Введение к работе
Актуальность темы. Одной из главных задач алгебры является изучение различных алгебраических систем. Важную роль при этом играют отображения таких систем. Понятие отображения является настолько общим, что, вообще говоря, любое алгебраическое построение в явной или неявной форме основывается на понятии отображения. Поэтому любое исследование по алгебре в той или иной степени посвящено изучению отображений множеств.
Не вызывает сомнений, что среди отображений алгебраических систем самое заметное место занимают гомоморфизмы и эндоморфизмы. Достаточно упомянуть, что понятие эндоморфизма алгебраической системы, как и вообще математической структуры, позволяет уточнить смысл «одинаковости» поведения двух элементов системы; а также, что свойства эндоморфизмов алгебраической системы во многом определяют свойства самой системы. В связи с этим представляется весьма интересным изучение алгебраических систем, эндоморфизмы которых удовлетворяют определенным условиям.
Одним из таких условий является свойство хопфовости. Относящееся изначально к группам, оно допускает распространение на кольца, модули, упорядоченные алгебраические системы, топологические и функциональные пространства, решетки и другие типы алгебраических систем. Стоит также заметить, что число алгебраических систем в настоящее время неуклонно растет — некоторые из них зарождаются в самой алгебре, а некоторые возникают в других разделах математики, в частности, в связи с нуждами геометрии или математической логики; нередко новые алгебраические системы приходят из физики, кибернетики и техники.
В последние годы интерес к хопфовым алгебраическим системам все более возрастает. К настоящему времени уже накопилось достаточно много публикаций, посвященных этой тематике. Однако исследования по хопфовым абелевым группам очень немногочисленны и носят незавершенный характер. Тем не менее, результаты этих исследований выразительны и многоценны. Наиболее значительными являются работы Баумслага [8], [9], [10], Корнера [13], Такаши и Ирвина [21], [22], Гол-дсмита и Гонга [15] [18]. В частности, Корнер построил красивые и, на первый взгляд, совершенно неожиданные примеры хопфовых абелевых групп А, В и С без кручения, таких, что прямые суммы АфБ, С 0 С не являются хопфовыми группами. К числу новейших работ относятся статьи Голдсмита и Гонга, в которых, наряду с хопфовыми и кохопфовы-
ми абелевыми группами, рассматриваются супер(ко)хопфовы и наследственно (ко)хопфовы абелевы группы, а также обсуждаются некоторые прилегающие проблемы.
Другие классы абелевых групп, граничные с классом хопфовых абелевых групп, освещены в литературе намного лучше. Так, абелевы группы, содержащие собственную подгруппу, изоморфную самой группе (некохопфовы абелевы группы), изучал Бьюмонт [11], он называл их /-группами. В [12], кроме /-групп, рассматривались /Р-группы (абелевы группы, изоморфные собственной сервантной подгруппе) и ID-группы (абелевы группы, изоморфные собственному прямому слагаемому). С. Я. Гриншпон и М. М. Никольская [1]-[3] ввели понятие IF-группы (абелевы группы, изоморфные собственной вполне характеристической подгруппе) и изучали /F-группы в различных классах абелевых групп. Кроули [14] построил пример бесконечной примарной ко-хопфовой абелевой группы без элементов бесконечной высоты. В работе [20] Хилл и Меджиббен дали более общую и простую конструкцию ко-хопфовых примарных абелевых групп, чем Кроули. А. Р. Чехлов в работах [6], [7] рассматривал редуцированные абелевы группы без кручения, в которых ядро всякого эндоморфизма выделяется прямым слагаемым.
Существует довольно много интересных и важных, но до сих пор открытых вопросов, связанных с хопфовыми абелевыми группами. Один из таких вопросов касается описания хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп. Поэтому изучение хопфовых абелевых групп и их свойств представляет особый интерес.
Цели работы. Целями диссертационной работы являются изучение общих свойств хопфовых групп и описание хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп.
Методы исследований. В диссертации используются методы теорий абелевых групп, колец и модулей, некоторые теоретико-множественные и топологические идеи. Техника доказательств представляет тесное переплетение всех этих методов.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. К ним можно отнести следующие.
Найдены некоторые общие свойства хопфовых абелевых групп, в частности, связанные с прямыми разложениями.
Получено описание хопфовых делимых групп и на основе этого описания исследование хопфовости произвольных абелевых групп сведено к исследованию хопфовости редуцированных абелевых групп.
Описаны прямые суммы циклических групп, являющиеся хопфовы-
ми группами.
Найдено одно достаточное условие хопфовости вполне разложимой группы без кручения и указаны примеры нехопфовых вполне разложимых групп без кручения.
Получен критерий хопфовости алгебраически компактных абелевых групп и построен пример нехопфовой алгебраически компактной группы.
Хопфовость SP-rpyuu сведена к хопфовости их примарных компонент.
Описаны хопфовы аддитивные группы артиновых колец. Показано, что аддитивная группа любого і?-кольца хопфова.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны специалистам, работающим в различных областях теории групп, теорий абелевых групп, колец и модулей. Материалы диссертации могут найти применение в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам старших курсов математических направлений университетов и аспирантам.
Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре Томского государственного университета (руководитель — профессор П. А. Крылов), на научно-методическом семинаре физико-математического факультета Горно-Алтайского государственного университета (руководитель — доцент В. Ф. Пуркина), на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной столетию со дня рождения профессора В. В. Морозова (Казань, 2011 г.), на Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (Бийск, 2012 г.). Они были представлены на III Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Томск, 2012 г.), на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012 г.). По теме диссертации опубликовано восемь работ [1*]-[8*], из них три в рецензируемых изданиях из списка ВАК [1*], [2*], [3*].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы. Первая глава содержит два параграфа, вторая — три параграфа и третья — четыре параграфа. Работа изложена на 83 страницах. Список литературы содержит 140 наименований.
