Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Форменные кольца и гиперболические унитарные группы ... 29
1. Форменные кольца и тела с инволюцией 29
2. Гиперболические унитарные группы 39
3. Простейшие унитарные матрицы 47
ГЛАВА II. Сети, форменные сети и соответствующие им подгруппы ... 51
1. Сети и теорема Боревича для полной линейной группы 51
2. Сетевые подгруппы гиперболической унитарной группы 56
3. Форменные сети и форменные сетевые подгруппы 62
4. Подобие форменных сетей 69
5. Образующие форменной сетевой подгруппы над телом 73
6. Сопряженные форменные сетевые подгруппы 81
7. Решетка Lat (Uo(ff, Г), Nu(<7, Г)) 88
ГЛАВА III. Решетка наддиагональных подгрупп гиперболической унитарной группы над телом 90
1. Доказательство единственности 92
2. Форменная сеть, ассоциированная с наддиагональной подгруппой 93
3. Наддиагональные подгруппы U(2, R,A) 98
4. Матрица с почти нулевой строкой 103
5. Матрица с нулевым элементом. Извлечение нескольких трансвекций 107
6. Основная лемма для матрицы с нулевым элементом 116
7. Матрица с нулевым элементом. Включение в нормализатор 123
8. Матрица с нулевой характеристической суммой 127
9. Нулевой элемент появляется при сопряжении элементарной диагональной матрицы 131
10. Коммутативный случай 139
11. Матрица с нулевым присоединенным вектором 141
12. Матрица с нулевым минором 147
13. Матрица с нулевым псевдоминором 154
14. Окончание доказательства теоремы 160
15. Исключения 166
Список литературы 169
- Гиперболические унитарные группы
- Подобие форменных сетей
- Наддиагональные подгруппы U(2, R,A)
- Нулевой элемент появляется при сопряжении элементарной диагональной матрицы
Введение к работе
Представляемая диссертация посвящена изучению подгрупп линейных групп, объединяемых понятием гиперболической унитарной группы. Этот класс групп включает в себя в качестве частных случаев симплектические и расщепимые ортогональные и классические унитарные группы, а специфика определения рассматриваемых групп позволяет исследовать упомянутые линейные группы одновременно и вне зависимости от обратимости 2 в соответствующем кольце. Вводную часть предлагаемой работы мы начнем с описания нескольких важных направлений в изучении линейных групп, выделяя только небольшую часть из огромного потока работ по исследуемой тематике, а затем вкратце напомним историю возникновения рассматриваемых нами групп.
Различные вопросы, связанные со структурой классических групп, изучались во многих сотнях работ. Особый интерес вызывали и продолжают вызывать такие вопросы, как
• описание нормального строения,
• описание изоморфизмов и автоморфизмов,
• образующие и соотношения,
• описание различных классов подгрупп.
Значительное число работ посвящено рассмотрению различных арифметических вопросов, вычислению когомологий, геометрическим приложениям и т.д.. Не пытаясь, разумеется, охватить все аспекты исследования линейных групп, остановимся на четырех перечисленных выше проблемах.
Нормальное строение. Описание нормальных делителей, начатое для линейных групп над полями в классических работах К. Жордана, Л. Диксона, Ж. Дье-донне, обобщалось в дальнейшем на разные классы колец, в первую очередь — на локальные и арифметические. Центральный результат по описанию нормальных подгрупп полной линейной группы принадлежит X. Бассу: если число п больше 2 и стабильного ранга кольца R, то для любой подгруппы Н группы GL(n, R), нормализуемой элементарной группой E{n,R), существует такой единственный идеал а кольца R, что подгруппа Я заключена между элементарной подгруппой E(n, R, о), определяемой этим идеалом, и подгруппой матриц, образы которых при редукции по модулю а содержатся в центре группы GL(n, Л/а). Отметим, что описания подобного рода для различных классов подгрупп линейных групп возникают довольно часто — некоторые авторы в этой ситуации говорят о сэндвич-классификации. Для коммутативного R при п 3 Дж. Уилсон и И. 3. Голубчик доказали, что стандартное описание нормальных подгрупп, даваемое теоремой Басса, справедливо вне зависимости от стабильного ранга кольца, а А. А. Суслин установил нормальность элементарной группы в GL(n,R). Для некоммутативной ситуации, как показал В. Н. Герасимов, подгруппа E(n, R) может не быть нормальной даже при п 2, а случай п = 2 вообще принципиально отличается от п 3.
