Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 6
1.1 Сильные взаимодействия при промежуточных энергиях . 6
1.2 Теоретические модели для TTN реакций 8
1.3 Юлиховская 7гЛГ модель 9
2 Описание модели 12
2.1 Открытые каналы 12
2.2 Эффективный лагранжиан 14
2.3 ТОРТ и уравнение на амплитуду рассеяния 17
2.4 Построение потенциала 21
2.5 Формфакторы 28
2.6 Резонансы 31
2.7 Нуклонный полюс 35
2.8 Собственные энергии а и р мезонов и Д-изобары 36
3 Потенциал коррелированного двухпионного обмена 40
3.1 Дисперсионное соотношение для парциальных амплитуд . 41
3.2 The NN -* 7Г7Г модель 46
3.3 Потенциал а обмена 47
3.4 Потенциал коррелированного тпг обмена в р канале 52
4 Трехчастичные сингулярности 55
4.1 Логарифмические сингулярности в парциальном потенциале . 55
4.2 Метод поворота контура 57
4.3 Нарушение трехчастичной унитарности 62
5 Результаты 66
5.1 Параметры модели 66
5.2 Упругое 7гЛГ рассеяние 70
5.3 Сечение реакции irN pN 85
5.4 Описание r]N канала 89
6 Заключение
- Теоретические модели для TTN реакций
- ТОРТ и уравнение на амплитуду рассеяния
- Потенциал а обмена
- Нарушение трехчастичной унитарности
Введение к работе
1.1 Сильные взаимодействия при промежуточных энергиях
Одной из главных проблем связанных с физикой стандартной модели является связь реализации сильных взаимодействий при низких и промежуточных энергиях с фундаментальной теорией - Квантовой Хромодинамикой (КХД). Динамическими степенями свободы этой теории являются кварки и глюоны - объекты, несущие так называемый цветной заряд. При очень больших энергиях КХД можно изучать пертурбативными методами. Однако, при низких и промежуточных энергиях подходящими степенями свободы являются физически наблюдаемые состояния: бесцветные мезоны и барионы. Это происходит благодоря явлению, известному как конфайнмент. Существует большое количество данных по реакциям между мезонами и барионами в различных каналах реакций. Детальное изучение этих данных, включая анализ резонансов в различных системах, должно привести нас ближе к пониманию механизма конфайнмента и непертурбативного режима КХД.
Одной из реакций, изучаемых особенно активно, является пион-нуклонное рассеяние. Имеющиеся данные обнаруживают богатую структуру, указывающую на наличие множества барионных резонансов. Вообще говоря, irN система была до сих пор одним из лучших источников информации для этих резо-
Теоретические модели для TTN реакций
Одной из последних в данном направлении является работа Ино и др. [11]. Авторы рассматривают S-волновое рассеяние в системе связанных каналов -KN, -K-KN и i]N. Наинизшие резонансы в 5-волне генерируются динамически. Однако такие методы навряд ли позволяют выявить истинную структуру резонанса, когда рассматривается только одна парциальная волна.
Другой класс моделей основан на так называемом КГ-матричном приближении [12-16]. В этом случае /("-матрица берется в борновском приближении, тем не менее, приводя к унитарной Т-матрице. В этом подходе все парциальные волны могут рассматриваться одновременно. Однако при этом теряется возможность динамически генерировать резонансные состояния. Среди различных работ в данном направлении мы отдельно упомянем недавнюю статью [16], в которой описываются irN реакции во всех важных каналах, упомянутых выше, в широкой области энергий.
Наконец, существуют модели TTN взаимодействия, основанные на мезонных обменах [17-21]. Они сохраняют некоторые свойства эффективных теорий поля (в том смысле, что они основаны на формализме эффективного лагранжиана, и выведенный из него потенциал удовлетворяет симметриям фундаментальной теории, т.е. КХД), но в тоже время позволяют включить непертурба-тивные эффекты через бесконечные итерации потенциала мезонного обмена. Отметим, что в моделях мезонных обменов бэкграунд (который представляет собой нерезонансные вклады, т.е. t и u-канальные обмены) довольно жестко фиксирован, потому что он дает вклад во все парциальные волны. Поэтому подогнать бэкграунд для каждой парциальной волны в отдельности невозможно. Однако существующие модели мезонного обмена либо не распространяются до резонансных энергий, либо не учитывают всех важных каналов.
