Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Конечные простые группы с заданным числом сопряженных и перестановочных инволюций 8
11. Предварительные сведения 9
1 2. Гипотеза о сопряженных и перестановочных инволюциях конечных простых групп . 14
1.3 Исследование гипотезы А для групп Шевалле исключительных типов над полями характеристики 2 . 16
Глава 2. Конечные слабо факторизуемые группы 23
2 1. Постановка задачи и основные результаты . 24
2.2 Некоторые свойства и известные результаты . 27
2 3. Слабо факторизуемые группы Шевалле малых рангов 31
2 4 Максимальные факторизации групп Ln(q) . 35
2 5 Исследование гипотезы В для групп Шевалле 40
2.6. Случай знакопеременных и спорадических групп . 47
Список литературы 52
- Гипотеза о сопряженных и перестановочных инволюциях конечных простых групп
- Исследование гипотезы А для групп Шевалле исключительных типов над полями характеристики 2
- Слабо факторизуемые группы Шевалле малых рангов
- Исследование гипотезы В для групп Шевалле
Введение к работе
з 1
Актуальность темы. В диссертации исследуется вопрос о конечных слабо факторизуемых группах. Наряду с гипотезой о слабо факторизусмых конечных простых группах, исследуется и вопрос ограниченности числа конечных простых групп с заданным числом инволюций, сопряженных и перестановочных с фиксированной инволюцией.
По известной теореме Р. Брауэра существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [1]. Зависимость порядка конечной простой группы от заданных подмножеств централизатора инволюций исследовалась в й ~[5].
Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем г в группе G обозначаем через та, а централизатор т в G — через Са(т). В.П. Шунков [2] разрабатывает обобщение теоремы Брауэра, исходя из предположения:
Существует только конечное число конечных простых групп с заданным параметром вложения инволюции .
Параметр вложения инволюции т в группе G определяется равенством:
t(G,T) = max\gCG(T)n(TGTG)\.
1Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код гранта № 06-01-00824).
С другой стороны, В. М. Левчук [3] высказал следующую гипотезу.
Гипотеза А. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп G с инволюцией т такой, что
\Сс(т)Птв\<М.
Как отмечается в [4], из справедливости гипотезы А следует справедливость и предположения Шункова. Число \Cq(t) П tg\ называют сопряженно-коммутативной шириной инволюции т в группе G и обозначают через ccw(G,r). В терминах ширины неравенство из гипотезы А можно заменить неравенством ccw(G, г) < М.
Справедливость гипотезы известна для знакопеременных групп, для групп лиева типа ранга 1 и для групп PSL„(q) ( = Ln(q)) с четными q, [4], [5].
По модулю классификации конечных простых групп гипотезу остается подтвердить для бесконечных семейств классических линейных групп и для исследуемых в диссертации групп Шевалле исключительных типов лиева ранга > 1.
Центральное место в диссертации занимают исследования вопроса о конечных слабо факторизуемых группах и гипотезы о слабо факторизуемых конечных простых группах.
Напомним, что подгруппу М называют дополняемой в группе G, если в G существует дополнение к ней, то есть подгруппа К
такая, что М Г\ К = 1 и МК = G. Слабо дополняемой в G называют подгруппу, которая дополняема в некоторой большей (по включению) подгруппе или совпадает с G. Группы с дополняемыми подгруппами, называемые вполне факторизуемыми, изучены в работах Ф. Холла, Н. В. Баевой (Черниковой) и С. Н. Черникова (см. например [6]). Их исчерпывают полупрямые произведения F\K подгрупп F и К, разложимых в прямое произведение циклических групп простых порядков, причем все сомножители в F можно выбрать нормальными в группе.
Более широкий класс образуют слабо факторизуемые группы, то есть группы со слабо дополняемыми подгруппами. В частности, к ним относятся конечные группы простого показателя; существенность условия конечности показывает пример бесконечной р - группы Ольшанского с максимальными подгруппами простого порядка р. Как показывает пример группы //г(7), класс конечных слабо факторизуемых групп, в отличие от класса вполне факторизуемых групп, включает даже простые неабелевы группы. Вопрос 8.31 из Коуровской тетради об описании конечных слабо факторизуемых групп остается открытым более двадцати лет.
В диссертации исследуется следующая гипотеза В. М. Левчука к вопросу 8.31, высказанная в 2003 году в статье [8].
