Содержание к диссертации
Введение
1. Слабо регулярные кольца и модули 16
1.1. Предварительные сведения 16
1.2. Слабо регулярные модули 19
1.3. Слабая регулярность категории модулей 27
1.4. Замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямых сумм 35
1.5. Слабо регулярные модули над коммутативными кольцами 49
2. Прямые суммы слабо регулярных модулей 57
2.1. Прямые суммы слабо регулярных модулей над совершенными кольцами 57
2.2. Прямые суммы модулей со свойством поднятия 76
3. Прямые суммы 1 - строго слабо регулярных модулей 86
3.1. Проективные 1-строго слабо регулярные модули 86
3.2. 1 -строго слабо регулярные модули 100
3.3. Прямые суммы 1 - строго слабо регулярных модулей 102
Литература 111
- Слабо регулярные модули
- Слабо регулярные модули над коммутативными кольцами
- Прямые суммы модулей со свойством поднятия
- Прямые суммы 1 - строго слабо регулярных модулей
Введение к работе
Предмет исследования и актуальность темы. Кольцо R называется слабо регулярным, если каждый его правый (левый) идеал, который не содержится в радикале Джекобсона кольца R, содержит в себе ненулевой идемпотент. Класс слабо регулярных колец включает в себя ряд хорошо известных и изученных классов колец. Например, слабо регулярными кольцами являются полусовершенные кольца, регулярные кольца, полурегулярные кольца, полуартиновы кольца и кольца со свойством замены. Слабо регулярные кольца, у которых радикал Джекобсона является ниль — идеалом, под названием I — колец изучались Левицким в работе [66]. I — кольца также рассматриваются в книге Джекобсона [4]. Слабо регулярные кольца под названием лево - I — подобных колец были введены в 1965 году И.И. Сахаевым в работе [15]. В частности, И.И. Сахаевым полусовершенные кольца были охарактеризованы, как слабо регулярные кольца, у которых всякое множество попарно ортогональных ненулевых идемпотентов конечно. Никольсон в 1975 году в работе [69] ввел и изучил слабо регулярные кольца под названием 1о - колец.
Понятие слабо регулярного модуля, как модульного аналога понятия слабо регулярного кольца, было введено в начале 90 — ых годов XX века И.И. Сахаевым. X. Хакми изучал проективные слабо регулярные модули и их кольца эндоморфизмов. В частности, им были описаны кольца, над которыми каждый проективный модуль имеет слабое регулярное кольцо эндоморфизмов. Также X. Хакми установил, что над слабо регулярным кольцом каждый проективный модуль является слабо регулярным.
В последние десятилетия специальные случаи слабо регулярных модулей рассматривались различными авторами. Слабо регулярными модулями являются регулярные модули, полурегулярные модули и модули со свойством поднятия. Модули со свойством поднятия изучали Визбаур [74], Оширо [72]-[74], Кескин [63]-[64], Ломп [63], Ваная и Пуров [84]. В частности, в работе [84] было установлено, что над кольцом R все правые модули являются модулями со свойством поднятия тогда и только тогда, когда R является артиновым полуцепным и J2(R)=0. В работе [63] Кескин и Ломп установили, что у полусовершенного кольца R квадрат радикала Джекобсона равен нулю тогда и только тогда, когда над ним каждая прямая сумма локального проективного модуля и простого модуля является модулем со свойством поднятия. Свойства полурегулярных модулей подробно изучил Никольсон в работе [69]. Регулярные модули изучал Зельманович в работе [86].
Введение и изучение слабо регулярных модулей позволяет развить единообразный подход ко всем модулям упомянутых выше. Цель работы: установление условий, при которых имеет место замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямой суммы. Систематическое описание колец, над которыми модули являются прямыми суммами слабо регулярных модулей. Основные результаты работы.
1. В случае полусовершенных колец описаны кольца, над которыми все правые модули слабо регулярны, и кольца, над которыми правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы.
Установлено, что кольца, над которыми слабо регулярные правые модули замкнуты относительно прямой суммы, являются правыми кольцами Басса.
Для слабо регулярного кольца R установлено, что из условия замкнутости слабо регулярных правых R - модулей относительно прямой суммы следует полупростота правого R - модуля J(R)R.
Дана новая характеристика артиновых полуцепных колец, как колец, над которыми каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством поднятия.
Описаны 1 - строго слабо регулярные проективные модули.
Получены необходимые и достаточные условия для колец, над которыми все модули являются 1- строго слабо регулярными.
В совершенном и коммутативном случае описаны кольца, над которыми все модули являются прямыми суммами 1 - строго слабо регулярных модулей.
Краткое содержание диссертации.
Первая глава диссертации посвящена изучению свойств колец, над которыми все модули слабо регулярны, и условиям замкнутости слабо регулярных модулей относительно прямых сумм. В случае полусовершенных колец описаны кольца, над которыми все правые модули слабо регулярны, и кольца, над которыми правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы. Было установлено, что если над кольцом R правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы, то оно является правым кольцом Басса. В случае, когда кольцо R является слабо регулярным, показано, что условие замкнутости правых слабо регулярных модулей относительно прямой суммы влечет полупростоту правого R -модуля J(R)R. В коммутативном случае описаны кольца, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. Вторая глава посвящена изучению колец, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного число слабо регулярных модулей. Получена новая характеристика артиновых полуцепных колец, как совершенных справа колец, над которыми каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей. С помощью этого результата доказывается, что кольцо R является артиновым полуцепным тогда и только тогда, когда над ним каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством поднятия. Приводится также пример кольца, над которым правые модули являются прямыми суммами конечного числа слабо регулярных модулей, а левые - нет.
Третья глава посвящена изучению колец, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного числа 1- строго слабо регулярных модулей. Описаны проективные 1 - строго слабо регулярные модули.
Показано, что над кольцом R всякий правый модуль является 1 - строго слабо регулярным тогда и только тогда, когда оно либо классически полупросто, либо является цепным, у которого J (R)=0. В ряде случаев т описаны кольца, над которыми каждый модуль является прямой суммой 1 строго слабо регулярных модулей.
Теперь перейдем к изложению работы с точными формулировками полученных результатов.
Первая глава состоит из пяти параграфов. В параграфе 1.1 приводятся основные соглашения, определения и факты из теории колец и модулей, (, которые используются в работе. Параграф 1.2 посвящен определению слабо регулярного модуля.
Определение 1.2.1. Правый R - модуль М называется слабо регулярным, если каждый его подмодуль, который не содержится в радикале Джекобсона модуля М, содержит в себе ненулевое прямое слагаемое модуля М.
Рассматриваются случаи, когда слабо регулярные модули замкнуты ,», относительно взятия прямых сумм.
