Содержание к диссертации
Введение
2 Рождение электрон-позитронных пар фокусированными электромагнитными импульсами в вакууме 21
2.1 Модель поля 22
2.2 Качественное обсуждение 26
2.3 Численные расчеты 30
2.4 Об эффекте Швингера в переменном электрическом поле 39
3 Рождение электрон-позитронных пар электромагнитными волнами в плазме 43
3.1 Рождение электрон-позитронных пар циркулярно поляризованной электромагнитной волной в плазме 43
3.1.1 Релятивистки сильная электромагнитная волна в плазме 44
3.1.2 Рождение пар в поле циркулярно поляризованной электромагнитной волны 46
3.2 Затухание сильных электромагнитных волн в плазме вследствие рождения электрон-позитронных пар 54
3.2.1 Картина электромагнитного поля, возникающая в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью электромагнитной волны 56
3.2.2 Кинетическое описание электрон-позитронной плазмы 58
3.2.3 Быстро меняющееся электромагнитное поле 69
3.2.4 Медленно меняющееся электромагнитное поле. 70
4 Генерация аттосекундных электромагнитных импульсов при взаимодействии релятивистского солитона с опрокидывающейся кильватерной волной в плазме 71
4.1 Отражение электромагнитной волны от релятивистского зеркала 71
4.2 Ленгмюровские волны 73
4.3 "Уравнение опрокидывающейся кильватерной плазменной волны 74
4.4 Солитоны в плазме 75
4.5 Взаимодействие солитона и кильватерной волны в плазме в режиме опрокидывания 79
5 Заключение
- Качественное обсуждение
- Релятивистки сильная электромагнитная волна в плазме
- Картина электромагнитного поля, возникающая в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью электромагнитной волны
- "Уравнение опрокидывающейся кильватерной плазменной волны
Введение к работе
Одним из наиболее известных и широко обсуждающихся примеров фундаментальных явлений в физике элементарных частиц, служат процессы рождения частиц в различных физических взаимодействиях, описываемых квантовой теорией поля. Квантовая теория поля возникла в результате слияния квантовой механики и специальной теории относительности и привлекается для объяснения принципиально новых явлений, которые не могут быть описаны в рамках этих двух теорий. Например, из принципа неопределенности квантовой механики следует, что на малых промежутках времени могут возникать большие флуктуации энергии. В свою очередь из специальной теории относительности мы знаем, что энергия однозначно связана с массой частиц. Таким образом совместное использование квантовой механики и специальной теории относительности позволяет описать новое явление - рождение частиц.
Особый интерес в настоящее время вызывают процессы, описываемые теорией квантовых эффектов во внешних полях, в том числе рождение частиц в вакууме под действием сильного внешнего поля. Это связано с быстрым развитием теории и технологии лазерной техники, созданием ускорителей на встречных пучках и открытием новых свойств кварк-глюонной плазмы, возникающей при взаимодействии тяжелых ионов, а также с успехами космологии и астрофизики, подтвердившими существование в природе сильных электромагнитных и гравитационных полей. В астрофизике учет квантовых эффектов во внешнем электромагнитном поле привлекается для описания магнетаров (магнетары представляют собой нейтронные звезды со сверхсильными магнитными полями, значение которых приближается к критическому), а также при изучении процессов, происходящих в окрестностях заряженных черных дыр. Исследование квантовых эффектов в гравитационном поле очень важно для понимания процессов, имевших место в Ранней Вселенной, когда существовали очень сильные гравитационные поля, и для объяснения "испарения"первичных черных дыр.
В цикле работ, представленных в данной диссертации, рассматривается круг задач, относящихся к вопросам рождения пар частица-античастица в рамках приближения квантовой электродинамики (КЭД). Как хорошо известно, КЭД представляет собой пример наиболее хорошо развитой и глубоко понятой квантово-полевой теории. Поэтому исследование рождения пар электрон-позитрон в квантовоэлектродинамическом описании представляется наиболее естественным и оправданным.
В Квантовой Электродинамике сильным считается поле, напряженность которого сравнима с величиной характерного, или критического поля, Es = m2c3/eh = 1.32 х 1016В/см. (1.1)
При таких значениях поле на расстоянии, равном комптоновской длине волны электрона, совершает работу, отвечающую энергии массы покоя электрона. Основные нелинейные эффекты в КЭД, возникающие в присутствии интенсивного внешнего поля, - это поляризация вакуума и рождение частиц из вакуума. Следует отметить, что поляризация вакуума является одним из важнейших теоретических предсказаний квантовой теории поля. Этот эффект проявляется, например, в том, что наблюдаемый заряд частицы в вакууме зависит от расстояния до нее. Физическое объяснение эффекта поляризации вакуума связано с наличием вакуумных флуктуации поля. Формальное описание показывает, что оператор числа частиц не коммутирует с локальными операторами квантовых полей и, как следствие, поля в состоянии с заданным числом частиц, в том числе и в состоянии вакуума (то есть в отсутствие частиц), в силу обобщенного соотношения неопределенностей не имеют определенных значений.
Модуляция квантовых флуктуации внешним полем как раз и является физической причиной явления поляризации вакуума. К числу физических эффектов, вызванных поляризаций вакуума, относятся изменение закона Кулона на малых расстояниях, расщепление фотона во внешнем поле и т.д.. Вакуумные флуктуации квантованного поля можно интерпретировать как эффект рождения -уничтожения пар виртуальных частиц. В отличие от реальных, виртуальные частицы в вакууме "существуют"только в очень малых участках пространства, масштаб которых определяется комптоновской длиной волны этих частиц Ас h/mc, в течение очень малого времени тс h/mc2. Как известно, комптоновская длина волны определяет принципиально минимальную погрешность измерения координаты частицы в ее системе покоя. Это означает, что, в соответствии с принципом неопределенности, попытка детектирования частицы на масштабах меньших, чем Ас приводит к неконтролируемому рождению реальных пар частица - античастица, то есть к изменению состояния поля. С другой стороны, виртуальные частицы в вакууме не могут разойтись на расстояние большее комптоновской длины, так как это означало бы принципиальную возможность их обнаружения без разрушения состояния поля, что противоречит определению вакуума, как состояния без частиц. Таким образом, вакуумные флуктуации поля соответствуют спонтанному рождению и аннигиляции пар на малых расстояниях, или образованию вакуумных петель. В терминах виртуальных частиц эффект поляризации вакуума объясняется взаимодействием виртуальных пар с внешним полем. Например, эффект зависимости наблюдаемого заряда частицы, упоминавшийся выше, объясняется следующим образом. В присутствии, для определенности, положительного электрического заряда виртуальные отрицательно заряженные частицы сметаются у заряду, а положительно заряженные, наоборот, в сторону от заряда, что и приводит к эффективному уменьшению заряда с расстоянием.
Концепция виртуальных частиц делает прозрачным еще один чрезвычайно интересный и важный в квантовой теории поля эффект - рождение реальных пар в вакууме внешним полем. Внешнее поле может развести частицы, образующие виртуальную пару, на расстояние превышающее комптоновскую длину волны, что будет соответствовать рождению реальной пары частица-античастица, так как при этом появляется принципиальная возможность их детектирования без изменения состояния поля. Очевидно, для этого поля должно обладать способностью совершать работу. В случае электромагнитного поля это означает, что электрическая составляющая должна быть отлична от нуля. Этого условия, однако еще не достаточно. Постоянное и однородное магнитное поле не совершает работы и, следовательно, не может породить из вакуума пару. Совершая преобразование Лоренца в движущуюся систему отсчета мы получим систему с отличным от нуля электрическим полем. Однако при этом не произойдет рождения пар, так как факт рождения пары является абсолютным и не может зависеть от системы отсчета. Поэтому в случае постоянных и однородных электрического и магнитного полей необходимым условием для рождения пар является положительность полевого инварианта: Е2 — Н2 0. Более того, ясно, что вероятность рождения пар достигает оптимального значения при напряженности электрического поля порядка "критической"в КЭД Es = m2c3/eh = 1.32 х 1016В/см. При таких значениях напряженности электрического поля электрон-позитронная пара приобретает энергию порядка своей массы покоя на расстоянии комптоновской длины волны электрона.