Гипотеза В. Группа г(7) - единственная конечная простая неабелева группа со свойством слабой факторизуемости.
Цель работы: Исследовать гипотезы А и В для конечных простых групп.
В диссертации используются стандартные методы теории групп. Диссертация носит теоретический характер.
Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми и могут применяться в теориях конечных и бесконечных групп.
Апробация диссертации. Результаты диссертации были представлены на международных конференциях "Intermediate problems of Model Theory and Universal Algebra" (Новосибирск — Эрлогол, 2003 г.), "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2003, 2004 гг.), "Алгебра и кибернетика" (Иркутск, 2004 г.). Они докладывались на научно-исследовательских семинарах Красноярского государственного университета и Томского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] — [20].
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы. Нумерация теорем, определений и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.
Гипотеза о сопряженных и перестановочных инволюциях конечных простых групп
По известной теореме Р Брауэра существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [2] В работах [4], [5] и [21] исследовалась зависимость порядка конечной простой группы от заданных подмножеств централизаторов инволюций Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем г в группе G обозначаем через rG, а централизатор г в G — через Сд{т). Введенный В П Шунковым параметр (G, г) вложения инволюции т в группе G определяется равенством В П. Шунков [21] разрабатывает обобщение теоремц Брауэра, исходя из предположения существует только конечное число конечных простых групп с заданным параметром вложения инволюции С другой стороны, исследования предположения Шункова привели к следующей гипотезе в [34]. Гипотеза А. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп G с инволюцией т такой, что Как отмечается в [4], из справедливости гипотезы А следует справедливость и предположения Шункова Далее число \Сс(т) П TG\ обозначаем через CCW(G,T) И называем сопряженно-коммутативной шириной инволюции т в группе G. ( Термин предложил В М Левчук. ) В этих терминах неравенство из гипотезы равносильно неравенству ccw(G, г) М Известна справедливость гипотезы А для знакопеременных групп и для групп лиева типа ранга 1 [4], [5] Поэтому по модулю классификации конечных простых групп гипотезу остается подтвердить для бесконечных семейств групп лиева типа ранга больше 1. Справедливость гипотезы подтверждена для групп PSLn(q) с четными q [4] Силовской 2-подгруппой в группе Шевалле Ф(К) = Ф(д) над полем К = GF(q) с четным q является максимальная унипотентная подгруппа Унипотентная подгруппа UG(q) скрученного типа G = тФ порождается корневыми множествами Ха, а Є G+, и при четном q также является силовской 2-подгруппой скрученной группы Шевалле Центр группы SL,2(K) над полем характеристики 2 единичен. Поэтому из леммы 1.1 1 вытекает Следствие 1.2.1. Пусть К произвольное поле характеристики 2 и г Ф.
Тогда существует изоморфизм фг группы SL2(K) на подгруппу (ХГ,Х-Г) группы Шевалле Ф{К), однозначно определяемый действием на трансвекциях, Отметим, что описание классов сопряженных инволюций групп Шевалле над конечным полем четного порядка q содержится для некоторых лиевых типов малых рангов в работах Еномото [27], Томаса [40] и Пэррота [38], а для остальных групп Шевалле нормальных и скрученных типов в работе Ашбахера [23] В этом параграфе доказывается следующая, основная в главе 1 теорема, которая подтверждает гипотезу А для групп Шевалле исключительных типов над конечными полями характеристики 2 Теорема 1.3.1. Существует только конечное число групп Шевалле исключительного типа над конечными полями четных порядков, у которых сопряженно-коммутативная ширина инволюций ограничена произвольным наперед заданным числом. Отметим прежде всего, что силовские 2-подгруппы группы Шевалле над полем четного порядка сопряжены в ней с унипотентной подгруппой UG(q) = ( Ха, а G+ ) Полезна Лемма 1.3.1. Пусть инволюция т группы Шевалле G есть произведение г = т\Т2 тт, в котором каждый сомножитель тг лежит в корневой подгруппе Хг, причем подгруппы Хг пороэюдают прямое произведение Х\ х Х2 х х Хт. Тогда сопряженно-коммутативная ширина в G инволюции г не превосходит числа инволюций в G, диагонально сопряженных с т\. Доказательство. Согласно (1.1), корневые подгруппы инвариантны относительно диагональных автоморфизмов. В силу равенства ( Х\, Х2, , Хт ) = Х\ х Хч х х Хт, для любого диагонального автоморфизма 5 группы G инволюция TS = Т(Т2 т4 перестановочна с т При этом в разложениях т5 первые сомножители пробегают все инволюции в G, диагонально-сопряженные с т\ Это завершает доказательство леммы
