Содержание к диссертации
Введение
1. Проблема фотореалистического рендеринга кристаллов 20
1.1. Задача фотореалистического рендеринга кристаллов 20
1.2. Луч света. Поляризация луча 20
1.3. Особенности взаимодействия света с кристаллами 24
1.3.1. Отражение и преломление света 24
1.3.2. Дисперсия света 26
1.3.3. Двойное лучепреломление 28
1.3.4. Коническая рефракция 31
1.3.5. Поглощение света и плеохроизм 33
1.4. Подходы к решению задачи 34
1.4.1. Коммерческие программные продукты 34
1.4.2. Научно-исследовательские работы 36
1.5. Заключение по главе 41
2. Модель взаимодействия луча света с границей двух прозрачных сред 43
2.1. Математическая постановка задачи 43
2.2. Необходимая информация о тензорном исчислении 44
2.3. Особенности распространения света в анизотропной среде 46
2.4. Взаимодействия луча света с границей двух прозрачных сред 56
2.5. Алгоритм расчёта порождённых лучей 63
2.6. Заключение по главе 68
3. Верификация модели 70
3.1. Проверка известных фактов и законов из кристаллооптики 70
3.1.1. Закон Снеллиуса 70
3.1.2. Закон Брюстера 72
3.1.3. Двойное лучепреломление 74
3.2. Интеграция модели в алгоритмы лучевой трассировки 75
3.3. Расчёт оптических эффектов в кристаллах 81
3.3.1. Двойное лучепреломление 82
3.3.2. Внутренняя коническая рефракция 85
3.4. Верификация методом сравнения с фотографией 87
3.4.1. Реальная сцена 88
3.4.2. Виртуальная сцена 90
3.4.3. Определение геометрии монокристалла 90
3.4.4. Определение направления оптической оси 92
3.4.5. Сопоставление виртуальной и реальной камер 93
3.4.6. Сопоставление спектров источников 95
3.4.7. Результаты сравнения 97
3.5. Заключение по главе 99
4. Модель поглощения луча света в анизотропной среде 101
4.1. Поглощение света 101
4.2. Модель поглощения света в анизотропной среде 102
4.3. Расчёт коэффициентов поглощения света 105
4.4. Численные эксперименты 106
4.5. Заключение по главе 108
5. Программная библиотека LIAC 110
5.1. Концепция 110 5.2. Программная архитектура 110
5.3. Функциональные возможности 112
5.4. Заключение по главе 113
Заключение 114
Литература 117
- Особенности взаимодействия света с кристаллами
- Особенности распространения света в анизотропной среде
- Интеграция модели в алгоритмы лучевой трассировки
- Расчёт коэффициентов поглощения света
Введение к работе
Актуальность темы. Фотореалистическим рендерингом называют процесс расчёта фотореалистического изображения трёхмерной сцены, т.е. изображения близкого к фотографии сцены. Данная работа посвящена фотореалистическому рендерингу прозрачных изотропных и анизотропных кристаллов, т.е. твёрдых тел, атомы, молекулы или ионы в которых формируют периодическую пространственную структуру – кристаллической решётку (КР). Монокристаллы имеют единую решётку, а кристаллические агрегаты состоят из нескольких сросшихся монокристаллов. По убыванию симметрии КР кристаллы могут быть классифицированы на изотропные, одноосные и двуосные (90% кристаллов). Одноосные и двуосные кристаллы – анизотропные.
Фотореалистические изображения сцен рассчитывают алгоритмами лучевой трассировки, имитирующими распространение лучей в сцене. Для физически корректных расчётов трассируются монохромные лучи (спектральный рендеринг). Взаимодействие луча света с кристаллами состоит из: 1) отражение и преломление света на внешних и внутренних границах сред; 2) изменение луча при прохождении им кристаллической среды, например, ослабление интенсивности из-за поглощения, поворот плоскости поляризации из-за оптической активности.
Коммерческие программные продукты для рендеринга трёхмерных сцен, например, Maxwell Render, позволяют рассчитывать фотореалистические изображения только изотропных кристаллов. Некоторые специализированные программные продукты для расчёта огранки кристаллов, например, DiamCalc, содержат функцию расчёта изображений, но в таких приложениях скорость (в интерактивном режиме) расчёта изображений важнее качества, и они могут рассчитывать только изотропные кристаллы даже без учёта поляризации лучей.