Различные вопросы, связанные с нормальным строением классических групп над кольцами и нормальностью элементарной подгруппы, рассматривались Л. Н. Васер-штейном, А. В. Михалевым, И. 3. Голубчиком, А. А. Суслиным, 3. И. Боревичем, Н. А. Вавиловым, Ли Фуанем и многими другими авторами. При этом обнаружилось, в частности, что для коммутативного кольца с необратимой 2 ситуация в симплек-тической группе существенно отличается об других случаев, в связи с чем в работах Э. Абе, Л. Н. Васерштейна, Д. Косты и Г. Келлера были предложены различные конструкции и введена специальная терминология для описания нормальных подгрупп. Рассматриваемые в этих работах понятия (допустимые пары, квазиидеалы, радиксы) для ранга 3 оказываются эквивалентными понятию форменного идеала кольца, введенного Э. Баком и использованного им вместе с Н. А. Вавиловым при доказательстве нормальности элементарной подгруппы в гиперболической унитарной группе над кольцом, конечно порожденным как модуль над своим центром.
Изоморфизмы и автоморфизмы. Описание изоморфизмов линейных групп было начато в классических трудах К. Жордана, Л. Диксона, О. Шрайера, Б. ван дер Вардена, Хуа Локена, И. Райнера, Ж. Дьедонне. В последние десятилетия важнейшие результаты в этом направлении были получены в работах Р. Стейнберга, О. Т. О Миры, Р. Солацци, А. Хана и длинного ряда других авторов. Приведем некоторые результаты по изучению группы автоморфизмов, ссылаясь относительно более подробной информации на монографию А. Хана и О. Т. О Миры [141]).
Основной вопрос, исследуемый в большинстве работ по автоморфизмам линейных групп, — это возможность описания произвольного автоморфизма как композиции стандартных, то есть индуцированных автоморфизмами кольца, над которым построена группа, контрагредиентными преобразованиями, соответствующими инволюциям основного кольца, умножений на обратимые центральные элементы и внутренних автоморфизмов. Для коммутативного кольца R при п 3 У. Уотер-хауз показал, что все автоморфизмы группы GL(n, R) сводятся к стандартным, а В. М. Петечук установил стандартность описания всех автоморфизмов GL(3, R), если 2 обратима в R (для коммутативного кольца с необратимой 2 имеются примеры нестандартных автоморфизмов, а в случае п = 2 дело вообще обстоит существенно сложнее). В некоммутативном R с обратимой 2 даже при п 2 могут существовать не сводящиеся к стандартным автоморфизмы полной линейной группы, но все автоморфизмы группы Е(и, R) допускают стандартное описание, как установлено в работах А. В. Михалева, И. 3. Голубчика и Е. И. Зельманова.
Образующие и соотношения. Для полей Ж. Дьедонне и Хуа Локен описали образующие всех классических групп в конце 40-х годов прошлого века. Для других колец нахождение системы образующих соответствующей линейной группы существенно зависит от типа рассматриваемого кольца — не приводя конкретных результатов, сошлемся на обзор [92] Ю. И. Мерзлякова, где этот вопрос подробно обсуждается и указана также подробная библиография по минимализации системы образующих и нахождению определяющих соотношений. Особый интерес к вопросу об определяющих соотношениях был стимулирован публикацией в 60-ых годах работ Р. Стейнберга и Дж. Милнора. После введения в рассмотрение абстрактных групп с образующими,соответствующими обычным трансвекциям, и определяющими соотношениями, соответствующими стандартным коммутационным соотношениям между трансвекциями при п 3 (групп Стейнберга), и определения функтора Кг появились сотни работ с разнообразными результатами, полученными в технике К-теории (по поводу конкретики вновь сошлемся на монографию [141] А. Хана и О. Т. О Миры). Кроме этого, громадное количество работ посвящено заданию конечных и арифметических классических групп и асимптотическим вопросам.
