Содержание к диссертации
Введение
1. Концептуальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой 12
1.1. Однократный выброс загрязняющих веществ в окружающую среду 12
1.2. Поведение кривой деструкции при многократном выбросе 13
1.3. Численное моделирование многократного выброса 16
1.4. Общие замечания 18
2. Дифференциальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой 20
2.1. Модель атмосферной диффузии 20
2.2. Дифференциальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой в точке 22
2.3. Качественное исследование дифференциальной математической модели 24
2.3.1. Замена переменных 24
2.3.2. Физический смысл параметров 25
2.3.3. Стационарные точки исследуемой системы 26
2.3.4. Параметрический портрет 27
2.3.5. Бифуркации положений равновесия 29
2.4. Модификация функциональной модели воздействия природы
на загрязнение 31
2.5. Возможные модификации модели 33
2.5.1. Учет эффекта Олли 33
2.5.2. Модификация функции мощности источника загрязнения 35
2.6. Предварительные выводы 36
2.7. Система загрязнение - окружающая среда при наличии периодического источника загрязнения 37
3. Распределенная математическая модель взаимодействия загрязнения
с окружающей средой 45
3.1. Формулировка задачи 45
3.2. Модель на плоскости 46
3.3. Трехмерная модель 47
3.4. Численное решение распределенных моделей 48
3.5. Имитационное моделирование взаимодействия загрязнения с окружающей средой 50
3.5.1. Математическая модель на плоскости 50
3.5.2. Трехмерная модель 52
3.5.3. Замечания 53
4. Идентификация параметров математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой 54
4.1. Математическая модель 54
4.2. Аналитическая запись модели 55
4.3. Данные наблюдений 58
4.3.1. Краткая характеристика эколого-географических условий региона Кольского полуострова и комбината «Североникель» 59
4.3.2. Эколого-географическая характеристика района Южного Урала и Карабашского медеплавильного комбината 61
4.3.3. Данные об уровне загрязнения и плотности биомассы в исследуемых регионах 62
4.4. Алгоритм решения задачи идентификации параметров математической
модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой 67
4.4.1. Окончательная формулировка математической модели 67
4.4.2. Вспомогательные результаты 68
4.4.3. Постановка задачи и алгоритм решения 71
4.5. Результаты и анализ полученных результатов 72
4.5.1. Оценки параметров 72
4.5.2. Анализ полученных результатов 74
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 80
ЛИТЕРАТУРА 81
- Однократный выброс загрязняющих веществ в окружающую среду
- Модель атмосферной диффузии
- Формулировка задачи
- Математическая модель
Введение к работе
Актуальность темы. Антропогенное воздействие, возрастающая урбанизация, развитие промышленности и сельского хозяйства поставили задачу разработки и применения комплекса мер, предотвращающих деградацию окружающей среды и позволяющих стабилизировать состояние биосферы. Это привело к выделению из экологии (ecology) - науки, предметом которой является понятие экосистемы, как целостного, эволюционно сложившегося образования, - области, занимающейся изучением и охраной окружающей среды (environmental science) - теоретической основы поведения человека индустриального общества в природе.
Несмотря на то, что экология есть биологическая дисциплина, для решения сложных, многомерных динамических задач описания, прогнозирования, оптимального использования и рационального конструирования разнообразных экологических систем необходим количественный и системный подход, осуществление которого немыслимо без широкого применения математических моделей и ЭВМ. Как подчеркивал Дж. Хатчинсон (Hutchinson, 1965), невозможно писать об экологии популяций без применения математики. К настоящему моменту разработано значительное количество различных математических моделей экологических систем любого уровня - ген, особь, популяция. В науке об охране окружающей среды так же используются математические модели (Марчук, 1982; Марчук, Кондратьев, 1992).
Поскольку эксперимент и наблюдение в наибольшей степени соответствуют познанию лишь тогда, когда они задуманы и осуществлены на основе научной теории, следует признать, что одним из наиболее плодотворных методов является метод математического моделирования.
