Введение к работе
Актуальность темы. Теория нильпотентных групп, нильпотент-ных колец и алгебр над полем играет исключительную роль в структурной теории групп и колец. Начиная с пятидесятых годов XX-го столетия эти классы групп и колец были расширены до класса групп, аппроксимируемых нильпотентными группами, и класса колец (алгебр), аппроксимируемых нильпотентными кольцами (алгебрами). Далее для этих классов алгебраических систем были получены многие важные результаты. Перечислим только те из них, которые имеют отношение к данной диссертации. А.И. Мальцев 1 занимался проблемой нильпотентной аппроксимируемости колец и алгебр. Отметим теорему А.И. Мальцева (1949) о том, что свободное произведение алгебр Ли, аппроксимируемых нильпотентными алгебрами, есть нильпотентно аппроксимируемая алгебра Ли. Используя эту теорему, А.И. Ширшов 2 по линейным базам алгебр Ли А и В построил линейную базу для свободного произведения А * В в классе алгебр Ли.
Г.П. Кукин 3 доказал, что декартова подалгебра свободного произведения алгебр Ли является свободной алгеброй Ли и конструктивно описал систему свободных порождающих, а, следовательно, и линейный базис декартовой подалгебры.
Известно, что на группе (алгебре), аппроксимируемой нильпотентными группами (алгебрами), можно определить (многими спо-
Мальцев А.И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Мат.
сб. 1949. Т. 25, № 3. С. 347-366.
2Ширшов А.И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли // Сиб. мат. ж. 1962. Т. 3, № 2. С.297-
301.
Кукин Г.П. О декартовой подалгебре свободной лиевой суммы алгебр Ли // Алгебра и
логика. 1970. Т. 9, № 6. С. 701-713.
собами) так называемую пронильпотентную топологию, превращая тем самым группу (алгебру) в топологическую группу (алгебру). Кроме того, существует стандартная процедура, например, с помощью обратных пределов обратных спектров, пополнения такой топологической группы (алгебры) так, чтобы получилась прониль-потентная группа или алгебра, т.е. такая, в которой имеет предел любая чистая последовательность Копій. Таким образом, возникает новая категория алгебр Ли над полем - категория пронильпотент-ных алгебр Ли над полем.
Настоящая диссертация посвящена изучению свойств объектов категории пронильпотентных алгебр Ли. Мы вводим понятия свободного объекта и свободного произведения в этой категории и обобщаем результаты А.И. Мальцева, А.И. Ширшова, Г.П. Кукина для объектов новой категории. Мы изучаем также подалгебры свободной пронильпотентной алгебры Ли над полем и идеалы свободного произведения алгебр в этом классе.
Цель работы. Основной целью нашего исследования является описание идеалов и замкнутых идеалов свободного произведения в категории пронильпотентных алгебр Ли над полем.
Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной и топологической алгебры.
Научная новизна. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми. Они получены автором диссертации самостоятельно, публикации - без соавторов.
Теоретическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Здесь получены новые теоремы о строении топологических
алгебр.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по топологической алгебре, при подготовке учебных пособий и монографий в этой области. Отметим, что некоторые результаты уже использованы в исследовании Г.П. Кукина и Е.А. Тюменцева .
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах ([1] - [6]) и неоднократно докладывались на Алгебраических семинарах в Омском госуниверситете им. Ф.М. Достоевского и Омском филиале Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 65 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Первая, вторая и четвертая главы разбиты на разделы. В работе принята следующая нумерация основных структурных единиц. В каждой главе все теоремы, определения, леммы и замечания имеют сквозную нумерацию. Список литературы содержит 26 наименований.
