Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основное содержание работы 14
Глава 2. Предварительные сведения 23
2.1. Обзор литературы 23
2.2. Используемые результаты 27
Глава 3 Конечные группы с дополняемыми системами подгрупп 33
3.1. Свойства d-сепарирующих подгрупп 33
3.2. Конечные неабелевы р-группы С D(P)CO(P)Z(P) 39
3.3. Конечные группы С D(G)cO(G)Z(G) 44
ГЛАВА 4. Примарно ступенчатые группы с системами дополнямых подгрупп 48
4.1. Предварительные результаты 48
4.2. Нецентрально факторизуемые группы 57
4.3. Локально почти разрешимые группы С D(G)CC>(G)Z(G)—60
4.4. Примарно ступенчатые группы С D(G)CO(G)Z(G) 64
4.5. 2-Группы с G*D(G)<0>(G)Z(G) 71
Выводы 73
Список используемых источников 74
- Используемые результаты
- Конечные неабелевы р-группы С D(P)CO(P)Z(P)
- Нецентрально факторизуемые группы
- Примарно ступенчатые группы С D(G)CO(G)Z(G)
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В теории групп одним из наиболее перспективных и интересных направлений является изучение групп с заданными свойствами системы подгрупп. Начало таким исследованиям было положено работами У. Бернсайда, Р. Дедекинда, Г. Миллера и Г. Морено, О.Ю. Шмидта и др. Появившись сначала в области конечных групп, это направление распространилось затем на бесконечные группы и дало при этом многие новые подходы к их изучению, а также важные понятия теории групп. Среди наиболее значительных объектов исследований были выделены классы локально конечных групп, периодических групп, локально разрешимых и локально нильпотентных групп, локально ступенчатых групп, классы групп Куроша-Черникова. В этом направлении работали многие авторы: СИ. Адян, Р. Бэр, Б.А. Вэрфриц, X. Виланд, Дж. Вильсон, Ю.М. Горчаков, В.М. Глушков, Д. Горенстейн, Р.И. Григорчук, Д.й. Зайцев, М.И. Каргополов, О. Кегель, А.И. Кострикин, А.Г. Курош, Л.А. Курдаченко, А.И. Мальцев, Ю.И. Мерзляков, А.Ю. Ольшанский, П.С. Новиков, Б.И. Плоткин, Д.Ю. Робинсон, А.В. Рожков, А.И. Созутов, Д. Томпсон, В. Фейт, Г. Хайнекен, Б. Хартли, Ф. Холл, B.C. Чарин, Н.С. Черников, С.Н. Черников, С.А. Чунихин, Л.А. Шеметков, В.П. Шунков и др.
Ясно, что для рассмотрения строения определенного вида групп с
заданными свойствами подгрупп, необходимы существенные ограничения
для подгрупп. Большое значение здесь имеет проблема исследования групп,
обладающих в том или ином смысле широкой системой дополняемых
подгрупп. Напомним, что подгруппа А группы G называется дополняемой в группе G, если в G существует такая подгруппа В, что G=AB и АпВ=1. При этом В* называется дополнением к А в G. Понятно, что на- строение группы и ее свойства существенно влияют условия дополняемости, налагаемые на подгруппы из той или иной системы подгрупп. Так, в 1937 году Ф. Холлом была показана разрешимость конечной группы, в которой дополняемы все силовские примарные подгруппы. В связи с этим возникла потребность изучения конечных групп, в которых дополняемы все подгруппы. В этом направлении Ф. Холлом получен следующий критерий: в конечной группе G каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда G является сверхразрешимой группой с элементарными абелевыми примарными подгруппами. Первоначальному исследованию свойств произвольных групп с системой дополняемых подгрупп, удовлетворяющей тем или иным условиям, посвящены работы Н. В. Черниковой [23, 88]. Ею было получено полное конструктивное описание вполне факторизуемых групп, то есть групп, в которых дополняемы все подгруппы. Из теоремы Н.В.Черниковой [23] следует, что в группе G каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда G=[A]B, где А разлагается в прямое произведение нормальных в G подгрупп простых порядков или А=1, а В разлагается в прямое произведение подгрупп простых порядков или В=1.