В соответствии с идеологией математического моделирования для адекватного описания процессов, происходящих в окружающей среде, необходимо выявить ключевые факторы, оказывающие основное влияние на изучаемые процессы. Не вызывает сомнение факт, что загрязнение оказывает отрицательное влияние на окружающую среду. Известно так же, что растительный покров абсорбирует и перерабатывает загрязнение до некоторого предела. Естественно поставить вопрос о важности учета воздействия окружающей среды на загрязнение при формулировании тех или иных математических моделей, описывающих динамику биомассы при наличии загрязнения.
Рассматривая систему загрязнение - окружающая среда с точки зрения математического моделирования, в первую очередь необходимо выявить специфические характеристики изучаемого объекта, многообразие связей между элементами, их разнокачественность и соподчинение. По этой причине первым объектом исследования следует признать обособленную систему промышленное предприятие - конкретная экосистема. В данном случае процесс взаимодействия загрязнения и окружающей среды носит ярко выраженный характер, что упрощает анализ адекватности математической модели, и, с другой стороны, такая система не является исключением из правил. В качестве примеров можно привести рассмотренные в данной работе комбинат «Североникель» и Карабашский медеплавильный комбинат, и, кроме того, комбинат «Печенганикель», Гузумский металлургический комбинат в Швеции, металлургический комбинат в Садбери (Канада).
Степень разработанности проблемы. Начиная отсчет с основополагающих работ В. Вольтерра начала XX - го века (Вольтерра, 1926) к сегодняшнему дню предмет математической биологии - исследование биологических систем методом математического моделирования, - превратился в труднообозримый конгломерат идей и подходов, использующий все возможности современной математики (Мшту, 1996; Базыкин, 1985; Гиммельфарб А.А., 1974; Карев, Березовская, 2000; Одум, 1975; Ризниченко, Рубин, 1993; Смит, 1976; Федоров, Гильманов, 1980 и многие другие).
Как составную часть математической биологии можно рассматривать вопрос о математическом описании лесных фитоценозов. К настоящему времени этот раздел так же хорошо разработан. Модели описания динамики роста леса можно разделить на две категории. Первые описывают лесные массивы как единое целое (непрерывный подход), рассматривая, в принципе, всю тонкую пленку зеленого покрова как одно большое дерево. Этот подход разрабатывался, например, в следующих работах (Тоорминг, 1980; Кумль, Оя, 1984; Розенберг, 1984). Второй подход - описание лесной экосистемы как сообщества дискретных элементов с внутренними связями (Рачко, 1979;BotkinataI., 1972).
Учитывая, что тема настоящей работы связана с распространением загрязнения, отметим, что данный вопрос является хорошо изученной областью знания. Однако, основной задачей, исследуемой многими учеными, является задача краткосрочного прогноза распространения загрязнения (Берлянд, 1985). Существуют многочисленные модели для описания распространения загрязнения при наличии различных климатических условий, тумана, смога, различных типов подстилающих поверхностей, разнообразных рельефов местности (Берлянд, 1975,1985; Гудариан, 1979; Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей, 1985).
Поскольку главной задачей любых природоохранных мероприятий является вопрос экологического нормирования воздействия на экосистему, отметим, что, хотя теоретические аспекты данной задачи сформулированы (Израэль, 1984), практически этот вопрос остается открытым. В настоящее время мы располагаем только значениями предельно допустимых концентраций (ПДК) для защиты человека. Следующим шагом должно стать установление ЭПДК - экологически предельно допустимых концентраций, защищающих экосистему от антропогенного воздействия (Воздействие металлургических производств на лесные экосистемы Кольского полуострова, 1995).
Наблюдения показывают (Буй Та Лонг, 1999), что динамика распространения загрязнения и динамика лесных экосистем сильно коррелированны, поэтому естественным шагом будет попытка объединить две хорошо исследованные области применения математического моделирования в одну систему. Многие математические модели учитывают воздействие загрязнения на окружающую среду. Воздействие загрязнения на человечество входило как составной блок моделей «Мировой динамики» Дж. Форрестера (Форрестер, 1978) и «Пределов роста» Д. Медоуза (Meadows at а]., 1972) при построении глобальных моделей для исследования процессов экономического развития мира. В ряде моделей исследуется динамика живой природы при наличии загрязнения (Тарко и др., 1987). Однако фактор очищающего воздействия природы на загрязнения при построении математических моделей рассматривается впервые. Коррелированность концентрации загрязнения и плотности биомассы изучались экологами с помощью статистических методов (Воздействие металлургических производств на лесные экосистемы Кольского полуострова, 1995; Комплексная оценка техногенного воздействия на экосистемы южной тайги, 1992; Бутусов, Степанов, 2000, 2001).
