Исследования по проблеме Гильберта-Камке Архипов Геннадий Иванович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Асимптотическая формула 30

I. Определения и вспомогательные леммы 30

2. Доказательство теорем 44

Глава II. Исследование особого ряда

Глава III. Исследование особого интеграла

Литература

• Определения и вспомогательные леммы
• Доказательство теорем
• Исследование особого ряда
• Исследование особого интеграла

Введение к работе

Как видно из текста цитаты, с точностью до обозначений система [(4)] статьи [ 8] совпадает с системой (і), рассмотренной нами выше (во избежании путаницы мы номера формул из цитируемых работ заключаем в квадратные скобки). Статья Э.Камке поступила в печать в середине 1620 года, и можно считать, что первая постановка "проблемы Гильберта-Камке" была дана Гильбертом в связи с его исследованиями по проблеме Варинга, приведшими в 1909 году к её решению (см. [7] ).

При указанных условиях Э.Камке доказал существование числа Ь(п). Этот результат в дальнейших исследованиях по проблеме Гильберта - 7 -Камке по ряду причин рассматривался как предварительный. (см.[33 3 ). Причины эти следующие.

Второй существенный недостаток результата Э.Камке состоял в том, что значение X (Я) было найдено в неявной форме. Метод Э.Камке являлся развитием метода Д.Гильберта решения проблемы Варинга и, как и последний, приводил в случав своей эффективиза-ции к очень и очень большим значениям величины 1(к) ш

Что же касается вопроса о вещественных условиях разрешимости системы (1), то здесь результат Э.Камке можно считать удовлетворительным, несмотря на то, что необходимые условия вещественной разрешимости и достаточные условия этого типа у Э.Камке не совпадали. Здесь необходимо сказать следующее. У Э.Камке объем области U)i точен ( Лх . JfK), соответствующей достаточным условиям разрешимости, составлял конечную часть от объема области

Ы)х , отвечающей необходимым условиям. Истинный же объем области и) , точек(Л± .-., Л ) , для которых система (ї) разрешима в вещественных положительных числах , ..., ЭГ (одо на самом деле является одновременно необходимым и достаточным условием вещественной разрешимости), постоянно растет с ростом величины Л - количества слагаемых в уравнениях системы (ї).

Но поскольку проблема Гильберта-Камке состоит прежде всего в доказательстве ограниченности 7Ь , то область (0(&) точек 6 1 э • • JQ.) t отвечающая этому & , всегда будет составлять лишь конечную часть от объема области, отвечающей неограниченному числу слагаемых, то есть истинное соотношение объемов двух этих областей в принципе то же самое, что и у Э.Камке. Дальнейшие исследования по проблеме Гильберта-Камке мы будем рассматривать в сопоставлении с исследованиями по проблеме Варинга.

В ряде своих последующих работ К.К.Марджанишвили улучшал результаты статьи [їО ] и рассматривал задачи, близкие к проблеме Гильберта-Камке. В работе [ 30] для величины /4/п)он получил оценку АЛ -) « П drift t вместо весьма грубой прежней оценки этой величины, полученной в [їО]. В 1940 году К.К.Марджанишвили рассмотрел систему (і) в предположении, что неизвестные X., ..., CCfe являются простыми числами (см. [Зі]). Используя идеи метода И.М.Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами, он вывел асимптотическую формулу для количества решений при числе слагаемых nz. порядка и ut , исследовал особый ряд и особый интеграл задачи и доказал её разрешимость при числе слагаемых порядка J, , С 0 - некоторое число. Другими словами, для системы (1) с простыми значениями неизвестных зс »..., Х в работе [ЗіЗ были получены приблизительно такие же результаты, как и в проблеме Гильберта-Камке. Систему (і) с простыми числами рассматривал Хуа-Логен в книге [342 . Он доказал асимптотическую формулу для числа решений, но его теоремы и леммы о положительности особого ряда и особого интеграла имели условный характер.

В 1947 году, используя новые оценки тригонометрических сумм, полученные4в[ Ь ] и [24], К.К.Марджанишвили доказал, что

Аналогичный результат был получен Г.В.Емельяновым в работе [45J. Перечисленные выше результаты К.К.Марджанишвили в 1949 году вошли в его докторскую диссертацию [ 32] •

В 1953 году К.К.Марджанишвили в статье [її] рассматривал "выщербленную" систему диофантовых уравнений типа системы (I), отличающуюся от системы (I) тем, что некоторые уравнения в ней опущены.