Юлиховская 7TJV модель изначально была создана для описания данных по упругому TCN рассеянию недалеко от порога [22]. Одним из основных новшеств модели было трактование ст и /ьмезонных f-канальных обменов как
Юлиховская -KN модель обменов коррелированными пионными парами, используя технику дисперсионных соотношений. Позднее модель была расширенна до более высоких энергий путем включения нескольких неупругих каналов, а именно трех эффективных 7T7rJV каналов (crN, pN и Дя-) и r]N канала [1,23]. Учет коррелированного 7Г7г-обмена был сделан более последовательным и наглядным в работе [24]. Возможность динамического возникновения резонансов также была систематически изучена. Оказалось, что только один из них, а именно ропе-ровский резонанс, может быть описан таким образом в рамках Юлиховской KN модели [1,23]. Другие резонансы, такие как 5ц(1535), 5ц (1650), /?13(1520) и Д(1232), должны быть включены явно.
К сожалению, непосредственное расширение модели на еще более высокие энергии, действуя таким же образом, т.е. включая новые резонансы (в других парциальных волнах) и добавляя дополнительные каналы, оказалось невозможным по ряду причин. Прежде всего, существующий бэкграунд в некоторых парциальных волнах был несовместим с данными, в том смысле, что он не воспроизводил экспериментальные фазовые сдвиги значительно выше позиции резонанса, как должно быть на самом деле. Следовательно, параметры модели должны быть перефитированы таким образом, чтобы бэкграунд давал хорошее качественное описание -KN фазовых сдвигов в широкой области энергий, и позволял включить резонансы.
Второй проблемой было сильное влияние резонанса N (\650) на низкоэнергетические фазовые сдвиги в 5ц. В действительности, он давал главный вклад в Sn даже у порога, что, конечно, нефизично. Более того, это искуственно сильное влияния хвоста резонанса делает результаты очень чуствительными к другим вкладам, и, поэтому, не позволяет на практике изменять отдельные части модели.
Еще одним недостатком существующей irN модели является неудовлетворительное описание параметра неупругости в парциальной волне 5ц, и одновременная переоценка сечения irN — rjN вблизи порога r}N. Эти две связанные между собой проблемы, как считается, вызваны недостатками в учете mrN канала, и мы покажем в этой работе, что они могут быть решены путем усиления 7Г7гЛГ канала в 5ц. 1.3. Юлиховская -KN модель
Отметим, что парциальная волна 5ц представляет особенный интерес, поскольку она играет очень значительную роль для каналов rjN и К А вблизи их порогов. Для реакций irN — T}N И irN — К А имеется в наличии экспериментальная информация по полному и дифференциальному сечениям, а также по поляризационным наблюдаемым. Анализ этих данных в рамках нашей модели требует согласованного описания 5ц волны в irN рассеянии в соответствующей области энергий. Кроме того, детальное знание резонансной структуры в rjN канале необходимо для описания -рождения в NN столкновениях, включая изоспиновую зависимость сечения и угловые распределения [4]. Амплитуда перехода TTN — КА(Т,) играет важную роль в изучении рождения Л(Е) в NN соударениях. Она входит в диаграмму перерассеяния, показанную на рис. 1.1 с пионом в качестве обмениваемой частицы т". Интерференция этого вклада с перерассеянием пиона и /їГ-обменного графа является критическим при рассмотрении отношения сечений а(рр —v рКА)/сг(рр — рКТ,) [25,26]. Энергетическая зависимость этого отношения должна сильно зависеть от деталей амплитуды irN — АГЛ(Е) [27].
ТОРТ и уравнение на амплитуду рассеяния
Благодоря вращательной инвариантности сильных взаимодействий и, как следсвие, сохранению углового момента, состояния с фиксированным угловым моментом J отщепляются в уравнении Липпманна-Швингера. Более того, поскольку полный угловой момент J есть сумма орбитального углового момента L и спина системы S, количество состояний с фиксированным L, связанных друг с другом, ограничено. По этой причине уравнение обычно решается в JLS базисе, где оно имеет вид одномерного интегрального уравнения: (L S k \T \LSk) = {L S k \V \LSk)+ y d LWl#L" (2.30) Детали преобразования из спирального базиса плоских волн в JLS базисе описаны в приложении D.