Теорема 1.2.14. Модуль, который является прямой суммой слабо регулярных проективных модулей, является слабо регулярным проективным модулем. В конце параграфа приводится пример, показывающий, что слабо регулярные модули, вообще говоря, не замкнуты относительно прямой суммы. т Параграф 1.3 посвящен изучению колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. В следующей теореме устанавливаются некоторые свойства таких колец.
Теорема 1.3.5. Если над кольцом R каждый правый модуль слабо регулярен, то имеют место следующие свойства:
J2(R)=0; с для каждого правого R - модуля имеет место равенство J(J(M))=0;
3) каждый правый R - модуль, радикал Джекобсона которого не равен нулю, содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
4) каждый правый неразложимый модуль над кольцом R является либо простым, либо цепным длины два.
Применяя предыдущую теорему к случаю полусовершенного кольца, мы получаем следующий результат.
Теорема 1.3.7. Для полусовершенного кольца R следующие условия равносильны:
1) над кольцом R все правые модули слабо регулярны;
над кольцом R все левые модули слабо регулярны;
кольцо R является артиновым полуцепным, квадрат радикала которого равен нулю;
над кольцом R каждый модуль является либо полупростым, либо содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
каждый правый R - модуль, радикал Джекобсона которого не равен нулю, содержит в себе не нулевой инъективный подмодуль.
В конце параграфа приводится пример неполусовершенного кольца, над которым каждый модуль является слабо регулярным. Также приводится пример кольца показывающий, что из слабо регулярности всех правых модулей, вообще говоря, не следует слабая регулярность всех левых модулей.
Параграф 1.4 посвящен изучению колец, над которыми слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы. Сначала устанавливаются утверждения общего характера.
Теорема 1.4.3. Для кольца R следующие условия равносильны:
R - слабо регулярное кольцо и J(R) является полупростым правым R -модулем;
над кольцом R каждый правый R-модуль представимый в виде прямой суммы проективного модуля и полупростого модуля является слабо регулярным;
над кольцом R каждый правый R-модуль представимый в виде прямой суммы проективного модуля и простого модуля является слабо регулярным.
Следствие 1.4.4. Если над слабо регулярным кольцом R правые слабо регулярные модули замкнуты относительно взятия прямой суммы, то J(R) является полупростым правым R - модулем.
Теорема 1.4.6. Если над кольцом R прямая сумма слабо регулярного модуля и простого модуля является слабо регулярным модулем, то оно является правым кольцом Басса.
Далее результаты, полученные в начале параграфа, применяются к случаю полусовершенного кольца.
Теорема 1.4.8. Пусть R - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
J2 (R)=0;
над кольцом R каждый правый R-модуль представимый в виде прямой суммы слабо регулярного и полупростого модуля, является слабо регулярным;
над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы локального и полупростого модуля, является слабо регулярным;
над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы локального и простого модуля, является слабо регулярным;
над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы локального проективного и простого модуля, является слабо регулярным;
над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы проективного и полупростого модуля, является слабо регулярным.
над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы проективного и простого модуля, является слабо регулярным. Следствие 1.4.9. Пусть R - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) R - является либо полупростым, либо локальным, у которого J (R)=0;
2) над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы слабо регулярного и полупростого модуля, является 1- строго слабо регулярным.
Теорема 1.4.12. Для полусовершенного кольца R следующие условия равносильны:
кольцо R является полуцепным справа, у которого J2 (R)=0;
над кольцом R прямая сумма двух правых локальных модулей является модулем со свойством поднятия;
над кольцом R прямая сумма двух правых локальных модулей является слабо регулярным модулем;
прямая сумма двух правых слабо регулярных модулей является слабо регулярным модулем.
Следствие 1.4.13. Пусть R - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
R является артиновым полуцепным, у которого J (R)=0;
свойство слабо регулярности для модулей замкнуто относительно взятия прямых сумм для правых и левых модулей;
свойство слабо регулярности для модулей замкнуто относительно взятия прямых сумм для правых и левых локальных модулей;
над кольцом R все правые модули слабо регулярны.
Следствие 1.4.14. Пусть R - полу совершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) R является либо полупростым, либо цепным справа, у которого J (R)=0;
2) над кольцом R прямая сумма двух правых 1-строго слабо регулярных модулей является 1-строго слабо регулярным модулем.
Теорема 1.4.20. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
R/J(R) является регулярным кольцом и J(R) - полупростой R - модуль;
над кольцом R прямая сумма слабо регулярного модуля и полупростого является слабо регулярным модулем;
льца R следующие условия равносильны:
R является регулярным кольцом;
J(R)=0 и над кольцом R слабо регулярные модули замкнуты относительно взятия прямой суммы.
Параграф 1.5 посвящен описанию коммутативных колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. Основной здесь является следующая теорема.
Теорема 1.5.6. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
над кольцом R все модули слабо регулярны;
над кольцом R каждый модуль является либо полупростым, либо содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
3) R/J(R) - полуартиново, J(R) является полупростым модулем конечной длины и для любого идеала S кольца R, который является дополнением по пересечению для J(R), кольцо R/S является прямым произведение конечного числа цепных колец длины не больше двух.
Вторая глава состоит из двух параграфов. В параграфе 2.1 рассматриваются совершенные кольца, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей. Теорема 2.1.14. Следующие условия равносильны:
кольцо R - является артиновым полуцепным;
R является совершенным справа и найдется такое целое число N, что каждый правый и левый R — модуль является прямой суммой N слабо регулярных модулей;
R - совершенное справа кольцо, над которым каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей;
R - совершенное справа кольцо, над которым каждый правый и левый конечно порожденный модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей.
Теорема 2.1.16. Пусть R - совершенное справа кольцо и п-некоторое натуральное число. Тогда следующие условия равносильны:
1) кольцо R - является артиновым полуцепным и степень нильпотентности v радикала кольца R равна либо 2п, либо 2п-1;
2) каждый модуль над кольцом R является прямой суммой п слабо регулярных модулей и найдется модуль над этим кольцом, который не является прямой суммой п-1 слабо регулярных модулей.
Теорема 2.1.17. Пусть R - совершенное справа кольцо и п - некоторое натуральное число. Тогда следующие условия равносильны:
, 1) кольцо R является артиновым полуцепным и степень нильпотентности его радикала к равна либо 2п, либо 2п+1;
2) над кольцом R всякий модуль является прямой суммой проективного модуля и п слабо регулярных модулей, причем над кольцом R найдется правый R-модуль, который не представим в виде прямой суммы проективного и п-1 слабо регулярных модулей.