Общая задача изучения групп с некоторой заданной системой дополняемых подгрупп была сформулирована С.Н. Черниковым в работах [85,86]. Изучались группы с дополняемыми абелевыми (неабелевыми, элементарными абелевыми) подгруппами, нормальными (неинвариантными), бесконечными (бесконечными абелевыми, бесконечными неабелевыми), примарными (непримарными, нормальными непримарными) подгруппами. Впоследствии в этом направлении работали и получили многие важные результаты Ю.М. Горчаков, М.И. Каргаполов, Д.И. Зайцев, B.C. Чарин и др. (школа С.Н. Черникова), Н.С. Черников, Н.М. Сучков и др. (школа
В.П. Шункова), К. Кристенсеном. А.С. Кондратьевым, Л.С. Казариным, В.А. Ведерниковым, B.C. Монаховым, М. Курцио, О. Бечтеллом и др.
В 70-х гг. было введено понятие сепарирующей подгруппы, и в связи с этим появился новый подход к обобщению вполне факторизуемых групп. В этом направлении были получены результаты в работах Н.С. Черникова, С.А. Довженко, Д. Кеппига, B.C. Чарина, А.В. Спиваковского, В.А. Крекнина и др.
Одним из наиболее естественных ослаблений условия дополняемости всех подгрупп в группе является условие дополняемости подгрупп, не содержащихся в ее подгруппе Фраттини - нефраттиниевых подгрупп. Такие группы с дополняемыми нефрагтиниевыми подгруппами были полностью описаны С.А. Довженко в работах [40-44]. Исследование групп с дальнейшими ослаблениями условия дополняемости подгрупп является актуальной и перспективной задачей. Так, можно рассмотреть группы, в которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(в) и центра Z(G) группы G. Такое ослабление условия дополняемости приводит к существенному расширению класса рассматриваемых групп, в частности, этот класс содержит все абелевы группы. В данной диссертации исследованы конечные, локально конечные, локально почти разрешимые, примарно ступенчатые группы с указанными системами дополняемых подгрупп, а также произвольные нецентрально факторизуемые группы, то есть группы, у которых дополняемы все нецентральные подгруппы и произвольные 2-группы.
Цель и задачи исследования. Основной целью работы является полное описание конечных и примарно ступенчатых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении <&(G)Z(G) погруппы Фраттини на центр группы G. При реализации данной цели были решены следующие задачи:
Исследование конечных неабелевых р-групп, у которых все
недополняемые подгруппы содержатся в произведении Ф(0)2(С).
Исследование конечных групп, удовлетворяющих, такому же условию:; D(G)cO(G)Z(G);
Исследование нецентрально факторизуемых групп.
Исследование локально почти разрешимых и примарно ступенчатых групп, длякоторых выполняется условие D(G)c 0(G)Z(G).
Объектом исследования являются: группы; у которых все недополняемые подгруппы содержатся в: произведении ^(G)Z(G) подгруппы Фраттини>на центр rpynnbiG, а также нецентрально факторизуемые группы.
Предметом исследования являются^ свойства групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в. произведении? ^(G)Z(G); центра группы бнш подгруппу Фраттини, а также свойства нецентрально: факторизуемых групп.
Методы исследования. В диссертации используются: методы абстрактной-теории групп, а также теории линейных групп;.
Научная новизна полученных результатов. Все основные результатыдиссертации-являются новыми. Важнейшие из них:
Доказано, что в произвольной конечной группе G все недополняемые подгруппы содержатся в:произведении' Ф(С)г(6) тогда.и только тогда; когда группа. G является: либо конечной абелевой. группой; либо конечной ненильпотентной вполне.факторизуемою группой, либо представляет собой прямое произведение групп* Р и А, где Р - неабелева р-группа порядка р3, ехр(Р)=р (при р>2) и Р - диэдральная группа (при р=2), А - конечная абелева группах элементарными абелевымисиловскими подгруппами или А=1.