Отметим, что вблизи к любому порогу рождения амплитуда рождения пропорциональна k L\ где "прим" обозначает рождаемую систему и, следовательно, включение только наинизших парциальных волн достаточно для вычисления таких наблюдаемых как сечение реакции 7гЛГ — rjN. Поэтому мы ограничиваемся парциальными волнами с J 3/2. Конечно с таким ограничением нельзя надеяться описать упругое nN сечение далеко от порога 7cN. Вместо этого мы используем существующие парциальные анализы [44,45] чтобы наложить ограничения на параметры модели.
Построение потенциала
Как уже было упомянуто, эффективный потенциал (2.24) содержит бесконечный набор двухчастично неприводимых диаграмм, так как промежуточные состояния могут содержать произвольное число частиц. На практике, конечно, необходимо обрезать этот ряд. В нашем потенциале мы оставляем только диаграммы, содержащие 3 или менее частиц в промежуточном состоянии. Это проиводит к следующей классификации различных вкладов. 2.4. Построение потенциала
Диаграммы с трехчастичными промежуточными состояниями. Они отвечают f-канальному обмену тг,р, т,и,аі мезонами и u-канальному ну-клонному и Д обменам. Обмены р и а мезонами в irN — irN потенциале выпадает из общей картины, так как в этом случае мы рассматриваем эти мезоны как коррелированные тттг пары. Глава 3 посвящена этому вопросу.
Контактные члены. Существует 2 источника контактных членов: те, что возникают из лагранжиана Весса-Зумино для векторных мезонов и нековариантные контактные члены ТОРТ.
Диаграммы с одной частицей в промежуточном состоянии, или полюсные графы. За исключением нуклонного полюса они все отвечают s-канальным резонансным вкладам. В этом смысле первые два типа диаграмм представляют собой "бэкграунд".
Все диаграммы могут быть вычислены, используя стандартные Фейнманов-ские правила [41]. Отличие от ковариантного подхода в том, что нулевые компоненты импульса промежуточных частиц входящие в вершины должны быть взяты на массовой поверхности, а пропагаторы имеют вид, следующий из (2.24), т.е. 2-Еі-Е2-Ез АЛЯ и -обменов, и z_lM для резонансных графов. Здесь Еі,Еі,Ез и Mres - оншельные энергии промежуточных частиц и резонанса, соответственно. В последнем случае оншельная энергия в системе центра масс равна массе резонанса.
Отметим, что как t так и u-канальные диаграммы все время появляются парами, так как в промежуточном состоянии можно испустить либо частицу либо ее античастицу (даже если они совпадают). Это так называемые первый и второй временной порядки. Например, если существует u-обмен барионом В" в переходе между двумя барион-мезонными состояниями Вт и В т через промежуточное состояние В"тт , то всегда существует в дополнение промежуточное состояние ВВ"В . Или в случае f-обмена мезоном т" появляются два промежуточных состояния: В т"т и Вт"т. Сумма двух временных порядков равна фейнмановскому выражению для данной диаграммы, если начальные и конечные частицы находятся на массовой поверхности. Если эти 2.4. Построение потенциала два выражения не совпадают, всегда существует соответствующий контактный член ТОРТ, восстанавливающий тождество между ними.
Все диаграммы, входящие в потенциал изображены на рис. 2.2-2.8. Полюсные диаграммы показаны отдельно на рис. 2.8. Их характерным свойством является то, что каждый резонанс дает вклад только в одну конкретную парциальную волну. В принципе, резонансы могут быть связаны со всеми Вт каналами разрешенными по квантовым числам, но для практических целей мы вводим голые связи только для тех каналов, для которых они имеют физическое значение. Выражения соответствующие каждой диаграмме представлены в приложении В.
Потенциал а обмена
Следовательно изоспиновый индекс (±) может быть опущен, поскольку он одназначно определяется J.
Величины Aj, Bj все еще содержат кинематические сингулярности. Чтобы избавится от них, введем новые функции /± [63] где нижний индекс ± обозначает спиральность NN состояния (Ai = ±, Х2 = ). Тогда инвариантная амплитуда выражается через /± следующим образом: л(±)(м) = 5E 2J+1 P J 3-14) j mN -.xP j(x)fJ_(t)-Pj(x)fi(t) \y/J(J+l) B (s,t) = 8nJ2l(2J+l) =P j )fJ-(t), (3.15) при Pj{x) = Pj(x). Суммирование для A и B выполняется по четным J, а для А и f?( ) по нечетным «/. Вклады от коррелированного двухпион-ного обмена, отвечающие а и р обменам содержатся в членах (3.14) с J = 0 и J = 1 сответственно (отметим, что /і=0(0 = 0).