В научно-исследовательских работах в основном рассматриваются одноосные монокристаллы, см. Tannenbaum (1994), Guy (2004), Weidlich (2008), в том числе и полупрозрачные в Guy (2004). В работах McClain (1993) теоретически рассматривается взаимодействие луча с одноосными кристаллическим агрегатами. Двуосные монокристаллы рассматриваются только в Latorre (2012), предложен только расчёт направлений лучей и рассчитаны «черновые» изображения, и теоретически в Wang (2008), включая расчёт интенсивностей и состояний поляризации лучей. Двуосные кристаллические агрегаты и полупрозрачные двуос-ные кристаллы не рассматриваются. В каждой работе разрабатывается отдельная модель взаимодействия луча света с кристаллами, поскольку предложенные модели не могут быть расширены на более общий случай.
Физики-теоретики в работах по оптике рассматривают взаимодействие света с кристаллами в более общих случаях, но решения предложены для специальных, используемых в технике случаях, что не подходит для компьютерной графики. Таким образом, разработка общей унифицированной модели взаимодействия луча света с изотропными, одноосными и двуосными прозрачными монокристаллами и кристаллическими агрегатами для использования в алгоритмах лучевой трассировки является актуальной задачей.
Тестирование - это неотъемлемая часть процесса разработки модели. Очевидным способом проверки модели взаимодействия луча света с кристаллами является сравнение изображения кристалла, рассчитанного на основе модели, с фотографией. На практике этот подход имеет несколько недостатков: 1) невозможна проверка модели на ранних этапах разработки; 2) сравнение трудно осуществить из-за сложности сопоставления реальной сцены и её модели, параметров камеры и ракурсов съёмки; 3) нельзя исключить ошибки рендеринга.
Необходимо иметь систему тестов, учитывающих специфику кристаллов, для верификации модели на ранних этапах разработки, например, на основе проверки законов и хорошо известных фактов кристаллооптики. В настоящее время такие системы тестов применяются во многих областях исследований, например, Matrix Market в вычислительной математике. Для сравнения рассчитанного изображения с фотографией обычно используется специальная сцена с простой геометрией и простыми оптическими свойствами, например, Cornell Box для алгоритмов рендеринга сцен с диффузными поверхностями. В случае кристаллов сцена Cornell Box непригодна, т.к. для наблюдения оптических эффектов в анизотропных кристаллах нужны специальные условия. В связи с этим актуальной является задача разработки специальной системы тестов для проверки моделей взаимодействия луча света с кристаллами и специальной сцены для верификации алгоритмов фотореалистического рендеринга кристаллов на основе сравнения рассчитанного изображения сцены с фотографией.
Объектами исследования являются:
Алгоритмы и ПО для фотореалистического рендеринга кристаллов.
Модели взаимодействия луча света с прозрачными изотропными и анизотропными кристаллами.
Верификация и тестирование моделей и алгоритмов для фотореалистического рендеринга кристаллов.
Целью диссертационной работы является разработка физически корректной математической модели взаимодействия луча света с оптически прозрачными изотропными и анизотропными монокристаллами и кристаллическими агрегатами для использования в алгоритмах лучевой трассировки.
Достижение цели осуществляется решением следующих задач:
Разработка физически корректной модели взаимодействия луча света с границей между двумя изотропными, одноосными и двуосными средами.
Разработка алгоритма расчёта отражённых и преломлённых лучей по падающему лучу, геометрическому описанию границы и оптическому описанию сред.
Разработка программной библиотеки, реализующей алгоритм расчёта лучей.
Верификация модели взаимодействия луча света с кристаллами.
Положения, выносимые на защиту:
1. Предложена физически корректная математическая модель и алгоритм расчёта взаимодействия луча света с прозрачными изотропными и анизотропными монокристаллами и кристаллическими агрегатами, т.е. расчёт всех отражённых
и преломлённых лучей при падении луча света на внешние и внутренние границы сред в кристаллах.
