Содержание к диссертации
Введение
Гл. 1. Градуированные супералгебры Ли и параболические подалгебры 8
1. Предварительные сведения 8
2. Градуировки и дифференцирования супералгебр Ли 9
3. Параболические подалгебры 13
Гл. 2. Системы корней и градуировки супералгебр Ли классического типа 18
1. Супералгебры Ли классического типа и их системы корней 18
2. Леммы о максимальном торе четных дифференцирований 24
3. Вычисление максимального тора: случаи супералгебр Ли основного типа и типа А 28
4. Вычисление максимального тора: супералгебры Ли типов Р и Q 32
5. Супералгебры Ли, определенные линейными представлениями редук-тивных алгебр Ли 37
Гл. 3. Параболические подалгебры классических простых супералгебр Ли 40
1. Случай супералгебр Ли основного типа 40
2. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа А 44
3. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа Р 49
4. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа Q 60
5. Параболические подалгебры супералгебр Ли с коммутативной нечетной частью 63
Гл. 4. Параболические подалгебры как стабилизаторы флагов 70
1. Случай полной линейной супералгебры Ли 70
2. Случай супералгебры Ли рп 72
Литература 78
- Градуировки и дифференцирования супералгебр Ли
- Вычисление максимального тора: случаи супералгебр Ли основного типа и типа А
- Параболические подалгебры супералгебр Ли типа А
- Параболические подалгебры супералгебр Ли с коммутативной нечетной частью
Введение к работе
Понятия параболической подгруппы и параболической подалгебры играют большую роль в современной теории комплексных и вещественных групп и алгебр Ли. Эти понятия допускают целый ряд эквивалентных определений. Оставляя в стороне вещественный случай, отметим, что параболической подалгеброй комплексной алгебры Ли 0 обычно называют любую подалгебру р С 0, содержащую некоторую борелевскую (т.е. максимальную разрешимую) подалгебру алгебры д. В частности, р должна содержать радикал алгебры 0, что сразу сводит общую задачу описания параболических подалгебр к случаю, когда д полупроста. В полупростом же случае параболические подалгебры легко описываются в терминах систем корней (см. [1]). Соответствующие им параболические подгруппы полупростой комплексной группы Ли G можно охарактеризовать как стабилизаторы точек при транзитивных голоморфных действиях группы G на проективных алгебраических многообразиях. В частности, параболические подгруппы классических комплексных линейных групп — это стабилизаторы флагов в соответствующем векторном пространстве (или флагов, изотропных относительно инвариантной билинейной формы, заданной в этом пространстве). Следует также отметить тесную связь, существующую между параболическими подалгебрами и Z-градуировками полупростой алгебры Ли — и те, и другие находятся в соответствии с подсистемами системы простых корней этой алгебры [19].
В настоящей работе рассматриваются только конечномерные комплексные супералгебры Ли. Изучение их параболических подалгебр было начато в 80-х годах прошлого века в работах Ю.И. Манина, А.А. Воронова и И.Б. Пенкова (см. [3, 15], а также [11]). В [3, 15] рассматривался случай, когда супералгебра д является классической простой в смысле В.Г. Каца [13] (простой супералгеброй Ли с редуктивной четной частью), причем из рассмотрения исключались супералгебры Ли типов Р и А(п, п). В подражание четному случаю подалгебра р С 0 называлась параболической, если р содержит борелевскую подалгебру супералгебры Ли 0, а последняя определялась в терминах системы простых корней супералгебры Ли 0, введенной в [13]. Было установлено соответствие между параболическими подалгебрами и подсистемами этих систем простых корней, аналогичное известному в четном случае. Там же было дано специальное определение борелевских и параболических подалгебр для простых супералгебр Ли типа Q и эти подалгебры были описаны в терминах систем корней. Для классических линейных комплексных супералгебр Ли (не типов Р(п) и А(п,п)) было доказано, что их параболические подалгебры — это то же, что стабилизаторы флагов (изотропных флагов для супералгебр Ли типов В, С и D или П-симметричных флагов для супералгебр Ли типа Q) в соответствующем векторном суперпространстве.
Здесь мы исходим из другого определения параболической подалгебры су пералгебры Ли g, которое является очень общим и кажется нам более естественным. Оно опирается на понятие Z-градуировки. А именно с каждой Z-градуировкой g = (J)fcezfife связана подалгебра р = фя. 0д супералгебры Ли д. Такие подалгебры и называются параболическими. Доказывается, что для простых супералгебр Ли, рассмотренных в работах [3, 15], наше определение эквивалентно определению параболических подалгебр, принятому в этих работах. Мы передоказываем результаты о классификации параболических подалгебр, полученные в [3, 15], а затем получаем аналогичную классификацию параболических подалгебр в супералгебрах Ли типов Р и А(п,п), которые в этих работах не рассматривались (некоторую информацию о боре-левских подалгебрах в супералгебрах Ли типа Р можно найти в [11]). Такая классификация проводится также для классических супералгебр Ли, близких к простым, например, для полных линейных супералгебр Ли. Заметим, что Z-градуировки простых комплексных супералгебр Ли были описаны В.Г. Кацем в [14], но связь этих результатов с параболическими подалгебрами в [3, 15] не обсуждается.
