Введение к работе
Диссертация посвящена разработке и применению математических методов к исследованиям в нелинейной теории гравитации.
Актуальность темы. Гравитация в современной науке занимает особое положение. Эта теория, затрагивая самые фундаментальные представления о пространстве- времени, материи, развитии Вселенной, претендует на одну из ведущих ролей в современном естествознании.
Для адекватного описания гравитации используются достаточно сложные в математическом отношении модели, включающие в себя нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка и оперирующие понятиями римановой геометрии, тензорного анализа, топологии и других разделов математики.
Поэтому для успешного исследования этих моделей необходимо не только привлекать всю мощь математических методов, разработанных к настоящему времени в математике, но и разрабатывать новые математические методы.
Общая задача теории гравитации обычно состоит в нахождении решения уравнений гравитационного поля, удовлетворяющего определенным начальным и граничным условиям, анализе следствий этого решения и в постановке экспериментов, которые проверили бы предсказание теории. Решение этой задачи представляет значительные математические трудности, связанные главным образом с нелинейностью уравнений и использованием многокомпонентных полевых переменных - тензоров второго ранга.
Вместе с тем каждый новый теоретический результат, полученный при таком исследовании, представляет огромную ценность для экспериментальной науки, так как дает четкие ориентиры для постановки и проведения экспериментов по поиску новых гравитационных эффектов. Ярким примером последнего утверждения является разработка параметризованного постньютоновского формализма - математического метода, который позволил с большой точностью рассчитать движение двойной пульсарной системы PSR 1913+16 и обнаружить потери энергии этой системой на излучение гравитационных волн. Этот результат имел такое большое значение для физики, что Хале и Тэйлор, получившие его, были удостоены Нобелевской премии 1994 года.
Именно поэтому для современного состояния теории гравитации характерным является стремление к разработке новых математических методов исследования и к совершенствованию математических моделей
изучаемых гравитационных явлений.
Цели. Целью работы является разработка новых математических методов и применение их к различным моделям теории гравитации, а также к не решенным ранее задачам теории гравитации.
Научная новизна основных положений и результатов, выносимых на защиту.
1. Разработан новый математический метод суиерпотенциалов для
задач излучения гравитационных волн при распространении электро
магнитных волн в постоянном и неоднородном электромагнитном по
ле. Найдены решения уравнений для суперпотенцпалов, возникающих в
случаях распространения плоской и, соответственно, сферической элек
тромагнитных волн через внешнее электромагнитное иоле. На основе
доказанных теорем построены выражения для компонент излучаемых
гравитационных волн, которые могут быть получены дифференцирова
нием суперпотенциалов по координатам источника внешнего электро
магнитного поля и по координатам точки, в которой находится источ
ник сферической электромагнитной волны.
Разработан новый метод суиерпотенциалов для задач излучения электромагнитных волн, возникающих при распространении гравитационных волн в постоянном электромагнитном поле. Доказаны теоремы и на их основе построены выражения для компонент излучаемых электромагнитных волн, которые могут быть получены дифференцированием суперпотенциалов по координатам источника внешнего электромагнитного поля и по координатам точки, в которой находится источник сферической гравитационной волны. Использование этого метода позволило свести решение конкретных задач об излучении электромагнитных волн при распространении гравитационной волны через внешние электромагнитные поля к простому дифференцированию выражений для суперпотенциалов.
Проведено применение разработанных методов суперпотенциалов к решению задач, которые до этого не были решены, об излучении гравитационных волн сферической электромагнитной волной, распространяющейся в электромагнитных полях: кулоновского центра, электрического и магнитного диполей, а также в постоянном и однородном магнитном поле. Построены диаграммы направленности возникающего излучения и проанализированы основные предельные случаи.
Решены задачи об электромагнитном излучении, возникающем при воздействии гравитационной волны на поля электрического диполя и межзвездного магнитного поля. Исследованы диаграммы направлен-
ности и характерные свойства этого излучения.
Разработан метод спиновых коэффициентов, позволяющий находить частные решения нелинейных уравнений гравитационного поля в биметрическнх моделях теории гравитации. Доказана теорема и па ее основе выведены новые уравнения, которые должны использоваться при применении этого метода к задачам биметрическнх моделей теории гравитации.
Разработан алгоритм и создан пакет программ для проведения интегрирования уравнений гравитационного поля методом спиновых коэффициентов с использованием компьютерной системы аналитических вычислений Reduce.
Разработан метод неопределенных координат и на его основе найдены новые точные решения нелинейных уравнений гравитационного поля в общей теории относительности и релятивистской теории гравитации для задачи с цилиндрическим источником гравитационного поля.
8. Найдены новые точные решения уравнений гравитационного по
ля в биметрическнх моделях теории гравитации в случае, когда ис
точником гравитационного поля являются плоские электромагнитные
и скалярные волны, и на их основе построена модель лазерного источ
ника гравитационного поля.
Разработан параметрический метод интегрирования нелинейных уравнений геодезического движения и на его основе впервые найдены законы нерадиалыюго движения массивных и безмассовых частиц в гравитационном поле излучающей звезды.
Проинтегрированы нелинейные уравнения геодезического движения частиц в гравитационном поле цилиндрического источника, найдены уравнения траекторий и законы движения частиц по этим траекториям и на этой основе проанализированы характерные особенности возможных траекторий.
Проинтегрированы уравнения геодезического движения частиц в гравитационных полях, которые, в соответствии с уравнениями биметрическнх теорий гравитации с массивным гравитоном, создаются плоскими электромагнитной и скалярной волнами. Проведенное исследование выявило ряд специфических черт различных моделей теории гравитации, на основе которых могут быть проверены основные принципы этих моделей. В частности показано, что эксперименты с фотонами и электрически нейтральными массивными частицами в гравитационном поле электромагнитных волн, возникающих при вспышках
Сверхновых, помогут проверить гипотезу о существовании массы покоя у гравитонов и измерить эту массу, если она больше 77(,П1-,г ~ Ю-08 г.