Цель работы. Целью настоящей работы является создание математических моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой и оценка адекватности распределенной математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой на основе данных экологического мониторинга. Для достижения указанной цели решены следующие задачи:
Проведен анализ концептуальной модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой с выявлением возможных сценариев поведения замкнутой системы загрязнение - окружающая среда.
На основании анализа концептуальной модели предложен ряд математических моделей, описываемых автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений (модели, локализованные в точке). Проведено качественное исследование дифференциальных моделей, включая анализ поведения систем при бифуркационных значениях параметров. Установлено качественное соответствие предложенных дифференциальных моделей и концептуальной модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой.
Рассмотрена математическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой при наличии периодического источника загрязнения. Найдено решение задачи об управлении источником загрязнения при наличии критического условия выживания живой природы.
Предложены распределенные математические модели, описываемые системами полулинейных дифференциальных уравнений параболического типа. Сформулирован алгоритм численного решения записанных моделей. Приведены примеры динамики взаимодействия загрязнения с живой природой.
На основании данных экологического мониторинга изучена задача об идентификация (получения числовых оценок параметров модели) распределенной математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой. Предложен алгоритм решения задачи идентификации как поиск минимума функционала, связывающего решение математической модели и данные наблюдений.
Научная новизна результатов
1. Впервые предложен ряд математических моделей (систем дифференциальных уравнений) для описания динамики взаимодействия загрязнения с окружающей средой, отличительной чертой которых является наличие в них членов, описывающих влияние растительного покрова на концентрацию загрязнения. В работе разработана и реализована программа для осуществления имитационного моделирования взаимодействия загрязнения с окружающей средой.
На основе вычислительного эксперимента с использованием предложенной математической модели получены оценки значений параметров математической модели и проведен анализ адекватности рассматриваемой модели динамике реальной экосистемы,
На основе имитационного моделирования предложенной математической модели даны оценки предельно допустимых концентраций загрязнения для областей Кольского полуострова (комбинат «Североннкель») и Южного Урала (Карабашский медеплавильный комбинат)
Достоверность научных положений выводов и рекомендаций обоснована использованием математических доказательств, апробированной методологии имитационного моделирования, сопоставимостью результатов аналитических и компьютерных расчетов с имеющимися эмпирическими данными и экспертными оценками специалистов.
Практическое значение работы состоит в исследовании и анализе предложенных математических моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой, учитывающих способность растительности поглощать и перерабатывать вредные примеси. Как составная часть работы представлены результаты по идентификации параметров математической модели взаимодействия на основании данных экологического мониторинга областей Кольского полуострова и Южного Урала и получении оценок предельно допустимых концентраций загрязнения в рассматриваемых регионах.
Предложения, выносимые на защиту:
Математический анализ концептуальной модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой.
Формулировка и анализ математических моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой, описываемых автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений,
Решение задачи об управлении периодическим источником загрязнения.
Формулировка и численное решение распределенных математических моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой, описываемых системами полулинейных уравнений параболического типа.
Идентификация параметров распределенной математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой на основе данных экологического мониторинга.
Оценка экологически предельно допустимых концентраций загрязнения для рассматриваемых в работе регионов Российской Федерации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Control of Oscillations and Chaos» («COC'OO»), Санкт-Петербург, июль 2000 г.; обсуждались на научном семинаре в Институте математики и электроники, Москва, 2001 г., научном семинаре Института проблем механики, Москва, 2001 г..
Различные части работы в различное время докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах в МГУ, в МИИТе, в 1999-2001 гг.
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах:
Братусь А.С, Мещерин А.С, Новожилов А.С. Математические модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой II Вестник МГУ, сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика, №1, 200] г. Стр. 23-28. Bratus A., Mescherin A. and Novozhilov A. Mathematical Models of Interaction between Pollutant and Environment It Proc. of the conference "Control of Oscillations and Chaos", July, St. Petersburg, Russia, 2000, vol. 3, pp. 569 - 572.
