Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Функция Эйлера и числа, свободные от Аг-ых степеней 16
1. Вспомогательные утверждения 16
2. Суммирование значений функции Эйлера на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней 21
3. Суммирование значений функции Эйлера на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое ОТ /-ЫХ степеней 26
4. Суммирование значений произведения функций Эйлера <р(п) и (р (п+1) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней 36
5. Суммирование значений произведения функций Эйлера <р(п) и ^(п+1) на множестве пар последовательных натуральных чисел п и п+1, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от /-ых степеней 43
Глава 2. Функция суммы делителей натурального числа и числа, свободные от к-ых степеней 54
1. Вспомогательные утверждения 54
2. Суммирование значений функции суммы делителей натурального числа на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней 58
3. Суммирование значений функции суммы делителей натурального числа на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от /-ых степеней 63
4. Суммирование значений произведения функций суммы делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней 71
5. Суммирование значений произведения функций суммы делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве пар последовательных натуральных чисел пип+\, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от 1-ых степеней 77
Литература 89
- Суммирование значений функции Эйлера на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней
- Суммирование значений функции Эйлера на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое ОТ /-ЫХ степеней
- Суммирование значений функции суммы делителей натурального числа на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней
- Суммирование значений функции суммы делителей натурального числа на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от /-ых степеней
Введение к работе
Одной из основных задач в аналитической теории чисел является задача изучения асимптотического поведения величины
/(»)
при х —> оо с мультипликативной функцией / : N -» С.
Первый результат в этом направлении для функции Эйлера
принадлежит Мертенсу [1], доказавшему в 1874 г., что
N ЯЛГ2
Wn) = —+ 0(i\nogiV).
*—* ЯГ
п=1
Первый результат для функции суммы делителей натурального числа
d\n
принадлежит Дирихле [2], доказавшему в 1849 г., что
N 2
J2a(n) = ^N2 + 0(NlogN).
п=1
Опираясь на оценки тригонометрических дзетовых сумм, полученные И.М. Виноградовым и Н.М. Коробовым в 1958 г., А.З. Вальфиш [3] и А.Н. Салтыков [4] улучшили результат для функции Эйлера с оценкой остаточного члена в виде
o(iV(logiV)2/3(loglogiV)1+e).
Оценки тригонометрических сумм дали возможность улучшить результат для функции а(п) с оценкой остаточного члена в виде
o(jV(logiV)2/3).
В диссертации решаются задачи по исследованию асимптотики суммы
Ел»),
где /(п) - заданная арифметическая функция, М - некоторое заданное подмножество множества натуральных чисел.
В настоящей работе в качестве функции /(п) рассматриваются функции <р(п), <р(п) -(р(п + 1), <т(п), а(п) -cr(n+ 1). В качестве множества М -множество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней (при к > 2). Обозначим его через Mk- А также в роли М выступает множество таких натуральных чисел п, что п свободно от к-ых степеней и (тг+1) свободно от 1-ых степеней (при к > 2 и / > 2).
Натуральное число п называется числом, свободным от А;-ых степеней (при к>2), если для любого простого р выполняется условие рк \ п.
Приведем некоторые утверждения о числах, свободных от к-ых степеней.
Доказано (см., например, [5]), что характеристической функцией множества Mk является функция
X*(n) = 5>(d). (2)
dk\n
Определим величину
Qk(x) = J21
- количество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, не превосходящих х. Применяя формулу (2), получим
п<х dk\n d
где C(s) - дзета-функция Римана. Первый результат на эту тему опубликовал Гегенбауэр [6] в 1885 г., который доказал, что при к = 2
Q2&) = -$Х + О (у/х) .
