Содержание к диссертации
Введение
1 Проективность конечно порожденных плоских модулей. Предварительные сведения 11
1.1 Обозначения и соглашения 11
1.2 Модули типа Р(Ат = Am+iAm) 13
1.3 Циклические плоские модули и модули типа Р(ат = am+\am) 14
1.4 Переход от n-порожденных Д-модулсй к циклическим Яи-модулям . 18
1.5 Наследование свойства п — FGFP родственными кольцами 22
1.6 Гипотеза Лазара '. 26
1.7 Кольца с инволюцией 30
2 Дуальная размерность Голди 32
2.1 Дуальная размерность Голди - предварительные сведения 33
2.2 Проективные модули с полулокальным кольцом эндоморфизмов 39
2.3 Полусовершеные кольца 49
3 Групповые 5-кольца 51
3.1 Групповые кольца упорядоченных групп 53
3.2 Групповые Р/-алгебры 58
3.3 Полулокальные групповые алгебры 62
3.4 От полулокальных груповых алгебр к полупервичным. Редукционная теорема 65
Литература 68
- Циклические плоские модули и модули типа Р(ат = am+\am)
- Наследование свойства п — FGFP родственными кольцами
- Проективные модули с полулокальным кольцом эндоморфизмов
- Полулокальные групповые алгебры
Введение к работе
Предмет исследования и актуальность темы. Кольца над которыми все конечно порожденные плоские модули проективны будем называть правыми 5-кольцами. Класс правых 5-колец включает в себя ряд известных и хорошо изученных классов колец. В класс правых З'-колец попадают, например, артиновы и нетеровы кольца, полусовершенные кольца, квазилокальные кольца.
В I960 году Бассом в его известной статье [28] были рассмотрены кольца, над которыми проективны все правые плоские модули. Такие кольца называются совершенными справа. Эти кольца имеют внутреннее описание: кольцо R совершенное справа тогда и только тогда, когда R - полулокальное кольцо и его радикал Джекобсона Т-нильпотентен слева, то есть для всякой последовательности элементов ai,..., ап,... из J{R) существует такое к, что cikCik-i... а,\ = 0.
Естественно поставить вопрос о строении колец над которыми проективны все конечно порожденные плоские модули. Таким кольцам посвящены работы Эндо [33], Васконселоса [58], Иондрупа [41]- [44], Сахаева [14, 13, 16, 18], недавняя работа Пунинского и Ротмаллера [52], и совместные статьи трех авторов Сахаева, Факкини и Херберы [36, 37].
В 1965 году Сахаевым в работе [14] был получен критерий проективности всех n-порожденных плоских правых модулей в терминах стабилизации возрастающих цепочек правых идеалов специального вида. Поэтому
Пунинским и Ротмалером в работе 2004 года [52] было предложено называть кольца, над которыми все конечно порожденные плоские модули проективны, правыми 5-кольцами.
В 1962 году проф. Л.А. Скорняков предложил программу по гомологической классификации колец (см. [21] и [22]), в которой предлагалось охарактеризовать кольца при помощи гомологических свойств категории модулей над ними. Одним из классов таких колец были кольца, над которыми проективны все конечно порожденные правые плоские модули.
Отметим, что остается открытым вопрос о том будет ли всякое правое ^-кольцо левым 5-кольцом.
С вопросом о проективности конечно порожденных плоских модулей тесно связан следующий вопрос, поставленный в работе 1974 года Д. Лаза-ром [45]: Пусть Рц проективный R-модуль и его фактормодуль по радикалу Джекобсона P/PJ(R) конечно порожден. Будет ли конечно порожден модуль Р ?
Кольцо R будем называть (правым) L-кольцом, если для любого проективного модуля Р выполняется следующее условие: Модуль Р конечно порожден тогда и только тогда, когда конечно порожден фактормодуль P/PJ(R).
Для полулокальных колец понятие L-кольца и 5-кольца совпадают. Ла-заром было доказано, что коммутативные кольца являются L-кольцами. В работе [61] показано, что правые L-кольца являются левыми L-кольцами.
В 1984 году в работе Герасимова и Сахаева [2] был построен пример полулокалыюго кольца не являющегося ^-кольцом. Сахаевым в [17] построен пример полулокального кольца, показывающий, что проективность циклических плоских модулей не влечет проективности всех конечно порожденных плоских модулей.
В последнее время наблюдается новый всплеск интереса к ^-кольцам. В частности, техника, применяемая в исследовании конечно порожденных плоских модулей, оказалась полезной при исследованиях вопросов выполнимости теорем типа теоремы Крулля-Ремака-Шмидта (см. книгу Факкини [35]).
