Содержание к диссертации
Введение
1. Симметрические специальные бирядные алгебры 13
1.1. Классификация 13
1.2. Граф Брауэра и комплекс Брауэра 21
2. Группа Гротендика стабильной категории 24
2.1. Общие сведения 24
2.2. Решетка строк матрицы Картана 25
2.3. Ранг и определитель матрицы Картана 31
2.4. Вычисление миноров: двудольный случай 34
2.5. Вычисление миноров: цикл нечетной длины 38
2.6. Структура группы Гротендика 44
3. Диаграммы и резольвенты 46
3.1. Диаграммы модулей и диаграммные морфизмы 46
3.2. Стандартные модули и морфизмы 51
3.3. Минимальные резольвенты простых модулей 54
3.4. Конечная порожденность алгебр Ионеды 67
3.5. Морфизмы в стабильной категории 71
3.6. Периодические модули 2-го рода 73
3.7. Стабильная инвариантность 7Г2 86
4. Производная эквивалентность 94
4.1. Центр алгебры и кратности Л-циклов 94
4.2. Инварианты стабильной эквивалентности 96
4.3. Элементарные преобразования комплексов Брауэра 98
4.4. Алгебры рода 0 106
Список литературы 121
- Граф Брауэра и комплекс Брауэра
- Решетка строк матрицы Картана
- Стандартные модули и морфизмы
- Инварианты стабильной эквивалентности
Введение к работе
Данная работа посвящена гомологическим аспектам теории представлений симметрических специальных бирядных алгебр, в первую очередь, их классификации с точки зрения эквивалентности различных категорий, связанных с алгеброй; эквивалентности категории модулей (Морита-эквивалентности), эквивалентности производной категории (производной эквивалентности), эквивалентности стабильной категории (стабильной эквивалентности).
В ходе развития теории представлений конечномерных алгебр (в первую очередь групповых алгебр конечных групп в случае, когда характеристика поля делит порядок группы) одним из ключевых моментов стало разделение алгебр на ручной и дикий типы представления. Из первого типа также часто выделяют конечный тип представления. Теорема Дрозда [1] утверждает, что всякая конечномерная алгебра А над полем К либо ручная (т.е. ее представления любой размерности исчерпываются конечным числом одноиараметри-ческих семейств модулей и конечным числом модулей, не входящими в эти семейства), либо "дикая", т.е. задача описания всех ее неразложимых представлений (неразложимых А-модулей) равносильна так называемой "дикой задаче" об одновременном приведении пары матриц одинакового размера.
В настоящее время полностью изучена зависимость типа представления блоков групповых алгебр над полем характеристики р в терминах строения ее дефектной подгруппы Р. Д.Хигман в [57] показал, что если char(i ) = р и р делит порядок G то KG имеет конечный тип представления тогда и только тогда, когда G — циклическая. С.А.Кругляк в [54] показал, что если char(iT) 2, то групповая алгебра нециклической группы имеет дикий тип представления. Ш. Бреннер [55] показала, что групповые алгебры всех 2-групп, за исключением циклических, диэдральных, полудиэдральных и обобщенных групп кватернионов имеют дикий тип. Бондаренко [9] и Рингель [56] показали, что групповые алгебры диэдральных 2-групп имеют ручной тип. Наконец, Бондаренко и Дрозд ( [2]) показали, что групповые алгебры полудиэдральных групп и обобщенных групп кватернионов — ручные. Эти же результаты переносятся на блоки групповых алгебр, где те же условия накладываются не на саму группу, а на дефектную подгруппу соответствующего блока.
Поскольку групповые алгебры самоинъективны, и более того, симметрические, значительная часть общей теории развивается в контексте произвольных самоинъективных конечномерных алгебр (кроме того, важно, что стабильные категории таких алгебр триангулированы).
Более или менее удовлетворительная классификация всех самоинъективных алгебр конечного типа имеется в работах Ридтман [22], [3], [4].
Класс самоинъективных алгебр ручного типа гораздо более широк, и. по-видимому, классификация всех таких алгебр не является разумной задачей. Известны, впрочем, частичные результаты, например, классификация самоинъективных алгебр не более, чем с одним параметрическим семейством в каждой размерности, имеется в работе Сковронского и его учеников [5].
С другой стороны, классификация ручных блоков групповых алгебр (с точностью до Морита-эквивалентности) была проделана Эрдманн в 80-х годах (см. итоговую монографию [6]). Эта задача была решена так: аксиоматизировались некоторые установленные свойства категории модулей над алгеброй одного из трех типов, упомянутых выше, и были введены обобщающие эти 3 класса алгебр классы алгебр диэдралыюго, полудиэдрального и ква-тернионного типов. Классификация с точностью до Морита-эквиалентности этих трех новых классов алгебр и была осуществлена Эрдманн. Отметим, что тот факт, что все алгебры из (более широкого) списка Эрдманн в действительности являются алгебрами ручного типа, окончательно был установлен чуть позже (см. [7]).
Поскольку описание всех неразложимых Л-модулей изначально было одной из основных задач теории представлений, класс алгебр ручного типа интересен, в частности, потому, что для этих алгебр задача имеет шанс быть полностью решенной. В случае групповых алгебр ситуация следующая. Классификация модулей над алгебрами диэдрального типа была по существу независимо проделана в работе Гельфанда—Пономарева [8] и уже упоминавшихся работах Бондаренко [9] и Рингеля [56]. Более точно, в этих работах рассматривалась задача классификации для конкретной алгебры (например, для групповой алгебры диэдралыюй группы порядка 8), однако оказывается, что теория представлений такой алгебры (в части классификации неразложимых модулей) легко переносится на общий случай алгебр диэдрального типа, и вообще, на более широкий класс специальных бирядных алгебр — основной предмет данной работы.
Классификация модулей над алгебрами полудиэдрального типа оказалась более трудной задачей. Она была решена (опять-таки, в модельном случае) Кроули-Боуи в 1989 году [10]. В то же время классификация неразложимых модулей над произвольной алгеброй кватернионного типа остается открытой проблемой (несмотря на то, что гомологически этот тип наиболее прост — все модули над алгеброй такого типа имеют периодическую резольвенту, т.е. "гомологическую сложность 1").
