Введение к работе
Актуальность темы. Описание фазовых переходов на основе феноменологической модели Л.Д. Ландау 1 2 3 4 5, включая поиск несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристаллов, в ряде случаев можно представить в виде математической задачи о периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера -Лагранжа экстремалей функционалов энергии). Нелинейности дифференциальных уравнений задаются термодинамическими потенциалами, алгебраические строения которых определяются как на основе опытных данных, так и на основе общих теоретических соображений 4' 5.
В диссертации рассмотрен класс кристаллов, сегнетоэлектрические фазы которых описываются моделью, учитывающей неоднородность вдоль одной из осей координат. Рассмотрен функционал энергии в виде
+ U(w) dz
2тг О
где к — физическая константа, w = (w\,..., wn)T — параметр порядка, п < 3. Функционал V рассматривается на пространстве 2тт—периодических функций класса С4 (со значениями в WLn).
Анализ бифуркационных эффектов осуществлен посредством метода Ляпунова-Шмидта, сводящего анализ функционала к анализу ключевой функции (от двух и более ключевых переменных)6
W(U)= inf V(w,6),
w: (w,efc)=fc
= (1,... ,n), 5 = (5h ..., 6m), где ek — мода бифуркации.
^^Иона Ф., Ширане Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. - М.: Мир. 1965. - 555 с.
2Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. - Москва, Наука. 1984. - 247 с.
3Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А., Крайник Н.Н., Пасынков Р.Е., Шур М.С. Сегнето-электрики и антисегнетоэлектрики. Л.: Наука, 1971. - 476 с.
4Толедано Ж-К., Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов. М.: Мир. 1994. - 461 с.
5Монастырский М.И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. - М.: ПАИМС, 1995. - 478 с.
6Красносельский М.А., Бобылев Н.А., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР. - 1978. Т. 240, N 3. - С. 530-533.
Для выяснения взаимных примыканий стабильных и метастабильных фаз, а также для выяснения порядка фазовых переходов необходимо вычислять не только точки локальных и глобальных минимумов функционала энергии, но и седловые точки. Более того, требуется информация о структуре фазового портрета динамической системы w = —grad V(w)
(градиент задан в скалярном произведении (p,q) := ^ f(p,q)dz). Если
11 о известна ключевая функция W: то эта структура определяется фазовым
портретом функции W (или, более точно, фазовым портретом градиентной динамической системы = — gradW(^)).
В целом, задача изучения ветвления экстремалей гладкого функционала V (с параметрами) вблизи точки минимума, имеющей многомерное вырождение, представляет как теоретический интерес, так и прикладной. Эта задача тесно связана с анализом многомодовых бифуркаций решений краевых задач, с изучением закритических прогибов упругих систем, с нелинейными волновыми процессами 7 и т.д.
В работах других авторов наиболее близкие к теме диссертации результаты ранее были получены Б.М. Даринским, А.А. Дьяченко, А.П. Лазаревым и М.Н. Чаплыгиным 8 9.
В диссертации представлены результаты исследований бифурцирую-щих несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристалла. Изложение дано в виде решения задачи о бифуркации экстремалей функционала энергии вблизи точки минимума с особенностью 6-го порядка при условии симметрии квадрата (для двумерной особенности) и куба (для трехмерной особенности). Основные результаты получены на основе редукции к ключевой функции на Ш2 и М3 посредством модифицированной вариационной версии метода Ляпунова-Шмидта 10 с использованием вто-
7Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12. 2004. С.З— 140.
8Даринский Б.М., Дьяченко А.А., Сапронов Ю.И., Чаплыгин М.Н. Фазовые переходы в доменных границах ферроиков// Известия РАН. Сер.: физическая. 2004. Т.68, N 7. - С.920-926.
9Даринский Б.М., Дьяченко А.А., Лазарев А.П. Топологический метод исследования в термодинамике сегнетоэлектриков// Известия РАН. Сер.: физическая. 2007. Т.71, N 10. - С.1388-1391.