Часть результатов общего характера получена в более общей ситуации, когда g — так называемая супералгебра Ли классического типа, т.е. когда ее четная часть gg является редуктивной алгеброй Ли, а ее присоединенное представление на нечетной части gj вполне приводимо. Для этого класса супералгебр Ли предлагаемое нами определение параболической подалгебры кажется естественным (хотя, быть может, слишком широким, как показывают пример 1.5 и теорема 3.3). Кроме классических простых и близких к ним супералгебр Ли, мы рассматриваем супералгебры Ли g классического типа, для которых gj является коммутативным идеалом. Такая супералгебра Ли есть полупрямая сумма g = f 3-pV, определяемая вполне приводимым представлением р редуктивной алгебры Ли f = gg в векторном пространстве V = gj, операция на котором является нулевой. Мы интерпретируем некоторые параболические подалгебры этих супералгебр Ли как стабилизаторы точек при транзитивных действиях на расщешшых комплексных супермногообразиях, редукцией которых служат флаговые многообразия соответствующей редуктивной группы F.
Связь между стабилизаторами флагов и параболическими подалгебрами полной линейной супералгебры Ли при нашем определении совершенно очевидна (см. пример 1.4). Более подробно мы рассматриваем ее в гл. 4, где установлена также связь между параболическими подалгебрами супералгебр Ли типа Р и флагами, изотропными относительно инвариантной нечетной билинейной формы.
Заметим также, что понятие супералгебры Ли классического типа было введено А.Л. Онищиком в [16], где содержится также идея определения параболических подалгебр в такой супералгебре Ли в терминах градуировок, определяемых элементами подалгебры Картана ее четной части. Там же было анонсировано описание соответствующих параболических подалгебр в классических линейных супералгебрах Ли в терминах флагов (развитие этой темы было дано в [4]). Но в общем случае (даже для простых супералгебр Ли) это определение является более узким, чем определение, рассматриваемое в настоящей работе, в котором допускаются градуировки, порожденные внешними дифференцированиями. В работах автора [5, 6] содержатся результаты, касающиеся классификации таких параболических подалгебр в супералгебрах Ли, связанных с неприводимыми линейными представлениями полупростых групп Ли; в настоящую диссертацию эти результаты не включены.
Диссертация состоит из четырех глав. Перейдем к обзору их содержания.
Глава 1 является вводной, в ней излагаются общие понятия, связанные с супералгебрами Ли и их градуировками. Описание градуировок супералгебры Ли g сводится к описанию максимальных торов в линейной алгебраической алгебре Ли Ьщд ее четных дифференцирований. Вводятся понятия системы корней и весового разложения супералгебры Ли g относительно такого максимального тора. Наконец, дается основное для дальнейшего определение параболической подалгебры супералгебры Ли д и параболические подалгебры описываются в терминах максимального тора четных дифференцирований. В частности, каждый регулярный вещественный элемент максимального тора определяет параболическую подалгебру в д, которая называется борелев-ской. Доказывается, что любая параболическая подалгебра супералгебры Ли g содержит некоторую борелевскую подалгебру, и ставится вопрос о справедливости обратного утверждения. Решению этого вопроса для классических простых супералгебр Ли будет посвящена значительная часть главы 3; там же мы увидим, что в общем случае, даже для супералгебр Ли классического типа, ответ на этот вопрос отрицателен (см. примеры 3.1 и 3.2).
Глава 2 начинается с определения супералгебр Ли классического типа. Для такой супералгебры Ли g рассматривается ее традиционное (см. [13]) корневое разложение относительно подалгебры Картана t редуктивной алгебры Ли gg. Определяются камеры Вейля, системы положительных и неразложимых положительных корней, группы Вейля, а также введенные в [17] (в более общей ситуации) "отражения", связанные с нечетными корнями. Затем рассматривается понятие системы простых корней, введенное для классических простых супералгебр Ли В.Г. Кацем [13], и обсуждается его связь с неразложимыми положительными корнями, причем обобщаются некоторые вспомогательные результаты из [3, 15]. Доказывается также ряд лемм, посвященных максимальному тору в алгебраической линейной алгебре Ли Detgg, содержащему подалгебру adt, и, в частности, вопросу о совпадении этих подалгебр. Опираясь на эти леммы, мы вычисляем максимальный тор в fletgg для всех классических простых (и близких к ним) супералгебр Ли д. Результат состоит в том, что ad t либо совпадает с максимальным тором, либо является его подалгеброй коразмерности 1. Тем самым дается описание градуировок для этих супералгебр Ли, данное в случае простых супералгебр Ли (в несколько иных терминах и без подробных доказательств) в работе В.Г. Каца [14] (сводку результатов см. в приложении к [18]). Максимальный тор четных дифференцирований и соответствующая система корней вычисляются также для супералгебр Ли классического типа, связанных с вполне приводимыми линейными представлениями редуктивных алгебр Ли.
