Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 2
2 Обзор многомерных полных полей и топологических К-групп Милнора 6
2.1 Многомерные полные поля 6
2.2 Топология Паршина на многомерном полном поле 9
2.3 Топология Паршина на мультипликативной группе 12
2.4 Топологические К-группы Милнора 15
3 Обобщенный символ Гильберта и явное спаривание Востокова 16
3.1 Функция Артина-Хассе и модуль кривых Картье 17
3.2 Примарные элементы 18
3.3 Обобщенный символ Гильберта 20
3.4 Явное спаривание Востокова 21
4 Вспомогательные утверждения 24
5 Обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы в случае смешанной характеристики 31
5.1 Многомерный аналог кругового поля в случае смешанной характеристики 31
5.2 Обобщенный след 32
5.3 Обобщенные формулы Артина-Хассе в случае смешанной характеристики 33
5.4 Многомерная логарифмическая производная 39
5.5 Обобщенная формула Ивасавы в случае смешанной характеристики 46
6 Обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы в случае сЬаг(ЛГ) = char(X) = 0 57
6.1 Обобщенные формулы Артина-Хассе 57
6.2 Обобщенная формула Ивасавы 59
Выводы
- Топология Паршина на многомерном полном поле
- Обобщенный символ Гильберта
- Обобщенный след
- Обобщенная формула Ивасавы в случае смешанной характеристики
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена выводу явных формул типа Артина-Хассе для обобщенного символа Гильберта и изучению их связи с явными формулами куммерова типа. Исторически сложилось два относительно независимых подхода к задаче нахождения явного вида спаривания Гильберта. Первый из них восходит к работе Э. Артина и Г. Хассе [15] (1928), в которой выведены явные формулы, дающие ответ в определенных частных случаях в терминах следа некоторого элемента. Позднее этот подход был развит в работах К. Ивасавы [21] (1968) в круговом случае и Ш.Сена [25] (1980) в общем случае. Мы называем явные законы взаимности, полученные в этом направлении, формулами типа Артина-Хассе. Другой подход был впервые предложен И. Р. Шафаревичем в [14] (1950). Окончательные явные формулы для классического символа Гильберта в этом направлении были независимо получены СВ. Востоковым в [3] (1978) и Г. Брюкнером в [16], [17] (1979). Явные законы взаимности этого типа выражают символ через вычет некоторого степенного ряда. Мы условно называем их формулами куммерова типа, так как в одном частном случае их вид аналогичен виду формулы, полученной Кумме-ром в XIX веке. Надо отметить, что формулы этих двух типов имеют разные области приложения. Так, формулы Брюкнера-Востокова хорошо применимы в явных конструкциях локальной теории полей классов и /Г-групп Мил нора локальных полей, в то время как формулы в стиле Артина-Хассе удобно использовать в вопросах, связанных с норменными отображениями. Связь между двумя данными подходами к явным формулам долгое время оставалась неясной. Лишь в 1994 г. П. Кельче в своей диссертационной работе [23] вывел для классического символа Гильберта на круговом расширении Qp из формулы Брюкнера-Востокова формулу смешанного типа, из которой следуют классические законы взаимности Артина-Хассе и Ивасавы.
В конце семидесятых А. Н. Паршин и К. Като независимо начали изучение многомерных локальных полей, которые представляют собой естественное обобщение классических локальных полей. В работе А. Н. Паршина [12] в равнохарактеристическом случае и в работах К. Като [22] в общем случае была развита высшая локальная теория полей классов и, в частности, построено локальное отображение взаимности для многомерных локальных полей. С помощью этого отображения взаимности естественно определяется обобщенный символ Гильберта. В [4] (1985) СВ. Востоковым была решена задача явного вычисления данного спаривания. В этой работе СВ. Востоков строит явное спаривание между топологической /("-группой Милнора и мультипликативной группой мно-
гомерного локального поля смешанной характеристики при р ф 2 (где р - характеристики последнего поля вычетов, которое предполагается конечным) и доказывает, что оно совпадает с символом Гильберта, тем самым давая для него явную формулу куммерова типа. В [24] (1998) М. Курихара вывел многомерную формулу типа Артина-Хассе для спаривания Гильберта в случае многомерного локального поля смешанной характеристики (последнее поле вычетов которого предполагается конечным), которая обобщает явную формулу Сена.
Следующим шагом в развитии локальной теории полей классов стал естественный переход от изучения многомерных локальных полей, имеющих конечное последнее поле вычетов, к рассмотрению многомерных полных полей, последнее поле вычетов которых предполагается совершенным простой характеристики. Используя метод Нойкирха, И. Б. Фе-сенко в работе [18] построил высшую локальную теорию полей р-классов, которая описывает абелевы вполне разветвленные р-расширения многомерного полного поля с совершенным последним полем вычетов характеристики р, которое дополнительно предполагается не алгебраически р-замкнутым. С помощью локального отображения взаимности, построенного в этой теории, И. Б. Фесенко определил обобщенный символ Гильберта для многомерных полных полей нулевой характеристики в наиболее общем случае. Задача его явного вычисления была решена СВ. Востоковым, который построил явное спаривание на топологических /f-группах Милнора многомерных полных полей в работах [5], [6] (1995) для р ф 2 и в [6] показал, что оно совпадает с символом Гильберта. Случай р = 2 рассмотрен в [1] (2001).