В асимптотической формуле для Qk(x) можно получить более точную оценку остаточного члена в виде
с некоторой константой с(к) > 0, применив оценку суммы значений функции Мёбиуса
"(«) = о (-^), (з)
Ax)J'
где возрастающая функция д(х) согласно [3] (см. также [7]) имеет вид
(log г)3/5
д(х) = Є (1о«1о8*>1/5 (с > 0). (4)
В конце сороковых годов XX века Л.Мирский [9], [10] рассматривал арифметическую задачу, которая состоит в следующем. Пусть даны s различных целых положительных чисел li,...,ls. Найти асимптотику величины F(x) - количества натуральных чисел п, не превосходящих х и таких, что все числа п + li, ...,п + ls свободны от к-ых степеней. Мир-ский получил асимптотическую формулу для F(x), главный член которой имеет порядок х, а остаток оценил как 0{x2^k+v>+). Доказательство основано на представлении характеристической функции множества натуральных чисел, свободных от к-ых степеней в виде формулы (2).
Исследование подобных задач продолжалось и в последующие годы. Так, P.P. Хэлл [И] получил асимптотическую формулу количества
тех натуральных чисел п, не превосходящих х, для которых числа п + h,...,71 + ls являются бесквадратными. Остаточный член при s > 2 был оценен как 0(z5/(5+1)(logx)5(2S-3^5+1)). Результат этого вида с более точной оценкой остаточного члена 0(#2/3(s log-1 я)4/3) доказал К.М. Тсанг [12].
В 1932 г. Л. Карлиц [13] рассматривал несколько иную задачу, а именно нахождение асимптотики количества бесквадратных чисел п, не превосходящих х, и таких, что п+1 также бесквадратно. Элементарным методом он оценил остаточный член как 0(х2/3+6). Позднее Д.Р. Хиз-Браун [14] посредством метода решета усилил результат Карлица с оценкой остаточного члена в виде 0(#7/n(loga;)7). Более общая задача решена Т.К. Иконниковой [5], а именно получена асимптотика количества натуральных чисел п, не превосходящих х, свободных от к-ых степеней, и таких, что п + 1 свободно от 1-ых степеней. Главный член асимптотики также имеет порядок х, а остаточный член оценен как О (х ы~1 +е\.
Хорошо известна бинарная аддитивная задача с числами, свободными от к-ых степеней. В 1931 г. Т. Эстерман [15] доказал асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых а и 6, каждое из которых свободно от к-ых степеней. Эта асимптотика имеет вид
рк-2
р-)п
а,ЪМк
Ck = П (1 - 2р"*).
Более точную оценку остаточного члена в виде 0(п2//3 log2 х) получил Е.
о,Ь>1 рк\п
п=а+о г і
i=«nff+(„**),
Коен [16] в асимптотической формуле Эстермана при к = 2. Позднее Г. Ригер привел в работе [17] более общий результат, доказав асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых а и 6, где а свободно от к-ых степеней и Ъ свободно от 1-ых степеней. При к < I асимптотика имеет вид
а,Ъ>1 „*|„ *
п=а+Ь Р |П
аЄМк,ЬМі
Ck,l = l[{l-p-k-p-1)-
Таким образом, исследованиями в данной предметной области занимались в разные годы многие авторы, получившие интересные результаты. В тоже время, на взгляд соискателя, при изменении отдельных условий могут быть получены результаты, которые будут иметь важное значение для дальнейших исследований в данной предметной области. Изложенное обусловливает актуальность проведенного исследования.
Целью работы является поиск асимптотик сумм
п<х п<х п<х п<х
пЄМк пёМк пЄМк "ЄМд.
n+ІЄЛГ; л+ІЄМ;
n
nMk пЄМк nMk пЄ~Мк
п+1ЄМ[ п+1ЄМі
Методы исследования. Доказательства основаны на представлении характеристической функции множества чисел, свободных от к-ых степеней формулой (2). Также в доказательствах применяются производящие ряды Дирихле, используются известные оценки сумм некоторых функций.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации являются новыми. Получены асимптотики сумм
п<х п<х п<х п<х
пМк пЄМк п&Мк "ЄІЦ.