Вопрос об арифметических условиях разрешимости был решён окончательно, а об условиях порядка - имел удовлетворительное решение. Из асимптотической формулы (б) при достаточно больших И,•••,. /! следует существование решений системы (-Ї), если только величины б и J положительны. Но при выполнении условий порядка VL А»Уі положительность J1" была установлена ещё в работе и]. Таким об - ІЗ разом, задача определения истинного порядка величины с(п) была

сведена к определению истинного порядка числа слагаемых 4 , при

котором величина б положительна. Отметим кстати, что показатель

абсолютной сходимости ряда 6 был установлен Хуа Лагеном в работе [36] (он равен 0.5»г(ки+і)+ & ), а показатель абсолютной сходимости особого интеграла (Г найден в работе А.А.Карацубы, В.Н.Нубарикова и автора [71 ] (он равен 0.5"л.(іг+і) + ± ), кроме того, имеет место равенство где индекс Р в бесконечном произведении it пробегает все простые числа натурального ряда.

Многие учёные разделяли мнение о том, что в действительности величина t(Yi) имеет порядок її . Исследование особых рядов проблемы Гильберта-Камке и близких к ней задач, выполненные в работах [19],[2б],[зз], были направлены на то, чтобы в конечном счёте доказать неравенство 6 О при числе слагаемых именно порядка Yi , и полученные там результаты подтверждали эту гипотезу. Так, А.А.Карацуба в работе [19] доказал, что при k 3 YI Упп справедливо неравенство .

В диссертации получены в явном виде оценки значений особого ряда и особого интеграла. Отметим, что все абсолютные постоянные приведены нами в конкретном числовом виде, и это позволяет в принципе указать числовое значение Р основного параметра К± (при заданных значениях прочих параметров), начиная с которого система (і) будет заведомо иметь решение, если, конечно, выполнены условия разрешимости двух типов.

Обращаясь вновь к пунктам ї)-4) постановки проблемы Гильбер-та-Камке, можно сделать вывод, что полученный в диссертации результат во всех отношениях весьма близок к окончательному. Сравнение состояния исследований по проблеме Варинга и по проблеме Гильберта--Камкв теперь показывает, что обе задачи находятся примерно в одина ковом положении. Более того, в проблеме Варинга неизвестен пока истинный порядок величины А{п,)9 в то время как в проблеме Гиль-берта-Камке одновременно с истинным порядком величины t(ttj уста - 16 новлен истинный порядок для числа слагаемых •& , при котором количество решений J системы (і) выражается нетривиальной асимптотической формулой.

Следует еще отметить такой факт. При выводе оценки снизу для величины 1(п) попутно было установлено, что система форм, стоящих в левых частях уравнения (I) может нетривиально представлять нуль в поле b -адических чисел при р = X только в том случае, когда число неизвестных h удовлетворяет неравенству

Данный результат опровергает известную гипотезу о представлении нуля системой форм в поле Ь -адических чисел. По этой гипотезе нетривиальная представимость нуля должна была иметь место для всякого & , превосходящего величину К. Эта гипотеза обобщала гипотезу Артина для одной формы. Гипотеза Артина была уже опровергнута в 1966 году в работах Тержаниана и Бровкина. Они доказали, что для нетривиальной представимости нуля любой формой необходимо выполнение неравенства.

Таким образом, в результате применения кругового метода мы приходим к такому критерию: для достаточно большого & величина J возрастает вместе с ростом основного параметра А/ в том и только в том случае, когда система (I) имеет регулярные решения во всех полях Р -адических чисел и неотрицательное регулярное решение в поле вещественных чисел. Регулярное решение можно определить ещё как решение, матрица Якоби которого имеет максимальный ранг. К подобному критерию приводит применение кругового метода и в других аддитивных задачах.

Сформулированный критерий мы далее будем называть критерием Харди-Литлвуда-Рамануджана (Х.-Л.-Р.) по имени создателей кругового метода. Заметим, что в теории представлений нуля квадратичными формами над полем рациональных чисел известен весьма похожий критерий, даваемый теоремой Минковского-Хассе (см. Г44], стр.76): квадратичная форма представляет нуль в том и только в том случае, когда она имеет представление нуля в поле вещественных и во всех полях f -адических чисел. Исторически круговой метод и критерий Минковского-Хассе были открыты приблизительно в одно и то же время так что оба критерия можно рассматривать как дополняющие друг друга.

Следует ещё отметить, что в последнее время Б.М.Бредихин, развивая идеи И.М.Виноградова (см. [4]), К.ХоолИ (см. Г 41]) и Ю.В.Линника (см. [27] ), разработал новый метод получения асимптотических формул в аддитивных задачах теории чисел, который, по видимому, можно применить и системе уравнений (і) и доказать для неё критерий Х.-Л.-Р. без использования кругового метода (см. [42],[43] ).