Теоретическое описание физики сверхсильных полей сталкивается с рядом специфических проблем как технического, так и концептуального характера. Строго говоря, в случае, когда поле рождает пары, в теории вообще отсутствует стабильный вакуум. А это в свою очередь означает, что в сильном или быстропеременном поле, рождающем пары, нельзя разумным образом определить понятие частицы, так что (в противоположность теориям со слабой связью) мы имеем квантовую теорию полей в чистом виде, а не процессы с участием частиц. В такой ситуации, вообще говоря, не понятно, как разумно выбирать начальные и конечные состояния системы, то есть как поставить саму задачу. Основными подходами к расчету физических эффектов в сильных полях являются метод эффективного действия и S-матричный подход. В первом подходе ищутся квантовые поправки к классическим уравнениям поля, обусловленные эффектами поляризации вакуума. Благодаря специфическим аналитическим свойствам выражений для лагранжиана в ряде случаев этим методом удается также найти интенсивность рождения пар. Использование S-матричного подхода предполагает, что поле включается лишь на конечное время, или отлично от нуля в ограниченной области пространства. Еще одной, чисто технической проблемой является тот факт, что амплитуды некоторых процессов зависят от поля неаналитически, так что в общем случае приходится решать задачу точно, без использования теории возмущений по внешнему полю, что, конечно, оказывается возможным проделать лишь в исключительных случаях. В значительной мере эти проблемы родственны проблемам, возникающим на пути построения последовательной непертурбативной квантовой теории поля (в частности Квантовой Хромодинамики и квантовой теории гравитации).
Квантовая электродинамика (КЭД) предсказывает существование эффекта рождения электрон-позитронных пар в вакууме под действием сильного электрического поля [1]. Этот нелинейный эффект привлекает внимание многих исследователей в силу того, что находится вне пределов применимости теории возмущений и позволяет лучше изучить нелинейные электродинамические свойства вакуума [2]. Эффект рождения электрон-позитронных пар в вакууме под действием электрического поля впервые обсуждался, по-видимому, в работах Заутера [3] в связи с так называемым парадоксом Клейна (см., например, J4]). Вероятность перехода вакуум-вакуум, которая в присутствии постоянного и однородного электромагнитного поля отлична от единицы за счет эффекта рождения электрон-позитронных пар, в главном приближении была найдена Гейзенбергом и Эйлером [5], точные формулы в случаях вакуума заряженных частиц со спином 0 и 1/2 получены Швингером [1], а в случае векторных бозонов Ваняшиным и Терентьевым [6]. Однако, именно Швингер первым написал точную формулу для вероятности рождения пар в статическом электрическом поле [1], и с тех пор этот процесс носит его имя. К сожалению напряженность поля, при которой вероятность рождения пар достигает оптимального значения, недостижима в экспериментах с постоянными полями в обозримом будущем. По этой причине во многих работах исследовалась задача о рождении электрон-позитронных пар в пространственно однородном электрическом поле, зависящем от времени, [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. Такие поля возникали в космосе в начальном периоде эволюции Вселенной, в окрестности заряженных черных дыр, при взрыве водородной бомбы, или в экспериментах с лазерными импульсами. Наиболее привлекательным как с экспериментальной, так и с теоретической точки зрения является исследование полей, порождающих пары, в экспериментах с лазерными импульсами.
На рис. 1, заимствованном из работы [16] показано, как возрастала со временем интенсивность лазерного излучения. Увеличение интенсивности сопровождалось пропорциональным уменьшением длительности лазерных импульсов. Первые лазеры в начале 60-х годов генерировали импульсы длительностью 10 микросекунд с киловаттной мощностью. Затем был превзойден мегаваттный уровень с соответствующим укорочением импульсов в тысячу раз. В середине 60-х использование метода синхронизации мод в резонаторе привело к следующему уменьшению длительности импульсов и увеличению их мощности в тысячу раз. В данном методе возбуждается несколько собственных мод оптического резонатора. Если номера мод составляют арифметическую прогрессию, то суммарное излучение имеет вид импульса с шириной тем меньшей, чем большее число синхронизованных мод вовлечено в генерацию. На этом этапе лазеры достигли гигаваттного уровня мощности и пикосекундного предела длительности импульсов.
После того, как гигаваттный уровень мощности был получен, приблизительно на 20 лет рост мощности лазерного излучения замедлился. Это было связано с тем, что при соответствующих интенсивностях в активной среде стала проявляться зависимость показателя преломления от квадрата амплитуды электромагнитной волны. Этот нелинейный эффект может приводить не только к локализованным в продольном направлении солитонам, но также и к поперечной модуляции поля и самофокусировке волны. Явление самофокусировки, предсказанное А. Г. Аскарьяном [17], представляет собой демонстрацию одной из наиболее общих закономерностей поведения нелинейных волн в сплошных средах. В данном случае самофокусировка была нежелательной, поскольку она приводила к искажению формы фронта электромагнитной волны. Выход из этого положения можно найти на пути экстенсивного развития лазерных установок, на котором значение интенсивности поддерживается на подпороговом уровне за счет увеличения диаметра пучка, тогда мощность на единитгу площади всё ещё не приводит к нежелательным эффектам и "порче"активной среды, но полная мощность увеличивается. В свою очередь это требует увеличения размеров и стоимости лазеров, что и привело к медленному росту мощности на протяжении 20 лет до 1986 года, когда в статье [18] Стрикланд и Муру предложили метод усиления частотно-моделированных импульсов или СРА (chirped pulse amplification).
Для реализации метода СРА одним из важных моментов является линейная зависимость частоты лазерного импульса от координаты или линейная частотная модуляция волны, которая и называется "чирпом" (chirp - щебетание или чирикание по-английски). В диспергирующей среде, где скорость распространения волны зависит от ее частоты, различные части волнового пакета распространяются с различной скоростью, и в зависимости от знака дисперсии лазерный импульс сжимается или растягивается. В данном случае диспергирующими элементами являются две пары дифракционных решеток, которые могут растягивать или сжимать волновой пакет с линейной частотной модуляцией.
На входе осциллятор, это может быть Ti:S лазер, генерирует сверхкороткий импульс, длина которого составляет от нескольких длин волн до сотен длин волн. Затем, попадая в стретчер, импульс удлиняется от тысячи до сотен тысяч раз с соответствующим уменьшением его интенсивности. В результате амплитуда излучения оказывается очень низкой и не может повредить оптику и активную среду в усилителе. В усилителе, обычно - это лазер, накачиваемый излучением стороннего (аргонового) лазера, энергия импульса возрастает в 1011 раз - от наноджоулей до десятков джоулей. После этого импульс сжимается до его первоначальной длины в компрессоре. В результате получается фемтосекундный лазерный импульс петаваттной мощности. Максимально достижимое значение мощности излучения определяется порогом насыщения вещества, из которого сделан активный элемент усилителя, и приемлемыми его поперечными размерами. Наилучшими в этом смысле параметрами обладает стекло с добавками иттербия. Система с поперечными размерами порядка десяти сантиметров может обеспечить экзаваттную мощность. При фокусировке в пятно размером в одну длину волны (один микрон) получим интенсивность излучения порядка 1024 Вт/см2, которая на сегодняшний день пока не была получена. До фокусировки ширина импульса в поперечном размере может быть порядка десяти сантиметров, то есть отношение диаметра светового пучка к его длине равно 104. Такой сверхтонкий световой диск падает на параболическое зеркало и фокусируется в одну длину волну лазерного импульса, порядка одного микрона. В результате получаем сгусток электромагнитной энергии в объеме Ю-12 см3. Такой режим называется Л3 - режимом [19].
При увеличении интенсивности, соответственно показанной на рис. 1 зависимости, реализуются различные режимы взаимодействия излучения с веществом: от процессов, определяемых поведением электронов внутри атомов и молекул, до режимов, требующих для их описания учета эффектов нелинейной квантовой электродинамики, которые являются предметом изучения в данной диссертации.
Последние успехи в лазерных технологиях привели к тому, что интенсивности лазеров выросли на много порядков и достигли значений порядка 1022 Вт/см2 [16].
