Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса Пальвелев, Роман Витальевич

Введение к работе

Актуальность темы.

Диссертация посвящена изучению свойств (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса.

Абелева (2+1)-мерная модель Хиггса возникает в теории сверхпроводимости. Несмотря на то, что указанная модель изучается с 50-х годов XX века, когда она возникла при построении В.Гинзбургом и Л.Ландау феноменологической теории сверхпроводимости (предложенный ими¹ лагранжиан в случае бесконечного заполняющего все пространство сверхпроводника сводится к лагранжиану указанной модели), многие важные задачи, возникающие в этой модели, до сих пор не решены.

Согласно теории Гинзбурга-Ландау, энергия бесконечного сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, равна²

А)Ф

87г 4m

+ а|Ф|² + ^|Ф|⁴1 А. (1)

Здесь Ф — комплекснозначная функция (параметр порядка), А — электромагнитный вектор-потенциал, В = rot Л — магнитная индукция, еит — соответственно заряд и масса электрона, Н — постоянная Планка, с — скорость света, а < 0 и 6 > 0 — физические константы, характеризующие сверхпроводник.

Статическая двумерная модель Хиггса является редукцией модели (1) в предположении, что величины А и Ф не зависят от одной из координат (например, от х ). Перемасштабируя координаты и величины А и Ф, можно избавиться от физических констант и свести выражение (1) к выписанному ниже функционалу энергии модели Хиггса (2). Входящий в него параметр А имеет следующий физический смысл: случай А < 1 отвечает сверхпроводникам первого рода, а А > 1 — второго. Критический случай А = 1, изучаемый в диссертации, соответствует пограничному значению между сверхпроводниками первого и второго рода и наиболее интересен с математической точки зрения.

Кроме теории сверхпроводимости, абелева модель Хиггса возникает также в некоторых моделях квантовой теории поля³ и в космологических теориях . Из чисто математических приложений абелевой модели Хиггса можно

^:B.Л.Гинзбург, Л.Д.Ландау. К теории сверхпроводимости. ЖЭТФ 20 (1950), вып.12, ее.1064-1081. ²Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Статистическая физика, часть 2. М.: Наука, 1978. ³Н. В. Nielsen and P. Olesen (1973). Vortex-line models for dual strings, Nuclear Physics В 61, pp. 45-61. ⁴T.W.B. Kibble, Topology of cosmic, domains and strings, Journal of Physics A: Mathematical and General 9 (1976), №8. pp. 1387-1398.

упомянуть использование решений статической модели К.Таубсом⁵ при доказательстве связи между инвариантами Громова и Зайберга-Виттена четырехмерных многообразий.

Двумерная абелева модель Хиггса задается следующим функционалом энергии:

У(А ^ф) = \1 (Wl² + ^FS + ^(І^ф|² - !)²) dxdy, (2)

где A = —iA\dx — iA^dy - калибровочный потенциал с гладкими веществен-нозначными коэффициентами А\, Aна М², Ф = Фі + ІФ2 - поле Хиггса, задаваемое гладкой комплекснозначной функцией на плоскости К. , А > 0 -константа. Через F\i := д\А<і — д^А\ обозначается калибровочное поле, порождаемое потенциалом (А\, А2). Здесь и далее д\ := д_х, д^ '= д_у.

Функционал энергии V инвариантен относительно калибровочных преобразований следующего вида:

А і—у А = A-idx , Ф і—> Ф = е^гхФ ,

где х — гладкая вещественнозначная функция на К. .

Решения статической двумерной модели Хиггса с конечной энергией при А = 1 полностью описаны ⁶. Именно, всякое такое решение является решением одной из двух систем первого порядка (системы вихревых или системы антивихревых уравнений), а всякое решение каждой из этих систем однозначно (с точностью до калибровочной эквивалентности) определяется нулями функции Ф, число которых конечно. Решения системы вихревых уравнений с TV нулями называются TV-вихревыми, а антивихревых — TV-антивихревыми. Поскольку решения антивихревых уравнений связаны с решениями вихревых уравнений простыми формулами, можно ограничиться только изучением TV-вихревых решений.