) 3) над кольцом R всякий правый и левый модуль является прямой суммой полупростого модуля и п слабо регулярных модулей, причем над кольцом R найдется правый R-модуль, который не представим в виде прямой суммы полупростого и п-1 слабо регулярных модулей;
В конце параграфа приводится пример кольца, над которым правые модули являются конечными прямыми суммами слабо регулярных модулей, а левые (Щ — нет.
Параграф 2.2 посвящен изучению колец, над которыми правые и левые модули являются прямыми суммами конечного числа модулей со свойством поднятия. Основными здесь являются следующие теоремы. Теорема 2.2.4. Для кольца R следующие условия равносильны:
кольцо R - является артиновым полуцепным;
найдется такое целое число N, что каждый правый и левый R - модуль является прямой суммой N модулей со свойством подъема;
3) каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством подъема. Теорема 2.2.6. Для кольца R следующие условия равносильны:
кольцо R - является артиновым полуцепным и степень нильпотентности радикала кольца R равна либо 2п, либо 2п-1;
каждый модуль над кольцом R является прямой суммой п модулей со свойством подъема и найдется модуль над этим кольцом, который не является прямой суммой п-1 модулей со свойством подъема.
Теорема 2.2.7. Для кольца R следующие условия равносильны:
Кольцо R является артиновым полуцепным и степень нильпотентности его радикала к равна либо 2п, либо 2п+1;
Над кольцом R всякий правый и левый модуль является прямой суммой полупростого модуля и п модулей со свойством подъема; над кольцом R найдется правый R-модуль, который не представим в виде прямой суммы полупростого и п-1 модулей со свойством подъема.
Отметим, что теоремы 2.2.7 и 2.2.6 позволяют описывать артиновы полуцепные кольца с точностью до степени нильпотентности радикала Джекобсона.
В конце параграфа приводится пример кольца, над которым правые модули являются конечными прямыми суммами модулей со свойством поднятия, а левые - нет.
Результаты этого параграфа уточняют и развивают ряд утверждений, полученных в работах [64] и [84].
Третья глава состоит из трех параграфов. Параграф 3.1 посвящен изучению проективных 1- строго слабо регулярных модулей. Следующие две теоремы описывают 1 - строго слабо регулярные проективные модули. Теорема 3.1.1. Циклический проективный модуль xR является 1-строго слабо регулярным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному из следующих условий:
1) модуль xR является регулярным;
модуль xR является локальным;
модуль xR изоморфен циклическому модулю вида eiR©e2R где еь е2 - некоторые примитивные взаимоортогональные идемпотенты кольца R. Причем J(eiR) - полупростой модуль, J(eiR) 0, J(e2R)=0, eiJei=e2R(l-ei-e2)=eiJ(l-ei-e2)=0 и каждый простой подмодуль модуля J(eiR) изоморфен e2R; 4) модуль xR изоморфен циклическому модулю вида eiR0e2R где Єї, е2 - некоторые примитивные взаимоортогональные идемпотенты кольца R. Причем J(eiR) и J(e2R) полупростые модули, J(eiR) 0, J(e2R) 0, eiJei=e2Je2=e2R(l-ei-e2)=eiR(l-ei-e2)=0 и каждый простой подмодуль J(eiR) изоморфен e2R/J(e2R), а каждый простой подмодуль J(e2R) изоморфен eiR/J(eiR).
Теорема 3.1.2. Проективный модуль Р над кольцом R является 1-строго слабо регулярным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному из следующих условий:
Р является регулярным;
Р является циклическим 1 — строго слабо регулярным;
Р изоморфен модулю вида ®eaR, где для некоторого идемпотента е аеЛ кольца R все модули eaR (а є А) изоморфны модулю eR, eR(l-e)=0 и eR является локальным модулем;
4) Р изоморфен модулю вида eR Ф ®eaR , где для некоторых взаимоортогональных идемпотентов Єї и е2 модуль eR изоморфен локальному непростому модулю eiR, для каждого аєА модуль eaR изоморфен простому модулю e2R. Причем e2R(l-e2)=0, eiJei=0 и eiJ(l-er егН).
Параграф 3.2 посвящен изучению колец, над которыми каждый правый модуль является 1 - строго слабо регулярным. Основной здесь является следующая теорема. Теорема 3.2.3. Для кольца R следующие условия равносильны над кольцом R все правые R - модули 1-строго слабо регулярны;
кольцо R является либо полупростым, либо локальным цепным и J (R) =0. Следствие 3.2.5. Над полусовершенным кольцом R следующие условия равносильны:
кольцо R является либо полупростым, либо артиновым цепным, у которого J2 (R)=0;
над кольцом R 1 - строго слабо регулярные модули (правые и левые) замкнуты относительно взятия прямой суммы;
3) над кольцом R все правые модули 1- строго слабо регулярны.
В параграфе 3.3 мы применяем результаты, полученные во второй главе, к кольцам, над которыми модули являются прямыми суммами 1 — строго слабо регулярных модулей. Основными здесь являются следующие теоремы. Теорема 3.3.6. Следующие условия для кольца R равносильны:
R является совершенным справа (слева) и найдется такое целое число N, что каждый правый R — модуль является прямой суммой N 1 - строго слабо регулярных модулей;
R является совершенным справа (слева) и каждый правый R - модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей;
3) кольцо R - является прямым произведением полупростого кольца и конечного числа артиновых цепных колец;
Теорема 3.3.9. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
1) кольцо R является полусовершенным и над ним каждый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей;
кольцо R изоморфно прямому произведению конечного числа артиновых цепных колец;
над кольцом R каждый модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей.