Глава 3 содержит основные результаты диссертации, дающие описание параболических подалгебр во всех классических простых и близких к ним супералгебрах Ли. Она начинается с рассмотрения простых супералгебр Ли основного типа, параболические подалгебры в которых были изучены в [3, 15] с другой точки зрения. Здесь доказывается, что в этом случае определения борелевской и параболической подалгебры, данные в этих работах, эквивалентны нашим определениям. Затем подробно изучаются параболические подалгебры в супералгебрах Ли типа А, как простых, так и близких к ним. Затем исследуется случай супералгебр Ли типа Р, который является самым трудным ввиду экзотического характера систем корней, и далее более простой случай супералгебр Ли типа Q. Итоговый результат для классических простых супералгебр Ли g сформулирован в теореме 10; она утверждает, что подалгебра супералгебры Ли д является параболической тогда и только тогда, когда она содержит борелевскую подалгебру, и дает описание параболических подалгебр в терминах системы корней супералгебры Ли д относительно подалгебры Кар-тана в до- В конце главы рассматривается супералгебра Ли д = f $PV, определяемая вполне приводимым представлением р редуктивной алгебры Ли f = до в векторном пространстве V = gj. Указывается конструкция, позволяющая расширить любую параболическую подалгебру ро С f до некоторой параболической подалгебры р С g с четной частью ро- Затем рассматривается случай, когда V — пространство голоморфных сечений однородного векторного расслоения Е . на флаговом многообразии М = Р/Ро, соответствующем паре (f, ро), где (р — вполне приводимое представление группы Ро, ар — индуцированное представление алгебры Ли f. Тогда определено естественное действие супералгебры Ли g на расщепимом комплексном супермногообразии (М, /\ р), соответствующем расслоению Е ,. Доказывается, что если все старшие веса представления р доминантны относительно борелевской подалгебры, противоположной борелевской подалгебре, которая содержится в ро, то это действие транзитивно, а параболическая подалгебра р является стабилизатором точки при этом действии.
Глава 4 посвящена интерпретации параболических подалгебр классических линейных супералгебр Ли в качестве стабилизаторов флагов. Здесь доказывается, что параболические подалгебры полной линейной супералгебры Ли glmin, где т,п 1 и m + п 4, содержащие центр этой супералгебры Ли (в случае т = п это условие выполнено автоматически) — это в точности стабилизаторы флагов в суперпространстве Cm n. В случае т ф п этот результат содержится в [3, 15]. Далее, параболические подалгебры супералгебры Ли р„, где п 2, — это стабилизаторы флагов в суперпространстве Сп п, изотропных относительно соответствующей невырожденной нечетной билинейной формы. Остальные классические линейные супералгебры Ли мы здесь не рассматриваем, так как соответствующие результаты содержатся в [3, 15].
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5, 7, 8].
Нумерация теорем, лемм и т.д. производится в пределах каждой главы, а при ссылках впереди указывается номер главы. Например, теорема 3.5 — это теорема 5 главы 3. При ссылках на теоремы, леммы и т.д., содержащиеся в той же главе, номер главы опускается.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Онищику А.Л. за постоянное внимание и всестороннюю помощь в работе.
Градуировки и дифференцирования супералгебр Ли
В этом параграфе мы рассматриваем конечномерные суперпространства и супералгебры над полем комплексных чисел С. Их Z2-rpaflynpoBaHHbie подпространства и подалгебры будем называть просто подпространствами и подалгебрами и рассматривать как суперпространства и супералгебры с индуцированными Z2-rpaflynpoBKaMH. Кроме того, их Z-градуировки, согласованные с заданными 2г-градуировками, будем называть просто градуировками. Дифференцированием степени s Є Z2 супералгебры А называется линейное преобразование D Є gl(A)s, s = 0,1, обладающее свойством Пространство дифференцирований степени s обозначается через VztsA. Нетрудно доказать, что подпространство ЪгхА — ЪсХоАф ОщА С &1{А) замкнуто относительно операции [, ] или, другими словами, является Z2-rpaflynpoBaHHofi подалгеброй в супералгебре Ли gt(-A). Она называется супералгеброй дифференцирований супералгебры А, а ее элементы — дифференцированиями алгебры А. Пример 2. Пусть g — супералгебра Ли. Каждый элемент ж eg определяет дифференцирование ad ж Є fletg, заданное формулой (adx)t/ = [х, у], х,у eg, причем p(adx) = р(х). Отображение ad : g - Oetg является гомоморфизмом супералгебр Ли. Имеем [S,adx] = adS(x), 6 Є Эегд, x Є g, так что подалгебра adg С 5etg есть идеал. Пусть V — некоторое суперпространство. Тогда с каждой градуировкой V — фгЄ2 Vi можно связать линейное преобразование є Є Ql(V), однозначно определенное условием є(х) = іх, если х Є Vi, і Z. (2) Оно называется градуирующим оператором. Очевидно, є — преобразование, допускающее однородный собственный базис пространства V с целочисленными собственными значениями, причем є четно, т.е. є gt(V)o- Обратно, любой оператор є с этими свойствами является градуирующим оператором для однозначно определенной градуировки суперпространства V, в которой Vi есть собственное подпространство оператора є, отвечающее собственному значению і Є Z. Предложение 1. Градуирующий оператор супералгебры А является четным дифференцированием, т.е. принадлежит DergA Обратно, если А — супералгебра, то любое дифференцирование є VZVQA, допускающее однородный собственный базис и имеющее целочисленные собственные значения, является градуирующим оператором для однозначно определенной градуировки супералгебры А. Доказательство. Если А = фгЄ2 АІ — градуировка и Є ${{A)Q задан формулой (2), то для любых х Є АІ, у Є Aj имеем [х,у] Є АІ+J, откуда Отсюда следует, что є — четное дифференцирование.