Подгруппы, определяемые в теоретико-групповых терминах. Не обсуждая здесь подробно вопросы, связанные с описанием таких классов подгрупп линейных групп, как абелевы, разрешимые, нильпотентные, силовские, холловские и т.д., отметим, что в этой области основные достижения принадлежат Дж. Диксону, Б. Верфрицу, Д. А. Супруненко, В. П. Платонову, А. Е. Залесскому, другим алгебраистам минской школы; общая проблематика этого направления исследования детально освещена в обзорах А. Е. Залесского. В последние годы выдающиеся результаты по классификации конечных линейных групп, выделяемых указанного рода теоретико-групповыми условиями, были получены в новосибирской алгебраической школе учениками В. Д. Мазурова Е. П. Вдовиным и Д. О. Ревиным.
Подгруппы, порожденные элементами определенного типа, и их инварианты. Современный этап изучения групп, порожденных отражениями (и псевдоотражениями), ведет начало от работ Г. Кокстера, Г. Шепарда, Дж. Тодда, Г. Вей-ля, К. Шевалле. Рассматривая группы Шепарда-Тодда, порожденные полупростыми псевдоотражениями, имеющими единственное комплексное собственное значение конечного порядка, А. Коэн построил описание этих групп в терминах образующих и определяющих соотношений. Группы, порожденные трансвекциями (унипотент-ными псевдоотражениями), описаны Дж. Маклафлином. Классификация конечных неприводимых групп, порожденных псевдоотражениями, для полей произвольной характеристики была построена в работах А. Вагнера, А. Е. Залесского и В. Н. Се-режкина.
В нескольких работах У. Хаффмана и Д. Уэйлза описаны неприводимые примитивные конечные подгруппы над полем комплексных чисел, порожденные полупростыми элементами с двумя неединичными собственными значениями (двумерными полупростыми псевдоотражениями); аналогичная задача для полей положитель ной характеристики была рассмотрена А. В. Корлюковым. В работах К. Ватанабе и Н. Л. Гордеева было обнаружено, что алгебры инвариантов этих групп являются полными пересечениями. Классификация неприводимых подгрупп, порожденных квадратичными унипотентными элементами, была получена в работах Дж. Томпсона и Ф. Тиммесфельда. Неприводимые подгруппы, порожденные однопараметрически-ми подгруппами псевдоотражений, описаны Н. А. Вавиловым, А. Коэном, X. Кюй-персом и X. Стерком. Относительно более подробной информации, касающейся этой проблематики, сошлемся на У. Кантора и Ф. Тиммесфельда [147, 189].
Еще один аспект в исследовании линейных групп связан с изучением решетки Lat((?o, G) подгрупп группы G, содержащих некоторую выделенную подгруппу Go, — такую задачу обычно называют описанием промежуточных подгрупп. Поскольку основной результат представляемой работы относится именно к этому направлению изучения линейных групп, остановимся на нем подробнее, оговорившись, что при обращении к группам Шевалле нас главным образом будут интересовать четыре серии расщепимых классических групп.
Задача об описании промежуточных подгрупп тесно соприкасается с проектом классификации максимальных подгрупп конечных простых групп, в течение последних десятилетий находящемся в центре внимания ведущих специалистов — Г. Зейца, М. Либека, Я. Саксла, А. Коэна, Д. Тестерман и очень многих других. Особенно бурно этот раздел теории конечных групп развивается после появления работы [115] М. Ашбахера, где было доказано, что каждая максимальная подгруппа конечной классической группы либо принадлежит одному из описанных в работе Ашбахера классов Ci—Cg, либо является почти простой группой в некотором абсолютно неприводимом представлении. Для линейных групп над конечным полем вопросу о том, какие именно подгруппы из классов Ашбахера являются максимальными, были посвящены десятки работ, опирающиеся на классификационные теоремы для конечных простых групп; полностью эта проблема была решена П. Клейдманом и М. Либеком — сошлемся на монографию [153], где помимо результатов, полученных самими авторами, изложена история проблемы и приведена подробная библиография. Для бесконечных полей, а также для разных типов колец группы из классов Сі—С8 достаточно велики, хотя совершенно не обязательно максимальны, и проблема описания решетки промежуточных подгрупп, когда в качестве Go берется либо группа из самого класса Ашбахера, либо группа, описываемая какой-то комбинацией этих классов, представляется весьма актуальной. Приведем некоторые результаты, связанные с этим подходом.