Слабо регулярные модули
Правый R - модуль М называется слабо регулярным, если каждый его подмодуль, который не содержится в радикале Джекобсона модуля М, содержит в себе ненулевое прямое слагаемое модуля М. Предложение 1.2.2. Для правого R — модуля М следующие условия (щ равносильны: 1) М является слабо регулярным; 2) каждый некосущественный циклический подмодуль модуля М содержит в себе ненулевое прямое слагаемое модуля М; 3) каждый циклический подмодуль модуля М, который не содержится в J(M), содержит в себе ненулевое циклическое прямое слагаемое модуля М; ! 4) каждый подмодуль модуля М, не содержащийся в радикале Джекобсона, содержит нерадикальное прямое слагаемое модуля М; Доказательство. 1) = 2) Поскольку, в силу следствия 9.1.3 [7], каждый некосущественный циклический подмодуль модуля М не лежит в J(M), то импликация непосредственно следует из определения слабо регулярного модуля. 2) = 3) Если циклический подмодуль nR слабо регулярного модуля М не содержится в J(M), то он некосущественен и, следовательно, согласно предположению будет содержать в себе ненулевое прямое слагаемое модуля М. Тогда исходная импликация будет следовать из того факта, что каждое прямое слагаемое циклического модуля является циклическим. 3) = 4) Очевидно. 4) = 1) Очевидно. Предложение 1.2.3. Прямое слагаемое слабо регулярного модуля является слабо регулярным модулем. Доказательство. Пусть М - слабо регулярный модуль и N - его прямое слагаемое. Рассмотрим произвольный элемент х модуля N, который не лежит в J(N). Поскольку J(N)=J(M)nN, то xg J(M). Тогда для некоторых подмодулей Ni и N2 модуля М имеем равенство M=NiN2, где Ni O и NiCxR. Из закона модулярности следуют равенства N=NnM= Ni(N2nN). Определение 1.2.4 [16]. Правый R - модуль М называется 1- строго слабо регулярным, если каждый его циклический подмодуль, который не лежит в радикале Джекобсона модуля М, является прямым слагаемым в М. Определение 1.2.5. Правый R - модуль М называется регулярным, если каждый его циклический подмодуль является прямым слагаемым в М. Определение 1.2.6. Говорят, что подмодуль N модуля М лежит над прямым слагаемым модуля М, если существуют такие подмодули Ni и N2, что NiN2= М, Ni zN и N2 nN косущественен в N2. Определение 1.2.7. Правый R - модуль М называется полурегулярным, если каждый его циклического подмодуль лежит над прямым слагаемым модуля М. Определение 1.2.8. Правый R - модуль М называется модулем со свойством подъема, если каждый его подмодуль лежит над прямым слагаемым модуля М.
Следующее предложение показывает, что полурегулярные модули и модули со свойством поднятия являются слабо регулярными модулями. Предложение 1.2.9. Каждый полурегулярный модуль является слабо регулярным модулем. Доказательство. Пусть М - некоторый полурегулярный модуль и N некоторый циклический подмодуль в нем, который не содержится в J(M). Тогда, согласно определению полурегулярного модуля, в М найдутся такие подмодули Mi и М2, что Mi Ф М2 =М, Mi cN и Nn М2 косущественен в М2. Поскольку N является некосущественным в М, то Mi Ф 0. Теорема 1.2.10. Для модуля М над полусовершенным кольцом R следующие условия равносильны: 1) модуль М является слабо регулярным; 2) модуль М является полурегулярным. Доказательство. 1)= 2) Докажем от противного. Тогда над полусовершенным кольцом R найдется слабо регулярный неполурегулярный модуль М и, следовательно, в модуле М найдется такой элемент х, что циклический подмодуль xR не лежит над прямым слагаемым модуля М. Ясно, что xR не является косущественным в М. Поскольку модуль М ) является слабо регулярным, то в подмодуле xR мы можем выбрать такой ненулевой циклический подмодуль XiR, что для некоторого подмодуля Mi выполнено равенство М= XiRMi. Допустим, для каждого натурального i n мы выбрали такие ненулевые элементы xi, ..., Xj модуля xR и подмодули Мь..., Mj , что выполнено равенство М= XiR ...OXJR Mj. Поскольку подмодуль xR не лежит над прямым слагаемым модуля М, то модуль xRnMn не является косущественным в Мп. Так как подмодуль xRnMn является прямым слагаемым модуля xR, то он является циклическим. Следовательно, в силу предложения 1.2.2 подмодуль xRnMn будет содержать в себе ненулевое прямое слагаемое xn+iR модуля Мп и для некоторого подмодуля Mn+i модуля Мп имеет место равенство М= XiR0 ... xn+iR0 Mn+i Таким образом, для каждого натурального числа п циклический модуль xR имеет вид xR= XiR ,..xnR xRnMn, где для каждого i n подмодуль x,R не является нулевым. Поскольку кольцо R является полусовершенным, то модуль xR/xJ имеет следующий вид xR/xJ=Pi...Pk, где для каждого i k модуль Pj является простым. С другой стороны имеем следующее соотношение где для каждого i k+l полупростой модуль x{R/ XjJ не является нулевым. А это противоречит однозначности разложения полупростого модуля в прямую сумму простых модулей. Слабо регулярными модулями являются такие хорошо известные классы модулей, как полупростые модули, регулярные модули, локальные модули и радикальные модули. Правый R- модуль называется полым, если каждый его собственный подмодуль является косущественным. Легко видеть, что всякий полый модуль является либо радикальным, либо локальным.
Заметим, что понятие полого модуля двойственно понятию однородного модуля. Имеют место следующие две теоремы, которые двойственны друг другу. Теорема 1.2.11. В модуле М каждый некосущественный подмодуль является прямым слагаемым тогда и только тогда, когда модуль М либо полупростой, либо локальный, либо полый и J(M) = М. Доказательство. Пусть в модуле М каждый некосущественный подмодуль выделяется в виде прямого слагаемого. Если J(M) = 0, то модуль М, очевидно, является полупростым. Рассмотрим случай, когда J(M) Ф 0. Допустим в модуле М найдется собственный некосущественный подмодуль N. Тогда М =NL, где L подмодуль модуля М. Если No - произвольный подмодуль модуля N, то модуль N0L является некосущественным и, следовательно, является прямым слагаемым модуля М. Используя закон модулярности, получаем, что модуль N0 является прямым слагаемым модуля N. Следовательно, N- полупростой модуль. Аналогичным образом можно показать, что модуль L так же является полупростым. Таким образом, модуль М является полупростым, что противоречит предположению. Следовательно, если J(M) Ф 0, то каждый собственный подмодуль модуля М является косущественным и модуль М полый. Теорема 1.2.12. В модуле М каждый несущественный подмодуль является прямым слагаемым тогда и только тогда, когда модуль М является либо полупростым, либо однородным с существенным простым подмодулем, либо однородоным и socM =0. Доказательство. Пусть в модуле М каждый собственный несущественный подмодуль выделяется в виде прямого слагаемого. Если socM = М, то модуль М является полупростым. Рассмотрим случай, когда socM М. Если в модуле М найдется собственный несущественный подмодуль N, то NL=M для некоторого ненулевого подмодуля L. Так как любой подмодуль модуля N является несущественным в М, то он является прямым слагаемым модуля М и, следовательно, модуля N. Т.е. N -полупростой модуль. Аналогичным образом можно показать, что модуль L также является полупростым. Таким образом, модуль М является полупростым, что противоречит предположению. Следовательно, модуль М является однородным и его цоколь либо нулевой, либо существенный и простой. Определение 1.2.13. Правый R - модуль М называется f - строго слабо регулярным, если каждый его конечнопорожденныи подмодуль, который не содержится в J(M), выделяется в М в виде прямого слагаемого. Теорема 1.2.14(Хакми, [16]). Модуль М является f - строго слабо регулярным тогда и только тогда, когда он либо регулярный, либо локальный, либо радикальный. Доказательство.