п+ІЄЛ/j П+ІЄМ;
Xl^n)> Y^ cr(n)»l]CT(n),<7(n + 1)> S a(n)-a(n + l).
nMj пЄЛ/А пЄМд. nMk
п+1ЄМ[ п+1ЄМ(
Также получены более точные оценки остаточных членов в асимптотиках сумм
Y1 >м, Y, "(п)?
п&Мк яЄМд.
в предположении, что верна гипотеза Римана для (5). Кроме того, в оценках остаточных членов сумм
X) >(«)> X^(n)'^(n + 1)' S <т(п), ^<г(п)-<т(п + 1)
»<# n
пМк пМк пМк пМк
П+1М[ П+1ЄМ;
произведена замена х на log ж, а в оценках остаточных членов сумм Y, <р(п)-<р(п + 1), J2 <г(п)-(т{п + 1)
п<х п<х
пМк iMfc
п+ІЄЛ/j n+l&Mt
на log х. Доказано, что постоянные при главных членах во всех суммах отличны от нуля.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании вопросов аналитической теории чисел, в частности при изучении асимптотического поведения сумм значений арифметических функций на различных множествах. Кроме того, их можно использовать в учебном процессе при
чтении специальных курсов по теории чисел в высших учебных заведениях.
Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации 91 страница. Библиография включает 26 наименований.
В первой главе настоящей работы изучается асимптотическое поведение сумм значений функций ср(п) и ір(п)'ір(п+І) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от к-ых степеней и (n + 1) свободно от 1-ых степеней. Доказано пять теорем. В теореме 1 доказывается асимптотика суммы значений функции Эйлера на множестве М&.
ТЕОРЕМА 1. Для любого натурального к > 2 при х —> со выполняется асимптотическое равенство
Х>(») = 1^+^),
^=п(і-Н+й>0-
Rik)(x) = О (V+1/Vc(fc)(5&^ с некоторой константой с(к) > 0.
Доказательство проводится с использованием производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса. Это позволило улучшить оценку остаточного члена, полученную ранее в работе [18] в виде О (х1+1/к+е). В теореме 2 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для (s).
ТЕОРЕМА 2. Предположим, что справедлива гипотеза Римана для C(s). Тогда
R^(x)
с некоторой константой с\(к) > 0.
Эти результаты получены автором в работе [19]. В теореме 3 доказывается асимптотика суммы значений функции Эйлера ір(п) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, и таких, что (n + 1) свободно от 1-ых степеней.
ТЕОРЕМА 3. Для любых натуральных к > 2, I > 2 при х -» со выполняется асимптотическое равенство
<р(п) = \в^х2 + О (x^+1 log2 х) ,
п<х п+1ЄЛ/(
V р2 pk pl pk+l J
Доказательство основано на представлении характеристической функции множества Mk в виде формулы (2). Также произведены действия по замене х на log х в оценке остаточного члена. Этот результат получен автором в [20].
В работе [5] Т.К. Иконникова рассмотрела проблему делителей Инга-ма на множестве чисел без k-ых степеней. Ею были получены асимптотики сумм значений функции т(п) т(п + 1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней. Доказано, что при любых натуральных к > 2,1 > 2 и при х —> со выполняются асимптотические равенства
] т{п) т{п + 1) = А^х In2 х + В^к)х In х + С{к)х + О (х1+&+) ,
п<х пМк
J2 т[п) т(п + 1) = D^x In2 x + E^l)x Inx + F^x + О (x+^
где h = min(M), B(k\C{k\ <*'>,F(w> - постоянные,
В данной работе вместо функции т(п) т(п + 1) рассмотрена функция ір(п) (р(п + 1) и в теоремах 4 и 5 доказываются асимптотики сумм значений этой функции на множестве натуральных чисел, свободных от &-ых степеней.
ТЕОРЕМА 4. Для любого натурального к > 2 при х -> оо выполняется асимптотическое равенство
ф) <р(п + 1) = \н^хг + О (x2+1/fc log2 х) ,
^»=п(і-р4-^^)>о.
