Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 5
1.1 Теория матроидов 5
1.2 Клетки Брюа 20
2 Биматроиды 38
2.1 Определение и основные свойства 38
2.2 Биматроиды и мелкие клетки 45
2.3 Удвоение биматроида 57
3 Конструкции биматроидов 69
3.1 Вложение матроида в биматроид 69
3.2 Флаговый матроид — предварительные замечания 78
3.3 Флаговый матроид — вложение в биматроид 92
4 Критерии представимости 98
4.1 Предварительные рассуждения 98
4.2 Миноры U(n,m) 105
4.3 Миноры F7HFJ 113
А Один важный биматроид 124
Литература
Введение к работе
Одним из наиболее существенных фактов классической структурной теории алгебраических групп является разложение Брюа, открытое Гель-фандом, Наймарком и Хариш-Чандрой и доказанное в общем случае Ше-валле и Титсом (см., например, [3, 15]). В последние годы появилось значительное количество работ, посвященных, в той или иной мере, изучению связи между различными разложениями вида G = B1WB2 в одной группе G, где В\ и . — борелевские подгруппы G, содержащие некоторый фиксированный максимальный тор Т. Рассмотрение разложений такого вида, с меняющимися В\иВ2, оказывается полезным в разных областях математики, включая теорию представлений, геометрию, комбинаторику, а также, разумеется, саму структурную теорию.
Первые исследования в этой области были предприняты Люстигом и Деодхаром (см. [9, 14]), которые изучали пересечения клеток Брюа вида B w\B Г) Ви 2В, где В — борелевская подгруппа, противоположная В. В частности, в работе [9] был получен следующий результат: пересечение указанного вида непусто в том и только в том случае, когда и 2 w\ в порядке Брюа. Тем самым, уже в этом весьма частном случае была установлена важность порядка Брюа в данной области.
В дальнейшем Ч. Кертис (см. [8]) обобщил этот результат, получив точный критерий непустоты пересечения клеток вида B w\Br\Bvj2B. Этот критерий, фактически, оказался эквивалентным некоторому частному слу чаю условий предложения 1.23 ниже. В связи с этим М. Путча, Н.А. Вавилов и автор независимо сформулировали гипотезу, согласно которой условия предложения 1.23 являются как необходимыми, так и достаточными для того, чтобы пересечение клеток вида B WB B, где В пробегает все борелевские подгруппы, содержащие фиксированный максимальный тор, было непусто (см. [18]). Как будет видно из дальнейшего, эти условия на самом деле не являются достаточными.
Следует также упомянуть работу С. Фомина и А. Зелевинского [10], изучавших пересечения вида B W\B П BW2B. В частности, в этой работе было показано, что такое пересечение всегда непусто.
Вопрос о непустоте пересечения двух клеток Брюа был полностью рассмотрен в работе Н.А. Вавилова и автора ([1]), получивших комбинаторный критерий, являющийся частным случаем приведённых ниже условий предложения 1.25. Этот результат побудил автора высказать гипотезу, аналогичную вышеприведённой, о достаточности условий предложения 1.25 в общем случае. Природа, однако, устроеїіа, в данном случае, несколько сложнее наших представлений о ней. По-видимому, получить комбинаторный критерий непустоты подобных пересечений хотя бы над каким-нибудь бесконечным полем невозможно.
Перелом наступил в последнем десятилетии двадцатого века, когда А. Боровик опубликовал серию статей, с различными соавторами, связывающую пересечения «односторонних» клеток Брюа (т.е., клеток вида B wB при фиксированном В) в группе GLn(k) с теорией матроидов (см. [6, 7]). В частности, непустота пересечения таких клеток оказалась эквивалентной существованию согласованных представлений некоторой последова тельности матроидов (см. теорему 1.32). Используя эти результаты, автору удалось аналогичным образом связать пересечения произвольных клеток Брюа с более сложной комбинаторной структурой — биматроидом1.
