Содержание к диссертации
Введение
1. Актуальность проблемы повышения точности эконометрического моделирования и прогнозирования рядов динамики показателей социально - экономических систем и явлений 11
1.1 .Особенности эконометрического моделирования и прогнозирования рядов динамики показателей социально - экономических систем и явлений 12
1.2. Структуры, компоненты, модели компонентов рядов динамики показателей 18
1.3. Актуальность повышения точности моделирования и прогнозирования многокомпонентных рядов динамики показателей 38
1.4.Использование моделей авторегрессий в эконометрическом моделировании и Z - преобразований, как инструмента их параметризации 44
Выводы по первой главе 56
2. Эконометрическое моделирование и прогнозирование рядов динамики экспоненциальными функциями и их сочетаниями с линейными функциями, гармониками на основе параметрических авторегрессий 58
2.1 .Представление общего подхода к эконометрическому моделированию и прогнозированию параметрическими авторегрессиями на примере экспоненциальных функций 58
2.2. Эконометрическое моделирование и прогнозирование суммами экспоненциальных функций и их сочетаниями с линейными функциями 73
2.3.Эконометрическое моделирование и прогнозирование гармониками и экспоненциальными функциями в сочетании с гармониками 85
Выводы по второй главе 109
З. Эконометрическое моделирование и прогнозирование логистической динамики на основе параметрических авторегрессий 111
3.1.Исследования и сравнительный анализ моделей логистической динамики 111
3.2. Эконометрическое моделирование и прогнозирование «гладкими» логистами 133
3.3. Эконометрическое моделирование и прогнозирование логистами с колебательной компонентой 145
Выводы по третьей главе 176
4. Эконометрическое моделирование и прогнозирование полиномами в сочетании с гармониками 178
4.1.Эконометрическое моделирование и прогнозирование алгебраическими полиномами в сочетании с гармониками 179
4.2. Эконометрическое моделирование и прогнозирование гиперболическими полиномами в сочетании с гармониками 198
4.3.Эконометрическое моделирование и прогнозирование дробно - рациональными функциями в сочетании с гармониками 215
Выводы по четвертой главе 233
5. Примеры реализации и экспериментальной проверки разработанных методов моделирования и прогнозирования 235
5.1.Описание программного комплекса, реализующего предложенные методы моделирования и прогнозирования 236
5.2.Примеры моделирования рядов динамики алгебраическими полиномами с гармоникой в области гражданской авиации 244
5.3.Примеры моделирования и прогнозирования рядов динамики рынка продовольственных товаров 244
5.4.Примеры моделирования и прогнозирования рядов динамики рынка недвижимости 255
5.5.Моделирование рядов динамики показателей стратегического плана развития муниципальных образований 272
Выводы по пятой главе 284
Заключение 282
Библиографический список использованной литературы
- Структуры, компоненты, модели компонентов рядов динамики показателей
- Эконометрическое моделирование и прогнозирование суммами экспоненциальных функций и их сочетаниями с линейными функциями
- Эконометрическое моделирование и прогнозирование «гладкими» логистами
- Эконометрическое моделирование и прогнозирование гиперболическими полиномами в сочетании с гармониками
Введение к работе
В диссертации рассмотрены вопросы повышения точности эконометрического моделирования и прогнозирования рядов динамики показателей социально - экономических систем на основе параметрических моделей авторегрессии.
Под социально - экономической системой (СЭС) будем понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ, порождающую социально - экономические явления, социально -экономические, социально - политические, социокультурные, демографические процессы [4, 12, 78, 163].
Различают экономическую статику, которая изучает допустимые и рациональные состояния СЭС, и экономическую динамику, исследующую процессы (последовательности состояний и переходы от одних состояний к другим), а также определяющую возможные и лучшие траектории развития, которые описываются показателями последовательностей состояний и переходов от одних состояний к другим.
Динамика функционирования конкретных социально -экономических систем описывается обычно десятками, а в отдельных случаях и тысячами показателей последовательностей состояний и переходов от одних состояний к другим [5, 8, 27, 62, 73, 74, 113, 116, 147, 159].
Будем определять показатель как обобщающую количественную характеристику СЭС в конкретных условиях места и времени [28, 78, 157, 183]. Значениями показателей, их динамикой определяется эффективность функционирования СЭС, их устойчивость, экономическая или продовольственная [56, 131] безопасность.
К основным способам описания СЭС относится метод эконометрического моделирования, который объединяет в себе приёмы, модели и методы, предназначенные для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики и экономических измерений, а также математико - статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией [2, 9, 10, 49, 76, 153, 154, 166, 195].
Под моделью будем понимать образ реальной системы (процесса, явления) в форме математических соотношений, отражающий существенные свойства моделируемой системы и замещающий его в ходе исследования и управления.
