Введение к работе
Актуальность темы исследования. Гомологическая зеркальная симметрия — это гипотетическая категорная интерпретация зеркальной симметрии, предложенная М. Концевичем [Kol]. Подход состоит в том, чтобы связать с симплектической и алгебраической стороной некоторые триангулированные категории (с Аоо -оснащением), и затем доказать эквивалентность этих категорий.
Изначально, она была предложена Концевичем [Kol] для многообразий Калаби-Яу. Пусть X — проективное алгебраическое многообразие Калаби-Яу, а X — зеркально симметричное симплектическое многообразие. Тогда с многообразием X можно связать производную категорию когерентных пучков Db(X). Замечательная конструкция К. Фукай [F] связывает с симплекти-ческим многообразием X ( Z или Z/2 )-градуированную А^- категорию. Ее объекты — это лагранжевы подмногообразия с некоторыми дополнительными структурами. В этом случае гипотеза утверждает эквивалентность
D\X) = D*(T(X)),
где D7r(Jr(X)) — категория совершенных комплексов над А^ -категорией J-'(X). В такой формулировке она была доказана в некоторых частных случаях [AS, PZ, Se3].
Вскоре, был предложен аналог этой гипотезы для многообразий Фано. В этом случае зеркалом является модель Ландау-Гинзбурга — гладкое алгебраическое многообразие с регулярной функцией. Частные случаи гипотезы были доказаны в работах [АК01], [АК02]. Более общо, ожидается, что можно также рассматривать многообразия с эффективным анти-каноническим дивизором [Аи].
Кацарков [Ка, ККР, KKOY] предложил обобщение гомологической зеркальной симметрии, которое включает некоторые многообразия общего типа. Зеркалом к такому многообразию является модель Ландау-Гинзбурга. Одно направление гипотезы Кацаркова было доказано Зайделем для кривой рода 2 [Sel].
Строго говоря, если М — это симплектическое многообразие, то Т(М) — это не настоящая А^- категория, так как пространства морфизмов определены только для трансверсальных пар лагранжевых подмногообразий, а высшие умножения определены только для трансверсальных последовательностей лагранжевых подмногообразий. На самом деле, Т(М) — это А^ -пред-категория в смысле Концевича и Сойбельмана [KS]. Различные версии и аспекты Aqo- пред-категорий Фукай систематически изложены в книге [Se2].
Для того, чтобы доказать гипотезу о гомологической зеркальной симметрии в некоторых частных случаях, следует сначала заменить А^- пред-категорию Фукай на квази-эквивалентную настоящую А^- категорию. Ясно, что каждая Aqo- категория (со слабыми тождественными морфизмами) может рассматриваться также как А^- пред-категория. Концевич и Сойбельман [KS] сформулировали естественную гипотезу, согласно которой (над произвольным градуированным коммутативным кольцом) классы квази-эквивалентности А^ -пред-категорий находятся в биекции с классами квази-эквивалентности А^ -категорий со слабыми тождественными морфизмами.
Цель работы — доказательство гипотезы Концевича и Сойбельмана для существенно малых А^ -(пред-)категорий над произвольным полем, а также доказательство гипотезы о гомологической зеркальной симметрии для кривых рода не меньше 3, воспринимаемых как симплектические многообразия.
Методы исследования. В работе используются методы гомологической алгебры, алгебраической геометрии и симплектической геометрии — теория когерентных пучков на алгебраических многообразиях, теория Фукай на симплек-тических многообразиях, теория оснащенных триангулированных категорий, теория Муавра-Картана.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Доказаны две гипотезы, связанные с гомологической зеркальной симметрией. Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.
Доказательство гипотезы Концевича и Сойбельмана о биекции между классами эквивалентности существенно малых А-бесконечность пред-
категорий над полем, и классами квази-эквивалентности существенно малых А-бесконечность категорий со слабыми (или сильными) тождественными морфизмами.
Построение А-бесконечность пред-категорий скрученных комплексов для А-бесконечность пред-категорий. Доказательство инвариантности этой конструкции относительно квази-эквивалентностей.
Доказательство гомологической зеркальной симметрии для кривых рода д > 3, рассматриваемых как симплектические многообразия.
Доказательство теоремы о восстановлении для гиперповерхностных особенностей: формальный тип особенности (т.е. многочлен с точностью до формальной замены переменных) восстанавливается по классу квазиизоморфизма DG алгебры эндоморфизмов структурного пучка особой точки в триангулированной категории особенностей.
Научная значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы, представленные и используемые в работе, имеют широкий спектр применения: в алгебраической и симплектической геометрии, гомологической алгебре, в математической физике.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались как на российских научно-исследовательских семинарах и конференциях (семинар "Геометрия алгебраических многообразий" под руководством Д.Б. Каледина и А..Г. Кузнецова в МИАН, семинар А.И. Бондала в МИАН, семинар отдела алгебры МИАН под руководством И.Р. Шафаревича, семинар В.А. Псковских в МГУ, летняя школа-конференция по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа при ЯШУ (Ярославль)), так и на международных (Workshop on Homological Mirror Symmetry, Miami, Workshop on HMS and Hodge theory, Vienna, Conference on Tropical Geometry and Mirror Symmetry, San-Diego, Workshop "D-branes and homological mirror symmetry", Vienna, Second Latin Congress on Symmetries in Geometry and Physics, Curitiba).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 36 наименований. Объем диссертации - 89 страниц.