Остановимся теперь на р -адическом методе. Мы называем Р --адическими методами методы аналитической теории чисел, связанные с использованием сравнений по степени простого числа р . Важную роль в аддитивной теории чисел сыграл разработанный Ю.В. Линником Ь -адический метод доказательства теоремы И.М.Виноградова о среднем значении модуля тригонометрических сумм (см.[24], [25]). В 1962 году А.А.Карацуба в работе [14] разработал другой Ь -адический метод, который позволил получить ещё одно f -ади-ческое доказательство этой теоремы (см. i8j ). Методы Ю.В.Линника и А.А.Карацубы имели и общие черты, и существенные отличия. Изложение идейных основ этих методов дано в § 7 первой главы книги [58] .

В последующее время А.А.Карацуба совершенствовал свой метод к и вместе со своими учениками - участниками семинара по аналитической теории чисел в МГУ. Результаты, полученные в данной дис - 20 сертации, по существу являются дальнейшим развитием Ь-адичес-кого метода А.А.Карацубы.

В настоящее время этот метод включает в себя несколько приёмов, тесно связанных между собой в идейном отношении, и потому при каждом применении метода используются сразу несколько приёмов и соображений в некоторой комбинации. Укажем далее основные приемы этого метода (см. работы рд] -[23[50]-І73]). 

1.. Использование кругового метода в ь -адической форме.

2. Построение р -адического аналога W - чисел И.М.Виноградова; реализация в b -адической форме "принципа вложения" Эйлера--Виноградова при оценке числа решений уравнений и сравнений "ва-ринговского" типа.

3. Понижение степени многочлена за счет "сдвига" аргумента (то есть разбиения значений аргумента на прогрессии) на число, кратное некоторой степени простого.

4. Рекуррентное сведение аддитивных задач на неполную систему вычетов по модулю р к сравнениям на полную систему вычетов и 1С задачам того же типа, но с меньшим значением главных и неглавных параметров; методы изучения возникающих систем сравнений.

5. Использование условий регулярности решений уравнений и сравнений в Р -адической форме.

6. Применение переменных параметров в рекуррентном процессе пунктов 2 , 3, 4, и методы оптимизации по этим параметрам.

7. Переход от "выщербленных" систем к полным за счет локального Ь -адического изменения неизвестных.

8. Одновременное использование нескольких модулей.

9. Использование идеи сглаживания в b -адической трактовке.

10. Переход в сравнениях от многочленов к показательным функциям и наоборот.

II. Методы оценок меры множества точек с малым значением функций через значения их параметров и обратных оценок этих параметров через меру в (э -адическом и вещественном вариантах; вещественная интерпретация приемов, изложенных в пунктах 2,3,4, 6,?.

Оценка снизу, полученная в лемме 17, основывается на новом, хотя и весьма простом соображении, с помощью которого эта оценка сводится к оценке снизу для числа слагаемых в задаче разрешимости одного аддитивного сравнения с многочленом специального вида.

В третьей главе "Исследование особого интеграла" доказываются утверждения пунктов 12-16. Доказательства их даны в леммах 19-23 и теоремах 5 и б. Центральный результат диссертации - утверждение пункта 16 сформулирован в виде теоремы 6, и как уже было отмечено, он прямо следует из утверждений предыдущих пунктов. А наиболее содержательным результатом, полученным в третьей главе, является утверждение пункта 14, в котором даются оценки сверху и снизу для величины ft- - значения особого интеграла - через величину Г, характеризующую вещественные (а не целочисленные!) решения системы уравнений (Ї).

Вывод этих оценок с помощью леммы 19 сводится к оценке снизу и сверху для величины /L (&) - объема некоторой к - мерной области Q , содержащей все точки, которые являются решениями системы уравнений пункта 12. Оценка снизу для / ( &) получена в лемме 21. Доказательство этой леммы основано на комбинации соображений леммы 10 второй главы диссертации и соображений применяемых Ври; оценке количества точек второго класса в f -адическом доказательстве теоремы И.М.Виноградова о среднем (cM.fl8j) в их вещественной интерпретации.

Оценка сверху для /i.[V) получена в лемме 22.

Здесь применяются соображения леммы 2Ї, а также некоторые другие. Для доказательства область 5? разбивается на некоторые подобласти, а затем на слои, все точки которых имеют близкие значения характеристики Л (см. пункт ЇЗ). Затем объем каждого слоя оценивается сверху. Метод оценки в этом случав несколько напоминает оценку числа решений первого класса в одном из вариантов вещественного доказательства теоремы И.М.Виноградова о среднем (cM.f6j, стр. 60 ).

Из лемм 21 и 22 утверждения пункта 14 и теоремы 5, получается без всякого труда предельным переходом при А. 0 Об обозначениях. В диссертации используются в основном стандар тные общематематические и теоретико-числовые обозначения, и потому отдельно описка обозначений мы не приводим. Чтобы облегчить чтение работы, иногда по ходу изложения некоторые обозначения мы напоминаем. Отметим только два момента.