В настоящей диссертации рассматривается обобщенный символ Гильберта, определение которого дано в теории Фесенко, в случае кругового расширения стандартного абсолютно неразветвленного n-мерного полного поля с совершенным последним полем вычетов характеристики р, которое предполагается не алгебраически р-замкнутым. В этом случае при р ф 2 мы выводим из явной формулы Востокова, доказанной в [б], обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы. Данный метод проясняет связь между двумя типами явных законов взаимности. Формулы, полученные в настоящей диссертации, могут найти интересные применения, в частности, в вопросах, связанных с норменными отображениями в наиболее общем случае многомерных полных полей.
В разделе 2 мы представляем обзор основных определений и фактов, связанных с многомерными полными полями и топологическими /^-группами Милнора. Обозначения, введенные в разделе 2, используются на протяжении всей диссертации без каких-либо дополнительных ссылок. Мы напоминаем определение топологии Паршина на многомер-
ном полном поле и его мультипликативной группе и формулируем основные свойства этой топологии. В частности, мы обсуждаем аддитивные и мультипликативные разложения элементов многомерного полного поля относительно топологии Паршина. В параграфе 2.3 мы доказываем лемму, которая утверждает, что логарифм секвенциально непрерывен относительно топологии Паршина. Этот факт применяется в доказательстве главных результатов диссертации в разделе 5. В параграфе 2.4 мы напоминаем определение канонической топологии на ^"-группе Милнора многомерного полного поля, которая впервые была введена А. Н. Паршиным в равнохарактеристическом случае. С помощью этой топологии мы даем определение топологических К-групп Милнора и формулируем ряд результатов о них, которые будут использованы ниже при выводе обобщенных формул Артина-Хассе и Ивасавы в случае смешанной характеристики.
Топология Паршина на многомерном полном поле
Как полное дискретно нормированное поле многомерное полное поле снабжено топологией дискретного нормирования, но эта топология не учитывает топологии полей вычетов и потому не подходит нам во многих вопросах. Соответствующая многомерная топология впервые была построена А. Н. Паршиным в работе [12] в равнохарактеристическом случае. В общем случае топология Паршина на многомерном полном поле была построена в [8]. Кратко напомним, как строится данная топология, и ее основные свойства. Топология Паршина определяется индукцией по размерности многомерного полного поля К. Последнее поле вычетов снабжено дискретной топологией. Чтобы получить топологию на К, применим следующие конструкции. (1) Пусть К = K n l\{t)). Предположим, что топология на К п уже определена. Пусть {?7,}iez - семейство окрестностей нуля в К , таких, что Ui = jf(n_1) при достаточно больших г. Обозначим /{[/ } = { Сї -оо аіїг \ a,i .Ui}. Тогда все множества U{Ui] образуют базу окрестностей нуля в топологии Паршина на К. Эта конструкция позволяет нам определить топологию на многомерном полном поле в равнохарактеристическом случае. (2) Пусть К смешанной характеристики. Предположим, что топология на К(п ) уже определена с помощью конструкции (1). Если мы зафиксируем систему локальных параметров t\, ..., tn є К, можно построить канонический подъем т.е. для всякого а Є К п вычет h(a) в A"(n_1) равен а (этот подъем зависит от выбора t\, ..., „_i при п 1). Относительно построения канонического подъема, которое достаточно трудоемко, мы отсылаем читателя к [8] и [26]. Для последовательности окрестностей нуля {C/j}iez таких, что Ui = К(п при достаточно больших г, определим U{Uii — {/Ci -oo Ma ) n I » є ЭД}- Семейство всех U{Ui) берется в качестве базы окрестностей нуля К. Можно показать, что эта топология корректно определена. Допустим, спаг(А") = char(/f(e ) = 0 и К смешанной характеристики, где 1 5 п — 1. Применим конструкцию (2), чтобы определить топологию на К \ Так как К — K "\(ts+i)) ...(( „)), мы можем определить топологию на К с помощью конструкции (1). Заметим, что эта топология зависит от выбора вложений К в 0К(І+\) для s і К, п — 1. Теперь сформулируем основные свойства топологии Паршина. Предлоясение 2.1. Пусть К - многомерное полное поле, снабокенное топологией Паршина. Тогда 1) Всякое множество U{Ui) (см. определения в конструкциях (1) и (2)) содержит в качестве подмножества U{u .}, которое является подгруппой аддитивной группы поля К. Таким образом, К является топологической группой. Эта группа полна и отделима. 2) При п 1 любая база окрестностей нуля несчетна.