Далее нам потребуются известные описания в группах Шевалле классов сопряженных инволюций [23] и др Справедливость гипотезы А для групп лиева типа ранга 1, т е групп Ai(q), 2A2{q), 2G2{q), 2B2{q), доказана в [34], [4] Группы евалле исключительных типов ранга больше 1 исчерпываются, с точностью до изоморфизма, следующими группами Число классов сопряженных инволюций указанных групп над конечным полем четного порядка q известно. Его указывает Лемма 1.3.2. Число классов сопряженных инволюций групп Шевалле Ф(д) с четным q типов G2, F4, Е, E-j, Е$, 2Е, 2F4 и отражает следующая таблица Для систем корней типа G2, F4 и Ет выпишем простые корни в графах Кокстера, занумеровав их в соответствии с таблицами V — IX из [3]
Исследование гипотезы А для групп Шевалле исключительных типов над полями характеристики 2
В этом параграфе доказывается следующая, основная в главе 1 теорема, которая подтверждает гипотезу А для групп Шевалле исключительных типов над конечными полями характеристики 2 Теорема 1.3.1. Существует только конечное число групп Шевалле исключительного типа над конечными полями четных порядков, у которых сопряженно-коммутативная ширина инволюций ограничена произвольным наперед заданным числом. Отметим прежде всего, что силовские 2-подгруппы группы Шевалле над полем четного порядка сопряжены в ней с унипотентной подгруппой UG(q) = ( Ха, а G+ ) Полезна Лемма 1.3.1. Пусть инволюция т группы Шевалле G есть произведение г = т\Т2 тт, в котором каждый сомножитель тг лежит в корневой подгруппе Хг, причем подгруппы Хг пороэюдают прямое произведение Х\ х Х2 х х Хт. Тогда сопряженно-коммутативная ширина в G инволюции г не превосходит числа инволюций в G, диагонально сопряженных с т\. Доказательство. Согласно (1.1), корневые подгруппы инвариантны относительно диагональных автоморфизмов. В силу равенства ( Х\, Х2, , Хт ) = Х\ х Хч х х Хт, для любого диагонального автоморфизма 5 группы G инволюция TS = Т(Т2 т4 перестановочна с т При этом в разложениях т5 первые сомножители пробегают все инволюции в G, диагонально-сопряженные с т\ Это завершает доказательство леммы Далее нам потребуются известные описания в группах Шевалле классов сопряженных инволюций [23] и др Справедливость гипотезы А для групп лиева типа ранга 1, т е групп Ai(q), 2A2{q), 2G2{q), 2B2{q), доказана в [34], [4] Группы евалле исключительных типов ранга больше 1 исчерпываются, с точностью до изоморфизма, следующими группами Число классов сопряженных инволюций указанных групп над конечным полем четного порядка q известно. Его указывает Лемма 1.3.2. Число классов сопряженных инволюций групп
Шевалле Ф(д) с четным q типов G2, F4, Е, E-j, Е$, 2Е, 2F4 и отражает следующая таблица Для систем корней типа G2, F4 и Ет выпишем простые корни в графах Кокстера, занумеровав их в соответствии с таблицами V — IX из [3] Для произвольного поля if характеристики 2 и корня г имеем (Хг, Х-г) = SLi2(K), в силу леммы 1.1.2 Подгруппу (ХГг, Х_п) для каждого простого корня гг обозначим через Мг. Рассмотрим группы Шевалле типа Ет (т — 6,7,8). Поскольку в системе корней указанных типов суммы Т\ ± г4, Г\ ± Гб, г4 ± ге не являются корнями, то подгруппы Mi, М4, Мб порождают в группе UEm(K) прямое произведение подгрупп М\ х М4 х Мб, а ее элементы являются инволюциями Выбранные инволюции попарно не сопряжены в группе G = UEm(q), поскольку они лежат в подгруппе UAb{K) = SLQ(K) И приводятся к жордановой форме с различными наборами размерностей клеток Жордана. В силу равенств См,(тг) = q — 1 п включений CG{TJ) Э CM}{TJ), получаем