Однако, они много меньше чем критическая интенсивность, /s = -- Й5Х 1029 Вт/см2, (1.2) 47Г отвечающая критическому полю КЭД, Es- Выполненные в работах [9, 20, 21] оценки показывают, что рождение пар в вакууме одним лазерным импульсом или даже при столкновении двух лазерных импульсов едва ли может быть обнаружено при интенсивностях / «С Is- Поэтому долгое время считалось, что результаты, полученные в [1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12], представляют только чисто теоретический интерес. Тем не менее, достигнутые напряженности лазерных полей позволяют провести экспериментальную проверку некоторых нелинейных эффектов КЭД в сильных полях уже в настоящее время, т.к. они обеспечивают напряженность поля порядка Es в собственной системе отсчета ультрарелятивистской частицы, сталкивающейся с лазерным импульсом. Такие эксперименты были осуществлены на стэнфордском линейном ускорителе SLAC, где впервые были исследованы нелинейные процессы КЭД, возникающие при взаимодействии высокоэнергетичных электронов и фотонов с электромагнитными импульсами большой интенсивности. Во-первых, было сообщено о наблюдении нелинейного комптоновского рассеяния в столкновениях 46.6 ГэВ-ных электронов с лазерным импульсом, чья интенсивность была порядка 1018Вт/см2 [22]. Позднее, та же самая группа исследователей объявила об обнаружении рождения электрон-позитронных пар при столкновениях лазерных фотонов с энергией до 29.2 ГэВ, рассеянных назад электронным пучком с энергией 46.6 ГэВ, с интенсивным лазерным импульсом [23]. Результатом последнего эксперимента стало первое свидетельство существования неупругого рассеяния света на свете при участии только реальных фотонов.
В последнее время появились публикации, порождающие определенный оптимизм также в отношении экспериментального наблюдения эффектов связанных с поляризацией вакуума сильным внешним полем, в частности, эффекта рождения пар в вакууме. Таджима и Муру [16] предложили подход, обеспечивающий генерацию лазерных импульсов сверхвысокой интенсивности 1026-28Вт/см2 с перспективой его осуществления в ближайшем десятилетии. Еще одна возможность получения электромагнитных полей сверхвысокой интенсивности указана в [24]. В предложенной схеме "критическая" напряженность электромагнитного поля достигается при нелинейном взаимодействии электромагнитной и ленгмюровской волн в плазме. При этом происходит увеличение частоты, сжатие, и фокусирование лазерного импульса опрокидывающейся ленгмюровской волной. Ленгмюровская волна возбуждается распространяющимся в плазме электромагнитным импульсом Мы считаем, что лазерный импульс циркулярно поляризован.
и имеет параболический профиль. В режиме опрокидывания плотность электронов в ленгмюровской волне стремится к бесконечности, то есть можно ожидать, что такая волна будет представлять собой летящее релятивисткое зеркало для падающего электромагнитного импульса. Благодаря параболической форме профиля ленгмюровской волны отраженный импульс будет фокусированным. Также произойдет повышение частоты отраженного импульса в соответствие с работой Эйнштейна [25], где рассматривалось отражение плоской электромагнитной волны от зеркала, движущегося с релятивистской скоростью. В [24] показывается, что пиковое напряжение электрического поля в фокусе может достигать значений одного порядка величины с критическим при использовании существующих лазерных систем. Таким образом детальное рассмотрение эффекта Швингера в вакууме и плазме в зависящих от времени электромагнитных полях, в частности, в поле фокусированных лазерных импульсов, становится актуальным и с экспериментальной точки зрения.
Большинство авторов, изучавших эффекты КЭД в сильных лазерных полях, моделировали поле лазерного импульса плоской монохроматической волной. Особенностью такой модели является существование точных решений уравнения Дирака для электрона в поле плоской электромагнитной волны - известных волковских решений [26] (см. также §40 в [27]). Использование этих решений, имеющих простую квазиклассическую форму, позволяет сравнительно легко получать аналитические формулы для вероятностей квантовых процессов в поле плоской волны [28]. Модель плоской волны может использоваться и для описания процессов в фокусированном лазерном импульсе. Если длина и время формирования процесса малы по сравнению с характерными пространственной и временной неоднородностями лазерного импульса, то локальная вероятность процесса может быть вычислена в рамках модели плоской волны, а полная вероятность может быть получена интегрированием локальной вероятности по объему и длительности импульса. Эта методика была использована авторами экспериментов [22, 23] при сравнении их результатов с теорией.
Однако, существуют процессы, для описания которых модель плоской электромагнитной волны неадекватна. В частности, плоская электромагнитная волна произвольной интенсивности и спектрального состава не рождает е+е пар в вакууме [1], поскольку оба инварианта электромагнитного поля плоской волны =(Е2-Н2)/2 и д = (Е-Н) (1.3)
равны нулю [29]. Поэтому эффект рождения пар сначала был рассмотрен для случая статического электрического поля, у которого очевидно не равен нулю инвариант Т. Потом в рассмотрение были включены зависящие от времени электромагнитные поля электрического типа [7]. В этом случае инварианты удовлетворяют следующим условиям:
Т = \F F = i(E2 - В2) О,
Я = і Р"-=Л(Е.В) = 0, (1.4)
где Fpy - тензор электромагнитного поля и F " = efU/("TFp 7, ецира полностью антисимметричный единичный тензор. В частности, процесс рождения пар в вакууме под действием пространственно однородного электрического поля
E(i) = E0 i (t)ez, B(t) = 0, (1.5)
где 4 {t) = cost и ег - единичный вектор в направлении оси z. был рассмотрен в (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14].
Однако, возникает вопрос насколько хорошо модель рождения электрон-позитронных пар в вакууме пространственно однородным электрическим полем, зависящим от времени, (1.5) отражает экспериментальную ситуацию. Такое поле может быть получено в пучностях стоячей световой волны, которая возникает при суперпозиции двух противоположно направленных лазерных лучей. В этом случае пространственная область, где электрическое поле много больше магнитного, сравнительно мала, и результаты, полученные в [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14], описывают только небольшую часть пар, которые рождаются под действием электромагнитной волны. В остальном объеме на рождение пар будет оказывать влияние магнитное поле, зависящее от времени, что приведет к изменению вероятности рождения электрон-позитронных пар. Естественно ожидать, что наличие магнитного поля уменьшит вероятность рождения пар, поэтому приближение пространственно однородного электрического поля дает верхнюю оценку на число пар.
Для изучения влияния наличия магнитной компоненты поля на вероятность рождения пар, а также точности приближения пространственно однородного электрического поля, зависящего от времени, мы рассматриваем процесс рождения электрон-позитронных пар в электромагнитных полях, являющихся решениями уравнений Максвелла, то есть в таких полях, которые могут возникнуть в эксперименте.
Во-первых, мы рассматриваем эффект рождения пар в поле фокусированного циркулярно поляризованного лазерного импульса, который описывается в рамках реалистичной трехмерной модели, предложенной в 30]. В отличие от случая пространственно однородного, зависящего от времени поля, рассмотренного в [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14], использованная модель основывается на точном решении уравнений Максвелла. Также эта модель была успешно применена в [31] для количественного описания анизотропии электронов, ускоренных лазерным импульсом большой интенсивности, что наблюдалось в эксперименте [32]. Показано, что рождение электрон-позитронных пар становится детектируемым процессом при интенсивностях излучения на два порядка меньших чем критическая интенсивность. Рассматривается вопрос о зависимости числа родившихся пар от параметра фокусировки, а также от свойств фокусированного импульса. Существует два типа фокусированных волн: е- и h-поляризованные с поперечным либо электрическим, либо магнитным полем, соответственно. Показано, что в случае одиночного импульса вероятность рождения пар в е-поляризованной волне на несколько порядков больше, чем в h-поляризованной волне, что связано со структурой поля в фокусе. Если в случае е-поляризованной волны первый инвариант электромагнитного поля достигает максимума в фокусе, то в случае h-поляризованной волны это происходит на переферии фокального пятна, где амплитуда поля подавлена экспоненциальным образом. Показано также, что существует естественный физический предел на максимально достижимую интенсивность лазерного импульса. Этот предел связан с истощением энергии импульса за счет рождения пар.