Понятие специальной бирядной алгебры возникло в 1970-х годах в работе Сковронского и Вашбгоша [11]. Как уже сказано, классификация модулей над алгебрами этого типа аналогична классификации представлений диэдралыюй группы. В частности, все бирядные алгебры имеют ручной тип ( [65]). В дальнейшем мы рассматриваем симметрические специальные бирядные алгебры как наиболее близкие групповому случаю.
Класс этих алгебры удается удовлетворительно описать. Более подробно, в главе 1 настоящей работы каждой симметрической специальной бирядной алгебре (более кратко, SB-алгебре) сопоставляется некоторый ориентированный граф, у которого степени всех вершин равны 4, и зафиксировано разбиение множества всех его стрелок на циклы с присвоенными кратностями. Далее мы, несколько развивая идею графа Брауэра (см., например, [11]), сопоставляем этой алгебре двумерный клеточный комплекс, Брауэра, в терминах которого формулируется ряд ключевых результатов работы.
Естественно, что хорошее знание теории представлений позволяет решать в этом классе посредством явных вычислений задачи, которые в других случаях используют, скажем, топологический аппарат. В частности, важной задачей теории представлений конечных групп является вычисление кольца когомологий группы. Эти вычисления весьма нетривиальны уже в конкретных случаях. Знаменитым общим результатом является теорема Голода-Венкова-Ивенса (см. [12], [13], [14]), утверждающая, что такое кольцо когомологий (алгебра Йонеды тривиального простого модуля) является конечно-порожденной алгеброй над К. Даже наиболее алгебраическое доказательство этого замечательного результата использует нетривиальный аппарат пришедший из геометрии: спектральные последовательности и высшие когомологические операции.
Оказывается, что для специальных бирядных алгебр (пересекающихся с классом групповых алгебр по классу алгебр диэдрального типа) удается явно построить минимальные резольвенты простых модулей и считать с них информацию, необходимую для вычисления алгебр Йонеды. Для алгебр диэдрального типа это было сделано О. Балашовым. А.И.Генераловым, и его учениками в серии работ в 1997-2002 гг. (см. [15], [16], [17]), в которых были вычислены алгебры Йонеды большинства серий таких алгебр. В основу было положено развитие так называемого диаграммного метода Бенсона-Карлсона (см. [18]).
Дальнейшее развитие этой техники позволило сделать ряд других, возрастающих по сложности вычислений, — в частности, алгебр Йонеды для алгебр полудиэдрального типа, колец когомологий Хохшильда некоторых алгебр диэдрального и кватернионного типа (см. [51], [52], [53], [58], [59], [60], [61]). С другой стороны, в данной работе используя (отчасти) те же методы, доказывается следующая общая теорема, являющаяся аналогом теоремы Голода-Венкова-Ивенса.
Теорема 0.1. Пусть А — произвольная симметрическая специальная би-рядная алгебра, J (Л) — ее радикал Джекобсона, Л = Л/J(Л) — соответствующая фактор-алгебра, Тогда алгебра Ионеды, Є (А) является конечно-порожденным, над К кольцом.
Отметим в этой связи работу Брауна ( [19]), в которой указан алгоритм получения образующих и соотношений для специальных бирядных алгебр конечного типа представления (для которых конечнопорожденность алгебры Ионеды очевидна ввиду периодичности резольвент). Мы предоставляем более явный алгоритм, действующий в более общем контексте. Ключевым промежуточным результатом этой части является описание (в комбинаторных терминах) множества простых периодических модулей.
С другой стороны, наблюдая параллелизм в описании неразложимых модулей для разных симметрических SB-алгебр, можно задаться вопросом о сравнении категорий модулей над различными такими алгебрами. Любые две базисные Морита-эквивалентные друг другу алгебры изоморфны. Как стало хорошо понятно в последние два десятилетия адекватным контекстом поиска более тонких аналогий между категориями модулей (а равно и аппаратом объяснения неожиданных "внутренних симметрии" таких категорий) является язык производных категорий и производных эквивалентностей.
Введенное в начале 60-х годов А.Гротендиком году в нуждах алгебраической геометрии понятие производной категории (систематическое изложение соответствующего предмета появилось впервые в [20]) к 80-м годам стало активно используемым в теории представлений конечномерных алгебр. Например, некоторые совпадения в вычислениях (например, "совершенная изометрия" групп характеров групп А\ и Аь над полем характеристики 2), оказались следствием эквивалентности производных категорий главных бло доказанный Хаппелем, Келлером и Воссиком в 1987 году ( [30], [64]) факт; на стабильной категории самоинъективной алгебры имеется структура триангулированной категории. Напомним, что понятие триангулированной категории было введено в 1963 году ( [29]) как аксиоматизация свойств производной категории, и все примеры триангулированных категорий возникали из производных категорий и близких к ним. Как установил Рикард в 1989 году ( [31]), стабильная категория является факторкатегорией производной категории по подкатегории совершенных комплексов. Поэтому производная эквивалентность алгебр влечет стабильную, а стабильная инвариантность — производную инвариантность. Следует отметить, однако, что ввиду того, что для стабильной категории неизвестны аналоги теорем Мориты и Рикарда (кроме очень слабых обращений; см. Линкельман [32], Рикард [33]), и поиск стабильных эквивалентностей, и поиск стабильных инвариантов — гораздо более трудная задача, чем для производных эквивалентностей. В настоящее время доказаными инвариантами производной эквивалентности являются центр алгебры, группа Гротендика, кольцо когомологий Хохшильда ( [34]) и некоторые более тонкие структуры в этом кольце. Более того, инвариантами стабильной (а значит, и производной) эквивалентности являются стабильный AR-колчан алгебры (см. [27]). тип представления алгебры (Краузе, [35]). Инвариантность же, скажем, кольца когомологий Хохшильда относительно стабильной эквивалентности, как и то, в каких случаях стабильная эквивалентность влечет производную, остается открытым вопросом.