Установлено; что произвольная группа G является нецентрально факторизуемойв том- и только том случае, если G является либо абелевой; группой; либо вполне факторизуемой: неабелевой группой, либо представляет собой прямое произведение; D<p>-группы и вполне факторизуемойгруппы.
Доказано, что- для: примарно ступенчатой группы G условие G=D(G)^(G)Z(G) выполняется лишь в том: случае, если группа G
, 10
представляет собой либо прямое произведение циклической р-группы порядка больше р и вполне факторизуемой абелевой группы, либо прямое произведение D<p>-rpynnbi и вполне факторизуемой абелевой группы, либо группа G является вполне факторизуемой неединичной группой.
Показано, что для произвольной 2-группы условие G^D(G)<0(G)Z(G) выполнятся тогда и только тогда, когда группа G представляет собой либо прямое произведение циклической 2-группы порядка >2 и элементарной абелевой 2-группы или единичной группы, либо прямое произведение диэдральной группы порядка 8 и элементарной абелевой 2-группы или единичной группы, либо G является элементарной абелевой 2-группой.
Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории, групп, в частности, при дальнейшем изучении групп с той или иной системой дополняемых подгрупп. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и педагогических институтах для студентов математических специальностей.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
Описание конечных групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини O(G) на центр Z(G) группы G.
Описание произвольной нецентрально факторизуемой группы.
Описание локально почти разрешимых и локально конечных групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении (p(G)Z(G).
Описание примарно ступенчатых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(О) на центр Z(G) группы G.
5) Описание произвольной 2-группы, у которой все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини (G) на центр Z(G) группы G. Личный вклад соискателя. Диссертационная работа выполнена соискателем лично под руководством профессора, доктора физико-математических наук Ведерникова Виктора Александровича. Научным руководителем были поставлены задачи и предложена методика их исследования. В совместных работах основные идеи и методы принадлежат научному руководителю, а реализованы соискателем.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
Семинарах кафедры математики, физики и информатики филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове;
Семинарах кафедры алгебры Брянского государственного университета;
Международной конференции «Актуальные проблемы науки и образования» (Новозыбков, 2004 г.);
Международной алгебраической конференции «Классы групп и алгебр», посвященная 100-летию со дня рождения С.А. Чунихина (Гомель, 2005 г.);
Международной конференции «Классы алгебр, групп и их приложения», посвященной 70-летию со дня рождения профессора Л.А. Шеметкова (Гомель, 2007 г.);
Международной конференции «Алгебра и ее приложения», посвященной 75-летию профессора В.П. Шункова (Красноярск, 2007 г.).
Опублико ванно сть результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях [27, 32, 34, 69] и тезисах конференций [28, 31, 33].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 101 наименования. Объем диссертации - 84 страницы.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании диссертации.
Используемые результаты
Ниже охарактеризовано содержание диссертации по главам. Используются определения и обозначения принятые в книгах [11], [73], [84], [93]. Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации. Глава 2 состоит из двух разделов. В первом из них приводится аналитический обзор изученности темы, и освещаются основные результаты, полученные ранее другими авторами в этой области. Во втором разделе собраны некоторые известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.
В теории групп значительное место занимают результаты, полученные при изучении групп с заданными свойствами. Направление исследований, имеющее целью изучение групп такого рода, появилось сначала в области конечных групп. Обогатив теорию конечных групп существенными результатами. Оно распространилось затем и на бесконечные группы. При этом возникли многие важные понятия современной теории групп и связанные с ними новые подходы к изучению бесконечных групп. Большое значение здесь имеет проблема исследования групп, обладающих в том или ином смысле широкой системой дополняемых подгрупп. Общая задача этих исследований была сформулирована С.Н. Черниковым в работах [85, 86]. В 1937 году Ф. Холл в работе [7] исследовал строение конечной группы, в которой каждая подгруппа дополняема. В работе [88] Н.В. Черникова получила полное описание строения произвольных групп с таким свойством, которые были названы ей вполне факторизуемыми группами. В дальнейшем многими авторами изучались как конечные, так и бесконечные группы с той или иной системой дополняемых подгрупп. Сводное изложение основных результатов в этом направлении содержится в монографии [84].