Новожилов А.С Идентификация параметров одной динамической системы, моделирующей взаимодействие загрязнения с окружающей средой II Известия РАН, сер. Теория и системы управления, №3, 2002 г.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы включает 84 страницы текста, 26 рисунков, 5 таблиц. Список цитируемой литературы насчитывает 67 наименований (59 русских и 8 английских).
Во введении обоснована актуальность темы, оценена степень разработанности проблемы, сформулированы цели и задачи работы, показаны научная и практическая ценность проведенных исследований, указаны защищаемые положения диссертации.
Предметом первой главы является концептуальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой, предложенная Р.Г. Хлебопросом (Хлебопрос, Фет, 1999). Приводится качественный анализ рассматриваемой модели как одномерного дискретного отображения, показаны три основных сценария динамики экосистемы в рамках данной модели, приведены аналитические зависимости, описывающие динамику взаимодействия, на основе которых численно моделируется процесс многократного выброса загрязнения.
Во второй главе формулируются предположения, на основе которых записывается система автономных дифференциальных уравнений, описывающая взаимодействие загрязнение с окружающей средой. В соответствии с системным подходом в экологии экосистема рассматривается как черный ящик. Из многообразия внешних факторов выбирается только фактор (рассматриваемый, в соответствии с законом толерантности В.Шелфорда, как лимитирующий (Федоров, Гильманов,1980)) воздействия загрязняющих выбросов промышленного предприятия на окружающую среду. Средствами качественной теории дифференциальных уравнений проведен анализ фазовых потоков при различных значениях параметров и установлено качественное соответствие дифференциальной модели в точке концептуальной модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой. Предложен ряд модификаций дифференциальной модели, основанных на хорошо изученных системах типа Лотка-Вольтерра (эффект Олли, использование трофические функции). Рассмотрена и исследована численно и аналитически математическая модель взаимодействия при наличии периодического источника загрязнения, найдено достаточное условие выживания природы в рамках рассматриваемой модели.
Предметом третьей главы является дальнейшее усложнение и модификация математической модели взаимодействия. Исходя из естественных соображений о неоднородности распределения концентрации загрязнения и плотности биомассы в пространстве, предложены математические модели, описываемые системами полулинейных уравнений параболического типа, которые учитывают пространственное распространение загрязнения и биомассы. Приведена схема численного решения исследуемых моделей и на основе имитационного моделирования рассмотрены процессы взаимодействия загрязнения с окружающей средой.
Четвертая глава имеет прикладное значение. Из спектра рассматриваемых математических моделей выбирается конкретная система уравнений в частных производных. Используя статистические данные экологического мониторинга областей Кольского полуострова (комбинат «Североникель») и Южного Урала (Карабашскии медеплавильный комбинат) разработан алгоритм решения и решена задача идентификации (оценки числовых значений параметров) математической модели. Проведен сравнительный анализ данных наблюдений и результатов имитационного моделирования. Получены оценки предельно допустимых уровней загрязнения для рассматриваемых регионов. Установлены границы применимости конкретной математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой.
Благодарность. Автор выражает искреннюю признательность профессору, доктору физико-математических наук Братусю А.С., предложившего тему диссертации, поддерживавшему данную работу и оказывавшего автору помощь в решении многих задач. Так же автор выражает благодарность сотруднику Центра по проблемам экологии и продуктивности лесов РАН Бутусову О.Б., предоставившего автору материал по экологическому мониторингу различных регионов нашей страны и неоднократно обсуждавшего результаты работы.
Данная работа частично поддерживалась грантом Российского Фонда Фундаментальных исследований № 98 - 01 - 00483.
Однократный выброс загрязняющих веществ в окружающую среду
Практически в любом случае первым шагом при построении математической модели является описание той или иной биологической, экологической, физической и т,д. системы в терминах концептуальной модели, отражающей основные качественные аспекты характера поведения данной системы. Построение концептуальной модели основывается на данных и утверждениях специалистов в конкретной предметной области. Рассмотрим концептуальную модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой (Хлебопрос, Фет, 1999).
