Введение к работе
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
Диссертационная работа относится к классическому направлению теории групп — исследованию подгруппового строения конечных групп. Она посвящена завершению классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.
В начале 1980-х годов была анонсирована классификация конечных простых групп (ККПГ), одно из самых впечатляющих достижений математики XX века. В соответствии с этой классификацией, конечные простые группы подразделяются на следующие серии: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, классические группы, исключительные группы лиева типа и 26 спорадических групп (см., например, [3]).
Пусть G — конечная группа, р — простое число и \G\P — наибольшая степень числа р, делящая \G\. Фундаментальная теорема Силова (1872 г.) утверждает, что группа G содержит подгруппу порядка, равного \G\P, и все такие подгруппы сопряжены в G. Такие подгруппы называются силовскими р-подгруппами группы G. В 1963 г. Фейт и Томпсон [17] доказали разрешимость конечных групп нечетного порядка, решив тем самым знаменитую проблему Бернсайда. Как следствие получается, что конечная неразрешимая группа имеет четный порядок. В частности, любая конечная неабелева простая группа имеет четный порядок и, следовательно, неединичную силовскую 2-подгруппу. Классификация конечных простых групп базируется на этом факте.
Подгруппа конечной группы G, порожденная всеми ее минимальными неединичными нормальными подгруппами, называется цоколем группы G и обозначается через soc(G). Конечная группа G называется почти простой, если ее цоколь L есть неабелева простая группа, т.е. L < G < Aut(L) при отождествлении L с Inn(L).
В постклассификационной теории конечных групп большое внимание уделяется изучению свойств (известных) конечных простых групп и групп их автоморфизмов, прежде всего подгрупповому строению и представлениям. Это связано с применениями классификации конечных простых групп, с необходимостью ее ревизии, с развитием ее связей с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о конечных простых группах, на которые классификация не дает ответа.
Максимальные подгруппы играют большую роль в теории конечных групп. Одним из магистральных направлений этой теории является изучение максимальных подгрупп конечных почти простых групп (см. [5]).
К настоящему времени проблема классификации максимальных подгрупп в конечных группах с простым спорадическим цоколем решена для всех спорадических групп, кроме Монстра, для которого известны все локальные максимальные подгруппы и многие нелокальные максимальные подгруппы, но пока работа не завершена. Большой вклад в эту работу внес Р. Уилсон [35].
Пусть G одна из групп Ап или Sn, действующих естественно на множестве I = {1,... ,п}, где п > 6. Доказанная с использованием ККПГ теорема О'Нэна-
Скотта [32] утверждает, что для любой подгруппы Н из G, не содержащей Ап, либо Н содержится в некотором члене определенного семейства A(G) подгрупп из G (интранзитивных, импримитивных, аффинных, диагональных или сплетенных), либо Н принадлежит множеству S всех почти простых подгрупп из G, действующих примитивно на I. Исправленные и модифицированные версии этой теоремы появились позже в статьях М. Ашбахера и Л. Скотта [13] и М. Либека, Ч. Прэгер и Я. Саксла [26]. Последняя статья была использована ее авторами [25] для следующей классификации максимальных подгрупп в G: если Н Є A{G) US, то либо Н максимальна в АпН, либо Н < К < АпН, где (Н, К, п) принадлежит явному списку троек. Заметим, что за исключением нескольких случаев, элементы из A(G) максимальны в G.
Основной теоремой о подгруппах конечных классических групп остается теорема Ашбахера [10], которая является аналогом теоремы О'Нэна-Скотта.