Во-вторых, мы рассматриваем эффект Швингера в поле двух противоположно направленных фокусированных лазерных импульсов, описываемых моделью из работы [31]. Использование суперпозиции двух фокусированных лазерных импульсов позволит обнаружить рождение электрон-позитронных пар при интенсивностях гораздо меньших, чем в случае одного фокусированного импульса [33], а также провести сравнение с результатами, полученными ранее [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14], и определить насколько хорошо работает приближение пространственно однородного электрического поля, зависящего от времени. Показано, что в случае двух встречных импульсов процесс рождения электрон-позитронных пар становится детектируемым уже при интенсивности излучения каждого из импульсов порядка 1026 Вт/см2, что на два порядка меньше чем в случае одиночного фокусированного импульса и на четыре чем критическая интенсивность. Следует отметить, что степень фокусированности уже не оказывает такого влияния на процесс рождения пар, как в случае одиночного импульса, где число пар быстро падает с уменьшением поперечного размера фокусной области при фиксированной интенсивности. Электрон-позитронные пары рождаются в основном под действием электрического поля, возникающего в пучностях стоячей волны. Это позволяет провести сравнение с результатами задачи о рождении пар пространственно однородным электрическим полем, зависящим от времени [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Показано, что это приближение дает верхнее ограничение на число пар. Учет пространственной неоднородности, то есть структуры поля в области фокусировки, ведет к уменьшению числа пар. Магнитное поле приводит к дальнейшему уменьшению числа пар. Таким образом, будет показано, что при рассмотрении эффекта рождения пар под действием электромагнитного поля суперпозиции двух противоположно направленных фокусированных импульсов, важно учитывать как пространственную структуру поля, так и влияние магнитного поля.
В-третьих, мы рассматриваем плоскую циркулярно поляризованную электромагнитную волну, распространяюнгуюся в разреженной бесстолкновительной плазме. Даже в плазме с очень низкой плотностью у плоской волны первый инвариант Т электромагнитного поля не равен нулю. Поэтому в плазме электрон-позитронные пары могут рождаться под действием плоской волны. В этом случае использование преобразования Лоренца в систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью волны, ведет к преобразованию электромагнитного поля волны в чисто электрическое поле, осциллирующее с постоянной частотой, при этом магнитное поле равно нулю. Стоит отметить, что такое электрическое поле является решением уравнений Максвелла в плазме. Хотя этот анзац превращает рассматриваемую задачу в задачу о рождении пар зависящим от времени электрическим полем, на самом деле, магнитное поле волны точно учтено в нашей задаче. Следует отметить, что похожий подход был применен ранее в [34]. Однако в этой работе рассматривалась линейно поляризованная электромагнитная волна, а также было использовано приближение, верное в пределе малых амплитуд электромагнитного поля. При распространении сильной линейно поляризованной, волны в плазме у линейно поляризованной волны появляется продольная компонента, осциллирующая с удвоенной частотой, означающая необходимость ее учета при вычислении вероятности рождения электрон-позитронных пар, что не было проведено в работе [34].
Помимо пар, рождающихся за счет Швингеровского механизма, в плазме рождаются пары посредством "трайдент"процесса [35] и тормозного излучения. Будет показано, что электрон-позитронные пары, родившиеся за счет Швингеровского механизма, можно отличить от пар, родившихся за счет других механизмов с помощью импульсного фильтра, другими словами, импульс швингеровских пар в лабораторной системе отсчета больше.
Следует отметить, что плазма в экспериментах с лазерными импульсами может естественно возникать при взаимодействии импульса с мишенью из-за структуры самого импульса, тем самым создавая условия для рождения электрон-позитронных пар в плазме под действием электромагнитного поля. Реальные импульсы, генерируемые лазерами, могут содержать предимпульсы, с интенсивностью, на несколько порядков меньше, чем в основном импульсе, но длительностью, намного большей, что означает, что энергия в предимпульсе соизмерима с энергией основного импульса. Предимпульс ионизует мишень, и в результате основной импульс будет уже взаимодействовать с плазмой.
Процесс рождения электрон-позитронных пар электромагнитными полями, являющимися решениями уравнений Максвелла в вакууме и плазме, был исследован в работах [33, 36]. В (33] было показано, что уже при интенсивности электромагнитного импульса, меньшей критической, потери энергии импульса на рождение пар такого же порядка, как и полная энергия, запасенная в этом импульсе. Поэтому не корректно рассматривать поле импульса как внешнее поле, и необходимо учитывать истощение энергии импульса на рождение и ускорение частиц.
Проблема обратного влияния рождающихся частиц, на внешнее поле широко обсуждалась в большом количестве статей, посвященных процессу рождения частиц в адронных взаимодействиях при высоких энергиях [37, 38, 39, 40], а также под действием электрических полей [41, 42]. В первом случае этот процесс можно рассматривать как квантовое туннелирование кварк-антикварковых и глюонных пар в присутствии внешнего хромо-электрического поля квантовой хромодинамики (КХД). Такое поле формируется между двумя разлетающимися после взаимодействия ядрами, которые приобрели цветной заряд за счет обмена мягкими глюонами во время столкновения. Последнее приводит к образованию сильного хромо-электрического поля и, таким образом, к более интенсивному рождению пар. При рассмотрении этого процесса было обнаружено, что для решения динамической задачи с сильным начальным электрическим полем необходимо принимать во внимание влияние рождающихся частиц на само поле (обратное влияние). Кварк-глюонная плазма, возникающая благодаря туннелированию в процессе столкновения ядер, изменяет свойства хромо-электрического поля из-за присутствия тока проводимости и поляризационного тока. Первый из токов возникает благодаря движению частиц в поле, в то время как второй - благодаря рождению пар. При решении данной задачи использовалась система уравнений, включающая в себя уравнения Максвелла и кинетическое уравнение. При этом процесс рождения пар описывался формулами, полученными в рамках КЭД; предполагалось, что хромо-электрическое поле абелево, пространственно однородно и зависит от времени. Однако, пространственно однородное, зависящее от времени электрическое поле не является решением уравнений Максвелла в вакууме. Следует также отметить, что в работах [37, 38, 39, 40, 41, 42] особое внимание уделялось свойствам возникающей плазмы, в то время как свойства внешнего поля не были детально изучены. По этой причине задача об обратном влиянии частиц, порождаемых полем, на само поле требует дополнительного анализа, и такому анализу посвящена часть данной диссертации. Одним из возможных решений, позволяющих сформулировать непротиворечивую модель, является учет присутствия плазмы в начальной конфигурации. Как будет показано, в плазме уравнения Максвелла допускают зависящие от времени, однородные по пространству решения
В данной диссертации рассматривается процесс рождения электрон-позитронных пар в холодной бесстолкновительной плазме под действием электромагнитного поля, являющегося решением уравнений Максвелла, а также учитывается обратное влияние образующихся пар на внешнее поле. При этом мы используем уравнение Больцмана-Власова с источником, соответствующим вероятности рождения пар [37, 38, 39]. Для того, чтобы прояснить влияние магнитной компоненты поля на процесс рождения электрон-позитронных пар, мы рассматриваем плоскую циркулярно поляризованную электромагнитную волну, распространяющуюся в разреженной бесстолкновительной плазме (для простоты рассматривается электрон-позитронная плазма). В этом случае первый инвариант электромагнитного поля (Е2 — В2)/2 не равен нулю в силу того, что дисперсионное уравнение в плазме отличается от дисперсионного уравнения в вакууме. Поэтому в плазме электрон-позитронные пары могут рождаться под действием плоской электромагнитной волны, как было показано в [36].
В данной диссертации рассматривается обратное влияние электрон-позитронных пар, родившихся под действием электромагнитного поля распространяющейся в плазме волны, на саму волну за счет возникновения тока проводимости и поляризационного тока. В частности, рассматривая взаимодействие между волной и плазмой как задачу с начальными условиями в движущейся системе отсчета, мы получаем и анализируем уравнения, описывающие эволюцию электромагнитного поля волны. В силу нелинейных свойств уравнений для изменения поля во времени, имеет место сильная нелинейная зависимость параметров поля волны от ее начальной амплитуды. При этом происходит нелинейное увеличение частоты волны, изменение поляризации волны и затухание ее амплитуды. Увеличение частоты волны связано с ростом плотности плазмы за счет рождения пар, в силу того что частота электромагнитной волны в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью, пропорциональна корню из электронной плотности. Изменение поляризации волны происходит за счет несбалансированного затухания компонент электрического поля, что приводит к изменению начальной циркулярной поляризации на эллиптическую, а при достаточно больших значениях начальной амплитуды электрического поля поведение поляризационного вектора становится эргодическим. Для того чтобы пояснить эти эффекты, рассматриваются два предельных случая эволюции электрического поля. В первом случае предполагается, что амплитуда волны настолько велика, что подавляющее число электрон-позитронных пар рождается мгновенно. Это приводит к мгновенному изменению амплитуды и частоты электрического поля. При этом наблюдается изменение поляризации волны. Во втором случае рассматривается режим, когда вероятность рождения пар достаточно мала, так что все параметры волны меняются медленно по сравнению с периодом волны. При этом имеет место затухание амплитуды волны со временем.