1. При положительном Л запись У«Х означает, что где С - некоторая постоянная; если С зависит от каких-либо параметров, то говорят, что постоянная в знаке « (знак И.М.Виноградова) зависит от этих параметров.

2. Уточним, что под выражением: "При X - оио величины X и У имеют одинаковый порядок" - мы понимаем наличие при сколь угодно малом соотношения с константой в знаке « , зависящей от . Другими словами, это означает, что 

Определения и вспомогательные леммы

Схема применения кругового метода (в форме тригонометрических сумм) в рассматриваемой задаче такова. Величина 7 = = У( М± tb « t) - количество решений системы (ї) записывается в виде кратного интеграла от тригонометрической суммы по единичному И, -мерному кубу СО . Затем по каждой переменной интегрирования выделяются "большие дуги", то есть "малые" окрестности рациональных чисел с "малыми" знаменателями. В результате этого в области со выделяется некоторая подобласть U)L . Хотя её объем очень мал в сравнении с объемом всей области интегрирования U) (равный! единице), именно на и)± содержится основная часть интеграла о) , дающая главнай член в асимптотической формуле. Данное свойство интеграла J отражает основную идею кругового метода. Здесь необходимо подчеркнуть, что ключевым моментом применения кругового метода является оценка остатка, то есть части интеграла отвечающей оставшейся области (Х) . Именно эта оценка обеспечивает эффективность всей схемы. Она выводится из теоремы И.М.Виноградова о среднем и его оценок тригонометрических сумм.

Во второй главе диссертации доказано, что величины 61 удовлетворяют соотношениям P boo W где W (p , y есть число решений системы сравнений, которая получается из системы уравнений (-І) при замене знаков равенств на сравнения по модулю Р . Из соотношения (7) можно получить такое следствие: при достаточно большом h условие б О эквивалентно наличию решений системы (I) в целых & -адических числах, причем среди этих решений должны быть такие, которые содержат по меньшей мере п попарно различных чисел. Назовём такие решения регулярными» Очень близким по смыслу к этому условию является и установленное в третьей главе диссертации условие положительности величины ft" . Его можно сформулировать так: особый интеграл f положителен в том и только в том случав, когда система (ї) имеет регулярное решение в вещественных неотрицательных числах Хр .., 3 (при достаточно большом & ).

Таким образом, в результате применения кругового метода мы приходим к такому критерию: для достаточно большого & величина J возрастает вместе с ростом основного параметра А/ в том и только в том случае, когда система (I) имеет регулярные решения во всех полях Р -адических чисел и неотрицательное регулярное решение в поле вещественных чисел. Регулярное решение можно определить ещё как решение, матрица Якоби которого имеет максимальный ранг. К подобному критерию приводит применение кругового метода и в других аддитивных задачах.

Сформулированный критерий мы далее будем называть критерием Харди-Литлвуда-Рамануджана (Х.-Л.-Р.) по имени создателей кругового метода. Заметим, что в теории представлений нуля квадратичными формами над полем рациональных чисел известен весьма похожий критерий, даваемый теоремой Минковского-Хассе (см. Г44], стр.76): квадратичная форма представляет нуль в том и только в том случае, когда она имеет представление нуля в поле вещественных и во всех полях f -адических чисел. Исторически круговой метод и критерий Минковского-Хассе были открыты приблизительно в одно и то же время так что оба критерия можно рассматривать как дополняющие друг друга.

Следует ещё отметить, что в последнее время Б.М.Бредихин, развивая идеи И.М.Виноградова (см. [4]), К.ХоолИ (см. Г 41]) и Ю.В.Линника (см. [27] ), разработал новый метод получения асимптотических формул в аддитивных задачах теории чисел, который, по видимому, можно применить и системе уравнений (і) и доказать для неё критерий Х.-Л.-Р. без использования кругового метода (см. [42],[43] ).

Остановимся теперь на р -адическом методе. Мы называем Р --адическими методами методы аналитической теории чисел, связанные с использованием сравнений по степени простого числа р . Важную роль в аддитивной теории чисел сыграл разработанный Ю.В. Линником Ь -адический метод доказательства теоремы И.М.Виноградова о среднем значении модуля тригонометрических сумм (см.[24], [25]). В 1962 году А.А.Карацуба в работе [14] разработал другой Ь -адический метод, который позволил получить ещё одно f -ади-ческое доказательство этой теоремы (см. i8j ). Методы Ю.В.Линника и А.А.Карацубы имели и общие черты, и существенные отличия. Изложение идейных основ этих методов дано в 7 первой главы книги [58] .