Слабо регулярные модули над коммутативными кольцами
В этом параграфе мы применим результаты, полученные в предыдущих параграфах, для описания коммутативных колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. Лемма 1.5.1.([56], Лемма 1.3) Пусть R кольцо и АсВ- идеалы в нем. Тогда следующие условия равносильны: 1) В-регулярен; О 2) А - регулярен и В/А - регулярно. Доказательство. 1)= 2) Если В регулярно, то очевидно и В/А - также регулярно. Покажем, что А регулярно. Пусть а є А. Тогда в силу регулярности идеала В найдется такой элемент Ь, что aba=a. Пусть c=bab, тогда с є А и aca=ababa=a. 2)= 1) Пусть b - произвольный элемент В. Тогда в силу регулярности идеала В/А для некоторого элемента х имеем bxb-ЬєА. Из регулярности идеала А имеем тогда, что для некоторого элемента у выполнено равенство (bxb- Следующая теорема хорошо известна [67]. Тем не менее, в виду важности этой теоремы, приведем ее с доказательством. Отметим, что доказательство, т, приведенное ниже, отличается от доказательства приведенного в работе [67]. Теорема 1.5.2. Полуартиново коммутативное кольцо с нулевым радикалом Джекобсона является регулярным. Доказательство. Пусть R - полуартиново коммутативное кольцо, у которого J(R)=0. Используя трансфинитную индукцию, покажем, что для произвольного ординального числа а идеал Soca (R) является регулярным. Покажем, что Soc(R) регулярен. Ввиду 2.3.6 [57] любой односторонний минимальный идеал кольца либо нильпотентен, либо порождается идемпотентом. Поскольку J(R)=0, то любой минимальный идеал кольца R порождается идемпотентом и, следовательно, Soc(R)= .eI etR , где Є; - примитивные идемпотенты. Поскольку для каждого і кольцо ejR является полем, то Soc(R) является прямой суммой полей и, следовательно, будет регулярным. Пусть а - предельное ординальное число. Тогда по определению Soca (R)= J Socp(R). Согласно предположению индукции, для каждого P a Socp(R) является регулярным, следовательно, и Soca (R) также будет регулярным. Рассмотрим случай непредельного ординального числа а. Тогда a=ao+l для некоторого ординального числа ссо. Покажем, что Soca(R) I Socao(R) не содержит нильпотентных элементов. Допустим противное. Тогда для некоторого, элемента хє Soca(R) \ Socao(R) имеем х є Socai (R) . Пусть р= min (х є Socr(R) ). Ясно, что Р - непредельное ординальное число и, следовательно, р=Ро+1 для некоторого ординального числа р0. Очевидно, р a0 a и из предположения индукции следует, что Socp(R) является регулярным. Рассмотрим фактор кольцо R =R/ Socp (R) . Поскольку цоколь Socp(R)/Socp (R) этого кольца является существенным и регулярным, то J(R)=0. Пусть х канонический образ элемент х в кольце R. Тогда х Ю и х GSocp(R)f Soc (R).
Поскольку цоколь Socp(R)/5oc go (R) кольца R является регулярным, то он является прямой суммой минимальных идеалов каждый из которых порождается примитивным идемпотентом. Следовательно, для идеала х R имеем следующее представление х R= @ {etR), где ЄІ - примитивные идемпотенты кольца R. Согласно лемме 1.3.8, модуль x2R является инъективным и, следовательно, выделяется в виде прямого слагаемого в и xR=x2Rh.R, где h лежит вR. Тогда x=x2ti+ht2, h=xt3, где элементы tb t2, t3 лежат в R. Рассмотрим элемент &=х\ = hx. Поскольку ає x2RnhR, то а=0 и, следовательно, Ьл:=0. Тогда h2= x2(t3)2=0 и поскольку J(R)=0, то h=0. Следовательно, имеем xR=x2R и x=x2s , где s лежит в R и s его канонический образ в R. Значит X-X2SG Socp(R)c Socao (R) и, следовательно, поскольку xs Socao (R), элемент х также будет лежать в Socag (R). А это противоречит выбору элемента х. Таким образом, цоколь Soca (R) I Socag (R) кольца R не содержит нильпотентных элементов и, следовательно, является регулярным. Так как, согласно предположению индукции, Socao(R) является регулярным, то в силу леммы Теорема 1.5.3. [48, Лемма 10] Пусть R - самоинъективное справа кольцо, над которым каждый правый ненулевой модуль содержит ненулевой инъективный подмодуль. Тогда R — классически полупростое кольцо. Лемма 1.5.4. Если над коммутативным кольцом R каждый модуль является слабо регулярным, то оно является полуартиновым. Доказательство. Пусть над кольцом R каждый модуль слабо регулярен. Покажем тогда, что над ним каждый ненулевой циклический модуль имеет простой подмодуль. Пусть xR - ненулевой циклический модуль над кольцом R. Модуль xR мы можем рассматривать как модуль над кольцом R/Ann(x), причем Lat(xR)=Lat(x(R/Ann(x))) и x(R/Ann(x))=(R/Ann(x))R/Ann(x). Если над кольцом R каждый модуль является слабо регулярным, то над кольцом R/Ann(x) каждый модуль также будет слабо регулярным. Если J(R/Ann(x)) 0, то по теореме 1.4.3 модуль J(R/Ann(x)) является полупростым и, следовательно, модуль xR содержит в себе ненулевой простой подмодуль. Допустим J(R/Ann(x))=0. Рассмотрим тогда вложение R/Ann(x)c=E(R/Ann(x)), где E(R/Ann(x)) - инъективная оболочка модуля R/Ann(x)R/Ann(x)- Если R/Ann(x)cJ(E(R/Ann(x))), то согласно теореме 1.3.10, каждый инъективный модуль над кольцом R/Ann(x) является радикальным, что противоречит теореме 1.3.5. Тогда из слабо регулярности модуля E(R/Ann(x)) следует, что модуль R/Ann(x)R/Ann(X) содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль вида е (R/Ann(x)), где е - некоторый ненулевой идемпотент кольца R/Ann(x). Кольцо e(R/Ann(x)) является самоинъективным с нулевым радикалом Джекобсона и, следовательно, оно является регулярным V кольцом. Поскольку кольцо e(R/Ann(x)) является V кольцом и над ним каждый модуль #, является слабо регулярным, то над кольцом e(R/Ann(x)) каждый ненулевой модуль имеет ненулевой инъективный подмодуль.