Одним из существенных и самых естественных ослаблений условия дополняемости всех подгрупп в группе является условие дополняемости подгрупп, не содержащихся в ее подгруппе Фраттини - нефраттиниевых подгрупп. Такие группы с дополняемыми нефраттиниевыми подгруппами были полностью описаны С.А. Довженко в работах [40-44]. Исследование конечных групп, а также примарно ступенчатых групп, в которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении 1 (G)Z(G), где 1 (G) -подгруппа Фраттини группы G, Z(G) - центр группы G, является главной целью настоящей диссертации.
Пусть D(G) - подгруппа группы G, порожденная всеми подгруппами из G, не имеющими дополнений в G. Если в группе G все подгруппы дополняемы, то полагаем D(G)=1. Глава 3 посвящена описанию строения конечных групп G, для которых D(G)c;Z(G (G). Эта глава состоит из трех разделов.
В разделе 3.1 устанавливается ряд результатов общего характера относительно свойств D-сепарирующих подгрупп. Напомним, что подгруппа Н группы G называется D-сепарирующей подгруппой, если каждая подгруппа из G, не содержащаяся в Н, дополняема в G (см. [87]). Теорема 3.2.1 раздела 3.2 дает полное описание конечных абелевых р-групп Р, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении 2(Р)Ф(Р). 3.2.1. ТЕОРЕМА. Пусть Р - конечная неабелева р-группа. Тогда и только тогда D(P) =Z(P (P), когда P=QxA, где А - конечная элементарная абелева р-группа или A=l, Q - неабелева р-группа порядка р3, exp(Q)=p при р 2, а при р=2 Q - группа диэдра. Данная теорема является частным случаем основного результата главы 3 - теоремы 3.3.1, которая дает полное описание произвольной конечной группы, у которой все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(в) на центр Z(G) группы G. Пусть G - конечная группа. Тогда и только тогда D(G)c (G)Z(G), когда G является группой одного из следующих типов: 1) G - конечная абелева группа; 2) G=PxA, где Р - неабелева р-группа порядка р , причем при р 2 ехр(Р)=р и Р - диэдральная группа при р=2; А=1 или А - конечная абелева группа с элементарными абелевыми силовскими подгруппами; 3) G - конечная ненильпотентная вполне факторизуемая группа. Теорема 3.3.1 существенно используется при доказательстве основных результатов главы 4. Группа G называется примарно ступенчатой, если в произвольной ее подгруппе, порожденной двумя сопряженными примарными элементами, любая отличная от единицы подгруппа конечного индекса обладает собственной подгруппой конечного индекса. Класс примарно ступенчатых групп очень широк. Он включает в себя все локально ступенчатые, линейные, локально почти разрешимые, бинарно конечные и многие другие группы (см. [44]). Цель главы 4 - дать полное описание строения примарно ступенчатой группы G, для которой D(G)cZ(G)0(G). Эта глава состоит из пяти разделов.
Конечные неабелевы р-группы С D(P)CO(P)Z(P)
В теории групп одним из важнейших направлений исследлований является изучение строения групп по заданным свойствам тех или иных подгрупп. Благодаря этому направлению были выделены и изучены многие классы групп. Начало таким исследованиям было положено в работах Р. Дедекинда [2], Г. Миллера и Г. Морено [14], О.Ю. Шмидта [96, 97] и др. Существенный вклад в развитие этого направления в дальнейшем внесли Ф. Холл [6, 7], С.Н. Черников [82, 83, 86], А.Г. Курош [13], М.И. Каргаполов [49-50], В.П. Шупков [98-101], П.С.Новиков и СИ. Адян [57-61], А.Ю. Ольшанский [62, 63], а также Дж. Вильсон, Ю.М. Горчаков, В.М. Глушков, Р.И. Григорчук, Д.И. Зайцев, Ю.И. Мерзляков, Б.И. Плоткин, СП. Струнков, Д.Ю. Робинсон, B.C. Чарин, Н.С Черников и многие другие. Значительная часть результатов, полученных в этом направлении, освещена в монографиях А.Г. Куроша [55], С.Н.Черникова [84], Д.Ю.Робинсона [15, 16], О.Г. Кегеля и Б. Верфрица [12], А.Ю. Ольшанского [64], Н.С. Черникова [76] и др.
