Содержание к диссертации
Введение
1 Системы корней коксетеровского типа 23
1.1 Определение системы корней коксетеровского типа 24
1.2 Базис системы корней. Матрицы и графы Коксетера 26
1.3 Классификация систем корней 27
1.4 Каноническая билинейная форма 29
1.5 Конструкция систем корней и канонических билинейных форм 30
1.5.1 Системы типа Ап 30
1.5.2 Системы тина Вп 31
1.5.3 Системы типа Dn 32
1.5:4 Системы типа Е$ 33
1.5.5 Системы тина E-j 33
1.5.6 Системы типа . 34
1.5.7 Системы типа F^ 34
1.5.8 Системы типа ( 34
1.5.9 Системы типа Н$ и Н^ 35
1.5.10 Системы типа І2(р) 36
2 Операторы Дункла рационального типа 39
2.1 Определения и свойства 40
2.2 h-гармонический анализ 55
2.2.1 Разложение однородных многочленов на h-гармонические 55
2.2.2 Принцип максимума 59
2.3 Функции Бесселя как обобщенные гиперболические функции 63
2.3.1 Определение обобщенной экспоненты . 63
2.3.2 Рекуррентные соотношения 66
2.3.3 Дифференциальное уравнение для функций Бесселя 66
2.4 Специальные функции, ассоциированные с системой корней типа Go 68
2.4.1 Явный вид h-гармонических функций . 68
2.4.2 Частный случай 70
3 Универсальные» операторы Дункла 72
3.1 Основные понятия и обозначения теории «универсальных» операторов 73
3.2 Многообразие Дункла 76
3.3 Многообразие Бете 78
3.4 Доказательство теоремы 3.1.1 81
3.5 Конструкция многообразий Бете-Дункла в случае классических систем корней 86
3.5.1 Случай А 87
3.5.2 Случай D 91
3.5.3 Случай В 95
3.6 Конструкция многообразий, ассоциированных с исключительными системами корней 100
3.7 Связь «универсальных» операторов Дункла с рациональными операторами для классических систем корней 103
Литература 105
- Базис системы корней. Матрицы и графы Коксетера
- Конструкция систем корней и канонических билинейных форм
- Разложение однородных многочленов на h-гармонические
- Многообразие Бете
Введение к работе
Актуальность темы. В конце 80-х годов прошлого века Ч. Дунклом введены [8] коммутирующие между собой дифференциально-разностные операторы, являющиеся обобщением оператора взятия производной по направлению. В настоящее время они называются операторами Дункла рационального типа.
В определении операторов Дункла используется понятие системы корней, связанное с теорией комплексных полупростых групп и алгебр Ли.
Подмножество R евклидова пространства V (относительно фиксированного скалярного произведения ( | )) называется системой корней в V, если выполнены следующие условия:
(R1) Множество R конечно, порождает V и не содержит 0;
(R2) Если а Є R, то отражение sa относительно гиперплоскости, ортогональной а, оставляет множество R инвариантным;
(R3) Если а Є R, то среди кратных корню а в R содержатся
только =Ьа;
(R4) Для всех а,р ER число 2~Щ Є Z.
(а\а)
В теории дифференциально-разностных операторов условие (R4) часто отбрасывают и рассматривают операторы Дункла, ассоциированные с системами корней, которые в дальнейшем будут
называться системами корней коксетеровского типа. Классификация таких систем приведена, например, в книге Дж. Хамфри-са [20] и связана с классификацией конечных групп Коксетсра [32]. Термин «системы корней коксетеровского типа» не является общепринятым. Он вводится для того, чтобы подчеркнуть связь рассматриваемых наборов векторов с группами Коксетера.
Зафиксируем в V полупространство, граничная гиперплоскость которого не содержит корней. Совокупность корней, содержащихся в этом полупространстве, называется множеством положительных корней и обозначается R+. Выберем также семейство целых чисел ка, подчиняющихся тому условию, что для всех ,6 Є Я выполняется равенство ка — kSfia. Тогда дифференциально-разностный оператор, действующий на функции на пространстве V по правилу
ъ№ = $/(*) - *"Ма/(дыГ/(!Г)-
где д$ — дифференцирование в направлении 6 V, называется
оператором Дункла рационального типа.
s — 1 Операторы вида у , . , которые переводят функцию fix)
[а\х)
f(sax) - f{x)
в функцию , , ч -, применяются в исчислении Шубер-
та на грассманианах [35] и группах Коксетера [19]. Сами опе
раторы Дункла используются в теории специальных функций
[10, 11, 12, 26, 29]. В частности, для изучения полигармонических
[1, 2], иолитеиловых и поливолновых функций [25].
Они также оказываются тесно связанными с некоторыми представлениями вырожденных афииных алгебр Гекке [6,
24]. Кроме того, очень скоро после своего появления теория дифференциально-разностных операторов Дункла нашла многочисленные приложения в математической и теоретической физике [17, 18]. Одним из свойств операторов Дункла является тот факт, что когда векторы (Ci)i=i...dimV пространства V образуют ортонор-мированный базис , оператор Yl^l совпадает с гамильтонианом
квантовой модели Калоджеро [7, 21, 22]. С помощью операторов Дункла достигнуты значительные результаты в решении проблемы Адамара о гюйгенсовых операторах [27, 30].
