Введение к работе
Диссертация посвящена разработке и применению математических методов тензорной алгебры и анализа к исследованиям в теории гравитации.
Актуальность темы. Гравитация в современной физике занимает особое положение. Эта теория, затрагивая самые фундаментальные представления о пространстве-времени, материи, развитии Вселепной, претендует на одну из ведущих ролей в современном естествознании. Действию сил тяготения подвержены все тела, независимо от их химического состава и физического состояния.
Для физика, работающего в области гравитации, физическим объектом является поле, которое описывается при помощи вещественного четырехмерного псевдориманова многообразия. Общая задача теории гравитации обычно состоит в нахождении решения уравнений гравитационного поля, удовлетворяющего определенным начальным и граничным условиям, анализе физических следствий этого решения и в постановке экспериментов, которые проверили бы предсказание теории. Решение этой задачи представляет значительные математические трудности, связанные главным образом с нелинейностью уравнений и использованием многокомпонентных полевых переменных - тензоров второго ранга.
Именно поэтому для современного состояния теории гравитации характерным является стремление к разработке новых математических методов исследования и совершенствованию математических моделей изучаемых гравитационных явлений. К числу таких моделей, разра; ботанных в последнее время, нужно отнести прежде всего-упрощенную математическую модель теории гравитации в приближении слабого гравитационного поля - так называемый параметризованный пост-ньютоновский формализм, - который в настоящее время с успехом используется для планирования и анализа гравитационных экспериментов в Солнечной системе и который вывел теорию гравитационного эксперимента на качественно новый уровень.
Ярким примером разработки нового математического метода является метод Ньюмена - Пенроуза, использование которого позволило в короткий срок найти целый ряд неизвестных ранее точных решений нелинейных уравнений Эйнштейна. Поэтому разработка новых мате-
матических методов и моделей в теории гравитации является актуальной задачей и имеет может быть даже большее значение, чем в других разделах физики, позволяя получать новые знания, которые другими методами заведомо не получить.
Цели. Целью работы является развитие новых математических методов тензорной алгебры и анализа и примененение их к некоторым не решенным ранее задачам теории гравитации.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Доказаны теоремы о N - ой степени произвольного тензора
второго ранга в пространствах.EpN_p и RpN_p , а также о тензо
ре, обратном к невырожденному тензору второго ранга. Полученные
общие формулы приведены как для произвольного тензора, так и для
антисимметричного тензора. Найдено выражение для коэффициентов,
удобное для гшалитических исследований. Построены коммутационные
соотношения для произвольного тензора второго ранга с N-1 - ой сте
пенью другого произвольного тензора второго ранга.
2. Приведены выражения полученных формул в случае четырех
мерного псевдориманова пространства-времени. На основе этих формул
доказаны теоремы о выражениях для ко - и контравариантных компо
нентах метрического тензора эффективного псевдориманова простран
ства-времени в биметрической теории гравитации Розена и в реляти
вистской теории гравитации, а также получены выражения -для опре
делителей этих тензоров.
Найдены условия на собственные значения тензора гравитационного поля, при выполнении которых обеспечивается невырожденность метрического тензора эффективного псевдориманова пространства-времени. Получены явные выражения S - ой (S > 4 ) степени тензора электромагнитного поля через первые три степени этого тензора и два инварианта.
-
Разработан новый математический метод потенциалов для задач излучения гравитационных волн при распространении сферической электромагнитной волны в постоянном поле. Развит метод потенциалов Герца для задач излучения электромагнитных волн при распространении сферической гравитационной волны в постоянном электромагнитном поле.
-
Проведено применение разработанных методов к решению некоторых конкретных задач, которые до этого не были решены: о из-
лучении гравитационных волн сферической электромагнитной волной, распространяющейся в электромагнитных полях: кулоновского центра, электрического и магнитного диполей, а также в постоянном и однородном магнитном поле. Построены диаграммы направленности возникающею излучения и проанализированы основные предельные случаи.
5. Решены задачи о электромагнитном излучении, возникающем при воздействии гравитационной волны на поля электрического диполя и межзвездного магнитного поля. Исследованы диаграммы направленности и характерные свойства этого излучения.
Практическая ценность работы. Разработанные новые методы тензорной алгебры значительно расширяют круг задач, которые можно решать в различных метрических теориях гравитации. Эти методы можно использовать и в других областях физики, где проводятся аналитические вычисления с использованием степеней тензора второго ранга.
Обобщенный метод потенциалов, разработанный в диссертации, может быть использован при расчете процессов с участием гравитационных и электромагнитных волн с более сложной диаграммой направленности.
Полученные в диссертации выражения для ивтепсивностей гравитационного и электромагнитного излучений могут быгь использованы для оценок взаимопревращения гравитационных и электромагнитных волн в астрофизических условиях, а также для оценки эффективности астрофизических генераторов и детекторов гравитационных волн, использующих электромагнитные поля.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на двух всесоюзных конференциях "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Университет дружбы народов, 1984 г., Ереванский госуниверситет 1988 г. ), всесоюзных семинарах "Современные проблемы гравитации" (Томский госуниверситет, 1987 г.), "Движение материальных сред в релятивистских полях тяготения" (Казанский госуниверситет, 1989 г.), на рабочем совещании "Современные проблемы гравитации" (Якутский госуниверситет, 1990 г.) и на научных семинарах кафедры.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (92 названия). Общий объем диссертации составляет 104 страницы. По материалам
диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата.