Доказаны теоремы о N - ой степени произвольного тензора второго ранга в пространствах Л^/у_р, а также о тензоре, обратном к невырожденному тензору второго ранга. Полученные общие формулы приведены как для произвольного тензора, так и для антисимметричного тензора. Найдено выражение для коэффициентов, удобное для аналитических исследовании. Построены коммутационные соотношения для произвольного тензора второго ранга с (N — 1) - ой степенью другого произвольного тензора второго ранга.
Доказаны теоремы о тензорных соотношениях в случае четырехмерного псевдорпмапова пространства-времени. На основе этих формул доказаны теоремы о выражениях для ко - и контравариаптных компонент метрического тензора эффективного псевдорпмапова пространства -времени в биметрпческой теории гравитации Розена и в релятивистской теории гравитации, а также получены выражения для определителей этих тензоров. Найдены условия на собственные значения тензора гравитационного поля, при выполнении которых обеспечивается невырожденность метрического тензора эффективного псевдорпмапова пространства-времени. Получены явные выражения S - он (S > 3 ) степени тензора электромагнитного поля через первые три степени этого тензора и два инварианта.
Практическая значимость результатов работы. Метод суперпотенциалов, разработанный в диссертации, может быть использован при расчете процессов с участием гравитационных и электромагнитных волн с любой мультипольностыо используемых электромагнитных полей. Полученные в диссертации выражения для ннтенсивностей гравитационного и электромагнитного излучений могут быть использованы для оценок взаимопревращения гравитационных и электромагнитных волн в астрофизических условиях, а также для оценки эффективности астрофизических генераторов и детекторов гравитационных волн, использующих электромагнитные поля.
Полученные в диссертации системы уравнений метода спиновых коэффициентов дают возможность проводить поиск различных частных решении нелинейных уравнений гравитационного поля релятивистской теории гравитации.
Указанный нами в настоящей диссертации путь построения системы уравнений метода спиновых коэффициентов может быть использован при разработке аналогичного метода для более сложных бнметриче-
скнх и тетрадных моделей теории гравитации с более сложной фоновой геометрией пространств постоянной кривизны (пространств Лобачевского н пространств Рішана).
Разработанный алгоритм по интегрированию уравнений релятивистской теории гравитации методом спиновых коэффициентов с помощью компьютерной системы аналитических вычислений Reduce можно применять для поиска частных решений нелинейных уравнений и в других биметрическнх моделях теории гравитации.
Метод неопределенных координат, развитый нами в диссертации, может быть использован для нахождения частных решений, обладающих цилиндрической п сферической симметриямн, в любых биметрическнх моделях теории гравитации.
Найденные нами точные решения уравнений релятивистской те орнн гравитации могут быть использованы для сравнения предсказаний разных моделей теории гравитации и теоретического пчалнза следствий, к которым приводит существование метрического тензора фонового пространства-времени и массы гравитона.
Параметрический метод, разработанный нами в диссертации, может быть использован при анализе радиального движения массивных и безмассовых частиц в метрике Вайдья.
Найденные нами законы движения частиц в этой метрике могут использоваться для аналчза экспериментальных данных, получаемых во время наблюдения вспышек Сверхновых. По нашему мнению, результаты 7 главы настоящей диссертации будут особенно полезны для анализа событий, наблюдавшихся при вспышке Сверхногой SN1987A, когда гравитационно-волновые детекторы в Риме (Италия), Мэриленде (США) и сейсмодатчпкп в Москве согласованно зарегистрировали какое-то импульсное воздействие примерно за одну секунду до прохождения нейтринного импульса от взрыва Сверхновой SN1987A.
Результаты расчетов этой главы также могут найти применение при постановке экспериментов по оценке величины массы гравитона и решении вопроса о том какие модели теории гравитации - с массивным или безмассовым гравитоном - наиболее адекватны природе.
Разработанные в диссертации новые методы тензорной алгебры значительно расширяют круг задач, которые можно решать в различных метрических теориях гравитации. Эти методы, помимо теории гравитации, можно использовать во многих областях физики и механики сплошных сред для проведения различных тензорных преобразований н расчетов, а также для дальнейшего развития тензорной алгебры.
Личный вклад автора. Все результаты, оценки и алгоритми, выносимые на защиту, получены автором диссертации лично.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на двух всесоюзных конференциях "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Университет Дружбы Народов, 1984 г., Ереванский гос-уннверснтет, 1988 г.), всесоюзных семинарах "Современные проблемы гравитации" (Томский госуниверситет, 1987 г.), "Движение материальных сред в релятивистских полях тяготения" (Казанский госуниверситет, 1989 г.), на рабочем совещании "Современные проблемы гравитации" (Якутский госуннверситет, 1990 г.), двух Российских гравитационных конференциях (г. Новгород Великий, 1996 г. и г. Владимир, 1999 г.), научном семинаре "Обратные задачи математической физики и смежные вопросы" (Московский госуннверситет, 1999-2000 г.г.), IX научной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", посвященной восьмидесятилетию академика РАН Александра Андреевича Самарского (Московский госуниверситет, 1999 г.), Международной конференции "Проблемы теоретической и математической физики", посвященной памяти академика РАН Николая Николаевича Боголюбова (Математический институт им. В.А.Стеклова, 1999 г.) и на научном семинаре кафедры.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы (125 названий). Общий объем диссертации составляет 228 страниц. По теме диссертации опубликованы 24 работы, список которых приведен в конце автореферата.