Обратно, допустим, что є — четное дифференцирование супералгебры А, удовлетворяющее условиям предложения. Тогда имеем градуировку пространства А собственными подпространствамиЛг, і Є Z оператора є. Докажем, что это градуировка супералгебры. Если х Є АІ, у Є Aj, то Пример 3. Пусть V — градуированное суперпространство и є gI(X )o — соответствующий градуирующий оператор. Тогда ade Є ftetgg V) — это градуирующий оператор для градуировки супералгебры Ли Ql(V), описанной в примере 1 (в случае М = Z). Обозначим через Aut А группу всех автоморфизмов супералгебры А. Очевидно, Aut А — алгебраическая подгруппа в GL(A). Пусть А = фгЄг 4г — градуировка супералгебры Л и а Є Aut А. Тогда разложение А = ф йа( «) также является градуировкой супералгебры А. Легко видеть, что если є — градуирующий оператор для первой градуировки, то вторая градуировка определяется оператором аеа г. Таким образом, описание всех градуировок супералгебры А с точностью до ее автоморфизмов сводится к описанию дифференцирований супералгебры А, свойства которых указаны в предложении 1, с точностью до сопряжения при помощи автоморфизмов этой супералгебры. Следующее понятие играет важную роль в таком описании. Пусть V — некоторое векторное суперпространство. Подалгебра а в алгебре Ли 0l(V)o называется торической, если она коммутативна и любой X Є а допускает однородный собственный базис. Заметим, что в этом случае существует однородный собственный базис суперпространства V, являющийся собственным для всех X а одновременно. Если f) — некоторая подалгебра алгебры Ли g[(V)o, то торическая подалгебра oCf) называется максимальным тором в f), если она не содержится ни в какой большей торической подалгебре, лежащей в f}. Если fj — касательная алгебра некоторой связной алгебраической подгруппы Н группы GL(V) всех четных автоморфизмов суперпространства V, то все максимальные торы в f) сопряжены относительно автоморфизмов алгебры Ли f), имеющих вид (см. [2]). Ясно также, что любой элемент алгебры Ли f), допускающий однородный собственный базис, содержится в некотором максимальном торе этой алгебры Ли. Далее мы будем рассматривать задачу описания градуировок в заданной конечномерной супералгебре Ли g над полем С. Пусть о — максимальный тор в алгебре Ли Oetgg, и пусть о — сопряженное с а векторное пространство. Для любого Л Є О можно рассмотреть подпространство дл С д, заданное формулой дл = {х Є д v(x) = X(v)x для всех v Є о}. Элемент А Є fl называется весом, если дл ф {0}, а дл называется в этом случае весовым подпространством относительно а. Обозначая через Фо множество всех весов, имеем весовое разложение Это разложение записывается также в виде где Ф = Фо \ {0} — множество всех корней, т.е. ненулевых весов. Вес А Є Фо называется четным, если д\ П gg Ф {0} и нечетным, если 0Л П gj ф {0}.
Обозначая через (Фо)б и (Фо)і множества четных и нечетных весов соответственно, имеем, очевидно, Фо = (Фо)б U (Фо)і Из теории алгебраических групп известно также, что система корней Ф порождает векторное пространство а (см. [2]). Далее, известно, что подпространство o(R) = {8 є а а(8) Є R Ve є Ф} является вещественной формой коммутативной алгебры Ли о. Аналогично определим подгруппы Тогда в силу предложения 1 любой є Є tt(Z) определяет градуировку Линейная группа Aut g является алгебраической, a fletgg совпадает с ее касательной алгеброй Ли. В силу сказанного выше любой максимальный тор в ftetgg сопряжен тору о при помощи автоморфизма Int а, порожденного некоторым автоморфизмом а, лежащим в связной компоненте единицы (Autg) группы Aut g. Остановимся подробнее на связи между весовыми разложениями (3), отвечающими различным максимальным торам. Здесь и в дальнейшем мы будем использовать следующее обозначение: для любого линейного отображения векторных пространств / : V —» W через /т : W —у V обозначается транспонированное (или сопряженное) отображение сопряженных пространств. Лемма 1. Пусть g — супералгебра Ли, a — максимальный тор в fletgg, я пусть Фо — соответствующая система весов. Для любого a Aut g обозначим через Фо систему весов, соответствующую максимальному тору a = Inta(o) = aaa-1. Тогда Фо = (Inta)T( lo), а соответствующие весовые разложения При этом (Int а)т переводит четные веса в четные, а нечетные — в нечетные. Доказательство. Пусть Л Є Ф. Тогда для любого х Є 0\ имеем Значит, Обозначая 8 = а8а г, мы можем переписать это равенство в виде Таким образом, A = ((Int а)1")-1 (А) Є Фо и а(х) Є gA, т.е. (ЫЙ)Т)_1(Ф0) С Фо и а(д\) С Вд. Легко видеть, что эти включения являются равенствами. Следствие. При фиксированном максимальном торе а С Щд любая градуировка супералгебры Ли g переводится в градуировку вида (5) некоторым автоморфизмом из (Autg). Пусть g = ke%gk — градуированная супералгебра Ли над полем С. Тогда ясно, что — подалгебра алгебры д, градуированная относительно обеих градуировок последней. Подалгебра р называется параболической подалгеброй супералгебры Ли д, отвечающей заданной Z-градуировке. Мы часто будем обозначать ее через р(8), где 8 — градуирующий оператор, отвечающий этой градуировке. Очевидно, заданная градуировка супералгебры Ли g определяет градуировку алгебры Ли gg подпространствами gg Cigk, k Є Z. Из (6) следует, что Отсюда видно, что рб — параболическая подалгебра в до, если р — параболическая подалгебра в д. Как известно, параболические подалгебры классических комплексных линейных алгебр Ли, обычно определяемые совершенно иначе, тесно связаны с флагами в соответствующих векторных пространствах. Следующий пример показывает, что такая связь существует и для супералгебр Ли, если следовать данному выше определению (подробности см. в гл. 4).