-
Разработана программная библиотека LIAC (Light Interaction with Anisotropic Crystals) на основе предложенной модели, реализующая расчёт взаимодействия луча света с изотропными и анизотропными кристаллами и предназначенная для использования в программах визуализации систем виртуальной реальности.
-
Предложен набор тестов для верификации моделей взаимодействия луча света с прозрачными изотропными и анизотропными кристаллами и алгоритмов рендеринга таких кристаллов, в том числе специальная сцена (экспериментальный стенд, его модель, фотографии) для проверки точности рендеринга сцен с кристаллами на основе сравнения рассчитанного изображения сцены с фотографией.
Личный вклад автора заключается в непосредственном участии на всех этапах исследования: все представленные в работе результаты получены автором лично; соискатель спроектировал и изготовил экспериментальный стенд, получил экспериментальные данные и участвовал в процессе их анализа; соискатель выступал с докладами на конференциях, на которых проходила апробация результатов исследования, участвовал в подготовке основных публикаций.
Научная новизна:
-
Впервые предложена физически корректная математическая модель и алгоритм расчёта взаимодействия луча света с границей двух прозрачных изотропных, одноосных и двуосных сред, т.е. с внешними и внутренними границами кристалла, для применения в алгоритмах лучевой трассировки. Впервые получено аналитическое унифицированное решение.
-
Впервые создан специальный набор тестов для верификации алгоритмов расчёта взаимодействия луча света с прозрачными кристаллами и алгоритмов расчёта фотореалистических изображений кристаллов. В том числе, впервые разработана специальная сцена для проверки точности рендеринга кристаллов на основе попиксельного сравнения рассчитанного изображения с фотографией для сцен, включающих анизотропных кристаллы.
Достоверность полученных результатов подтверждается теоретическими исследованиями, в том числе особых случаев (вертикальное падение луча, специальные направления оптических осей), результатами численных экспериментов: 1) моделированием известных оптических эффектов и экспертной оценкой результатов моделирования; 2) сравнением рассчитанного изображения модели экспериментального стенда, содержащего монокристалл кальцита (одноосный), с его фотографией методом попиксельного сравнения изображений.
Методы исследований. В работе использованы методы вычислительной математики, векторной и линейной алгебры, прямого тензорного исчисления (ковариантный метод) и компьютерной графики. Для проведения численных экспериментов применены современные методы программирования на языке C++.
Практическая значимость работы состоит в разработке программной библиотеки LIAC на основе разработанной модели взаимодействия луча света с про-
зрачными кристаллами. Для решения практических задач была также предложена и включена в библиотеку модель поглощения луча света в изотропных и анизотропных кристаллах. Библиотека содержит функционал достаточный для разработки алгоритмов лучевой трассировки, позволяя рассчитывать фотореалистические изображения прозрачных и полупрозрачных монокристаллов и кристаллических агрегатов. Это первая библиотека, позволяющая рассчитывать фотореалистические изображения двуосных кристаллов.
Разработка может быть использована в: 1) ювелирной промышленности, в программном обеспечении для расчёта огранок драгоценных камней для расчёта фотореалистических изображений моделей огранённых кристаллов; 2) программных системах оптического дизайна; 3) системах трёхмерного моделирования, в которых в последнее время наблюдается устойчивая тенденция к фотореализму. Использование разработанной библиотеки позволяет расширить класс естественных объектов, моделируемых в системах виртуальной реальности. Библиотека может служить основой компьютерной модели петрографического микроскопа для целей обучения и исследований в кристаллооптике, см. [7].
Исследования поддержаны грантами РФФИ № 06-07-89216-а «Разработка алгоритмов физически корректной визуализации сцен с кристаллами», № 09-07-00237-а «Разработка алгоритмов физически корректной визуализации сцен с дву-осными кристаллами и кристаллическими агрегатами», № 12-07-00386-а «Разработка робастного алгоритма рендеринга прозрачных анизотропных кристаллов», № 12-07-00391-а «Разработка алгоритма рендеринга полупрозрачных анизотропных кристаллов и металлов с учётом поляризации луча света».