Как отмечалось выше, недавно было предложено два способа достижения полей с интенсивностью, близкой к критической. А именно, взаимодействие фотонов, рассеянных назад пучком высоэнергетичных электронов, с лазерным импульсом, и взаимодействие лазерного импульса в плазме с ленгмюровской волной в режиме опрокидывания. В силу того, что в данной диссертации изучаются вопросы связанные с рождение электрон-позитронных пар под действием фокусированных импульсов в вакууме и под действием плоских волн в плазме, мы также рассматриваем задачу о генерации ультракоротких электромагнитных импульсов при взаимодействии электромагнитного солитона с ленгмюровской волной в режиме опрокидывания. Такой механизм получения ультракоротких импульсов может стать еще одной возможностью для достижения напряженностей электрического поля, близких к критической.
В так называемом релятивистском режиме, когда кинетическая энергия электронов равна, или даже больше их массы покоя, то есть когда интенсивность лазерного импульса превышает / 1018 Вт/см2, начинают проявляться новые нелинейные свойства взаимодействия лазерного излучения с плазмой (см. обзорные статьи [43] и [44] и цитируемую там литературу). Среди богатого разнообразия нелинейных процессов, сопровождающих распространение электромагнитного импульса в разреженной плазме, мы рассмотрим ленгмюровские волны [45, 4G] и релятивистские электромагнитные солитоны [47, 48, 49, 50], которые возникают в плазме после прохождения лазерного импульса.
Хорошо известно, что одним из наиболее многообещающих подходов к созданию компактных ускорителей электронов является использование плазменных коллективных электрических полей в лазерном ускорителе, работающем на эффекте кильватерных волн (Laser Wake Field Accelerator) [4G]. Ускорение электронов кильватерными волнами наблюдалось экспериментально [51] (смотри также обзорную статью [52]). Другим применением кильватерных волн является возможное усиление распространяющихся в том же направлении коротких лазерных импульсов. Такие устройства называют фотонными ускорителями [53].
Как уже отмечалось выше, в работе [24] был предложен метод генерации электромагнитных полей сверхвысокой интенсивности. Этот метод основывается на сжатии лазерного импульса, повышении его несущей частоты и фокусировке с помощью движущейся ему навстречу плазменной волны в режиме опрокидывания. В этом случае модуляции плотности электронов в кильватерной волне действуют как движущиеся релятивистские параболические зеркала. Этот метод позволяет получить критическое поле квантовой электродинамики (известное как Швингеровское [1]), используя существующие сейчас лазерные системы. В данной диссертации показано, что роль одного из лазерных импульсов может играть релятивистский электромагнитный солитон. Хорошо известно, что на протяжении долгого времени солитоны привлекали и привлекают внимание многих исследователей из-за своего устойчивого поведения [54]. При этом область исследований данного явления очень широка - от нелинейной динамики волн в мелкой воде, где как раз и были открыты солитоны (смотри, например, [54, 55]), до квантовой теории поля [56]. Релятивистские электромагнитные солитоны представляют собой не только пример когерентных структур, но и демонстрируют фундаментальные свойства взаимодействия лазерного излучения с плазмой. Как было показано в работах [47, 48, 49, 50], значительная часть, порядка 30% - 40%, энергии лазерного импульса может содержаться в таких структурах в виде электромагнитного излучения, осциллирующего с частотой ниже ленгмюровской частоты и ре — (47гпе2/те)1 2 окружающей плазмы. Типичный размер таких солитонов порядка глубины бесстолкновительного скин слоя de = с/и)ре. Электромагнитные поля внутри солитонов состоят из осциллирующих электрического и магнитного полей плюс постоянное электростатическое поле, возникающее в силу разделения зарядов, когда электроны выдавливаются наружу под действием пондермоторной силы осциллирующих полей. На больших временах, когда становятся важными эффекты движения ионов, пондермоторноя сила формирует полости в плотности плазмы, которые называются пост-солитонами [57]. Пост-солитоны наблюдались экспериментально [58] с помощью метода протонных изображений [59]. Однако, в целях упрощения задачи, мы будем рассматривать такие условия, при которых эффектами движения ионов можно пренебречь. Мы будем считать, что в системе отсчета, связанной с кильватерной волной, солитон представляет собой квазипериодический электромагнитный волновой пакет. Результатом взаимодействия пакета с модуляциями электронной плотности в кильватерной волне будет отражение части энергии пакета в направлении распространения кильватерной волны. Это приведет к преобразованию низкочастотного солитона в высокочастотный ультракороткий электромагнитный импульс. В разреженной плазме увеличение частоты может быть так велико, что этот процесс может стать новым механизмом получения аттосекундных импульсов, существенно отличающимся от всех остальных, описанных в литературе (см., например,[60]).
Данная диссертация организована следующим образом. В главе 2 обсуждаются вопросы, связанные с рождением электрон-позитронных пар в поле как одиночного, так и суперпозиции двух встречных импульсов. В разделе 2.1 приводится трехмерная модель поля фокусированного импульса. Качественное обсуждение эффекта рождения пар в поле фокусированного импульса вместе с ограничениями на максимально достижимую напряженность поля приводятся в разделе 2.2. Результаты численного анализа структуры поля в фокусе, зависимости вероятности рождения пар от параметра фокусировки и от интенсивности электромагнитного импульса обсуждаются в разделе 2.3. Также проводится сравнение полученных результатов с приближением пространственно однородного поля и определяется точность этого приближения. В разделе 2.4 рассматриваются пределы применимости приближения пространственно однородного поля и метода мнимого времени в задачах о рождении пар различными конфигурациями электрического поля, зависящего от времени. Отметим, что метод мнимого времени, сформулированный авторами работы [65], представляет собой удобный и эффективный способ решения широкого класса задач, имеющих отношение к проблемам тунельной ионизации и рождения электрон-позитронных пар (см. работы 8, 9, 12]). Необходимые сведения об этом методе приведены в Приложениях А и Б.
В главе 3 рассматривается рождение электрон-позитронных пар электромагнитными волнами в плазме, а также анализируется обратное влияние родившихся пар на поле самих волн. В разделе 3.1 обсуждается поведение сильной электромагнитной волны в плазме (3.1.1), вычисляется вероятность рождения пар циркулярно поляризованной электромагнитной волной в плазме в рамках метода мнимого времени и проводится сравнение свойств пар, родившихся в силу различных механизмов (3.1.2). Затухание сильных электромагнитных волн в плазме за счет рождения электрон-позитронных пар, а также увеличение частоты волн и изменение их поляризации рассматриваются в разделе 3.2.
В главе 4 обсуждается генерация ультракоротких электромагнитных импульсов в плазме при взаимодействии релятивистского солитона с опрокидывающейся кильватерной волной. В разделе 4.1 рассматривается задача об отражении плоской электромагнитной волны зеркалом, движущимся с релятивистской скоростью, где показывается, что имеет место увеличение частоты отраженной волны. В разделах 4.2, 4.3 и 4.4 приводятся уравнения и их решения, описывающие ленгмюровские волны в плазме, их поведение в режиме опрокидывания, релятивистский солитон в плазме, соответственно. В разделе 4.5 рассматривается процесс взаимодействия солитона с ленгмюровской волной в режиме опрокидывания, приводящий к генерации аттосекундного электромагнитного импульса.
В главе 5 представлены основные результаты данной диссертации.
В Приложениях подробно рассмотрены: Метод Мнимого Времени, использованный для вычисления вероятности рождения пар электромагнитной волной в плазме (А), примеры применения ММВ к задачам допускающим аналитическое решение (В), а также вывод формулы для поляризационного тока, входящего в модифицированные рождением пар уравнения Максвелла (С).
Целью диссертационной работы является:
1.Формулировка непротиворечивой модели, описывающей обратное влияние родившихся частиц на порождающее их поле.
2.Анализ влияния магнитной составляющей поля волны на рождение электрон-позитронных пар.
З.Модификация вакуумного механизма рождения пар под влиянием среды (плазмы).