На сегодняшний момент активно ведутся исследования различных обобщений операторов Дункла. Например, изучаются свойства и возможные приложения тригонометрических и эллиптических операторов Дункла [3, 4], а также свойства дифференциально-разностных операторов, ассоциированных с комплексными группами отражений [14].
Другое направление исследований но операторам Дункла состоит в изучении общих алгебраических свойств гамильтонианов моделей Калоджеро и Сазерленда. В работе В. А. Голубевой и В. П. Лексина [16] дана конструкция операторов Дункла и гамильтонианов в наиболее общей универсальной форме, пригодной для любой системы корней, соответствующей конечной группе симметрии модели. Эти, так называемые «универсальные», операторы Дункла не коммутируют и сумма их квадратов не совпадает с «универсальным» гамильтонианом типа Калоджеро. В той же
работе [16] для каждой системы корней определяются алгебраические многообразия Дункла и Бете. Ограничение коммутатора «универсальных» операторов Дункла на многообразие Дункла является нулевым оператором, а ограничение суммы квадратов «универсальных» операторов Дункла на многообразие Бете совпадает с «универсальным» гамильтонианом типа Калоджеро. Определения многообразий Бете и Дункла приведены в главе 3.
Здесь и далее, ограничением оператора С (действующего па функциях N комплексных переменных) па подмножество S С CN называется оператор, переводящий функцию / в функцию (Cf)\s-
Научная новизна.
1. Для каждой системы корней дана новая конструкция «уни
версальных» операторов Дункла и «универсального» гамильтони
ана типа Калоджеро. Показано, что многообразие Бете совпадает
с многообразием Дункла. Поэтому в дальнейшем многообразия
Бете и Дункла будут называться многообразием Бете-Дункла.
2. Для систем корней классического типа {An.BniCn)Dn)
и типа ( найдены системы независимых уравнений, опре
деляющих многообразие Бете-Дункла и вычислена размер
ность этого многообразия. Для остальных систем корней
(1*45, Е-?, Е8, Fi, #3, Щ, h(p)) указаны степени уравнений, опреде
ляющих многообразие Бете-Дункла. Для каждой системы кор
ней описаны особенности уравнений, определяющих многообразия
Бете-Дункла.
3. Показано, что для корневых систем типа Ап и Dn многообра
зие Бете-Дункла представляет собой плоскость, а для корневых
систем типа Вп и Сп — пересечение некоторого квадратичного
многообразия с многообразием Бете-Дункла, которое ассоциировано с системой Dn. Для п = 2 многообразие Бете-Дункла совпадает с многообразием Сегре. Проанализирована связь между рангом системы корней и размерностью ассоциированного с этой системой многообразия Бете-Дункла.
Показано, что многообразие Бете-Дункла, соответствующее системе корней типа ( определяется уравнениями четвертой степени и зависит от чисел ка, входящих в определение операторов Дункла. Указаны такие значения ка, при которых рассматриваемый случай редуцируется к случаю системы А^.
Установлено, что в случае систем корней типа А, и Dn, ограничение «универсальных» операторов на соответствующее многообразие Бете-Дункла совпадает с операторами Дункла рационального типа. Для системы корней типа Вп найдено линейное подмногообразие многообразия Бете-Дункла, ограничение на которое «универсальных» операторов также приводит к рациональным операторам Дункла.
Получен новый способ вывода рекуррентных соотношений и дифференциального уравнения, которым удовлетворяют функции Бесселя с использованием оператора Дункла рационального типа, ассоциированного с системой корней типа А\.
Найден общий вид функций, принадлежащих ядру оператора Дункла-Лаиласа, ассоциированного с системой корней типа ?2- Установлена их связь с многочленами Гегепбауэра и гипергеометрическими функциями.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результат диссертации о совпадении
многообразий Бете и Дункла показывают содержательность теории «универсальных» операторов. Методы и результаты исследования могут быть использованы в алгебраической геометрии (алгебраические многообразия, конфигурации гиперплоскостей, ассоциированных с конечными группами Коксстера) и математической физике (интегрируемые модели типа Калоджеро).
Апробация результатов. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж 2007); Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы — 2007», посвященная памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Креііна (Воронеж 2008); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и топологии, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 2008); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006 и 2008), а также на семинарах по геометрии и топологии многообразий малых размерностей под руководством В.П. Лексина в Коломенском государственном педагогическом институте, по уравнениям математической физики под руководством В.А. Голубевой в Коломенском государственном педагогическом институте, по аналитической теории дифференциальных уравнений под руководством Д.В. Аносова и В.П. Лексина в Математическом институте им. В.А. Стеклова Российской академии наук.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце реферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом в 110 страниц состоит из оглавления, введения, трех глав, разбитых на 16 параграфов и списка литературы, содержащего 34 наименования. Каждая глава снабжена кратким введением, где даются сжатый обзор известных результатов, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов.
Благодарности. Выражаю благодарность и глубокую признательность Д.В. Аносову, СП. Хэкало, а также участникам семинара по аналитической теории дифференциальных уравнений за внимание, помощь и сотрудничество.
Особую благодарность выражаю В.А. Голубевой за руководство и пристальное внимание к работе.
Содержание работы
Во введении обсуждается история проблемы, изучаемой в диссертационной работе. Изложены основные результаты представляемой диссертации и ее структура.
В первой главе сформулированы основные определения и утверждения, касающиеся систем корней коксетеровского типа и конечных групп, порожденных отражениями в вещественном конечномерном векторном пространстве.