Пусть L — простая классическая группа, ассоциированная с векторным пространством V размерности п над полем Fq порядка q, где q - степень простого числа р. Пусть X = PTL(V) - полная проективная полулинейная классическая группа, соответствующая L. Тогда L < X < Aut(L), причем X = Aut(L), за исключением случаев, когда L = PSLn(q), PSp^q) (q четно) или PQ$(q). В случае, когда L < G < X, М. Ашбахер [10] определил большое семейство C(G) естественных геометрически определенных подгрупп группы G, которое было разбито им на восемь классов Cj(G) (1 < г < 8), называемых теперь классами Ашбахера. Теорема Ашбахера утверждает, что если L < G < X, то для любой подгруппы Н из G, не содержащей L, либо Н содержится в некотором члене семейства C(G), либо Н Є S, где S — множество всех почти простых подгрупп К из G таких, что (проективное) представление подгруппы soc(K) на V абсолютно неприводимо и не реализуется над собственным подполем поля Fq. Аналог этой теоремы справедлив также и для случая, когда L < G < Aut(L) hG^X. Для групп L = PSLn(q) или PSp±(q) (q четно) этот аналог доказал сам М. Ашбахер [10]. П. Клейдман [20] классифицировал все максимальные подгруппы в группах G с цоколем, изоморфным PQ%(q). П. Клейдман и М. Либек [23], используя ККПГ, для каждой почти простой классической группы G определили: теоретико-групповое строение каждого члена семейства C(G); сопряженность в G членов семейства C(G); при степени soc(G), большей 12, максимальные элементы семейства C(G) и для немаксимальных элементов Н Є C(G) их максимальные надгруппы в G.
Изучением максимальных подгрупп в конечных простых классических группах малых степеней занимались многие авторы (см. обзор А. С. Кондратьева по подгруппам конечных групп Шевалле [5]).
Описание всех максимальных подгрупп конечных групп с простым классическим цоколем степени не выше 12 было анонсировано П. Клейдманом (см. [23, теор. 1.2.2]), список максимальных подгрупп конечных простых классических групп степени не выше 11 был приведен Клейдманом в его докторской диссертации (см. [19]), такой список есть и для конечных простых классических групп степени 12, но он явно требует корректировки. Результаты Клейдмана так и не
были полностью опубликованы и нуждаются в проверке. Сейчас группа британских ученых под руководством Д. Холта заканчивает ревизию результатов Клейдмана. В скором времени они планируют выпустить посвященную этому вопросу книгу. Поэтому в настоящей работе мы, в основном, будем рассматривать классические группы степени не менее 13.
Для некоторых исключительных групп лиева типа, таких как 2E>2(q), Сг^), 2G2(q), 3D4:(q), 2F4(q,)/, -^(2), E6(2) известен полный список их максимальных подгрупп (см. [5, 16, 21, 22, 24, 29, 30, 33]). В общем случае исследование теоретико-групповой структуры исключительных групп лиева типа продолжается. Так, в работах А. В. Боровика [2], М. Либека и Г. Зейца [28] доказан аналог теоремы Ашбахера для исключительных групп лиева типа.
Сотни работ посвящены результатам о конечных неразрешимых группах, связанным с их подгруппами нечетного индекса или, другими словами, подгруппами, содержащими силовскую 2-подгруппу (см., например, [4, 6, 8, 9, 15]). Такими подгруппами являются сами силовские 2-подгруппы, централизаторы инволюций из центра некоторой силовской 2-подгруппы и, более общо, нормализаторы неединичных 2-подгрупп, нормальных в некоторой силовской 2-подгруппе, и т.д. Приведенные примеры подгрупп играют основополагающую роль в классификация конечных простых групп.
М. Либеком и Я. Сакслом в [27] и независимо В. Кантором в [18] был получен один из самых сильных результатов последних лет в теории конечных групп подстановок, а именно, было дано описание конечных примитивных групп подстановок нечетной степени. Это описание во многом сводится к изучению максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым спорадическим цоколем известны (см. [12, 16]). Для каждой конечной почти простой группы G, цоколь которой есть знакопеременная группа или группа лиева типа, в [27, 18] приведены типы тех подгрупп, которые могут являться максимальными подгруппами нечетного индекса в G. Однако в случае, когда цоколь группы G классический или знакопеременный, не каждая подгруппа указанного типа является максимальной подгруппой нечетного индекса в группе G. Так что классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах оставалась незавершенной.
Приведем более точную формулировку результатов работ [27, 18]. Наши терминология и обозначения в основном стандартны, их можно найти в [11, 5, 23, 16].
Пусть q — натуральная степень простого числа, G — конечная группа, L = soc(G) — либо одна из знакопеременных групп Ап, либо одна из конечных простых классических групп PSLn(q), PSUn(q), PSpn(q) для четного п, PQn(q) для нечетного п и PQ^(q) для четного п, где є Є {+, —}. Будем обозначать через V естественное векторное пространство размерности п над полем F с определенной на нем соответствующей тождественно нулевой, эрмитовой, кососим-метрической или квадратичной формой, ассоциированное с конечной простой классической группой L, где F = Fq для линейных, симплектических и ортого-
нальных групп и F = Fq2 для унитарных групп. Из основных результатов [27, 18] следует
Теорема Либека—Саксла—Кантора. Пусть G — конечная группа и L = soc(G) — неабелева простая группа.