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на VI Международном симпозиуме по виртуальному окружению на персональном компьютере и кластерах VEonPC (Протвино, Алтай, 2006), на XLIV, XLVII, XLVIII и XLIX Международных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2006, 2009, 2010 и 2011), на IV, V и VII конференциях «Технологии Microsoft в теории и практике программирования» (Новосибирск, 2007, 2008; Томск, 2010), на IX и X Всероссийских конференциях молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008; Иркутск, Россия – Ханх, Монголия, 2009), на XIX, XX и XXIII Международных конференциях по компьютерной графике ГрафиКон (Москва, 2009; Санкт-Петербург, 2010; Владивосток, 2013), на Конференции молодых учёных Института вычислительной математики и математической геофизике СО РАН (Новосибирск, 2010), на Международной конференции «Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики» (Новосибирск, 2011), на Всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (Новосибирск, 2012), на XX Международной конференции в центральной Европе по компьютерной графике, визуализации и компьютерному зрению WSCG (Пльзень, Чехия, 2012), на Международной молодёжной конференции-школе «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (Дубна, 2012), на XXI Тихоокеанской конференции по компьютерной графике и приложениям Pacific Graphics (Сингапур, 2013).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы из них 11 статей, из них 1 в журнале из перечня ВАК и 2 в рецензируемых журналах, проиндексированных в Scopus и Web Of Science.
Структура и объём работы. Диссертация общим объёмом 129 страниц состоит из введения, 5-ти глав, заключения, 2-х приложений и списка литературы из 68 наименований. В работе содержится 34 рисунка.
Особенности взаимодействия света с кристаллами
Поглощение луча в среде описывается законом Бугера-Ламберта-Бера [1] и определяется коэффициентом поглощения луча. В изотропных кристаллах коэффициент поглощения не зависит от направления и состояния поляризации луча, а в анизотропных кристаллов зависит от плоскости поляризации и направления распространения луча. Поглощающие характеристики изотропной среды определяются спектром поглощения, а анизотропной среды – двумя (в одноосных) или тремя (в двуосных) спектрами поглощения, спектрами преломления среды и направлениями оптических осей.
Коммерческие программные продукты для фотореалистического рендеринга, например, DiamCalc [65] от Octonus Software (специализированное программное обеспечение для расчёта огранки кристаллов), Maxwell Render [51] от Next Limit Technologies (программное обеспечения для рендеринга сцен, позволяющее, по утверждению разработчиков, достичь наибольшей степени фотореализма среди коммерческого программного обеспечения) позволяют рассчитывать физически корректные изображения только для изотропных кристаллов.
В научно-исследовательских статьях по компьютерной графике лишь несколько работ посвящено задаче рендеринга анизотропных кристаллов. В работах рассматривается в основном рендеринг монокристаллов, то есть взаимодействие луча света с границей изотропная среда – анизотропный кристалл. Одноосные монокристаллы рассматриваются в [47], [60], [64]. В работе [63] предложен теоретический расчёт взаимодействия луча с двуосными монокристаллами. В работе [49] рассчитаны изображения двуосных монокристаллов, но лишь частично корректные, поскольку производится только расчёт направ 9 лений отражённых и преломлённых лучей, а расчёт интенсивностей и состояний поляризации лучей отсутствует. Кристаллические агрегаты, т.е. взаимодействие луча света с границей двух анизотропных сред, рассматривается только для одноосных кристаллов в работах [52], [53] и только теоретически. Двуосные кристаллические агрегаты не рассматриваются ни в одной работе. Стоит отметить, что в каждой работе строится отдельная модель, описывающая взаимодействие луча света с некоторым подмножеством вариантов граничащих сред. Поглощение света в анизотропных кристаллах рассматривается только в работе [47] и только в одноосных кристаллах. Отметим, что во всех перечисленных работах из-за сложности получаемых выражений используются численные (итеративные) или геометрические (основанные на принципе Гюйгенса [28]) методы для расчёта направлений лучей.