Цель работы: изучение З'-колец, нахождение новых классов колец, являющихся 5-кольцами. Исследование условий при которых групповые кольца являются /S-кольцами.
Основные результаты работы.
Получен новый критерий полулокальных 5-колец в терминах дуальной размерности Голди.
Показано, что групповое кольцо линейно упорядоченной группы над телом является ^-кольцом. Как следствие получена стабильная конечность групповых колец локально нильпотсптпых групп над полупримарпыми кольцами.
Показано, что если групповая алгебра конечно порожденной группы является Р/-кольцом, то она будет и 5-кольцом. Как следствие получена стабильная конечность групповых алгебр, являющихся Р7-кольцами.
Краткое содержание диссертации.
Первая глава диссертации посвящена свойствам колец, над которыми все ^-порожденные правые плоские модули проективны.
В этой главе определяются проективные модули особого вида, введенные в работах проф. И.И. Сахаева, которые тесно связаны с вопросом проективности конечно порожденных плоских модулей. Обсуждается вопрос наследования свойства быть 5-кольцом факторкольцами.
Вторая глава посвящена изучению модулей, с полулокальным кольцом эндоморфизмов. Получена новый критерий проективности всех конечно
порожденных плоских модулей над полулокальным кольцом в терминах дуальной размерности Голди. С помощью этого результата показывается, что существуют проективный модуль Р дуальная размерность Голди которого не совпадает с дуальной размерностью Голди фактормодуля P/J(P) по его радикалу Джекобсона.
Третья глава посвящена изучению групповых колец, которые являются 5-кольцами. В частности, этот вопрос для групповых колец интересен в связи с одной проблемой Капланского: всякий ли обратимый справа элемент групповой алгебры обратим. В случае поля нулевой характеристики ответ положительный. Для полей простой характеристики проблема остается открытой. В работе получено алгебраическое доказательство проблемы для групповых алгебр локально нильпотетных групп.
Показано, что групповые кольца над полупримарным кольцом линейно упорядоченной группы является 5-кольцом. В частности, показано, что групповые алгебры свободных групп являются 5-кольцами. Исследовался вопрос о проективности конечно порожденных плоских модулях над полулокальной групповой алгеброй. Проведена редукция к полу первичным полулокальным групповым алгебрам.
Теперь перейдем к изложению работы с точными формулировками полученных результатов.
Первая глава состоит из шести параграфов. В параграфе 1.1 приводятся основные соглашения, определения и факты из теории колец и модулей, которые используются в работе. Параграфы 1.2-1.4 посвящены изложению техники, разработанной проф. Сахаевым, для изучения конечно порожденных плоских модулей с помощью проективных модулей типа Р(Ат = Ат+1Ат). В параграфе 1.5 показано, что если / - нильпотентный идеал, то кольцо R - 5-кольцо тогда и только тогда, когда R/I является
5-кольцом.
Теорема 1.5.6 21 - нильпотентный идеал кольца R, то кольцо R является п — FGFP-кольцом тогда и только тогда, когда таковым является кольцо R/Qi.
Параграф 1.6 посвящен L-кольцам. В нем приведен критерий L-кольца. В параграфе 1.7 показано что полулокальные кольца с инволюцией, удовлетворяющей некоторому дополнительному условию, являются 5-кольцами. А именно, справедлива следующая
Теорема 1.7.2 Пусть R полулокалыюе кольцо с инволюцией *, R = R/J(R) = їД, где Д = МПіТі и Ті тела. Если индуцированная инволюция на факторкольце R удовлетворяет условию (Д)* = Д, то кольцо R является 5-кольцом.
Вторая глава состоит из трех параграфов. В первом приведены вспомогательные сведения о дуальной размерности Голди. Результаты этого параграфа по большей части известны и разбросаны по различным статьям. Доказательства приведены для тех утверждений, доказательство которых автору не удалось найти в доступных ему статьях или утверждения были переформулированы в более удобной для дальнейшего изложения форме.
Bo-втором параграфе получен новый критерий проективности конечно порожденных плоских модулей для иолулокальных колец.
Лемма 2.2.1 Пусть Р (само-)проективный левый Я-модуль. Обозначим S = Eomji(P,P) кольцо эндоморфизмов модуля Р, I = Нотд(Р, J(P)) идеал кольца S. Если S/I является полулокальным кольцом, то фактор-модуль P/J(P) конечно порожден.
Пусть R - кольцо. Будем обозначать через codim (Р) дуальную размер-
ность Голди правого Р-модуля Р.