Вариацией на тему класса Сі + Сг можно считать задачу об описании параболических подгрупп групп Шевалле. Классическая теорема Титса (см. [24,191]) утверждает, что для произвольного поля К решетка надгрупп стандартной борелев-ской подгруппы в группе Шевалле G{$,K) изоморфна решетке замкнутых подмножеств корней, содержащих множество Ф+ всех положительных корней. При обобщении теоремы Титса на кольца в работах разных авторов возник и далее стал общеупотребительным подход, связанный с рассмотрением особых матриц из иде алов и соответствующих им подгрупп. В [97] Н. С. Романовский (не вводя при этом специальной терминологии) доказал, что описание Титса имеет место также для параболических подгрупп полной и специальной линейных групп над коммутативным локальным кольцом с обратимой 2. Затем 3. И. Боревич, предложивший использовать термины сеть и сетевая подгруппа, в [13, 14] перенес результаты Романовского на полулокальные кольца (в случае полной линейной группы — не обязательно коммутативные). Чуть позднее мною в [48] был установлен симплектический аналог результата Боревича. Вопросы, связанные с описанием параболических подгрупп в группах Шевалле разных типов, рассматривались в работах К. Судзуки, Н. А. Вавилова, Е. Б. Плоткина.
Гиперболические унитарные группы
Как и понятие форменного кольца, определение гиперболической унитарной группы впервые в обсуждаемой здесь общности появилось в работе Э. Бака [116]. Следуя [141, 5.2А] и [120, 2], мы описываем эту группу сначала как группу изометрий невырожденного Л-квадратичного модуля, а затем переходим на матричный язык. Обращаясь к матричной интерпретации, мы не рассматриваем блочную запись унитарной матрицы и группу Л-антиэрмитовых матриц. Вместо этого, используя картеровскую ндексацию, мы формулируем критерий вхождения матрицы в группу \](2n,R,A) непосредственно в терминах элементов матрицы, вводя в рассмотрение столбец из характеристических сумм унитарной матрицы. Как и в предыдущем параграфе, основное внимание уделяется гиперболическим унитарным группам над телами: мы напоминаем классификацию таких групп из [141], где рассматриваемые группы связываются с классическими линейными, а в конце параграфа связываем с унитарной матрицей еще один столбец, описывая его поведение при умножении матриц. Пусть, как и в 1, R — ассоциативное кольцо с 1, Л — действующая на нем обобщенная инволюция с определяющим скаляром Л и Л — форменный параметр кольца R. На геометрическом языке (см. [141, 5.2А и 5.ЗА]) гиперболическая унитарная группа определяется как группа изометрий гиперболического квадратичного модуля конечного ранга над форменным кольцом (R,A). Приведем подробности такого определения.
Рассматривая свободный правый Д-модуль четного ранга 2п, условимся отождествлять его с правым і?-модулем Я2" столбцов высоты In. Компоненты элементов этого модуля мы индексируем множеством — такая индексация, впервые примененная Р. Картером в [123], оказывается для наших целей значительно более удобной, чем обычная натуральная. Равенство вводит на модуле R2n полуторалинейную относительно взятой обобщенной инволюции форму /. В стандартном базисе R2n (столбец ЄІ имеет 1 на г-ом месте и 0 на всех остальных) матрица формы / может быть записана в блочном виде где через р обозначена мономиальная матрица n-ого порядка с 1 на побочной диагонали а под нулями в (1.6) понимаются нулевые матрицы n-ого порядка. Сильно вырожденная форма / определяет на модуле R2n невырожденную следовую А-эрмитову форму матрица которой в базисе е равна (из приведенного определения ясно, что форма h имеет индекс Витта п, а наш стандартный базис е является относительно h гиперболическим базисом рассматриваемого модуля). Помимо следовой А-эрмитовой формы h исходная полуторалинейная форма / определяет отображение — квадратичную форму, задаваемую равенством Из этого определения, в частности, следует, что векторы стандартного базиса е пространства Л2п квадратичная форма q отображает в нулевой класс Л факторгруппы Л/Л. Отметим также (см. [141, предложение 5.1.14]), что при каждом натуральном т для произвольных элементов х \..., х(т) модуля Л2" и любых элементов «і,..., ат кольца Л справедливо равенство »=1 / г=\ l i j m Для описанных выше hnq пара (h, q) называется Л-квадратичной формой на модуле Л2; при этом h удобно называть следовой частью Л-квадратичной формы, a q — ее квадратичной частью. Тройку же М = (R2n,h,q), состоящую из модуля и Л-квадратичной формы, называют гиперболическим квадратичным модулем над форменным кольцом (Л, Л) ранга 2п. Под изометрией гиперболического квадратичного модуля М понимается обратимое линейное преобразование А модуля Л2п, сохраняющее обе части Л-квадратичной формы: при всех х и у из Л2п. Из-за линейности А для сохранения следовой части достаточно потребовать выполнения равенств Аналогично дело обстоит и с квадратичной частью: из условия (1.7) и уже упомянутого предложения 5.1.14 монографии [141] следует, что преобразование А сохраняет квадратичную часть, если имеют место равенства Поскольку, как уже отмечалось, для произвольного вектора стандартного базиса выполняется условие g(ej) = Л, сохранение преобразованием
А квадратичной части эквивалентно включениям Группа \](М) всех изометрий нашего гиперболического квадратичного модуля М называется гиперболической унитарной группой этого модуля. Мы в дальнейшем будем иметь дело не с самой группой \]{М), а с ее образом U(2n,i?,A) в полной линейной группе GL(2n, R) при групповом мономорфизме, сопоставляющем изометрий ее матрицу в базисе е, — матричной гиперболической унитарной группой степени 2п над форменным кольцом (R,A). Индексируя строки и столбцы квадратной матрицы a = (ау) порядка 2п над R элементами множества ft, опишем условия вхождения обратимой матрицы а в группу U(2n, R,A). Равенство (1.7) означает, что при произвольных индексах г и j мы имеем
Подобие форменных сетей
В этом разделе мы распространим действие подстановок из группы Вейля на форменные сети, определив преобразование форменных сетевых параметров, и докажем согласованность описанного действия с сопряжением форменных D-сетевых подгрупп, усилив предложение 2.9. Как и ранее, мы фиксируем ассоциативное кольцо R с 1 и форменное кольцо (Я, Л) nadR. Предложение 2.14. Пусть (а, Г) — произвольная форменная сеть порядка 2п над форменным кольцом (R, Л) и 7Г — любая подстановка из группы Wn Полагая лш получаем набор В — (ВІ) форменных сетевых параметров для сети а . Доказательство. При нам надо проверить, что для произвольных индексов выполнены условия заметив, что этот элемент принадлежит множеству i7+0V(t),irO Произвольный /3 из Bj представим в виде после чего сошлемся на включение D Если для форменной сети (а, Г) и подстановки 7г из группы Вейля столбец В получен указанным в предложении 2.14 способом, то равенство позволяет рассматривать подстановку как оператор на множестве форменных сетей.
Уже неоднократно говорилось, что основной интерес для нас представляют форменные -сети. В 3 мы отмечали, что в этом случае произвольный форменный сетевой параметр коммутирует с определяющим скаляром А, поэтому выражение форменных сетевых параметров (г, В) = (а, Г)" через форменные сетевые параметры (а, Г) выглядит проще, чем в общем случае: Отсюда легко следуют равенства для произвольной форменной D-сетя и любых подстановок 7Г и р из группы Вейля, что позволяет говорить о форменных D-сетях как о Wn-операторном множестве. Принадлежащие одной Wn-орбите форменные D-сети мы будем называть подобными. Заметим, что если некоторая форменная D-сетъ точна, то точными будут и все подобные ей форменные D-сети. Форменные сетевые подгруппы подобных форменных D-сетей связаны между собой таким же образом, как и обычные D-сетевые подгруппы гиперболической унитарной группы: Предложение 2.15. Если (а, Г) — форменная D-сетъ порядка 2п, то для любой подстановки it из группы Wn Доказательство. По понятным причинам доказывать следует только первое равенство, а для этого достаточно проверить, что если и а — матрица из \](а, Г), то для произвольного индекса і. Полагая мы имеем Если для нашей подстановки 7г при любом / условия I О и 7г(/) 0 эквивалентны, то стоящая в правой части равенства (2.5) сумма совпадает с 5 (,-) -щ (а) и понятно, что & — матрица из \](т,В). Если же знаки I и 7г(і) различны хотя бы для одного индекса /, разобьем множество Г2 на четыре части положим для j = 1,2,3,4 заметив, что При этом мы имеем и, следовательно, из-за очевидного включения S2 Є 0 (:) _ff(i) разность S2 — . при надлежит Г-«.
Тем самым условие (2.4) установлено. Из доказанного предложения следует, что если принадлежащая группе Вейля подстановка 7г не меняет форменную Р-сеть {о, Г), то матрица Рп этой подстановки принадлежит группе Nu( r, Г). Для точной форменной сети справедливо и обратное. Предложение 2.16. Пусть (а, Г) — точная форменная сеть и IT — подстановка из группы Вейля. Матрица Рп принадлежит Nu(c, Г) тогда и только тогда, когда Доказательство. Предполагая, что Рп нормализует форменную сетевую подгруппу U(с,Г), положим Для этой точной форменной сети по предложению 2.15 имеем U(г, В) = U(с, Г). Рассматривая принадлежащие указанной группе унитарные трансвекции короткого типа, мы получаем а из рассмотрения унитарных трансвекции длинного типа следует В{ = Г;. После этого остается сослаться на точность обеих форменных Р-сетей.
Наддиагональные подгруппы U(2, R,A)
Доказывая в этом параграфе справедливость теоремы 3.1 при п = 1, мы должны проверить, что если (а, Г) — точная форменная сеть второго порядка, ассоциированная с наддиагональной подгруппой Я группы U(2, R, Л), то любая матрица из Я нормализует форменную сетевую подгруппу U(с, Г). Понятно, что случай п — 1 требует особого подхода. Это связано в первую очередь с тем, что в гиперболической унитарной группе второй степени нет никаких унитарных трансвекций короткого типа. С другой стороны, доказательство нашей теоремы существенно облегчается возможностью проведения прямых вычислений для матриц второй степени (примером такого рода вычислений служит заключительная часть доказательства предложения 3.4). В частности, мы можем легко перечислить все точные форменные сети второго порядка для любого форменного кольца над произвольным телом. Приведем полный список таких форменных сетей с указанием соответствующих форменных сетевых подгрупп (каждая из таких подгрупп совпадает со своей надэлементарной форменной сетевой подгруппой по предложению 2.18) и их нормализаторов. Если форменный параметр Л нашего форменного кольца отличен от 0, то через Л в приводимом ниже списке обозначен произвольный ненулевой форменный параметр, содержащийся в Л. 1)
Диагональная форменная сеть Форменная сетевая подгруппа в этом случае — диагональная подгруппа Д(2, R, Л). В интересующих нас ситуациях группа Nu(a,r) совпадает с подгруппой Мопц(2, R,A) всех мономиальных унитарных матриц: при Л = 0 это верно для любого поля R (гиперболическая ортогональная группа U(2, R, 0) мономиальна), а при ненулевом Л достаточно потребовать, чтобы группа унитарных элементов U{R) не совпадала с R (этот вопрос мы обсуждали в первой главе). 2) Треугольные форменные сети Форменная JD-СЄТЬ такого типа может быть ассоциирована с наддиагональной подгруппой U(2, R, А) только при Л ф 0. Для треугольной форменной сети группа \](а, Г) — это подгруппа треугольных (верхних или нижних, соответственно) матриц из группы U(2,i?,A ); в частности, при спагД ф 2 и Л ф 0 группа и(2,і2,Л) содержит ровно две треугольные форменные D-сетевые подгруппы. Добавим к сказанному, что форменная -сетевая подгруппа, соответствующая треугольной форменной D-сети, всегда самонормализуема: Nu(a, Г) = \](а, Г). 3) Максимальная или квазимаксимальная форменная сеть (сеть описанного вида мы называем квазимаксимальной, если Л ф Л). Как и треугольная, форменная D-сеть такого типа может быть ассоциирована с наддиагональной подгруппой только при Л ф 0. Группа U(c, Г) для этого типа форменных сетей совпадает с гиперболической унитарной группой U(2, R,A ). Используя предложение 1.13, легко показать, что такие форменные сетевые подгруппы самонормализуемы. При доказательстве теоремы 3.1 для п = 1 обсудим вначале ситуацию, когда R — поле с тождественной инволюцией. При Л = 0 доказываемое утверждение, конечно, очевидно (ограничение на размер поля R, описанное в формулировке теоремы 3.1, в этом случае оказывается, разумеется, слишком сильным). Если же при тождественной инволюции речь идет о наддиагональных подгруппах гиперболической унитарной группы над форменным кольцом с ненулевым форменным параметром, то все такие подгруппы содержатся в симплектической группе второй степени, которая совпадает со специальной линейной группой SL(2, R). Наддиагональные подгруппы этой группы для поля, удовлетворяющего почти всем ограничениям теоремы 3.1, описаны в замечательной работе О. Кинга [150]. С использованием нашей терминологии теоремы 1 и 2 из упомянутой работы [150] можно переформулировать так: Предлоясение 3.5. Если поле R содерокит 4, 8 или не менее 13 элементов, то единственная наддиагоналъная подгруппа группы SL(2, R), которая не является форменной сетевой, — это подгруппа мономиальных матриц. Теперь нам предстоит разобраться с ситуацией, когда инволюция на теле R действует нетривиально.
При этом, естественно, мы будем опираться на результаты О. Кинга. Предложение 3.6. Если R — тело с нетривиальной инволюцией, причем группа R0 содержит 4 или не менее 7 элементов, Н — наддиагональная подгруппа группы U(2,i?,A) с ассоциированной форменной D-сетью (с,Г), то Н Nu(c, Г). Доказательство. Беря недиагональную матрицу а из нашей подгруппы Я, мы будем ставить наши рассуждения в зависимость от количества нулей в этой матрице и позиций, которые нули занимают. 1) Если матрица а мономиальна, то ее можно представить в виде некотором обратимом элементе 9 из R и Включение а Є Nu(c,r) в этом случае является очевидным следствием равенства при любом индексе і и произвольном а Є R. 2) Треугольная матрица а (Щ-І = 0 для некоторого индекса г), не являющаяся мономиальной, раскладывается, очевидно, в произведение диагональной унитарной матрицы и некоторой нетривиальной трансвекции. Ясно поэтому, что а принадлежит rpynneU(a,r) = Nu(a,r).
3) Предположим теперь, что а — немономиальная косотреугольная матрица, то есть an = 0 для какого-то индекса і.
В этом случае а или обратную к ней матрицу можно записать в виде произведения где в — некоторый обратимый элемент R, а 7 — ненулевой элемент из R0. Для обратимого ц из равенств а также из условия на размер тела R следует, что форменные сетевые параметры Гі и Г_і отличны от нуля. Ясно, что тогда (о, Г) — максимальная или квазимаксимальная форменная сеть, причем І\ = Г_і содержит Tri?. Легко заметить, что в этой ситуации 7 принадлежит Г! : достаточно взять в R различные обратимые щ и щ и воспользоваться вхождением в Гі разностей т/іТ і Т, ЩІШ — 7 и Но тогда группе Н принадлежит и матрица которая, как мы уже знаем, должна принадлежать Nu(c, Г). Следовательно, матрицы / и а также содержатся в Nu(c, Г) = \](а, Г). 4) Остается рассмотреть случай, когда а — матрица без нулевых элементов. Умножая при необходимости а на подходящую диагональную матрицу, можно считать, что где а и Р — некоторые ненулевые элементы из Л, причем (За ф — 1. Покажем, что и в этом случае а принадлежит и Г). Подвергнем форменное кольцо (R, Л) скэйлингу с помощью а и введем на R новую инволюцию , полагая Новое форменное кольцо (R, ссЛ) является, очевидно, также нормализованным, а соответствующая ему гиперболическая унитарная группа U(2, R,aA) содержит над-диагональную подгруппу в которую входит матрица
Нулевой элемент появляется при сопряжении элементарной диагональной матрицы
Продолжая извлекать следствия из леммы 3.13, в этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда для какого-то индекса I матрица содержит нулевой элемент при некотором обратимом в ф 1. Было бы хорошо уметь находить все решения уравнения или, по крайней мере, иметь достаточно просто проверяемый критерий его нетривиальной разрешимости. Однако, как мы говорили в 1 первой главы, для некоммутативного R ответов на эти два вопроса мы почти никогда не имеем (исключением, пожалуй, является только случай і — —j, подробно описанный в предложении 1.9). Поэтому в формулировках почти всех утверждений настоящего параграфа присутствует оборот типа если уравнение имеет корень в ф 1. В коммутативном случае, когда для любой пары индексов г Ф j мы можем и сформулировать условие нетривиальной разрешимости, и указать само нетривиальное решение, полученные здесь результаты позволят в следующем параграфе достаточно быстро завершить доказательство основной теоремы. Если же Я — некоммутативное тело, то в сложном случае, когда ни одно из указанных уравнений не имеет отличного от 1 решения, мы получим возможность использовать для последующего рассмотрения большую серию похожих друг на друга матриц, не содержащих нулевых элементов. Еще одно предварительное замечание касается терминологии, используемой далее в формулировках утверждений и доказательствах.