Среди наиболее важных объектов исследования выделились классы локально конечных и бинарно конечных групп, периодических групп, локально разрешимых и локально нильпотентных групп, локально ступенчатых групп и другие.
Среди условий, что налагаются на ту или иную систему подгрупп данной группы, важное место занимает условие дополняемости. Подгруппа А группы G называется дополняемой в группе G, если в G существует такая подгруппа В, что G=AB и АПВ=1. При этом В называется дополнением к А в G. Во всякой группе существует, по крайней мере, две дополняемые подгруппы - единичная подгруппа и сама группа. Понятно, что изучение групп по заданным свойствам системы дополняемых подгрупп имеет смысл в случае групп с более широкой системой дополняемых подгрупп. Это направление обогатило теорию групп многими значительными результатами.
Нередко свойства группы в целом» существенно определяются свойствами системы дополняемых подгрупп. Так, например, еще в 30-х гг. XX в. было доказано, что конечные разрешимые группы - это в точности конечные группы, в которых дополняемы все силовские подгруппы (Ф. Холл [6], С.А. Чунихин [91]). В связи с этим естественно было выделить конечные группы, в которых дополняемы все подгруппы. Таким группам посвящена работа Ф. Холла [7]. В ней установлено, что конечные группы, в которых дополняемы все подгруппы, исчерпываются конечными сверхразрешимыми группами с элементарными абелевыми силовскими подгруппами.
Строение произвольных (как конечных, так и бесконечных) групп, в которых дополняемы все подгруппы, было установлено Н.В. Черниковой (Баевой) в работах [23] и [88]. В этих работах группы, в которых дополняемы все подгруппы, получили укрепившееся за ними название вполне факторизуемых. С работами Н.С. Черникова [85] и [86] началось систематическое изучение групп с заданными свойствами системы дополняемых подгрупп. В работе [86] рассматривались группы, в которых дополняемы все абелевы подгруппы, группы, в которых дополняемы все инвариантные подгруппы, а также абелевы группы, в которых дополняемы все сервантские подгруппы. Установлено, что в классе локально конечных групп условие дополняемости всех подгрупп равносильно более слабому условию дополняемости абелевых подгрупп. Позднее, в работах Ю.М. Горчакова [37] и М.И. Каргаполова [49] было доказано, что группы, в которых дополняемы все абелевы подгруппы, локально конечны. Таким образом, группы, все абелевы-подгруппы которых дополняемы, являются вполне факторизуемыми. В работах [35-38] Ю.М!: Горчаков рассматривал группы с системами дополняемых подгрупп, более узкими, чем система всех подгрупп или система всех абелевых подгрупп. В работе [35] им изучены примарно факторизуемые группы, т. е. периодические группы, в которых дополняемы все примарные подгруппы, а в работах [36-38] - примитивно факторизуемые группы, т. е. периодические группы, В которых дополняемы все подгруппы простых порядков. Кроме того, известно, что совпадают классы периодических примитивно факторизуемых групп, локально вполне факторизуемых групп, групп, в которых дополняемы все циклические подгруппы, а также периодических групп, в которых дополняемы все конечные подгруппы. Позднее была доказана эквивалентность условий бинарной вполне факторизуемости и локальной вполне факторизуемости (Н.В. Черникова и Н.С. Черников [90]).
Группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами описаны в работах Ю.М. Горчакова и В.А. Шериева [39], В.А. Шериева [94,95]. Бесконечные группы с некоторой системой дополняемых сервантских подгрупп рассматривались Л.М. Кляцкой [52], Д.И. Зайцевым и Л.М. Кляцкой [46]. Рассматривались также конечные и локально разрешимые группы, в. которых дополняемы коммутанты всех собственных подгрупп (П.П. Барышовец [25, 26]). Как было показано Н.С. Черниковым [79] и П.П. Барышовцем [24], в некоторых классах групп из условия дополняемости коммутантов бесконечных подгрупп следует дополняемость коммутантов всех собственных подгрупп. В работе А.С. Кондратьева [53] изучались конечные группы с дополняемыми бипримарными подгруппами четного порядка. В работах B.C. Чарина [74] и Т.М. Лобзень [56] исследовались топологические группы с системами дополняемых подгрупп. Работы Н.С.Черникова и А.П. Петравчука [81], А.П. Петравчука [67] посвящены изучению групп, в которых дополняемы все подгруппы, содержащие хотя бы одну неединичную силовскую р-подгруппу для некоторого простого р. В работе О.Н. Зуб [48] рассматривались группы с дополняемыми нециклическими подгруппами, а также группы с дополняемыми локально циклическими подгруппами, в работе Д.И. Зайцева и О.Н. Зуб [45] - группы с дополняемыми подгруппами непростых порядков и в работах Э.С.Алексеевой [21,22] — непримарные группы с дополняемыми непримарными подгруппами.
Группы с дополняемыми бесконечными абелевыми подгруппами и группы, удовлетворяющие разнообразным условиям минимальности для недополняемых абелевых подгрупп, детально изучены в работах Н.С. Черникова [75-78].
В настоящее время исследованием групп с заданными свойствами системы дополняемых подгрупп занимаются многие ученые. Отметим, что в последнее время активизировались исследования по изучению строения конечных групп с заданными свойствами системы добавляемых подгрупп (см., например, [1], [4], [9], [10], [17], [19]).
Нецентрально факторизуемые группы
В работах [40-44] установлено строение примарно ступенчатой группы, когда D(G)= 3 (GyG. Оказалось, чго в этом случае D(G)c=Z(G), то есть группа будет нецентрально факторизуемой. В данном разделе дается полное описание произвольной нецентрально факторизуемой группы (теорема 4.2.1). Напомним, что D p -rpynnoft называется неабелева группа G порядка р , если при р=2 G является диэдральной группой, а при р 2 exp(G)=p. 4.2.1. ТЕОРЕМА. Пусть G - произвольная группа. Тогда и только тогда D(G)cZ(G), когда G - группа одного из следующих типов: 1) G - абелева группа; 2) G=PxA, где Р - D p -группа и А - вполне факторизуемая абелева группа; 3) G - вполне факторизуемая неабелева группа. Доказательство. Необходимость. Пусть G - неабелева группа, D(G)c=Z(G) и xsG\D(G). Тогда по лемме 2.2.28 х со и по лемме 4.1.1, п. 1) D(G)cZ(G)cNG( x ) является локально конечной группой. Так как GYD(G) - локально конечная группа, то по теореме Шмидіа 2.2.2 G является локально конечной группой. Если G oo, то по теореме 3.3.1 утверждение верно. Пусть G=oo. Поскольку G - неабелева группа, то в G\Z(G) существуют не перестановочные элементы а и Ь. Пусть а=р" Р22 Р , где р,, р2, ..., рк -попарно различные простые числа, а, 1 для любого іє{1, 2, ..., к}. Тогда а=аіа2...