ТЕОРЕМА 5. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х -> оо выполняется асимптотическое равенство
53 УW ' У(п + 1) = ^(fc'^3 + О (х^+2 log4 ж) ,
1/(^) = TlYl - - - — - і + J- 4- —^ > о
11 ^X ^2 pA pl ^ pk+1 ^ pl+lj ^ V'
Доказательство теорем основано на представлении характеристических функций множеств Mk и Мі в виде формулы (2). Произведены действия по замене хє на log2 х и log ж в оценках остаточных членов. Результаты теорем 4 и 5 получены автором в [21] и [22] соответственно.
Во второй главе настоящей работы изучается асимптотическое поведение сумм значений функций а{п) и а(п) а(п + 1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от к-ых степеней и (n +1) свободно от 1-ых степеней. Доказано пять теорем. В теореме 6 доказывается асимптотика суммы значений функции а(п) на множестве М*.
ТЕОРЕМА 6. Для любого натурального к > 2 при х -» оо выполняется асимптотическое равенство
Г2 „ч , / ,.,„ -c(k\ {'?*)3/5
П<1 ^ '
пЄМд.
2(
^ 11 I рк рШ +p2Ar+l ) > '
с(&)- некоторая положительная константа.
Применение производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса позволило в оценке остаточного члена вместо множителя хє получить
-ф) {iogx)3,L
V ' (log log X)1'5 ш
В теореме 7 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для ((s).
ТЕОРЕМА 7. Предположим, что справедлива гипотеза Римана для ф). Тогда
J2 а(п) = ^2 + О (a^e^nfe) ,
пМ).
с некоторой константой ci(k) > 0.
В теореме 8 доказывается асимптотика суммы значений функции о~(п) на множестве натуральных чисел п, свободных от k-ых степеней, и таких, что (п + 1) свободно от 1-ых степеней.
ТЕОРЕМА 8. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х -> оо
выполняется асимптотическое равенство
а{п) = jVv + 0 ^+i log2^ j
Г*
12'
п+1М[
я<ад = П(і-^+^+^)>о.
В теоремах 9 и 10 доказаны асимптотики сумм для функции а(п) а(п + 1) на множестве чисел без fc-ых степеней.
ТЕОРЕМА 9. Для любого натурального к > 2 при х —> со выполняется асимптотическое равенство
Y, с{п) {п + 1) = ^Л3 + О (x2+1/klog2x) ,
nMf.
^ = П(і+^-^-^)>о-
ТЕОРЕМА 10. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х —> со
выполняется асимптотическое равенство
J2 а(п) а{п + 1) = ^F^x3 + О (x2+h№ log4*)
F(k,i) = ттЛ+І_± + _і__І__і_ + _М >0>
Доказательство теорем 8, 9 и 10 основано на представлении характеристических функций множеств Mk и Mi в виде формулы (2), а также на полученной в [23] А.И. Виноградовым и Ю.В. Линником оценке суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии, что позволило заменить хє на log2 х (теоремы 8 и 9) и log4 х (теорема 10) в оценках остаточных членов. Результаты теорем второй главы доказаны в работах [24] и [25].
Результаты исследования апробированы на семинарах кафедры теории чисел Московского педагогического государственного университета под руководством профессора Д.А. Митькина; на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24 мая 2003 г.); на VI Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 13-17 сентября 2004 г.).