В последующее время А.А.Карацуба совершенствовал свой метод к и вместе со своими учениками - участниками семинара по аналитической теории чисел в МГУ. Результаты, полученные в данной дис - 20 сертации, по существу являются дальнейшим развитием Ь-адичес-кого метода А.А.Карацубы.

В настоящее время этот метод включает в себя несколько приёмов, тесно связанных между собой в идейном отношении, и потому при каждом применении метода используются сразу несколько приёмов и соображений в некоторой комбинации. Укажем далее основные приемы этого метода (см. работы рд] -[23[50]-І73]).

Приведем теперь точную формулировку основных результатов диссертации. Перечень этих результатов включает в себя шестнадцать пунктов. При этом центральный результат о порядке числа слага емых в проблеме Гильберта-Камке сформулирован в последнем, шестна? цатом пункте и он является прямым следствием результатов пунктов 1,5,8,13, 14 и 15.

Доказательство теорем

Рассмотрим систему диофаятовых уравнений (і) при условии, что К Ъ ; К JYj.,—, ЯКі Р - натуральные числа;эс ..., оск - неизвестние, принимающие целочисленные значения и удовлетворяющие условиям Ранее, мы обозначили через J число решений этой системы. Далее эти обозначения сохраняют свой смысл всюду, где не оговорено противное. Далее, пусть - некоторое вещественное число, \&l g і ; б и f - неотрицательные числа. Величина э равна сумме особого ряда проблемы Гильберта-Камке, а величина Jf" равна значению особого интеграла проблемы Гильберта-Камке, а именно: Показатель абсолютной сходимости особого ряда О равен OS i(K+i) + , а показатель абсолютной сходимости особого интеграла J" равен 0.5п ( .+!) +1.

Для доказательства теоремы Ї нам потребуется ряд новых определений и вспомогательных утверждений. Прежде всего заметим, что показатели абсолютной сходимости ряда (э и интеграла Y найдены в работах [Зб] и[7Ґ] (см. также [48] ). Далее, для величины 3 имеет место тривиальная оценка 3 р , так как число всевозможных наборов целых чисел довлетворяющих неравенствам 1 5 OCj,... , СС Р , очевидно, равно Р . Если величина Р в теореме 1 будет меньше, чем у\/ , то оценка остаточного члена Б асимптотической формуле теоремы будет хуже указанной выше тривиальной оценки для величины 0 , а сама эта формула становится бессодержательной. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что Р $. К Используя очевидное равенство і г f Hicun., _ J і при Ju = 0, j to при целом т} y ttO величину J можно записать в виде интеграла j = ]\..f е- М ч ) (9) о о где л есть точка а -мерного пространства с координатами о ,... " t ( " тригонометрическая сумма, Так как подынтегральная функция периодична по j. -;, Л.ц_ с периодом единица, то область интегрирования по переменным ± - . и. Б кратном интеграле (9) можно заменить областью 2 , определяемой неравенствами -Р el, і- і? 4-і,..,Л, Обозначим через ( (а. ) область точек /1 , удовлетворяющих условиям - 33 Здесь числа 0 и 4 являются 6 -тыми координатами целочисленных наборов CL и CL . Пусть, далее, Q есть наименьшее общее кратное чисел 1 І Я взобьем все точки области Q на два класса. К первому классу Q L отнесем все точки областей СО ( , ) , для которых б . 0,5 . Остальные точки области отнесем ко второму классу . Заметим, что две различные области и) (а о ) и со fa/, о J , точки которых отнесены к первому классу, не пересекаются. Действительно, пусть такие области ел) (o f) и СО(а.\ о/) имеют общую точку А Тогда для всех S, 4= ± г.-г г, имеют место равенства ЛИ Л причем Х5 2/ J?. , и для некоторого 4, ± 6зУіл имеем Отсюда / Переходя к неравенствам, получим: - 34 / -о.б у a6 a 0.3-6 ггОЛ P — =1-. їа. e« -a P i P что невозможно, поскольку J: Z ъ силу того, что х К . ЛЕММА I. Пусть К з и каждому 6 - v-, і отвечает свое число Т6 = Р ; далее, пусть Пусть общее наименьшее кратное Ов чисел %,-" Ях, подчинено условию и пусть -1 ? = (8 и. (&ІУІ+ 15LLVL + 4.А)) Тогда имеет место оценка Р Ji eA7tt( a:+.-. + xK)j ср - 9C = d. св(ки ов.г )% jlfM Доказательство. Эта лемма есть частный случай (при Уп і. ) леммы 8 на с. 64 книги И.М.Виноградова f9j . ЛЕММА 2 (теорема И.М.Виноградова о среднем значении тригонометрической суммы). Пусть Т, п, к - натуральные числа, г3. - 35 -Тогда при $і = їїХ , Р L справедливо неравенство о О К-І fUk) "2xk-L. где А 0Sn.(hi-i) - ь ль( - МГ,)Т з = 2кЧ . Доказательство этой леммы см. в["58] , с.25, следствие 2 . ЛЕММА 8. Пусть Q - натуральное число, а± ,.-., #и, - целые числа , (Q, aL ... , an ) = 4. ТогДа ПРИ Va "1 имеем: J1 iJtc (Г1 ( + .i-flh ) -є Доказательство см. в DfO] . ЛЕММ 4. Пусть f (О в интервале N ос М - вещественная дифференцируемая функция, причем внутри интервала ее производная f (х.) монотонна и знакопостоянна и при постоянном &" с условием О U ± удовлетворяет неравенству / 1ґ«0 8 . Тогда имеем: ] гОС ft (V Доказательство см. в [я] , с.25, лемма 3 . - 36 -ЛЕММА 5. Пусть f(x) = U X "- + U , где U » , ± вещественные числа, наибольший из модулей которых равен . Тогда для интеграла 1 ИЖІ УСх) X = fewt" V справедлива оценка ЦІ пил (I, ЗЛи у) v-A-f Доказательство см. ъ[я], с. 27, лемма 4 . ЛЕММ б. Пусть точка А принадлежит области и ее координаты оіл , 4 - І, ...., представлены в виде оЛ = о fj-+% , № (ai U) =1 , IZJ ? = Р . Пусть наименьшее общее кратное Q чисел , ..._, л , удовлетворяет условию U Jr . Тогда для суммы имеет место асимптотическая формула ГД6 Q Jr. /«її к- IRl І 9»iQ. - 37 Доказательство. Представим переменную суммирования в сумме (А)ъ виде где т" удовлетворяет условию 4. "с Q . Тогда да) - s,f/i) -«а. Так как W кратно всем числам #, ..., QyV) то Ні- г где П - некоторое целое число. Поэтому - 38 Пусть b(v- внутренняя сумма в правой части последнего равенства. Тогда Положим Уf&)= 1.( + " + С + ) . Имеем: $ Іг;П0 Z P Р Р Т і 4-А : 0,5 .(К+±)Р 0.05 ввиду того, что 3 Р } W -L Uy+t 1г. Далее, поскольку производная функции f(y) есть многочлен степени К-± , то промежуток І. х можно разбить на не более чем іь- , промежубса, где указанная производная монотонна и знакопостоянна В соответствии с этим сумму S( ) можно разбить на Ytt сумм, УЛ. : Ик-а t причем каждая новая сумма будет удовлетворять условиям леммы 4 со значением $ = 0.05".