соотношения Произвольная инволюция в группе E%{q), согласно лемме 2, сопряжена с одной из инволюций т\, т і или тз Поэтому доказательство теоремы 1 для групп Ee(q) завершено. Аналогично завершаем доказательство для группы E$(q), выбирая в качестве представителя оставшегося класса сопряженных инволюций Далее высоту корня г обозначаем через h(г) Полагаем, как обычно, (г—й член стандартного центрального ряда). Если г ( единственный) максимальный корень, то число h = h(r) + 1 называют числом Кокстера системы корней Известно, что централизатор в U подгруппы Ut равен UhДля системы корней типа Ej, наряду со стандартными обозначением корней из [3, Таблица VI], используем видоизмененное
Каждая инволюция т = тг лежит в некотором прямом произведении корневых подгрупп Согласно (11), корневые подгруппы инвариантны относительно диагональных автоморфизмов Следовательно диагонально сопряженные с т инволюции перестановочны с нею Поскольку то первый сомножитель в разложении инволюции г имеет q — 1 сопряженных образов Это означает, что диагонально сопряженных с г элементов не меньше q—1. Таким образом, для любой инволюции г из группы 7(9) имеем
Слабо факторизуемые группы Шевалле малых рангов
Рассмотрим группы Шевалле ранга 1 и некоторые группы ранга 2 Справедливость гипотезы В для групп 2(9) над конечным нолем порядка q по существу вытекает из работы Н Ито [31], описывающей факторизации этих групп В данном параграфе гипотеза подтверждается для групп лиева типа ранга 1 и групп 1/з((?), за несколькими исключениями Теорема 2.3.1. Пусть G(q) простая группа Шевалле лиева ранга 1 над конечным полем порядка q или G(q) = L q). Если G(q) слабо факторизуемая группа, то G(q) = з(2), . В группах Шевалле мономиальная подгруппа N и подгруппа Бореля В , как правило, являются максимальными подгруппами. Напомним, что условие слабой дополняемости максимальных подгрупп равносильно условию их дополняемости во всей группе ( см [12, Лемма 3]). Поэтому для доказательства теоремы достаточно установить недополняемость подгруппы Бореля или мономиальной подгруппы во всей группе Следующая лемма устанавливает недополняемость подгруппы Бореля в некоторых группах Лемма 2.3.1. В группах Sz(q), q = 22k+l, k 1 и Re{q), q = 32k+l, k 1 подгруппа Бореля не дополняема. Доказательство. В группе G(q) подгруппа Бореля совпадает с нормализатором силовской р-подгруппы группы G(q), где р — характеристика основного поля Рассмотрим группу Sz(q), q = 22fe+1, А; 1 ( при k = 1 группа Sz(q) так же как и Re(q) не является простой ). Как установлено в [39], максимальная подгруппа группы Sz(q), q = 22fc+1, к 1 сопряжена в ней с одной из следующих подгрупп: a) Sz(m), где тр = q, р-простое число, делящее 2fc + 1, порядка т2(т- 1)(га2 - 1); б) группа Фробениуса порядка 4(g + г + 1), г2 = 2q ; в) нормализатор в группе Sz(q) подгруппы всех ее диагональных матриц, изоморфный диэдральной группе порядка 2(q - 1), г) группа Бореля порядка q2(q — 1). Пусть существует неединичное дополнение К к подгруппе Бореля в Sz(q). В силу того, что 52(д) = q2(q — l)(q2 +1), порядок группы К равен (q2 + 1) Воспользовавшись описанием максимальных подгрупп легко увидеть, что Sz(q) не содержит подгрупп такого порядка
Аналогичные рассуждения применимы и для групп Re(q). Как установлено в [10], максимальная подгруппа группы Re(q), q = 32fc+1, к 1 сопряжена в ней с одной из следующих подгрупп я)С(г]) - централизатор инволюции 7] порядка q(q2 — 1); б) Re(m), где mP = q,p- простое число, делящее 2к +1, порядка m3(m- l)(m3- 1); в)ІУ(Д) - нормализатор подгруппы Д, і = 1,2,3 , где Д -циклические холловы подгруппы порядка q + 1/4, + 1- 3n+1, q + 1 + 3n+1 соответственно; г) группа Бореля порядка q3(q — l) Пусть к 1 и К — неединичное дополнение к подгруппе Бореля в Re(q) Порядок группы Re(q) равен qs(q — l)(g3 + l), отсюда \К\ = q3 -Ы Воспользовавшись описанием максимальных подгрупп легко увидеть, что группа Re(q) не содержит подгрупп такого порядка Лемма доказана Далее, лемма 2 3 2. устанавливает не дополняемость мономиальных подгрупп в некоторых группах Лемма 2.3.2. В группах Sz{q) (q -ф 2), Re(q) (q ф 3), L {q) (q Ь), PSU${q2) мономиальная подгруппа N не дополняема . Доказательство. Для групп Sz(q) и Re(q) справедливость утверждения вытекает из описания максимальных подгрупп в лемме 2 3 1 Мономиальные подгруппы в данных группах имеют порядок 2(q— 1) и, следовательно, дополнения к ним должны иметь порядки q2{q2 + 1)/2 и q3(q3 4-1)/2, соответственно Однако подгрупп таких порядков группы Sz(q) и Re(q) не содержат Рассмотрим группы 1/з(д); их подгруппы описаны (см [29] , [24], а так же [36]) Порядок мономиальной подгруппы N в L%(q) равен Q(q — l)2/d, d = (3, ? — 1)