Суммирование значений функции Эйлера на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней
Опираясь на оценки тригонометрических дзетовых сумм, полученные И.М. Виноградовым и Н.М. Коробовым в 1958 г., А.З. Вальфиш [3] и А.Н. Салтыков [4] улучшили результат для функции Эйлера с оценкой остаточного члена в виде Оценки тригонометрических сумм дали возможность улучшить результат для функции а(п) с оценкой остаточного члена в виде В диссертации решаются задачи по исследованию асимптотики суммы где /(п) - заданная арифметическая функция, М - некоторое заданное подмножество множества натуральных чисел. В настоящей работе в качестве функции /(п) рассматриваются функции р(п), р(п) -(р(п + 1), т(п), а(п) -cr(n+ 1). В качестве множества М -множество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней (при к 2). Обозначим его через Mk- А также в роли М выступает множество таких натуральных чисел п, что п свободно от к-ых степеней и (тг+1) свободно от 1-ых степеней (при к 2 и / 2).
Натуральное число п называется числом, свободным от А;-ых степеней (при к 2), если для любого простого р выполняется условие рк \ п. Приведем некоторые утверждения о числах, свободных от к-ых степеней. Доказано (см., например, [5]), что характеристической функцией множества Mk является функция - количество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, не превосходящих х. Применяя формулу (2), получим где C(s) - дзета-функция Римана. Первый результат на эту тему опубликовал Гегенбауэр [6] в 1885 г., который доказал, что при к = 2 В асимптотической формуле для Qk(x) можно получить более точную оценку остаточного члена в виде с некоторой константой с(к) 0, применив оценку суммы значений функции Мёбиуса где возрастающая функция д(х) согласно [3] (см. также [7]) имеет вид В конце сороковых годов XX века Л.Мирский [9], [10] рассматривал арифметическую задачу, которая состоит в следующем. Пусть даны s различных целых положительных чисел li,...,ls. Найти асимптотику величины F(x) - количества натуральных чисел п, не превосходящих х и таких, что все числа п + li, ...,п + ls свободны от к-ых степеней. Мир-ский получил асимптотическую формулу для F(x), главный член которой имеет порядок х, а остаток оценил как 0{x2 k+v +). Доказательство основано на представлении характеристической функции множества натуральных чисел, свободных от к-ых степеней в виде формулы (2).
Суммирование значений функции Эйлера на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое ОТ /-ЫХ степеней
В 1932 г. Л. Карлиц [13] рассматривал несколько иную задачу, а именно нахождение асимптотики количества бесквадратных чисел п, не превосходящих х, и таких, что п+1 также бесквадратно. Элементарным методом он оценил остаточный член как 0(х2/3+6). Позднее Д.Р. Хиз-Браун [14] посредством метода решета усилил результат Карлица с оценкой остаточного члена в виде 0(#7/n(loga;)7). Более общая задача решена Т.К. Иконниковой [5], а именно получена асимптотика количества натуральных чисел п, не превосходящих х, свободных от к-ых степеней, и таких, что п + 1 свободно от 1-ых степеней. Главный член асимптотики также имеет порядок х, а остаточный член оценен как О (х ы 1 +е\. Хорошо известна бинарная аддитивная задача с числами, свободными от к-ых степеней. В 1931 г. Т. Эстерман [15] доказал асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых а и 6, каждое из которых свободно от к-ых степеней. Эта асимптотика имеет вид Более точную оценку остаточного члена в виде 0(п2//3 log2 х) получил Е. Коен [16] в асимптотической формуле
Эстермана при к = 2. Позднее Г. Ригер привел в работе [17] более общий результат, доказав асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых а и 6, где а свободно от к-ых степеней и Ъ свободно от 1-ых степеней. При к I асимптотика имеет вид Таким образом, исследованиями в данной предметной области занимались в разные годы многие авторы, получившие интересные результаты. В тоже время, на взгляд соискателя, при изменении отдельных условий могут быть получены результаты, которые будут иметь важное значение для дальнейших исследований в данной предметной области. Изложенное обусловливает актуальность проведенного исследования. Целью работы является поиск асимптотик сумм Методы исследования. Доказательства основаны на представлении характеристической функции множества чисел, свободных от к-ых степеней формулой (2). Также в доказательствах применяются производящие ряды Дирихле, используются известные оценки сумм некоторых функций. Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации являются новыми. Получены асимптотики сумм Также получены более точные оценки остаточных членов в асимптотиках сумм в предположении, что верна гипотеза Римана для (5). Кроме того, в оценках остаточных членов сумм произведена замена х на log ж, а в оценках остаточных членов сумм Y, р(п)- р(п + 1), J2 на log х. Доказано, что постоянные при главных членах во всех суммах отличны от нуля.