Практическими задачами моделирования являются, во - первых, анализ социально - экономических процессов и явлений, порождаемых социально - экономической системой, во - вторых, осуществление прогнозирования их динамики, и, в - третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.
Первые две задачи из перечисленных относятся к содержанию данной диссертации. При этом будем рассматривать как модели «временной динамики», когда аргументом показателя является физическое время (его отсчёты), так и «невременной динамики», когда аргументом одного показателя являются отсчёты другого показателя.
Значительные результаты в области построения теоретических моделей экономической динамики получены Гранбергом А.Г., Емельяновым А.С., Интрилигатором М., Колемаевым В.А., Кондратьевым Н.Д., Кузьминым В.И., Леонтьевым В.В., Макаровым В.Л., Нижегородцевым P.M., Плотинским Ю.М., Солоу P.M., Толстых Т.Н., Федосеевым В.В., Френкелем А.А., Хасаевым Г.Р., Черновым В.П., Четыркиным Е.М. и др.
Существенные результаты в области эконометрического моделирования и прогнозирования экономической динамики СЭС получены Айвазяном С.А., Афанасьевым В.Н., Балашом В.А., Бережной Е.В., Бережным В.И., Боксом Дж., Бородичем С.А., Грейнжером К., Голубковым Е.П., Губановым В.В., Дженкинсом Г., Дорохиной Е.Ю., Доугерти К., Дубровой Т.А., Елисеевой И.И., Заровой Е.В., Кашьяпом Р.А., Клейнером Г.Б., Кобелевым Н.Б., Лукашиным Ю.П., Льюисом К.Д., Магнусом Я.Р., Мхитаряном B.C., Носко В.П., Орловым О.П., Смоляком С.А., Стерником Г.М., Пересецким А.А., Половниковым В.А., Pao А.Р., Тихомировым Н.П., Уотшем Т.Дж., Фришем Р., Тинбергом Я., Хатанака М., Хендри Д., Энглом Р., Юзбашевым М.М. и др.
Отметим, что эконометрика в последние десятилетия была и по сей день остается одной из наиболее динамично развивающихся наук.
Результаты работ ряда учёных по эконометрическому моделированию и прогнозированию экономической динамики отмечены Нобелевскими премиями: за развитие и применение динамических моделей для анализа экономических процессов Фриш Р. и Тинберген Я. - в 1969 г., а за методы анализа колеблемости (волатильности) экономических временных рядов Энгл Р. и Грейнджер К. - в 2003 г. Нобелевские премии за реализацию эконометрического подхода в экономике получили в 1980 г. Клейн Л., в 1981 г. - Тобин Д., в 1989 г. - Хаавелмо Т., в 1995 г. - Лукас Р., в 2000 г. - Хекман Д. и Мак - Фадден Д. [198].
Актуальность данных исследований обусловлена недостаточной точностью известных методов эконометрического моделирования и прогнозирования рядов динамики показателей СЭС в силу того, что:
- при наличии в рядах данных сезонных и циклических компонент тренд обычно моделируют алгебраическими полиномами или экспоненциальной функцией, что в известных методах идентификации требует больших выборок (стационарности моделей на большом интервале наблюдения). В условиях высокой динамики реформирования экономики, которые, характерны для современной России, данное обстоятельство может вызвать существенную погрешность моделирования и прогнозирования;
- известные преобразования многих моделей трендов путём логарифмирования или замены переменных, сводящие их к линейным по параметрам, требуют «искусственных» предположений о виде стохастической компоненты или даже неработоспособны при учёте сезонной, циклической компонент. Например, при моделировании ряда динамики экспоненциальной функцией предполагают стохастическую компоненту для удобства логарифмирования в виде показателя мультипликативной экспоненты с логнормальной функцией распределения вероятностей значений. В этом случае, как и в ряде других, логарифмирование неработоспособно при наличие аддитивной или мультипликативной знакопеременной сезонной или циклической компоненты;
- определение параметров моделей, например, путём применения метода наименьших квадратов (МНК), над преобразованными величинами, а не над исходными, вызывает погрешность, особенно при прогнозировании;
- до настоящего времени практически не моделируют случаи присутствия в рядах «временной» и «невременной» (кроме случая линейной регрессии) динамики временного тренда и экзогенных воздействий, что также ведёт к погрешностям, сужает область реального эконометрического моделирования и прогнозирования;
- зачастую предполагают априори известными значения некоторых параметров моделей (например, в моделях Верхулста или Гомперца), что также ограничивает область применения моделирования и прогнозирования или ведет к погрешности при неточном знании этих параметров;
- применяемые на практике модели, как правило, просты, но не в силу их адекватности реальным процессам и явлениям, а из-за трудности определения класса и параметров более сложных моделей. Практически отсутствуют исследования по характеру поведения, возможностям применения и методам идентификации таких моделей рядов динамики как: суммы экспоненциальных функций и их произведений на линейные функции, гиперболические полиномы, логистические кривые, особенно в сочетании с временным трендом, сезонными и циклическими компонентами, и суммы кинетических функций;
структурная идентификация осуществляется путём последовательного перебора меры адекватности всех возможных моделей. При этом объём расчётов и соответствующие вычислительные погрешности могут быть значительны.