4.Исследование нелинейной эволюции волны, порождающей пары (повышение частоты, изменение поляризации, затухание поля).
5.Построение теории генерации ультра-коротких импульсов электромагнитного излучения при взаимодействии нелинейных продольных и поперечных волн в плазме с целью получения сверхсильных полей.
Качественное обсуждение
Однако, возникает вопрос насколько хорошо модель рождения электрон-позитронных пар в вакууме пространственно однородным электрическим полем, зависящим от времени, (1.5) отражает экспериментальную ситуацию. Такое поле может быть получено в пучностях стоячей световой волны, которая возникает при суперпозиции двух противоположно направленных лазерных лучей. В этом случае пространственная область, где электрическое поле много больше магнитного, сравнительно мала, и результаты, полученные в [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14], описывают только небольшую часть пар, которые рождаются под действием электромагнитной волны. В остальном объеме на рождение пар будет оказывать влияние магнитное поле, зависящее от времени, что приведет к изменению вероятности рождения электрон-позитронных пар. Естественно ожидать, что наличие магнитного поля уменьшит вероятность рождения пар, поэтому приближение пространственно однородного электрического поля дает верхнюю оценку на число пар.
Для изучения влияния наличия магнитной компоненты поля на вероятность рождения пар, а также точности приближения пространственно однородного электрического поля, зависящего от времени, мы рассматриваем процесс рождения электрон-позитронных пар в электромагнитных полях, являющихся решениями уравнений Максвелла, то есть в таких полях, которые могут возникнуть в эксперименте.
Во-первых, мы рассматриваем эффект рождения пар в поле фокусированного циркулярно поляризованного лазерного импульса, который описывается в рамках реалистичной трехмерной модели, предложенной в 30]. В отличие от случая пространственно однородного, зависящего от времени поля, рассмотренного в [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14], использованная модель основывается на точном решении уравнений Максвелла. Также эта модель была успешно применена в [31] для количественного описания анизотропии электронов, ускоренных лазерным импульсом большой интенсивности, что наблюдалось в эксперименте [32]. Показано, что рождение электрон-позитронных пар становится детектируемым процессом при интенсивностях излучения на два порядка меньших чем критическая интенсивность. Рассматривается вопрос о зависимости числа родившихся пар от параметра фокусировки, а также от свойств фокусированного импульса. Существует два типа фокусированных волн: е- и h-поляризованные с поперечным либо электрическим, либо магнитным полем, соответственно. Показано, что в случае одиночного импульса вероятность рождения пар в е-поляризованной волне на несколько порядков больше, чем в h-поляризованной волне, что связано со структурой поля в фокусе. Если в случае е-поляризованной волны первый инвариант электромагнитного поля достигает максимума в фокусе, то в случае h-поляризованной волны это происходит на переферии фокального пятна, где амплитуда поля подавлена экспоненциальным образом. Показано также, что существует естественный физический предел на максимально достижимую интенсивность лазерного импульса. Этот предел связан с истощением энергии импульса за счет рождения пар.
Во-вторых, мы рассматриваем эффект Швингера в поле двух противоположно направленных фокусированных лазерных импульсов, описываемых моделью из работы [31]. Использование суперпозиции двух фокусированных лазерных импульсов позволит обнаружить рождение электрон-позитронных пар при интенсивностях гораздо меньших, чем в случае одного фокусированного импульса [33], а также провести сравнение с результатами, полученными ранее [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14], и определить насколько хорошо работает приближение пространственно однородного электрического поля, зависящего от времени. Показано, что в случае двух встречных импульсов процесс рождения электрон-позитронных пар становится детектируемым уже при интенсивности излучения каждого из импульсов порядка 1026 Вт/см2, что на два порядка меньше чем в случае одиночного фокусированного импульса и на четыре чем критическая интенсивность. Следует отметить, что степень фокусированности уже не оказывает такого влияния на процесс рождения пар, как в случае одиночного импульса, где число пар быстро падает с уменьшением поперечного размера фокусной области при фиксированной интенсивности. Электрон-позитронные пары рождаются в основном под действием электрического поля, возникающего в пучностях стоячей волны. Это позволяет провести сравнение с результатами задачи о рождении пар пространственно однородным электрическим полем, зависящим от времени [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Показано, что это приближение дает верхнее ограничение на число пар. Учет пространственной неоднородности, то есть структуры поля в области фокусировки, ведет к уменьшению числа пар. Магнитное поле приводит к дальнейшему уменьшению числа пар. Таким образом, будет показано, что при рассмотрении эффекта рождения пар под действием электромагнитного поля суперпозиции двух противоположно направленных фокусированных импульсов, важно учитывать как пространственную структуру поля, так и влияние магнитного поля.
В-третьих, мы рассматриваем плоскую циркулярно поляризованную электромагнитную волну, распространяюнгуюся в разреженной бесстолкновительной плазме. Даже в плазме с очень низкой плотностью у плоской волны первый инвариант Т электромагнитного поля не равен нулю. Поэтому в плазме электрон-позитронные пары могут рождаться под действием плоской волны. В этом случае использование преобразования Лоренца в систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью волны, ведет к преобразованию электромагнитного поля волны в чисто электрическое поле, осциллирующее с постоянной частотой, при этом магнитное поле равно нулю. Стоит отметить, что такое электрическое поле является решением уравнений Максвелла в плазме. Хотя этот анзац превращает рассматриваемую задачу в задачу о рождении пар зависящим от времени электрическим полем, на самом деле, магнитное поле волны точно учтено в нашей задаче. Следует отметить, что похожий подход был применен ранее в [34]. Однако в этой работе рассматривалась линейно поляризованная электромагнитная волна, а также было использовано приближение, верное в пределе малых амплитуд электромагнитного поля. При распространении сильной линейно поляризованной, волны в плазме у линейно поляризованной волны появляется продольная компонента, осциллирующая с удвоенной частотой, означающая необходимость ее учета при вычислении вероятности рождения электрон-позитронных пар, что не было проведено в работе [34].
Релятивистки сильная электромагнитная волна в плазме
Для задачи об ионизации атома полем (2.12) также применим метод мнимого времени. Интегрируя уравнения движения х = eF p(ut ) с граничными условиями x(t 0) = 0, x(t 0) — ік, (0) = 0, где / = к?/2 - энергия связи уровня, получаем (здесь полагается h = m = є = 1): f b{F,u ) = — l{y), lb) =2J хЫ)ийи. (2.60) Эта формула аналогична (2.49). В частности, сюда входит та же функция XJ однако параметр адиабатичности 7 имеет в этих двух случаях разное значение. Если х(и) убывает быстрее чем и 2 на бесконечности6, то д(у) Ci7-1, (7) С27-2, 7 - ос, (2.61) оо оо где Сі = f x(u)du, С2 = j / ХІи)и du. Поскольку b/Xe l/72f, то при значениях о х о 7 е 1/2 ширина барьера сокращается до величины порядка комптоновской длины волны электрона, после чего ММВ теряет применимость. Отметим, что при у е-1/2 вероятность рождения пар хотя и значительно возрастает, но все же остается малой: е_1#(7) 1/с7 c_1 1 3 Рож:дение электрон-позитронных пар электромагнитными волнами в плазме
Рождение электрон-позитронных пар циркулярно поляризованной электромагнитной волной в плазме
Для того, чтобы изучить влияние магнитного поля на вероятность рождения пар мы ниже рассматриваем плоскую циркулярно поляризованную электромагнитную
Это имеет место, например, для импульсов ip(t) = (1 + t2) 1, (1 + t2) 3/f2, 1/cosht и др. волну, распространяющуюся в разреженной бесстолкновительной плазме. Даже в плазме с очень низкой плотностью у плоской волны первый инвариант Т электромагнитного поля не равен нулю. Поэтому в плазме электрон-позитронные пары могут рождаться под действием плоской волны. В этом случае использование преобразования Лоренца в систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью волны, ведет к преобразованию электромагнитного поля волны в чисто электрическое поле, осциллирующее с постоянной частотой. При этом магнитное поле равно нулю. Хотя этот анзац превращает рассматриваемую задачу в задачу о рождении пар зависящим от времени электрическим полем, на самом деле, магнитное поле волны точно учтено в нашей задаче. Следует отметить, что похожий подход был применен ранее в [34]. Мы используем метод "мнимого времени", простой и мощный математический метод аналитического продолжения классических уравнений движения в подбарьерную область, где классическое движение запрещено (см. [8, 9, 15, 65]). С помощью метода "мнимого времени"мы подробно исследуем зависимость вероятности рождения пар от частоты и амплитуды электромагнитной волны.