Предположим, что существует дополнение К к N Тогда \К\ = q3{q + l){q2 + q + l)/6d Однако группа L$(q) не имеет подгрупп такого порядка Действительно, подгруппа Я группы SLs(q), q = pn (р-простое число), с точностью до сопряженности совпадает с одной из следующих подгрупп (см. [36]) а) подгруппа группы Мг = {% Є SLs{q) : atJ = 0 при j ф г}, г = 1, б) подгруппа группы Мг , полученной транспонированием матриц из Ми г = 1, в) подгруппа нормализатора N(D) в SL q) подгруппы D всех диагональных матриц из SL q), г) ( SLz(m),diag(a,a,a 2) ), где mk = q, число а3 делит т — 1; д) ( SUs{m2), diag(b, b, b 2)), где m2k = q, число 63 делит га +1; е) p 2, mk = q, m 3: образ (?om — - 2( ) группы SL2(m) или образ (?im = PGZ/2(m) группы GL2(m) при гомоморфизме группы ж) Я имеет циклический нормальный делитель порядка, делящего q2 -f q + 1, индекс которого равен 1 или 3; з) Я = Л6 (mod 5), если q = 22k, либо g = 1 или 19 (mod 30); и) g = 52к: Я D Е и Я/.Б изоморфна А Л7 или группе, содержащей AQ с индексом 2; к) р 2 Я = А5 при д2 -1 кратном 10 или Я = L2(7) при д3 -1 кратном 7, л) р 2, g = 1( mod 3) Я содержит, как нормальный делитель, /0 1 0\ группу Т, порожденную матрицами diag(l,e,е2), 0 0 1 I, где \1 о о/ е т 1 — кубический корень из единицы в поле GF(q). Наконец рассмотрим группу PSU$(q2) Ее порядок равен qz(q2 — l)(q3+l)/d, d = (3, g-1), а порядок мономиальной подгруппы равен \N\ = 2(q + 1). Пусть существует неединичное дополнение К к N. Соответственно порядок подгруппы К равен q3(q — l)(g3 + 1)/2d К содержит подгруппу Бореля группы PSUz(q2), следовательно К удовлетворяет условию теоремы 3 из [13] из которой следует, что
Исследование гипотезы В для групп Шевалле
Далее будут систематически использоваться обозначения, принятые в [26], [33] и [35] для классических и спорадических групп, групп Шевалле и их стандартных подгрупп В этом параграфе G(q) есть группа Шевалле нормального или скрученного типа над полем из q элементов Вначале отделим исключительные группы PSUA(2) PSpi(3) Лемма 2.5.1.. Изоморфные группы PSU i(2) и PSpi(3) обладают не дополняемой максимальной подгруппой Доказательство. Максимальные подгруппы группы PSU {2) исчерпываются, с точностью до сопряжения, следующими (см [26]) параболические подгруппы Pi 24 : Аъ и Рг 2.{А х А ).2 индексов 27 и 45, соответственно, подгруппа Р[/4(2) П L {2) Sp±{2) SQ индекса 36; две подгруппы (З3 : 2А и З3 : 64) индекса 40, являющиеся параболическими в Spi(3). Допустим, что в группе PSUi(2) подгруппа индекса 40 или 45 имеет дополнение D Тогда силовская 5-подгруппа в дополнении нормальна, по теореме Силова, и ее нормализатор в группе PSU l) лежит в максимальной подгруппе, изоморфной SQ ЭТО означает, что в симметрической группе SQ элемент а = (12345) порождает подгруппу, нормализатор N которой имеет порядок ЛГ, кратный числу \D\ = 40 или 45 С другой стороны, если 7 Є SQ, то для включения образ V можем выбрать пятью способами, образ 2 1 четырьмя способами, тогда остальные образы 7(0 однозначно определены Следовательно, \N\ = 20. Полученное противоречие доказывает лемму Доказательство. Напомним, что максимальные параболические подгруппы группы G(q) исчерпываются подгруппами Рг, выделяемыми для всех натуральных чисел г, не превышающих лиева ранга группы G(q) (см 1.1). В группах Сузуки Sz(q) = 2B2(q) и Ри Re(q) = 2G2{q) единственная (максимальная) параболическая подгруппа Рі не входит в максимальные факторизации, ( Лемма 2.3.1 ). В 2 3 рассмотрены группы лиева типа ранга 1 - группы PSUs(q). В [35, Таблицы 1-6] систематизированы все максимальные факторизации конечных квазипростых групп.