Кроме того, отсутствует общий математический подход к решению задачи моделирования и прогнозирования широкого класса моделей, а известны лишь отдельные эвристические решения по методам моделирования.
Целью исследований является разработка математических и инструментальных методов, обеспечивающих повышение точности эконометрического моделирования и прогнозирования значений многокомпонентных рядов динамики показателей социально -экономических процессов и явлений на основе параметрических моделей авторегрессии.
Задачи исследований!
- анализ широко применяемых многокомпонентных моделей рядов динамики показателей СЭС, примеров их приложений, а также известных математических и инструментальных методов моделирования и прогнозирования для определения общего подхода к достижению цели исследований;
- разработка и развитие математического аппарата анализа многокомпонентных рядов динамики СЭС: обоснование в качестве общего подхода для повышения точности эконометрического моделирования и прогнозирования параметрических моделей авторегрессии, получаемых с использованием Z - преобразования неслучайных компонент рядов динамики, и предложения новых методов структурной и параметрической идентификации моделей;
- расширение возможностей применения эконометрического моделирования и прогнозирования рядов динамики СЭС за счёт исследования свойств, предложений и идентификации моделей, приближенных к реальной практике: учитывающих аддитивные и\или мультипликативные сезонные и циклические компоненты, временной фактор, экзогенные воздействия, аддитивный характер стохастической компоненты;
- программная реализация и численное моделирование ряда разработанных методов эконометрического моделирования и прогнозирования, проверка на реальных статистических рядах динамики показателей СЭС, сравнение методов по точности с известными, внедрение результатов.
Объект исследований: социально - экономические системы (СЭС).
Предмет исследований: социально - экономические процессы и явления, протекающие в СЭС, математические и инструментальные методы эконометрического моделирования и прогнозирования динамики показателей СЭС.
Основные научные результаты, полученные в данной диссертационной работе:
1.Решена крупная научная проблема в области математических и инструментальных методов экономики: на основе предложенного общего подхода, разработанными методами увеличена точность эконометрического моделирования и прогнозирования многокомпонентных рядов динамики показателей СЭС.
2.Количество идентифицируемых моделей «временной» и «невременной» рядов динамики показателей превышает 70:
- экспонента и её сочетания с линейными функциями и гармониками;
- экспоненциальные функции и их сочетания с линейными функциями и гармониками;
- логистические функции и их сочетания с линейными функциями и гармониками;
- сочетания алгебраических полиномов с гармониками;
- сочетания гиперболических полиномов с гармониками;
- сочетания дробно - рациональных функций с гармониками.
З. Увеличена точность эконометрического моделирования и прогнозирования многокомпонентных рядов динамики за счёт:
- уменьшения величины необходимого интервала стационарности многокомпонентных моделей;
- практически важного, приближенного к реальной практике учёта аддитивных и\или мультипликативных сезонных и циклических компонент, временного фактора, экзогенных воздействий трёх моделей, аддитивного характера стохастической компоненты, отказа от априорных сведений о параметрах моделей;
- моделирования параметрическими авторегрессиями по одной исходной выборке: при этом не накапливаются погрешности из - за неизбежных искажений рядов динамики при последовательной реализации известных процедур детрендирования или десезонализации, уменьшаются вычислительные погрешности.
4. Предложен общий подход к эконометрическому моделированию и прогнозированию многокомпонентных рядов динамики показателей с использованием Z - преобразования неслучайных компонент ряда, на основе параметрических моделей авторегрессий рядов динамики показателей: порядок авторегрессий и значения коэффициентов определяют тип моделей и значения их параметров. В ряде случаев предложены обобщенные авторегрессии (авторегрессии функций отсчётов рядов динамики), нестационарные авторегрессии (содержащие наряду с коэффициентами и функции от номеров отсчётов).
5.К новым результатам можно отнести и предложенное моделирование логистических тенденций с колебательной компонентой на основе композиции двух «кинетических» и четырёх экспоненциальных функций, исследования свойств ряда моделей: сумм экспоненциальных функций и их произведений на линейные функции, логистических кривых.
б. Показано более 20 приложений идентифицируемых моделей, созданы программные средства, осуществлены 4 внедрения, проведена апробация на 18 - ти конференциях и семинарах. В диссертации использовались модели и методы экономической теории, теории вероятностей, математической и экономической статистики, маркетинга, функций комплексного переменного, дифференциального исчисления, теории рядов и др.
Достоверность полученных результатов подтверждена численным моделированием и на реальных данных статистики рынка товаров и услуг.В эконометрике можно выделить два аспекта: содержательный (социально -экономический, прикладной) и инструментальный (математико статистический, теоретико - методологический).
