Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Разложения типа Брюа Митрофанов Михаил Юрьевич

Разложения типа Брюа
<
Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа Разложения типа Брюа
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Митрофанов Михаил Юрьевич. Разложения типа Брюа : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.06 СПб., 2006 130 с. РГБ ОД, 61:06-1/567

Содержание к диссертации

Введение

1 Предварительные сведения 5

1.1 Теория матроидов 5

1.2 Клетки Брюа 20

2 Биматроиды 38

2.1 Определение и основные свойства 38

2.2 Биматроиды и мелкие клетки 45

2.3 Удвоение биматроида 57

3 Конструкции биматроидов 69

3.1 Вложение матроида в биматроид 69

3.2 Флаговый матроид — предварительные замечания 78

3.3 Флаговый матроид — вложение в биматроид 92

4 Критерии представимости 98

4.1 Предварительные рассуждения 98

4.2 Миноры U(n,m) 105

4.3 Миноры F7HFJ 113

А Один важный биматроид 124

Литература

Введение к работе

Одним из наиболее существенных фактов классической структурной теории алгебраических групп является разложение Брюа, открытое Гель-фандом, Наймарком и Хариш-Чандрой и доказанное в общем случае Ше-валле и Титсом (см., например, [3, 15]). В последние годы появилось значительное количество работ, посвященных, в той или иной мере, изучению связи между различными разложениями вида G = B1WB2 в одной группе G, где В\ и . — борелевские подгруппы G, содержащие некоторый фиксированный максимальный тор Т. Рассмотрение разложений такого вида, с меняющимися В\иВ2, оказывается полезным в разных областях математики, включая теорию представлений, геометрию, комбинаторику, а также, разумеется, саму структурную теорию.

Первые исследования в этой области были предприняты Люстигом и Деодхаром (см. [9, 14]), которые изучали пересечения клеток Брюа вида B w\B Г) Ви 2В, где В — борелевская подгруппа, противоположная В. В частности, в работе [9] был получен следующий результат: пересечение указанного вида непусто в том и только в том случае, когда и 2 w\ в порядке Брюа. Тем самым, уже в этом весьма частном случае была установлена важность порядка Брюа в данной области.

В дальнейшем Ч. Кертис (см. [8]) обобщил этот результат, получив точный критерий непустоты пересечения клеток вида B w\Br\Bvj2B. Этот критерий, фактически, оказался эквивалентным некоторому частному слу чаю условий предложения 1.23 ниже. В связи с этим М. Путча, Н.А. Вавилов и автор независимо сформулировали гипотезу, согласно которой условия предложения 1.23 являются как необходимыми, так и достаточными для того, чтобы пересечение клеток вида B WB B, где В пробегает все борелевские подгруппы, содержащие фиксированный максимальный тор, было непусто (см. [18]). Как будет видно из дальнейшего, эти условия на самом деле не являются достаточными.

Следует также упомянуть работу С. Фомина и А. Зелевинского [10], изучавших пересечения вида B W\B П BW2B. В частности, в этой работе было показано, что такое пересечение всегда непусто.

Вопрос о непустоте пересечения двух клеток Брюа был полностью рассмотрен в работе Н.А. Вавилова и автора ([1]), получивших комбинаторный критерий, являющийся частным случаем приведённых ниже условий предложения 1.25. Этот результат побудил автора высказать гипотезу, аналогичную вышеприведённой, о достаточности условий предложения 1.25 в общем случае. Природа, однако, устроеїіа, в данном случае, несколько сложнее наших представлений о ней. По-видимому, получить комбинаторный критерий непустоты подобных пересечений хотя бы над каким-нибудь бесконечным полем невозможно.