Пространство модулей TV-вихревых решений, обозначаемое через Л4м, по определению является множеством классов калибровочной эквивалентности TV-вихревых решений. Это пространство можно отождествить cTV-й симметрической степенью S С, т. е. с множеством неупорядоченных наборов TV комплексных чисел (совпадающих с нулями Ф). Множество S С можно, в свою очередь, отождествить с пространством С , сопоставляя каждому набору {Z\,... , Zn} полином p(z) с нулями Z\,... , Z^ и старшим коэффициентом 1:

N , о JV-1

p(z) = (z-Z_l)...(z- Z_N) = z¹" + Si^"¹ + + S_N._lZ + S.

⁵Taubes C.H. Gr^- SW: From pseudo-holomorphic curves to Seiberg-Witten solutions, J. Diff. Geom. 51 (1999), pp. 203-334.

^eA. Jaffe, C. Taubes. Vortices and Monopoles. Boston: Birkhauser, 1982.

Числа S\,... , Sn могут служить координатами на пространстве модулей А4м- Введм также вещественные координаты q^¹, ц = 1,2,..., 27V, полагая ^-1 _{= ReS}. _{и q}2j _{= imSj для} j = 1,... ,7V.

Следует отметить, что при А 7^ 1 про решения статической модели известно гораздо меньше. Доказано , что при всех А > 0 функционал V имеет критические точки, аналогичные TV-вихревым решениям, все нули которых совпадают. Они имеют вид

Ai = — x²na(r)/r, А2 = x^lna(r)/r₁ , Ф = е^шаЩ2:/(г),где г = \z\.

Динамическая (2+1)-мерная модель Хиггса задается функционалом действия

*2

S(A Ф) = \J^dt /{ (1^оФ|² + ^1 +

*i R²

- МАФ|² + |₂Ф|² + F²₂ + ^(|Ф|² - I)² J Xdxdy.

Здесь

1. <&(t,x,y) - гладкая комплекснозначная функция;

2. компоненты связности Aj(t,x,y) - гладкие вещественнозначные функции, j = 0,1,2;

3. DjQ := дjФ — iAjQ - ковариантная производная, j = 0,1, 2;

4. Fjk '.= djAk — dkAj - компоненты формы кривизны, j, к = 0,1, 2, j 7^ &, с <% = dt, ді = д_х, д₂ = д_у]

5. А > 0 константа (параметр модели).

Функционал действия можно представить в стандартной форме

S= f(T-V)dt

где потенциальная энергия V задается формулой (2), а кинетическая энергия Т равна

Т = \ [ (|Д>Ф|² + І& + Fl₂)dxdy.

⁷B.J. Plohr, The behavior at infinity of isotropic vortices and monopoles, Journal of Math. Phys. 22 (1981), pp. 2184-2190.

Этот функционал инвариантен относительно динамических калибровочных преобразований вида

і,- = А,- + а,х ф = є*ф,

где x(ti^xiV) ~ гладкая вещественнозначная функция.

Выбором калибровки можно добиться выполнения условия Aq = 0 (так называемая временная калибровка). В этом случае

Т = 1(\\доЦЬ + \\доА₁\\1, + \\доА₂\\1₂).

Тем самым, функционал Т определяет метрику на пространстве -Мдг, которая называется кинетической. Первая глава диссертации посвящена точному описанию этой метрики и доказательству ее гладкости в симметрических координатах S\,... , Sn- Изучение кинетической метрики представляет особый интерес, поскольку с ее помощью можно строить приближенные динамические решения (2+1)-мерной модели.

Динамическими решениями (2+1)-мерной модели называются решения уравнений Эйлера-Лагранжа для действия

Статические решения указанных уравнений — это в точности решения статической двумерной абелевой модели Хиггса. Таким образом, эти решения полностью описаны. Однако динамические решения не допускают сколь-нибудь полного описания.

В случае А = 1 можно получить приближенное описание динамических решений, следуя идее Мэнтона⁸ для сходной задачи о динамике магнитных монополей (возникающей в неабелевой (3+1)-мерной модели Хиггса с калибровочной группой SUq). П.Рубак впервые применил⁹ эту идею для изучения динамических решений (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса. Указанная идея, называемая адиабатическим принципом, состоит в том, чтобы рассматривать геодезические на пространстве модулей статических решений Л4м относительно кинетической метрики в качестве приближения к динамическим решениям уравнений Эйлера-Лагранжа, описывающим траектории системы из N медленно движущихся вихрей. Несмотря на то, что идея Мэнтона основана на эвристических соображениях, она вызвала к жизни целый ряд работ, посвященных описанию геодезических на пространствах статических решений.