Суммирование значений функции суммы делителей натурального числа на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании вопросов аналитической теории чисел, в частности при изучении асимптотического поведения сумм значений арифметических функций на различных множествах. Кроме того, их можно использовать в учебном процессе при чтении специальных курсов по теории чисел в высших учебных заведениях. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации 91 страница. Библиография включает 26 наименований.
В первой главе настоящей работы изучается асимптотическое поведение сумм значений функций ср(п) и ір(п) ір(п+І) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от к-ых степеней и (n + 1) свободно от 1-ых степеней. Доказано пять теорем. В теореме 1 доказывается асимптотика суммы значений функции Эйлера на множестве М&. Для любого натурального к 2 при х — со выполняется асимптотическое равенство с некоторой константой с(к) 0. Доказательство проводится с использованием производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса. Это позволило улучшить оценку остаточного члена, полученную ранее в работе [18] в виде О (х1+1/к+е). В теореме 2 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для (s). Предположим, что справедлива гипотеза Римана для C(s). Тогда с некоторой константой с\(к) 0. Эти результаты получены автором в работе [19]. В теореме 3 доказывается асимптотика суммы значений функции Эйлера ір(п) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, и таких, что (n + 1) свободно от 1-ых степеней. Для любых натуральных к 2, I 2 при х -» со выполняется асимптотическое равенство Доказательство основано на представлении характеристической функции множества Mk в виде формулы (2). Также произведены действия по замене х на log х в оценке остаточного члена. Этот результат получен автором в [20].
Суммирование значений функции суммы делителей натурального числа на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от /-ых степеней
Доказательство теорем основано на представлении характеристических функций множеств Mk и Мі в виде формулы (2). Произведены действия по замене хє на log2 х и log ж в оценках остаточных членов. Результаты теорем 4 и 5 получены автором в [21] и [22] соответственно. Во второй главе настоящей работы изучается асимптотическое поведение сумм значений функций а{п) и а(п) а(п + 1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от к-ых степеней и (n +1) свободно от 1-ых степеней. Доказано пять теорем. В теореме 6 доказывается асимптотика суммы значений функции а(п) на множестве М . с(&)- некоторая положительная константа. Применение производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса позволило в оценке остаточного члена вместо множителя хє получить В теореме 7 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для ((s). 7. Предположим, что справедлива гипотеза
Римана для ф). Тогда пМ). с некоторой константой ci(k) 0. В теореме 8 доказывается асимптотика суммы значений функции о (п) на множестве натуральных чисел п, свободных от k-ых степеней, и таких, что (п + 1) свободно от 1-ых степеней. 8. Для любых натуральных к 2 и I 2 при х - оо выполняется асимптотическое равенство В теоремах 9 и 10 доказаны асимптотики сумм для функции а(п) а(п + 1) на множестве чисел без fc-ых степеней. Для любого натурального к 2 при х — со выполняется асимптотическое равенство выполняется асимптотическое равенство Доказательство теорем 8, 9 и 10 основано на представлении характеристических функций множеств Mk и Mi в виде формулы (2), а также на полученной в [23] А.И. Виноградовым и Ю.В. Линником оценке суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии, что позволило заменить хє на log2 х (теоремы 8 и 9) и log4 х (теорема 10) в оценках остаточных членов. Результаты теорем второй главы доказаны в работах [24] и [25]. Результаты исследования апробированы на семинарах кафедры теории чисел Московского педагогического государственного университета под руководством профессора Д.А. Митькина; на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24 мая 2003 г.); на VI Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 13-17 сентября 2004 г.).