Пусть есть точечный источник загрязнения (например, труба какого-либо металлургического предприятия). В некоторый начальный момент времени происходит мгновенный выброс загрязняющего вещества в окружающую среду. Естественно предположить, что происходит взаимодействие между природой и загрязнением. После некоторого фиксированного промежутка времени Т концентрация загрязнения уменьшится, так как происходит естественная диссипация загрязнения и часть загрязнения перерабатывается и абсорбируется природой. Другими словами, функциональная зависимость между выброшенной и оставшейся через Т единиц времени концентрацией загрязнения описывается некоторой кривой, которая лежит ниже биссектрисы первого координатного угла. Данная зависимость (кривая деструкции) получена экологами экспериментально и имеет вид, представленный на рис.ІЛ.
Величина Г выбирается из естественных соображений наглядности, так как если взять очень маленький промежуток времени, то кривая деструкции будет представлять собой просто биссектрису первого координатного угла (сколько выброшено, столько осталось); если Т велико, то кривая деструкции будет приближаться к оси абсцисс (после длительного промежутка времени концентрация загрязнения станет близка к нулю).
На рис.1.1 величина є обозначает постоянный фон загрязнения. Вид кривой деструкции обусловлен тем, что до определенной концентрации х0 окружающая среда активно вступает в реакцию с загрязнением, сильно влияя на концентрацию, а в точке х0 происходит насыщение, имеет место пороговый эффект. Данный эффект подтверждается экспериментально практически для всех вредных веществ (Комплексная оценка техногенного воздействия на экосистемы южной тайги, 1992). Например, лесные массивы могут перерабатывать даже тяжелые металлы, такие, как свинец, при этом малые концентрации загрязнения не только не влияют отрицательно на плотность биомассы, но и выступают в некотором роде катализаторами роста.
Кривую деструкции можно рассматривать как одномерное дискретное отображение xk+l = f(xk), которое имеет одну неподвижную точку. В данном случае эта неподвижная точка является глобальным аттрактором: как бы ни был велик выброс загрязняющего вещества в окружающую среду, через конечное время концентрация загрязнения уменьшится до величины естественного фона.
Модель атмосферной диффузии
Известно, что в общем виде пространственное и временное изменение концентрации любого загрязнителя u{t,x,y,z) можно описать следующим уравнением в частных производных (Берлянд, 1985): где и = u{t, х, у, z) - концентрация загрязнителя, х, у, z - пространственные декартовы координаты, t - время, v{yx,vy,v2) составляющие средней скорости перемещения загрязнителя и соответственно по направлению осей x,y,z (вклад ветра в перемещение загрязнителя), Kx,Ky,Kz - коэффициенты молекулярной диффузии, R-R(u,(,xty,z) - изменения за счет атмосферной турбулентности, эмиссии, диссипации и перемещения. Заметим, что компоненты вектора ветра могут быть функциями времени, коэффициенты диффузии могут быть функциями времени и пространственных координат.
Функцию R можно представить в следующем виде:
R = E(t, х, у, z) + Р(и) - w, (и) - w2 (и) ,
где E(t,x,y,z) - характеристическая функция источников эмиссии загрязнителя, Р(и)
- оператор, описывающий физические и химические превращения загрязнителя, w u)
- скорость вымывания загрязнителя осадками, w2 (и) - скорость сухого осаждения.
Так как в дальнейшем мы будем иметь дело с точечным источником загрязнителя, расположенным в точке с координатами х0,уа и на высоте Н, то
характеристическую функцию источников эмиссии можно задать с помощью дельта-функции Дирака (Тихонов и Самарский, 1977; Берлянд 1975,1985):
(/, х, yt z) - а6(х -х0,у- у0, z - #),0 t оо,
2L
где а - мощность источника загрязнения, (хц,у0,Я) - координаты источника.
Оставшиеся члены допускают множество различных описаний в зависимости от вида загрязнителя и подстилающей поверхности, однако в данном конкретном случае, поскольку мы рассматриваем обобщенный загрязнитель, возможно ограничиться линейной зависимостью с некоторым коэффициентом пропорциональности g:
Р(и) - №, (и) - w2 (и) = -gu, g 0 ,
которая указывает на то, что постоянно происходит осаждение, вымывание и самораспад загрязнителя.
