Введение к работе
Актуальность темы. Рост производительности современных ЭВМ делает возможным и целесообразным применение численных методов практически во всех областях науки и техники, во многих из которых требуется приближенное интегрирование по сфере s в пространстве R3. Среда них прежде всего необходимо отметить такие области, как провктироваїше ядерных реакторов и гармонический анализ на сфере. В связи с этим задача о нахождении эффективных квадратурных формул для интегралов по сфере s в R3 представляется весьма актуальной.
Исторически, разработка теории квадратурных формул для вычисления кратных интегралов началась сравнительно недавно. Это объясняется тем, что использование таких формул на практика было невозможно до появлешя ЭВМ. В настоящее время имеется несколько подходов к построению квадратурных формул. Очень важные результаты были получены С.Л.Соболевым в вопросе о построении квадратурных формул оптимальных на классах функций. Эти результаты изложены в его монографии "Введение в -теорию кубатурннх формул". Большое число результатов получено в вопроса построения квадратурних формул интерполяционного типа, с ними можно ознакомиться в монографии и.П.Мысовских "Интерполяционные кубатурше формулы". Там же, в частности, систематически изложены результаты о связи ортогональных многочленов области интегрирования и квадратурных формул. Отметил также теоретико-числовые методы построения квадратурных формул, которые развивались в работах Н.М.Коробова и И.М.Соболя, и результаты Н.С.Бахвалова о построении квадратурных формул со случайными узлами (методы Монте-Карло). В монографии А.Строуда "Approximate calculation of multiple integrals" наряду с вопросами построения квадратурных формул, подробно рассмотрены оценки погрешности квадратурных формул, методы Монте-Карло п теоретико-числовые методо. В ней приведена практически полная (к моменту выхода монографій) библиография по обсуждаемым вопросам. Обширные таблицы квадратурных формул для различных областей іштогрированля (в частности для куба, пара, сферы и симплекса) содержатся в уко упоминавшихся нами монографиях И.П.Мысовских и А.Строуда. 1-і
С.Л.Соболев в 1962 г. ввел класс квадратурных формул для сферы, инвариантных относительно конечных групп преобразований в R3 и построил некоторые инвариантные квадратурные формулы (заметим, ччо основные теоремы С.Л.Соболева почти дословно переносятся на произвольные, инвариантные относительно конечных групп преобразований области в Rn (п>1)). Им было показано, что для построения инв-риантной относительно группы G квадратурной формулы, точной для всех функций из конечномерного векторного пространства Ф, инвариантного относительно G, необходимо и достаточно, чтобы искомая квадратурная формула была точна для всех инвариантных относительно G функций, образуюпщх подпространство Ф=ф. Поскольку размерность Ф, как правило, значительно меньше размерности Ф, то задача построения инвариантной квадратурной формулы существенно облегчается.
При построении инвариантных квадратурных формул для сферы s в R3 чаще всего за пространство Ф берут пространство, образованное следами на s многочленов от (x,y,z) степени не выше d. В этом случае квадратурную формулу называют алгебраической, а целое, положительное число d - ее порядком.
В диссертации рассматриваются в основном алгебраические инвариантные квадратурные формулы для S. Ясно, что среди них наибольший интерес для приложений представляют квадратурные формулы типа Гаусса, т.е. квадратурные формулы содержащие минимальное или близкое к минимальному число узлов. При построении таких формул и веса и координаты узлов считаются неизвестными, их значения определяются из решения нелинейных систем алгебраических уравнений. Отметим, что исследование и разработка методов решения возникахщих при построении инвариантных квадратурных формул типа Гаусса для сферы s систем уравнений является довольно сложной задачей (в особенности, когда й -велико), которая может иметь также*и самостоятельный интерес.
Качество любой алгебраической квадратурной формулы порядка d для сферы s в R3 мы будем оценивать по степени близости числа ее узлов N к минимальному. Для этого удобно использовать введенный В.И.Лебедевым коэффициент эффективности Tl(d,N):
t,W,i) - iSli.
который равен отношению размерности пространства Ф следов на s
многочлэнов от (x.y.z) степени не выше d ((d+l)s) к общему числу параматров определяющих квадратурную формулу (ЗН). Для формул с минимальным числом узлов т)(а,н)«1, поэтому качество алгебраической квадратурной формулы для s можно оценивать по степени близости ее коэффициента эффективности к единице.
В настоящее время имеется большое число работ, посвященных построению алгебраических квадратурных формул для сферы в R3, инвариантных относительно групп правильных многогранников. Среди них прежде всего отметим работы В.И.Лебедева (группа октаэдра с инверсией G*) и С.И.Коняева (группа икосаэдра с инверсией G*0) по нахождению параметров квадратурных формул типа Гаусса. В.И.Лебедеву принадлежат также важные результаты по упрощению возникающих при построении таких формул нелинейных систем алгебраических уравнений. Инвариантные относительно групп правильных многогранников квадратурные формулы для многомерных сфер били получены Г.Н.Салиховым, Ф.Шарипходжае-вой, И.П.Мысовских и В,И.Лебедевым. Инвариантные квадратурные формулы получили такке В.А.Диткин и Л.А.Люсгерник, А. Макла-рен, С.Б.Стоянова, Ш.И.Таджиев, Э.А.Шамсиев и др.