Перелом наступил в последнем десятилетии двадцатого века, когда А. Боровик опубликовал серию статей, с различными соавторами, связывающую пересечения «односторонних» клеток Брюа (т.е., клеток вида B wB при фиксированном В) в группе GLn(k) с теорией матроидов (см. [6, 7]). В частности, непустота пересечения таких клеток оказалась эквивалентной существованию согласованных представлений некоторой последова тельности матроидов (см. теорему 1.32). Используя эти результаты, автору удалось аналогичным образом связать пересечения произвольных клеток Брюа с более сложной комбинаторной структурой — биматроидом1.

Одновременно, удалось показать, что биматроиды являются, на самом деле, лишь частным случаем матроидов (теоремы 2.20 и 2.24). В частности, непустота пересечения оказывается эквивалентной существованию представления соответствующего матроида, что, в сочетании с результатами Татта, Биксби и Сеймура ([22, 5, 20]) позволяет построить комбинаторные критерии непустоты пересечения клеток Брюа в группе GLn(fc), где в качестве поля к выступают поля F2, F3, а также любое из существующих полей (следствия 4.10, 4.12 и теорема 4.19).

Особый интерес также представляет изучение взаимного расположения подобных пересечений, в частности, описание их замыканий. В этом направлении получен результат (следствие 3.22), согласно которому в пересечении односторонних клеток Брюа обязательно содержится открытое плотное подмножество, являющееся пересечением двусторонних клеток.

Везде в дальнейшем символом # обозначается число элементов конечного множества (напр. #Л — число элементов множества А). Через [п, т] мы будем обозначать множество {г € Z п г га} — отрезок в множестве Z.

Клетки Брюа

В дальнейшем мы всегда будем рассматривать подмножества векторного пространства как мультимножества, не оговаривая это специально. В частности, объединение подмножеств векторного пространства будем обозначать символом U, чтобы подчеркнуть, что число элементов A U В в точности равно сумме фА + #JB, даже если An В пересекаются.

Замечание 1.3. Пусть В — какой-нибудь базис матроида X и а Є X \ В. Тогда q(B) — линейно независимое множество, a q{B) U q{a) — линейно зависимое. Следовательно, q{a) Є (q(B)), откуда q(X) С (q(B)). Заменяя V на (q(B)), мы видим, что можно ограничиться лишь такими представлениями, для которых dim V = vkX. Такие представления характеризуются следующим свойством: для любого базиса В в X множество q(B) является базисом пространства V.

Пример 1.5. Матроид U(n,n) представим над любым полем. Действи 19 тельно, множество [1,п] является его единственным базисом, поэтому достаточно взять в качестве V любое га-мерное пространство над А;, а в качестве q — любую биекцию множества [1, п] на некоторый базис V.

Пример 1.6. Матроид U(ra,2) представим над полем к тогда и только тогда, когда #& п—1. Действительно, пусть q : [1,п] —+ V — представление этого матроида, причём dim У = rkU(n,2) = 2. Тогда вектора q(i) и q(j) при г ф j образуют базис V, то есть, не являются пропорциональными. Последнее означает, что их образы в проективной прямой г(к) различны. Но число элементов F1(k) равно #к + 1, откуда п #/г + 1.

Пример 1.7. Матроид Фано представим над всеми полями характеристики 2 и только над ними — см. [2].

Пример 1.8. Матроид Вамоса не представим ни над каким полем; на самом деле, он является наименьшим (в смысле количества элементов) мат-роидом, не имеющим представлений (см. [2]).

Пример 1.9. Пусть q: X —+V — представление, и АС X. Тогда сужение q\A — представление X\А. Пусть V — подпространство V, порождённое образом q{A), и cf — композиция X - V — V/V. Тогда сужение \Х\А является представлением матроида Х/А.

Пример 1.10. Пусть q : X — V — представление, и V V — подпространство. Тогда композиция X - V - V/V является представлением некоторого геометрического фактора матроида X.

Замечание 1.4. Именно пример 1.10 послужил основанием для выбора термина «геометрический фактор». Вместе с тем, вообще говоря, неверно, что если X — представимый матроид, то любой его геометрический фактор представим. В частности, любой матроид является геометрическим фактором матроида U(n,n). Последний представим, однако не любой матроид является представимым.