Первая попытка обоснования адиабатического принципа была предпринята в статье¹⁰ для близкой модели Хиггса с масштабным параметром А = 1.

⁸N. S. Manton. A remark on the scattering of BPS monopoles. Phys. Lett. B110 (1982), pp.54-56. ⁹P.J. Ruback. Vortex string motion in the Abelian Higgs model. Nucl. Phys. B296 (1988), pp.669-678. ¹⁰D. Stuart. Dynamics of Abelian Higgs vortices in the near Bogomolny regime. Comm. Math. Phys. 159 (1994), pp.51-91.

Следует отметить, что автор работы¹⁰ также обосновал адиабатический принцип в сходных задачах о динамике магнитных монополей¹¹ и вихрей на сфере¹². Вторая глава диссертации посвящена обоснованию адиабатического принципа.

К сожалению, вычислить метрику в явном виде не удается даже в случае N = 2. Однако доказан ряд свойств кинетической метрики. Указанная метрика инвариантна относительно сдвигов плоскости, поворотов и комплексного сопряжения. Более того, Т.Сэмолс доказал¹³, что имеется изометричное разложение

M_N = Мы х С,

^л \n = M_N

где M_N — подмногообразие TV-вихревых конфигураций с центром масс в нуле, т.е. множество точек Л^дг, для которых S\ = 0. В этой же статье доказано, что кинетическая метрика является кэлеровой. Авторы статьи¹⁴ вычислили кинетическую метрику в случае N = 2.

Довольно большое число работ посвящено изучению конкретных случаев динамики вихрей. Например, широко изучалась задача о взаимодействии двух движущихся вихрей. В статьях¹³'¹⁵'¹⁶'¹⁷'¹⁸ содержатся результаты численного моделирования для этой задачи. В уже упоминавшихся работах' , а также в статье¹⁹ изучалась задача о лобовом столкновении двух вихрей. При этом авторы первых двух из этих работ использовали геодезическое приближение, а авторы последней строили решения динамических уравнений при всех значениях А > 0, пользуясь теоремой Коши-Ковалевской. В этих работах было показано, что после лобового столкновения траектории вихрей поворачиваются на угол тг/2, т.е. вихри рассеиваются под прямым углом. В статье отмечается, что, используя адиабатический принцип, этот результат можно получить, пользуясь тем, что кинетическая метрика является гладкой в симметрических координатах.

В третьей главе диссертации рассмотрено обобщение задачи о лобовом столкновении двух вихрей: исследуется поведение N вихрей при симметрич-

ⁿD. Stuart, The Geodesic Approximation for the Yang-Mills-Higgs Equations, Commun. Math. Phys. 166 (1994), pp. 149-190.

¹²D.M.A. Stuart, Periodic solutions of the Abelian Higgs model and rigid rotation of vortices, Geom. and Funct. Anal. 9 (1999), pp.568-595.

¹³T. M. Samols. Vortex scattering. Comm. Math. Phys. 145 (1992), pp.149-179.

¹⁴A. Г. Сергеев, С. В. Чечин. О рассеянии медленно движущихся вихрей в абелевой (2+1)-мерной модели Хиггса. Теоретическая и математическая физика, 85 (1990), №3, ее. 397-411.

¹⁵E.P.S.Shellard. Cosmic string interactions, Nucl. Phys. B283 (1987), pp.624-656.

^leK.J.M. Moriarty, E. Myers, and C. Rebbi, Dynamical interactions of cosmic strings and flux vortices, Phys. Lett. В 207 (1988), pp.411-418.

¹⁷E. Myers, C. Rebbi, and R. Strilka, Study of the interaction and scattering of vortices in the Abelian Higgs (or Ginzburg-Landau) model, Phys. Rev. В 45 (1989), pp.1355-1364.

¹⁸E.P.S.Shellard, P.J.Ruback. Vortex Scattering in Two Dimensions, Physics Letters В 209, №.2-3, pp.262-270.

¹⁹F. Abdelwahid, J. Burzlaff. Existence theorem for 90 vortex-vortex scattering. J. Math. Phys. 35 (1994), pp.4651-4660.