(I) Если L = Ап и Я — максимальная подгруппа нечетного индекса в конечной группе G, то Я = К Г) G, где К < Sn, и выполняется одно из следующих у тверждений:
К = Sm х Sn-m, где 1 < т < п/2;
К = Sml St, где п = mt, т > 1, t > 1;
G^ A7kH = PSL2(7).
(II) Если L = L(q) — конечная простая классическая группа над полем F и Я — максимальная подгруппа нечетного индекса в G, то либо q четно и ЬГ)Н — параболическая подгруппа в L, либо q нечетно и для G и Я выполняется одно из следующих утверждений:
Я = Nq{Cl{(t)) для полевого автоморфизма о простого нечетного порядка группы L;
Н — стабилизатор невырожденного подпространства из V или в случае L = PSLn(q) стабилизатор любого подпространства из V;
L Г) Н — стабилизатор ортогонального разложения V = ф Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi или в случае L = PSLn(q) стабилизатор любого разложения V = ф Vi в прямую сумму подпространств одинаковой размерности;
L = PSLn(q) и Н — стабилизатор пары {U, W} подпространств из V таких, что либо U < W и dim(U) + dim(W) = dim(V), либо V = /ф W, и G содержит автоморфизм группы L, переставляющий U и W;
L = PSL2(q) иіПЯ- диэдральная группа, At, «S4, А5 или PGL2{ql^2)\
L = PSU3(5) и L П Я = Мю;
L = PQ7(q) для простого q = ±3 (mod 8) и L П Я = П7(2);
L = РП+(д) для простого g = ±3 (mod 8) и L П Я = П+(2);
L = PQJ(q) для простого g = ±3 (mod 8) и ІПЯ изоморфна 23.26.PSL3(2).
В пункте (II) при четном див пунктах (H)(1) и (11)(6)-(11)(9) при нечетном g подгруппа Я всегда будет подгруппой нечетного индекса в G (см. [27, 18]). В остальных случаях случаях четность индекса Я в G существенно зависит от нескольких параметров, в том числе от и и д. Параболические подгруппы конечных простых классических групп хорошо изучены в терминах групп лиева типа (см. [5]). Поэтому в пункте (II) можно рассматривать только классические группы над полями нечетной характеристики.
В пункте (H)(3) теоремы Либека-Саксла-Кантора возможен случай, когда L П Я = L, но для описания всех таких подгрупп Я достаточно рассмотреть группу Aut(L) , которая хорошо изучена (см., например, [14]), поэтому далее можно предполагать, что L П Я < L.
Цель диссертации. Целью данной работы является завершение классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых
группах.
Методы исследования. Основными методами исследования в настоящей диссертации являются методы теории групп (теория конечных групп и теория классических групп) и элементы теории чисел.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований теоретико-групповой структуры конечных почти простых групп. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах, полученная автором в [36], уже нашла свое применение при вычислении числа классов сопряженности холловых подгрупп в конечных почти простых группах [31].
Апробация работы. Результаты диссертации в период с 2007 по 2010 год были представлены на следующих конференциях: Международных алгебраических конференциях "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2007 и Нальчик, 2009), Международных школах-конференциях по теории групп (Челябинск, 2008 и Нальчик, 2010), Международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008 и 2009), Международной конференции "Группы Сент Энд-рюс- 2009" (Великобритания, г. Бат, 2009), Международной школе-конференции "Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей" (Новосибирск, 2010), Международной конференции "Группы и их действия - 2010" (Польша, г. Бедлево, 2010), 39 Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2008), 40 и 41 Всероссийских молодежных конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2009 и 2010), см. [39]-[46].
Результаты работы докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института математики СО РАН и НГУ (Новосибирск, 2009), на городском алгебраическом семинаре "Алгебраические системы" (Екатеринбург, 2008 и 2009) и на алгебраическом семинаре Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2008 - 2010).
Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в [36]-[48]. Из них статьи [36]-[38] опубликованы в журналах, которые на момент публикации входили в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.