Теорема 1.16. Пусть X — некоторый матроид. X имеет представление над полем 2 в том и только в том случае, когда ни один минор X не изоморфен U (4,2).

Доказательство. См. [22]. D

Теорема 1.17. Пусть X — некоторый матроид. X имеет хотя бы одно представление над полем F3 в том и только в том случае, когда ни один минор X не изоморфен матроиду U(5,2), U(5,3), F7 или Fj.

Доказательство. См. [5, 20]. Теорема 1.18. Пусть X — некоторый матроид. X имеет представление над любым полем в том и только в том случае, когда ни один минор X не изоморфен ни U(4,2), ни F-?, ни F?. Доказательство. См. [22]. Замечание 1.5. Матроид, имеющий представление над любым полем, называется обычно регулярным.

Везде в дальнейшем G — некоторая группа, а (В, N) — BN-n&pa, в G. Группа Вейля N/(3 Л N) обозначается, как обычно, через W, а множество фундаментальных отражений, порождающее W — через S. Напомним, что (стандартной) клеткой Брюа называется множество вида ВгиВ, где w Є W. Клетки Брюа образуют разбиение группы G.

Известно, кроме того, что группа W является группой Кокстера, a S — множеством её кокстеровских образующих. Напомним следующее определение.

Определение 1.10. Пусть гУі,гУ2 Є W. Говорят, что элемент w\ (нестрого) меньше элемента W2 в порядке Брюа, если существует приведённое разложение W2 = S\S2.. si, такое, что некоторое его подвыражение является приведённым разложением W\: W\ = s s ... s , где ц

Замечание 1.6. Если W\ г в порядке Брюа, то для любого приведённого разложения и)2 некоторое его подвыражение является приведённым разложением W\.

Далее мы всегда будем предполагать, что группа Вейля W конечна. В этом случае (см. [4]) существует элемент WQ Є W, являющийся наибольшим в этом порядке. При этом г о = е, а умножение на WQ справа или слева обращает порядок. Группа В- = WQBWQ называется противоположной к группе В.

Предлоясение 1.19. Пусть w Є W и s Є S. Тогда произведение BsBtuB равно BsiuB при sw w и BiuB U MswB при sw w. Доказательство. См. [4].

Биматроиды и мелкие клетки

Лемма 2.9. Пусть X — биматроид. Для каждого і Є [0,п] обозначим матроид X_i+ln через Х{. Тогда последовательность матроидов X = (Xo,Xi,... ,Хп) представляет собой флаговый матроид на X.

Доказательство. При г j отрезок [n—j + l,n] содержится в [п—г + 1, п]. По определению биматроида, Xi — Xti+ln, является геометрическим фактором Х+ .+1 n = Xj. Далее, согласно следствию 2.3, rk Xi = rk Xfc_i+hn] =n- #[n - і + 1, n) = n - i. Таким образом, все условия определения 1.16 выполнены. Флаговый матроид X, построенный в лемме 2.9, будем называть остовом биматроида X.

Предложение 2.10. Пусть X — биматроид, X — его остов, и (д+,д_) — представление X в пространстве V над полем к. Введём на V флаг подпространств V = (Vo, Vi,..., Vn), определённый формулой VS = (g-([n- + l,n])).

Иначе говоря, V — такой флаг, с которым базис q {X) согласован. Тогда пара (q+,V) является предствлением X. Доказательство. Пусть і Є [0,п]. Рассмотрим композицию & : X — V — V/Vf. Так как g_([n—г+1, п]) — базис V , множество qi(A) является базисом V/Vi в том и только в том случае, когда q+(A) U q {[n — г + 1, п]) является базисом V. Последнее, по определению представления биматроида, имеет место в том и только в том случае, когда Л является базисом Xf_i+1 , = ХІ. Таким образом, ( — представление Х{ и (q+, V) — представление X. П

Зафиксируем некоторую структуру биматроида на множестве X — [1, п], и пусть X — его остов. Напомним, что X = (Хо, Х\,..., Хп) — флаговый матроид, для которого ХІ = Х _.+1пл. Тогда, согласно предложению 1.28, существует единственная формальная мелкая клетка Шуберта /+, для которой /+(эд)[1,г] — наибольшее множество, образ которого под действием перестановки w l является базисом Xn-i = Х+1пу Обозначим через и(Х) значение /+(е).