Помимо пар, рождающихся за счет Швингеровского механизма, в плазме рождаются пары посредством "трайдент"процесса [35] и тормозного излучения. Мы покажем, что электрон-позитронные пары, родившиеся за счет Швингеровского механизма, можно отличить от пар, родившихся за счет других механизмов, с помощью импульсного фильтра. Другими словами, импульс швингеровских пар в лабораторной системе отсчета больше.
Релятивистки сильная электромагнитная волна в плазме Ниже мы приводим хорошо известные свойства релятивистки сильной электромагнитной волны в разреженной бесстолкновительной плазме, необходимые для определения конфигурации электрического поля, зависящего от времени.
Обсуждение поведения волны основывается на результатах, полученных Ахиезером и Половиным в [66]. Мы рассматриваем циркулярно поляризованную электромагнитную волну, которая описывается поперечной компонентой вектор-потенциала: Aj. = AQ [еу sin(o; — кх) — e2pcos(wi — кх)]. (3.1)
Волна распространяется в направлении оси х, фазовая скорость равна ш/к, д указывает на правую (д — 1) или левую (д = —1) циркулярную поляризацию, и AQ = CEQ/UJ, где Е0 - амплитуда электрического поля. Зависимость частоты и от х-компоненты волнового вектора к дается дисперсионным уравнением
То есть в плазме первый инвариант электромагнитного поля плоской волны не равен нулю. Он обращается в нуль, когда плотность плазмы стремится к нулю, то есть в вакууме (или в пределе Ао — ос). Он также обращается в нуль при равенстве нулю зарядов частиц плазмы, потому что Q шра, которая в свою очередь пропорциональна ZQ.
Нелинейная электромагнитная волна в плазме также характеризуется зависимостью фазовой и групповой скоростей от параметров плазмы и амплитуды волны. Из уравнения (3.2) находим, что фазовая скорость vPh = и /к и групповая скорость vg = duj/dk связаны следующим соотношением vp/,i;s = с2.
Теперь проведем преобразование Лоренца в систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью вдоль направления распространения волны. Частота волны и а:—компонента волнового вектора меняются в соответствие с выражениями
Используя соотношение Vg = с2/vph = кс2/и), получаем, что в движущейся системе отсчета частота равняется u/ = О., а волновой вектор обращается в нуль: к = 0. Используя свойство инвариантности поперечной компоненты вектор-потенциала относительно преобразования Лоренца, находим, что в движущейся системе отсчета магнитное поле в циркулярно поляризованной электромагнитной волне исчезает, а электрическое поле, осциллирующее с частотой Q, описывается следующим выражением: Е-—А0(еу cosQif+ gezsmQt ). (3.8)
В дальнейшем будем использовать обозначение Е = (QA0/c) = (Q/LU)E(,. Подобная задача была рассмотрена в [34], где изучался модельный случай линейно поляризованной волны в рамках решения уравнения Дирака для электрона в электрическом поле. Стоит отметить, что использованное в [34] приближение для описания поля не адекватно поставленной задаче, поскольку у линейно поляризованной волны с конечной амплитудой, распространяющейся в плазме, присутствует как поперечная, так и продольная составляющие, осциллирующие с разной частотой. Поэтому задача о рождении электрон-позитрон ных пар в поле нелинейной линейно поляризованной волны в плазме технически намного более сложна, чем в случае циркулярной поляризации.
Картина электромагнитного поля, возникающая в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью электромагнитной волны
Следует отметить, что форма уравнения (3.54) соответствует случаю постоянного поля [5]. Однако, характерное время рождения пары порядка с/Хс, где Ас = h/mc комптоновская длина волны электрона, прнебрежимо мало по сравнению с периодом волны. Приведенная выше оценка характерного времени дает нижнее ограничение на время рождения пары, в то время как оценка, следующая из квазиклассического приближения, дает ttun = 1/аи [12, 36], где а — еА/тпс безразмерная амплитуда вектор-потенциала. Однако для а » 1 (то есть для рассматриваемого в данной работе случая), даже такая оценка дает для времени тунелирования значение много меньшее периода волны. Поэтому можно использовать выражение (3.54) в случае электрического поля, зависятцего от времени. При этом само время играет роль параметра. Кроме этого, следуя аргументации, приведенной в работах [37, 38, 39], мы предполагаем, что пары рождаются в состоянии с нулевым импульсом, то есть импульсное распределение в выражении для источника пропорционально дельта функции Дирака. В результате получим для источника в правой части уравнения (3.53) выражение
Используемое предположение можно подтвердить тем фактом, что импульсное распределение в уравнении (3.54) имеет ширину р± (JeE(i)j)1/,;2 = m(\e(t)\y 2 С m, пренебрежимо малую по сравнению с импульсом, который приобретают электроны (позитроны) в электрическом поле. Здесь г) = eE/m2 = E/Esch С 1 -безразмерное электрическое поле и Esc/t = тп2/е - критическое поле. Выражение для источника нормировано таким образом, что f qQ(E,p)d3 р/(2тг)3 дает число [(єЕ)2/4ж3] ехр(—птп2/еЕ) позитронов (электронов), родившихся в единице обьема в единшгу времени в соответствии с формулой Швингера.
Уравнение (3.53) решается посредством интегрирования вдоль характеристик. Уравнения для характеристик для каждой из разновидностей частиц а имеют вид В результате получим, что выражение для функции распределения имеет следующий функция распределения позитронов (электронов) в начальный момент времени до прохождения электромагнитной волны. Предположим, что в начальный момент времени t = 0 плазма холодная, то есть функция распределения частиц в начальной конфигурации плазмы
Здесь рц - компонента импульса частиц параллельная направлению распространения электромагнитной волны, рц)0 - начальное значение параллельной компоненты импульса, которая возникает из-за преобразования Лоренца из лабораторной системы отсчета в движущуюся с групповой скоростью систему отсчета.
Учет в кинетическом уравнении источника частиц в соответствии с уравнением (3.55), должен сопровождаться учетом соответствующего электрического тока в уравненниях Максвелла. Рождение электрон-позитронных пар пространственно однородным электрическим полем приводит к возникновению электрического диполя, зависящего от времени и генерирующего поляризационный ток. Таким образом к плотности электрического тока в уравнении (3.42) необходимо прибавить дополнительное слагаемое, отсутствующее в случае, когда нет никакого рождения пар. Следовательно, уравнение (3.43) должно выглядеть следующим образом [39]
Используя функцию распределения частиц, полученную выше (3.58), получаем из (3.61) и (З.бі)следующие выражения для плотностей тока проводимости и поляризационного тока
Здесь Л = A(i). При интегрировании по импульсу мы использовали тот факт, что пары рождаются в состоянии с нулевым начальным импульсом. Подставляя эти выражения для плотностей токов в правую часть уравнения (3.60) и используя безразмерные вектор-потенциал а = еА/т и нормированное электрическое поле 77 = еЕ/m2, получаем уравнение, описывающее эволюцию электромагнитного поля волны при учете процесса рождения пар где u p = (8тге2По/т) - нерелятивистская ленгмюровская частота , рц0 = Р\\о/т и АС = 87ге2т4. Множитель тп означает обратный комптоновский 4-объем т4 = с/Х « 0.14 х 1053 см-3 с. Похожие уравнения были получены в работах [39], где, однако, начальная функция распределения полагалась равной нулю и было использовано приближение пространственно однородного электрического поля в вакууме, которое не является решением уравнений Максвелла, как неоднократно отмечалось выше.
Решение интегро-дифференциального уравнения (3.65) в аналитическом виде затруднительно. По этой причине мы решаем его численно. Результаты численного решения этого уравнения для различных значений начальной амплитуды волны представлены на рис. 16. Можно видеть, что процесс рождения электрон-позитронных пар приводит к затуханию волны в плазме и к нелинейному увеличению ее частоты. Затухание возникает благодаря тому, что энергия поля тратится как на рождение каждой пары (2тс?), так и на ускорение частиц. Увеличение частоты поля обязано своему появлению увеличению плотности плазмы, и, соответственно, с увеличением ленгмюровской частоты, за счет рождения новых пар. Эффект увеличения частоты можно видеть на рис. 16. Этот эффект очень похож на голубое смещение частоты, возникающее при прохождении электромагнитной волны через вещество в процессе его ионизации, что было исследовано теоретически в работе [68] и экспериментально в [69].