Привычна ситуация, когда необходимость решения той или иной экономической проблемы обуславливает выбор и применение, иногда и разработку соответствующего инструментария [84]. В данном случае данный этап также имел место при моделировании и прогнозировании показателей стратегического плана развития г. Новокуйбышевска Самарской области.
Однако полученные при этом результаты, как оказалось, обладают общностью, что определило крен в сторону инструментального аспекта в данной диссертационной работе: был разработан подход к эконометрическому моделированию и прогнозированию широкого, практически важного класса рядов динамики.
Представленные в диссертации приложения несут при этом в большей мере характер иллюстративных примеров.
Например, даны примеры теоретической и реальной экономической динамики СЭС, реализации и экспериментальной проверки разработанных методов моделирования и прогнозирования в области гражданской авиации, рынка недвижимости, маркетинга рынка продовольственных и непродовольственных товаров и услуг, стратегического планирования развития муниципальных образований и регионов на данных по Самарской области, Приволжскому федеральному округу, по г. Самара, по другим городам и странам, по моделированию привлекаемых банковских средств и нормой затрат на привлечение единицы этих средств и т.д.
Результаты диссертации внедрены в практику работы администрации г. Новокуйбышевска Самарской области, использовались в разработках программных комплексов ОАО «Волгоинформсеть» для г. Новокуйбышевск и г. Отрадный Самарской области, в учебных курсах Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П.Королева (СГАУ), Самарского института Открытого Образования.
Апробация работы проведена на следующих 18-ти семинарах и конференциях:
- Всесоюзной научно - технической конференции «Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств обучения» (г. Куйбышев, 16-19 июня 1989 г.); - Международной конференции «Динамика структур» (ЧССР, Карловы Вары, 1989 г.);
- Республиканской научно - технической конференции «Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях» (г. Севастополь, 3-6 июня 1990 г.);
Научно - технической конференции «Автоматизированные информационные системы при строительстве и эксплуатации зданий, сооружений и объектов жизнеобеспечения» (г. Самара, 21-24 ноября 1996 г.);
II Международной научно - практической конференции. «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики, экономики и права» (г. Москва, 21-24 мая 1999 г.);
- Третьей Международной конференции «Современные сложные системы управления» (г. Воронеж, 19-21 мая 2003 г.);
- IV Всероссийской научно - практической конференции «Опыт и проблемы маркетинговой деятельности в российском предпринимательстве» (г. Пенза, 5-9 июня 2003 г.);
- V юбилейном Российско - Германском семинаре «Модернизация местного управления и экономики» (Германия, г. Бад Урах, 4-11 мая 2003 г.);
- Международной научно - практической конференции «Теория активных систем» (г. Москва, 17-19 ноября 2003 г.);
- Всероссийской научно - практической конференции «Наука, Бизнес, Образование» (г. Самара, 23 апреля 2004 г.);
- Всероссийской научно - практической конференции «Актуальные проблемы современного социально - экономического развития: образование, наука, производство» (г. Самара, 25 - 26 мая 2004 г.);
- Научно - практической конференции «Проблемы информационной и экономической безопасности региона» (г. Самара, 25 - 27 ноября 2003 г.);
- V Национальном конгрессе по недвижимости (г. Москва, 6-11 июля 2003 г.);
- объединенном семинаре кафедры «Математические методы в экономике» СГАУ и НТС факультета Экономики и управления СГАУ (г. Самара, 24 сентября 2004 г.);
- НТС Самарской Государственной экономической академии (г. Самара, 25 октября 2004 г.);
- расширенном заседании Учебно - методического объединения по специальностям « Статистика» и «Математические методы в экономике» (г. Москва, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 9 декабря 2004 г.);
- расширенном заседании НТС СГАУ и НТС факультета Экономики и управления СГАУ (г. Самара, 13 мая 2005 г.); международной научно - технической конференции «Информационные, измерительные и управляющие системы» «ИИУС -2005» (г. Самара, 25 - 26 мая 2005 г.).
Работа выполнялась в рамках проектов института «Евроград» (г. Санкт - Петербург), международного центра социально - экономических исследований «Леонтьевский центр» (г. Санкт - Петербург), на кафедре «Математические методы в экономике» СГАУ.
Работа изложена на 306 страницах, состоит из введения, пяти глав, содержит 99 рисунков, 6 таблиц, два приложения, библиографический список использованной литературы из 200 наименований.
Публикации. Общее количество научных, научно - методических трудов соискателя равности. Результаты исследований, выполненных в данной диссертации, отражены в 34 научных трудах, в том числе в 3 - х монографиях, общим объёмом 33 п.л., при этом автору принадлежит 26 п.л.
Личный вклад автора: сформулирована цель исследований, осуществлен анализ известных математических и инструментальных методов моделирования и прогнозирования динамики показателей СЭС, предложено применение математического аппарата Z - преобразований для достижения поставленной цели исследований, предложены и проанализированы все основные приёмы и методы эконометрического моделирования и прогнозирования динамики показателей.