Вычисление максимального тора: случаи супералгебр Ли основного типа и типа А
В этом и следующем параграфах мы вычислим максимальный тор о в Z etg g для классических простых супералгебр Ли и некоторых близких к ним супералгебр Ли классического типа. Сохраняя обозначения 2, мы обычно будем предполагать, что а Э adt, где t — подалгебра Картана в gg. Результат вычисления состоит в том, что в рассмотренных случаях о совпадает с подтором adt или содержит adt в качестве подпространства коразмерности 1. Заметим, что для простых супералгебр Ли это можно вывести также из описания их дифференцирований, данного без доказательства в [13], предложение 5.12, и из описания их градуировок, данного в [14] (также без подробных доказательств). Обзор результатов см. также в [18]. Мы будем использовать классификацию и описание простых супералгебр Ли и их систем корней, данные в [13]. Здесь мы рассмотрим случай, когда g — простая супералгебра Ли основного типа (см. 1), а также случай супералгебр Ли, близких к полной линейной супералгебре Ли gtmi„. Теорема 1. Для любой простой супералгебры Ли g основного типа алгебра ad t t является максимальным тором в uetgg, причем любой максимальный тор имеет такой вид. Доказательство. Из свойств системы простых корней П простой супералгебры Ли основного типа (см. 1) ясно, что она удовлетворяет условиям леммы 6. Поэтому теорема вытекает из этой леммы. Теперь мы рассмотрим задачу вычисления максимального тора внутренних дифференцирований для супералгебр Ли, близких к полной линейной супералгебре Ли (см. пример 1.1). Дадим описание этих супералгебр Ли и введем для них обозначения, которые используются на протяжении всей работы. Мы будем предполагать, что т,п 1 и (т,п) ф (1,1). Подалгебра gg — gtm(C) ф g(„(C) задается условиями В = 0, С = 0, a gj — условиями А = 0, D — 0. Представление adj алгебры Ли gg в gj имеет вид р\ р\ + р\ рг, где р\, pi — стандартные представления алгебр Ли glm(C) и gt„(C) соответственно, причем первая компонента реализуется в подпространстве {С = 0}, а вторая — в подпространстве {В = 0} пространства gj. В качестве подалгебры Картана t С gg выберем подпространство всех диагональных матриц diag (хі,..., хт, у\,... , уп). Соответствующая система корней Д = AQ U АЇ задается формулами В 0 = S m\n имеется идеал д = slm\n = [0,0], выделяемый условием strX = tr A — ti D = 0. Подалгебра t = t П slm\n является подалгеброй Картана в (slm\n)o; соответствующая система корней состоит из ограничений корней (8) на t . Супералгебра Ли s\m\n является простой тогда и только тогда, когда m ф п. и обозначим через р : 0 — 0 естественный гомоморфизм.
Поскольку з С 0о, мы находимся здесь в ситуации, описанной перед леммой 8, 2. В частности, (р0Ітп)ї естественно отождествляется с (0Ітп)і- Подалгебра t = t/з является подалгеброй Картана в (p0tmira)o. Если отождествить с помощью рт подалгебру t с подпространством в t , состоящим из линейных форм, равных 0 на з, то соответствующие системы корней супералгебр Ли glm\n и p0(mn отождествятся между собой (см. п. 2) леммы 8). Если m ф п, то з П stmn = 0, откуда При m — n имеем з С slnn, и можно рассмотреть супералгебру Ли Она проста, если п 2, причем psln\n = [р0(піп,р0І„іп]. Здесь снова применима лемма 8, и в качестве подалгебры Картана в 0 можно взять t = t /з Супералгебры Ли 0tmra, slm\n, р0(ши, ps „n мы будем называть супералгебрами Ли типа А. Следующее предложение дает описание всех подсистем неразложимых положительных корней в системе корней А, заданной формулами (8). Предложение 4. Любая подсистема неразложимых положительных корней П С А супералгебры Ли д = 0lmin, m,n 1, линейно независима, причем П = m + n — 1. Существуют такой элемент w Є W группы Вейля W алгебры Ли 0б и такие последовательности целых чисел 1 «і 52 ... m и 1 ti t2 ... п, что или Доказательство. Очевидно, система Д совпадает с системой корней алгебры Ли glm+n относительно подалгебры Картана і. Отсюда следует первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим некоторый элемент Его регулярность равносильна тому, что все вещественные числа сц и bj различны между собой. Применяя подходящий элемент группы W, мы можем добиться того, чтобы выполнялись неравенства Тогда существуют такие последовательности целых чисел 1 si S2 ... m и 1 f і t-i ... n, что ai ... aSl bi ... btl aSl+i ... aS2 btl+i ... или bi ... btl a\ ... aSl btl+i ... bh aSl+i ... . Очевидно, соответствующая подсистема неразложимых корней П С Д-)-(хо) имеет вид (10) или (11) соответственно. Теорема 1 применима, в частности, к простым супералгебрам Ли д = s(mn, где т,п 1ит/я. Таким образом, adt t = tC\slm\n есть максимальный тор четных дифференцирований для slm\n при этих предположениях. Опираясь на этот результат, мы найдем теперь максимальный тор четных дифференцирований и соответствующую систему корней для д = $т\п, т,п 1, т ф п. Используя разложение (9), мы можем отождествить супералгебру Ли д1 с 0 = g/bi причем гомоморфизм р отождествится с оператором проектирования д -» д , соответствующим (9). Поскольку t = $ (В t , подалгебра Картана t отождествится с t = p(t). Обозначим через ( оператор проектирования д —» з? соответствующий разложению (9). Легко видеть, что соответствующая подалгебра Do (см. (б)) совпадает с (80). Пусть о Э adt — максимальный тор в ftetgg. В силу теоремы 1 к нашей ситуации применимо следствие из леммы 7, из которого вытекает, что ОС (So) + adt. Ясно, что So — диагонализируемый оператор, причем [50, ad t] = ad So(t) = 0 для всех t 1 Кроме того, So $ adt = adt . Отсюда и из максимальности тора о вытекает прямое разложение
Параболические подалгебры супералгебр Ли типа А
