Введение к работе
Актуальность темы. При решении многих научно-практических задач, например, при проведении гармонического анализа на сфере, при выполнении конечно-разностных аппроксимаций интегральных операторов уравнений переноса частиц, при вычислении молекулярных интегралов в квантовой химии необходимо уметь достаточно ч' эффективно вычислять интегралы по поверхности трехмерной сферы вида
(1) К/) = -Проїси,
где S={(x,y,z)H3: ^+y24-22=1} - единичная сфера, seS, из - элемент поверхности сферы, Г(1)=1. Для численного нахождения интеграла (1) строится кубатурная формула
(2) 1(f) « 2 w.fO.),
1=1 ' *
где N - число узлов, w - веса, з{ - узлы.
Общая теория кубатурных формул, инвариантных относительно конечных групп вращений сферы, была разработана С.Л.Соболевым в 1962 г. Несмотря на то, что ряд инвариантных кубатур был построен другими авторами еще раньше (отметим работы В.А.Диткина (1948), В.А.Диткина и Л.А.Люстерника (1953), П.С.Хаммера и А.Х.Строуда (1958)), только после выхода работы С.Л.Соболева (1962) различные методики построения инвариантных кубатур были подкреплены общей теорией. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А.Д.Мак-Ларена, А.Х.Строуда, И.П.Мысовских, Г.Н.Салихова, В.И. Лебедева, С.И.Коняева и многих других авторов.
В данной работе будут рассматриваться алгебраические куба-турные формулы, т.е. формулы, точные для всех многочленов вида xkylzm степени не выше п (или, что равносильно, для всех сфери-
ческих гармоник порядка п). Число п будем называть порядком нашей кубатуры. Качество кубатуры будем оценивать с помощью коэффициента эффективности т]=(л+1 )2/(3ff), где в числителе стоит общее число правильно интегрируемых сферических функций, а в знаменателе - число свободных параметров кубатуры. При заданном порядке п величина т), очевидно, тем больше, чем меньше її. Вторым показателем качества кубатуры будет служить коэффициент однородности u.=ty , /т , где w , и ш - минимальный и максимальный
г таіп max тліп max
веса в (2). Мы будем считать хорошими только те кубатуры, у которых ц>0 (все веса положительны).
Существуют четыре принципиально различные группы вращений трехмерной сферы: циклическая группа вращений Сь, а также группы вращений тетраэдра Т, октаэдра О и икосаэдра J. В настоящей работе подробно описывается методика построения асимптотически оптимальных кубатур (для них т)-»1 при п-*о) групп Cfe, Г и О. С помощью этой методики удалось построить семь новых кубатур группы Cfc, восемь новых кубатур группы Т и пять новых кубатур группы О. Все кубатуры имеют |i>1/2 и содержат меньшее число узлов по сравнению с ранее известными формулами той же точности.
Цель работы: 1) разработка методики построения кубатур типа Гаусса-Маркова на сфере, инвариантных относительно групп Cfe, Т и 0; 2) создание на основе этой методики новых кубатур разных порядков точности п с минимальным N и максимальным ц.
Методы исследования. В диссертации применяется аппарат теории конечных групп, теории инвариантных функций, теории кубатур-ных формул, теории численных методов оптимизации и решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.
Научная новизна. Предложена методика построения кубатур на сфере, инвариантных относительно циклических групп вращений С и ct , а также относительно групп тетраэдра Г, тетраэдра с инверсией Г* и октаэдра С. С помощью этой методики получен ряд новых кубатур, превосходящих по своим показателям все ранее известные кубатуры той же точности.
Практическая ценность. Полученные кубатуры можно использовать при решении широкого круга прикладных задач, в которых возникает необходимость эффективного численного интегрирования по поверхности сферы.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах ВЦ СО РАН в 1992-1996 гг., на международной конференции АМСА-95 (Новосибирск, 1995).
Публикации. По теме диссертации опубликованы четыре статьи.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы - 56 машинописных страниц. Список литературы содержит 35 источников.
![Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b]](/i/i/4249/45537.png "Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна")