Соавторство относится к разработке ряда частных приложений, выполнению отдельных количественных расчётов, сбору данных.
Структуры, компоненты, модели компонентов рядов динамики показателей
В основе анализа экономической динамики показателей СЭС лежит понятие траектории [34], которая описывает состояние изучаемого объекта (значения изучаемого скалярного или векторного показателя Q), как функции от аргумента t (обычно в качестве аргумента выступает физическое время) Q = Q(0, (1.1) где t є [0,Т], [0,Т] - конечный отрезок, на котором определена траектория.
При этом t может рассматриваться как непрерывно, так и дискретно: Тк = А«к», где А -период дискретизации (опроса) экономического показателя (день, неделя, месяц, квартал или год), «к» = 0, 1, 2, ... - номера отсчётов.
Дискретизированную траекторию называют динамическим (временным) рядом или рядом динамики. Все названия эквивалентны, но чаще будем пользоваться термином ряд динамики.
Ни непрерывное, ни дискретное представления переменных, описывающее их функционирование, не могут претендовать на монополию. Одни показатели, можно с полным основанием считать изменяющимися непрерывно, скажем, показатели интенсивности выпуска многих видов
продукции. Изменение других показателей, например, цен носит характер процессов с дискретным временем.
Для описания и дискретных и непрерывных моделей социально -экономических процессов будем чаще пользоваться рядами динамики, полагая при этом, что они формируются дискретизацией выхода непрерывной модели с равноотстоящими интервалами (их называют также и дискретно - совпадающими моделями). Представляется, что такой подход существенно выигрывает по сравнению с чисто дискретными моделями в познавательном отношении, так как даёт более естественное представление о динамических свойствах системы и упрощает получение общих зависимостей в аналитической форме.
Непрерывное время удобно для аналитического моделирования, позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений. Так рассматриваемые ниже аналоговые модели трендов или многокомпонентные модели траекторий зачастую являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений или могут трактоваться таким образом.
Дискретные модели, в свою очередь, облегчают построение алгоритмов их реализации на компьютерах и, вследствие этого, ряды динамики в последнее время получили широкое применение в практике экономико -математического анализа.
Количественные значения моделируемых и прогнозируемых показателей в рядах динамики называются обычно уровнями. Уровни фиксируются обычно через равные промежутки времени (периоды опроса А).
Если они агрегированы так, что отражают состояние показателя за некоторые периоды времени (например, объём производства за год, количество отработанных человеко - дней по месяцам, кварталам, полугодиям и т.п.), то такой ряд называется динамическим интервальным.
В моментных рядах динамики уровни характеризуют состояние показателя в конкретный момент времени или на короткий промежуток времени (например, численность населения и объём основных фондов на начало года, величина запаса какого - либо материала на начало периода и т.д.).
По экономическому содержанию показатели могут быть натуральные, стоимостные (денежные), трудовые.
Уровнями рядов динамики могут быть не только абсолютные показатели (численность совокупностей или объёмы их признаков), но они могут отражать развитие структуры совокупности, изменение со временем вариации показателя в совокупности, взаимосвязи между показателями значений признака для разных СЭС. В этих случаях уровни ряда динамики сами являются относительными показателями и нередко выражаются в процентах.
По содержанию показателей различают ряды частных и агрегированных показателей.
Частные показатели характеризуют изучаемое явление односторонне, изолированно. Примерами частных показателей могут быть - среднесуточный объём выпуска промышленной продукции, который даёт возможность оценить динамику промышленного производства; - численность граждан, состоящих на учете в службе занятости, которая показывает эффективность социальной политики государства или муниципальных властей; - остатки наличных денег у населения и вклады в банках, отражающие платежеспособность населения; - отдельные ресурсные или объёмные показатели отрасли.
Агрегированные показатели включают в себя частные, они их используют при исследовании эффективности производства, технического уровня предприятий, качества продукции, экологического состояния территории, являются агрегированными показателями отрасли (что и увидим ниже на примере показателей авиакомпании «Самара») и т.п.
Функционирование СЭС в общем случае определяется набором взаимосвязанных показателей, изменяющихся во времени. Анализ ряда может преследовать локальные цели: изучение и прогнозирование долговременных тенденций, выявление колеблемостей с целью их учёта и устранения (например, вычитанием указанных компонент из временного ряда для последующего регрессионного анализа «остатков») или прогнозирования.
Если уровни динамического ряда формируются под влиянием факторов и условий, которые будут незначительно меняться в будущем, то ряд динамики можно использовать для прогнозирования значений экономического показателя вперед.