10Красносельский М.А., Бобылев Н.А., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР. - 1978. Т. 240, N 3. - С. 530-533.
ричных редукций и теорем теории особенностей гладких функций .
Цель работы и основные задачи. Основные теоретические положения данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах вариационного фредгольмова уравнения с симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с многомерным вырождением. Центральная конструкция диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений исходного уравнения к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) с его последующим качественно-численным анализом. Цель работы — реализация центральной конструктивной идеи в задаче о 2- и 3-модовых ветвлениях несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристаллов. К главным составляющим этой задачи отнесены: 1) описание алгебраического строения главной части ключевой функции, 2) описание геометрического строения каустики Е (дискриминантного множества уравнения Эйлера-Лагранжа), соответствующей функционалу энергии в модели кристалла с двумя и тремя параметрами порядка, 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к S), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирующих фаз.
В случае mm—особенности с генотипом многомерной сборки (однородной особенности четвертого порядка) вычисление главной части ключевой функции осуществляется либо на основе прямой ритцевской аппроксимации функционала по совокупности мод бифуркации, либо, в более сложных случаях, на основе формулы ортопроектора на корневое подпространство второго дифференциала функционала 13. На этом пути ранее было исследовано ветвление экстремалей вблизи min-особенности с генотипом 2-мерной сборки (Д.В. Костин), и частично исследован случай 3-мерной сборки (Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, А.В. Гнездилов, А.В. Зачепа).
иБелых Ф.А., Зачепа А.В., Сапронов Ю.И. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. - С.18-33.
12Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде СМ. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982. - 304 с.
13Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки// ДАН, 2008, т. 418, № 3. - С.295-299.
Большинство известных исследований бифуркаций экстремалей в точках минимума с особенностью многомерной сборки опираются на нормальные формы таких особенностей, общий вид которых указан (в комплексном случае) в теории однородных и квазиоднородных особенностей 3. В вещественном случае алгебраическое строение нормальных форм сохраняется (по сравнению с комплексным случаем), но приводимость к нормальной форме менее очевидна. В этой связи представляет интерес построение алгоритмов нормализции квартичных форм.
Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы теории диференциальных уравнений, функционального анализа, теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких функций и компьютерной графики на основе символьного программирования. Методологическая основа диссертации — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких вариационных уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах), оснащенная элементами теории особенностей гладких функций. В случае особенности шестого порядка вычисление главной части ключевой функции в диссертации осуществлено посредством нелинейной ритцевской аппроксимации.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Разработан алгоритм нормализации (приведения к нормальным
формам) квартичных форм двух и трех переменных.
Дано описание алгебраического строения главных частей ключевых функций для функционалов энергии в моделях кристаллов с двумя и тремя параметрами порядка.
Осуществлен бифуркационный анализ симметричных (с симметрией квадрата) ключевых функций двух переменных с главной частью в виде полинома шестой степени: описаны линии уровня, характер, количества, расположения и взаимные примыкания критических точек. Частично изучено строение ключевых функций трех переменных с главной частью в виде симметричного (с симметрией куба) полинома шестой степени.
Получена параметризация каустик (в случаях симметрии квадрата
и куба). Приведены асимптотические формулы амплитуд бифурцирую-щих модулированных сегнетоэлектрических фаз кристаллов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в анализе ветвления сегнетоэлектрических фаз кристаллов. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежских зимних математических школах (2007, 2009 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения" (2009 г.), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ, на семинаре по качественному анализу краевых задач (ВГУ, рук. — проф. Ю.В. Покорный), на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук.
проф. В.А. Костин) и на семинаре по теории кристаллов (ВГУ, рук.
проф. Б.М. Даринский).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. Списку ВАК соответствуют работы [1], [2].
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 77 наименований. Общий объем диссертации — 130 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (24 рисунка), выполненной в вычислительно - программном комплексе Maple.