Одновременно, удалось показать, что биматроиды являются, на самом деле, лишь частным случаем матроидов (теоремы 2.20 и 2.24). В частности, непустота пересечения оказывается эквивалентной существованию представления соответствующего матроида, что, в сочетании с результатами Татта, Биксби и Сеймура ([22, 5, 20]) позволяет построить комбинаторные критерии непустоты пересечения клеток Брюа в группе GLn(fc), где в качестве поля к выступают поля F2, F3, а также любое из существующих полей (следствия 4.10, 4.12 и теорема 4.19).
Особый интерес также представляет изучение взаимного расположения подобных пересечений, в частности, описание их замыканий. В этом направлении получен результат (следствие 3.22), согласно которому в пересечении односторонних клеток Брюа обязательно содержится открытое плотное подмножество, являющееся пересечением двусторонних клеток.
Везде в дальнейшем символом # обозначается число элементов конечного множества (напр. #Л — число элементов множества А). Через [п, т] мы будем обозначать множество {г € Z п г га} — отрезок в множестве Z.
Клетки Брюа
В дальнейшем мы всегда будем рассматривать подмножества векторного пространства как мультимножества, не оговаривая это специально. В частности, объединение подмножеств векторного пространства будем обозначать символом U, чтобы подчеркнуть, что число элементов A U В в точности равно сумме фА + #JB, даже если An В пересекаются.
Замечание 1.3. Пусть В — какой-нибудь базис матроида X и а Є X \ В. Тогда q(B) — линейно независимое множество, a q{B) U q{a) — линейно зависимое. Следовательно, q{a) Є (q(B)), откуда q(X) С (q(B)). Заменяя V на (q(B)), мы видим, что можно ограничиться лишь такими представлениями, для которых dim V = vkX. Такие представления характеризуются следующим свойством: для любого базиса В в X множество q(B) является базисом пространства V.
Пример 1.5. Матроид U(n,n) представим над любым полем. Действи 19 тельно, множество [1,п] является его единственным базисом, поэтому достаточно взять в качестве V любое га-мерное пространство над А;, а в качестве q — любую биекцию множества [1, п] на некоторый базис V.
Пример 1.6. Матроид U(ra,2) представим над полем к тогда и только тогда, когда #& п—1. Действительно, пусть q : [1,п] —+ V — представление этого матроида, причём dim У = rkU(n,2) = 2. Тогда вектора q(i) и q(j) при г ф j образуют базис V, то есть, не являются пропорциональными. Последнее означает, что их образы в проективной прямой г(к) различны. Но число элементов F1(k) равно #к + 1, откуда п #/г + 1.
Пример 1.7. Матроид Фано представим над всеми полями характеристики 2 и только над ними — см. [2].
Пример 1.8. Матроид Вамоса не представим ни над каким полем; на самом деле, он является наименьшим (в смысле количества элементов) мат-роидом, не имеющим представлений (см. [2]).
Пример 1.9. Пусть q: X —+V — представление, и АС X. Тогда сужение q\A — представление X\А. Пусть V — подпространство V, порождённое образом q{A), и cf — композиция X - V — V/V. Тогда сужение \Х\А является представлением матроида Х/А.
Пример 1.10. Пусть q : X — V — представление, и V V — подпространство. Тогда композиция X - V - V/V является представлением некоторого геометрического фактора матроида X.
Замечание 1.4. Именно пример 1.10 послужил основанием для выбора термина «геометрический фактор». Вместе с тем, вообще говоря, неверно, что если X — представимый матроид, то любой его геометрический фактор представим. В частности, любой матроид является геометрическим фактором матроида U(n,n). Последний представим, однако не любой матроид является представимым.
Теорема 1.16. Пусть X — некоторый матроид. X имеет представление над полем 2 в том и только в том случае, когда ни один минор X не изоморфен U (4,2).