Теперь обсудим аналитические свойства амплитуд /±. Как говорилось ранее, они свободны от кинематических сингулярностей, но существуют динамические сингулярности, происходящие от условия унитарности. Функции f±(t) аналитичны во всей комплексной -плоскости, кроме двух разрезов вдоль реальной оси [63,64]. Первый разрез идет от —со до а = Ат\ (l — 5-). Этот разрез генерируется s-канальным нуклонным полюсом и и-канальным нуклонным обменом, а также многочастичными s- и u-канальными сингу-лярностями. Второй разрез, идущий от 4m до со, происходит от сингулярностей вызванных промежуточным тпг состоянием в реакции NN — тгк и более высокими /-канальными промежуточными состояниями (An,NN,...). Тогда дисперсионное соотношение для амплитуд 0 имеет вид Для J = О, поскольку /+(0/Pt остается конечным при pt = 0, можно сформулировать дисперсионное соотношение для /+(0/Р? — /+(0/(1 — шлг) вместо самой f{t) [22,63]:
Поскольку нас интересует только вклад от ятт-обмена, левосторонние разрезы в (3.16), (3.17) не дают требуемых вкладов, и мы их не учитываем. В дальнейшем мы будем опускать пределы интегрирования, предполагая интегрирование вдоль правостороннего разреза, если не указано другое. Инвариантные амплитуды, связанные с а и р обменами теперь принимают следующую форму: Теперь s и t могут быть взяты в физической области, т.е. s (тм+тж), t 0.
Выражения (3.18) и (3.19) выглядят довольно похоже на обмен мезонами со спином 0 и спином 1 с массами (А/Ї7), размазанными от двухпионного порога до бесконечности и константами связи пропорциональными Im(f±(t )). Мы обсудим эту аналогию более детально в последующих секциях.
Для того чтобы выполнить интегрирование вдоль правостороннего разреза в (3.18), (3.19) необходимы амплитуды реакции NN —» хтг /+() /1(0 (или, по крайней мере, их мнимые части) в области t Ат\. Эта область является нефизической, если мы находимся под порогом NN (t 4т%). Эти амплитуды приведены в ссылке [61], где они получены аналитическим продолжением данных по TTN И ТГТГ (метод обсуждается в [59,60]). Однако мы не используем эти квази-эмпирические данные явно, а вместо этого применяем динамическую модель [65], которая описывает их достаточно хорошо. Это позволяет избежать некоторых проблем двойного счета, описанных ниже. Fig. 3.2 показывает результаты NN — тгтг модели для реальной и мнимой частей амплитуд f+(t),f±(t) в сравнении с данными из [61].
Модель, описанная в ref. [65], основана на картине мезонного обмена со связанными каналами NN, тгтг, КК. Результирующая NN — тгтг амплитуда содержит среди прочих вклад квадратной диаграммы (рис. 3.3(a)). Та же диаграмма появляется в TTN — TTN амплитуде при решении уравнения Липпманна-Швингера как вторая иттерация тгЛГ — pN потенциала (рис. 3.3(b)). Это приводит к двойному счету. Чтобы этого избежать, мы вычитаем вклад от квадратной диаграммы из полной NN —7Г7г амплитуды и используем полученную амплитуду Тсогт (см. рис. 3.4) как исходную для дисперсионных соотношений. Разница между полной NN — тгк амплитудой и ей же после вычитания показана на рис. 3.5. К счастью для /J. эта разница абсолютно не видна, а для / очень мала. Это показатель того, что модельная зависимость вклада от коррелированного 7Г7г-обмена не значительна. Отметим также, что окозывается, что из-за давящих факторов l/tf, 1/t 2 в подынтегральных выражениях (3.18), (3.19), интегралы могут быть обрезаны на tc — 50m, если не слишком велико [22].