Теорема 2.2.5. Проективный левый Р-модуль Р, кольцо эндоморфизмов которого полулокально, является конечно порожденным если и только если codim (Р) = codim (P/J(P)).
Следствие 2.2.6. Пусть R - полулокалыюе кольцо. Р - проективный правый Р-модуль, такой, что P/J(P) конечно порожден. Тогда Р является конечно порожденным если и только если codim (Р) = codim (P/J(P)).
Теорема 2.2.7. Пусть R полулокалыюе кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны:
всякий конечно порожденный плоский модуль проективен;
для любого проективного модуля Р, такого, что codim P/J(R)P < со, выполнено codim Р = codim P/J(R)P.
В конце параграфа показано (пример 2.2.9), что для любого целого положительного п можно построить полулокальное кольцо R, над которым существует проективный Р-модуль Р со свойством codim r(P/J(P)) = п и codim #(Р) Ф п.
В параграфе 2.3 обсуждаются вопросы существования плоского накрытия модулей.
Третья глава посвящена изучению вопроса проективности всех конечно порожденных плоских модулей над групповыми алгебрами (под алгеброй всюду понимается алгебра над полем.) Она состоит из четырех параграфов.
В первом параграфе рассматриваются групповые алгебры над линейно упорядоченными группами. Техника позволяет доказать результаты для более широкого класса нежели групповые алгебры, а именно для групповых колец линейно упорядоченных групп над полупримарными кольцами.
Теорема 3.1.6 Пусть R[G] групповое кольцо группы G над полупри-марным кольцом R. Если в G существует линейно упорядочиваемая подгруппа конечного индекса, то R[G] является S-кольцом.
Следствие 3.1.7 Пусть G локально свободная группа, R - полупри-марное кольцо, тогда R[G] является 5-кольцом.
Следствие 3.1.8 Пусть G группа, R - полупримарное кольцо. Если G конечно-порожденная почти нильпотентная группа (то есть в G существует нильпотентная подгруппа конечного индекса), то R[G] является S-кольцом.
Кольцо R называется конечным по Дедекинду, если для любых х,у Є R равенство ху = 1, влечет ух = 1. Кольцо называется стабильно конечным, если для любого п кольцо матриц Rn конечно по Дедекинду.
Следствие 3.1.10 Пусть G нильпотентная группа, R - полупримарное кольцо. Тогда групповое кольцо R[G] является стабильно конечным.
В конце параграфа приведен пример конечно порожденной разрешимой группы G, такой, что групповая алгебра k[G] поля нулевой характеристики над группой G не является S-кольцом.
Параграф 3.2 посвящен групповым Рі-алгебрам. Строение групповых алгебр связано с р-абелевыми группами.
Намомним, что группа G называется р-абелевой, если в ней существует подгруппа конечного индекса Н, коммутант которой - конечная р-группа.
Теорема 3.2.4 Пусть R = k[G] групповая алгебра. Если G конечно порожденная р-абелева группа и характеристика поля = р, то R является 5-кольцом.
Теорема 3.2.5 Пусть k[G] групповая Р/-алгебра. Тогда для всякого
проективного А;[С]-модуля Р конечная порожденность модуля P/PJ{k[G\) влечет конечную порожденность модуля Р.
В параграфе 3.3 рассматриваются полулокальные групповые алгебры. Пусть k[G] - групповая алгебра. Рассмотрим группу (относительно умножения) G = {д + J(k[G])\g Є G} я гомоморфизм групп в : G -» G.
Теорема 3.3.2 Пусть k[G] - полулокальная групповая алгебра группы G над полем к. Обозначим через Н = Кег в. Справедливы следующие утверждения.
Если характеристика поля А; равна р, то Н является р-группой.
В случае поля нулевой характеристики группы G и G изоморфны.
Теорема 3.3.3 Если k[G] — полулокальная групповая алгебра конечно порожденной группы G над алгебраически замкнутым несчетным полем к характеристики р, то в группе G существует нормальная р-подгруппа Н конечного индекса, такая что ui{H)k[G\ С J{k[G\).
Теорема 3.3.4 Если k[G] полулокальная групповая алгебра группы G над алгебраически замкнутым несчетным полем к, то любой конечно порожденный плоский &[С]-модуль проективен.
В параграфе 3.4 показано, что при рассмотрении вопроса о проективности конечно порожденных плоских модулей можно считать, что групповая алгебра полупервична, то есть не содержит нильпотентных идеалов.
Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору И.И. Сахаеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.