Отсюда следует, что существуют отображения, которые секвенциально непрерывны, но не непрерывны. 3) При п 1 умножение в К не является непрерывным. Тем не менее умножение секвенциально непрерывно. Более того, 4) Умножение на с Є К является гомеоморфизмом К на себя. 5) Топология Паршина слабее топологии дискретного нормирования в следующем смысле. Если а ае топологии дискретного нормирования, то oti — а в топологии Паршина. Доказательство. См. [8, 1] или [26, 1.3.3]. Теперь объясним, в каком смысле топология Паршина на многомерном полном поле учитывает топологии полей вычетов. Каждый элемент полного дискретно нормированного поля может быть представлен в виде ряда Лорана по простому элементу с коэффициентами в образе подъема поля вычетов. Так как в многомерном случае поле вычетов также является полным дискретно нормированным полем, можно продолжить процесс и разложить любой элемент в ряд Лорана по п локальным параметрам с коэффициентами в системе представителей Тейхмюллера последнего поля вычетов. Чтобы сделать этот ряд Лорана сходящимся, мы и ввели топологию Паршина. Теперь точно сформулируем это утверждение. Определение 2.3. Подмножество J С Zn называется допустимым, если для любого 1 К пи любого набора ji+\, ..., ,;"„ существует г = i(ji+i,- ., j„) Є Z такой, что Предложение 2.2. Пусть t\, ..., tn К - система локальных параметров К. Любой элемент а К может быть однозначно (с точностью до нулевых слагаемых) представлен в виде a f = (гі,... ,rn) пробегает допустимое подмножество І в Zn. Любой ряд вида (2.2) сходится в К. Доказательство. См. [8, теорема 1.2] или [26, 1.3.4]. Замечание 2.1. В разнохарактеристическом случае можно рассматривать разложения элементов К в ряды Лорана по локальным параметрам более общего вида. А именно любой элемент а К может быть представлен в виде a f = (J I, ... , rn) пробегает допустимое подмножество / в Zn. Ясно, что такие разложения больше не являются однозначными. Временно предположим, что К - стандартное поле смешанной характер итики, т.е. К = E{{t}}, где Е - (п — 1)-мерное полное поле. Предположим, что топология на Е уже определена. Мы сейчас представим альтернативную конструкцию топологии Паршина на К. Пусть {Vi}iez - семейство окрестностей нуля в Е, удовлетворяющее двум следующим свойствам: (a) существует с Є Z такой, что РЕ{С) С Vi для всех і Є Z; (b) для любого І Є Z выполнено РЕ (І) С V при достаточно больших г. Обозначим V{vt} = {SieZM I k Є Vi}. Тогда все множества У{у{] образуют базу окрестностей нуля в топологии Паршина на К. Замечание 2.2. Для стандартного многомерного полного поля смешан ной характеристики К = k{{t\}} ... {{tn-i}} канонический подъем h — /itj tn_1 (см. (2.1)), который мы применяли в конструкции (2) для опре деления топологии Паршина на К, удовлетворяет следующему свойству: где Of Є К), [ef] Є 9 - представитель Тейхмюллера 9f, a I - допустимое подмножество в Z"-1. 2.3 Топология Паршина на мультипликативной группе В этом параграфе мы кратко напомним определение топологии Паршина на мультипликативной группе многомерного полного поля и ее основные свойства. Пусть К - n-мерное полное поле.
Пусть i, ..., tn є К - система локальных параметров К. Рассмотрим случай, когда К либо характеристики р, либо смешанной характеристики. Легко видеть, что Топология Паршина на К определяется как произведение топологии на VK, индуцированной топологией Паршина на К, и дискретной топологии на (ti) х ... х (tn) х 9t . Эта топология корректно определена. Теперь рассмотрим случай, когда char(JiT) = 0и К смешанной характеристики для 1 в п - 1. Имеем К = K(s\(ta+1))... (( „)). Легко видеть, что где WK = Uк(1,0,... ,0) - подгруппа V/c, которая однозначно делима. Топология Паршина на К определяется как произведение определенной выше топологии на (К ) , тривиальной топологии на WK И дискретной топологии на (ts+i) х ... х (tn). Пересечение всех окрестностей единицы в К равно WK- Эта топология корректно определена. Предложение 2.3. Топология Паршина на К удовлетворяет следующим свойствам: 1) Любая последовательность Коши относительно топологии Паршина на К сходится в 2) Операции секвенциально непрерывны в К , т.е. Доказательство. См. [26, 1.4.2]. Теперь предположим, что К смешанной характеристики. Так как К - полное дискретно нормированное поле характеристики 0 с полем вычетов характеристики р, степенные ряды log(l (этот факт справедлив для полного дискретно нормированного поля с произвольным полем вычетов). Лемма 2.1. Отображение log : UK{1) — Л" сетееек иалъмо непрерывно относительно топологии Паршина на UK(X) и К- Доказательство. Так как log(a;y) = log ж + logy для х, у Є UK(1) И по предложению 2.3, п. 2) умножение секвенциально непрерывно в К , достаточно показать, что если х„ 1 в ІІкіХ), то logx„ — 0 в К. Пусть U - окрестность нуля в К. Согласно предложению 2.1, п. 1), не умаляя общности, можно считать, что U = U{u{} и является открытой подгруппой в К. По определению множества Щщ существует с Є Z такое, что Рк(с) С U. Обозначим х„ = 1 + уп, Уп как открытая подгруппа топологической группы К. С другой стороны, так как по предложению 2.1, п. 3) умножение секвенциально непрерыв но в К, 2?=1(—l)i_11f — 0 при п — со (так как у„ — 0). Поэтому YliLii" 1)і_1 е 7 при достаточно больших п. Следовательно, logа;„ Є t/ при достаточно больших п. Теперь сформулируем два утверждения относительно мультипликативных разложений элементов К . Предложение 2.4. Любой элемент а Є К может, быть разложен в сходящееся произведение: ai, ..., ап eZ, а г = (п,... ,г„) пробегает допустимое подмножество I в Z". Любое произведение вида (2.5) сходится в К . Доказательство. См. [9, теорема 2] или [26, 1.4.3]. Это утверждение означает, что семейство {1 + 0t\l.. . n}ee n может служить системой тополоигческих образующих Vfc. Однако в последующих ниже вычислениях мы будем использовать другую систему топологических образующих VK Обозначим экспоненту Артина-Хассе. Как хорошо известно, (Х) Є ZP[[X]] и {Х) = 1 + X mod X2.
