Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена классической проблеме в теории чисел — закону взаимности. Как известно, эта проблема имеет своим истоком работы Ферма и квадратичный закон взаимности Эйлера-Гаусса. Практически весь 19-ый век в алгебраической теории чисел был так или иначе посвящён поиску явной формулы для произведения степенных вычетов. Девятая проблема Гильберта связала произведение степенных вычетов с конечным произведением локальных символов Гильберта, что свело задачу к изучению локальных полей.
Проблема получения явных формул для символа Гильберта в произвольном локальном поле имеет длинную историю, которая началась с работы Артина и Хассе, получившими явные формулы для символа Гильберта при некоторых ограничениях в круговом поле Qp(Cp). Следующий шаг был сделан в работе Шафаревича, который нашел алгоритм вычисления символа Гильберта в произвольном локальном поле на так называемом каноническом базисе.
В случае произвольного локального поля K явные формулы для символа Гильберта были независимо получены Востоковым в 1978 году и Брюкнером в 1979 году для случая p = 2. В начале 1980-х годов появились явные формулы и для случая p = 2.
Довольно давно возникла идея об аналогии этого раздела теории чисел с теорией функций, но впервые чётко она была сформулирована, вероятно, Кронекером, который говорил, что простые идеалы играют ту же роль, что и точки римановой поверхности в полях алгебраических функций, простым делителям дискриминанта числового поля соответствуют точки ветвления ри- мановой поверхности и т. д. Гильберт первым начал исследовать эти вопросы в числовых полях, проводя аналогию своего закона взаимности произведения
символов норменного вычета с интегральной теоремой Коши. Шафаревич продолжил эту линию и показал, что с этой точки зрения локальный символ
является аналогом вычета абелева дифференци
ала ade в точке р. Закон взаимности, впервые доказанный Хассе, согласно идеологии Гильберта-Шафаревича, должен быть аналогом интегральной теоремы, утверждающей, что абелев интеграл дифференциальной формы на римановой поверхности равен сумме вычетов этой формы в особых точках.
Первый шаг в получении аналогии классического закона взаимности с интегральной теоремой Коши был сделан Востоковым, разбиравшим классический закон взаимности отношения символов степенных вычетов в круговом поле как произведение конечного числа локальных символов норменных вычетов. Там было показано, что правая часть закона взаимности является полным аналогом суммы вычетов функции в особых точках, которыми являются корни из единицы. Основная цель диссертационной работы — показать в явном виде эту аналогию.
Эти представления произведения символов степенных вычетов удобно применить к изучению закона взаимности Эйзенштейна и его обобщений. Готтхольд Эйзенштейн изучал равенство степенных вычетов в
круговом поле Q(Z), где Z — первообразный корень простой степени p из 1, а а и в — числа из кольца Z[Z].
Далее этот вопрос изучал Хассе, обобщивший закон взаимности Эйзенштейна на достаточно произвольное круговое поле и получивший достаточное условие равенства символов в достаточно общем случае.
норменного вычета
Дальнейшим развитием этого вопроса является перенесение этого результата на формальные группы Любина-Тейта — классического обобщения мультипликативной групы локального поля. Формулы для обобщенного символа норменного вычета в этой ситуации были получены Востоковым в 1979 году, но в них были ограничения, не позволяющие использовать их для этого. В
настоящей работе мы избавляемся от этого ограничения и получаем закон взаимности Эйзенштейна.
Цель диссертационной работы состоит в получении новых явных формул, в некотором смысле аналогичных интегральной теореме Коши, для отношения степенных вычетов в круговых полях, а так же в последующем использовании этих формул для доказательства закона взаимности Эйзенштейна и его обобщений.
Методы исследования. В работе используются подходы к получению явных формул для символа норменного вычета (символа Гильберта), его обобщения на формальные группы и для отношения степенных вычетов в глобальном поле, разработанные С. В. Востоковым и его учениками. Так же мы используем теорию интеграла Шнирельмана. В третьей главе используются методы теории формальных групп, и, в частности, теория формальных групп Любина-Тейта.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
Получено представление отношения символов степенных вычетов в виде интеграла Шнирельмана.
^pn И
локальном круговом поле в случае, если a лежит в Zp.
(a),
в глобальном круговом поле в случае, если a лежит в Z, (a, n) = 1. Более того, указано, что равенство символов для любого в равносильно равенству для некоторого фиксированного в *.
Получено условие равенства символов ( — J и [ в J для любого в в
PJ pn \a J pn
Получено условие равенства символов fa) и (в ) для любого в
W pn W pn
Построена новая формула для обобщенного символа Гильберта на формальных группах Любина-Тейта.
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты второй главы диссертации могут быть использованы в разных задачах, связанных с символом норменного вычета локального поля и строением глобальных полей, в частности, нахождении степенных вычетов. Методы третьей главы диссертации могут быть использованы для исследования относительных групп Любина-Тейта и групп Хонды.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на X Белорусской математической конференции, Минск, 2008 г. ([1]), международной алгебраической конференции, посвящённой 70-летию А. В. Яковлева, Санкт-Петербург, 2010 г. ([3]), и международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В. В. Морозова, Казань, 2011 г. ([5]).
Публикация результатов. Результаты исследований отражены в шести печатных работах, из них три статьи в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных журналов и изданий ([2, 4, 6]) и три публикации в тезисах и материалах конференций [1, 3, 5].
В статье [2] соискателю принадлежат результаты параграфа 3: доказательство леммы о следе и основной теоремы об эквивалентности трех условий закона взаимности Эйзенштейна. В статье [4] соискателю принадлежат замечание 1.2 и лемма 1.3 определяющие структуру спаривания, леммы 1.4, 1.5, 1.6 и предложение 1.7, в совокупности дающие независимость спаривания относительно разложения по степеням униформизующей, основная теорема 1.9, и лемма 2.1 и теоремы 2.2 и 2.3, в которых получено обобщение закона взаимности Эйзенштейна. Остальные результаты в статьях [2] и [4] принадлежат соавторам. В работах [1, 3, 5] соавтору принадлежит постановка задачи и общее руководство.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
трех глав (первая глава содержит три раздела, вторая — четыре раздела, и третья — пять разделов) и библиографии. Общий объем диссертации — 47 страниц. Библиография включает 23 наименования.