Уравнение (2.1) является уравнением в частных производных второго порядка параболического типа, поэтому необходимо поставить начальное и граничные условия. Предполагая существование начального распределения загрязнения, можно записать
«(О, х, у, z) = w0 (х, у, z) .
Исходя из естественных соображений, что на значительном удалении от источника загрязнения концентрация загрязнителя должна стремиться к нулю, поставим граничные условия:
u(t,x,y,z) - 0 при \х\ - да, \у\ — x ,z — да, t 0 .
Наконец, необходимо поставить граничное условие при z = 0. Здесь так же
возможен значительный выбор (Берлянд, 1985). Например, если подстилающей поверхностью является вода, большей частью поглощающая загрязнитель, то необходимое граничное условие будет выглядеть u(t,x,y,0) - 0 .
С поверхностью почвы загрязнители обычно слабо взаимодействуют. Попав на поверхность почвы, загрязнители не накапливаются на ней, а с турбулентными вихрями снова уносятся в атмосферу. Если считается, что средний турбулентный поток у земной поверхности мал, то
ди Kz — = G при z - 0,0 t да .
22. В общем случае граничное условие на подстилающей поверхности формулируется с учетом возможности поглощения и отражения загрязнителя. Некоторые авторы (Монин и Красицкий, 1985) предложили задавать это граничное условие в виде:
Зи Kz—-pu= при z = 0,0 o. dz
В целях упрощения модели рассмотрим усреднение концентрации загрязнителя по высоте, другими словами, исключим третью координату из рассмотрения. С учетом вышесказанного, математической моделью распространения загрязнителя в пространстве R1 (на плоскости) будет смешанная задача
ди „. . ди ди „ д2и „ д2и
и(0,х,у) = ио(х,у) . (2.2)
u(t,x,y) = 0, при \x\- x ,\y\- co,t 0
В задаче (2.2) считается, что коэффициенты диффузии и составляющие вектора ветра являются постоянными величинами. Все параметры, входящие в задачу (2.2), кроме компонент вектора ветра, считаются неотрицательными.
2.2. Дифференциальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой в точке
Схемы поведения, имеющие место в концептуальной модели взаимодействия загрязнения с живой природой (гл.1), лежат в основании для формулировки математической модели, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Рассмотрим уравнение (2.1), предполагая, что процесс локализован в некоторой точке пространства. Тогда мы можем записать обыкновенное дифференциальное уравнение
u = a-gu, w(0) = w0, (2.3)
где а - обобщенная мощность с учетом ветра и диффузии, м0 - начальная концентрация загрязнения.
23.
Уравнение (2.3) имеет решение
u(t) = - + (u0--)e ,
S S
из которого видно, что u{t) -» — при t со. Как и следовало ожидать, концентрация загрязнения при постоянном источнике стремится к определенному пределу,
соответствующему моменту, когда мощность источника уравновесится процессом
самораспада.
Предположим теперь, что загрязнение находится в постоянном взаимодействии
с окружающей средой, и окружающая среда оказывает очищающий эффект на
загрязнение. Будем рассматривать систему загрязнение - природа как замкнутую.
Исходя из этих предположений и считая, что и - концентрация загрязнения, v плотность биомассы, мы можем записать систему обыкновенных дифференциальных
уравнений:
lv = 0 v)-iK«,v)
где /(и, v) 0 - функция влияния окружающей среды на загрязнение, p(v) - функция, описывающая поведение плотности биомассы в отсутствие загрязнения, t//(u,v) 0 -функция влияния загрязнения на окружающую среду.
Поведение среды в отсутствии загрязнения будем описывать обычным логистическим уравнением:
V(v) = rv(\- ), (2.5)
л
где г - скорость экспоненциального роста при v « К, К - потенциальная емкость экосистемы, обусловленная внешними факторами: плодородностью земли, конкуренцией и т.п. Решением логистического уравнения (2.5) с начальным условием v(0) = vu является функция
v К
W0= -. v(t)- K при /- «.
К+е ( -v0)]
24.
Заметим, что, несмотря на то, что в уравнении (2.5) имеется квадратичный член, решение не может уйти на бесконечность за конечное время, так как мы рассматриваем (2.5) как математическую модель динамики биомассы, и в силу этого v0 0 .