ак, где aj=p" и a,aj=ajai, для любых i, je{l, 2, ..., к}; а; назовем примарной компонентой элемента а. Так как а и b не перестановочны, то хотя бы одна примарная компонента а; не перестановочна с Ь, причем ajeG\Z(G). Поэтому можем считать, что а и b являются примарными элементами. Пусть В=(а, Ь). Тогда В оо. По лемме 3.1.1 D(B)cD(G) и значит, D(B)cBnZ(G)cZ(B). По теореме 3.3.1 либо В - вполне факторизуемая конечная неабелева группа, либо В=РхА, где Р - D p -группа, а А - вполне факторизуемая конечная абелева группа. Пусть В - вполне факторизумая конечная неабелева группа. Тогда по лемме 4.1.13 G - вполне факторизуемая неабелева группа, то есть G - группа типа 3). Пусть В=РхА, где Р - D p -rpynna, а А - вполне факторизуемая конечная абелева группа. Так как Op.(B)cZ(B), то аєОр(В), ЬєОр(В) и В=Ор(В). Так как ранг г(В)=г(В/Ф(В))=2 и Ф(В)=Ф(Р), то А=1 и В=Р. Пусть yeG\P. Так как G - локально конечная группа, то F=(Pu{y} - конечная группа, причем D(F)c=Z(F). По теореме 3.3.1 F=QxA,, где Q - D p -rpynna, А і - абелева вполне факторизуемая группа. По лемме 4.1.12 имеем F=PxA,cPCG(P). Так как PcPCG(P) и уєРСс(Р), то G=PCG(P). Тогда P«G и CG(P) iG. Так как PD(G), то Р дополняема в G. Следовательно, G=LP]H и G:H=p3. По теореме Пуанкаре 2.2.3 в G существует нормальная подгруппа N конечного индекса, содержащаяся в Н. Тогда G/N=(PN/N)(H/N) является конечной группой и (PN/N)n(H/N)=l. По лемме 3.1.2 D(G/N)cD(G)N/NcZ(G)N/NcZ(G/N) и по теореме 3.3.1 G/N=R/NxC/N, где R/N - D p -rpynna, a C/N - конечная абелева группа с элементарными абелевыми силовскими подгруппами. Тогда по лемме 4.1.12 G/N=PN/NxC/N и, значит, G=PxC. По лемме 3.1.7 (D(P)CcD(G)cZ(G). Следовательно, С - абелева группа. По следствию 3.1.9 D(C)=1 и, значит, С является вполне факторизуемой абелевой группой и G - группа типа 2). Достаточность теоремы доказывается аналогично, как и при доказательстве теоремы 3.3.1. Теорема доказана. 4.2.2. СЛЕДСТВИЕ. Пусть G - произвольная группа. Тогда и только тогда G D(G)c:Z(G), когда G - группа одного из следующих типов: 1) G=AxB, где А - циклическая р-группа порядка больше р и В -вполне факторизуемая абелева группа; 2) G=P B; где P - D p -rpynna и В — вполне факторизуемая абелева группа; 3) G - вполне факторизуемая неединичная группа. Доказательство. Необходимость., Если D(G)=1, то G - группа типа 3). Пусть D(G) i. Если G абелева группа, то по следствию 4.1.8 G - группа типа 1). Пусть G неабелева группа. Тогда по теореме 4.2.1 G — группа типа 2). Достаточность доказывается аналогично; как и при доказательстве теоремы 33.1. Следствие доказано. ЗАМЕЧАНИЕ. Теорема 4.2.1 усиливает теорему Холла-Черниковой о строении, вполне факторизуемых групп. Отметим, что из D(G)czZ(G), следует дополняемость в группе G всех ее неинвариантных подгрупп. Эта, более .общая, задача решена в работах [39], [94], [95]. Но доказательство теоремы 4:2.1 независимо от работ [39]; [94]:, [95] и представляет самостоятельный интерес; 4.3. Локально почти разрешимые группы с D(G)Q0(G)Z(G) В данном разделе получено описание локально почти разрешимых групп, у которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(О) на центр Z(G) группы G (теорема 4.3.2). А также здесь приводятся следствия, теоремы 4.3.2 для- локально конечной группы (следствие 4.3.3) и локально почти разрешимой, если D(G) G (следствие 4.3.4). Теорема 4.3.2 и ее следствия обобщают основной результат работы [41]. Для доказательства основной теоремы этого раздела используется лемма 4.3.1.