Тогда из теоремы 1.5.3 следует, что кольцо e(R/Ann(x)) является классически полупростым и, следовательно, модуль R/Ann(x)R/Ann(x) содержит в себе простой подмодуль. Таким образом, циклический подмодуль xR в любом случае имеет ненулевой цоколь и в силу произвольности выбора этого циклического подмодуля из ») теоремы 1.1.17 получаем полуартиновость кольца R. Теорема 1.5.5. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны 1) кольцо R является прямым произведением локальных цепных колец длины не больше двух; J 2) кольцо R является полусовершенным и каждый модуль над кольцом R является слабо регулярным; 3) над кольцом R каждый модуль является полурегулярным. Доказательство. 1)= 2) Импликация следует из теоремы 1.3.7. 2)= 3) Импликация следует из теоремы 1.2.10. 3)= 1) Пусть над кольцом R все модули полурегулярны. Тогда над кольцом R/J(R) все модули также являются полурегулярными. Поскольку J(R/J(R))=0, то кольцо R/J(R) является регулярным. Из теоремы 1.1.20 и определения 1.2.5 следует, что над кольцом R/J(R) каждый модуль является регулярным. Тогда каждый циклический модуль над кольцом R/J(R) является прямым слагаемым в своей инъективной оболочке и, значит, сам инъективен. » Следовательно, в силу [75, стр.1384] кольцо R является полупростым. Таким образом, кольцо R является полусовершенным и импликация непосредственно следует из теоремы 1.3.7. Пусть М - модуль и N - некоторый его подмодуль. Тогда подмодуль N0 модуля М называется дополнением по пресечению для N в М, если , подмодуль No является максимальным со свойством Nn No=0. Заметим, что в силу леммы Цорна дополнения по пересечению существуют всегда. Теорема 1.5.6. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны: 1) над кольцом R все модули слабо регулярны; 2) над кольцом R каждый модуль является либо полупростым, либо содержит ,.) в себе ненулевой инъективный подмодуль; 3) R/J(R) - полуартиново, J(R) является полупростым модулем конечной длины и для любого идеала S кольца R, который является дополнением по пересечению для J(R) в R, кольцо R/S является прямым произведение конечного числа цепных колец длины не больше двух. Доказательство. 1)= 2) Из теоремы 1.4.3 следует, что J(R) является полупростым R - модулем, а из леммы 1.5.4 и теоремы 1.5.2 следует полуартиновость кольца R и регулярность фактор - кольца R/J(R).
Прямые суммы модулей со свойством поднятия
В этом параграфе мы применим результаты, полученные в предыдущих параграфах, для описания коммутативных колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. Лемма 1.5.1.([56], Лемма 1.3) Пусть R кольцо и АсВ- идеалы в нем. Тогда следующие условия равносильны: 1) В-регулярен; О 2) А - регулярен и В/А - регулярно. Доказательство. 1)= 2) Если В регулярно, то очевидно и В/А - также регулярно. Покажем, что А регулярно. Пусть а є А. Тогда в силу регулярности идеала В найдется такой элемент Ь, что aba=a. Пусть c=bab, тогда с є А и aca=ababa=a. 2)= 1) Пусть b - произвольный элемент В. Тогда в силу регулярности идеала В/А для некоторого элемента х имеем bxb-ЬєА. Из регулярности идеала А имеем тогда, что для некоторого элемента у выполнено равенство (bxb- b)y(bxb-b)= (bxb-b). Т. е. b=b(x-(xb-l)y(bx-l))b. п Следующая теорема хорошо известна [67]. Тем не менее, в виду важности этой теоремы, приведем ее с доказательством. Отметим, что доказательство, т, приведенное ниже, отличается от доказательства приведенного в работе [67]. Теорема 1.5.2. Полуартиново коммутативное кольцо с нулевым радикалом Джекобсона является регулярным. Доказательство. Пусть R - полуартиново коммутативное кольцо, у которого J(R)=0. Используя трансфинитную индукцию, покажем, что для произвольного ординального числа а идеал Soca (R) является регулярным. Покажем, что Soc(R) регулярен. Ввиду 2.3.6 [57] любой односторонний минимальный идеал кольца либо нильпотентен, либо порождается идемпотентом. Поскольку J(R)=0, то любой минимальный идеал кольца R порождается идемпотентом и, следовательно, Soc(R)= .eI etR , где Є; - примитивные идемпотенты. Поскольку для каждого і кольцо ejR является полем, то Soc(R) является прямой суммой полей и, следовательно, будет регулярным. Пусть а - предельное ординальное число. Тогда по определению Soca (R)= J Socp(R). Согласно предположению индукции, для каждого P a Socp(R) является регулярным, следовательно, и Soca (R) также будет регулярным. Рассмотрим случай непредельного ординального числа а. Тогда a=ao+l для некоторого ординального числа ссо. Покажем, что Soca(R) I Socao(R) не содержит нильпотентных элементов. Допустим противное. Тогда для некоторого, элемента хє Soca(R) \ Socao(R) имеем х є Socai (R) . Пусть р= min (х є Socr(R) ). Ясно, что Р - непредельное ординальное число и, следовательно, р=Ро+1 для некоторого ординального числа р0. Очевидно, р a0 a и из предположения индукции следует, что Socp(R) является регулярным.