В качестве моделей взаимодействия загрязнения и живой природы для простоты возьмем билинейные соотношения:
f(u,v) = cuv у/(и, V) - duv
Учитывая (2.4) - (2.6), простейшая динамическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой, описываемая системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, имеет вид:
и - а - gu - cuv
v , (2.7)
KJ
где все параметры предполагаются неотрицательными. Рассматривая (2.7) как математическую модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой, необходимо рассматривать только неотрицательные решения (2.7), то есть фазовые точки с координатами (u,v)eRl - {(u,v) :и 0,v 0}.
Модель (2.7) является системой типа Лотка-Вольтерра для двух конкурирующих «видов»: загрязнения и живой природы. Единственным отличием является то, что характер роста в первом уравнении не имеет биологического, «живого» значения.
class3 Распределенная математическая модель взаимодействия загрязнения
с окружающей средой class3
Формулировка задачи
С точки зрения каких либо практических приложений ясно, что недостаточно изучить предложенную математическую модель как систему, сосредоточенную в фиксированной точке. В теории математического моделирования естественным образом появляются модели, где либо параметры, либо сами фазовые координаты являются функциями не только времени, но и пространственных координат. Во многих случаях параметры возмущаются случайным образом. В большинстве своем такое обобщение приводит к математическим моделям, описываемым либо одним уравнением, либо системой уравнений в частных производных, - бесконечномерной динамической системой.
В рассматриваемом конкретном случае естественно считать, что пространственное распределение концентрации загрязнения и плотности биомассы неоднородно, то есть загрязнение и биомасса есть функции пространственных координат:
u=u{x,y,z,t)
v = v(x, у, Z, і) Источник загрязнения считаем точечным, математической моделью для него будет дельта-функция Дирака. Если имеется п источников загрязнения, то функция источника представляет собой сумму дельта-функций:
E(xty,h) = Y,at S(x-xi y-yi,h hi),i \...n,
где о, - мощность /-го источника загрязнения, (x y h - координаты /-го источника загрязнения.
Если множество координат источника загрязнения бесконечно, то в уравнение должна стоять дельта-функция от этого множества, - например, если множество координат источника загрязнения описывается уравнением у-ах + Ь, то необходимо рассматривать слагаемое S(y -ax-b) (это, например, может соответствовать автомагистрали).
Математическая модель
Опыт развития естествознания вообще и экологии в частности свидетельствует, что наблюдения и эксперименты в наибольшей степени способствуют познанию лишь тогда, когда они задуманы и осуществлены на основе научной теории. В точных естественных науках, к каковым все более стремится и современная экология, весьма эффективной формой выражения теоретических представления выступают модели, а одним из наиболее плодотворных методов служит метод моделирования, то есть построения, проверки, исследования моделей и интерпретации полученных с их помощью результатов.
Сущность метода моделирования состоит в том, что наряду с системой (оригиналом), которую мы обозначим J", рассматривается ее модель, в качестве которой выступает некоторая другая система - J, представляющая собой образ (подобие) оригинала у0 при моделирующем отображении (соответствии подобия) /: где скобки обозначают, что / - частично определенное отображение, то есть не все черты состава и структуры оригинала отображаются моделью. Обычно / целесообразно представлять в виде композиции двух отображений - огрубляющего и гомоморфного. В зависимости от характера огрубления и степени агрегирования (возможности модели в определенном смысле верно отображать оригинал) для одного и того же оригинала можно получить несколько различных моделей. Одно из достоинств метода моделирования состоит в возможности построения моделей с «удобной» реализацией (характеристика того «как и из чего модель сделана» (Полетаев, 1966)), ибо удачный выбор реализации делает исследование модели несравненно более легким, чем исследование оригинала, и в то же время позволяет сохранить существенные черты его состава, структуры и функционирования.
Наибольшее значение для экологии имеют две разновидности знаковых (идеальных) моделей: концептуальные и математические модели. Концептуальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой рассматривалась в гл.1, различным математическим моделям были посвящены гл.2 и 3, Для целей настоящей . главы - сравнение результатов моделирования с данными наблюдений, - необходимо выбрать конкретную математическую модель из рассмотренных выше, применяя адекватное и по возможности наиболее сильно упрощающее модель огрубляющее отображение.