Рассматривается каноническая билинейная форма, ассоциированная с приведенной и неприводимой системой корней R, которая для любых векторов х, у пространства У, порожденного Я, удовлетворяет равенству
FR(x, у) = ^2 Fn(a, x)FR(a, у).
Для каждой системы R указана связь канонической формы с исходным скалярным произведением ( j ) на V. Например, для систем корней Нз,Н4 и hip), не ассоциированных ни с какими полупростыми группами и алгебрами Ли, проведены подробные вычисления. В результате получены следующие формулы
FHMy)-^j0 '
РнЛх,у)= 30 )
тр ( ч О | у)
Вторая глава посвящена рассмотрению некоторых общих свойств операторов Дункла рационального тина. В рамках теории этих операторов проведено элементарное исследование свойств специальных функций, ассоциированных с системами корней типа А\ и Gi-
Для произвольной системы корней R определяются оператор Дункла-Лапласа Ад, действующий па пространстве веществен-нозначных функций (определенных на пространстве V) по правилу
Ahf(x) = ДДяО + J2 к
аеВ.+
2(Vf(x) j а) _ 2f(x)~f(sax)
(х\а) ' ' {х\а)2
и оператор V/t, определенный но правилу '
vhf{x)=v/(х) + ^kajy ;^,л ч
/0*0 - f(SgX)
(х | а)
где А — оператор Лапласа, V — оператор пабла, sa — отражение относительно корня а, а ка — неотрицательные числа, обладающие следующим свойством: для любого элемента w группы Коксетера выполняется равенство ка — kwa. Для произвольного вектора ( G У оператор Дункла Т% определяется формулой Tkf = (V/t/ I ). В явном виде оператор Дункла Т% задается формулой
WW=WW + y: м« і о/(ж)гГіУ»
где ( — дифференцирование в направлении .
Операторы Дункла Т и оператор Дункла-Лапласа А/, обладают многими свойствами, которые аналогичны свойствам операторов д^ и А. Например, для произвольных векторов ,77 Є V, операторы Дункла Х^ и Т^ коммутируют: Т^Т'^ = ТГ]Т^. А если {/}г=і,...,(іітУ — ортоиормированный базис пространства V, то
!")
Е2| = д»,
г=1
Ключевым звеном в доказательстве этих свойств оказывается тождество Дункла [8], справедливость которого устанавливает
следующая
Лемма. Пусть В(х, у) — билинейная форма на V, такая что B(sax, say) = В(у: х) для всех а из плоскости, порожденной векторами х иу. И пусть w — произвольный неединичный элемент группы Коксетера Wr. Тогда имеет место тождество Дункла
{а
В случае системы корней тина А\ оператор Дункла действует на функции по формуле
Tf(x)=f(x) + kf{x)~f{"X),
где к — произвольное целое число. Решение дифференциально-разностного уравнения Tf — /, удовлетворяющее начальному условию /(0) = 1, выражается через функции Бесселя [31]
+оо
где (m)q — т(т + ї)... {m-\-q — 1) — символ Похгаммера. А именно, если через expfc обозначить функцию, являющуюся решением уравнения Tf = /, то [23, 28]
Используя такую интерпретацию функций Бссселя, дано новое доказательство рекуррентного соотношения
и приведен вывод дифференциапьного уравнения для функций
Бесселя:
2к ip"{x) + —(р'(х) - ср{х) = 0.
В работах Ч. Дункла с помощью дифференциалы-ю-разностпьтх операторов демонстрируется оригинальный способ получения специальных функций и вывода некоторых их свойств. Им показано, что все однородные гармонические многочлены (т. е. многочлены, являющиеся решениями уравнения Ahf(z) — 0), инвариантные относительно диэдральпых групп /2(3) и /2(4), выражаются
через функции Гейзенберга и многочлены Якоби [12]. Рассмотрены специальные функции [10, 13], ассоциированные с системами корней типа Лп_і, Вп и Dn.
С использованием тех же методов в диссертационной работе найден общий вид однородных /г-гармонических многочленов степени 6п, которые инвариантны относительно действия группы Go'.
п 3=0
где ві — zz, 02 — z6 — z6, а коэффициенты uj находятся из рекуррентного соотношения
j(2n + ks + ki— j)(ij - 2(n - .7 + ї)(к8 - ki)aj-r\-+4(n-j + 2)(n~j + l)a^2 = 0.
В последнем равенстве через ks и ki обозначены числа kQ, отвечающие коротким и длинным корням соответственно.
В частном случае, когда ks = ki = к, получено следующее
предложение
Предложение 2.4.1. h-гармонические функции, ассоциированные с системой корней типа G2, имеют вид
/М = (2^00.6^ (4Ц^-- Ь + Ъ^Ш)
f(z) = r6n-^C*(cos6Q),
где гиб— модуль и аргумент комплексного числа z соответственно, 2i*\ - гипергеометрическая функция,, а С\ — многочлен Гегепбауэра.
В третьей главе рассматриваются свойства так называемых «универсальных» операторов Дункла [16]. «Универсальные» операторы Дункла, ассоциированные с системой корней R, действуют на функциях от \R+\ комплексных переменных, где \R+\ — число положительных корней в системе R.
Пусть Fr(x, у) каноническая билинейная форма, ассоцииро
ванная с системой корней R, С'л+1 — комплексное пространство,
координаты которого занумерованы отражениями из группы Кок-
сетера Wr, упорядоченными относительно некоторого порядка,
выбранного в R. То есть вектор и = (;uSa)aeR+.