Примарно ступенчатые группы С D(G)CO(G)Z(G)
В этом разделе докажем основной результат главы 4 - теорему 4.4.3, описывающую строение примарно ступенчатой группы, в которой все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини O(G) на центр Z(G) группы G. Напомним, что примарно ступенчатой группой называется группа G, если в произвольной ее подгруппе, порожденной двумя сопряженными примарными элементами, любая отличная от единицы подгруппа конечного индекса обладает собственной подгруппой конечного индекса. Для доказательства основного результата используются леммы 4.4.1 и 4.4.2.
Пусть G - произвольная группа. Если G D(G)cO(G)Z(G), то G/J(G) - группа одного из следующих типов: 1) G=AxB, где А - циклическая р-группа порядка больше р и В -вполне факторизуемая абелева группа; 2) G=PxB, где Р - D p -rpynna и В — вполне факторизуемая абелева группа; 3) G - вполне факторизуемая неединичная группа. Доказательство. Пусть G/J(G) не является вполне факторизуемой группой и N=J(G). Тогда D(G/N) 1. По лемме 4.1.2 D(G/N) D(G)/N G/N. Если G/N абелева группа, то по следствию 4.1.8 G/N - группа типа 1). Пусть G/N - неабелева группа. По лемме 4.1.2 N - пересечение всех нормальных подгрупп конечного индекса в группе G и, значит, по теореме Ремака 2.2.4 G/N является поддекартовым произведением конечных групп G/H,, ієі, N=njeiHj. Так как G/N - неабелева группа, то для некоторого кєі существует нормальная подгруппа Н=Нк группы G такая, что G/H является конечной неабелевой группой. Пусть является конечной группой. Поскольку G/D(G) является вполне факторизуемой и, значит, по теореме 2.2.21 локально конечной группой, то по теореме Шмидта 2.2.2 G/Lj является локально конечной группой для любого ієі. По лемме 3.1.2 Так как G/H (G/Lj)/(H/L,) - конечная неабелева группа, то (G/Lj)/J(G/Lj) -неабелева группа и по лемме 4.1.7 имеем a (G/Li)Z(G/Li) G/Li для любого ієі. Тогда по следствию 4.3.4 G/L, является группой типа 2) или 3) и, значит, G/Lj имеет ступень разрешимости 2 для любого ієі. Из равенств fL, =П(Нnн. n (G))=HnD(G)nJ(G)=J(G) 1ЄІ ІЄІ следует, что G/J(G) является поддекартовым произведением групп G/Li, ієі. Так как класс всех разрешимых групп ступени разрешимости не больше 2 является многообразием групп, то, применяя теорему Биркгофа 2.2.32, получим, что G/J(G) является разрешимой группой ступени разрешимости 2. Как и выше, заменяя Lj на N, получим Применяя лемму 3.1.2 имеем Тогда по теореме 4.3.2 G/J(G) является группой типа 2). Лемма доказана.
Следующая лемма 4.4.2 доказывается аналогично, как теорема 2.2.30, с заменой (G) на D(G) и применением соответствующих лемм для D(G). Сохраним обозначения и схему доказательства, принятые при доказательстве теоремы 2.2.30 для удобства чтения. АЛЛ. ЛЕММА. Пусть для группы G выполняется следующее условие ( ): если G D(G) и J(G) 1, то найдутся конечные непустые множества McG\D(G) и KcJ(G)\l такие, что либо подгруппа К, М) конечна, либо индекс К, M):J«K, М» бесконечен. Тогда и только тогда G D(G) 0(G)Z(G), когда G - группа одного из следующих типов: 1) G=A B, где А - циклическая р-группа порядка больше р и В -вполне факторизуемая абелева группа; 2) G=P B, где Р - D p -rpynna и В - вполне факторизуемая абелева группа; 3) G - вполне факторизуемая неединичная группа. Доказательство. Необходимость. Пусть G D(G) cD(G)Z(G). Покажем, что G является группой одного из типов 1)-3). В силу леммы 4.4.1 достаточно показать, что J(G)=1. Допустим, что J(G) 1, М и К - конечные непустые подмножества как в условии ( ).