Этот параграф посвящен описанию параболических подалгебр супералгебр Ли, близких к полной линейной супералгебре gimin. Описание этих супералгебр Ли, а также максимальных торов их четных дифференцирований см. в 2.3, обозначениями которого мы будем пользоваться. Пусть сначала т ф п. Супералгебры Ли 5Іт\п са р0Ітіп, т ф п, т, п 1, относятся к основному типу, и их параболические подалгебры описываются теоремой 1. При изучении параболических подалгебр вд = $т\пі т Ф п, т,п 1, мы будем использовать прямое разложение (см. (2.9)) где з = з(б)5 в = m\ni I — подалгебра Картана в 0, состоящая из всех диагональных матриц, a t = t Г) gf — подалгебра Картана в д . Через Д обозначается система корней (2.8), причем эти корни отождествляются со своими ограничениями на t . Теорема 3. Если р — параболическая подалгебра вд , то р и р = з Ф р являются параболическими подалгебрами в д, причем все параболические подалгебры в g описываются таким способом. Подалгебра супералгебры Ли g является параболической тогда и только тогда, когда она содержит борелевскую подалгебру. Доказательство. Согласно теореме 2.2, максимальный тор а в 5eto0 имеет вид (2.12) и естественно отождествляется с (60) ф t . Упрощая обозначения, отождествим корень а Є А с соответствующим корнем а относительно а, полученным продолжением корня а нулем на 8Q. Тогда по теореме 2.2 система корней относительно о имеет вид Ф = Д U {«о}, где «о задается формулой (2.14). Записывая произвольный 8 Є o(R) в виде 8 = с8о + ad ж, где с Є К, х Є t (R), легко выводим из разложения (2.15), что соответствующая параболическая подалгебра р(5) С g имеет следующий вид: В силу теоремы 1 подалгебра является параболической в $ , а из (10) следует, что р(8) совпадает либо с р , либо с з Ф р - Далее, по той же теореме любая параболическая подалгебра р С 0 , содержащая t , имеет вид (11) для некоторого х Є t (R). Тогда ясно, что р(8) = р , если 8 = —8о + ad ж, и р(8) = $ ф р , если 8 = adx. Тем самым первое утверждение теоремы доказано. Для доказательства второго утверждения заметим, что элемент S = с8$ + ad х регулярен тогда и только тогда, когда с Оиж Є t (R) регулярен в д . Соответствующая борелевская подалгебра Ъ = р(8) совпадает либо с борелевской подалгеброй Ь = 1 ффо,(х) 00а, либо сзЬ . Если подалгебра р С 0 содержит Ь, то она инвариантна относительно adt, откуда р = (р П t) ф Фс ел9а гДе Л С А содержит А_).(а;). Кроме того, t С р, так что р П t совпадает либо с t , либо с t. В первом случае р — параболическая подалгебра вд в силу теоремы 1, а во втором случае она является прямой суммой такой подалгебры и центра 3- В силу доказанного выше в обоих случаях р — параболическая подалгебра В0. П
Теперь мы опишем параболические подалгебры супералгебр Ли, близких к 9 п\п- п — 2? которые не изучались в работах [3, 15]. В этом случае разложение (2.9) не имеет места, и поэтому связь между параболическими подалгебрами супералгебр Ли 0Іп\п и pgUn выглядит иначе, чем в случае m = п (см. теорему 3). Докажем сначала общую лемму, тесно связанную с леммой 2.8. Пусть д — супералгебра Ли классического типа, 0 = g/з, где з = 3(fl)o И Р 9 9 — естественный гомоморфизм. Пусть также t — подалгебра Картана в gg и t = і/З — соответствующая подалгебра Картана в 0Q. Согласно утверждению 2) леммы 2.8, рт : Ї —f t биективно отображает друг на друга соответствующие системы корней А и Д, а корневые разложения имеют вид Лемма 3. Предположим, что adt — максимальный тор в OetQ0 и что з С [б, д]. Тогда 1) Для любой параболической подалгебры р С 0 подалгебра р = р-1 (р) является параболической в д, причем все параболические подалгебры в g получаются таким способом. При этом борелевские подалгебры в g и g соответствуют друг другу. 2) Если в супералгебре Ли g любая подалгебра, содержащая борелевскую, является параболической относительно того же максимального тора, то этим свойством обладает и д. Доказательство. 1) В силу следствия леммы 2.8 при наших предположениях adt является максимальным тором в Ъгх д, так что оба разложения (12) — это корневые разложения относительно максимальных торов. Любая параболическая подалгебра р С 0 содержит некоторый максимальный тор t и имеет вид где у t(R) и А = {/? Є А /%) 0}. Очевидно, где Л = р1(А) = {а Є А а(ж) 0} и ж Є t(R) — любая фиксированная точка, такая что р(х) = j/. Значит, р 1(р(у)) = р(ж) — параболическая подалгебра. Отсюда же видно, что для любой параболической подалгебры р = р(х) С 0, где х Є і(К), имеем р = р 1(р(у))і где у = р(х) и р(у) — параболическая подалгебра в 0. Утверждение о борелевских подалгебрах следует из того, что регулярность точки х Є t(R) равносильна регулярности точки р(х). 2) Если подалгебра р С 0 содержит подалгебру Ь, борелевскую относительно і, то по доказанному выше р(р) содержит подалгебру р(Ь), борелевскую относительно t, и является параболической относительно t в силу нашего предположения. Поэтому подалгебра р 1(р{р)) — параболическая относительно і. Но з С Ь С р, откуда следует, что р 1{р{р)) = р. Как уже было отмечено при доказательстве теоремы 2.3, п. 1), супералгебры Ли fllnn и pgtnjn при п 2 удовлетворяют условиям леммы 2.8 и ее следствия. В частности, ad t и ad t соответственно являются максимальными торами их четных дифференцирований. Мы будем для простоты отождествлять при помощи рт систему корней Д супералгебры Ли gln\n относительно подалгебры диагональных матриц t (см. (2.8)) с системой корней супералгебры Ли pj[„in относительно і = t/з Теорема 4. Подалгебра, р супералгебры Ли gln\n или pg(ni„, п 2, является параболической тогда и только тогда, когда она содержит некоторую подал-гебру Ь, борелевскую относительно того же максимального тора. При этом р имеет вид (8), где J С П, а П С Д — подсистема неразложимых корней в соответствующей системе положительных корней. Тем самым получается биекция между параболическими подалгебрами, содержащими Ь, и подмножествами I С П.