Эконометрическое моделирование и прогнозирование суммами экспоненциальных функций и их сочетаниями с линейными функциями
Существенно большее применение, чем экспоненциальная и обобщенная экспоненциальная функции, имеют в практике эконометрических исследований модели, состоящие из суммы экспонент и их сочетаний с линейными функциями.
Рассмотрим модели трендов Пк = Atexp( - ссіТк) + А2ехр( - а2Тк), (2.5) Пк = ехр( - а3Тк)(А3Тк + АД (2.6) Пк = ехр(-аіТк)(АіТк + А2) + ехр( - а2Тк)(А3Тк + АД (2.7) Пк = А]Єхр( - сііТк) + А2ехр( - а2Тк) + + ехр( - а3Тк)(А3Тк + АД (2.8) Пк = А]ехр( - ссіТк) + А2ехр( - а2Тк) + А3ехр( - а3Тк) + + А4ехр(-а4Тк), (2.9) где Аь щ є R, I = 1, 2,3, 4.
По сути выражения (2.5) - (2.9) являются частными случаями квазиполинома n23(t) в (1.14), поэтому представляется возможным называть их и экспоненциальными полиномами.
Воспроизводство при непрерывном темпе потребления, динамическая межотраслевая модель роста В.Леонтьева, экономический рост системы при различных траекториях потребления и другие описываются уже не одной экспоненциальной функцией, а суммой . экспонент (обычно от двух до четырёх) с различными темпами роста или убывания или экспонентами и гармониками [34, 59, 65].
Выше была отмечена возможность моделирования расширенного воспроизводства экспоненциальной функцией (2.1). В качестве других возможных эконометрических моделей расширенного воспроизводства могут выступать экспоненциальная функция (2.1) при справедливости гипотезы о нулевом потреблении, обобщенная экспоненциальная функция при постоянном потреблении или выражение (2.5) при экспоненциальном потреблении, соответственно. Экономическое содержание параметров этих моделей через такие категории, как норма производственного накопления, прирост дохода, темп прироста потребления и динамика нормы накопления, капиталоёмкость валового продукта, доход, потребление в начальный момент времени анализа и др., раскрыто, например, в [34].
Модель (2.5) может быть использована при - ct 0 и а2 О для описания связи между валовым продуктом и капитальными вложениями в экономической системе с учетом лага задержки при реализации капитальных вложений [34]. Будем в этом случае иметь сумму растущей и затухающей экспонент, для которых обычно - ai а2. При этом первая экспонента соответствует формированию вложений, как фиксированной части конечного продукта, а вторая - лагу в их освоении, завершающемся выпуском продукта.
Известно, что траектория экономического развития двухотраслевой системы с учётом экспоненциальной динамики потребления моделируется суммой трёх экспоненциальных функций [34, 65].
Моделирование на микроуровне СЭС (для малых предприятий с участием внешних инвестиций, с нелинейными производственными функциями, с различными законами погашения кредита и схем финансирования) широко использует линейную комбинацию экспоненциальной и линейной функции [67, 176].
Методы параметризации моделей (2.5) - (2.9) практически неизвестны, т.к. приёмы логарифмирования или замены переменных для сведения задачи к линейной в этих случаях неработоспособны при любой структуре вхождения к в отсчёты ряда динамики.
Применив Z - преобразование к выражениям (2.5) и (2.6), используя свойства линейности и дифференцирования изображений (приложение № 1), проведя несколько несложных преобразований, получим для аддитивного вхождения стохастической компоненты в структуру динамического ряда отсчётов следующую модель авторегрессии второго порядка из отсчётов ряда динамики YK = A.,YK-1 - №-2 + Ф,5к - Ф25к-1 + к, (2Л0) где А,1 = ехр( - ai А) + ехр( - о Д) для модели (2.5), или Х\ - 2ехр( - азД) для модели (2.6); \г ехр( - (осі + аг)А) для модели (2.5), или %г ехр( - 2азА)/2 для модели (2.6.); Ф\ = Ai + А2 для (2.5), или Ot = А3А,3 + А4 для (2.6.); Ф2 = Ajexp( - а2А) + А2ехр( - ctiA) для (2.5), или Ф2 = АД3 ДДя (2.6.); к -обозначение стохастической компоненты, получаемой линейной комбинацией из значений к, к-1 и к-2.
Условия классификации моделей (структурной идентификации) по диапазону значений коэффициентов авторегрессии в общем случае различны для разных знаков показателей щ и сс2. Из экономической теории формирования траектории обычно можно предположить эти знаки.
Если считать, например, что значения а і и a2 больше нуля, то условиями отнесения анализируемого временного ряда к модели суммы двух экспонент (2.5) уже на первом этапе идентификации будет система неравенств
а условиями принятия модели произведения экспоненты на линейную форму аргумента, т.е. модели (2.6), будут следующие соотношения
Эконометрическое моделирование и прогнозирование «гладкими» логистами
Проблема определения параметров столь популярного, имеющего многочисленные приложения вида тренда, как логистический, не нашла до настоящего времени эффективного решения по точности.