Доказательство. См. [22]. D
Теорема 1.17. Пусть X — некоторый матроид. X имеет хотя бы одно представление над полем F3 в том и только в том случае, когда ни один минор X не изоморфен матроиду U(5,2), U(5,3), F7 или Fj.
Доказательство. См. [5, 20]. Теорема 1.18. Пусть X — некоторый матроид. X имеет представление над любым полем в том и только в том случае, когда ни один минор X не изоморфен ни U(4,2), ни F-?, ни F?. Доказательство. См. [22]. Замечание 1.5. Матроид, имеющий представление над любым полем, называется обычно регулярным.
Везде в дальнейшем G — некоторая группа, а (В, N) — BN-n&pa, в G. Группа Вейля N/(3 Л N) обозначается, как обычно, через W, а множество фундаментальных отражений, порождающее W — через S. Напомним, что (стандартной) клеткой Брюа называется множество вида ВгиВ, где w Є W. Клетки Брюа образуют разбиение группы G.
Известно, кроме того, что группа W является группой Кокстера, a S — множеством её кокстеровских образующих. Напомним следующее определение.
Определение 1.10. Пусть гУі,гУ2 Є W. Говорят, что элемент w\ (нестрого) меньше элемента W2 в порядке Брюа, если существует приведённое разложение W2 = S\S2.. si, такое, что некоторое его подвыражение является приведённым разложением W\: W\ = s s ... s , где ц
Замечание 1.6. Если W\ г в порядке Брюа, то для любого приведённого разложения и)2 некоторое его подвыражение является приведённым разложением W\.
Далее мы всегда будем предполагать, что группа Вейля W конечна. В этом случае (см. [4]) существует элемент WQ Є W, являющийся наибольшим в этом порядке. При этом г о = е, а умножение на WQ справа или слева обращает порядок. Группа В- = WQBWQ называется противоположной к группе В.
Предлоясение 1.19. Пусть w Є W и s Є S. Тогда произведение BsBtuB равно BsiuB при sw w и BiuB U MswB при sw w. Доказательство. См. [4].
Биматроиды и мелкие клетки
Лемма 2.9. Пусть X — биматроид. Для каждого і Є [0,п] обозначим матроид X_i+ln через Х{. Тогда последовательность матроидов X = (Xo,Xi,... ,Хп) представляет собой флаговый матроид на X.
Доказательство. При г j отрезок [n—j + l,n] содержится в [п—г + 1, п]. По определению биматроида, Xi — Xti+ln, является геометрическим фактором Х+ .+1 n = Xj. Далее, согласно следствию 2.3, rk Xi = rk Xfc_i+hn] =n- #[n - і + 1, n) = n - i. Таким образом, все условия определения 1.16 выполнены. Флаговый матроид X, построенный в лемме 2.9, будем называть остовом биматроида X.
Предложение 2.10. Пусть X — биматроид, X — его остов, и (д+,д_) — представление X в пространстве V над полем к. Введём на V флаг подпространств V = (Vo, Vi,..., Vn), определённый формулой VS = (g-([n- + l,n])).
Иначе говоря, V — такой флаг, с которым базис q {X) согласован. Тогда пара (q+,V) является предствлением X. Доказательство. Пусть і Є [0,п]. Рассмотрим композицию & : X — V — V/Vf. Так как g_([n—г+1, п]) — базис V , множество qi(A) является базисом V/Vi в том и только в том случае, когда q+(A) U q {[n — г + 1, п]) является базисом V. Последнее, по определению представления биматроида, имеет место в том и только в том случае, когда Л является базисом Xf_i+1 , = ХІ. Таким образом, ( — представление Х{ и (q+, V) — представление X. П
Зафиксируем некоторую структуру биматроида на множестве X — [1, п], и пусть X — его остов. Напомним, что X = (Хо, Х\,..., Хп) — флаговый матроид, для которого ХІ = Х _.+1пл. Тогда, согласно предложению 1.28, существует единственная формальная мелкая клетка Шуберта /+, для которой /+(эд)[1,г] — наибольшее множество, образ которого под действием перестановки w l является базисом Xn-i = Х+1пу Обозначим через и(Х) значение /+(е).