Для любой подалгебры р С P0tnin параболической относительно ad і, подалгебра р = р_1(р) является параболической в 0t„in относительно adt, и это соответствие между параболическими подалгебрами в pgln\n и glnin биективно. Доказательство. Рассмотрим сначала супералгебру Ли g = p0tnin. Как было отмечено в доказательстве теоремы 2.3, п. 1, она удовлетворяет условиям теоремы 1. Поэтому наше утверждение для g непосредственно следует из этой теоремы. Далее, к g = gtnn ид = р0Іпп применима лемма 3, из которой следует биективность соответствия р і- р = р_1(р) между параболическими подалгебрами этих супералгебр Ли. В силу той же леммы любая подалгебра р С 0, содержащая борелевскую, является параболической относительно того же максимального тора и имеет вид (8). Остается рассмотреть супералгебры Ли sln\n и psln\n. В силу теоремы 2.3, п. 2), при п 2 ограничения дифференцирований из adt и adt составляют максимальные торы о и о четных дифференцирований супералгебр Ли д = sin\n и д = pslnin, соответственно, причем при п 3 это единственные максимальные торы, содержащие adt и adt . Докажем еще одну общую лемму, связанную на этот раз с леммой 2.7. Пусть g — супералгебра Ли классического типа. Предположим, что задан идеал д С 0, такой что д = д + з(Яо)- Как мы уже заметили в 2.2, в этом случае имеется биективное соответствие между подалгебрами Картана t С до и t С 0Q, сопоставляющее подалгебре t подалгебру t = і + з(дб)? а подалгебре t — подалгебру t = t П g . Лемма 4. В описанной выше ситуации предположим, что go = t, д 0 = t и что ad t и о = {ad t \ д \ t Є і} — максимальные торы в 5etQ0 и Ьщд соответственно. Для любой подалгебры р С д, параболической относительно ad t, подалгебра р = р П д является параболической относительно а в д . Обратно, любая подалгебра, р С д , параболическая относительно а, имеет вид р = pf)g , где р = р + з(до) — параболическая относительно adt подалгебра в д. Дри этом подалгебры в д ид , борелевские относительно adt и о, соответствуют друг другу. Если в супералгебре Ли д любая подалгебра, содержащая боре-левскую, является параболической относительно того же максимального тора, то тем же свойством обладает и д . Если при этом о является единственным максимальным тором, содержащим adt , то любая параболическая подалгебра р С д имеет вид р = р П д , где р = р + з(де) — параболическая подалгебра в д. Доказательство. Обозначим через А систему корней супералгебры Ли д относительно t. Тогда А является также системой корней супералгебры Ли д относительно о, соответствующие корневые подпространства супералгебр Ли g и д совпадают, и их весовые разложения относительно adt и а соответственно имеют следующий вид:
Параболические подалгебры супералгебр Ли с коммутативной нечетной частью
Здесь будет рассмотрен один класс параболических подалгебр в супералгебрах Ли классического типа, связанных с линейными представлениями ре-дуктивных алгебр Ли. Мы будем пользоваться обозначениями 2.5, в котором были описаны градуировки и корни этих супералгебр Ли. Затем построенные параболические подалгебры будут интерпретированы как стабилизаторы точек при транзитивном действии супералгебр Ли на расщепимых супермногообразиях, связанных с флаговыми многообразиями. Пусть, как и в 2.5, f — редуктивная комплексная алгебра Ли, р : f — Ql(V) — вполне приводимое представление. Предполагается, что р является точным на центре 3(f). Рассматривается супералгебра Лид = f ФРУ с йг-градуировкой 06 = f, 0Ї = У Выберем в f некоторую подалгебру Картана t и положим ts = tfl fs, где fa = [f, f]. Пусть A — система корней алгебры Ли f относи тельно t, А+ — некоторая система положительных корней в До, П С А- — система неразложимых (простых) корней, Д_ = — Д+ — система отрицатель ных корней. С каждым подмножеством / С П можно связать параболическую подалгебру алгебры Ли f, содержащую борелевскую подалгебру Подалгебра ро соответствует градуировке алгебры Ли f, которая определяется точкой XQ Є ts(R), заданной уравнениями Иначе говоря, Так как представление р вполне приводимо, то р = р% + + рп, где pi — неприводимые представления алгебры Ли f. Пусть V = ф -ц Vj — со ответствующее разложение пространства V в сумму инвариантных подпро странств. Обозначим через Фр С t(R) систему весов представления р. Тогда Фр = ФР1 U U ФРтг, где Фр,- — система весов представления pi. Имеем