Применим построение предыдущего абзаца к биматроиду ЬХ (транспонированный биматроид X). Тогда существует единственная формальная мелкая клетка Шуберта /_, для которой /_(ш)[1,г] — наибольшее множество, образ которого иод действием перестановки w l является базисом ХТ+1, . Обозначим /-(е) через v(X).

Лемма 2.11. Пусть У, Z, Z С X — такие множества, что Y U Z является системой образующих матроида Х%,. Тогда существует базис У матроида Х%, такой, что

Замечание 2.2. Мы будем применять лемму 2.11 к множествам Z — [г,п] и Z = [j,n]. Тогда формула 2.1 записывается как

Доказательство. Согласно лемме 2.1, Z является системой образующих матроида XyuZ. Пусть Т — базис этого матроида, содержащийся в Z . Далее, матроид Xyuz является геометрическим фактором матроида Х%. По лемме 1.11, Т — независимое множество в XJ. Пусть Y — базис Xz, содержащий Т. Тогда, по лемме 2.2,

Действительно, множество lU[m,п] содержит /Um = u[l,I] — базис - fT+inl и следовательно, является системой образующих этого матроида. Применив лемму 2.11 к множествам 7, [т, п) и [I + 1, п], получаем, что существует базис А матроида ХГ ni, такой, что #(АП[1, /]) #(7П[1, т—1]). Далее, по определению v, множество J — v[l, т — 1] является наибольшим базисом ХГпи откуда, используя (2.2) и лемму 1.21, получаем, что

Предположим противное; тогда множество J U [/ + 1,п] содержит JL)v(m) = v[l, т] — базис ХГ +1 п, и, следовательно, является системой образующих этого матроида. Применив лемму 2.11 к множествам J, [/ + 1, п], [т + 1, п] и биматроиду гХ, получаем, что существует базис В матроида X+lni, такой, что #{ВС\ [1,т]) #(«/П [1,/]). Далее, по определению и, множество 7 U га = и[1,/] является наибольшим базисом Хц+1,, откуда, используя (2.2), получаем, что откуда І Є 7, что противоречит утверждению 1. Утверждение 3. v(m) 7

Действительно, множество /U [т +1, п] содержит 7 = u[l, Z — 1] — базис Xt, и, следовательно, является системой образующих этого матроида.

Применив лемму 2.11 к множествам /, [ттг+1, п] и [I, п], получаем, что существует базис С матроида Хг+1 ,, такой, что #(СП[1,1—1]) #(/П[1, га]). Далее, по определению v, множество J\Jv(m) = v[l,m] является наибольшим базисом ХГ+1п], откуда, используя (2.2), получаем, что Отсюда v(m) [1, Z — 1] и v(7n) I. Наконец, утверждения 2 и 3 вместе означают, что v(u(Z)) = v(ra) = /, что завершает доказательство

Теорема 2.13. Для произвольных w\,W2 из группы W обозначим элемент u(wiXu)2) через fx{wi- w2)- Тогда fx — единственная формальная мелкая клетка, такая, что при любых Wi, W2 Є W и І Є X = [1, п], fx(wi1W2)[l, 1} — наибольшее множество, образ которого под действием перестановки w7l является базисом X Г7,, ,.

Доказательство. Зафиксируем элементы W\,W2 Є W. Обозначим бимат-роид w\Xw2 через Y\ тогда, согласно предложению 2.5 и следствию 2.6, множество 1С. [1, п] является базисом Y,f+1 , в том и только в том случае, когда w±lI является базисом Xtfn, = XW2\i+i,ny По определению u(F), множество u(K)[l,Z] является максимальным среди таких

Флаговый матроид — предварительные замечания

Следовательно, множество q((ADB)U(AnC)\j(BnC)) линейно зависимо, а, значит, и множество (А П В) U (А П С) U (В П С) зависимо в X, так как q — представление X. Следовательно, А — зависимое множество в ХХщ. Таким образом, множество А независимо в ХХщ тогда и только тогда, когда q+(A) U q {C) — линейно независимое множество в V ф V.

Замечание 3.1. Теорема 3.6 показывает, что проблема нахождения критерия представимости матроидов может быть сведена к проблеме поиска критерия представимости биматроидов. Теорема 2.30, наоборот, показывает, что проблема представимости биматроидов сводится к проблеме пред ставимости матроидов. Таким образом, эти проблемы по существу эквивалентны. К сожалению, по видимому, нет никакой надежды на отыскание комбинаторного критерия представимости матроидов хотя бы над каким-нибудь бесконечным полем. Следовательно, представляется сомнительным, чтобы существовал критерий представимости биматроидов или, что то же самое (см. теорему 2.28) критерий реализуемости формальной мелкой клетки.

До конца этой главы предполагается, что X = (XQ, Xi,..., Хп) — некоторый флаговый матроид. Напомним, что через гк (соотв. clj) обозначается ранговая функция (соотв. замыкание) в матроиде ХІ. Пусть А, В — два подмножества X. Будем говорить, что А независимо в Хд (соотв., В независимо в Хд), если для любого г = 1

В выполняется неравенство: ftA + i ikuwA + B. (3.5) Заметим, что при г = 0 неравенство (3.5) превращается в равенство, так как гкоА = #А Наша цель — показать, что таким образом X наделяется структурой биматроида.

Всюду в дальнейшем мы сохраняем только что введённые обозначения. Кроме того, для любых двух множеств А,ВСХ, мы обозначим через гв{А) минимальное значение rkgw А + В — г по всем г = 0,1,..., #, а через В IА — максимальный элемент множества Лемма 3.7. Если А — независимое множество в Хв, а а Є X \ А, то множество A U а независимо тогда и только тогда, когда а С\В(ВІА) А.

Доказательство. Действительно, A U а не независимо тогда и только тогда, когда существует некоторое і Є [1, #-?], для которого неравенство 3.5 не выполнено, то есть Допустим, что такое і найдено.

Но мы знаем, что #Л + і гкв« A + J3(i). Отсюда получаем, что rkgw А rkB(o(A U а) гкВ(о А + 1, то есть тквм(А U а) = гкВ(о Л. Последнее равенство в точности означает, что а Є сідм А. Следовательно, множество Л U а зависимо в Xt. Лемма 3.8. Пусть АС X. Обозначим через р отображение

Замечание 3.2. Рассуждая о матроидах Xg и Хд (в дальнейшем мы докажем, что они действительно являются матроидами) удобно представлять себе диаграммы специального вида. Именно, для любого множества А С. X мы нарисуем на клетчатой бумаге график функции р из леммы 3.8, и обведём клетки, лежащие между этим графиком и осью абсцисс. Множество BQX мы будем представлять на той же диаграмме, отмечая жирными точками клетки с координатами В по горизонтали и г по вертикали. Предыдущая лемма показывает, что подобная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 3.1. На этом рисунке В = {1,3,7,10} и п — 10.

Миноры F7HFJ

Теорема 4.3. Пусть X — [1,п] uY = [1,га] — биматроиды, a f и /о — соответствующие им формальные мелкие клетки. Вложение (соотв. почти вложение) Y в X существует тогда и только тогда, когда существует вложение (соотв. почти вложение) /о в f .