Циклические плоские модули и модули типа Р(ат = am+\am)
В этом параграфе мы приведем критерии проективности циклических плоских модулей. Для плоских модулей справедлива следующая лемма, впервые опубликованная в работе Чейза [30, Предложение 1.2].
Лемма 1.3.1. Пусть R — кольцо HQ— K— F— M— 0 — точная последовательность Л-модулсй, причем F проективен. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1. М плоский. 2. Для любого и Є К существует гомоморфизм в : F — К, такой, что в (и) = и. 3. Для любых иі,...,ип из К существует гомоморфизм В : F К, такой, что 9(щ) = щ для і = 1,..., п. Лемма 1.3.2. Пусть R — кольцо, А его правый идеал. R/A — плоский модуль тогда и только тогда, когда для любого а Є А существует b Є А, такое, что а = Ьа.
Доказательство. Рассмотрим точную последовательность 0 — А — R — R/A —0. В силу леммы 1.3.1 существует гомоморфизм в : R — А, та кой, что 6(a) = а. Тогда искомое Ъ = 0(1). Обратно, положим 0(г) — Ьг. Гомоморфизм в : R- А удовлетворяет условию 2 леммы 1.3.1. D Теорема 1.3.3. Пусть Р модуль типа Р(ат = ат+\ат). Тогда справедливы следующие утверждения: (1.) Модуль Р проективен. (2.) Модуль F/P плоский. (3.) Если модуль Р конечно порожден, то модуль F/P проективен.
Доказательство. Пункты 1 и 2 доказаны в работах Сахаева [20] и [14], соответственно. Так как эти утверждения одни из ключевых мест в дальнейшем изложении, то здесь приводятся их краткие доказательства.
Пусть ат = ат+\ат (га = 1,2,...) последовательность элементов из R. Можем считать, что J = Р{ат — ат+\ат) = 2mamR правый идеал в кольце R.
Рассмотрим гомоморфизмы рт : J — R определенные по правилам ( i(a) = а и (pm+i(a) = (1 — ат)а для любого элемента а Є J. Система гомоморфизмов {(рт\т = 1,2,...} обладает следующими свойствами: для любого элемента а Є J (1) (рт(а) = 0 для почти всех га; (2) а =
Действительно, a = am-\r = amam_ir = ата для некоторого га. Более того ат — aiam для всех / га. Поэтому (1 — щ)а = 0 для всех / га. Em=i атРт(а) = аха + а2(1 - ai)a +... + am(l - am_i)a + am+i(l - am)a = й\а + a,2a — a\a +... + ama — am_ia + ат+\а — ama = am+\a = am+iama = a
Таким образом, система пар {(рт,ат\т = 1,2,...} образует дуальный базис ([27, Упражнение 17.11, с. 203]). Следовательно, правый идеал J про-ективен. Так как для любого элемента а Є J существует такое m, что а = ата, то по лемме 1.3.2 R/J плоский. Если конечно порожден, то J = amR для некоторого га. Поэтому J циклический и, в силу проективности, порождается идемпотентом. Если J = eR, где е2 = е, то R/J = (1 — e)R - конечно порожден.
Теорема 1.3.4. Пусть Р модуль типа Р(ат = ат+\ат). Зафиксируем последовательность элементов ат, определяющих модуль Р. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1. Модуль Р конечно порожден. 2. Существует mo, такое, что ат — ат ат для любых т,т то. 3. Стабилизируется возрастающая цепь правых і?п-модулей a\R С a2R С ...amR С.... Доказательство. Эквивалентность пунктов доказаны в [19], лемма 3. Теорема 1.3.5. Пусть R - кольцо. Следующие утверждения эквивалентны: 1) Всякий циклический плоский правый Л-модуль ироективен. 2) Всякий модуль типа Р[йт — йт+ійт) конечно порожден. 3) Всякая а-последовательность кольца R стабилизируется.
Доказательство. Наряду с теоремой 1.3.3 эта теорема составляет основу дальнейших рассуждений, поэтому здесь приведено ее доказательство. Впервые теорема доказана в других терминах в работе Сахаева [14], теорема 3.
Эквивалентность утверждений 2) и 3) следует из теоремы 1.3.3.
Покажем эквивалентность 1) и 2). В силу теоремы 1.3.3 модуль R/P(am = amam+i) - плоский, поэтому он проективен. Значит точная последовательность 0 — Р{ат — amam+i) —R — R/P(am = amam+i) —» 0 расщепляется и модуль Р(ат = атат+\) выделяется прямым слагаемым в і? и, стало быть, является циклическим.