весовое разложение которое получается из весовых разложений Пусть АІ — старший (относительно Д+) вес представления pi. Как известно, любой вес Л Є ФРі имеет вид Обозначим через Фо множество всех весов Л Є Ф, имеющих вид (36), где г {1,... ,п} и все 7fe Є /, а через Фі — множество всех весов Л Є Ф, имеющих вид (36), где і Є {1,..., п} и 7fe Є П \ / для некоторого к. Пусть Тогда, очевидно, имеем r-инвариантное разложение V = U ф W. Более того, подпространство W является ро-инвариантным, так что — подалгебра в д. Теорема 11. Подалгебра р С g является параболической. Доказательство. Согласно теореме 2.7, в качестве максимального тора в алгебре Ли fletgg можно взять где дифференцирования а, і = 1,... , п, заданы формулой (2.26). Рассмотрим дифференцирование где СІ Є R, а жо Є ts(R) — точка, заданная формулой (34), и подберем СІ так, чтобы р = р(8) (см. (1.9)). Очевидно, 5 совпадает с ada;o на f. Далее, если А Є Фо П Фр,, то в силу (34) имеем Если же А Є Фі П Фр;, то где т(А) 1 — число корней 7fe Є П \ / в разложении (36). Если положить d = —Лі(жо) — 1, ТО будем ИМеТЬ Л,-(:Со) + Сі О И Лі(ж0) + СГ(А) + Cj О для всех і = 1,... , п и А Є Фі П ФРі..
Учитывая (35), видим, что р = р(). Дадим теперь геометрическую интерпретацию построенных выше параболических подалгебр в терминах действий на супермногообразиях. Определим сначала некоторые необходимые понятия (подробности см. в [10]). Пусть (М, О) — комплексное аналитическое супермногообразие, Т = Ver О — его касательный пучок и v(M, О) = Т(М, Т) — супералгебра Ли голо морфных векторных полей на (М, О)., снабженная градуированной скобкой Ли. Фиксируем точку х Є М и обозначим через тх максимальный идеал локаль ной супералгебры Ох. Векторное суперпространство ТХ(М,О) = (тх/тх) называется касательным пространством к (М,0) в точке х. Любое диффе ренцирование 8 Є Тх = VtvOx удовлетворяет условию 8(тх) С тх и потому определяет линейное отображение 6 : тх/т2х — Ох/тх = С. Это позволяет определить четное линейное отображение evx : t)(M, О) — Тх(М, О) формулой eyx(v) — vx. Касательный вектор evx(v) называется значением векторного поля v Є t (M, О) в точке х. Пусть 0 — комплексная супералгебра Ли. Действием супералгебры Ли g на супермногообразии (М, О) называется любой гомоморфизм ф : g -4 о(М, О). Для любой х Є М подмножество дх = Ker (ev оф) С g является подалгеброй, которая называется стабилизатором действия ф в точке х. Действие ф называется транзитивным, если отображение ev оф : д — ТХ(М, О) сюръективно для всех ж Є М. Рассмотрим случай, когда супермногообразие (М, С) расщепимо, т.е. определяется некоторым векторным расслоением. Пусть Е — М — голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием М, и пусть Є — пучок его голоморфных сечений. Как известно, S — локально свобод ный пучок модулей над пучком Т голоморфных функций на М, и мы мо жем рассмотреть пучок Z-градуированных супералгебр О — Д S. Послед ний является структурным пучком некоторого супермногообразия (М, О); та кие супермногообразия называются расщепимыми. Если (М, О) расщепимо, то Z-градуировка в О естественно определяет (см. пример 1.1) некоторую Z-градуировку Т = ф„ _! Тр касательного пучка и соответствующую Z градуировку о(М, О) = фр _1 о(М, 0)р супералгебры векторных полей, пре вращающую ее в градуированную супералгебру Ли. Далее, естественное вло жение Т — О порождает гомоморфизм пучков алгебр Ли р : % — 0, где 0 = Т ег Т — касательный пучок на М. Этот гомоморфизм определяет (для любой точки х М) изоморфизм касательного пространства ТХ(М) на чет ную часть ТХ(М, 0)Q суперпространства ТХ(М, С), а также гомоморфизм ал гебр Ли р : t)(M, О)о — Х){М) = Г(М, 0). Наконец, имеется естественный изоморфизм пучков j : - T i , это продолжение любой линейной формы на S до дифференцирования степени —1 пучка О. Этот изоморфизм определяет изоморфизмы Е — ТХ(М, 0)i, х Є М, где Ех — слой расслоения Е в точке ж, а также изоморфизм пространства Г(Е ) голоморфных сечений двойственного расслоения Е на о(М,0)-\. Далее мы отождествляем ТХ(М) с ТХ(М,0)Q, Е с Тх(М,0)і и Г(Е ) с о(М, 0)-\ с помощью изоморфизмов, порожденных р и j. Заметим также, что для любой точки х Є М имеем t)(M, 0)р С Kerev для всех р 1 и что при наших соглашениях evx : t)(M, О)-г — ТХ(М, 0)\ отожде ствляется с отображением evx : Г(Е ) Е , которое сопоставляет сечению