Доказательство. Следует из предложений 4.1 и 4.2. Лемма 4.4. Пусть X — матроид, Y = (X/Z)\Y — его минор, Р Є Y, и а Є X \ (Y U c\Z) — такой элемент, что а Є c\(Z U /3). Тогда минор (X/Z)\(aUY\/3) изоморфен Y.

Доказательство. Заменяя X на X/Z, можно считать, что Z = 0. Пусть Y = aUY\(3, и7г:У— Y — такое отображение, что 7г(7) = 7 Для всех 7 Є Y \ Р и 7г(/3) = а. Рассмотрим произвольное множество AC.Y.

Если множество А не содержит Р, то 7г(А) = Ли имеет место эквивалентность: А независимо в Y Ч= А независимо в X А независимо в У. Допустим, что р Є А. Обозначим через А множество А \ р. Тогда А = А иРи тг(А) = A Ua. Если р Є сі А , то а Є cl/3 С сі А . Наоборот, по правилу замены, Р Є сі а, поэтому из а Є сі А следует Р Є сі А . Далее, А независимо -Ф= А независимо и (3 с\А = А независмо и а $ с\А! == тг(А) независимо.

Таким образом, независимость А равносильна независимости 7г(А), что и означает, что 7Г — изоморфизм.

Лемма 4.5. Пусть X — матроид, (X/Z)\Y — минор X в канонической форме, изоморфный U(m, 2), т Є N, и а Є X \ (У U c\Z). Имеет место один из следующих случаев: 1. c\{Z U а) П Y = 0. Минор {X/Z)\(a U Y) изоморфен U(m + 1,2), а минор (X/Z)\(aUY\{3) изоморфен U(m,2) для любого Р Є Y. 2. Существует ровно один элемент j3 EY, принадлежащий c\(ZUa). Минор (X/Z)\(a U Y \ (3) изоморфен U(m, 2).

Доказательство. Заменяя X на X/Z, можно считать, что Z = 0. Предположим вначале, что сі а П Y ф 0. Если ft и /3 — любые два элемента этого пересечения, то по правилу замены а Є clp\ откуда (З Є cla С cl/З. Но /? и (3f — элементы минора Y, изоморфного U(m, 2). Следовательно, один из них может лежать в замыкании другого лишь в случае, когда они равны. Таким образом, /? = /? и элемент (З Є У, принадлежащий сі а, единственен. Второе утверждение пункта 2 следует из леммы 4.4.

Рассмотрим теперь случай сІаПУ = 0. Обозначим множество aUY через У. Докажем, что минор Y — X\Y изоморфен U(m + 1,2).

Пусть А — любое двухэлементное подмножество У. Если А С У, то А независимо в У и, следовательно, в Y . В противном случае A = {a, j} для некоторого у Є Y. Множество {а} независимо, так как а $. СІ0, и 7 $ сі а, так как последнее замыкание не пересекается с Y. Следовательно, А независимо. Таким образом, любое двухэлементное подмножество У независимо.

Любое трёхэлементное подмножество Y зависимо, поскольку из то го, что У = X\Y — каноническая форма минора, вытекает, что гкУ гкХ = гкУ = 2. Таким образом, Y — матроид, изоморфный U(ra + 1,2). Наконец, если (3 Y, то матроид Х\(а U Y \ 0) совпадает с У(У \ /?), а сужение U(m + 1,2) на любое m-элементное подмножество изоморфно U(m, 2). Таким образом, имеет место пункт 1. D Теорема 4.6. Пусть X — биматроид и т 4 — натуральное число. Если матроид Х± имеет минор, изоморфный U(m, 2), то существует минор в канонической форме (X±/Z)\Y, изоморфный U(m, 2) и такой, что #(Y С)Х+) 2 и #(YDX- 2). Доказательство. Согласно замечанию 1.1, достаточно показать, что существует минор (X±/Z)\Y, изоморфный U(m, 2) и такой, что #(YC\X+) 2 и #(У П Х- 2). Такой минор затем можно привести к канонической форме, не меняя множество Y.