Так как вероятность рождения пар зависит от амплитуды поля экспоненциально, то может возникнуть не сбалансированное затухание компонент поля, что должно
Зависимость от времени в движущейся системе отсчета х и у-компонент безразмерного вектор-потенциала для различных значений начальной амплитуды: а = 1.4 х 105 (а), а = 1.5 х 105 (Ь), а = 1.9 х 105 (с) при этом плотность начальной плазмы щ — 1019 _3 в движущейся системе; vg %: 1, -/д = 10. В левом столбце приводятся ж-компоненты вектор-потенциала, в правом у-компоненты. На оси х время измеряется в секундах; а = 1 соответствует, в случае длины волны равной 1 мкм, интенсивности 1018 Вт/см2 и а = 4.6 х 105 соответствует критической интенсивности. приводить к изменению поляризации волны. Следует также отметить, что уменьшение амплитуды вектор-потенциала сопровождается увеличением частоты, таким образом уменьшение амплитуды электрического поля не такое быстрое, как у амплитуды вектор-потенциала. Эти свойства электрического поля видны на рис. 17, где приводятся проекции вектора электрического поля для того же набора начальных условий, что и на рис. 16. На рис. 17а видно затухание -компоненты электрического поля и переход от циркулярной поляризации к эллиптической. При этом главная ось эллипса направлена вдоль оси у. На рис. 17Ь кроме эффектов аналогичных показанным на рис. 17а имеет место вращение главной оси эллипса. Вращение главной оси эллипса обсуждалось в [70] в случае свободного распространения (без источника) эллиптически поляризованного нелинейного импульса в плазме. Рис. 17с сильно отличается от двух предыдущих. В этом случае вероятность рождения пар в начале эволюции электрического поля так велика (см. рис. 18с), что первый цикл осцилляции волны не может быть завершен, что ведет к возникновению осцилляции х-компоненты вектор-потенциала волны вокруг ненулевого значения, которое определяется из условия баланса между усредненными по времени двумя первыми слагаемыми в правой части второго из уравнений (3.65). Этот сдвиг центра осцилляции -компоненты вектор-потенциала приводит к уменьшению частоты колебаний этой компоненты волны, так что в этом случае х и у-компоненты осциллируют с различной частотой.
Увеличение плотности плазмы со временем показано на рис. 18. При этом отсчет начинается с начальной плотности плазмы, которая была до прохождения электромагнитного импульса. Видно, что зависимость плотности от времени имеет вид ступенчатой функции. Такое поведение связано с осцилляциями амплитуды электрического поля, которые возникают в эллиптически поляризованной волне (см. рис. 17). Электрон-позитронные пары рождаются в основном в момент достижения максимума амплитудой электрического поля, в то время как в промежутке рождения пар практически не происходит. Из этих рисунков также видно увеличение частоты, поскольку ширина ступенек уменьшается со временем. Следует отметить, что в последнем случае рождение пар происходит практически мгновенно в самом начале эволюции импульса.
Различия между упомянутыми выше тремя случаями можно хорошо проиллюстрировать различными профилями функции распределения в плоскости Рх-Ру (Следует отметить, что электронные и позитронные функции распределения являются зеркальными отображениями друг друга). В Случаях а) и Ь) электроны
"Уравнение опрокидывающейся кильватерной плазменной волны
Когда интенсивный электромагнитный импульс взаимодействует с плазмой, он вынуждает электроны плазмы двигаться с релятивистскими скоростями. Это движение, в свою очередь, порождает кильватерную волну в плазме. Как хорошо известно [86], фазовая скорость vPh = /?р/,с кильватерной волны равна групповой скорости лазерного импульса, которая близка к скорости света в вакууме при условии, что лазерный импульс распространяется в плазме с плотностью ниже критической. Нелинейность сильной кильватерной волны приводит к нелинейному профилю волны и, в особенности, к тому, что волна становится круче. Что в свою очередь ведет к образованию острых локальных максимумов, "пиков", в электронной плотности (73]. Это означает, что кильватерная волна входит в режим опрокидывания (смотри [44] и литературу, цитируемую там). Теоретически, плотность электронов в "пиках"стремится к бесконечности, но остается интегрируемой [44]. Из уравнения непрерывности следует, что электронная плотность как функция X = х — vpht описывается выражением: где По - концентрация ионов в плазме, а скорость электронов (нормированная на скорость света) Д, варьируется от —/?р/, до /?р/,. Следствием этого является тот факт, что плотность электронов стремиться к бесконечности в точках опрокидывания, а между этими точками величина ее порядка щ/2. Таким образом для режимов близких к режиму опрокидывания мы можем использовать приближенное выражение для плотности электронов: пе(Х) = [1 + \6(Х)}, (4.30) вместо уравнения (4.29). Здесь Хр длина ленгмюровской волны в режиме опрокидывания. Можно ожидать, что пик плотности в уравнении (4.30) будет частично отражать падающие электромагнитные волны.
Ниже мы рассматриваем взаимодействие одномерного солитона и кильватерной волны (4.30). Релятивистские плазменные солитоны формируются при взаимодействии интенсивного лазерного импульса с плазмой. При этом лазерный импульс теряет энергию, которая преобразуется в энергию различных плазменных колебаний и кинетическую энергию заряженных частиц. При прохождении импульса через плазму число фотонов в нем примерно сохраняется [50]. Этот факт вместе с потерями энергии пучка ведет к тому, что частота лазерного излучения уменьшается до ш$ — и ре. В результате часть энергии импульса захватывается в полости электронной плотности в виде низкочастотного излучения.
Предположим, что солитон формируется под действием циркулярно поляризованного лазерного импульса. Для того чтобы описать поперечные компоненты вектор-потенциала, мы определяем комплексную безразмерную функцию А A = - (Ay + iAz). (4.31)
Используя условие, что вектор-потенциал обращается в ноль на бесконечности, можно написать стационарное решение для системы уравнений холодной электронной гидродинамики и уравнений Максвелла [48] в факторизованной форме частота солитона и є(и 0) = (1 — W /WQ) . Форма электрического и магнитного полей внутри солитона показана на рис. 21. В пределе малой амплитуды солитона, когда шо « шре, то есть е(и о) "С 1, амплитуда С{х) принимает вид С(х) « 2є(и 0)/ cosh[e(u o)ujpex/c]. Этот предел соответствует солитону, являющемуся решением Нелинейного Уравнения Шредингера (смотри [54, 55, 87]).
Ниже мы рассматриваем взаимодействие солитона с модуляциями электронной плотности, движущимися с релятивистскими скоростями в кильватерной плазменной волне. Скорость кильватерной волны близка к скорости света в вакууме и направлена вдоль оси х. Для упрощения вычислений мы проводим преобразование Лоренца в систему отсчета М, где кильватерная плазменная волна покоится, а солитон представляет собой электромагнитный волновой пакет распространяющийся справа налево. В этой системе отсчета вектор-потенциал солитона, обозначаемый A in(x ,t ), где х = 7р/і(ж + vpht ) и t — -Ypkit + Vphx /c2), описывается следующим выражением:
На зеркале, которое предполагается расположенным в точке х = О, электромагнитное поле падающей волны зависит от времени как Производя преобразование Фурье падающего импульса по времени, получим
Для того чтобы вычислить коэффициенты отражения и прохождения, необходимо рассмотреть взаимодействие электромагнитной волны с максимумом электронной плотности в опрокидывающейся ленгмюровской волне. В силу того, что в режиме опрокидывания электронная плотность может быть представлена в виде (4.30), задача о нахождении коэффициентов отражения и прохождения сводится к задаче о рассеянии на дельта-потенциале. При этом подразумевается, что модель непрерывного отклика электронов остается применимой, то есть электроны в пике излучают когерентно так, что понятия отражения и прохождения излучения через непрерывную среду могут быть применены. В силу увеличения частоты отраженного излучения это условие соответствует наложению ограничения на максимально возможное в рамках нашего подхода значение 7p/t В результате найдем, что амплитуды отраженной и прошедшей плоских волн выражаются через коэффициенты отражения и прохождения [24] следующим образом:
