Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные понятия 20
1.1 Алгебраические кривые в аффинных и проективных пространствах. Основные определения и обозначения 20
1.2 Теория детских рисунков 26
1.3 Теория пар Белого 32
1.4 Дискриминант многочлена 33
1.5 Обобщенные многочлены Чебышева 35
II Пары Белого над произвольными полями 37
2.1 Определения функции Белого над произвольным полем 37
2.2 Определения обобщенного многочлена Чебышева над произвольным полем 42
2.3 Примеры функций Белого над различными полями 43
III Вычисления пар Белого над различными полями 45
3.1 Деревья диаметра 3 45
3.2 Деревья диаметра 4 47
3.2.1 Общие факты 47
3.2.2 Примеры 48
3.2.3 Деревья диаметра 4 над полями конечной характеристики 49
3.3 Примеры несуществования и неединственности функций Белого 51
IV Простые плохой редукции(ППР) 55
4.1 Теоремы о редукции 55
4.1.1 Теорема о редукции для функций Белого 55
4.1.2 Теорема о редукции для обобщенных многочленов Чебышева 56
4.1.3 Редукция в несепарабельном случае 54
4.2 Определение простых плохой редукции
4.3 Простые плохой редукции для некоторых серий 61
4.3.1 Простые плохой редукции для цепочек 61
4.3.2 Простые плохой редукции для деревьев диаметра 3 62
4.3.3 Простые плохой редукции для деревьев диаметра 4 64
V Кривые положительных родов 68
5.1 Простые плохой редукции 68
5.2 Детский рисунок Л^з 71
5.3 Простые плохой редукции рисунка Л^з 72
Литература 76
- Теория детских рисунков
- Определения обобщенного многочлена Чебышева над произвольным полем
- Деревья диаметра 4 над полями конечной характеристики
- Определение простых плохой редукции
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Алгебраические кривые, определяемые различными комбинаторными структурами на римановых поверхностях в течение уже более чем ста лет постоянно возникают как в качестве естественных комбинаторных и алгебраических задач, так и в связи с различными вопросами теории пространств модулей, теории римановых поверхностей, квантовой гравитации, теории струн. Не случайно особенно бурное развитие комбинаторной и арифметической теории графов на поверхностях приходится на последние два десятилетия, когда обнаруживаются многочисленные новые взаимосвязи между алгебраической геометрией, комплексным анализом, топологией, дифференциальными уравнениями, компьютерной алгеброй и др.
В 1972- 1984 г. известный французский математик Александр Гротендик установил, что все алгебраические кривые над числовыми полями могут быть реализованы в виде графов специального вида на римановых поверхностях. При этом оказывается, что соответствующий граф является полным /^-прообразом прямой, соединяющей какие-либо два критические значения некоторой рациональной функции /? с не более чем тремя критическими значениями (так называемой функции Белого), заданной на исходной кривой. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками [dessin d'enfant). В дальнейшем это название стало общепринятым. Выяснилось (см. [6]), что взаимосвязь между детскими рисунками и кривыми над числовыми полями может быть поднята до эквивалентности категорий.
Начиная со второй половины восьмидесятых годов,
Теория детских рисунков
Определение 1,2.1 Графом называется конечное множество точек {vi}i=ii называемых вершинами графа, вместе с некоторым набором неупорядоченных пар его элементов, причем пары в наборе могут повторяться и допускаются пары, состоящие из одного и того же элемента, взятого дважды. Каждая такая пара называется ребром графа. Говорят, что ребро {vi,Vj) соединяет вершины V{ и Vj, 1 i,j , или что вершина Vi (VJ) инцидентна ребру (vi,Vj). Две вершины, соединенные ребром друг с другом, называют смеэ/сными. В случае і — j говорят, что ребро соединяет вершину с собой, такие ребра называют петлями. Таким образом, в рассматриваемых нами графах допускаются петли и кратные ребра. Определение 1.2.2 Два графа называются изоморфными, если существует биекция множеств вершин, при которой ребра одного переходят в ребра другого. Легко видеть, что изоморфизм плоских графов является изоморфизмом в смысле определения 1.2.2, однако обратное неверно. Определение 1.2.3 Цепью в графе называется последовательность ребер и вершин, в которой каждые два ребра инцидентны одной и той же вершине, и каждое ребро встречается не более одного раза. Определение 1.2.4 Граф называется связным, если для любых двух его вершин найдется цепь, инцидентная им обеим. Определение 1.2.5 Циклом называется цепь, у которой начало и конец совпадают. Введем некоторые численные инварианты графа, которые будут использоваться в дальнейшем. Определение 1.2.6
Расстоянием между двумя вершинами называется количество ребер минимальной цепи, инцидентной обеим этим вершинам. Определение 1.2.7 Диаметром графа называется максимум расстояний между всеми парами его вершин. Часто выделяется класс плоских графов, называемых деревьями, а именно, связные плоские графы без циклов. Деревья диаметра 4 были объектом интенсивного изучения в течение последних десяти лет. Их теория особенно активно развивается сейчас, см. [9, 13, 20]. Заметим, что для деревьев диаметра 4 определено естественное понятие центральной вершины. Назовем вершину пара-центральной, если расстояние от нее до центральной вершины равняется 1. Определение 1.2.8 Валентностью вершины графа называется количество ребер, ей инцидентных. Определение 1.2.9 Детским рисунком называется четверка D = (Xo(D),Xi(D),X2(D),ffD)) где Хг(1 ) — компактная связная ориентируемая поверхность; X\{D) с -АГгС- ) — такое ее подмножество, что дополнение ХЇ(В) \ Х\[р) гомеоморфію несвязному объединению конечного множества открытых дисков; XQ{D) С X\{D) — такое конечное непустое подмножество, что дополнение X\{D) \ XQ(D) гомеоморфно несвязному объединению непустого конечного множества открытых интервалов; on — ориентация поверхности X i{D) Определение 1.2.10 Каждая связная компонента X2(D) \ Х\{р) называется дранью рисунка D, связная компонента X\{p) \ XQ(D) — ребром, элемент множества XQ(D) — вершиной. Систематическое изучение детских рисунков начинается с препринта Александра Гротсндика Esquisse d un programme 1984 года, позднее опубликованного в [21], и в дальнейшем активно развивается. В работе [6] вводится категория детских рисунков, объектами которой являются детские рисунки, а морфизмами — некоторые специальные отображения поверхностей Xi (D) — Xi (D1), "уважающие"структуру детского рисунка, заданную на соответствующей поверхности. Из определения следует, что детский рисунок является графом.
Поскольку при разрезании вдоль ребер детского рисунка D поверхность Xj(.D) распадается в несвязное объединение дисков, справедлива формула Эйлера Теорема 1.2.1 Пусть a(D) — количество вершин рисунка D, n(D) — количество ребер, y(D) — количество граней, g(D) — род поверхности X2{D). Тогда В дальнейшем мы будем постоянно использовать буквы а,п,7 для обозначения количества вершин, ребер и граней данного детского рисунка, соответственно, причем будем опускать обозначение рисунка там, где это не приводит к недоразумениям. Для детского рисунка определена не только валентность вершины, но и валентность грани, а именно Определение 1.2.11 Валентностью грани детского рисунка называется число ребер, ограничивающих диск, получающийся при вырезании этой грани, причем внутренние ребра считаются дважды.
Определения обобщенного многочлена Чебышева над произвольным полем
Если рациональная функция /3 является многочленом (т.е. Q = const), то Р называется обобщенным многочленом Чебышева. Перепишем условия 1-5 для этого случая Условие 1 Множество критических значений многочлена Р содержится в множестве {с ,с+}. Условие 2 Множество корней многочлена DiscrfP — с) содержится н множестве {с }с+}. Условие 3 Уравнение Р = с имеет п различных корней при С ф с+ и с / с . Условие 4 В кольце lk[z] имеет место делимость (Р — с-){р - с+)\р : Условие 5 т+ + т = п + 1, где т число различных корней P — с . Как сделано в определении 2.1.1, определим обобщенный многочлен Чебышева и регулярный обобщенный многочлен Чебышева. Разложим P-c = Yl(x-Af)vi , где Af є F,vf Є N, все і=і А отличны друг от друга (такое представление существует и единственно, так как F алгебраически замкнуто). Тогда будем говорить, что обобщенному многочлену Р соответствует набор кратностей vf и обозначать В случае поля характеристики 0 эти определения функции Белого и обобщенного многочлена Чебышева сводятся к стандартным (см. [4]). Предложение 2.2.2 Если char Ik = 0, то определения 1-5 (а, значит, и V - Ъ!) эквивалентны. Утверждение следует из теоремы 2.1.3. Предложение 2.2.3 Если к = С, то определения Ґ - 5 равносильны классическому определению обобщенного многочлена Чебышева. Комплексный многочлен Р является Обобщенным Многочленом Чебышцва, если для некоторых с+ и с прообраз отрезка [с .с"] является деревом (связным графом без циклов). Доказательство этого утверждения содержится в [4]. В данном разделе мы приведем примеры, показывающие неэквивалентность условий 1-5, Пример 2.3.1
Пусть !k — ff"3, р = charlk = 3, Р = z + z, с — 0,с+ — 1. В данном случае где все А],А2,Аз,А,\ Є F3 различны. То есть многочлену Р соответствует набор чисел [1,31,1,1,1]. Discr(P — с) — с3. Поэтому Р является нерегулярным обобщенным многочленом Чебышева. Пример 2.3.2 Пусть Ik - произвольное поле такое, что р = chark 0. Если к Є Z, 0 к р, m Є Z, т 0,i?ij .) Дп — произвольный набор элементов из к т такой, что не все В{ нули. Тогда Р = zkY2 izPi является обобщенным многочленом Чебынгева. Для доказательства надо воспользоваться определением 2 и расписать дискриминант, учитывая, что z = кР. Пример 2.3.3 Пусть А Ik, А ф 0, п,г Є Ж,г 0,п гр, С\,С%...,СТ — произвольный набор элементов из Ik. г Тогда Р = Xzn + J2 C{Zvl. является обобщенным многочленом Ї=І Чебышсва. Для доказательства надо воспользоваться определением 2 и расписать дискриминант, учитывая, что = \nzn l. Заметим, что многочлен такого вида будет регулярным обобщенным многочленом Чсбышева , только если набор СьC 2-i.. ,СГ состоит из одних нулей. Вершины любого дерева можно раскрасить в 2 цвета так, что каждое ребро соединяет вершины разных цветов. Обозначим валентности вершин одного цвета через «t а другого через v . В дальнейшем под нахождением обобщенного многочлена Чебышева для некоторого дерева над алгебраически замкнутым полем 0 мы будем понимать решение следующей системы уравнений где все А попарно различны, аР- многочлен над к, степень которого равна количеству ребер дерева. Теорема 3.1.1 Если для дерева диаметра 3 существует обобщенный многочлен Чебышева, то он имеет следующий вид
Доказательство. Рассмотрим дерево диаметра 3. У него есть только две вершины валентности, большей 1. Обозначим их валентности а и 6, а все дерево ШаЬ. Поместим вершину валентности 6 в 0, вершину валентности дві, пусть с+ — с — 1. Пусть Рць(г) -обобщенный многочлен Чебышева, соответствующий данному дереву. Тогда имеет место представление где Qab,Rab некоторые многочлены. Найдем такой степенной ряд5,в(г),что(1-г)в5(г) = 1. Покажем, что Тем самым QQt является урезанием степенного ряда Sa до многочлена степени 6 — 1. Действительно, Отсюда Sa(z) - Qab(z):zh. Ho deg(Peb) = a + 6 — 1, поэтому deg(Qab) = 6 — 1. Отсюда получаем окончательный ответ Если charik = 0, то найденный многочлен всегда является обобщенным многочленом Чсбышева. Случай charik 0 будет разобран в главе 4.3.
Деревья диаметра 4 над полями конечной характеристики
Определим следующие числа. JVi- количество обобщенный многочлен Чебышева(с учетом симметрии). N r количество решений системы таких, что Х{ попарно различны и отличным от 0. іУз- количество корней 21(х) без учета кратностей. Будем считать, что R = 0. Тогда N\ N2 N$ (s — 1)!. В характеристике 0 везде вместо неравенства имеет место равенство. Чтобы выяснить, когда iVi = (. ? — 1)!, попытаемся понять, когда будет равенство вместо этих неравенств. Теорема 3.2.1 Паразитическое решение системы ( ) существует тогда и только тогда, когда найдутся числа Доказательство. = В этой ситуации набор чисел Х{ = 1, если 3j : і — lj, иначе %{ — 0 будет паразитическим решением. Возьмем паразитическое решение Х{. Сделаем с ним следующие операции: выбросим нулевые элементы ХІ, одинаковые элементы объединим в один, взяв в качестве нового а сумму соответствующих коэффициентов а\. Тогда новый набор х\ не содержит нулей, все элементы попарно различны и он удовлетворяет следующей системы
Теорема 3.2.2 Если р s, то N\ = N2, то есть каоїсдое непаразитическое решение ( ) будет соответствовать обобщенному многочлену Чебышева. Доказательство. 0-корень кратности s — 1 у многочлена Р , следовательно 0 - корень кратности s у многочлена Р — С. Пусть Р - обобщенный многочлен Чебышева над р. По 771 определению Р — с — Y[ ix AfY В этой главе будут сформулироианы необходимые и достаточные условия реализуемости данного набора кратностей над к, то есть существования в D [z] обобщенного многочлена Чебышева с глоданным набором кратностей vf. Обозначим п — YLvf = 3=1 Y vj. Пусть kf - кратность корня Af у многочлена Р . Теорема 3.3.1 Если vf /:р,то kf — vf — 1. Если vf\p,mo kf vf Доказательство. P(z) = (2 - Af)vi Q(z), где Q(Af) Ф 0. Тогда f = (z - Afyf l (vfQ(z) + (z - Af) ) , если vf не делится на p, то (vfQ(z) + (z — Af) -) 0 при z = Af и поэтому Af - корень кратности vf — 1, если vf делится на р, то (vfQ(z) Л- (z- Af) Щ = 0 при z = Af и отсюда kf vf. О Пусть J — X] 1" число корней кратности, делящейся нар; Теорема 3.3.2 Для любого многочлена Р(не обязательно обобщенного многочлена Чебышева) имеет место следующая цепочка неравенств причем Р является обобщенным многочленом Чебышева тогда и только тогда, когда s+ 4- s = т+ Ч- тГ — (n + 1). Доказательство. Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда все корни Р являются корнями Р — cti то есть Р является обобщенным многочленом Чебышева. Следствие 3.3.3 Если для некоторого набора кратностей 1+ 4- 1 т+ + га" — (п + 1), то этот набор кратностей нереализуем для всех к таких, что charlk = р. Но есть примеры, когда для набора vf неравенство /+ + / т+ + т — (п + 1) выполнено, но набору vf не соответствует никакой обобщенный многочлен Чебышева. Теорема 3.3.4 Пусть l+ = lj = 0,m+ + m — (n-f 1):р (mo есть среди набора чисел vf ровно одно делится па р и общее количество вершин имеет тот oice остаток от деления па р, что и гс -f 1). Тогда набор vf нереализуем. Доказательство. Пусть Vg :p. Найдем Щ. kf = vf — 1. откуда Щ = VQ — 1 + (m+ + m — (n + 1)) = —1( mod p) Ho у все коэффициенты при хкр к-целое) равны 0, откуда у Р не может быть корней кратности к, если к = —1( mod р). Пример 3.3.5
Если р = 3. vf = [3,1,1,11,1,1,1,1,1], то условия теоремы 3.3.4 выполнены, а значит этот набор кратностей нереализуем. Однако существуют наборы кратностей, для которых найдется бесконечное количество обобщенных многочленов Чебышева. Пример 3.3.6 Рассмотрим набор кратностей [3,1,12,1,1,1]. Заметим, что если некоторый многочлен Р степени 5 с коэффициентами из F3 представляется в виде Р — с+ = (х - A)3Qi{x), Р - с- = О - BfQ2{x), где с+ ф с и А не является корнем Qi, то Р является обобщенным многочленом Чебышева и многочлены QuQ2 ие имеют кратных корней. Действительно, 1+ + 1 1,т+ 3, тГ 4 и т+ + т — (п + 1) 1, следовательно 1+ + l = s+ + s — т+ + т — (п + 1) = 1 и Р является обобщенным многочленом Чебышева, т+ = 3,т — 4, то есть Qi,Q2 «е имеют кратных корней. Оказывается, что этому набору соответствует одиопараметрическое семейство обобщенных многочленов Чебышева Ри{х) = х2((х - I)2 + и),Ри(х) - и = (х - 1)2(г + и{х - 1)),где и Ф 0,и ф —1. При любых щ ф и% соответствующие многочлены не эквивалентны друг другу.
Определение простых плохой редукции
Тогда многочлен Q mod p лоАяется обобщенным многочленом Чебышеоа над алгебраическим замыканием поля частных кольца 01/р, причем многочлену Q mod р соответствует тот oice набор кратностей, что и многочлену Q. Доказательство. Теорема 4.1.2 следует из теоремы 4.1.1. D Теорема 4.1.3 Рассмотрим два многочлена Q\ и Q2, которые являются многочленами над %, соответствуют одному и тому оісе набору кратностей и удовлетворяют условию теоремы АЛ.2. Тогда Q\ mod р и Qi mod р эквивалентны, то есть (Q\ mod p)(z) — A(Q2 mod p)(az 4- b) + В для некоторых А, В, a, b Є 01/p, причем A Ф 0, а ф 0. Доказательство. Пусть F - поле частных кольца X Так как Q\ и Q2 - многочлены над С, соответствующие одному и тому же дереву, то они эквивалентны. То есть существуют А, В, a, b Є F такие, что Докажем, что это равенство можно редуцировать (знаменатели А, В,a,b не лежат в р). Очевидно, что для критических значений выполнено cf = Acf + В. Следовательно с — с[ — 4(c2f — (). Но cf — q целое и не лежит в р. Поэтому Vp(A) = 0, то есть A mod р ф 0. Теперь рассмотрим а. Старшие коэффициенты у многочленов такие: (а{)п — А((а2)„)ап. Отсюда vp(a) — 0. Критические значение целые, поэтому vp(B) 0.
Докажем, что vp(b) 0. Пусть b — dp к, где vp(d) = О, а р Є р. Тогда свободный член многочлена Q\ будет равен п Y1 &{а2)з + В- Это выражение должно лежать в $, поэтому j=o если его умножить на ркп, то оно должно лежать в р. Все коэффициенты (d2)j Є Зі, поэтому при всех j п выражение W(a2)jPkn лежит в р. Из того; что Б Є Л заключаем, что Ьпркп{а-2)п лежит в р. Но (0,2)« не лежит в р по условию теоремы 4.1.2, а.Ьпркп єЗі по предположению. Противоречие. Тогда vp{b) 0. Итак, все числа Л, Б, а, & можно редуцировать по модулю р . А кроме того, A mod р / 0,а mod р ф 0. Поэтому теорема 4.1.3 доказана. Теорема 4.1.4 Пусть многочлены Q\, Q2 являются обобщенными многочленами Чебышева над к, соответствуют одному набору кратностей, Qi удовлетворяет условиям теоремы 4.1.2, Q\ удовлетворяет всем, кроме условия 3 (т.е. с+ — с Є р. Тогда Q\ mod р zn. Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 4.1.3, представим В этом случае vp(A) 0, vp(Aan) = 0 так как старшие коэффициенты не делятся на р. Используя, что vp {Aak) О при всех к п получаем требуемое утверждение. Следующая теорема является критерием неспускаемости многочлена в положительную характеристику. Теорема 4.1.5 Пусть многочлен Q — а удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1.2, краме условия 2. Причем выполнено следующее условие: Тогда item ни одного многочлена эквивалентного Q, который удовлетворял бы всем условиям теоремы 4.1.2. Доказательство. Пусть существует многочлен Qi удовлетворяющий условиям теоремы 4.1.2 такой, что Q(z) = AQ2{azJrb)JrB. Как и в доказательствах предыдущих теорем, можно получить, что vp(A) = 0)Vp(B) Q,vp(a) 0,Vp(b) 0. Поскольку an делится на р, то vp(a) 1. Следовательно, при всех j коэффициент щ лежит в рр. Используя теоремы о редукции, можно получить список простых плохой редукции для валентностей вершин, которым соответствуют обобщенные многочлены Чебышева с целыми коэффициентами, как будет показано в следующей главе. Теорема 4.1.6
Пусть Q(z) — ) auzk является обобщенным многочленом Чебышева над 01, р \ CR - простой идеал. Пусть выполнено следующее: Тогда многочлен d(Q mod p)/dz = 0. Доказательство. To, что Q обобщенный многочлен Чебышева над 3 согласно теореме 2.1.1 эквивалентно тому, ЧТО if Зк % к+, к" є N, DiscrfQ - с) = к(с - с+)к+(с - с )к (равны как многочлены от с). Возьмем редукцию этого равенства по р (так как слева и справа находятся]!многочлены с коэффициентами из (к, то это возможно). Получим: Discr(Q mod p-c) (Ar mod p)(c—(c+ mod p))k+(c-(C mod p))k Но дискриминант равен определителю матрицы (2n—1)х(2гс— 1), составленной из коэффициентов многочлена Q mod р и его производной/. Старший коэффициент у многочлена (Q mod р — с) (то есть коэффициент при с"-1) равен ±(пап)". Поэтому он равен 0 и к mod р = 0. Тогда Discr(Q mod р — с) = 0 и d(Q mod p)/dz = 0. Теорема доказана. П Следствие 4.1.7 Пусть Р - обобщенный многочлен Чебышева над % , deg Р = р- простое число ирї % - простой идеал. Тогда при редукции Р по pi. получается многочлен вида P(z) = A(az- + h)v + В, где Л, д,6,Вє1 ,а, 0. Дадим центральнре определение данной работы - определение простых плохой редукции. Особенность данного определения простых плохой редукции по сравнению с [1] и [26] состоит в том, что простые; плохой редукции определяются для набора валентностей. Тем самым оказывается возможным говорить о простых плохой редукции, не вычисляя непосредственно обобщенного многочлена Чсбышсва. Определение 4І2.1 Простое число р называется простым плохой редукции для набора валентностей v -, если в Fp нет ни одного .обобщенного многочлена Чебышева Р с критическими значениями с такого, что Р(х) — с 1 = Y\(x —
