Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящаяся к области аддитивной теории чисел. Основной задачей аддитивной теории чисел является вопрос о представлении некоторой последовательности натуральных чисел суммой ограниченного количества слагаемых заданного вида. Исторически первыми примерами подобных задач стали:
тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых;
проблема Эйлера (1742 г.) (или бинарная проблема Гольдбаха) о представлении четных чисел в виде суммы двух простых;
теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел;
обобщение теоремы Лагранжа, предложенное Варингом1 в 1770 г., которое утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью п чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка G(n), т.е., что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде
х\ + хп2 + ... + а = N, (1)
где xi, Х2-, , хг — натуральные числа и количество слагаемых г не превосходит фиксированной величины G(n), называемой порядком базиса последовательности {хп}} или функцией Харди;
поставленная в начале 19-го века проблема о том, что фиксированная
степень п простых чисел р при любом натуральном п образует базис
конечного порядка V(n) в натуральном ряде. Вновь постановка этой
проблемы появилась в работе П.Эрдёша2. Другими словами, пред
полагалось, что каждое достаточно большое натуральное N может
быть представлено в виде
n = pt[ + pZ + ---+pI (2)
где р\}р2}... }рк — простые числа и к < V(n). Данная задача называется проблемой Гольдбаха - Варинга, поскольку обобщает, с одной стороны, проблему Гольдбаха о представлении числа суммой простых чисел, а, с другой стороны — проблему Варинга о представлении чис-ла суммой степеней натуральных чисел.
1Waring Е. Meditationes algebraicae. Cambridge. 1770.
2ErdoshP. On the easier Waring problem for powers of primes. I. // Proc. of the Cambridge Phil. Soc, January 1937, V. XXXIII, Part I, p. 6-12.
теорема Эстермана о представлении натурального числа N > Щ в виде р\ + р2 + т2 = N, pi и ^-простые числа, m-целое число.
И.М. Виноградов4 в 1937 году создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы с простыми числами. Полученная оценка в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде
N = рі+р2+Рз, (3)
следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.
Бинарная проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Лучший современный результат, наиболее близко подходящий к доказательству этой проблемы, принадлежит Чену5. В этой знаменитой работе Чен доказал, что каждое четное число N представимо в виде
р + Р2 = N,
где Р2 простое число или произведение двух простых чисел.
В XIX веке проблема Варинга была доказана для отдельных значений п, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в ХХ-ом веке. В 1909 г. эту проблему решил Д.Гильберт6, тем самым он установил существование функции G(n).
Харди и Литтлвуд7 в 1920 г. дали новое доказательство проблемы Варинга. Именно они ввели функцию G(n) и доказали, что
п < G{N) < n2n~lh] lim h = 1
n—7>00
Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при
r> (п- 2)T~l + 5
3Estermann Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc, 11(1937), pp. 501-516.
Виноградов И.М.Избранные труды. - М.: Изд-во АН СССР, 1952.
5Chen J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes // Kexue Tongbao, 1966, v.17, p.385-4386.
6Гильберт Д. Избранные труды. Т.1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. -М.: Изд-во "Факториал 1998. - 575с.
7Hardy G.H., Littlwood J.E. Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p.33-54. IV: Math. Z. 1922. Bd. 12. pp.161-168.
для числа J(N) представлений числа N в виде х\ + х% + ... + х = N нашли асимптотическую формулу вида
J(N) = {V{l + ],n)r N^& + 0{Nr~l~<n^) (4)
Y[r/n)
где &- некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число ci(n,r) и ci(n,r) > 0.
В 1924 г. И.М.Виноградов4'8 применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм и доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда имеет место при
г > 2[n2(21nn + lnlnn + 3)].