С другой стороны, физики-теоретики в книгах по оптике [1] и [31], рассматривают взаимодействие света в более общих случаях. Из-за громоздкости получаемых выражений конечные формулы для расчёта лучей получены только для более-менее простых и применяемых в технических задачах случаев, например, определённый угол падения луча, определённая ориентация оптических осей, что не подходит для фотореалистического рендеринга, т.к. не учитывает всех возникающих случаев. Вопрос о применении полученных решений в компьютерной графике в упомянутых работах не рассматривается, при этом представленные решения не могут очевидным образом быть адаптированы для использования в алгоритмах лучевой трассировки.
Таким образом, ни в одной из опубликованных научно исследовательских работ, а тем более программных продуктов не предложено общей модели взаимодействия луча света с изотропными и анизотропными кристаллами, а общее решение, предложенное физиками-теоретиками не пригодно для решения задач компьютерной графики. Разработка общей унифицированной модели взаимодействия луча света с изотропными и анизотропными кристаллами, и кристаллическими агрегатами для использования в задачах фотореалистического рендеринга является актуальной задачей.
Разработка физически корректной модели взаимодействия луча света с прозрачными кристаллами, позволит расшить класс естественных объектов, моделируемых в системах виртуальной реальности. Также решение задачи может быть использовано в ювелирной промышленности в программном обеспечении для расчёта изображения кристалла при проектировании огранки. При некоторых модификациях модели (добавления учёта интерференции) решение оказывается полезным в программах оптического дизайна для расчёта линз, объективов, телескопах, а также может использовано для разработки модели петрографического микроскопа [7].
Отметим, что первостепенным для расчёта взаимодействия луча с изотропными и анизотропными кристаллами расчёт взаимодействия луча с границей двух изотропных или анизотропных сред, т.е. расчёт взаимодействия луча с прозрачными кристаллами. Целью данной работы является, именно, разработка физически корректной математической модели взаимодействия луча с прозрачными изотропными и анизотропными кристаллами, а второстепенной (прикладной) задачей является расчёт поглощения света в кристаллах.
Очевидно, что тестирование является неотъемлемой частью процесса разработки модели. В настоящий момент единственным способом проверить корректность модели взаимодействия луча света с кристаллами для фотореалистического рендеринга кристаллов является сравнение изображений, рассчитанных программным комплексом, использующим тестируемую модель, с фотографией. Этот подход на практике имеет несколько недостатков: 1) невозможна проверка модели на раннем этапе разработки; 2) трудно осуществить сравнение из-за сложности сопоставления реальной сцены и её модели, а также фотоаппарата и модели камеры, при отсутствии специальной сцены для такого тестирования; 3) метод не исключает искажение результатов тестирования из-за потенциальных ошибок, возникающих при разработке программного комплекса. Преимуществом подхода, однако, является наглядность и верификация алгоритма в целом, при совпадении изображений. Именно, такой подход использован в работах [46], [54], [64].
Особенности распространения света в анизотропной среде
Меньшая степень симметрии кристаллической решётки в анизотропных кристаллах, по сравнению с изотропными, приводит к тому, что в таких кристаллах наблюдается оптические эффекты, не свойственные изотропным кристаллам. Другим следствием является то, что лучи распространяющиеся в изотропных кристаллах линейно поляризованы, а значит требуется учитывать состояние поляризации при трассировке лучей в сценах, включающих анизотропные кристаллы.
Коммерческие программные продукты позволяются рассчитывать только изотропные кристаллы, да и то без учёта поляризации света. В научно-исследовательских работах рассматриваются в основном одноосные кристалла, в том числе и цветные прозрачные, двуосные монокристаллы рассмотрены частично, двуосные кристаллические агрегаты не рассмотрены совсем. Фотореалистические изображения рассчитаны только для одноосных монокристаллов. Общей модели взаимодействия луча света с кристаллами не предложено, модели, используемые в каждой работе отдельные, поскольку и не позволяют расширения на более общий случай. Явление конической рефракции не рассматривается. Модели взаимодействия луча света с кристаллами часто учитывают поглощения света в изотропных и одноосных кристаллах, но не предложено модели расчёта для поглощения света в двуосных кристаллах.