Применим построение предыдущего абзаца к биматроиду ЬХ (транспонированный биматроид X). Тогда существует единственная формальная мелкая клетка Шуберта /_, для которой /_(ш)[1,г] — наибольшее множество, образ которого иод действием перестановки w l является базисом ХТ+1, . Обозначим /-(е) через v(X).
Лемма 2.11. Пусть У, Z, Z С X — такие множества, что Y U Z является системой образующих матроида Х%,. Тогда существует базис У матроида Х%, такой, что
Замечание 2.2. Мы будем применять лемму 2.11 к множествам Z — [г,п] и Z = [j,n]. Тогда формула 2.1 записывается как
Доказательство. Согласно лемме 2.1, Z является системой образующих матроида XyuZ. Пусть Т — базис этого матроида, содержащийся в Z . Далее, матроид Xyuz является геометрическим фактором матроида Х%. По лемме 1.11, Т — независимое множество в XJ. Пусть Y — базис Xz, содержащий Т. Тогда, по лемме 2.2,
Действительно, множество lU[m,п] содержит /Um = u[l,I] — базис - fT+inl и следовательно, является системой образующих этого матроида. Применив лемму 2.11 к множествам 7, [т, п) и [I + 1, п], получаем, что существует базис А матроида ХГ ni, такой, что #(АП[1, /]) #(7П[1, т—1]). Далее, по определению v, множество J — v[l, т — 1] является наибольшим базисом ХГпи откуда, используя (2.2) и лемму 1.21, получаем, что
Предположим противное; тогда множество J U [/ + 1,п] содержит JL)v(m) = v[l, т] — базис ХГ +1 п, и, следовательно, является системой образующих этого матроида. Применив лемму 2.11 к множествам J, [/ + 1, п], [т + 1, п] и биматроиду гХ, получаем, что существует базис В матроида X+lni, такой, что #{ВС\ [1,т]) #(«/П [1,/]). Далее, по определению и, множество 7 U га = и[1,/] является наибольшим базисом Хц+1,, откуда, используя (2.2), получаем, что откуда І Є 7, что противоречит утверждению 1. Утверждение 3. v(m) 7
Действительно, множество /U [т +1, п] содержит 7 = u[l, Z — 1] — базис Xt, и, следовательно, является системой образующих этого матроида.
Применив лемму 2.11 к множествам /, [ттг+1, п] и [I, п], получаем, что существует базис С матроида Хг+1 ,, такой, что #(СП[1,1—1]) #(/П[1, га]). Далее, по определению v, множество J\Jv(m) = v[l,m] является наибольшим базисом ХГ+1п], откуда, используя (2.2), получаем, что Отсюда v(m) [1, Z — 1] и v(7n) I. Наконец, утверждения 2 и 3 вместе означают, что v(u(Z)) = v(ra) = /, что завершает доказательство
Теорема 2.13. Для произвольных w\,W2 из группы W обозначим элемент u(wiXu)2) через fx{wi- w2)- Тогда fx — единственная формальная мелкая клетка, такая, что при любых Wi, W2 Є W и І Є X = [1, п], fx(wi1W2)[l, 1} — наибольшее множество, образ которого под действием перестановки w7l является базисом X Г7,, ,.
Доказательство. Зафиксируем элементы W\,W2 Є W. Обозначим бимат-роид w\Xw2 через Y\ тогда, согласно предложению 2.5 и следствию 2.6, множество 1С. [1, п] является базисом Y,f+1 , в том и только в том случае, когда w±lI является базисом Xtfn, = XW2\i+i,ny По определению u(F), множество u(K)[l,Z] является максимальным среди таких
Флаговый матроид — предварительные замечания
Следовательно, множество q((ADB)U(AnC)\j(BnC)) линейно зависимо, а, значит, и множество (А П В) U (А П С) U (В П С) зависимо в X, так как q — представление X. Следовательно, А — зависимое множество в ХХщ. Таким образом, множество А независимо в ХХщ тогда и только тогда, когда q+(A) U q {C) — линейно независимое множество в V ф V.
Замечание 3.1. Теорема 3.6 показывает, что проблема нахождения критерия представимости матроидов может быть сведена к проблеме поиска критерия представимости биматроидов. Теорема 2.30, наоборот, показывает, что проблема представимости биматроидов сводится к проблеме пред ставимости матроидов. Таким образом, эти проблемы по существу эквивалентны. К сожалению, по видимому, нет никакой надежды на отыскание комбинаторного критерия представимости матроидов хотя бы над каким-нибудь бесконечным полем. Следовательно, представляется сомнительным, чтобы существовал критерий представимости биматроидов или, что то же самое (см. теорему 2.28) критерий реализуемости формальной мелкой клетки.
До конца этой главы предполагается, что X = (XQ, Xi,..., Хп) — некоторый флаговый матроид. Напомним, что через гк (соотв. clj) обозначается ранговая функция (соотв. замыкание) в матроиде ХІ. Пусть А, В — два подмножества X. Будем говорить, что А независимо в Хд (соотв., В независимо в Хд), если для любого г = 1
В выполняется неравенство: ftA + i ikuwA + B. (3.5) Заметим, что при г = 0 неравенство (3.5) превращается в равенство, так как гкоА = #А Наша цель — показать, что таким образом X наделяется структурой биматроида.
Всюду в дальнейшем мы сохраняем только что введённые обозначения. Кроме того, для любых двух множеств А,ВСХ, мы обозначим через гв{А) минимальное значение rkgw А + В — г по всем г = 0,1,..., #, а через В IА — максимальный элемент множества Лемма 3.7. Если А — независимое множество в Хв, а а Є X \ А, то множество A U а независимо тогда и только тогда, когда а С\В(ВІА) А.
Доказательство. Действительно, A U а не независимо тогда и только тогда, когда существует некоторое і Є [1, #-?], для которого неравенство 3.5 не выполнено, то есть Допустим, что такое і найдено.
Но мы знаем, что #Л + і гкв« A + J3(i). Отсюда получаем, что rkgw А rkB(o(A U а) гкВ(о А + 1, то есть тквм(А U а) = гкВ(о Л. Последнее равенство в точности означает, что а Є сідм А. Следовательно, множество Л U а зависимо в Xt. Лемма 3.8. Пусть АС X. Обозначим через р отображение
Замечание 3.2. Рассуждая о матроидах Xg и Хд (в дальнейшем мы докажем, что они действительно являются матроидами) удобно представлять себе диаграммы специального вида. Именно, для любого множества А С. X мы нарисуем на клетчатой бумаге график функции р из леммы 3.8, и обведём клетки, лежащие между этим графиком и осью абсцисс. Множество BQX мы будем представлять на той же диаграмме, отмечая жирными точками клетки с координатами В по горизонтали и г по вертикали. Предыдущая лемма показывает, что подобная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 3.1. На этом рисунке В = {1,3,7,10} и п — 10.
Миноры F7HFJ
Теорема 4.3. Пусть X — [1,п] uY = [1,га] — биматроиды, a f и /о — соответствующие им формальные мелкие клетки. Вложение (соотв. почти вложение) Y в X существует тогда и только тогда, когда существует вложение (соотв. почти вложение) /о в f .
Доказательство. Следует из предложений 4.1 и 4.2. Лемма 4.4. Пусть X — матроид, Y = (X/Z)\Y — его минор, Р Є Y, и а Є X \ (Y U c\Z) — такой элемент, что а Є c\(Z U /3). Тогда минор (X/Z)\(aUY\/3) изоморфен Y.
Доказательство. Заменяя X на X/Z, можно считать, что Z = 0. Пусть Y = aUY\(3, и7г:У— Y — такое отображение, что 7г(7) = 7 Для всех 7 Є Y \ Р и 7г(/3) = а. Рассмотрим произвольное множество AC.Y.
Если множество А не содержит Р, то 7г(А) = Ли имеет место эквивалентность: А независимо в Y Ч= А независимо в X А независимо в У. Допустим, что р Є А. Обозначим через А множество А \ р. Тогда А = А иРи тг(А) = A Ua. Если р Є сі А , то а Є cl/3 С сі А . Наоборот, по правилу замены, Р Є сі а, поэтому из а Є сі А следует Р Є сі А . Далее, А независимо -Ф= А независимо и (3 с\А = А независмо и а $ с\А! == тг(А) независимо.
Таким образом, независимость А равносильна независимости 7г(А), что и означает, что 7Г — изоморфизм.
Лемма 4.5. Пусть X — матроид, (X/Z)\Y — минор X в канонической форме, изоморфный U(m, 2), т Є N, и а Є X \ (У U c\Z). Имеет место один из следующих случаев: 1. c\{Z U а) П Y = 0. Минор {X/Z)\(a U Y) изоморфен U(m + 1,2), а минор (X/Z)\(aUY\{3) изоморфен U(m,2) для любого Р Є Y. 2. Существует ровно один элемент j3 EY, принадлежащий c\(ZUa). Минор (X/Z)\(a U Y \ (3) изоморфен U(m, 2).
Доказательство. Заменяя X на X/Z, можно считать, что Z = 0. Предположим вначале, что сі а П Y ф 0. Если ft и /3 — любые два элемента этого пересечения, то по правилу замены а Є clp\ откуда (З Є cla С cl/З. Но /? и (3f — элементы минора Y, изоморфного U(m, 2). Следовательно, один из них может лежать в замыкании другого лишь в случае, когда они равны. Таким образом, /? = /? и элемент (З Є У, принадлежащий сі а, единственен. Второе утверждение пункта 2 следует из леммы 4.4.
Рассмотрим теперь случай сІаПУ = 0. Обозначим множество aUY через У. Докажем, что минор Y — X\Y изоморфен U(m + 1,2).
Пусть А — любое двухэлементное подмножество У. Если А С У, то А независимо в У и, следовательно, в Y . В противном случае A = {a, j} для некоторого у Є Y. Множество {а} независимо, так как а $. СІ0, и 7 $ сі а, так как последнее замыкание не пересекается с Y. Следовательно, А независимо. Таким образом, любое двухэлементное подмножество У независимо.
Любое трёхэлементное подмножество Y зависимо, поскольку из то го, что У = X\Y — каноническая форма минора, вытекает, что гкУ гкХ = гкУ = 2. Таким образом, Y — матроид, изоморфный U(ra + 1,2). Наконец, если (3 Y, то матроид Х\(а U Y \ 0) совпадает с У(У \ /?), а сужение U(m + 1,2) на любое m-элементное подмножество изоморфно U(m, 2). Таким образом, имеет место пункт 1. D Теорема 4.6. Пусть X — биматроид и т 4 — натуральное число. Если матроид Х± имеет минор, изоморфный U(m, 2), то существует минор в канонической форме (X±/Z)\Y, изоморфный U(m, 2) и такой, что #(Y С)Х+) 2 и #(YDX- 2). Доказательство. Согласно замечанию 1.1, достаточно показать, что существует минор (X±/Z)\Y, изоморфный U(m, 2) и такой, что #(YC\X+) 2 и #(У П Х- 2). Такой минор затем можно привести к канонической форме, не меняя множество Y.