В 1934 г. он доказывает9 также, что
G(n) затем несколько раз уточняет эту оценку и, наконец, в 1959 г. доказывает10, что G(n) < n(21nn + 41nlnn + 21nlnlnn + 13). А.А. Карацуба11 применил к оценке G{n) свой р - адический метод и получил более точный результат G(n) < n(21nn + 21nlnn + 12). Вули12 доказал, что G(n) < nlnn + n In Inn + O(l). Величина G(n) известна только для п = 2 и п = 4, именно G(2) = 4, G(4) = 16, что соответственно доказали Лагранж и Давенпорт. Ю.В. Линник13 доказал, что С(3) < 7. Вон14 доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (4) имеет место при г = 8 и п = 3. В 1938 г. Хуа Ло Ген15, пользуясь оценкой И.М. Виноградова для тригонометрических сумм с простыми числами, доказал асимптотическую формулу для числа представлений достаточно большого натурального числа 8Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга// Матем.сб., 1924, Т.31, №3-4, с.490-507. Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга//ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341. 10Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, Т.23, №5, с.637-642. "Карацуба А.А. О функции G(n) в проблеме Варинга// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5, с.935-947. 12Wooley T.D. Large improvements in Waring's problem // Ann of Math., 1992, (2)135, №1, pp.131-164. 13Линник Ю В. О разложении больших чисел на семь кубов// ДАН СССР, 1942, №35, с.179-180. 14Vaughan R.C.On Waring's problem for cubes // J. Reine Angew. Math.,1986, 365, pp.122-170. 15Hua L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart J Math (Oxford), 1938, 9: 68-80 N в виде суммы пяти квадратов простых чисел и показал, что особый ряд этой формулы больше абсолютной положительной постоянной при N = 5(mo И.М. Виноградов4 с помощью своего метода тригонометрических сумм нашел асимптотическую формулу в проблеме Гольдбаха - Варинга. В асимптотической формуле И.М. Виноградова вопрос о положительности особого ряда о" = а(к; N), то есть вопрос о существовании функции V(n) и ее верхней оценки в зависимости только от значения параметра п до 2009г. оставался открытым и, следовательно, проблема Гольдбаха - Варинга в полном объеме до самого последнего времени оставалась нерешенной. В.И. Чубариков16, используя свою теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющейся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова, полностью решил проблему Гольдбаха - Варинга. После создания метода тригонометрических сумм и метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова основным аппаратом в аддитивной теории чисел стала оценка тригонометрических сумм. И.М. Виноградов также первым начал изучать тригонометрические суммы, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, которые возникают при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми. Он4, впервые для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, то есть сумм вида: S(a;x,y) = У^ Л(п)е(ст), а = —1-А, |А| <—, 1 < g < т, х—у<п<х используя свой метод оценок сумм с простыми числами, доказал нетривиальную оценку при ехр(с(1п1пж)2) <С q <С ж1/3, у > ж2/3+є. Затем Haselgrove СВ. 17, В. Статулявычус18, Jia Chao-hua19, Пан Чен- 16Чубариков В.Н. К проблеме Варинга-Гольдбаха В. Н. Чубариков // Доклады Академии наук. - 2009. - Т.427, №1, с. 24-27 17Haselgrove СВ. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc.,26 (1951),273-277. 18Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета, сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5-23. 19JiA Chaohua, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115. дон и Пан Чен-бьяо20, Zhan Тао21 получили нетривиальную оценку суммы S(a,x,y), у > хв, q — произвольное, и доказали асимптотическую формулу для тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть для числа решений диофантова уравнения (3) с условиями ~з~ < Я, Н = N( соответственно при 9 = 63/64 + є, 279/308 + є, 2/3 + є, 5/8 + є. Jianya Liu и Тао Zhan22 доказали теорему Хуа Ло Гена об представимости достаточно большого натурального число N, N = 5(mo N РІ + + РІ .11 < Я, Н> N + З.Х.Гахмонов23 и Дж.А. Шокамолова24 исследовали уравнение Эстермана Рх + р2 + т2 = N, (5) где р\, р2 — простые числа, т — натуральное число с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и вывели асимптотическую формулу для числа решений (5) с условиями "з" 1,2, "з~ <Н: Н> 7V3/4 In2 N. З.Х.Гахмонов и СП. Шозиеева25 нашли асимптотическую формулу для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении Эстермана квадрат натурального т заменяется на его 20Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147. 21 Zhan Tao, On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 7 (1991), No 3, 135-170. 22J Y Liu, T Zhan. Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669Ц690. 23Paxmohob 3.X. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572. 24Шокамолова Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53, .№5, с. 325-332. 25Рахмонов 3.X.,Шозиеева СП. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17. куб. Они доказали асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа N: N > No в виде суммы простых чисел pi, Р2 и куба натурального т с условиями N ~3~ ~з~ 1,2, <Н;Н> N5/6 In3 N. В работе26 исследована проблема Варинга для девяти кубов с почти равными слагаемыми, а именно доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы девяти кубов натуральных чисел Хі: і = 1,9 с условиями Li < Я, Я > N^10+. Цель работы. Целью работы является изучение поведения тригонометрических сумм Вейля четвертого порядка, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов и их приложение в асимптотической формуле проблемы Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми. Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона; метод сглаживания двойных тригонометрических сумм И.М.Виноградова; круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: Изучено поведение тригонометрические сумм Г. Вейля четвертого порядка, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов; Для сумм Вейля четвертого порядка, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, доказана теорема Хуа Ло-гена, то есть найден правильный порядок интеграла от шестнадцатой степени модуля суммы этой суммы; 26Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51,№2, с.83-86. Получена асимптотическая формула в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степеней с почти равными слагаемыми. Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством члена-корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова в Институте математики АН РТ, на международных научных конференциях "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики"( 2007 г.), "Современные проблемы математического анализа и их приложений" (2010 г.) в Институте математики АН РТ; на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2006-2009 г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х научных работах, список которых приведен в конце автореферата. Структура и объём работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы включающего 87 наименований. Объём диссертации составляет 62 страницы ком-пютерной вёрстки в редакторе математических формул DT^X.Похожие диссертации на Проблема Варинга с почти равными слагаемыми для четвертых степеней