Обратно, рассмотрим циклический плоский модуль R/I, где / правый идеал. Рассмотрим произвольный элемент аі Є І. По лемме 1.3.2 существует 0,2 Є /, такой, что ai = й2а\. Таким образом строится цепочка элементов О гп — Om+i m идеала I. По условию она стабилизируется, следовательно существует идемпотент еі Є I, такой, что Р(ат = ат+\ат) = e\R.
Если Р(ат = атат+і) Ф" I, то рассмотрим правый идеал 1\ = / П (1 — el)R. Имеем R/h = R/(I плоский модуль. Поэтому, ана (1 — е\)Н 1 логично предыдущему, строится идемпотент е2 = (1 - е\)е 2 Є 1\. Обозна чим (он ненулевой, иначе раскрыв скобки и умножив справа на е2, получили бы е2 = 0.) Таким образом строим последовательность ортогональных идемпотентов. Если / Ф" e\R ф е2Я ф ... ф е Д, то можем построить новый ортогональный идемпотент (сначала в (1 — е\ —... — е&)Д, потом умножим на (1 - ei -... - ejt) справа). Так как bk = 1 + е\ +... + е образуют цепочку вида b/. = б +і&ь то по условию она стабилизируется и, в силу ортогональности е , на некотором шаге Ьк = 0. Отсюда идеал I ко нечно порожден (и раскладывается в сумму ортогональных идемпотентов). Значит R/I = R/eR = (1 - е)R - проективен.
Наследование свойства п — FGFP родственными кольцами
Если кольцо является п — FGFP-кольцом, то таковым будет и всякое под-кольцо. В этом параграфе мы рассмотрим вопросы "наследования"свойства кольца быть п — FGFP кольцом кольцами, связанными с исходным некоторым естественным способом. Например, кольцо R является п — FGFP-кольцом, тогда и только тогда, когда кольцо матриц Rn будет 1 — FGFP-кольцом
Вообще говоря, свойство быть п — FGFP-кольцом не сохраняется при переходе к факторкольцам. Так, например, -кольцом является любая свободная ассоциативная алгебра (как кольцо вложимое в тело), но существуют алгебры не являющиеся 5-кольцами.
Отметим очевидную Теорема 1.5.1. Прямая сумма колец R = \=1Rin-FGFP кольцо, тогда и только тогда, когда Riti — FGFP-колъир, для любого г — 1,...,1.
Теорема 1.5.2. Пусть / - локально пильпотентный идеал кольца R, если R/I является п — FGFP-кольцом, то R - п — FGFP-колъцо.
Доказательство. Обозначим R факторкольцо R/I, если а Є R, то обозначим через а = а + I. Аналогично для матрицы А — (а ) над кольцом R будем обозначать А = (ау-) матрицу над кольцом R.
Пусть Ат Є Rn (m = 1,2,...) последовательности матриц кольца R, удовлетворяющая условиям Ат = Am+iAm (т= 1,2,...). Рассмотрим соответствующую последовательность матриц Ат над R. По условию существует такое то, что для всех т,т то выполнено Т _ л ГА Таким образом существует такое то, что для всех т,т то выполнено Ат — Ат Ат Є /„. В силу локальной нильпотентности /, идеал 1п является ниль-идеалом. Поэтому для всякой пары т,т 0 существует р = р{т, т ), такое, что (Агп - Am Am)v = 0.
Покажем, что Am+iRn С AmRn для всех т то. Имеем (Ат+2 — АтАт+2)р — 0. Раскрывая скобки и учитывая, что Ат+2Ат = Ат, получим Арт+2 = AmDm+2. Так как Am+i = Лт+2Ат+1 = Apm+2Am+i = AmDm+2Am+h то теорема доказана Теорема 1.5.3. Пусть 01 — идеал кольца R и последовательность элементов vm (т = 1,2,...) удовлетворяет условию vm = vm+\vm mod 21. Тогда существует последовательность элементов dm, такая, что dm = dTn+idm mod 2l2, dm = V2m-i mod 21. Доказательство. Построим, сначала, вспомогательную последовательность элементов ит, удовлетворяющую свойствам (т 2): um-ium-2 = umum-ium-2 mod 2l2 (1.2) um = vm mod 21 (1.3) Положим u\ = vi,U2 = V2. Далее для m 2 строим um индуктивно: um = vm + um-ivm - vmum-ivm (1.4)
Теорема 1.5.4. Пусть 21 — нильпотентный идеал кольца R и последовательность элементов vm (т = 1,2,...) удовлетворяет условию vm = vm+ivm mod 21. Тогда существует последовательность dm кольца R, такая, что dm — drn+idm и dm = vmp mod 21, где p — некоторое фиксированное число.