Обобщенный символ Гильберта
Сперва мы определим обобщенный символ Гильберта в частном случае, когда последнее поле вычетов поля К конечно. Высшая локальная теория полей классов К. Като дает непрерывное инъективное отображение взаимности где К - максимальное абелевое расширение К. Обобщенный символ Гильберта определяется как спаривание где а Є К {К), /З Є К . Отметим, что для п = 1 данное спаривание совпадает с классическим символом Гильберта. Обобщенный символ Гильберта удовлетворяет следующим свойствам: 1) линейность по обоим аргументам, т.е. 2) данное спаривание удовлетворяет соотношению Стейнберга, т.е. Теперь перейдем к общему случаю совершенного последнего поля вычетов. Предположив дополнительно, что последнее поле вычетов F не является алгебраически р-замкнутым, т.е. F имеет нетривиальные р-расширения, И. Б. Фесенко построил высшую локальную теорию полей р-классов, которая описывает абелевы вполне разветвленные р-расшире-ния поля К. Детальное изложение можно найти в [18]. Обозначим через К максимальное абелево чисто неразветвленное р-расширение поля К. В рассматриваемом случае эта теория дает отображение взаимности где К - максимальное абелево р-расширение поля К, а элементы группы справа - это непрерывные Zp-гомоморфизмы относительно дискретной топологии на G& K /K). Используя данное отображение взаимности, И. Б. Фесенко определил спаривание Это спаривание линейно по обоим аргументам в том же смысле, что и символ (3.5). Отметим, что хотя мы и обозначаем данное спаривание так же, как и обобщенный символ Гильберта (3.5), определенный в случае конечного последнего поля вычетов, из контекста всегда будет ясно, о каком спаривании идет речь. Эти спаривания связаны естественным образом, а именно сужение спаривания (3.5) на УК (К) х К совпадает со сквозным отображением VK% {K) хГ- пД /v, где изоморфизм х определен равенством (3.4) в следствии 3.2. В этом параграфе мы построим явное спаривание Востокова на топологических / -группах Милнора. Сперва предположим, что К смешанной характеристики. В этом случае предположение р Ф 2 существенно.
Мы будем использовать обозначения, введенные в 3.1 и 3.2. Для а Є о , через 8і(а) обозначим г-ую логарифмическую производную, т.е. где ді х — - fOc - частная производная по Х{. Заметим, что для а, /З Є о , ч справедливо равенство где c i, ..., ап+і Є К , res = resxb...,xn - коэффициент ряда Лорана при одночлене Хї1... X 1, «j, ..., ап+1 Є Зі такие, что дц(Ь, ..., „) = а , 1 і п + 1, ряд 5 определен в (3.1), а ряд Лорана Ф(ах,... ,ап+1) задается формулой В предложении 4.3. работы [5] доказано, что данное спаривание удовлетворяет следующим свойствам: 1) [) ]го корректно определено, т.е. оно не зависит ни от выбора системы локальных параметров ti, ..., tn, ни от выбора разложений ai, ..., a„+i и С в ряды Лорана по локальным параметрам; 2) [,..., ]т мультипликативно по всем аргументам; 3) [,-) ]п» удовлетворяет соотношению Стейнберга, т.е. 4)[,..., ]т секвенциально непрерывно по всем аргументам, если на К введена топология Паршина, а на Оо/(ртаОо + (оо)) _ дискретная топология. Перейдем к случаю, когда сЪа,г(К) = сЬаг(К ), a char(/sr _1 ) = р при 1 s п — 1. Очевидно, К смешанной характеристики. Как известно, К = K ((ta+i))... ((tn)). Поэтому любой элемент может быть однозначно представлен в виде a f = (rs+i,... ,r„) пробегает допустимое подмножество І в Zn_s. Пусть fо Є І - минимальный индекс в І относительно лексикографического порядка на Zn-S. Так как afo однозначно определен выбором локальных параметров s+i, ..., „, мы получаем (неканонический) гомоморфизм Пусть I = {ц,... ,in-a}, 1 іі ... in-s n + 1, - множество индексов. Для ai, ..., ап+і Є К положим где % = (vi,...,vn) - нормирование ранга п на К, соответствующее системе локальных параметров t\, ..., tn. Определим отображение формулой (3.9) для поля смешанной характеристики К а\ Это спаривание удовлетворяет свойствам, аналогичным свойствам 1)-4), сформулированным выше (см. [б, предложение 2.6]). Теперь рассмотрим общий случай разнохарактеристического поля. Спаривание [,..., ]т,к определено формулой (3.9) в случае смешанной характеристики и формулой (3.13) в случае, когда chax(K) = char(.K ). Для 1 I п из сформулированных выше свойств [,..., }т,к следует, что данное спаривание индуцирует спаривание (, )1,1 к на топологических К-группах Милнора такое, что для символов а = {а\,..., ац}, 0 = {/Зі,..., 0п+і-і} справедливо (а, (3)л = ф([аъ ., оси /?ъ , Рп+і-і]т,к), где изоморфизм ф определен по формуле (3.3) в следствии 3.1. Обозначим Данное спаривание называется явным спариванием Востокова. В случае конечного последнего поля вычетов К явное спаривание Востокова (, )т,к определяется как композиция построенного выше спаривания и изоморфизма х, заданного по формуле (3.4) в следствии 3.2.