Исследование особого ряда

Обозначим через WW;я) число решений системы сравнений относительно неизвестных 3 ,--, 3? Буквой будем обозначать простое число. ЛЕММА 8. Пусть М , Ы - натуральные числа, М и!; & 0,5п.(к+і) 4-я, Тогда имеет место равенство 6 = &n W(M;k)Mh Wl-» fro где ? - сингуляр ный ряд теоремы І. Доказательство. Из теоремы I следует, что при к 0.5 n(h.+±)-h + & ряд { 6 сходится абсолютно. Поэтому при фиксированном натуральном oi имеем: где а и ( flW w- хЛ»Х"\\ -.2 /( //,+-+ //) ЗД - X Z ... „ 2Ы -ek Здесь, как и выше, Q =С% ., Ян] \ Положим d = M- . Оно является необходимым для разрешимости системы (I), поскольку при любом целом X система имеет целочисленное решение вида где при всяком натуральном й величина ( си ) определяется равенством \ О, а! и равна единице при CL = О . ЛЕММА 10. Пусть р &П, t &ЪК 2. = $?х . Тогда для величины имев! место оценка WtMbcf X), (2x+U+l)( -&t) ГДв С. =: уЬ ОЄ . цєлоє число, опрвдєляємоє условием Ь - показатель степени, с которым простое /5 входит в разложе-ние числа (/г - і) , на множители. Доказательство. Для 5 1Г-3 П положим -69 Очевидно, что набор чисел М удовлетворяет условию (Ї7), т.е. система Я (18) имеет решение в целых числах -/i;...; . Пусть СЬ - некоторое натуральное число и пусть isty t)t9 есть наименьший неотрицательный вычет числа по модулю /= . Тогда Предположим, что число $, удовлетворяет условию At fc=± Пусть, далее: 1) #м, = , если 1 н п ; 2) = , если M-f Uib..+ Ut„l }пзп+ U± + . + Urj 3)0 =0 , если Ux + + ик + п m & % Очевидно, набор чисел ;-..; является решением системы сравнений А Число решений этой системы по определению равно следо вательно, _70 _ Пусть натуральное число ь удовлетворяет условиям: 2) .2 CL + 1 з) / /г Покажем, что для любых целых ,.-., & существуют целые & --; для ко Р1 числа 1;-- , где являются решением системы сравнений Пусть JVJ Л + / , где /1 б4 - неотрицательные целые числа. Так как № CL t і , то систему (19) можно записать Б ВИДЄ Отсюда при некоторых целых Д, , имеем: (20) Здесь ас иг при і fit n, Рассмотрим следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных -71 п. 4-і Определитель этой системы обозначим через L. Тогда ».. f ... і ± ... і и-1 d = УІ-І. \1» » t ь «. П. Km, пи и-і = п! ... KJ - и! (и-і)! - AM/ о. Следовательно, эта система имеет единственное решение вида \ , Ъ-i,..., , где г- определитель, который получается из определителя заменой столбца с номером % на столбец, составленный из чисел л-Є J ._ - 5 -4л 21 Ул Н.і-і. Пусть ДГ есть определитель, который получается из определителя oL при замене чисел / на выражения $ э, . Сводя очевидными последовательными преобразованиями вычисление определителей p fa) и об. к вычислению определителей Вандермонда, получим - 72 где многочлен г( определяется равенством Aft) (А- .»» ft-fi-gp (g-Wij - fxwj