Доказательство. Индукция по степени нильпотентности к идеала 21.
При к = 1 утверждение тривиально. Согласно предыдущей теореме строим последовательно цепочки {dm }m=i, такие, что dm = dm mod 2t2 и dm = (rj+1dm mod 2l2. В силу нильпотентности 21, на некотором шаге получим равенство dm = с н-і Так как нильпотентность идеала 21 влечет нильпотентность 21„, то справедливо
Замечание 1.5.5. Пусть 21 - нильпотеитный идеал кольца R и последовательность матриц Ат удовлетворяет условию Ат = Ат+\Ат mod 2ln. Тогда существует последовательность Dm кольца Яп, такая, что Dm = Dm+iDm и Dm = Атр mod 2ln, где p — некоторое фиксированное число.
Теорема 1.5.6. Если 21 - нильпотеитный идеал кольца R, то кольцо R является n—FGFР-кольцом тогда и только тогда, когда таковым является кольцо Я/21.
Доказательство. Необходимость следует из теоремы 1.5.2. Пусть дана а-последовательность элементов Ат = Am+iAm кольца пхп матриц над кольцом Д/21. По теореме 1.5.4 существует последовательность Dm кольца Rn, такая, что Dm = Dm+iDm и Dm = Атр mod 2ln, где р некоторое фиксированное число. По условию она стабилизируется. Значит стабилизируется и последовательность Ат. П Замечание 1.5.7. Пусть I - ниль-идеал кольца R. Тогда если кольцо R/I, является 1 — FGFP-кольцом то таковым является и кольцо R.
Действительно, утверждение следует из того, что идемпотенты поднимаются по модулю ниль-идеала и из теоремы Бека 1.6.2 (формулировку см. в след. параграфе).
Верны ли утверждения аналогичные теореме 1.5.6 для ниль-идеалов автору не известно. 1.6 Гипотеза Лазара
В работе Лазара [45] сформулирован следующий вопрос, который мы будем называть гипотезой Лазара: Пусть Р — проективный R-модулъ, такой, что модуль P/PJ(R) конечно порожден. Будет ли модуль Р конечно порооюден?
Определение 1.6.1. Будем говорить, что кольцо R является L-кольцом, если конечно порожден всякий проективный (правый) Д-модуль Р, фак-тормодуль которого P/PJ(R) конечно порожденный модуль.
Как показал Д. Лазар (см. [45]) коммутативные кольца являются L-кольцами. Там же был поставлен вопрос о том будет ли каждое кольцо L-кольцом. Цёшингер в [61] и Сахаев в работах [15, 16, 17, 18] исследовали проблему Лазара. Сахаев и Герасимов в [2] построили некоммутативное полулокальнос кольцо над которым существует проективный Д-модуль Р, фактормодуль P/J(P) которого конечно порожден, а модуль Р конечно порожденным не является. Цёшингер в [61] показал совпадение класса правых и левых L-колец.
Проективные модули с полулокальным кольцом эндоморфизмов
В этой главе рассматриваются модули с конечной дуальной размерностью Голди и модули с иолулокальным кольцом эндоморфизмов.
Получен новый критерий проективности конечно порожденных плоских модулей для полулокальных колец в терминах дуальной размерности Голди.
Модули с полулокальным кольцом эндоморфизмов обладают следующим полезным свойством. Теорема (Эванс) Пусть R - кольцо, Ац - модуль с полу локальным кольцом эндоморфизмов Нотд(Л, А). Если для модулей BR, CR выполнено А(&В АС , тоВ С.
Модули с таким свойством представляют особый интерес в связи с новыми результатами о представлении модулей в виде прямой суммы неразложимых модулей специального вида и выполнимости теорем типа теоремы Крулля-Ремака-Шмидта (библиографию см. в книге Факкини [35]). Так Факкини показал, что разложение модуля в прямую сумму цепных модулей не однозначно.
В этом параграфе собраны некоторые сведения о дуальной размерности Голди. Дуальная размерность Голди изучалась в статьях многих авторов под разными названиями [38], [39], [47], [54], [55], [56], [57]. Модули, кольцо эндоморфизмов которых полулокально, были изучены в статьях [40], [47] и [48].
Результаты этого параграфа по большей части известны и разбросаны по различным статьям. Доказательства приведены для тех утверждений, доказательство которых автору не удалось найти в доступных ему статьях или утверждения были переформулированы в более удобной для дальнейшего изложения форме.