Несколько странным является то, что в большинстве работ, посвящённых фотореалистическому рендеринга кристаллов даже не ставится вопрос о сравнении рассчитанных изображений с фотографией или какой-либо другой верификации полученных результатов расчёта. Фактически более или менее хорошее сравнение с фотографией представлено только в работе [64], но и в ней вопросу сравнения с фотографией не уделено должного внимания, т.е. не описаны проблемы, возникающие при сравнении, и методы их решения, выбранные в данной работе. Таким образом, разработка общей унифицированной модели взаимодействия луча света с изотропными и анизотропными прозрачными цветными, и бесцветными монокристаллами и кристаллическими агрегатами для фотореалистического рендеринга и её тщательная верификация, включая сравнения рассчитанных изображений с фотографиями является актуальной задачей. Поскольку большинство применяемой в ювелирной промышленности кристаллов относятся к классу полупрозрачных кристаллов, в том числе большинство анизотропные [29], то разработка такой модели может быть полезна в этой области промышленности в задачах расчёта фотореалистических изображений драгоценных кристаллов, например, для выбора форм огранки кристаллов, а, особенно, при разработке новых форм огранок, см. детали в главе 4.
В данной работе задача взаимодействия луча света с кристаллами рассматривается как взаимодействия луча с границей кристалла и изменение луча при его прохождении сквозь кристалл. Под расчётом взаимодействия луча с границей подразумевается расчёт интенсивностей и состояний поляризаций лучей по тем же параметрам падающего луча, а изменение при прохождении луча сквозь среду рассматривается изменение его интенсивности и состояния поляризации.
В процессе отражения и преломления луча при некоторых условиях, у отражённых и преломлённых лучей (точнее составляющих их волн) может наблюдаться сдвиг фаз относительно падающего луча (составляющих волн) [31]. В данной работе это явление не рассматривается, а значит не рассматривается явление интерференции, поскольку оно оказывает заметное влияние только особых, специально подобранных сценах. По этой причине для представления поляризации выбраны матрицы когерентности, как минимальное и достаточное представление для расчёта взаимодействия луча с кристаллами без учёта фазовых сдвигов между лучами. 2. Модель взаимодействия луча света с границей двух прозрачных сред
В данной главе описана модель взаимодействия монохромного луча света с границей двух прозрачных изотропных и анизотропных сред в виде удобном для использования в алгоритмах лучевой трассировки. Модель представлена в виде алгоритма расчёта направлений, интенсивностей и состояний поляризации всех отражённых и преломлённых лучей, по направлению, интенсивности и состояния поляризации падающего луча, нормали к границе сред и оптических характеристиками каждой из граничащих сред: направления оптических осей и главных коэффициентов преломления.
Описание модели взаимодействия луча света с границей сред использует большое число математических выкладок из работы [31], поэтому при описании используются обозначения из этой работы и правила именования переменных, в том числе вектора обозначаются полужирным шрифтом, тогда как для остальных переменных используется регулярный шрифт. Некоторые обозначения были унифицированы для учёта случаев, не рассмотренных в работе [31]. Значительное использование выкладок из [31] совершенно необходимо для описания принципов и этапов работы алгоритма, а также для описания вычислительных особенностей при вычислении лучей.
Интеграция модели в алгоритмы лучевой трассировки
Пусть неполяризованный луч I падает из изотропной среды на пластину одноосного монокристалла кристалла с двумя плоскими параллельными гранями на одну из них (плоскость Z), см. рис. 19. Обозначим плоскость, образованную нормалью к поверхности на которую падает луч и направлением (вектором) оптической оси, как плоскость П. Пусть направление оптической оси с (показано на рисунке зелёной пунктирной стрелкой) образует некоторый угол с плоскостью S, неравный от 0 и 90 градусов и лежит в плоскости П. Коэффициент преломления изотропной среды равен n, а главные коэффициенты преломления одноосной среды равны no и ne.
В результате преломлении в кристалле образуются два линейно поляризованных луча лежащих в плоскости П, поляризованных во взаимно перпен 75 дикулярных плоскостях. Преломлённый луч, подчиняющийся закону Снелли-уса (63) (в качестве п2 используется п0), поляризован перпендикулярно плоскости П и называется обыкновенным (обозначен О на рисунке). Второй луч Е, поляризован в плоскости П, называется необыкновенным. Короткими стрелками и точками обозначены колебания вектора электрического поля лучей. Отражённый луч R и падающий луч / лежат в плоскости П и образуют одинаковые углы с нормалью.