Действие Wr на Од+1 определим следующим образом:
wuSa = sw(a)uWSaW-i, Va Є R+,
{
1, если іиа Є R+; —1, если wa ф R+. А в пространстве комплекснозначных функций, определенных на СІД+І, группа Wr действует по формуле
(wf)(u) = f(wu).
Введем обозначение да — ——, и пусть А7 — оператор вида
uuSa
aR+ Sa
где, как и раньше, ка — набор неотрицательных целых чисел, которые удовлетворяют условию Жд-инвариантности:
kwa ~ ка, для всех w Є Wr.
Определим также «универсальные» операторы Дункла
V7 = ~>7 + Ау, для j Є Rw «универсальный» гамильтониан типа Калоджсро
O.S&R+ a&R+ s<*
Равенство [V7, Vs] = 0 справедливо на подмножестве (с. 7) пространства С'д+', которое называется многообразием Дункла и определяется системой уравнений
У _, как/з - і l = о, где w Є WR.
a,/3GR+ U*UaP
SaSf}=W
Аналогично, соотношение Y2, ^7 — ~Hc выполняется лишь
7ЄД+
на подмножестве (с. 7) пространства С'д+', которое называется многообразием Бете и определяется системой уравнений
us uSrt
Е kakfi^^l = 0, где w Є WS.
' * пі її _
SaSf)=W
Далее доказывается следующая теорема.
Теорема 3.1.1. Многообразия Бете и Дункла, построенные для произвольной системы корней коксетеровского типа, совпадают.
Таким образом, все результаты, полученные для многообразия Бете Mb{R), останутся справедливыми и для многообразия Дункла Md(R). Поэтому в дальнейшем многообразия Бете и Дункла называются многообразиями Бете-Дункла.
Затем описывается строение многообразий Бете-Дункла, ассоциированных с классическими системами корней (тина An-i, Вп, Сп и Dn). При этом, мы используем оригинальное определение «универсальных» операторов Дункла, которое было впервые введено в работе [16]. В этом случае многообразия Бете и Дункла являются подмножествами пространства С'д1 и задаются системами уравнений
V к k, FR{a-e) = о
sasg~w
V- , , Ыъ
aMR+ {Ua - U-a){up - U-p)
Sa8f3=W
соответственно, где 7, 5 Є R, w Є W(R).
В случае систем корней типа Ап-\ и Dn соответствующие многообразия Бете определяются системами линейных уравнений, т. е. являются плоскостями в комплексном пространстве размерностей 2п(п — 1) и п2 соответственно.
Многообразие Бете, ассоциированное с Вп, определяется системой, которая состоит из линейных уравнений и уравнений второй степени.
Пусть (e;)i
Dn; векторы c*;j, /3^-, 7; = Є{ — положительную подсистему системы корней типа Вп. Координаты пространства С'д', которые отвечают положительным корням ац, (3^, і < j, и 7; обозначим через и^, v^ и г#г, а координаты, которые отвечают отрицательным корням —а^, —fyj, і < j, и — 7i — через г^, г^^ и ги_$. Тогда
справедливы следующие теоремы.
Теорема 3.5.1. Многообразие Бете-Дуикла для системы Ап_і представляет собой плоскость
uij - ulk + ujk = щх -uki + ukj, 1 < j < k < n
в пространстве Cn^n_1^ с исключенными гиперплоскостями Uij —
{її — l)(n + 2)
itji — 0, где 1 < г < j < п. Его размерность равна .
Теорема 3.5.2. Многообразие Бете-Дункла для системы корней типа Dn представляет собой пересечение плоскости, которая определяется системой уравнений
Щ - Чз+і + vjJ+i = Щ% - vj+i,i + vj+i,v l
= Vi+iti - Vj+2,i - Vi+3,i+l + Vi+3ji+2, 1 < І < П - 2,
VU ~ UhJ+l ~ Vi+l,j + Vi+l,j+l —
= Vji - Vj+ij - Vjj+i + Vj+ij+i, 1 < і < j — 1, j < n
и множества
XD = C2n(n-V\ (J {и^-щ{ = 0,^--1^ = 0}.
Размерность многообразия равна и2.
Теорема 3.5.3. Многообразие Бете-Дуикла, ассоциированное с системой корней типа Вп, является пересечением поверхности, которая определяется системой уравнений
Щ - vi,j+l + Vi,3+± = Uji - Vj+l,i + Vj+ij, 1 < і < j < n, Uin — Щ,п-1 + Vn-l,n = Uni - Un-l.» + ^л,п-Ъ 1 < І < П — 1, Un-l,n — Vn-2,n-l + ^n-2,n = «n,n-l — Vn-2,n-l + ^п,п-2,
< = Vi+ij - vi+2>i - Vi+3,i+i + Vi+3,i+2, 1 < г < n - 2,
Щ — Vuj+1 — ^i+l.j + vi+l,j+l —
=3 vji - vj+i,i - vj>i+i + ^-+1,7:+1, 1 < і < j - 1, j < n,
= (ujj — Vji)(wj, — w^i — гу7- + w~j), 1 < г < j < n а множества
XBn = C2n2 \ [J {uij - Uji = 0, Vij - Vji = 0, гУі - ги_,- = 0}.
Размерность многообразия равна п2 + п + 1.