Пусть (L, V, Л) модулярная решетка с 0 и 1. То есть L решетка, удовле-торяющая условию модулярности aV(6Ac) = (aVb)Ac), для всех a,b,c L и с а, и имеющая наименьший элемент 0 и наибольший элемент 1. Если а, Ь Є L и а Ь, то множество [а, Ь] = {х Є L\a х b} будем называть интервалом между а и Ь.
Конечное подмножество {йі Є L \ {0}} называется независимым (join-independent), если aiA(Vj iuj) = 0. Пустое подмножество в L\ {0} независимо. Произвольное подмножество А С L \ {0} называется независимым, если независимо любое его конечное подмножество.
Элемент а Є L называется существенным (essential), аЛх -ф 0, для любого ненулевого х Є L. Если а b элементы L, то говорят, что а существенно в Ь, если а существенный элемент в решетке [0,6].
Отметим некоторые элементарные свойства существенных элементов. Лемма 2.1.1 (Лемма 2.32, [35]). Если а,Ь,с Є L элемент а существенный в b, b существенный в с, то а существенный в с. Лемма 2.1.2 (Лемма 2.33,[35]). Пусть a,b,c,d Є L и d A d = 0. Если a существенный элемент в b, с существенный в d, то а V с существенный в bWd.
Решетка L ф {0} называется униморфной, если каждый ненулевой элемент в L существенный. Другими словами, если a, b Є L и а Л b = 0, то либо а = 0 либо 6 = 0. Элемент а Є L называется униморфным, если а ф 0 и решетка [0, а] униморфна.
Лемма 2.1.3 (Лемма 2.35, с. 53, [35]). Если модулярная решетка L не содержит бесконечного независимого подмножества, то для каждого ненулевого элемента а Є L существует униморфный элемент b Є L, такой, что b a. Теорема 2.1.4 (Теорема 2.36, с. 60, [35]). Следующие условия для модулярной решетки L с 0 и 1 эквивалентны: 1) L не содержит бесконечного независимого подмножества; 2) L содержит конечное независимое подмножество {ai,...,an}, такое, что ai униморфны (г = 1,... ,п) и а\ V аг V ... V ап существенный элемент в L; 3) мощность любого независимого подмножества віне превосходит т, для некоторого фиксированного т; 4) если а\ й2 ... ап ... возрастающая последовательность элементов из L, то существует г 0, такое, что щ существенно в ay для любого _; г.
Если выполнено одно из этих условий, то мощность независимых подмножеств не превосходит числа п из пункта 2. Определение 2.1.5. Если модулярная решетка L с 0 и 1 содержит конечное независимое подмножество {ai,...,an}, такое, что а; униморфны (г = 1,..., п) и а\ V аг V ... V ап существенный элемент в L, то число п называется размерностью Голди решетки L и обозначается dim L. В противном случае говорят, что размерность Голди равна бесконечности.
Определение 2.1.6. Рассмотрим решетку подмодулей L(M) = (М, , Л, V) = (С, п, +) правого і?-модуля М. Если решетка подмодулей L(M) имеет конечную размерность Голди, равную п, то говорят, что модуль М имеет конечную размерность Голди. Будем писать в этом случае dim М = п. Покажем как выглядят эти определения в теории модулей.
Подмодуль iV модуля М называется существенным (обозначение iV М), если для любого ненулевого подмодуля U М пересечение U f] N ф 0. Модуль М называется униморфпым, если всякий подмодуль в М существенный. Конечное семейство подмодулей Ni,...,Nk модуля М называется независимым, если -ЭДГКХ г У? ) = 0. Пустое подмножество подмодулей независимо. Произвольное семейство подмодулей, не содержащих нулевой подмодуль называется независимым, если независимо любое его конечное подмножество.
Справелива следующая Теорема 2.1.7. Следующие условия для модуля М эквивалентны: 1) М не содержит бесконечного независимого семейства подмодулей; 2) содержит конечное независимое подмножество униморфных подмо дулей U\,..., Un и U\ ф U2 0 Un существенный подмодуль в М; 3) мощность любого независимого подмножества подмодулей в М не пре восходит т, для некоторого фиксированного
Полулокальные групповые алгебры
Напомним, что кольцо R называется (правым) п — FGFP-колъцом, если проективен всякий n-порожденный (правый) плоский Л-модуль.
Напомним, также что кольцо R правым n—FGFP-колъцои, если и только если для всякой последовательности матриц Ат Є Rn (m = 1,2,...), удовлетворяющей условиям Ат = Am+iAm (т = 1,2,...) существует такое то, что для всех т, т то выполнено Ясно, что подкольца правых 5-колец являются правыми 5-кольцами. В класс б -колец входят, в частности, кольца вложимые в тела.