После преломления на второй грани кристалла оба преломлённых луча параллельны падающему лучу /, обыкновенный луч поляризован перпендикулярно плоскости П, а необыкновенный в плоскости П. Таким образом, справедливы следующие утверждения: Утверждение 1. При преломлении на первой границе сред (входе в кристаллическую пластину). Соотношение углов падения и преломления для обыкновенного луча удовлетворяет закону Снеллиуса (63). Отражённый и преломлённый лучи лежат в плоскости П. Обыкновенный и необыкновенный лучи линейно поляризованы, при этом необыкновенный луч поляризован в плоскости П, а обыкновенный - перпендикулярно плоскости П.
Утверждение 2. При преломлении на второй границе сред (выходе из кристаллической пластины). Обыкновенный и необыкновенный лучи параллельны падающему лучу. Обыкновенный и необыкновенный лучи линейно поляризованы, при этом необыкновенный луч поляризован в плоскости П, а обыкновенный - перпендикулярно плоскости П.
Интеграция модели в алгоритмы лучевой трассировки Для расчёта фотореалистических изображений кристаллов необходимо интегрировать алгоритм расчёта лучей в алгоритмы лучевой трассировки. Существует два типа алгоритмов лучевой трассировки. Алгоритмы прямой лучевой трассировки моделируют физическое распространение лучей света в природе. Суть алгоритмов такого типа состоит в следующем. Каждый источник в сцене излучает некоторое (обычно очень большое) количество лучей. Лучи трассируются по сцене, отражаясь и преломляясь на границах объектов и взаимодействуя со средой прозрачных объектов сцен. Те лучи, которые достигли матрицы камеры, формируют изображение сцены. Алгоритмы прямой лучевой трассировки позволяют получать фотореалистические изображения любых сцен, в том числе сцен с диффузными поверхностями, с использованием сколь угодно сложной модели камеры, в том числе с учётом фокуса камеры, глубины резкости и т.д. К сожалению, для того, чтобы изображение, формируемое на матрице камеры, стабилизировалось, требуется излучить достаточно большое число лучей, что сильно замедляет алгоритмы этого типа и является их основным недостатком (расчёт изображения может занимать от нескольких часов до нескольких суток). Большинство алгоритмов, основанных на прямой лучевой трассировке, являются модификациями алгоритма лучевой трассировки по методу Монте-Карло.
Первая фаза алгоритма: построение дерева распространения обратных лучей (слева), вторая фаза алгоритма: расчёт изображения сцены посредством расчёта взаимодействия с прямыми лучами Значительно более быстрыми являются алгоритмы, основанные на обратной лучевой трассировке. В первой фазе алгоритма из камеры через каждый пиксель изображения пропускается от одного до нескольких виртуальных (обратных) лучей (рис. 20, слева). Виртуальные лучи распространяется по сцене, взаимодействуя с объектами как обычные лучи света. При расчёте взаимодействия луча необходимо рассчитывать только направления порождённых лучей, не рассчитывая их интенсивности (для этого часто недостаточно данных, например, не определено состояние его поляризации луча). Трассировка обрывается, если луч выходит за пределы сцены или попадает в источник света. В результате для каждого луча, выпущенного из камеры, стоится дерево обратных лучей, до определённой глубины или по какому-либо иному критерию остановки. Во второй фазе для всех ветвей дерева, заканчивающихся лучами, попавшими в источники света, рассчитывается распространение интенсивно-стей и состояний поляризаций лучей (трассируются реальные лучи) от источников к камере, при этом интенсивность (энергия) принесённая лучами суммируется на матрицы камеры, формируется изображение сцены (рис. 20, справа). Впервые такая схема была предложена в работе [66].
Расчёт коэффициентов поглощения света
Как и в разделе 3.3.1 сцена состоит из одного монокристалла в форме куба, с рёбрами параллельными осям, установленного на квадратную текстуру и, окружённого увеличенным габаритным боксом, с геометрическими параметрами идентичными сцене, описанной в разделе 3.3.1. В сером окружении (40% от CIE D65).
