. Каждому дискретному моменту времен сопоставляется продолжительность соответствующего ему «непрерывного» промежутка. Например, если каждый времени соответствует одному рабочему дню, ему соответствует интервал продолжительностью 8 часов (для простоты предположим, что банк работает без перерыва на обед и укороченных рабочих дней). Информация о продолжительности периода, соответствующего данному моменту дискретного времени, может использоваться при оценке изменений, произошедших в банке в этот момент. Например, если в качестве модели для последовательности моментов размещения ресурсов в «непрерывном» времени использовать простейший поток с параметром X, то распределение вероятностей случайного количества л, операций размещения, произошедших в течение промежутка «непрерывного» времени, соответствующего номеру дискретного момента времени t, будет задаваться семейством вероятностей где l(tn) - продолжительность периода, соответствующего дискретному моменту t, а N0 — множество неотрицательных целых чисел.
Мы будем придерживаться следующего принципа нумерации моментов времени. При обозначении характеристик состояния банка, которые сформировались в результате ее функционирования, мы будем считать, что момент времени t отвечает состоянию на момент /, соответствующей интервалу f,",f) Типичным примером таких характеристик служит количество ресурсов или суммарный объем привлеченных (размещенных) ресурсов8. Так, запись па (t) = п означает, что количество размещенных ресурсов, существовавших на конец промежутка «непрерывного» времени с номером /, равно п. В то же время для управляющих параметров, влияющих на работу банка, мы будем считать, что момент времени / соответствует состоянию банка на начало соответствующего ему интервала [/", ). Типичным примером таких параметров служат трансфертные цены. Так, запись tr(d;t)=tr0 означает, что значение трансфертной цены tr(d), действующей в течение промежутка «непрерывного» времени с номером /, равно //. В результате такой зап си достигается соответствие обозначений моментов времени для управляющих параметров, действующих в течение данного промежутка времени, и состояния банка, сложившегося под его воздействием.
Кроме того, для удобства обозначений вместо непосредственного перечисления элементов совокупностей моментов дискретного времени мы будем пользоваться следующими обозначениями: запись (/,;t2] означает совокупность { ,.}, +1, запись [ti ,t2) означает совокупность { } i , запись (tx;t2) означает совокупность { ,} 1 +1, запись [f,;f2] означает совокупность { }!2=, .
Данный пункт посвящен построению математической модели динамики совокупного объема срочных ресурсов, экономическое описание которой было дано выше (см. Глава 2.п. 2.3). Для определенности на всем его протяжении мы будем рассматривать только привлекаемые ресурсы. Центральная задача пункта состоит в записи закона распределении вероятностей (аналогично [2] далее мы будем пользоваться для него обозначением з.р.в.) суммарного объема V(t) срочных ресурсов для любого наперед заданного будущего промежутка времени. На основе этого закона мы далее сможем получить з. р. в. случайного изменения баланса ресурсов S{t), что позволит нам сформулировать задачу оптимального управления риском ликвидности (р.л.). Таким образом, з. р. в. суммарного объема срочных ресурсов является основой предлагаемых далее моделей и ставящихся на их основе задач.
Следует отметить, что связь данной модели с проблематикой трансфертного ценообразования реализуется в рамках такого элемента модели, как зависимость от трансфертных цен интенсивности входящего потока требований. Фактически, тот или иной вид этой зависимости определяет тот или иной характер трансфертного ценообразования, использующийся в банке. В указанном смысле данная зависимость является центральным звеном, «соединяющим» стохастическую модель срочных ресурсов и экономику управления активами и пассивами банка в единое целое. 1. Общее описание модели.
Рассмотрим совокупную динамику V(t) срочных ресурсов, привлеченных после некоторого «начального» момента to, по состоянию на некоторый момент / . В соответствии с Глава 2.п. 2.3 величина v{t) зависит от следующих величин, каждая из которых в момент to является для банка случайной: случайное число ресурсов n(t), привлеченных после to и существующих на момент /, их случайные объемы vj., / є 1: Я". В свою очередь, случайное количество ресурсов, привлеченных после to и существующих на момент t, зависит от общего количества ресурсов, привлеченных между моментами to и /, их случайных срочностей dniel: n(t). Таким образом, динамика случайного объема V(t) зависит от следующих трех факторов, каждый из которых является для банка случайным. 1. Последовательность моментов привлечения ресурсов; мы будем говорить о ней в терминах случайного потока моментов привлечения. Этот поток задается системой всевозможных совместных функций распределения для случайного количества ресурсов в различные допустимые моменты времени.
Имитационное моделирование стохастической динамики срочных ресурсов
В соответствии с Глава 2.п. 3.2.6. Главы 2, мы будем рассматривать следующую модель динамики совокупного объема срочных ресурсов входящий поток является простейшим. Для базовой модели значение параметра распределения равно 3,86. время обслуживания является постоянным. Для базовой модели его значение равно 22 дню. Случайные объемы ресурсов распределены по экспоненциальному закону с параметром 1 / 8 027 (параметр выбран случайным образом). Предпосылки модели:
Рассматриваются только один вид операций с ресурсами. Для определенности будем считать, что рассматривается процесс их привлечения
Предполагается равенство сумм привлечения ресурса сумме его погашения, то есть не учитываются процентные платежи за пользование ресурсом. Исследуемой характеристикой системы является распределение вероятностей суммарного объема ресурса V(t), существующих в банке. При этом характеристики его распределения будет интересовать нас для двух состояний системы: 1) при t -» со («устойчивый» уровень) и 2) для моментов времени, расположенных «близко» (например, по сравнению со срочностью) к моменту начала функционирования системы, а также моментам изменения параметров распределения элементов модели. Кроме того, нас будет интересовать время «перехода» системы из «начального» состояния в «устойчивое». Характеристики системы в устойчивом состоянии.