Группа G называется линейно упорядоченной, если все элементы группы сравнимы и, если х у, то axb ayb, для всех элементов а, Ь,х,у Є G. Справедлива следующая Теорема 3.1.1 (Мальцев, [5]). Пусть к - поле, G - линейно упорядоченная группа. Групповая алгебра k[G] вкладывается в алгебру с делением.
Та же самая конструкция вложения в тело, приведенная в статье и называемая конструкцией Мальцева-Неймана, позволяет доказать результат о вложении группового кольца k[G] линейно упорядоченной группы G над телом к [32, Следствие 8.7.6, с. 528].
Известно, что упорядочиваемы локально свободные группы, нильпо-тентиые группа без кручения, в частности, абелевы группы без кручения.
Свойство кольца быть 5-кольцом наследуется подкольцами. При некоторых предположениях можно поднять свойство быть б -кольцом с подкольца на все кольцо. Справедливо следующее
Предложение 3.1.2 ([41], Предложение 1.2). Пусть В! и R - кольца и р : В! — R кольцевой гомоморфизм, сохраняющий единицу и кольцо R, рассматриваемое как правый Д -модуль, является конечно порожденным плоским Я -модулем. Тогда если R! является й -кольцом, то и R является S- кольцом.
Если Н подгруппа конечного индекса группы G, то групповое кольцо R[G] группы G над кольцом R является конечно порожденным свободным .Я[Я]-модулем. Таким образом справедлива следующая
Лемма 3.1.3. Пусть Н подгруппа конечного индекса группы G. Групповое кольцо R[G] группы G над кольцом R является 5-кольцом, тогда и только тогда, когда R[H] - 5-кольцо.
Говорят, что группа почти обладает некоторым свойством, если она обладает нормальной подгруппой конечного индекса, которая удовлетворяет этому свойству. Для наших целей достаточно будет существование иод-групп конечного индекса, обладающих некоторым свойством.
Теорема 3.1.4. Пусть R = k[G] групповое кольцо группы G над телом к. Если в G существует линейно упорядочиваемая подгруппа конечного индекса, то R является З -кольцом.
Доказательство. Пусть Н подгруппа конечного индекса группы G. Со гласно предыдущей лемме достаточно доказать, что к[Н] 5-кольцо. Так как к[Н] вкладывается в тело, то утверждение доказано. Определение 3.1.5. Кольцо R назывется полупримарным, если R полу-локалыюе и радикал Джекобсона нильпотентеи.
Теорема 3.1.6. Пусть R[G] групповое кольцо группы G над полупримарным кольцом R. Если в G существует линейно упорядочиваемая подгруппа конечного индекса, то R[G] является 5-кольцом. Доказательство. Согласно лемме 3.1.3 можно считать, что G линейно упорядочиваемая группа.
Имеем, R/J(R) = 0 Д, где Д - кольцо матриц над телом. Идеал J(R)G - нильпотентен, поэтому по теореме 1.5.6 R[G]/J(R)G = R/J(R)[G] является S-кольцом тогда и только тогда, когда R/J(R)[G] - 5-кольцо. Рассмотрим (ф іД)[С] = 0 1 Д[С]. По теореме 1.5.1 достаточно доказать, что 5-кольцами являются Д[(7].
Рассмотрим групповое кольцо Tn[G], где Т тело. Заметим, что Tn[G] — Matn(T[G]). Так как кольцо п х n-матриц над 5-кольцом является 5-кольцом и T[G] вкладывается в тело, то утверждение доказано. Следствие 3.1.7. Пусть G локально свободная группа, R - полупримар-ное кольцо, тогда R[G] является 5-кольцом.
Доказательство. Согласно следствию 5 [8, с. 33] локально свободные группы упорядочиваемы, применение теоремы 3.1.6 завершает доказательство. Следствие 3.1.8. Пусть G группа, R - полупримарное кольцо. Если G конечно-порожденная почти пильпотентная группа (то есть в G существует пильпотентная подгруппа конечного индекса), то R[G] является 5-кольцом.
Доказательство. Подгруппа конечного индекса конечно порожденной группы - конечно порождена. Поэтому, можем считать, что G конечно порожденная пильпотентная группа.
Группа G конечно порождена и нильпотентна, поэтому почти вся без кручения [6, Теорема 17.2.2, с. 158]. То есть в G существует нормальная подгруппа конечного индекса Н без кручения.