Рассмотрим фактор кольцо R =R/ Socp (R) . Поскольку цоколь Socp(R)/Socp (R) этого кольца является существенным и регулярным, то J(R)=0. Пусть х канонический образ элемент х в кольце R. Тогда х Ю и х GSocp(R)f Soc (R). Поскольку цоколь Socp(R)/5oc go (R) кольца R является регулярным, то он является прямой суммой минимальных идеалов каждый из которых порождается примитивным идемпотентом. Следовательно, для идеала х R имеем следующее представление х R= @ {etR), где ЄІ - примитивные идемпотенты кольца R. Согласно лемме 1.3.8, модуль x2R является инъективным и, следовательно, выделяется в виде прямого слагаемого в и xR=x2Rh.R, где h лежит вR. Тогда x=x2ti+ht2, h=xt3, где элементы tb t2, t3 лежат в R. Рассмотрим элемент &=х\ = hx. Поскольку ає x2RnhR, то а=0 и, следовательно, Ьл:=0. Тогда h2= x2(t3)2=0 и поскольку J(R)=0, то h=0. Следовательно, имеем xR=x2R и x=x2s , где s лежит в R и s его канонический образ в R. Значит X-X2SG Socp(R)c Socao (R) и, следовательно, поскольку xs Socao (R), элемент х также будет лежать в Socag (R). А это противоречит выбору элемента х. Таким образом, цоколь Soca (R) I Socag (R) кольца R не содержит нильпотентных элементов и, следовательно, является регулярным. Так как, согласно предположению индукции, Socao(R) является регулярным, то в силу леммы Теорема 1.5.3. [48, Лемма 10] Пусть R - самоинъективное справа кольцо, над которым каждый правый ненулевой модуль содержит ненулевой инъективный подмодуль. Тогда R — классически полупростое кольцо. Лемма 1.5.4. Если над коммутативным кольцом R каждый модуль является слабо регулярным, то оно является полуартиновым. Доказательство. Пусть над кольцом R каждый модуль слабо регулярен. Покажем тогда, что над ним каждый ненулевой циклический модуль имеет простой подмодуль. Пусть xR - ненулевой циклический модуль над кольцом R. Модуль xR мы можем рассматривать как модуль над кольцом R/Ann(x), причем Lat(xR)=Lat(x(R/Ann(x))) и x(R/Ann(x))=(R/Ann(x))R/Ann(x). Если над кольцом R каждый модуль является слабо регулярным, то над кольцом R/Ann(x) каждый модуль также будет слабо регулярным. Если J(R/Ann(x)) 0, то по теореме 1.4.3 модуль J(R/Ann(x)) является полупростым и, следовательно, модуль xR содержит в себе ненулевой простой подмодуль. Допустим J(R/Ann(x))=0. Рассмотрим тогда вложение R/Ann(x)c=E(R/Ann(x)), где E(R/Ann(x)) - инъективная оболочка модуля R/Ann(x)R/Ann(x)- Если R/Ann(x)cJ(E(R/Ann(x))), то согласно теореме 1.3.10, каждый инъективный модуль над кольцом R/Ann(x) является радикальным, что противоречит теореме 1.3.5. Тогда из слабо регулярности модуля E(R/Ann(x)) следует, что модуль R/Ann(x)R/Ann(X) содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль вида е (R/Ann(x)), где е - некоторый ненулевой идемпотент кольца R/Ann(x). Кольцо e(R/Ann(x)) является самоинъективным с нулевым радикалом Джекобсона и, следовательно, оно является регулярным V кольцом.
Поскольку кольцо e(R/Ann(x)) является V кольцом и над ним каждый модуль #, является слабо регулярным, то над кольцом e(R/Ann(x)) каждый ненулевой модуль имеет ненулевой инъективный подмодуль. Тогда из теоремы 1.5.3 следует, что кольцо e(R/Ann(x)) является классически полупростым и, следовательно, модуль R/Ann(x)R/Ann(x) содержит в себе простой подмодуль. Таким образом, циклический подмодуль xR в любом случае имеет ненулевой цоколь и в силу произвольности выбора этого циклического подмодуля из ») теоремы 1.1.17 получаем полуартиновость кольца R. Теорема 1.5.5. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны 1) кольцо R является прямым произведением локальных цепных колец длины не больше двух; J 2) кольцо R является полусовершенным и каждый модуль над кольцом R является слабо регулярным; 3) над кольцом R каждый модуль является полурегулярным. Доказательство. 1)= 2) Импликация следует из теоремы 1.3.7. 2)= 3) Импликация следует из теоремы 1.2.10. 3)= 1) Пусть над кольцом R все модули полурегулярны. Тогда над кольцом R/J(R) все модули также являются полурегулярными. Поскольку J(R/J(R))=0, то кольцо R/J(R) является регулярным. Из теоремы 1.1.20 и определения 1.2.5 следует, что над кольцом R/J(R) каждый модуль является регулярным. Тогда каждый циклический модуль над кольцом R/J(R) является прямым слагаемым в своей инъективной оболочке и, значит, сам инъективен. » Следовательно, в силу [75, стр.1384] кольцо R является полупростым. Таким образом, кольцо R является полусовершенным и импликация непосредственно следует из теоремы 1.3.7. Пусть М - модуль и N - некоторый его подмодуль. Тогда подмодуль N0 модуля М называется дополнением по пресечению для N в М, если , подмодуль No является максимальным со свойством Nn No=0. Заметим, что в силу леммы Цорна дополнения по пересечению существуют всегда. Теорема 1.5.6. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны: 1) над кольцом R все модули слабо регулярны; 2) над кольцом R каждый модуль является либо полупростым, либо содержит ,.) в себе ненулевой инъективный подмодуль; 3) R/J(R) - полуартиново, J(R) является полупростым модулем конечной длины и для любого идеала S кольца R, который является дополнением по пересечению для J(R) в R, кольцо R/S является прямым произведение конечного числа цепных колец длины не больше двух. Доказательство. 1)= 2) Из теоремы 1.4.3 следует, что J(R) является полупростым R - модулем, а из леммы 1.5.4 и теоремы 1.5.2 следует полуартиновость кольца R и регулярность фактор - кольца R/J(R).
Прямые суммы 1 - строго слабо регулярных модулей
В этом параграфе мы продолжим исследования, начатые во второй главе. И рассмотрим кольца, над которыми каждый модуль является прямой суммой 4 конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей. Лемма 3.3.1. Пусть R - полусовершенное кольцо и е, f - такие локальные идемпотенты, что модули eR и fR неизоморфны. Тогда следующие условия равносильны: Доказательство. 1)= 2) Если eRfeO, то существует ненулевой гомоморфизм Ф из fR в eR, при котором (p(f)=erf, где reR и erfeO. Поскольку ф не может быть эпиморфизмом, то ф(fR)ceJ. Т.е. ф(і)=е_] , где j є J. Таким образом, имеем ej=9(ff)=9(f)f=ejfV0. 2) = 1) Очевидно, п Лемма 3.3.2. Пусть R - произвольное кольцо и е, f - такие идемпотенты, что модули eR и fR изоморфны. Тогда следующие условия равносильны: Доказательство. 1) = 2) Если eJe O, то имеем ненулевой гомоморфизм а из eR в eJ, при котором a(e)=eje, где jeJ и eje O. Поскольку, согласно предположению, существует изоморфизм р из fR в eR, то отображение ар является ненулевым гомоморфизмом из fR в eJ. Если aP(f)=ei, то 2)= 1) Импликация доказывается точно так же, как и предыдущая. Лемма 3.3.3. Пусть R - цепное артиново кольцо, Mi - прямая сумма длины п-1, Мг - прямая сумма модулей длины п. Тогда модуль Мі ФМ2 являебтся 1- строго слабо регулярным. Доказательство. Согласно лемме 2.1.4, модуль Mi М2 является слабо регулярным. Тогда 1 - строго слабая регулярность исходного модуля следует из леммы 3.1.11. Теорема 3.3.4. Если над кольцом R каждый правый модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей, то кольцо R изоморфно прямому произведению регулярного кольца и конечного числа локальных колец. Доказательство. Поскольку над кольцом R каждый правый модуль является прямой 1 - строго слабо регулярных модулей, то, в частности, для модуля RR мы имеем следующее представление: RR=Mi...Mn0N1...Nm, где для каждого і и j модуль М; является 1- строго слабо регулярным с нулевым радикалом Джекобсона, а модуль N) - 1 - строго слабо регулярный с ненулевым радикалом Джекобсона. Тогда из теоремы 3.1.10 и теоремы 3.1.1 следует, что модуль RR имеет следующее представление: RR=Mo0Ni...Nn, где Мо- проективный регулярный модуль и для каждого і модуль Nj является локальным непростым. Пусть е - такой локальный идемпотент кольца R, что eJ(R) 0. Покажем, что для каждого идемпотента f, ортогонального е, имеет место равенство eJf=0. Допустим противное. Рассмотрим прямую сумму модулей М= 0Mj, где для каждого a Ma=eR.