При исследовании системы в устойчивом состоянии автором была получен ряд значений суммарного объема ресурса за 1460 рабочих дней (5,8 лет). На основе этого ряда была получены следующие значения характеристик суммарного объема: Вид динамики суммарного объема срочных ресурсов V{t), полученный в результате этого моделирования, приведен на рис. 5. Для оценки соответствия результатов моделирования практическим данным на этом же рисунке приведены среднее значение, 10%-ный и 90%-ный перцентили для фактических данных о срочных ресурсов, на основе которых были определены указанные выше параметры имитационного моделирования. Фактическая динамика этого вида ресурса приведена на рис. 5а. На нем же приведены линии, соответствующие среднему значению, 10%-ному и 90%-ному перцентилям данных, полученных в результате имитационного моделирования. Из анализе рис. 5, 5а можно сделать вывод о высокой степени адекватности реальных и модельных данных для всего периода, за исключением декабря 2003 года, для которого заметно ярко выраженный сезонный всплеск объема срочных ресурсов. Отличие динамики ресурсов в этот период говорит о необходимости отдельного учета этой сезонности; в приведенном же примере его влияние было «распределено» на весь период имитационного моделирования.
Данные результаты эксперимента не противоречат теоретическим значениям среднего и стандартного отклонения процесса, полученным на основе формул (2.3.22), (2.3.25). В самом деле, указанным значениям параметров соответствуют: Таким образом, полученные ранее формулы не опровергаются в результате проведенных имитационных экспериментов.
Автокорреляционная функция процесса имеет вид, указанный на рис. 6 Приложения. На нем видно, что ее значение убывает от 0,974 для lag=l до 0,053 для 29-го, после этого становясь незначимой. На графике частной автокорреляций (рис. 6а Приложения) видно, что эта зависимость, кроме первого, вызвана влиянием второго и 30-33-го элементов. На рис. 7,7а показаны графики автокорреляции и частной автокорреляции для фактической динамики одного из видов срочных ресурсов одного из коммерческих банков Санкт-Петербурга. Сравнивая рис. 6, 6а и 7, 7а, можно заметить их качественное сходство, что говорит об адекватности рассматриваемой модели для исследования динамики реально существующих срочных ресурсов. Моделирование для начального состояния.
При исследовании динамики суммарного объема срочных ресурсов интерес представляет состояние процесса не только при / — со, но и в пределах «коротких» промежутков времени после начала его существования. Характеристика «начального» функционирования процесса представляет интерес с точки зрения исследования динамики процесса: а) на начальных этапах его работы, б) на начальных этапах после изменений параметров интенсивности процесса15.
Для исследования указанного типа поведения процесса было произведено имитационное моделирование со следующими параметрами:моделировалось первые 90 дней поведения процесса с параметрами, указанными выше, было сделано 274 прогона, так что для каждого дня было получено 274 наблюдения.
Соответствующий график средней траектории процесса приведен на рис. 8. Кроме того, на нем указаны исторические 5% и 95% персентили. Среднее значение траектории отличается от теоретического мат. ожидания, рассчитанного в соответствии с (2.23), в среднем на 0,22%, что говорит в пользу адекватности теории результатам эксперимента. Более обоснованный вывод об этой адекватности можно сделать на основе информации о законе распределения вероятностей оценки математического ожидания процесса, что позволило бы проверить гипотезу о значимости разницы между выборочным средним и теоретическим мат. ожиданием. В соответствии с центральной предельной теоремой [52, с. 249] для каждого дня наблюдений величина должна сходиться по функции распределения к нормальной случайной величине 5 с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице: 5 є iV(0;l). Таким образом, для проверки соответствия между экспериментальными наблюдениями и теоретическими средним необходимо проверить гипотезу о том, что соответствующая величина не выходит за границы доверительного интервала N(0;1) — случайной величины для выбранного уровня надежности. Такая проверка была проведена нами для каждого дня наблюдений. В ее результате гипотеза о нормальном распределении не была отвергнута ни для одного из них, кроме второго, на 95%-ном уровне надежности. Значения величин 8 и границы доверительного интервала приведены в Таблице 2 Приложения.
Таким образом, проведенные эксперименты подтвердили корректность полученных теоретических результатов для динамики суммарного объема срочных ресурсов как для «устойчивого» процесса, так и для «начального» этапа его существования.
На основании рис. 8 можно сделать следующий вывод о средней динамике суммарного объема срочных ресурсов фиксированной срочности d: до момента времени, равного этой срочности, происходит линейный рост объема со скоростью, равной среднему количеству ежедневно привлекаемых ресурсов, умноженному на их средний объем. Достигнув своего максимального значения на момент времени, равный срочности, объем стабилизируется на нем, оставаясь неизменным при неизменности параметров распределения интенсивности, объема и срочности. Половина ширины доверительного интервала [5%; 95%], приведенная к величине стандартного отклонения для соответствующего дня, составляет в среднем 160%, что весьма близко к соответствующему параметру для нормального распределения. Тем не менее, распределение суммарного объема ресурсов является не нормальным, а (по построению) сложным пуассоновским. В соответствии, например, с [15, 51], об этом говорит положительность асимметрии.