Так, в [6, 17, 180] предлагается осуществлять логарифмирование отсчётов или их нелинейных преобразований (обратных величин для функции Верхулста, логарифмов для функции Гомперца и т.п.) для того, чтобы свести задачу к идентификации моделей, линейных по параметрам, а затем применить МНК.
В данном случае, как и для экспоненциальной функции, рассмотренной во второй главе, делаются «искусственные» предположения о том, что стохастическая компонента является аргументом экспоненциальной функции, которая, свою очередь, умножается на экспоненциальную функцию в знаменателе функции Верхулста или на функцию Гомперца.
При этом [64], зачастую предполагается априорное знание (обоснование) уровня насыщения из некоторых физических или общих экономических соображений.
Методы, описанные в [115, 176], предлагают некоторые эвристические разностные схемы для идентификации с применением МНК, а в [60] приведены разностные схемы, которые являются аппроксимацией соответствующих дифференциальных уравнений, имеющих своим решением логисты Верхулста и Гомперца.
Заметим, что в последних двух методах отмечен и обоснован гетероскедастическии характер стохастической компоненты, а её спектр принимался широкополосным. К достоинствам этих методов можно отнести то, что стохастическая компонента входила в модели аддитивно.
Покажем, что повышение точности моделирования и прогнозирования логистической динамики можно достичь путём конструирования соответствующих параметрических авторегрессий с помощью Z -преобразования и показанных выше приёмов.
Начнём с наиболее популярной в приложениях функции Верхулста и примем аддитивной стохастическую компоненту к в отсчётах ряда динамики YK.
Представим отсчёты ряда динамики в виде 1 1 + к(А0 + Аіехр( - а,Тк)) YK= +к= . (3.3) А0 + Ajexp( - аіТк) А0 + А!ехр( - а,Тк)
Перейдя в (3.3) к обратным величинам отсчетов ZK = 1/YK, получим А0 +АіЄхр(-аіТк) ZK = = + к(А0 + Atexp( - аіТк)) = ZK = Ао + Аіехр( - аіТк) +0к, (3.4) где 9к = - KZK(AO + Ajexp( - а]Тк)) - стохастическая компонента, которая, при принятии аддитивной структуры стохастической компоненты к в функции Верхулста обладает принципиально гетероскедастическим свойством, даже при гомоскедастичности к.
Показанная гетероскедастичность стохастической компоненты 0к в (3.4) (не только для отсчётов ZK, НО и, очевидно, для ряда динамики YK) объясняет тот факт, что МНК не дал удовлетворительных результатов по точности в известных методах моделирования [176]. Следует иметь в виду, что для всех рассматриваемых ниже логистических моделей стохастическая компонента будет обладать свойством гетероскедастичности.
Выражение (3.4) представляет собой обобщенную экспоненциальную функцию с аддитивной стохастической компонентой, к которой можно применить предложенный выше метод идентификации относительно отсчётов ZK, но с обязательной реализацией ОМНК.
Тогда, при к 1 для ряда отсчётов (3.4) будет справедлива следующая авторегрессия первых разностей отсчётов [19, 21, 129, 132, 138, 141] VZK = HVZK-1 + 0к, (3.5) где Х\ - ехр( - CL\). На первом этапе идентификации определим оценку параметра аь реализуя условие А,,0 = argmin M{VZK - X,VZK-1} = h = ai = -LnXi/A. (3.6) На втором этапе идентификации, используя полученную оценку ai, проведём расчёт параметров А0 и А і А0,А, = argmin M{ZK-А0-A,exp(-a,kA)}. (3.7) Ao,A
Для нахождения оценки cti необходимо решать СЛАУ первого порядка, а оценки А0, А] определят решения соответствующей СЛАУ второго порядка.
Минимально необходимое число отсчётов ряда динамики для осуществления идентификации функции Верхулста равно трём.
Оценка координаты точки перегиба исходной логистической тенденции по статистическим данным будет равна к" = Ьп(Аов/А,)/(а,0Д), (3.8) а оценку момента достижения практического насыщения определит соотношение к = Ln{A0(l - Р)\А,0}/(а,Д). (3.9)
Здесь и далее, для других логист, в качестве к , к следует принимать номера отсчётов ряда динамики, т.е. целые значения после округления.
Можно по статистическим данным рассчитать помехозащищенную оценку начального значения функции Верхулста Уо0=1\(Ао + А,0) и спрогнозировать оценку уровня насыщения Ye0=l\Ao. Для модели обобщенной логисты (3.3) при m = 2 и «к» 2 будет справедлива авторегрессия пятого порядка [129] VZK = U,VZK-1 - U2VZK-2 + ЄК (ЗЛО) где І = Х\ - Х2 , М-2 = Х2Х\; -і = ехр( - аіД); Х2 = ехр( - а2Д); 6к - обозначает гетероскедастическую стохастическую компоненту. Порядок авторегрессии (3.10) будет пятым при её записи в отсчётах ряда динамики.