В 1997-1999 гг. в работах Линкельмана и (в основном) Хольма ( [36], [7]) была произведена классификация алгебр диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов с точностью до производной эквивалентности. С другой стороны, в 1999 году Асашиба ( [37]) классифицировал все самоинъектив-ные алгебры конечного типа представления с точностью до стабильной эквивалентности, причем оказалось, что в этом классе алгебр понятия стабильной и производной эквивалентностей совпадают. Основным инвариантом, позволяющим различать стабильно неэквивалентные алгебры, в этом случае оказывается группа Гротендика стабильной категории (как триангулированной категории).
В главе 2 настоящей работы вычисляется группа i "o(stmod(A)), где Л — произвольная симметрическая SB-алгебра. В отличие от конечного типа представления этого вычисления явно не достает до классификации данных алгебр с точностью до производной эквивалентности (хотя, например, для блоков групповых алгебр с диэдральной группой дефекта оно (с использованием работы Хольма [7]) позволяет закончить такую классификацию). Для рассмотрения общего случая из результатов этой главы, видимо, наиболее полезен (хотя технически наиболее прост) следующий:
Теорема 0.2. Пусть А — симметрическая SB-алгебра, комплекс Брауэ-ра которой содероісит п ребер и к вершин. Тогда свободный ранг группы, stmod(A) равен либо п — к + 1 либо п — к, в зависимости от, того есть ли в графе Брауэра алгебры А циклы, нечетной длины,.
Далее этот результат применяется к доказательству того, что количество вершин в комплексе Брауэра — инвариант стабильной эквивалентности. Тот же результат для производной эквивалентности получается существенно легче — вычислением центра алгебры Л (в главе 4, где так же доказывается производная инвариантность множества кратностей вершин). Количество граней также является инвариантом стабильной эквивалентности, что можно получить из анализа AR-колчана алгебры (глава 3). Более точно, из анализа количества периодических компонент AR-колчана, соответствующих модулям 1-го рода и некоторым исключительным молулям 2-го рода следует доказанное в главе 3 утверждение:
Теорема 0.3. Предположим, что А и В — симметрические SB-алгебры, с п 1 прост,ым,и модулями, причем, их стабильные категории модулей эквивалентны (как триангулированные категории). Тогда для колчанов алгебр А и В количество G-циклов для колчанов алгебр одно и то же, а наборы, длин этих G-циклов совпадают.
В главе 4 вводятся элементарные преобразования комплексов Брауэра. Оказывается, что если два комплекса можно получить друг из друга элементарным преобразованием, то соответствующие алгебры производно эквивалентны. Это доказывается построением соответствующих наклоняющих комплексов и вычислением их колец эндоморфизмов. Оказывается, что введенных преобразований и инвариантов достаточно для полной классификации симметрических SB-алгебр рода 0 с точностью до производной эквивалентности. Более точно, доказана следующая
Теорема 0.4. Пусть Лі и Лг — симметрические SB-алгебры рода 0. Тогда А\ и А.2 производно эквивалентны, в том, и только том, случае, когдаліх комплексы, Брауэра имеют одинаковые наборы, периметров граней и одинаковые наборы меток на вершинах.
Для алгебр произвольного рода дословный аналог этой теоремы неверен — в частности, в силу того, что появляется еще один (бинарный) инвариант —- двудольность графа Брауэра. Верен ли аналог данной теоремы, учитывающий двудольность, автору неизвестно. В работе приводится пример пары комплексов (и, следовательно, алгебр) рода 2, удовлетворяющих (дополненному) условию теоремы, но непереводимых друг в друга элементарными преобразованиями. Вероятно, что ответ отрицательный и что дополнительный инвариант даст вычисление кольца когомологий Хохшильда и некоторых специальных инвариантов в нем. Эти инварианты (некоторые из которых весьма новы — см.например, изучение различных инвариантов, связанных с кольцом когомологий Хохшильда в [38], [39]) оказались полезными в серии работ, близких по теме к настоящей — статьям 2003-2006 гг. Хольма, Сковронски, Луческу ( [40], [41], [42]), в которых классифицируются с точностью до производной эквивалентности алгебры евклидова, однопараметрического и других типов. Не давая здесь точных формулировок, скажем, что для алгебр этих типов имеется удовлетворительная классификация, классы этих алгебр пересекаются с классом симметрических SB-алгебр по нескольким (из бесконечного в обоих случаях числа) сериям, алгебры этих типов описывается несколько более простой (по сравнению с общим случаем симметрических SB-алгебр) комбинаторной структурой, по которой, однако, строение самих этих алгебр в общем случае восстанавливается несколько сложнее и не столь единообразно. Хочется еще раз подчеркнуть, что результаты упомянутых работ, как и данной работы, как и продвижения по гипотезе Бруэ, показывают, что в подавляющем большинстве ситуаций производная эквивалентность равносильна стабильной эквивалентности, хотя пока что, все такие результаты являются лишь следствиями полной классификации того или иного класса алгебр.
Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах [43], [44], [45].
Автор выражает искреннюю признательность профессору Александру Ивановичу Генералову за введение в круг рассматриваемых вопросов, помощь, оказанную при работе над ними, и постоянное внимание и поддержку.
Граф Брауэра и комплекс Брауэра
Напомним, что с каждой симметрической специальной бирядной алгеброй связан так называемый граф Брауэра. Это широко известное понятие в основном использовалось в литературе по алгебрам конечного типа представления (см., например, [3]), или напротив в более широком смысле (например, в [41], [42]), поэтому мы даем здесь определение (эквивалентное известному для алгебр конечного типа), согласованное с терминологией данной работы и годящееся для симметрических специальных бирядных алгебр.
Отметим, что, вообще говоря, мы будем работать с мулыпиграфами, т.е. допускаем петли и кратные ребра. Однако, в силу традиции будем, пользуясь вольностью речи, использовать термин "граф". Сопоставим графу Г его орграф полуребер Г следующим образом: вершины Г те же, что и у Г, а ребра Г получаются заменой каждого ребра Г на пару противоположно направленных стрелок. В частности, каждая петля превратится в две петли. Напомним, что графом с вращениями называется граф Г с к вершинами vi, Vo,..., Vk и вместе с набором циклических перестановок {f\x /о? , /fc) таких, что каждая перестановка /; действует на множестве полу ребер, выходящих из вершины l j. Там, где это не будет вызывать путаницы, будем обозначать полуребро так же, как и соотвествующее ему ребро.