В диссертации рассматривается задача о построении инвариантных относительно расширенной группы диэдра Dm (терминология Ф.Клейна) квадратурных формул типа Гаусса для сферы s в R3. Напомним, что группа Бт содержит такие преобразования пространства R3, при которых правильная га - гранная призма переходит в себя. Актуальность этой задачи обусловлена тем, что инвариантные . квадратурные формулы типа Гаусоа имеют два важных достоинства: 1) при одном и том же. порядке d они обладают меньшим по сравнению с обычными квадратурными формулами (например формулами, полученными методом повторного применения одномерных квадратурных формул (ДЛЯ НИХ T)(d,N)*|)) числом УЗЛОВ} и 2) благодаря их инвариантности, вводимая в ЭВМ информация, нужная для задания весов и узлов квадратурной формулы, весьма незначительна. Поэтому их целесообразно использовать во многих областях применения численных методов, например в вычислении коэффициентов Фурье от функции при разложении ее по гармоническим многочленам, для приближенного интегрирования по поверхностям звездного типа и, особенно, в разностных аппрок-
сшациях интегрзльшх операторов многомерных уравнений переноса частиц. Узлы этих квадратурных формул можно использовать для конструирования сеток на поверхностях звездного типа.
В задачах численного расчета ядерных реакторов, для ' хорошей и экономичной аппроксимации интегральных операторов многомерных уравнения переноса нейтронов необходимо иметь достаточно эффективные квадратурные формулы для сферы S в R3. Если известно, что решение задачи переноса обладает определенной симметрией, то учет этого'позволит существенно сократить порядок решаемых систем уравнений и уменьшить время расчета. Для этого необходимо, чтобы применяемая в аппроксимации квадратурная формула была инвариантна относительно соответсгвукщей группы симметрии. Ядерные реакторы состоят из квадратных или шестиугольных ячеек различных типов, расчеты нейтронных полей в которых представляют самостоятельный интерес. Поэтому представляется весьма актуальной задача получения квадратурных формул типа Гаусса, шшариантных относительно расширенных групп диэдра Ъл и Бб.
Цель работы состоит в наховдешш параметров шшариантных относительно расширенной группы диэдра Б квадратурных формул' типа Гаусса для сферы s в R3, б изучении свойств и разработке методов решения возникающих при.этом систем нелинейных алгебраических уравнений, и в создании комплекса программ для численной реализации этих методов.
Метода исследования. В диссертации используются результаты и метода теории квадратурных формул, теории групп и симметрических функций, теории инвариантных и ортогональных многочленов, теории моментных систем алгебраических уравнений. А также результаты теории численных методов решения линейных и нелинейных систем уравнений и методов нахождения корней многочленов. Методы компьютерной алгебры.
Научная новизна. Предложен новый класс квадратурных формул для сферы s в R3, инвариантных относительно расширенной группы диэдра 5 . Предложен алгоритм нахождения параметров таких формул. Создана программа QR, позволяющая строить инвариантные относительно Бга квадратурные формулы типа Гаусса для s с весом высокого порядка точности d и асимптотикой 3iJJn(d)=8/9
-7-для любого га. Программа имеет удобный пользовательский интерфейс, соответствующий стандарту фирмы Borland. С ее помощью получено большое число эффективных квадратурных формул для сферы s с различными весовыми функциями вплоть до 71-го порядка точности.
Практическая ценность. Предложенные в диссертации квадратурные формулы могут найти практическое применение во всех задачах, где присутствует симметрия группы Бт и требуется приближенное интегрирование по поверхностям звездного типа в R3 (сфера одна из таких поверхностей). В частности их можно использовать для повышения точности аппроксимации интегральных операторов в уравнениях переноса, что в свою очередь ведет к повышению точности численных решений. Это особенно существенно при рассчетах ядерных реакторов. Максимальное использование принципов самозащщешюсти и саморегулируемости при разработке ядерных реакторов нового поколеїшя требует значительного повышения точности, математических моделей, используемых для предсказания характеристик Сезоиастности. В ИАЭ гал .Курчатова в 1989 году Л.Н.Ярославцевой разработана двух- и трехмерная программа jah для решения уравнений переноса нейтронов в системах с гексагональной структурой тепловыделяющих сборок. Полученные в диссертации квадратурные формулы инвариантные относительно группы D6 были использованы в данной программе при рассчете гексагональных моделей быстрых кидко-металлических реакторов. Инвариантность формул относительно группы Еб позволила рассчитывать ячейки реактора с углом симметрии 60, значительно повысив точность угловой'аппроксимации при уменьшении вычислительных затрат.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах Института вычислительной математики РАН 'и па научных конференциях МСТИ в 1989-1993 гг., на международном симпозиуме "Numerical transport theory" в Москве в мае 1992 г., на международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы п их приложение" в Красноярске в апреле 1993 г.'
Публикации. По темо диссертации опубликованы три статьи.
Структура » обгон диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации
143 страницы. Библиография содержит 59 наименований.
![Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b]](/i/i/4249/45537.png "Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна")