Преломляющие свойства кристаллов – виртуальные: изменяются линейно на видимом диапазоне волн от 380 до 780 нм: 1) от 1.55 до 1.45; 2) от 1.75 до 1.65; 3) от 1.95 до 1.85. Изотропная среда имеет 1-й спектр преломления, одноосная – 1-й и 2-й, а двуосная – все три.
С оптическими свойствами дело обстоит сложнее. Преломляющие свойства некоторых прозрачных анизотропных минералов (в особенности, применяемых в оптических приборах) хорошо известны, например, кальцита [37] или синтетического сапфира (почти прозрачный) [59]. Спектры поглощения (включая видимый диапазон частот) также опубликованы [55] для множества минералов, в том числе и сапфира (но, синего) [39].
Проблема состоит в том, что спектр преломления зависит от спектра поглощения, см. (69), (73) и их необходимо измерять для одного и того же кристалла, но результатов таких измерений найдено не было. Таким образом, существует проблема поиска данных для корректного расчёта реального кристалла и сравнения рассчитанного изображения с фотографией.
По этой причине в данной главе используются виртуальные оптические свойства. Свойства выбраны так, чтобы кристалл обладал сильным двойным лучепреломлением и сильным плеохроизмом.
Спектры поглощения взяты от реальных минералов для достижения естественной окраски кристалла, но умножены на различные константы для достижения примерно одинаковой степени полупрозрачности для заданного раз мера кристалла. Используются три спектра поглощения жёлтый, синий и красный (рис. 31).
Изотропные кубы: жёлтый, синий, красный Для наглядности на рис. 32 приведены рассчитанные изображения трёх изотропных кубов (того же размера, что и на рис. 33 и рис. 34) соответствующего цвета. Спектры используются по той же схеме, что и спектры преломления выше, т.е. изотропная среда - жёлтая, в одноосной среде используется жёлтый и синий, а в двуосной - жёлтый, синий и красный.
На рис. 33 приведены изображения сцен, содержащих одноосные кубы. Вторая, третья и четвёртая сцены отличаются от первой поворотом куба в пространстве вокруг осей, проходящих через центр куба и параллельным рёбрам куба. То есть сцены отличаются так, как если бы кубик переворачивали с грани на грань и смотрели, что получается. На рис. 34 показан тот же эксперимент, но с двуосным кристаллом.
Слева направо: двуосный куб, он же повёрнутый на 90 градусов во круг оси X, вокруг оси Y, вокруг оси Z На изображениях хорошо видно двойное лучепреломление (двойное изображение креста), плеохроизм (изменение окраски при поворотах куба). Дисперсию света можно увидеть на резких переходах цветов.
В данной главе предлагается модель поглощение света анизотропными средами: предложена физически корректная модель расчёта поглощения луча, в процессе его распространения сквозь такую среду. Впервые рассчитаны изображения тестовых сцен, содержащих поглощающий двуосный кристалл.
Дальнейшее развитие данного направления работы: 1) расширение предложенной модели поглощения на оставшиеся кристаллические системы, то есть триклинную и моноклинную, отметим, однако, что представленная модель уже может быть использована для расчёта поглощения в таких кристаллах в качестве некоторого приближения; 2) сравнение рассчитанного изображения с фотографией.
Отметим, что в данном случае задача сравнения с фотографией является более сложной, чем в случае с прозрачными анизотропными кристаллами. Метод, описанный в разделе 3.4 оказывается пригодным, однако дополнительно требуется измерить спектры поглощения и преломления образцов кристаллов (нельзя использовать табличные данные, поскольку окраска очень сильно зависит от образца) и огранить их предварительно рассчитанным образом, чтобы максимально усилить видимость плеохроизма при фотографировании.
Предложенная модель расчёта коэффициента поглощения в полупрозрачных анизотропных кристаллах совместно с моделью взаимодействия луча света с границей двух прозрачных изотропных и анизотропных сред позволяются рассчитывать с помощью метода лучевой трассировки фотореалистические изображения бесцветных и цветных прозрачных однородных изотропных и анизотропных монокристаллов и кристаллических агрегатов. В том числе и фотореалистические изображения большинство кристаллов, используемых в ювелирной промышленности.