Ограниченность нашей задачи простыми группами позволяет использовать таблицы ий [35] с некоторыми упрощениями Максимальные факторизации группы Шевалле G = G(q) представляются в виде G = (AnG)(BC\G) для определенных А, Р, перечисленных в таблицах в соответствии с выбором G Для групп Шевалле исключительных типов лиева ранга 1 их указывает В частности, группы б(д), 26(9), %), #8 ), 2Р4(д) и 3D4(g) не имеют ни одной максимальной факторизации Таким образом, в исключительных группах Шевалле ни одна из параболических подгрупп не участвует в максимальных факторизациях. Наряду с отношениями Рг( 7) = Сг(9) и Ln(q) = PSLn(q) с± An-i(q), мы учитываем в таблицах следующие изоморфизмы между группами Шевалле и классическими группами Замечание 2. Как правило, таблицы в [35] указывают возможные максимальные факторизации для одной из изоморфных групп Кроме того, некоторые факторизации реализуются лишь при дополнительных ограничениях на участвущие в таблицах параметры (это относится, например, к выписанной первой в таблице 1 факторизации), в отдельных явно оговоренных случаях нарушается максимальность (не параболических) сомножителей. Максимальные факторизации G = (А Г\ G)(B Г\ G) для симплектических и унитарных групп 7 Р»$Р4(3), PSU±{2) лиева ранга 1 и участвующие в них параболические подгруппы, согласно [35], дает следующая таблица Наконец, для ортогональных групп, т е для оставшихся групп Шевалле лиева ранга 1 классических типов максимальные факторизации G = (А П G)(B П G) указывает подгруппы, участвующие в максимальных факторизациях Оказывается, все случаи, когда максимальная параболическая подгруппа М группы Шевалле G = G(q) Ф Ln(q), PSU4{2), PSp4(S) входит в какую-либо максимальную факторизацию, исчерпываются следующими: Отсюда вытекает, что в группах Шевалле из (11) всякая максимальная параболическая подгруппа входит в какую-либо максимальную факторизацию
В остальных группах Шевалле G(q) Ьп(д), PSUb{2), PSp {3) число подгрупп Рг, участвующих в максимальных факторизациях меньше лиева ранга группы G(q) и поэтому существует максимальная параболическая подгруппа, не входящая ни в одну максимальную факторизацию Лемма доказана Завершим доказательство теоремы 2 2.1 для групп Шевалле В силу лемм 8 и 9 достаточно рассмотреть группы PSp4(2k), PSU4{3), PSU3(3),PSU3(5). Группа PSp4(2) изоморфна 56 и не проста В группе PSp4,{q) при четном q 2 максимальной является подгруппа PSp4(m) над максимальным подполем GF(m) поля GF(q) [33, Таблица 3 5.С] С другой стороны, эта подгруппа не входит ни в одну максимальную факторизацию группы PSp4(q) (таблица 3) и поэтому является не дополняемой Группа G = PSU4(3), согласно [33, Таблица 3.5.В ], имеет максимальную подгруппу (21/2(9).2 порядка 28 З2 5 Эта подгруппа