Поскольку модуль М является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей, то, согласно теореме 2.1.2, модуль eReR изоморфен прямому слагаемому 1 - строго слабо регулярного модуля и, следовательно, сам 1 - строго слабо регулярен. Тогда (ejf, e)R =(ejf, 0)R(0, e)R является прямым слагаемым в eReR, что противоречит косущественности (ejf, 0)R. Таким образом, eJe O и eJ(l-e)=0 для каждого примитивного идемпотента у которого eJ(R) 0. Рассмотрим представление единицы кольца R в виде где е0, еь..., еп - взаимно ортогональные идемпотенты, e0R=Mo и для каждого іє{1, ..., п} имеет место равенство e;R =Nj. Тогда, согласно доказанному выше, для каждых і и j из {0, 1, ..., п} выполняется равенство ejej =0, если і Ф}. Если ejR ejR при i, je{l, ..., п}, то, поскольку е Ге; 0, из леммы 3.3.2 следует, что ejej 0. Таким образом, для различных і и j из {1, ..., п} модули e;R и ejR не изоморфны. И поскольку e,Jej =0 из леммы 3.3.1 следует, что ejRej =0.Покажем, что для каждого іє{1, ..., п} имеют место равенства e0Rei=0 и eiRe0=0. Если для некоторого іє{1, ..., n} eoRe O, то существует ненулевой гомоморфизм f локального проективного модуля ejR в модуль eoR. Поскольку J(e )R)=0, то f(ejR) является проективным простым модулем, и следовательно, подмодуль ker(f) ненулевой и выделяется в виде прямого слагаемого в модуле ejR, что невозможно. Если для некоторого і eiReo O, то существует ненулевой гомоморфизм f из модуля eoR в модуль eiR. Из равенства ejJe0=0 следует, что любой ненулевой гомоморфизм из модуля eoR в локальный модуль ejR является эпиморфизмом. Тогда гомоморфизм f является расщепляющимся эпиморфизмом и, следовательно, модуль eoR содержит в себе подмодуль изоморфный модулю ejR, что невозможно. Из изложенного выше следует, что произвольный элемент г из кольца R можно представить в виде: Г = Є0ГЄ0 + ЄІГЄІ +.. .+enren Тогда для каждого і є {0,1, ..., п} имеем ЄіГ=ге;= ЄІГЄ;, что доказывает для каждого і центральность идемпотента ej. Таким образом, кольцо R является прямым произведением колец eiRei, где і є {0,1, ..., n}. Лемма 3.3.5. Пусть над совершенным справа (слева) локальным кольцом R каждый правый модуль является прямой сумой конечного числа 1 — строго слабо регулярных модулей. Тогда R является артиновым цепным кольцом. Доказательство. Поскольку каждый правый конечно порожденный неразложимый R - модуль является локальным, то из теоремы 2.1.6 и теоремы 2.1.10 следует, что R является артиновым цепным слева. Покажем по индукции, что для каждого целого положительного і правый R - модуль J /J1+1 является либо нулевым, либо простым. Для i=0 утверждение очевидно. Пусть J /J1+1 является простым. Покажем, что J1+1/J1+2 является либо нулевым, либо простым. Предположим противное. Тогда JI+1/J1+2 является полупростым длины не меньше двух. Модуль J /J1+2 МЫ можем рассматривать как модуль над кольцом R/J2. Поскольку над локальным кольцом с точностью до изоморфизма существует только один простой модуль, то из леммы 2.1.5 следует, что R/J2 является артиновым цепным справа. Цоскольку JVJI+2 является правым локальным модулем над кольцом R/J , то его радикал должен быть либо нулевым, либо простым, что противоречит нашему предположению.
Таким образом, для каждого натурального і правый R -модуль JVJI+1 является либо простым, либо нулевым и, следовательно, R является артиновым цепным справа. 1) R является совершенным справа (слева) и найдется такое целое число N, что каждый правый R - модуль является прямой суммой N 1 - строго слабо регулярных модулей; 2) R является совершенным справа (слева) и каждый правый R - модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей; 3) кольцо R - является прямым произведением полупростого кольца и конечного числа артиновых цепных колец; Доказательство. 1) = 2) Очевидно. 2)= 3) Импликация непосредственно следует из леммы 3.3.4 и леммы 3.3.5. 3)= 1) Кольцо R имеет вид R= eoReiR...enR, где Єо, Єї, ... , en -ортогональный ненулевые центральные идемпотенты, причем e0R -классически полупростое кольцо, и для каждого іє{1, ...п} кольцо ejR является цепным артиновым. Тогда произвольный модуль М над кольцом R имеет вид М=Ме0ФМеі...Меп. Для каждого і є{0,1, ..., п} подмодуль Mej мы можем рассматривать как модуль над кольцом ejR. Тогда импликация непосредственно следует из теоремы 2.1.14 и леммы 3.1.11. Отметим отдельно случай коммутативного кольца. Теорема 3.3.7. Если над коммутативным кольцом R каждый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей, то радикал Джекобсона кольца R является нильпотентным. Доказательство. Предположим, что для каждого натурального числа N найдется такой простой модуль М, что Е(М) имеет длину больше N. Из леммы 1.3.2 следует, что инъективная оболочка каждого простого модуля над кольцом R является цепной. Выберем для каждого натурального і простой модуль, у которого инъективная оболочка содержит цепочку из 2І+1 попарно различных модулей вида a 0R с a\R с... с a 2iR. Рассмотрим модуль М вида Согласно нашему предположению модуль М мы можем представить в виде M=Mi...0Mt, где для каждого ie{l...t} модуль Mj является слабо регулярным. Поскольку для каждого і и s модуль a2i_sR/a sR является локальным, то из коммутативности кольца R следует, что кольцо эндоморфизмов модуля a 2i_sR/alsR является локальным. Если i t, то из теоремы 2.1.2 следует, что для некоторых натуральных чисел 1ик(1 к) из множества {0,..., і-l} модуль a 2i_,RIa\Ra2l_kRIa[R изоморфен прямому слагаемому слабо регулярного модуля и, следовательно, сам слабо регулярен.