Нарушение трехчастичной унитарности
Это выражение показывает возможность для частицы "d" с импульсом к" = 0 и виртуальной массой Z — тс распасться на систему "х + Ь" с ст. импульсом к . Для к кс1 разрезы лежат на реальной оси, как показано на рис. 4.3а и можно безопасно повернуть контур интегрирования в нижнюю полуплоскость. Для к кс\ разрезы начинают частично удаляться от реальной оси как на рис. 4.3Ь. В этой ситуации простая деформация контура, описанная выше не работает. В настоящий момент мы не рассматриваем такие случаи в нашей модели. Однако при к выше некоторого значения (будем называть его
Метод поворота контура в дальнейшем к ) разрезы находятся целиком вне реальной оси, как изображено на рис. 4.3с или на рис. 4.3d. Тогда можно снова повернуть контур. Чтобы вычислить fcc2, нужно положить г(у — 1) — A(m2,ra2,m2) = 0. Выбирая решение т2 — (тс + тх)2 получаем
Физический смысл fcc2 в том, что для к кс2 (та тс+тх) процесс распада а с+х запрещен. Отметим, что значения У отвечающие случаю т2 (тс— тпх)2, при котором к" из (4.9) формально может быть действительным, не приводят к полюсам в пропагаторе (4.2), потому что эти к" не лежат на листе, который мы выбираем для комплекснозначной функции (4.2) (задаваемом условиями Re.Ec 0, ReEx 0).
В случаях, когда требуется вычислить оншельную Г-матрицу для процессов типа TtN —у TTN ИЛИ TTN — 77 1 нужно просто положить m0 = тпа где т0 -физическая масса частицы. Тогда, конечно, для стабильных частиц соотношение та тпс + тпх всегда выполняется, и мы имеем дело с ситуацией как на рис. 4.3c,d. Момент перехода от рис. 4.3с к fig. 4.3d может быть найден, dRek"(y =1) п например, из условия = 0, которое дает К - (mc/V2 ± y/ml - ml/2)2. (4.12) Разрезы на рис. 4.3d реализуются, например, в случае нуклонного обмена в KN — TTN потенциале, где физическая масса нуклона лежит между двумя значениями гпа в (4.12).
Контур интегрирования должен быть выбран так, чтобы он проходил не слишком близко к реальной оси, где двухчастичная функция Грина имеет сингулярности, и не слишком близко к ближайшей сингулярности потенциала. Ближайшими сингулярностями оказываются те, что происходят от промежуточного состояния ITTTN В диаграмме с тг-обменом в TTN — aN и TTN -+ pN потенциалах. Они появляются уже при энергиях выше порога рождения одного пиона. Поэтому угол ф в (4.6) должен быть выбран меньше чем ф0 (см.
Нарушение трехчастичной унитарности Imk" Для энергий вплоть до ї/=1 рис. 4.3с), определяемый как tan( / o) Rek" Z = 1.9 ГэВ мы получаем численно стабильные результаты с Ьапф = 0.18.
Здесь нужно отметить, что существуют также полюса в комплексной к"-плоскости, происходящие от и- и i-канальных формфакторов, пропорциональных -=—гг. Эти полюса расположены при к" = к cos в ± WW + kP sin в2, (4.13) и лежат на части окружности (Rek")2 + (Imk")2 — Л2 + к12, аналогичной кривой на рис. 4.3с. Критический угол фо, который ограничивает сингулярности сверху (в нижней полуплоскости) дается выражением tan( o) = Л/А/ и поэтому не создает проблем для интегрирования по контуру. То же замечание относится к сингулярностям кинематических факторов типа l/Ex(q), и т.д.
Наконец рассмотрим ситуацию, когда мы имеем нестабильную систему в конечном состоянии, например aN. а не имеет фиксированной массы, а распределена по массе начиная с порога 7Г7г. Поэтому чтобы посчитать амплитуду рождения т-мезона, придется иметь дело с разрезами показанными на рис. 4.3а и на рис. 4.3Ь (чего мы пока не можем). Похожая ситуация возникает для реакции перехода irN — 7гА. Однако в случае перехода irN —» pN различие между к с1 и А 2 (для диаграммы с 7г обменом) довольно мало, и для большей части массового распределения / -мезона мы находимся в ситуации, показанной на рис. 4.3а. Поэтому вычисление, скажем, сечения реакции 7гЛГ — pN является возможным в нашем подходе, если мы не учитываем хвост резонанса (что, очевидно, является плохим приближением для т-мезона).
Другая проблема, тесно связанная с трехчастичными промежуточными состояниями - это условие унитарности [28]. Потенциал нашей модели эрмитов до первого (7Г7Г JV ) трехчастичного порога. Это обеспечивает унитарность для диагональной части Т-оператора, определенного в (2.17) (Т диагоналей в JLS