Так как система корней типа С„ двойственна по отношению к системе корней типа Вп, то многообразие Мв(Сп) будет описываться той же системой уравнений, что и Мв{Вп).
Таким образом, многообразие Бете-Дункла описано в явном виде для всех классических систем корней.
В конструкции «универсальных» операторов, которая предложена нами, многообразия Бете-Дуикла, ассоциированные с классическими системами корней определяются системами уравнений из теорем 3.5.1 — 3.5.3, в которых координаты, занумерованные отрицательными корнями, заменены нулями.
Например, многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа В% задается только одним уравнением
Uij(w; + Wj) = Vij(Wi — Wj),
которое заменой
Zq = Щ2, Z\ = г/и,
Z2~Wi~ W-2,
Z% = wi 4- w2,
приводится к виду
ZqZ-s — Z1Z2 — 0.
Последнее уравнение определяет многообразие Сегре [37].
Из перечисленных теорем нетрудно установить связь размерности многообразий Бете-Дункла, ассоциированных с классическими системами корней с рангом последних. В случае систем корней типа An и Dn размерность многообразий Бете-Дункла равна те, а в случае системы корней типа Вп — п 4- 1.
Для исключительных систем корней получены следующие результаты.
Теорема 3.6.1. Многообразие Бете Mb(G<2), ассоциированное с системой корней типа G2} является пересечением поверхности (размерность которой зависит от значений чисел ка) и множества
Если одно из чисел ка равно нулю, то Mb[G2) является гиперплоскостью. Если же они оба отличны от нуля, то многообразие Mb{G2) — четырехмерная поверхность, определяемая системой
_!_ + + + = 0,
^6>12^*1 ^1^*13 ^Si3^S3 ^6*3^23 ^323^32 ^2^12
гь-\ /Сі гСл и/Со ОгСо Огьо _
1 1 н - 1 - — -\ — = 0.
USl2USl3 USl2US23 USl3US23 U8lUS3 ^. US2US3
Предложение 3.6.1. Многообразия Бете-Дункла, ассоциированные с системами корней типа Eq, Ej и Eg, являются плоскостями.
Предложение 3.6.2. Многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа F^, определяется системой линейных уравнений и уравнений второй степени.
Предложение 3.6.3. Многообразия Бете-Дункла, ассоциированные с системами корней типа Н% и И^, определяются системами линейных уравнений и уравнений третьей степени.
Предложение 3.6.4. Многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа hip), определяется системой
р — 1І г
—-— уравнений степени р — 2, где [х\ обозначает целую часть
числа х.
В заключение рассматриваются ограничения «универсальных» операторов Дункла, ассоциированных с классическими системами корней, на многообразия Бете-Дункла. Доказаны следующие теоремы.
Предложение 3.7.1. Ограничения «универсальных» операторов Дуикла, ассоциированных с системой корней типа Ап-\ или Dn. па многообразие Бете-Дункла совпадают с рациональными операторами Дункла. В некоторой системе координат они записываются в виде
v^-^ + E^tK)^
i
соответственно.
Предложение 3.7.2. Ограничения операторов Дункла V7, ассоциированных с системой корней типа Вп, на плоскость
{
Uij = Wi — шл 1 < і < n, Vij — Wj + wv 1 < і < п.
совпадают с рациональными операторами Дункла.
Таким образом, прсдложетгая 3.7.1 и 3.7.2 устанавливают связь «универсальных;» операторов Дункла с операторами Дункла рационального типа.
Базис системы корней. Матрицы и графы Коксетера
В определении операторов Дункла используется понятие системы корней, связанное с теорией комплексных полупростых групп и алгебр Ли. Подмножество R евклидова пространства V (относительно фиксированного скалярного произведения ( )) называется системой корней в V, если выполнены следующие условия: (R1) Множество R конечно, порождает V и не содержит 0; (R2) Если а Є R, то отражение sa относительно гиперплоскости, ортогональной а, оставляет множество R инвариантным; (R3) Если а Є R, то среди кратных корню а в R содержатся только =Ьа; (R4) Для всех а,р ER число 2 Щ Є Z. (а\а) В теории дифференциально-разностных операторов условие (R4) часто отбрасывают и рассматривают операторы Дункла, ассоциированные с системами корней, которые в дальнейшем будут 4 называться системами корней коксетеровского типа. Классификация таких систем приведена, например, в книге Дж. Хамфри-са [20] и связана с классификацией конечных групп Коксетсра [32]. Термин «системы корней коксетеровского типа» не является общепринятым. Он вводится для того, чтобы подчеркнуть связь рассматриваемых наборов векторов с группами Коксетера. Зафиксируем в V полупространство, граничная гиперплоскость которого не содержит корней.
Они также оказываются тесно связанными с некоторыми представлениями вырожденных афииных алгебр Гекке [6, 24]. Кроме того, очень скоро после своего появления теория дифференциально-разностных операторов Дункла нашла многочисленные приложения в математической и теоретической физике [17, 18]. Одним из свойств операторов Дункла является тот факт, что когда векторы (Ci)i=i...dimV пространства V образуют ортонор-мированный базис , оператор Yl l совпадает с гамильтонианом квантовой модели Калоджеро [7, 21, 22]. С помощью операторов Дункла достигнуты значительные результаты в решении проблемы Адамара о гюйгенсовых операторах [27, 30].