Теорема 3.1. Для обобщенного символа Гильберта имеет место явная формула Более того, если последнее поле вычетов К конечно, то справедлива явная формула где а Є К%Р(К), 0ЄК . Доказательство. См. [4, теорема 4] или [5, теорема 6.1] в случае много мерного локального поля смешанной характеристики и [6, теорема 4.4] в общем случае. 4 Вспомогательные утверждения В этом параграфе мы рассмотрим ряды Лорана, являющиеся обратными к многочленам от одной переменной Si(X) := (1 — X)pt — 1, 1 г m, и докажем несколько технических лемм относительно их коэффициентов. Положим s(X) := sm(X). Заметим, что ряд s(X) обратим в кольце ZP{{X}}. В самом деле s(X) = -Xrm(l+pf(X 1)), где f{X) Є XZ[X]. Значит, только отрицательные степени X Аналогично Si{X) Є ZP{{X}} при 1 г т — 1. Положим Как и в 2.1, через ко мы обозначаем абсолютно неразветвленное полное дискретно нормированное поле характеристики 0 с совершенным полем вычетов характеристики р. Пусть KQ = fco(C) _ круговое расширение fco. Легко видеть, что Ко/ко - вполне разветвленное расширение степени рт — рт х. Через А := 1 — С обозначим простой элемент поля Ко- При выводе формул типа Артина-Хассе из формул куммерова типа в случае кругового расширения абсолютно неразветвленного поля ключевую роль будет играть следующая лемма о следе. Лемма 4.1. Справедливы формулы Доказательство. Шаг 1. Докажем рекуррентные формулы на коэффициенты ряда l/s(X): При v рт формулы уже доказаны.
Пусть и рт. Учитывая равенство s{X) = 5Zf=1(—1) (р4 )- 1 и определение (4.2), получаем Приравнивая коэффициенты при Хрт и в левой и правой частях равенства (4.6) и производя несложные преобразрвания, получаем требуемое рекуррентное соотношение на dv при и рт. Шаг 2. Из рассмотрения минимального многочлена над fc0 легко получить формулы Шаг 3. Убедимся, что последовательность {т„}„Є2: удовлетворяет рекуррентным соотношениям, аналогичным (4.5). Если мы докажем это, то получим, очевидно, du = rv для всех v Є Z и аналогично с„ = ov для всех i/eZ. Отсюда в силу формул (4.8) будут следовать требуемые формулы (4.4). Для v рт утверждение очевидно. Пусть и рт. Рассмотрим конечные разности Ахт„ :— Д -1г _л- — A -1rv_j_i, где 1 і рт, О 3 Рт — ) и 0-ri/-j := TJ/-J- Пользуясь определением т„, нетрудно убедиться, что С другой стороны, известна формула для рт-ой конечной разности Приравнивая правые части формул (4.9) и (4.10) и учитывая, что рт нечетно, получаем требуемое рекуррентное соотношение Замечание 4.1. Данная лемма принадлежит П. Кельче. Его оригинальное доказательство см. в [23, предложение (3.1)]. Вторым важным техническим средством станет следующая лемма о нормированиях коэффициентов ряда \/s(X). Лемма 4.2. Пусть І Є N, I рт. Пусть N(1) Є N U {0} - наименьшее целое число такое, 4mo2pm+N(l)(pm—pm l) I. Кроме того, положим v(l) := mm{vp(l),m — 1}. Тогда имеет место оценка Доказательство. См. [23, лемма (3.2), с. 33]. Замечание 4.2. Заменяя в лемме 4.2 т на т — 1 при т 2, получаем оценки на нормирования коэффициентов ряда l/sm_i(X). Итак, пусть I pm_1, N (1) Є N U {0} - наименьшее целое число такое, что 2рт 1 + N (l)(pm-1 -рт 2) I. Положим v (l) := min{vp(l),m - 2}. Тогда имеет место оценка При т = 1 имеем sm-i(X) = (1 — X) — 1 = —X. Значит, l/sm_i(X) = —1/Х. Отсюда q = 0 для всех I 1 = pm_1. Тем самым для vp(ci) при I pm_1 справедливы любые оценки снизу. В дальнейшем нам понадобится следующая техническая Лемма 4.3. 1) Пусть а 2рт х ub O. Тогда N(ap + b) 1. Доказательство. Так как iV() монотонно не убывает, не умаляя общности, можно считать, что 6 = 0.
Обобщенный след
С данного момента и до конца этого раздела мы фиксируем следующие обозначения. Пусть F - совершенное поле характеристики р, которое не является алгебраически р-замкнутым, т.е. у F имеются нетривиальные р-расширения. Пусть ко = Quot W(F) обозначает поле частных кольца векторов Витта над F. Тогда Оо = W(F) - его кольцо целых. Тогда к = fco{{ i}} {{ n-i}} стандартное абсолютно неразветвлен-ное n-мерное полное поле смешанной характеристики с последним полем вычетов F. Пусть К = fc() - круговое расширение к. Нетрудно проверить, что К/к - вполне разветвленное расширение полных дискретно нормированных полей степени рт — рт х. Тем самым К наделяется структурой n-мерного полного поля. Это поле К будет играть роль многомерного аналога QP(C) в случае смешанной характеристики. Отметим, что введенные выше обозначения согласуются с обозначениями общего случая n-мерного полного поля К в 2.1. Кроме того, мы будем использовать обозначения разделов 2 и 3 без каких-либо дополнительных ссылок. Обозначим Ко = о(С)) тогда, очевидно, К — Ko{{t\}} ... {{in_i}}. Через А := 1 — С обозначим простой элемент К как дискретно нормированного поля. Фиксируем ti,...,tn-i,tn = А в качестве системы локальных параметров К. Мы также фиксируем разложение в ряд Лорана по данным локальным параметрам (Xi, ,Хп) = 1 — Хп Є П. Следуя предложенному в [24, параграф 4.2] подходу к многомерным явным законам взаимности в случае смешанной характеристики, введем в рассмотрение отображение из n-мерного полного поля К в одномерное поле ко, которое мы будем называть обобщенным следом. Пусть L -полное дискретно нормированное поле. Определим отображение по формуле сщх}}/ь {J2iez aixi) = ао- Так как К = o{{ i}} {{tn-i}}, можно определить ск/Ко как композицию Это отображение удовлетворяет свойствам, сформулированным в следующей лемме. Лемма 5.1. 1) ск/Ко(аа + (ЗЬ) = аск/Ко(а) + (ЗсК/к0(Ъ) дляа,Р Є К0 и а,ЬК. 3) Ук0(ск/к0(а)) VK(O) для а Є К, где VK дискретное нормирование на К. 4) ск/Ко непрерывно относительно топологии Паршина на К и топологии дискретного нормирования на Ко- Доказательство.
Пусть a = СК0{{ І}}...{{ І}}/КЬ{{ І}}-{{ І-І}}» 1 г п- 1. Доказательство свойств 1)-4) для ск/к0 легко сводится к проверке соот ветствующих свойств отображений с,, для которых свойства 1)-3) мгно венно следуют из определения. При проверке свойства 4) для Q доста точно заметить, что K0{{ti}}... {{{}} и A"o{{i}} {{ І-І}} стандарт ные поля смешанной характеристики, и применить альтернативную кон струкцию топологии Паршина в 2.2. Определим обобщенный след как композицию Из свойств следа Тг / и отображения ск/к0 легко следует, что Як/ка - fco-линеен и непрерывен. 5.3 Обобщенные формулы Артина—Хассе в случае смешанной характеристики Теорема 5.1. Пусть а Є ик{рт 1 + 1)- Тогда справедливы обобщенные формулы Артина-Хассе: Замечание 5.1. Для того чтобы выражения в правых частях формул (5.1) и (5.2) были корректно определены, мы должны проверить, что Проверим (5.4). Обозначим через к0/к0 дифференту расширения К0/к0. С помощью критерия дифференты нетрудно показать, что Так как К - полное дискретно нормированное поле характеристики О с полем вычетов характеристики р и его абсолютный индекс ветвления ек = Рт 1(р — 1)5 log и ехр устанавливают взаимно обратные Zp-изоморфизмы между Un{pm x + 1) и Рк{рт 1 + 1)- Поэтому log а Є Рк(рт 1 + 1) Для а Є UK{pm-1 + 1). Отсюда loga Є Рк(рт 1)- Значит, по лемме Утверждение (5.3) проверяется аналогично. Доказательство теоремы 5.1. Докажем (5.2). По теореме 3.1 достаточно убедиться, что для а Є І. В силу свойств явного спаривания Востокова левая часть (5.6) мультипликативна и секвенциально непрерывна по а. Считаем, что группа Qm наделяется фактор-топологией через изоморфизм Qm « Oo/(pmOo+ Р(о)) (см. следствие 3.1). Эта топология, очевидно, дискретна. Правая часть (5.6), очевидно, мультипликативна по а. По лемме 2.1 log : UK(1) — К секвенциально непрерывен. Как было отмечено в 5.2, отображение Як/ko непрерывно. Отсюда мгновенно следует, что правая часть (5.6) секвенциально непрерывна по а. Поэтому достаточно доказать (5.6) для топологических образующих UKIP"1-1 + 1). В качестве системы топологических образующих возьмем семейство {(0 1 .. C-_i1 an)}«eiH,an pm-1+i (см- замечание 2.4). П. Пусть a = (№? ... C-Y Aa"), где в Є 9Я и a„ р"1 1 +1. Вычислим {{a,t\,... ,n_i}, A)m. В качестве разложений элементов a, ti, ..., „_i, А в ряды Лорана по локальным параметрам выберем а(Х\,... ,Хп) = (вХ? ...Х?) = Е(вХ? ... X?), так как в «К, Ъ(Хи ..., Хп) = Хи 1 і п — 1 и А(Хі,..., Хп) = Хп. Тогда по определению явного спаривания Востокова которая следует из очевидного равенства logo(J\f) = YlT=o и Р гла" ва IV, 5, теорема 2]. (Теорема, на которую мы ссылаемся, обосновывает подстановку 7 в композицию степенных рядов).
Заметим, что ряд в правой части (5.11) сходится в топологии дискретного нормирования поля К, а значит, сходится и в топологии Паршина. Применяя (5.11) и лемму 5.1, п. 1) и 4), получаем Если не все Oi,..., a„_i равны 0 при n 2, то CK/K0( I п-\ ) = О при всех і/ 0, значит, в этом случае Пусть теперь a\ = ... = an_i = 0 или п = 1. Тогда, очевидно, (при п 2 применяем п. 2) леммы 5.1) А = д 5Z Lo " 0р" Учитывая, что след Тгко/Аіо fco-линеен и непрерывен, и применяя лемму 4.1, продолжаем вычисления в одномерных полях. Для проверки равенства ( ) достаточно показать, что ряд YlT=o 1г сходится, что равносильно - — 0 при v — оо. Это эквивалентно Ufc0( тг -) — Vpidanp") v ПРИ v ) что следует из оценок леммы 4.2, так как vp(da7iPv) растет экспоненциально по и. Теперь продолжим вычисления Равенство ( ) обосновывается аналогично равенству ( ). Заметим, что в -вР" 1 = ірів 1)- 1 = р -1), так как 0"""1 9S. Кроме того, по лемме 4.4 и ввиду того, что ап рт 1 + 1, имеем ""/" Є Zp. Следовательно, в силу Zp-линейности и непрерывности оператора Картье р, имеем По лемме 4.5 получаем, что рт \ апР "пг" 1 ддЯ любого v 1. А значит, Из формул (5.13)-(5.16) следует, что Следовательно, по предложению 3.3, п. 3) получаем сравнение Требуемое сравнение (5.6) следует из формул (5.10), (5.12) и (5.17), что и завершает доказательство формулы (5.2). (5.2) = (5.1). Построенные в предложениях 3.2 и 3.3 примарные элементы Н(а) и w(a), а Є Оо, конечно, зависят от того, какой именно фиксирован первообразный корень . Чтобы указать его, будем писать Н ;(а) and cj (a). Проверим, что По предложению 3.3, п. 1) ш -і(—а) Н -і(-а) и ш (а) « Н (а). Поэтому достаточно проверить, что Н -\{—а) « Н (а). Если А Є бо - решение уравнения р{А) — А = а, то р(—А) — (—А) = —а. Кроме того, заметим, что в качестве разложения -1 в ряд Лорана по локальным параметрам можно взять 1/С(Хі,... ,Хп), где C(Xi,...,Xn) - разложение С в РЯД Лорана по t\, ..., tn.
Обобщенная формула Ивасавы в случае смешанной характеристики
Диссертационная работа посвящена выводу явных формул типа Артина-Хассе для обобщенного символа Гильберта и изучению их связи с явными формулами куммерова типа. Исторически сложилось два относительно независимых подхода к задаче нахождения явного вида спаривания Гильберта. Первый из них восходит к работе Э. Артина и Г. Хассе [15] (1928), в которой выведены явные формулы, дающие ответ в определенных частных случаях в терминах следа некоторого элемента. Позднее этот подход был развит в работах К. Ивасавы [21] (1968) в круговом случае и Ш.Сена [25] (1980) в общем случае. Мы называем явные законы взаимности, полученные в этом направлении, формулами типа Артина-Хассе. Другой подход был впервые предложен И. Р. Шафаревичем в [14] (1950). Окончательные явные формулы для классического символа Гильберта в этом направлении были независимо получены СВ. Востоковым в [3] (1978) и Г. Брюкнером в [16], [17] (1979). Явные законы взаимности этого типа выражают символ через вычет некоторого степенного ряда. Мы условно называем их формулами куммерова типа, так как в одном частном случае их вид аналогичен виду формулы, полученной Кумме-ром в XIX веке. Надо отметить, что формулы этих двух типов имеют разные области приложения. Так, формулы Брюкнера-Востокова хорошо применимы в явных конструкциях локальной теории полей классов и /Г-групп Мил нора локальных полей, в то время как формулы в стиле Артина-Хассе удобно использовать в вопросах, связанных с норменными отображениями. Связь между двумя данными подходами к явным формулам долгое время оставалась неясной. Лишь в 1994 г. П. Кельче в своей диссертационной работе [23] вывел для классического символа Гильберта на круговом расширении Qp из формулы Брюкнера-Востокова формулу смешанного типа, из которой следуют классические законы взаимности Артина-Хассе и Ивасавы. В конце семидесятых А. Н. Паршин и К. Като независимо начали изучение многомерных локальных полей, которые представляют собой естественное обобщение классических локальных полей. В работе А. Н. Паршина [12] в равнохарактеристическом случае и в работах К. Като [22] в общем случае была развита высшая локальная теория полей классов и, в частности, построено локальное отображение взаимности для многомерных локальных полей. С помощью этого отображения взаимности естественно определяется обобщенный символ Гильберта. В [4] (1985) СВ. Востоковым была решена задача явного вычисления данного спаривания.