В этом и следующих параграфах довольно часто нам придется иметь дело с подматрицами второго порядка для не содержащей нулевых элементов унитарной матрицы а и ставить проводимые рассуждения в зависимость от обратимости таких подматриц; ранее такой подход был применен Н. А. Вавиловым в [30] для исследования решетки наддиагональных подгрупп ортогональной группы над полем характеристики ф 2. Поскольку в нашей ситуации элементы матрицы принадлежат телу, обратимость подматрицы можно охарактеризовать с помощью определителя, понимая в некоммутативном случае определитель в смысле Дьедонне. В этом смысле мы будем говорить о нулевом или ненулевом миноре нашей матрицы для произвольной четверки индексов i, j, к, I. Отметим три очевидных свойства рассматриваемых миноров: 1) условие A j(a) = 0 эквивалентно каждому из равенств 2) из-за унитарности матрицы а условия Afj(a) = 0 и Д (а-1) = 0 равносильны; 3) при к ф I из-за линейной независимости справа fc-oro и 1-ого столбцов матрицы а найдется такая пара индексов і ф j, что Afi(a) ф 0. Исключая ортогональный случай, когда теорема 3.1 уже доказана, везде далее мы считаем, что R — тело с инволюцией, содержащее ровно 8 или не менее 13 элементов, из которых ровно 4 или не менее 7 инвариантны относительно инволюции, a (R, Л) — нормализованное форменное кольцо над R с ненулевым форменным параметром Л (это, в частности, означает, что А = — 1 во всех последующих рассуждениях). Мы считаем п 2 и предполагаем выполненным условие Stand„_i. Для Н, (а, Г) и а сохраняются ранее сделанные предположения. Дополнительно мы фиксируем индекс I и при обратимом 9 из тела R под Ь{9) везде в этом параграфе понимаем матрицу Первое утверждение этого параграфа посвящено разбору важного частного случая. Лемма 3.17. Если для некоторого индекса г уравнение имеет какое-то решение 9 Ф 1, то подгруппа Н стандартна. Доказательство.
Пользуясь тем, что условия существования нетривиального решения уравнения (3.17) были полностью описаны в предложении 1.9, рассмотрим по отдельности случаи тривиальной и нетривиальной инволюции на R. 1) Предположим вначале, что инволюция на R действует тождественно. Тогда по предложению 1.9 нетривиальное решение уравнения (3.17) существует только при char Л ф 2 и оно единственно — это 9 = —1. Понятно также, что 6j_j(—1) = О для любого г. Мы уже говорили, что из-за обратимости матрицы а хотя бы один из миноров Ajjf (а) отличен от нуля для некоторой пары индексов і ф к. Несложно понять, что в нашей ситуации В самом деле, предположив противное, зафиксируем индекс к, удовлетворяющий условию A fe fc(a) ф 0. Поскольку в описанной ситуации при каждом гф±кя любом обратимом ц имеют место равенства —1 является общим корнем уравнений & (77) = 0 и h-hivi) — 0, то есть выполняются равенства противоречащие условию &f_k(a) ф 0. Фиксируем теперь индексы і ф ±к, при которых минор Аік (о) отличен от нуля, и рассмотрим элемент Ясно, что он обратим. Если хотя бы один из двух элементов Ьц{—\) или b_fc,_ (—1) равен нулю, то доказываемое утверждение очевидно: матрица Ь(—1) имеет нулевые элементы и, следовательно, справедливы включения по крайней мере одно из которых нетривиально, а это возможно только для стандартной подгруппы Н. Считая далее, что оба элемента Ьц(—1) и Ь-к,- (-1) равны нулю, мы приходим к равенствам