На сегодняшний момент активно ведутся исследования различных обобщений операторов Дункла. Например, изучаются свойства и возможные приложения тригонометрических и эллиптических операторов Дункла [3, 4], а также свойства дифференциально-разностных операторов, ассоциированных с комплексными группами отражений [14].
Другое направление исследований но операторам Дункла состоит в изучении общих алгебраических свойств гамильтонианов моделей Калоджеро и Сазерленда. В работе В. А. Голубевой и В. П. Лексина [16] дана конструкция операторов Дункла и гамильтонианов в наиболее общей универсальной форме, пригодной для любой системы корней, соответствующей конечной группе симметрии модели. Эти, так называемые «универсальные», операторы Дункла не коммутируют и сумма их квадратов не совпадает с «универсальным» гамильтонианом типа Калоджеро. В той же работе [16] для каждой системы корней определяются алгебраические многообразия Дункла и Бете. Ограничение коммутатора «универсальных» операторов Дункла на многообразие Дункла является нулевым оператором, а ограничение суммы квадратов «универсальных» операторов Дункла на многообразие Бете совпадает с «универсальным» гамильтонианом типа Калоджеро. Определения многообразий Бете и Дункла приведены в главе 3.
Здесь и далее, ограничением оператора С (действующего па функциях N комплексных переменных) па подмножество S С CN называется оператор, переводящий функцию / в функцию (Cf)\s Научная новизна. 1. Для каждой системы корней дана новая конструкция «уни версальных» операторов Дункла и «универсального» гамильтони ана типа Калоджеро. Показано, что многообразие Бете совпадает с многообразием Дункла. Поэтому в дальнейшем многообразия Бете и Дункла будут называться многообразием Бете-Дункла. 2. Для систем корней классического типа {An.BniCn)Dn) и типа ( найдены системы независимых уравнений, опре деляющих многообразие Бете-Дункла и вычислена размер ность этого многообразия. Для остальных систем корней (1 45, Е-?, Е8, Fi, #3, Щ, h(p)) указаны степени уравнений, опреде ляющих многообразие Бете-Дункла. Для каждой системы кор ней описаны особенности уравнений, определяющих многообразия Бете-Дункла. 3. Показано, что для корневых систем типа Ап и Dn многообра зие Бете-Дункла представляет собой плоскость, а для корневых систем типа Вп и Сп — пересечение некоторого квадратичного многообразия с многообразием Бете-Дункла, которое ассоциировано с системой Dn. Для п = 2 многообразие Бете-Дункла совпадает с многообразием Сегре. Проанализирована связь между рангом системы корней и размерностью ассоциированного с этой системой многообразия Бете-Дункла. 4. Показано, что многообразие Бете-Дункла, соответствующее системе корней типа ( определяется уравнениями четвертой степени и зависит от чисел ка, входящих в определение операторов Дункла. Указаны такие значения ка, при которых рассматриваемый случай редуцируется к случаю системы А . 5. Установлено, что в случае систем корней типа А, и Dn, ограничение «универсальных» операторов на соответствующее многообразие Бете-Дункла совпадает с операторами Дункла рационального типа. Для системы корней типа Вп найдено линейное подмногообразие многообразия Бете-Дункла, ограничение на которое «универсальных» операторов также приводит к рациональным операторам Дункла. 6. Получен новый способ вывода рекуррентных соотношений и дифференциального уравнения, которым удовлетворяют функции Бесселя с использованием оператора Дункла рационального типа, ассоциированного с системой корней типа А\. 7. Найден общий вид функций, принадлежащих ядру оператора Дункла-Лаиласа, ассоциированного с системой корней типа ?2- Установлена их связь с многочленами Гегепбауэра и гипергеометрическими функциями.
Конструкция систем корней и канонических билинейных форм
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результат диссертации о совпадении многообразий Бете и Дункла показывают содержательность теории «универсальных» операторов. Методы и результаты исследования могут быть использованы в алгебраической геометрии (алгебраические многообразия, конфигурации гиперплоскостей, ассоциированных с конечными группами Коксстера) и математической физике (интегрируемые модели типа Калоджеро).
Апробация результатов. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж 2007); Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы — 2007», посвященная памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Креііна (Воронеж 2008); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и топологии, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 2008); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006 и 2008), а также на семинарах по геометрии и топологии многообразий малых размерностей под руководством В.П. Лексина в Коломенском государственном педагогическом институте, по уравнениям математической физики под руководством В.А. Голубевой в Коломенском государственном педагогическом институте, по аналитической теории дифференциальных уравнений под руководством Д.В. Аносова и В.П. Лексина в Математическом институте им. В.А. Стеклова Российской академии наук. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце реферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом в 110 страниц состоит из оглавления, введения, трех глав, разбитых на 16 параграфов и списка литературы, содержащего 34 наименования. Каждая глава снабжена кратким введением, где даются сжатый обзор известных результатов, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов.
Благодарности. Выражаю благодарность и глубокую признательность Д.В. Аносову, СП. Хэкало, а также участникам семинара по аналитической теории дифференциальных уравнений за внимание, помощь и сотрудничество. Особую благодарность выражаю В.А. Голубевой за руководство и пристальное внимание к работе. Содержание работы Во введении обсуждается история проблемы, изучаемой в диссертационной работе. Изложены основные результаты представляемой диссертации и ее структура. В первой главе сформулированы основные определения и утверждения, касающиеся систем корней коксетеровского типа и конечных групп, порожденных отражениями в вещественном конечномерном векторном пространстве. Рассматривается каноническая билинейная форма, ассоциированная с приведенной и неприводимой системой корней R, которая для любых векторов х, у пространства У, порожденного Я, удовлетворяет равенству FR(x, у) = 2 Fn(a, x)FR(a, у).