Эконометрическое моделирование и прогнозирование гиперболическими полиномами в сочетании с гармониками
Из возможного многообразия моделей гиперболических трендов рассмотрим вначале самую простую, и может быть в силу этого, наиболее употребимую в настоящее время в приложениях гиперболу первого порядка: YK = А + В/Тк + к, (4.8) где к - стохастическая компонента.
В (4.8) физическим содержанием Тк зачастую бывает не только время, но и значения другого экономического показателя, влияние которого на отсчёты YK, взятые в те же моменты времени, анализируется.
В зависимости от сочетания знаков и значений параметров «А» и «В» графики гиперболы могут быть существенно различны по положению в квадрантах координатной плоскости - см. рис. 42, 43, 44 и 45. Различаются они и по приложениям. Если «В» г 0, то тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения значений уровней и при «к» - ос = YK - «А».
Такая тенденция наблюдается, например, при изучении снижения затрат любого ресурса (труда, материалов, энергии) на единицу данного вида продукции или её себестоимости в целом, для характеристики связи времени обращения товаров с величиной товарооборота не только на микроуровне, но и на макроуровне.
Классическим примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы Тк и процентом прироста заработной платы YK.
Кривая на рис. 42 может отражать, например, зависимость между объёмом выпуска «Т» и средними фиксированными издержками «Y».
Если «В» 0, то с ростом «к» уровни тренда возрастают и стремятся к значению параметра «А» при «к» — ос.
Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривые Энгеля.
Такой характер динамики присущ, например, и показателям КПД двигателей и преобразователей энергии (трансформатору тока, фотоэлементу и т.п.). По мере развития научно - технического прогресса эти КПД постепенно повышаются, но никогда не могут превысить определенного предела для каждого типа двигателей или преобразователей энергии.
Гиперболический тренд описывает тенденцию такого процесса, показатели которого со временем затухают, т.е. происходит переход от движения к застою. Как уже указывалось выше, последний этап логистических кривых удовлетворительно аппроксимируется именно гиперболой.
Асимптотой функции на рис. 42 является прямая Y = А = 1, а асимптотой функции на рис. 43 будет прямая Y = А = - 1.
Асимптотой функции на рис. 44 является прямая Y = А = 1, асимптотой функции на рис. 45 служит прямая Y = А = - 1.
График на рис. 44, если он описывает зависимость между доходом «Т» и спросом на блага Y (например, на товары первой необходимости либо на товары относительной роскоши), называется функцией Торнквиста. В этом случае точка пересечения с осью абсцисс имеет координату Т = - В/А - минимально необходимого уровня дохода.
Важное приложение графика, характер которого передает рис. 44, при таком выборе параметров, что кривая пересечет ось абсцисс, относится к кривой Филлипса. Имеется и другая интерпретация данной кривой: отражение связи между уровнем безработицы (в процентах) и уровнем инфляции (в процентах), тесно связанным с изменением заработной платы. В обоих случаях точка пересечения кривой с осью абсцисс определяет естественный уровень безработицы.
Кривая Филлипса относится к важным макроэкономическим показателям, лежащим в основе целого ряда теорий и моделей [51]. При моделировании связи её качественный характер определялся как отрицательный, а форма - в простейшем случае как линейная, в более общей постановке - как полулогарифмическая (1.10), как дробно -рациональная, как гиперболическая вида (4.8) (в [53] эта форма названа дробно - линейной).
Известно и более сложное и, как правило, более адекватное для экономики непараметрическое авторегрессионное (первого порядка) эконометрическое моделирование кривой Филлипса, учитывающее инфляционные ожидания (разного типа - адаптивные, рациональные и т.д.), в котором использовались новые объясняющие переменные (наряду с безработицей, это отставание ВВП, реальные предельные издержки и др.).
При моделировании кривой Филлипса проводились очистка и выравнивание временных рядов, использовались разные методы сглаживания (наряду с разными видами МНК, метод максимального правдоподобия, обобщённый метод моментов и др.), вводились элементы стохастики и связи между переменными микро - и макроуровня [53].
К числу кандидатов на моделирование кривой Филлипса можно отнести и локальные . участки приведенных выше алгебраических полиномов и, рассматриваемые ниже гиперболические полиномы более высокого порядка. Можно, как это уже было проделано выше, учесть экзогенные воздействия, суммируя (4.8) с линейной функцией или гармонической функцией, произведением гармонической функции на аргумент.
Как правило, идентификацию модели (4.8), линейной по отношению к параметрам «А» и «В», но нелинейной по отношению к переменной Тк, осуществляют путем перехода к новой переменной 1/Тк, сводя тем самым задачу к идентификации алгебраического полинома первого порядка с линейно входящими в модель параметрами [6, 9, 18].