При целом ОС величина ft fe) точностью до знака является произведением биномиальных коэффициентов и потому есть целое число, еле-довательно, для всех fit числа AW - также целые. Отсюда следует, что целыми числами являются и величины y fc Здесь через /г обозначен определитель, который получается из определителя ог при замене чисел / на числа -/ Р . Рассмотрим этот определитель. Через %(4,ь) обозначим коэффициент при ЗС , многочлена f fe) Раскладывая определитель ft по столбцу с номером , получим: Z I 6-і (2-І) Коэффициенты Я(4, v - рациональные числа и знаменатель каждого из них является делителем числа (ft-n,)! (ъ-d)/ , а следовательно, и числа (К-)! , так как есть биномиальный коэффициент. Отсюда следует, что знаменатель рационального числа U jl в его представлении несократимой дробью - тане делится на f , поскольку все 2 - целые числа, и показатель степени, с которым простое j входит в это представление, не меньше, чем Я - f - эе - ,аэто число неотрицательно в силу условия 4), наложенного на числа Сс и о . Поэтому, для чисел 1г І имеем представление где Р - некоторое целое число, Определим целые Qh из сравнении V л. Тогда набор чисел т. j является решением системы сравнений (20). Таким образом, для любо го набора ЙВй .,# указаны числа $А У-п ПРИ которых система сравнений (19) разрешима. Заставляя числа v,.. & независимо пробегать все значения из полной системы вычетов по модулю Р получим, что число решений этой сиотемы /" (р іЛ) удовлетворяет неравенству

От каждого из найденных решений системы (19) по модулю / перейдем по точно такой же схеме к решениям по модулю Р . Для этого вместо числа ь надо взять число ъ + i и проверить, что условия, накладываемые ранее на относительно числа & выполняются для ь-ьі. относительно числа &+{. Условия эти действительно выполнены, так как из неравенства ХІ Ъ- &+ еле - 74 -дует, что Л (+±) (о.Чг±) + L , из неравенства v G а следует, что i t ± Січ-± , из /) /г Й подавно следует,что f ft /t и, кроме того, (Ct+±) -(f+i) - &- { ъ Х + к . Единственное отличие здесь состоит в том, что вместо чисел 0Cd 4, х =1 -. , ОС УЬ будут использованы числа, попарно сравнимые с ними по модулю fj .Разности этих чисел будут стоять в знаменателях коэффициентов Я(Ч Z) вместо чисел /,.. WJ п. - в представлении (21) определителя Ifi . где (ML у.., М J - некоторый набор целых чисел, который взаимно однозначно соответствует набору (Л±) -, vnJ Условие разрешимости для последней системы очевидно, оно состоит в том, чтобы каждое Мл делилось на d / и тогда система будет иметь целочисленное решение. Числа Л{; -, л. линейно и с целыми коэффициентами выражаются через М } - /%, и наоборот, поэтому в условии разрешимости (17) достаточно рассматривать вместо чисел их вычеты по модулю К /, Таким образом, в условии (17) систему уравнений можно заменить на систему сравнений по модулю At/. В свою очередь эта система эквивалентна совокупности систеи ,каждая из которых отвечает своему простому числу р , где р И. , и сравнения берутся по модулю р , причем число ІЇ есть показатель, с которым простое /о входит в разложение Аг/ на простые множители; эти системы не зависят друг от друга в том смысле, что неизвестные в них пробегают свои полные системы вычетов независимо друг от друга при различных простых Jb . Таким образом, условие разрешимости (17) эквивалентно совокупности независимых условий разрешимости по каждому простому р , не превосходящему К Для каждого р это условие, записанное для чисел / . . М состоит в делимости числа / , 4 = --; Я- , на Р , где 06 определено равенством ь6 Ц 6 ! . Заметим, что п, при всех 4 Уь , поэтому сравнения достаточно рассматривать по модулю о . Все наборы MLj -.., и наборы Л ..., Л удовлетворяющие условию разрешимости (17), разобьем теперь на классы в зависимости от значении вычетов по модулю Л входящих в них чисел. Число тех и других наборов Б классе будет одинаковым.