В этой работе СВ. Востоков строит явное спаривание между топологической /("-группой Милнора и мультипликативной группой мно- гомерного локального поля смешанной характеристики при р ф 2 (где р - характеристики последнего поля вычетов, которое предполагается конечным) и доказывает, что оно совпадает с символом Гильберта, тем самым давая для него явную формулу куммерова типа. В [24] (1998) М. Курихара вывел многомерную формулу типа Артина-Хассе для спаривания Гильберта в случае многомерного локального поля смешанной характеристики (последнее поле вычетов которого предполагается конечным), которая обобщает явную формулу Сена. Следующим шагом в развитии локальной теории полей классов стал естественный переход от изучения многомерных локальных полей, имеющих конечное последнее поле вычетов, к рассмотрению многомерных полных полей, последнее поле вычетов которых предполагается совершенным простой характеристики. Используя метод Нойкирха, И. Б. Фе-сенко в работе [18] построил высшую локальную теорию полей р-классов, которая описывает абелевы вполне разветвленные р-расширения многомерного полного поля с совершенным последним полем вычетов характеристики р, которое дополнительно предполагается не алгебраически р-замкнутым. С помощью локального отображения взаимности, построенного в этой теории, И. Б. Фесенко определил обобщенный символ Гильберта для многомерных полных полей нулевой характеристики в наиболее общем случае. Задача его явного вычисления была решена СВ. Востоковым, который построил явное спаривание на топологических /f-группах Милнора многомерных полных полей в работах [5], [6] (1995) для р ф 2 и в [6] показал, что оно совпадает с символом Гильберта. Случай р = 2 рассмотрен в [1] (2001). В настоящей диссертации рассматривается обобщенный символ Гильберта, определение которого дано в теории Фесенко, в случае кругового расширения стандартного абсолютно неразветвленного n-мерного полного поля с совершенным последним полем вычетов характеристики р, которое предполагается не алгебраически р-замкнутым. В этом случае при р ф 2 мы выводим из явной формулы Востокова, доказанной в [б], обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы. Данный метод проясняет связь между двумя типами явных законов взаимности. Формулы, полученные в настоящей диссертации, могут найти интересные применения, в частности, в вопросах, связанных с норменными отображениями в наиболее общем случае многомерных полных полей. В разделе 2 мы представляем обзор основных определений и фактов, связанных с многомерными полными полями и топологическими / -группами Милнора. Обозначения, введенные в разделе 2, используются на протяжении всей диссертации без каких-либо дополнительных ссылок. Мы напоминаем определение топологии Паршина на многомер- ном полном поле и его мультипликативной группе и формулируем основные свойства этой топологии. В частности, мы обсуждаем аддитивные и мультипликативные разложения элементов многомерного полного поля относительно топологии Паршина. В параграфе 2.3 мы доказываем лемму, которая утверждает, что логарифм секвенциально непрерывен относительно топологии Паршина.
Этот факт применяется в доказательстве главных результатов диссертации в разделе 5. В параграфе 2.4 мы напоминаем определение канонической топологии на "-группе Милнора многомерного полного поля, которая впервые была введена А. Н. Паршиным в равнохарактеристическом случае. С помощью этой топологии мы даем определение топологических К-групп Милнора и формулируем ряд результатов о них, которые будут использованы ниже при выводе обобщенных формул Артина-Хассе и Ивасавы в случае смешанной характеристики. Раздел 3 мы начинаем с определения модуля кривых Картье и ряда важных отображений, включая функцию Артина-Хассе Е и обратный к ней гомоморфизм 1. В терминах этих отображений, развивая идеи Хассе, С. В. Востоков явно построил примарные элементы ш(а), которые играют существенную роль в доказательстве формулы Брюкнера-Востокова в одномерном случае, а также в доказательстве ее обобщений в многомерном случае. В парграфе 3.2 мы приводим эту конструкцию примарных элементов и в определенном смысле явно описываем группу примарных элементов. Далее мы напоминаем два определения обобщенного символа Гильберта. Первое из них происходит из высшей локальной теории полей классов К. Като в случае конечного последнего поля вычетов. Второе было предложено И. Б. Фесенко в более общей ситуации совершенного, не алгебраически р-замкнутого последнего поля вычетов. В параграфе 3.4 при рфі определяется явное спаривание Востокова на топологических / -группах Милнора. Это спаривание сперва строится для многомерного полного поля смешанной характеристики, а затем общий случай разноха-рактеристического поля сводится к случаю смешанной характеристики. Наконец, мы формулируем принадлежащую С. В. Востокову теорему 3.1, которая утверждает, что явное спаривание Востокова совпадает с обобщенным символом Гильберта. В разделе 4 рассматриваются коэффициенты некоторых бесконечных рядов Лорана. Явная формула Востокова для символа Гильберта, которую мы применяем ниже для вывода обобщенных формул Артина-Хассе и Ивасавы, дает ответ в терминах вычета некоторого ряда, определенного с помощью рассматриваемых в этом разделе рядов Лорана. Мы даем новое доказательство ключевой леммы П. Кельче, позволяющей нам связать вычисление следа в формулах типа Артина-Хассе с вычис- лением вычета в формулах куммерова типа в случае кругового расширения абсолютно неразветвленного поля. Мы также доказываем несколько технических результатов о р-адических нормированиях коэффициентов рассматриваемых рядов Лорана. Раздел 5 занимает центральное место в диссертации. Мы строим многомерный аналог кругового поля QP(CP" ) в случае смешанной характеристики. Следуя М. Курихаре, мы определяем отображение из п-мерного полного поля в одномерное поле, которое мы называем обобщенным следом.
![Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b]](/i/i/4249/45537.png "Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна")