Для каждой системы R указана связь канонической формы с исходным скалярным произведением ( j ) на V. Например, для систем корней Нз,Н4 и hip), не ассоциированных ни с какими полупростыми группами и алгебрами Ли, проведены подробные вычисления. В результате получены следующие формулы FHMy)- j0 РнЛх,у)= 30 ) тр ( ч О у) Вторая глава посвящена рассмотрению некоторых общих свойств операторов Дункла рационального тина.
В работах Ч. Дункла с помощью дифференциалы-ю-разностпьтх операторов демонстрируется оригинальный способ получения специальных функций и вывода некоторых их свойств. Им показано, что все однородные гармонические многочлены (т. е. многочлены, являющиеся решениями уравнения Ahf(z) — 0), инвариантные относительно диэдральпых групп /2(3) и /2(4), выражаются через функции Гейзенберга и многочлены Якоби [12]. Рассмотрены специальные функции [10, 13], ассоциированные с системами корней типа Лп_і, Вп и Dn.
Разложение однородных многочленов на h-гармонические
С использованием тех же методов в диссертационной работе найден общий вид однородных /г-гармонических многочленов степени 6п, которые инвариантны относительно действия группы Go . п 3=0 где ві — zz, 02 — z6 — z6, а коэффициенты UJ находятся из рекуррентного соотношения j(2n + ks + ki— j)(ij - 2(n - .7 + ї)(к8 - ki)aj-r\-+4(n-j + 2)(n j + l)a 2 = 0. В последнем равенстве через ks и ki обозначены числа kQ, отвечающие коротким и длинным корням соответственно. В частном случае, когда ks = ki = к, получено следующее предложение Предложение 2.4.1. h-гармонические функции, ассоциированные с системой корней типа G2, имеют вид /М = (2 00.6 (4Ц -- Ь + Ъ Ш) или f(z) = r6n- C (cos6Q), где гиб— модуль и аргумент комплексного числа z соответственно, 2i \ - гипергеометрическая функция,, а С\ — многочлен Гегепбауэра. В третьей главе рассматриваются свойства так называемых «универсальных» операторов Дункла [16]. «Универсальные» операторы Дункла, ассоциированные с системой корней R, действуют на функциях от \R+\ комплексных переменных, где \R+\ — число положительных корней в системе R.
Пусть FR(X, у) каноническая билинейная форма, ассоцииро
ванная с системой корней R, С л+1 — комплексное пространство, координаты которого занумерованы отражениями из группы Кок сетера WR, упорядоченными относительно некоторого порядка, выбранного в R. То есть вектор и = (;uSa)aeR+. Действие WR на Од+1 определим следующим образом: wuSa = sw(a)uWSaW-i, Va Є R+, где { 1, если іиа Є R+; —1, если wa ф R+. А в пространстве комплекснозначных функций, определенных на СІД+І, группа WR действует по формуле (wf)(u) = f(wu). д Введем обозначение да — ——, и пусть А7 — оператор вида uuSa aR+ Sa где, как и раньше, ка — набор неотрицательных целых чисел, которые удовлетворяют условию Жд-инвариантности: kwa ка, для всех w Є WR. Определим также «универсальные» операторы Дункла V7 = 7 + Ау, для j Є Rw «универсальный» гамильтониан типа Калоджсро O.S&R+ a&R+ s Равенство [V7, Vs] = 0 справедливо на подмножестве (с. 7) пространства С д+ , которое называется многообразием Дункла и определяется системой уравнений У _, как/з - і L = о, где w Є WR. a,/3GR+ U UaP SaSf}=W Аналогично, соотношение Y2, 7 — Hc выполняется лишь 7ЄД+ на подмножестве (с. 7) пространства С д+ , которое называется многообразием Бете и определяется системой уравнений us uSrt Е kakfi l = 0, где w Є WS. пі її _ SaSf)=W Далее доказывается следующая теорема.
Таким образом, все результаты, полученные для многообразия Бете MB{R), останутся справедливыми и для многообразия Дункла MD(R). Поэтому в дальнейшем многообразия Бете и Дункла называются многообразиями Бете-Дункла. Затем описывается строение многообразий Бете-Дункла, ассоциированных с классическими системами корней (тина An-i, Вп, Сп и Dn). При этом, мы используем оригинальное определение «универсальных» операторов Дункла, которое было впервые введено в работе [16]. В этом случае многообразия Бете и Дункла являются подмножествами пространства С д1 и задаются системами уравнений V к k, FR{a-e) = о sasg w И V- , , Ыъ x)FR{5t Р) - (7, P)FR{5, а) п aMR+ {Ua - U-a){up - U-p) Sa8f3=W соответственно, где 7, 5 Є R, w Є W(R). В случае систем корней типа Ап-\ и Dn соответствующие многообразия Бете определяются системами линейных уравнений, т. е. являются плоскостями в комплексном пространстве размерностей 2п(п — 1) и п2 соответственно. Многообразие Бете, ассоциированное с Вп, определяется системой, которая состоит из линейных уравнений и уравнений второй степени. Пусть (e;)i j „, стандартный базис пространства, натянутого на R. Известно, что векторы a,j = Є{ — е , і j, образуют положительную подсистему системы корней типа An_i; векторы ац и fyj = ЄІ + Cj — положительную подсистему системы корней типа Dn; векторы c ;j, /3 -, 7; = Є{ — положительную подсистему системы корней типа Вп. Координаты пространства С д , которые отвечают положительным корням ац, (3 , і j, и 7; обозначим через и , v и г#г, а координаты, которые отвечают отрицательным корням —а , —fyj, і j, и — 7i — через г , г и ги_$. Тогда справедливы следующие теоремы.