Исследование особого интеграла

В этом разделе устанавливается связь между величиной Jf - значением особого интеграла теоремы! - и свойствами решений системы уравнений и - Аз , сад где I - -- ., величины Д} определяются равенствами а неизвестные OQH. при to.= 4, -.., 4 удовлетворяют условиям Обозначим через "} область точек fe —.» 3 ) si-мер ного пространства, для которых выполнены неравенства: і) о ъ» ± ±9 = . ,.-., к; Объем области обозначим через / (&), т.е. положим JU(1) - /-/ / - ЛЕММА 19. При ik Q.5h(n + 4-) + L справедливо равенство Доказательство. Так как при 4i й Б" ( + .) 4-і. интеграл сходится абсолютно, то он представляет собой непрерьшную функ - 103 цию по совокупности переменных fi± В Положим В By. Тогда имеем: -&т ЯГТ f f far-, 4,) А A . Но интеграл в правой части последнего соотношения равен МШ Этот факт можно доказать, проводя рассуждения, аналогичные тем, которые сделаны Б книге і 23J , на с. 189, при исследовании особого интеграла в проблеме Варинга. Поэтому имеем: $ (ь,..., Р ) & z4-H/ (l). что и требовалось.Демма 19 доказана. Рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных &± » 3 Ч? вида а-/ - /8 , 4=4-., л, 1ънф (87) Будем предполагать, что величины -}) 4) -; 4и_ удовлетворяют условиям Далее, рассмотрим набор, составленный из -- положительных чисел If і )" У- , где 1 ft Некоторым способом gt выберем из них ҐІ чисел с различными номерами. Пусть это будут числа «5 ч & . Этот набор пополним еще двумя числами, полагая g = о g rr Характеристикой набора Iffi c) бУДем называть величину A (jf± j - j fyg ) , где де o c j h+t Если набор (j(i;...; y является решением какой-либо системы уравнений, то его характеристику будем назьшать характеристикой данного решения системы. ЛЕММ 20. Пусть при /- /1 и положительном характеристика Д (эс , — j Фуъ) фиксированного решения системы (32) удовлетворяет условию Пусть, далее, для чисел п t -& .л. л /t выполнены неравенства Тогда существует набор (jfi} --., { .) , для координат которого выполнены условия: п I) &f = oi6 +{6 4 1, ..., к ; Доказательство. Пусть Л - достаточно большое натуральное число. Определим числа fyMX } »,, _ » ПРИ /,..., / і Р .. , Л- рекуррентно следующим образом: - 105 -I) #»,» = я j Z»j0 - 0; 3) числа %м #+ (при фиксированных ( ) удовлетворяют системе линейных уравнений вида 2L 3 »Ju %,4 "" я, -. При ъ - 0 это условие непосредственно следует из определения чисел Ум а . Предположим теперь, что (1 о и справедливость этого условия уже доказана при всех $ %. d . Докажем тогда его справедливость при ь - (л+ Сі Разрешая линейную систему (38)

Из теоремы 5 вытекает, что равенства - О и "= 0 эквивалентны. То же самое справедливо и для неравенств Q и Т о Предположим теперь, что параметры Kj ftl± - « t в системе уравнений имеют значения, при которых сингулярный ряд еґ в асимптотической формуле (8) для числа решений этой системы положителен. Тогда если Х о , то fr О , и асимптотическая формула (8) с теоремой 5 позволяют в зависимости от o t j% явно указать границу р такуй, что при jP j система fa) имеет хотя бы одно решение. Если же —О у то ЧГ—О , т.е. характеристика любого решения системы уравнений (36) (в вещественных числах) равна нулю. Это значит, что среди этих чисел есть не более «.- различных. То же самое можно сказать и о системе fa), гак как если разделить все неизвестные системы (1) на _ , то получится решение системы (36). Но количество таких решений как для системы (36), так и для системы (1) конечно, поскольку конечным является количество вещественных решений системы уравнений.