Пусть Л — симметрическая специальная бирядная алгебра. Рассмотрим граф, вершины которого суть Л-циклы Л (включая формальные петли), а ребра взаимнооднозначно соответствуют вершинам колчана алгебры Л, причем каждое ребро соединяет те два (возможно совпадающих) А-цикла, которые содержат соответствующую этому ребру вершину колчана. На множестве полуребер инцидентных вершине СІ зададим циклическую перестановку соответствующую движению по А-циклу а.
Определение 7. Полученный граф называется графом, Брауэра алгебры Л. Набор описанных выше перестановок будем называть структурным набором. Сопоставим каждому (У-циклу z длины к fc-угольник Fz с ориентированной границей. Пометим стороны Fz образующими цикл z вершинами колчана Qe так, чтобы движение по циклу z соответствовало обходу многоугольника "против часовой стрелки" согласно выбранной ориентации. Рассмотрим CW-комплекс С = С(Л), полученный из данного набора многоугольников склеиванием противоположно ориентированных одинаково помеченных рёбер. Поскольку каждая вершина Qe лежит ровно на двух G-циклах, С — ориентированное многообразие (без края). Определение 8. Комплекс С(Л) будем называть комплексом Брауэра алгебры Л. Пусть Г = Г (Л) — граф Брауэра алгебры Л. Всякое вложение графа Г в ориентированную поверхность задает для каждой вершины графа перестановку полуребер, соответствующую движению по часовой стрелке согласно выбранной ориентации. Известно, что существует вложение г г"графа Г в некоторую поверхность М, для которого этот набор перестановок совпадает со структурным набором(гг и М однозначно определены с точностью до гомеоморфизма). Мы рассматриваем вложения в сильном, смысле, т.е. каждая компонента связности М \ Г гомеоморфна открытому диску.
Конструкция вложения гг приведена например в [47]. Из конструкции следует, что двумерные грани получившегося СР -комплекса соответствуют G-циклам алгебры Л. Отсюда ясно, что поверхность М есть геометрическая реализация комплекса С(Л) и что 1-остов SM комплекса С(Л) как граф изоморфен графу Г, с которым мы его и будем отождествлять. В частности, вершины комплекса С(Л) взаимно однозначно соответствуют А-циклам колчана Qe, а ребра — его вершинам. Отметим также, что стрелки колчана Qe взаимно однозначно соответствуют углам многоугольников — двумерных граней С (А). Определение 9. Количество ребер двумерной грани "с учетом кратности" будем называть периметром грани (т.е. ребра, по которым грань граничит сама с собой, входят в периметр дважды). Так как С(Л) — ориентированная поверхность, а эйлерова характеристика ориентируемой поверхности четна, мы получаем Предложение 1.7. Пуст,ь в расширенном, колчане Qe алгебры А число Л-циклов — к, число G-циклов — д, число вершин — п. Тогда k + g — п четно. Назовем комплексом, Брауэра пару (С, /), где 1. CW-комплекс С гомеоморфен двумерному ориентированному многообразию (с фиксированной ориентацией); 2. / — произвольное отображение из 0-остова комплекса С в N. Предложение 1.8. Пусть (С, /) — комплекс Брауэра. Существует, единственная [неразложимая) симметрическая) БЪ-алгебра такая, что С [А) = С и f — функция, сопоставляющая каждому А-циклу алгебры, А его кратность. Доказательство. Недоказанная часть — это то, что комплекс Брауэра однозначно задает симметрическую SB-алгебру. Это следует из того факта, что 1-остов комплекса Брауэра имеет структуру графа Брауэра, а граф Брауэра с набором кратностей однозначно определяет симметрическую SB-алгебру. Определение 10. Пару (Г,/), где Г — (мульти)граф, а / : У(Г) —» N — произвольное отображение, будем называть помеченным графом.
Решетка строк матрицы Картана
Для каждого неразложимого проективного Л-модуля опишем вектор композиционной длины. Предположим сначала, что каждый Л-цикл проходит через каждую вершину не более одного раза. Пусть Са, Сь — Л-циклы (возможно, отличающиеся лишь циклическим сдвигом), проходящие через вершину v. Тогда фактормодуль соответствующего проективного модуля Pv по его радикалу изоморфен Sv, и гагІД, является суммой двух цепных модулей с пересечением по цоколю (изоморфному ), композиционные ряды которых соответствуют 1а- и 4-кратному проходам по множеству стрелок Л-циклов Са и Съ соответственно. Таким образом, кратность Sv в соответствующем ему проективном модуле равна + {Va(v)la + Vb(v)lb - 1) = Va(v)la + Vb(v)lb = і = n\") -J- п\Ь) chv + avv, афЪ, _ (a) 2/a + 2/b = 4/a = va(v)va(v)la, a = b (напомним, что civJ = О, если г ф a, b). Аналогично получаем, что кратность других простых модулей, лежащих на обоих Л-циклах, равна /а + /ь, в случае, когда эти циклы различны, и 4/0, если a = b. Кратность простого модуля „,, лежащего только на одном из двух Л-циклов, скажем, на цикле Са, равна Va{vi)la = avv[, наконец кратность всех остальных простых модулей равна нулю. Таким образом, мы проверили, что каждый элемент матрицы Картана равен соответствующему элементу матрицы А\ + + А .
Замечание 2.4. Поскольку все матрицы А\ имеют ранг 1, из предложения 2.3 немедленно вытекает, что ранг матрицы Картана симметрической SB-алгебры не превосходит количества ее А-циклов. Далее мы определим ранг точно.
Замечание 2.5. Из предложения 2.3 следует, что вид матрицы Картана симметрической SB-алгебры зависит лишь от графа Брауэра и набора кратностей его вершин. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить просто о матрице Картана помеченного графа. При этом множество строк (и множество столбцов) матрицы находится в естественной биекции с множеством ребер графа. Нетрудно видеть, что если в этой матрице положить все кратности равными 1, получится просто матрица смежности реберного (мульти)графа данного графа.
Замечание 2.6. Пусть Г — граф Брауэра (непомеченный), вершины которого пронумерованы различными целыми числами іі,І2,... ,іт (не обязательно последовательными). Мы можем сопоставить ему "матрицу Картана" А Є Mn(Q[/»1,4 2, , кк\- Здесь /г и 425 hk - независимые переменные. Ясно, что при переходе от непомеченного графа к помеченному происходит просто замена независимых переменных на целочисленные значения соответствующих кратностей ІІГ. Далее в этой главе всюду, где речь идет о помеченных графах, символы Цг будут обозначать целые числа, а там, где речь идет о непомеченных графах — независимые переменные. В частности, мы всюду считаем, что вершины рассматриваемых графов как-то пронумерованы. Теперь мы укажем удобное порождающее множество решетки строк матрицы Картана графа Г.
Пусть Li — ненулевая строка матрицы А\ (в обозначениях предыдущего пункта), выбранная следующим образом: если в соответствующей вершине графа Г нет петель, то все ненулевые строки в матрице Д равны, любую из них мы и обозначим Lf, в противном случае найдутся две ненулевые строки, отличающиеся умножением на 2 — обозначим их Li и 2L{.
Итак, каждой строчке L; однозначно соответствует вершина графа Г, а строчке матрицы Картана однозначно соответствует ребро в графе Г. Обозначим через Ь{А) решетку, порожденную строками матрицы А. Напомним, что граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на два подмножества (доли) так, что любое ребро графа соединяет вершины из разных подмножеств, или, эквивалентно, если любой цикл в графе состоит из четного числа ребер (имеет четную длину). Предложение 2.7. 1) Пусть в связном, графе Г есть цикл нечетной длины (т.е. этот, граф не является двудольным,). Тогда, Ь{А) = (%2 ПІЬІ\ПІ Є Z, 2 Гц = 0 (mod 2)}. 2) Пусть граф Г двудолен и VT = V\ U Vi ест.ь разбиение множества его вершин на доли. Тогда L(A) = { 2тЩт є Z, ]P m = 2 ni} Ci(=Vx d EV2 Доказательство. 1. Из предложения 2.3 следует, что любая строка матрицы А есть сумма нескольких ненулевых строк матриц .Aj. Поскольку через каждую вершину проходит ровно два (возможно, совпадающих) Л-цикла, то в этой сумме ровно два (возможно, равных) слагаемых, т.е. каждая строчка матрицы А имеет вид Li і + Lij, где i,j Є {1, 2,..., k} — номера концов соответствующего ребра в Г. Таким образом, все строчки матрицы А (и вся решетка L(A)) содержатся в решетке, указанной в формулировке утверждения. Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим цикл нечетной длины С , Ci2,..., C;2t+1 в Г. Строки матрицы, соответствующие ребрам этого цикла, имеют вид mi = Lix + Д-2, ті — U2 + Li3,...,77i2t+i = Li2t+1 + Liu откуда 2Lh = J2mi — J2m2i Є L(A)). Далее если Ci,Cj — концы некоторого ребра в Г и 2Lj Є L(A), то и 2Lj = 2(Lj + Lj) - 2Lj Є L(A),U - Lj = (Lj + Lj) - 2Lj Є L(A). Отсюда в силу связности Г мы получаем, что 2L; Є L(A), L{ — Lj є L(A) при любых i,j к. Очевидно, что указанные элементы порождают требуемую решетку.
По определению двудольности, если Cj, Cj — концы одного ребра в Г, то они лежат в разных долях, поэтому все строчки матрицы Л (вида Lj.+ Lj) лежат в указанной решетке. Чтобы доказать обратное включение, заметим, что все элементы вида L; + Ly, где СІ, Cj — из разных долей, и все элементы вида Li — Lj, где СІ, CJ — из одной доли, принадлежат L{A) — это легко доказывается индукцией по расстоянию между d и Cj в Г. Ясно, что множество всех таких элементов порождает указанную в формулировке утверждения решетку. Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим произвольные вершины d, Cj из разных долей и пусть d — d0, С;г), ..., Cjs = Cj суть последовательные вершины на некотором пути, соединяющем С% и Cj. Поскольку при любом t, 0 t s — 1 вершины dt и Cit+l лежат в разных долях, то s — нечетно и Li + Lj = (L;0 + Lh) - (Li, + Li2) + (Li2 + Lh) + {Lis_, + LJ є L(A) Точно так же получаем, что L; — Lj Є L(A), где d,Cj — произвольные вершины из одной доли. Ясно, что множество всех элементов этих двух видов порождает указанную в формулировке утверждения решетку. Сопоставим графу Г его подграф Гі следующим образом. Если Г двудолен, выберем в качестве Гі произвольное остовное дерево графа Г (т.е. дерево Т такое, что V(T) = V(T) и Е(Т) С -Б(Г)). Если Г не является двудольным, выделим из него произвольное остовное дерево и добавим к нему одно ребро (графа Г) так, чтобы образовался цикл нечетной длины. Полученный граф (с п вершинами и п ребрами) обозначим за Гі. Предложение 2.8. Строчки, соответствующие ребрам Т\, порождают L(A).
Доказательство. Из выражений Li + Lj, где (Ci,Cj) пробегает множество ребер остовного дерева, можно (как уже отмечалось в-предложении 2.7) получить все элементы вида L{ + Lj, где Q, Cj — из разных долей дерева, и все элементы вида Li — Lj. где Ci, Cj — из одной доли дерева. В случае, когда Г двудолен, мы уже получили, таким образом, множество образующих для Ь(А) (доли двудольного графа и его остовного дерева это одно и то же). Если Г не двудолен,то, поскольку в Гі есть нечетный цикл, мы и в этом случае можем воспроизвести рассуждения предложения 2.3 (получив то же самое множество образующих). Обозначим за А 0 матрицу, строки которой суть строки Д соответствующие ребрам Гі и рассмотрим теперь (квадратную) матрицу Ло, состоящую из столбцов матрицы А 0, соответствующих ребрам Гі. Обозначим через Lcol(A 0) и LCO\AQ) соответствующие пространства столбцов. Лемма 2.9. LcoZ(A 0) = Lcol(A0). Доказательство. Столбцы матрицы Ао суть подстолбцы матрицы А. Утверждение следует теперь из предложения 2.8 и симметричности матрицы Картана. Замечание 2.10. Пусть В — произвольная симметричная подматрица А. Рассмотрим подграф Н, порожденный соответствующими ребрами Г (т.е., его ребра соответствуют столбцам В. а вершины суть вершины Г, инцидентные хотя бы одному из этих ребер; нумерация ребер сохраняется.) Тогда В — матрица Картана для Н. Пара (Ао, Т{) есть частный случай этой ситуации. Следствие 2.11. Всякий минор матрицы А есть целочисленная линейная комбинация миноров т,ого nice порядка ее подматрицы AQ. Коядро матрицы Картана А помеченного графа (т.е, коядро отображения / из предложения 2.2) можно вычислять через инвариантные множители А. Согласно следствию 2.11, мы можем свести необходимые нам вычисления к случаю, когда граф представляет из себя либо дерево, либо связный граф с одним циклом нечетной длины. Этот случай мы и изучаем дальше.
Стандартные модули и морфизмы
Обратимся к изучению стабильной категории stmod(A) симметрической SB-алгебры Л. Для всяких X, Y є 06(stmod(A)) = Ob(A-mod)) будем соответствующую группу морфизмов обозначать через stHom(X, У). В этом разделе мы опишем эту группу для некоторых "исключительных" объектов стабильной категории. Пусть т — произвольная вершина колчана, ет — соответствующий идем-потеит, Рт = Aem,Sm — Рт/ Rad(PTO). Как следует из теоремы 1.5 и определения расширенного колчана, Rad(PTO) =д ( ь 2), где OL% Є E(Qe), e{ai) = т при і = 1,2, причем модули (fin) — цепные и (ai) П (0:2) = Soc(Pm) —к (sTO) = Sm. В частности, если щ — формальная петля, то (a ) = Sm. В противном случае (о:;) — максимальный по включению непроективный цепной модуль (будем называть такой модуль максимальным цепным), причем из классификации (теорема 3.1) непосредственно следует что для всякого непростого цепного модуля М найдется единственная а Є V(Q) такая, что М изоморфен подмодулю модуля Ла. Пусть Ы= {Лаа Є V(Q), обозначим также U = (ВхеиХ. Предложение 3.5. Пусть а Є E(Qe), 7r2(o;) = /3. Тогда О (Л/?) = Ла. Доказательство. Пусть v = st(/3) = е(а). Тогда ev/3 = /3 и р : Aev — Л/5, х і- х(3 — проективное накрытие. Пусть 7 = я"!"1 (/ )- Имеем ker(p) С Rad(Aev) = (a, 7). Пусть ж = aa + 67 Є kei(p), где a, 6 Є Л, тогда имеем О = /(aa + 67) = ааР + &7/2 = ІП/3. Из вида соотношений задающих алгебру Л (см. предложение 1.5) следует, что это возможно, лишь если 67 Є SocA. но тогда &7 Є Ла. Поэтому Ла = ker(p) = Г2(Л/5). Следствие 3.6. Пусть а Є E{Qe), тогда модуль Ла Q-периодичен. Его период равен длине G-цикла, содержащего а. Лемма 3.7. Пусть а Є E(Qe),M — К-модуль, не содержащий проективных слагаемых, f Є Нот(Ла, М). Тогда / = 0 в stmod(A) тогда и только тогда, когда /(a) Є аМ. Доказательство. Пусть г = е(а), при этом /(Ла) — Лег-, г : Ла — Лег-— соответствующее вложение. Если / = 0, то / = /гг для некоторого /і Є Нот(Леі,М). Поскольку г (а) Є а(Ле$), то и /м(а) Є а(М). Обратно, пусть /(Ла) С аМ, /(а) = аж, при некотором ж Є М. Заменяя х на е ж, можно считать, что ЄІХ = х. Тогда существует h Є Нот(Ле;,М), такой, что /і(еі) = ж, при этом f — hi (т.к. /(a) = h(i(a))). Поэтому / = 0 в stmod(A). Предложение 3.8. Пуст.ь М — неразложимый непроективный К-модуль %-го рода (г = 1,2). Тогда dim(stHom([/, М)) = 4 - 2г.
Доказательство. Доказательство. Пусть Ка Є Ы, а Є E(Qr) и / Є Нот(Ла,М). Зафиксируем в М диаграммный базис. Пусть /(a) = Yliaixii где а; Є К, ХІ — элементы диаграммного базиса, помеченные вершиной st(a). Поскольку существует не более одной стрелки (З Є E{Qr) такой, что /За Ф О, то и выходящие степени вершин Х{ не превосходят 1 и выходящая стрелка может быть помечена только стрелкой 71- 1 (а) (см. замечание 3.3). Поэтому при любом і модуль Лж; изоморфен фактормодулю модуля Ка и / = Y i aifi, Im(/i) =ЛЖі. В случае, когда М — модуль 2-го рода, все вершины ХІ заведомо не верхние. Если ХІ — нижняя, то она имеет степень 2, в противном случае из нее выходит стрелка, помеченная 7г]"1 (а). В обоих случаях получаем, что Хі Є OLM и, по лемме 3.7, получаем, что fi = 0. Поэтому для модулей 2-го рода предложение доказано. Применение той же леммы к модулям 1-го рода показывает, что fi Q ровно в двух следующих случаях: l.Xi — верхняя крайняя вершина диаграммы (из которой может выходить только стрелка, помеченная 7т]"1 (а)). 2.ХІ — нижняя крайняя вершина диаграммы, в которую не входит стрелка, помеченная а. Заметим, что для каждого конца диаграммы существует ровно один модуль вида Аа Є К и гомоморфизм одного из указанных типов (это очевидно в случае, когда в диаграмме М есть хотя бы одно ребро; в случае же когда М — прост, напомним, что М является эпиморфным образом ровно двух.модулей, принадлежащих Ы). Линейная независимость этих гомоморфизмов очевидна в случае, когда соответствующие два периодических модуля различны. В случае же, когда они совпадают, это вновь следует из леммы. 3.7 Определение 13. Будем называть элементы Ы стандартными модулями. Ненулевой элемент stHom(iV, М) (где iV — стандартный, М — модуль 1-го рода) одного из двух указанных в доказательстве предложения 3.8 видов будем называть стандартным морфизмом. Замечание 3.9. Ясно, что определение стандартности морфизма зависит от выбора диаграммного базиса в М. Замечание 3.10. Из описания стандартных морфизмов следует, что если Qi : Ni —J- М — линейно независимые стандартные хморфизмы (г = 1,2) и модуль М не прост, то Im (#i) П Im (рг) С Rad(M). 3.3. Минимальные резольвенты простых модулей. Пусть М модуль 1-го рода, D — его диаграмма, z0, хъ zi, ж2).. -, Zk-ъ Хк, Zk Є V(D) — экстремальные элементы в естественном порядке (см. обозначения (3.1)). Обозначим mr = fv(xr). Пусть Qi — неразложимый проективный модуль, /і Є Qj - его образующий, так, что имеет место изоморфизм Рт. — Qi, ЄГПІ Ji Пусть осо(М), cti(M) Є E{Qr) определяются следующим образом: 1) ао&о, aiOfe Ф 0; 2) если ZQ = Х\ (т.е. если «о не определяется предыдущим условием однозначно), то а\ Ф р&о ни для какого пути р. Аналогично, если Zk — Xk, то bk-i ф ptX\ ни для какого пути р.
Доказательство. Из определения пц получаем, что Аппл(#г) = (1 — emi) = Аппл(/), так что рм задан корректно. В силу его очевидной сюръ-ективности и того, что dim(Top ( Sk=iQi)) — dim(Top (М)) получаем, что рм — проективное накрытие. Далее, рм{ У.Фо!і) = OLQZO — О, рм{а%Л — hfi+i) = (ЦХІ - ЬІХІ+І — Zi - Zi = 0, при і — 1,..., к — 1 и рм(aiajb/fc) = a — 0. По определению модуля М, эти элементы порождают кег(рм) — f2(M) (между элементами Х{ нет других соотношений, кроме использованных выше и тривиальных соотношений вида (1 — emi)xi = 0). Пусть щ = smJi при г = 1,..., к (sm, - соответствующий цокольный элемент Л). Тогда A(di)(aifi — &j/i+i) = щ = A(&i-i)(&i-i/t - fli-i/t-i) при г = 1,..., к - 1, из чего и следует "диаграммное" описание Г2(М).
Отметим, что в приведенных выше диаграммах зигзаги, соответствующие модулям М и Q(M) могут состоять из одного звена (или даже из единственной вершины), т.е., в преобразованиях типа III и IV мы допускаем, что модуль Qi может быть цепным.
Пусть теперь S = Si — простой модуль, диаграмма которого состоит из одной вершины (которой соответствует вершина г Є V(Q)). Из предложения 3.11 следует, что при любом п Є N модуль 0П(5) есть (неразложимый) модуль 1-го рода. При этом некоторый диаграммный базис модуля Q,n(S) может быть получен из диаграммного базиса S с помощью многократного применения предложения 3.11. Будем рассматривать этот фиксированный набор диаграммных базисов.
Нетрудно видеть, что в этом случае полученный после шага 1 цикл представляет из себя (невырожденный) А-цикл, а исходный G-цикл совпадал с компонентой связности расширенного колчана алгебры — а значит, и со всем расширенным колчаном в силу его связности.
Инварианты стабильной эквивалентности
Проверим два условия из определения наклоняющего комплекса. Мы проводим проверки только для третьего случая, остальные два разбираются так же. Во-первых, нужно проверить, что)ь(Л) = Add(Ti), где Add(Ti) — это наименьшая триангулированная подкатегория, содержащая все прямые слагаемые ТІ. Для этого достаточно проверить, что все "стандартные образующие" Db(A) вида 0 — Pj — 0 лежат в Add(Ti). При г ф j это верно по определению ТІ. При і = j легко видеть, что Рг[ ;1] есть третий член треугольника, соответствующего вложению комплекса Тцх ф Тц2 В Тц. Поэтому требуемое условие выполнено. Теперь проверим, что Нотдь(Л)(Тг, ТІ[Г\) = 0 для г Є Z\{0}. Достаточно проверить, что для всякого j Є V(Qe) имеет место равенство Нотдь(А)(Т«,Щ-1]) = Еотвь(А){ТгЛ-1},Ти) = О . Любой морфизм из Ту в Тц задается морфизмом / : Pj —+ Pi — домноже-нием на линейную комбинацию путей с началом BJ И концом в г. Поскольку каждый такой путь кончается одной из стрелок /3j или /3f, f пропускается через (Pj,/3f) : Ріг фД2 —» Pi- Следовательно, / гомотопен нулю. Аналогично, любой морфизм из Тц в Tij задается морфизмом / : Pi — Pj — домножением на линейную комбинацию путей с началом в г и концом в j (назовем ее S). Предположим, что в S есть ненулевые слагаемые. Поскольку і ф j, входящие в S пути не максимальны. Следовательно, при домножении 5 слева хотя бы на одну из стрелок Д1, /3f получается сумма ненулевого числа линейно независимых слагаемых. Это противоречит определению морфизма комплексов, поэтому / = 0 и Нотдь(А)(Тй, Ту [-1]) = 0.
Теперь мы определим элементарные преобразования комплексов Брау-эра. Ниже будет показано, что с помощью элементарного преобразования мы можем поставить в соответствие исходной алгебре Л алгебру эндоморфизмов одного из определённых выше наклоняющих комплексов над Л. Условимся, что при элементарных преобразованиях вершины комплекса неподвижны, а ребра (помеченные вершинами колчана) — и, следовательно, грани (помеченные G-циклами) — перемещаются. Другими словами, мы различаем ребра (и грани) по меткам, а не по инцидентным им вершинам. На рисунках приводится только один из возможных способов расположения ребер и граней.
Определение 15. Пусть С — комплекс Брауэра, Qe — соответствующий ему расширенный колчан. Пусть а Є Е(С), V Є V(C), и пусть F — грань С. Определим перестановки Nextp: V{G) —» V{C) и Next/? : Е(С) — Е(С), получающиеся из порядка вершин, инцидентных F, и, соответственно, ребер, инцидентных F, при движении против часовой стрелки по периметру F. Напомним, что ранее мы ввели перестановку тгу, действующую на полуребрах, инцидентных вершине V Є V(C), соответствующую проходу по А-циклу. Допуская вольность речи, мы обозначаем ребра и полуребра одинаково, так что для петли а допустимы обе возможности: 7гу(а) = а и 7Гу(а) ф о,- Однако из контекста всегда будет ясно, какое именно полу ребро имеется в виду.
Пусть а — ребро с концами Vi,V2, разделяющее грани JFI и i , (возможно, F\ = F2). Для і — 1,2 положим Ц — Next (Vi), щ = Next 1 (а). Сдвинем ребро а в вершины V\ к V2 , так чтобы оно разделяло грани F\ и F2 и лежало после ai на новой границе грани І З-І (см. рис. 3). В качестве упражнения, читателю рекомендуется нарисовать преобразование типа 3 в каком-нибудь "вырожденном" случае: например, когда V\ = V2 Определение 16. Во всех трех случаях обозначим получившийся комплекс через С {а), а само преобразование — через 1{а). Преобразования 1(a), а также обратные к ним преобразования /-1 (а) назовем элементарными преобразованиями. Предложение 4.6. Пусть С — комплекс Брауэра симметрической SB-алгебры А, а — его ребро, Та — соответствующий наклоняющий комплекс. Тогда Еп І)Ьщ(Та) — симметрическая SB-алгебра с комплексом Брауэра С (а) (с теми же метками в вершинах, что и у С). Доказательство. Обозначим Ла = EndDb{A)(Ta)- По теореме Рикарда алгебра Ла производно эквивалентна алгебре Л (см. [25]). Поскольку Л — симметрическая алгебра, то и Л0 — тоже симметрическая алгебра. Согласно результату Погоржалы, базисная алгебра, стабильно эквивалентная SB-алгебре, является специальной бирядной алгеброй [48]. Значит, в силу другой теоремы Рикарда [31], Л0 — SB-алгебра. Обозначим через е = Хл е разложение единицы алгебры Л0, соответствующее разложению Та = &i=\Tai- Поскольку количество простых модулей — инвариант производной эквивалентности, Ла имеет п простых модулей, а значит, {е;} — набор примитивных ортогональных идемпотентов. Положим fa = 1 — еа Є Л и обозначим Л_а = faAfa. Поскольку при г Ф а все Tai сосредоточены в степени О, имеем Л_а = Епсіл(0і/аРО = Еп І,б(А)(фаТ0І).
Рассмотрим комплекс Брауэра С-а полученный из С удалением ребра а. Если ребро а — висячее, сотрем также висячую вершину, инцидентную а. На всех (оставшихся) вершинах сохраним те же метки. Нам потребуется следующая лемма. Лемма 4.7. Л_а — симметрическая SB-алгебра и С(Л_а) = С_а. Доказательство. Мы рассматриваем только случай, когда комплекс С (а) получен из С наклоняющим преобразованием третьего типа (т.е. а — не петля, ограничивающая грань, и не висячее ребро). Остальные два случая разбираются аналогично (и проще). Обозначим стрелки Q, инцидентные а, буквами а, /3, у, 5, так чтобы а(3 Ф О и 7 Ф 0. Элементы алгебры Л_а суть линейные комбинации путей с концами, отличными от г. Отсюда следует, что Л_а как алгебра порождена идемпотентами ЄІ для і ф а, стрелками Q, отличными от а, (3, 7) и элементами а(3, 5. Ясно, что при переходе от Л к Л_а пара последовательных стрелок а, (5 на некотором Л-цикле заменяется на одну стрелку ар] аналогичное происходит со стрелками 7 и 5. Отсюда и следует утверждение леммы.
Вернемся к доказательству предложения 4.6. Симметрическая SB-алгебра, соответствующая комплексу С(а)-а — С_а, изоморфна алгебре Л_а. Комплекс Брауэра алгебры Л(а) можно получить из С_а добавлением ребра внутри некоторой грани (с сохранением кратностей в вершинах). При этом не более двух стрелок колчана Л_а представляются в виде произведений двух или трех (в случае стирания петли) стрелок колчана алгебры Ла (а остальные совпадают). Как и раньше, завершим доказательство для случая, когда С (а) получен из С наклоняющим преобразованием типа 3. Для первых двух типов детали чуть другие, но совершенно аналогичны (или проще). Пусть к.\, к.% — симметрические SB -алгебры, С\ и ( — их комплексы, Брауэра. Предположим,, что Сі можно получить из С\ цепочкой наклоняющих преобразований. Тогда Сі и Сі производив эквивалентны.
Доказательство. Это следствие предложения 4.6, леммы 4.7 и теоремы Рикарда о характеризации производно эквивалентных алгебр. Рассмотрим два десятиугольника D\ и Di с фиксированной ориентацией. Помечаем их ребра буквами а, Ь, с, d, е, образующими слово abcdeabcde (соответственно, abcdeadebc) против часовой стрелки и склеиваем в каждом из них одинаково помеченные ребра, так чтобы получилось ориентированное многообразие. Легко видеть, что каждый из получившиеся клеточных комплексов имеет по 2 вершины, 5 ребер, одну грань, т.е. является сферой с двумя ручками. Более того, 1-остовы обоих комплексов — двудольные графы. Однако, эти комплексы не получаются друг из друга наклоняющими преобразованиями (легко видеть, что из первого комплекса можно получить лишь изоморфный ему комплекс). Эта конструкция дает пример пары симметрических SB-алгебр рода 2, для которой методов, излагаемых в данной работе, недостаточно для выяснения вопроса о производной эквивалентности.
Теперь докажем, что в случае, когда комплекс Брауэра алгебры гомео-морфен сфере, набор периметров граней и набор кратностей вершин однозначно определяют ее класс производной эквивалентности. В этом случае комплекс Брауэра — то же, что и плоский граф с помеченными вершинами (по комплексу, геометрическая реализация которого есть сфера, однозначно с точностью до гомеоморфизма задается вложение его 1-остова в плоскость, и по любому плоскому графу однозначно восстанавливается соответствующий CW-комплекс). В частности, мы будем говорить о гранях плоского (муль-ти)графа. Если А, В — вершины такого графа, через Е(А, В) будем обозначать множество ребер, соединяющих А и В, и называть это множество . В случае \Е(А, В)\ = 1 соответствующее ребро будем обозначать через АВ.