Многообразие Бете
Так как система корней типа С„ двойственна по отношению к системе корней типа Вп, то многообразие Мв(Сп) будет описываться той же системой уравнений, что и Мв{Вп). Таким образом, многообразие Бете-Дункла описано в явном виде для всех классических систем корней. В конструкции «универсальных» операторов, которая предложена нами, многообразия Бете-Дуикла, ассоциированные с классическими системами корней определяются системами уравнений из теорем 3.5.1 — 3.5.3, в которых координаты, занумерованные отрицательными корнями, заменены нулями. Из перечисленных теорем нетрудно установить связь размерности многообразий Бете-Дункла, ассоциированных с классическими системами корней с рангом последних. В случае систем корней типа An и Dn размерность многообразий Бете-Дункла равна те, а в случае системы корней типа Вп — п 4- 1. Предложение 3.6.2. Многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа F , определяется системой линейных уравнений и уравнений второй степени. Предложение 3.6.3. Многообразия Бете-Дункла, ассоциированные с системами корней типа Н% и И , определяются системами линейных уравнений и уравнений третьей степени. Предложение 3.6.4. Многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа hip), определяется системой р — 1І г —-— уравнений степени р — 2, где [х\ обозначает целую часть числа х. В заключение рассматриваются ограничения «универсальных» операторов Дункла, ассоциированных с классическими системами корней, на многообразия Бете-Дункла. Доказаны следующие теоремы. Предложение 3.7.1. Ограничения «универсальных» операторов Дуикла, ассоциированных с системой корней типа Ап-\ или Dn. па многообразие Бете-Дункла совпадают с рациональными операторами Дункла. В некоторой системе координат они записываются в виде V - + E TK) i j г 3 U соответственно. Предложение 3.7.2. Ограничения операторов Дункла V7, ассоциированных с системой корней типа Вп, на плоскость { Uij = Wi — шл 1 і n, Vij — Wj + wv 1 і п. совпадают с рациональными операторами Дункла. Таким образом, прсдложетгая 3.7.1 и 3.7.2 устанавливают связь «универсальных;» операторов Дункла с операторами Дункла рационального типа. Глава 1 Системы корней коксетеровского типа В этой главе вводится используемое в дальнейшем понятие системы корней коксетеровского типа, которое включает в себя как кристаллографические системы корней (системы, связанные с по-лунростыми комплексными алгебрами Ли), так и некристаллографические [20].
Здесь собраны предварительные сведения о системах корней и связанных с ними понятиях: группах Коксетера, матрицах и графах Коксетера, канонических билинейных формах. Приведена классификация конечных групп Коксетера и соответствующих им систем корней. Новым результатом в этой главе является вычисление канонических билинейных форм, ассоциированных с некристаллографическими системами корней.
Доказательства сформулированных ниже утверждений и дополнительные сведения о системах корней можно найти, например, в [20],[32],[34] и [36]. В дальнейшем часто вместо термина «система корней коксетс-ровского типа» для краткости будет использоваться термин «система корней».
Пусть R — система корней в 7. В группе GL(V) невырожденных линейных преобразований векторного пространства V рассмотрим подгруппу WR, порожденную отражениями sa, где а Є R. Эта группа называется группой Коксетера. ассоциированной с системой корней R. Группа WR переставляет элементы множества R, которое конечно и порождает V. Это позволяет отождествить WR с подгруппой симметрической группы на R. В частности, группа WR конечна. Отметим, что группа WR, отвечающая кристаллографической системе корней R, называется группой Вейля системы R. 2а Рассмотрим множество Rw. состоящее из векторов av — -.—;—г. v/ . ( I 0 Так как векторы а и а коллинеарны, то множество R также является системой корней (условия (R1) ---- (R3), очевидно, выполняются) и называется двойственной системой для R. Нетрудно видеть, что система корней, двойственная к кристаллографической, сама будет кристаллографической. Справедливость условия R(4) следует из следующей цепочки равенств: Группа WR канонически изоморфна группе WRV . 1.2 Базис системы корней. Матрицы и графы Коксетера Определение 1.2.1. Подмножество RQ в R называется базисом системы R, если (81) RQ является базисом в V, (82) каждый корень В можно записать в виде В = 2aeR kaa, где ненулевые коэффициенты ка целые и имеют один и тот же знак для всех а. Корни из RQ называют простыми. Очевидно, что i?o = п. Известно, что базис существует для любой системы корней (доказательство этого утверждения см. в [20], [32]). Если В — YlaeRo аа и все неотрицательны, то корень В называется положительным. Множество всех положительных корней обозначается через R+. Упорядочим множество простых корней RQ — (cti, «2, , О- /г) некоторым образом. Для краткости отражение относительно простого корня сц будем обозначать символом s . Через тц обозначим порядок произведения SfSj. Квадратная матрица MR порядка п, составленная из чисел го,,-, называется матрицей Коксетера, ассоциированной с группой Коксетера WR.