ном лобовом столкновении, т.е. при одновременном столкновении TV вихрей под равными углами. При N = 2 получается случай лобового столкновения двух вихрей. Случай рассеяния TV вихрей при симметричном столкновении был описан на «физическом» уровне строгости в статьях²⁰'²¹. (Следует заметить, что авторы последней из упомянутых работ, как и авторы статьи , строили решения динамических уравнений при всех значениях Л > 0 с помощью теоремы Коши-Ковалевской.) При симметричном столкновении TV вихрей происходит рассеяние на угол тг/N, т.е. траектории вихрей поворачиваются после столкновения на угол тг/N. В главе 3 показано, как получить этот результат в адиабатическом приближении с помощью свойств гладкости и симметрии кинетической метрики.

Цель работы.

Изучение динамики TV-вихревых решений в (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

6. Доказано, что кинетическая метрика на пространстве модулей TV-вихревых решений в (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса является гладкой в координатах, задаваемых симметрическими функциями положений вихрей.

7. Дано обоснование адиабатического принципа в абелевой (2+1)-мерной модели Хиггса.

8. Найдены геодезические кинетической метрики на пространстве модулей TV-вихревых решений, описывающих рассеяние системы из TV вихрей при симметричном лобовом столкновении.

Основные методы исследования.

В диссертации используются методы функционального анализа, комплексного анализа и теории дифференциальных уравнений.

²⁰R. MacKenzie. Remarks on gauge vortex scattering. Phys. Lett. B352 (1995), pp.96-98; hep-th/9503044. ²¹K. Arthur, J. Burzlaff. Existence, theorems for п/п vortex scattering. Lett. Math. Phys. 36 (1996), №3, pp.311-318; hep-th/9503010.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять интерес для специалистов, изучающих классические модели калибровочной теории поля.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на заседаниях научного семинара по многомерному комплексному анализу им. А.Г.Витушкина под руководством проф. В.К.Белошапки, член-корр. РАН С.Ю.Немировского, проф. А.Г.Сергеева, член-корр. РАН Е.М.Чирки (механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова) в 2006г., 2011г. Кроме того, результаты диссертации докладывались на заседании научного семинара отдела математической физики Математического института им. В.А.Стеклова РАН под руководством акад. РАН В.С.Владимирова и член-корр. РАН И.В.Воловича в 2011г.

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:

Международная конференция по геометрическим методам в физике (Беловежа, Польша, 2-8 июля 2006 г.)

Второе российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Москва, 5-11 октября 2008 г.)

Летняя школа-конференция по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа при Ярославском государственном педагогическом университете (Ярославль, 11-16 мая 2009 г.)

Международная школа-конференция по геометрии и квантованию (Люксембург, 7-11 сентября 2009 г.).

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 3 работах автора. Список работ приведен в конце автореферата [1]—[3].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации — 100 страниц, библиография включает 30 наименований.

Похожие диссертации на Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса

Стратифицированная модель рассеяния лазерного излучения в дисперсной среде и филаментация фемтосекундного импульса в атмосферном аэрозолеМилицин Владимир Олегович

Исследование влияния поверхности на неизотермическое движение газа в каналах на основе моделей ядра рассеяния Маркелов Юрий Иванович

Обратная задача рассеяния в потенциальных моделях ядерной физики Иванов Глеб Анатольевич

Точно решаемые модели квантовой теории рассеяния и оптики неоднородных средСузько, Аллина Алексеевна

Развитие асимптотических моделей в задачах рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферамиКовалев Владимир Александрович

Диффузионная модель проникновения и обратного рассеяния пучка быстрых электронов, падающего на мишеньЕрёмин Александр Валериевич

Динамическая спиновая восприимчивость t-J-V-модели. Сопоставление с данными по рассеянию нейтронов в Pr0.88LaCe0.12CuO4-x и La2-xSrxCuO4Андреев Алексей Иванович

Вклад в аномальный магнитный момент мюона от процесса рассеяния света на свете в нелокальной кварковой моделиЖевлаков Алексей Сергеевич

Изучение пион-нуклонного рассеяния до 1.9 ГэВ в рамках мезон-нуклонной модели со связанными каналамиГаспарян Ашот Микаэлович

Описание дипольного поглощения и деполяризованного рассеяния света в неассоциированных полярных жидкостях на основе единой модели молекулярного движенияЛимонова, Светлана Валентиновна