Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1.1 Актуальность проблемы 4
1.2 Цель работы 6
1.3 Методы исследования 7
1.4 Научная новизна 7
1.5 Практическая и теоретическая ценность 9
1.6 Апробация работы 9
1.7 Публикации 10
1.8 Структура и объем диссертации 10
2 Модели турбулентности в бозе-конденсате 11
3 О некоторых свойствах решений уравнения Гросса-Питаевского 15
4 Уравнение марковской эволюции при нулевой температуре 23
4.1 Обзор модели Немировского 23
4.2 Точные решения уравнения нестационарной эволюции вихревого клубка 41
5 Уравнение марковской эволюции в присутствии нормальной компоненты 52
6 Другие точно решаемые модели 67
Заключение 75
- Цель работы
- О некоторых свойствах решений уравнения Гросса-Питаевского
- Точные решения уравнения нестационарной эволюции вихревого клубка
- Другие точно решаемые модели
Введение к работе
1.1 Актуальность проблемы.
Данная работа посвящена важной и быстро развивающейся области теории сверхтекучести - теории сверхтекучей турбулентности. Теория сверхтекучей турбулентности важна для многих прикладных проблем, связанных с гелием-П. Действительно, присутствие вихревого клубка оказывает значительное воздействие на поток тепла, который не может описываться простой двухжидкостной моделью Ландау. [1] Использование гелия-П в таких проектах, как охлаждение сверхпроводящих магнитов, или в космических приложениях, требует глубоких исследований. В последние годы, ввиду использования гелия в качестве жидкости для экспериментов при очень высоких числах Рейнольдса, возобновился интерес к проблеме соотношения классической и квантовой турбулентности.
В дополнение к важности сверхтекучей турбулентности в перечисленных случаях, теория хаотического вихревого клубка в Не II представляет большой интерес с точки зрения общей физики.
Как часть теории сверхтекучести, теория сверхтекучей турбулентности тесно связана с другими областями теории сверхтекучести: теорией образования вихрей, теорией взаимодействия сближающихся вихревых нитей, с проблемой критических скоростей, и вопросом о роли, которую играют квантовые вихри в фазовых пере ходах. Изучение сверхтекучей турбулентности позволяет получать нестандартные решения, проливающие свет на обозначенные проблемы.
Важной задачей гидродинамики является выяснение механизма распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкости. При температурах Т \К основными факторами диссипации оказываются вязкость нормальной компоненты и взаимное трение. В случае низких (Т 0.1К) температур названные источники рассеяния энергии турбулентного состояния отсутствуют, так как плотность нормальной компоненты мала. Эксперимент, однако, обнаруживает не зависящую от температуры диссипацию квантовой турбулентности [2, 3]. Указана возможность распада турбулентности за счет излучения звуковых волн в акте перезамыкания вихрей (vortex reconnection) и при распространении азимутальных волн вдоль вихревых нитей. В численном эксперименте установлена средняя мощность излучения возмущенного вихревого кольца, показано образование волны разрежения при перезамыкании вихрей. До сих пор, однако, остаются неясными как механизмы возникновения звуковых волн, так и относительные вклады двух названных способов излучения в эффективную кинематическую вязкость. В связи с этим представляет интерес изучение спектральных характеристик акустических волн, излучаемых турбулентной сверхтекучей жидкостью, и динамики хаотического вихревого клубка.
1.2 Цель работы
Целью настоящей работы является изучение некоторых свойств решений уравнения Гросса-Питаевского, а также развитие предложенной Немировским модели вихревого клубка в сверхтекучем гелии. В частности, перед автором стояли следующие задачи:
• Изучение влияния уменьшения длины нити при перезамыкании вихревых петель на динамику вихревого клубка и распад турбулентного состояния;
• Установление границ применимости модели Немировского и связей с известными гидродинамическими моделями турбулентности;
• Изучение спектра звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами при их перезамыкании;
• Изучение существенно нестационарных режимов эволюции и распада вихревого клубка в сверхтекучей жидкости;
• Учет влияния нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучение различных режимов эволюции;
• Выяснение применимости модели случайного блуждания вихревых петель к изучению релаксационных процессов в вихревом клубке;
• Рассмотрение других возможных моделей турбулентности в базе-конденсате.
1.3 Методы исследования
Результаты диссертации получены с использованием современных методов теоретической и математической физики и функционального анализа.
1.4 Научная новизна
Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
• Получен спектр звуковых волн, излучаемых вихревым кольцом при перезамыкании. Отмечено сходство с классическим случаем.
• Предложена модель вихревого клубка в сверхтекучей жидкости, учитывающая потери энергии при перезамыкании нитей. Установлены границы применимости модели и ее связи с гидродинамическими моделями турбулентности.
• В предложенной модели обнаружены точные решения. Таким образом, найдена еще одна нелинейная интегрируемая система, представляющая собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных.
• Впервые исследованы быстрые, существенно нестационарные режимы распада турбулентности в базе-конденсате. Изучено поведение вихревого клубка при его нестационарной эволюции.
• Учтено влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучены различные режимы эволюции и их связь с описанными в литературе ранее.
• При помощи модели случайного блуждания замкнутых вихревых петель изучены процессы релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Определены времена и законы релаксации.
• Дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик на некотором однородном пространстве полупрямого произведения групп Гейзенберга и Вирасоро. Тем самым, получен ряд интегрируемых обобщений уравнения Камассы-Холма, вероятно, описывающих турбулентное движение в капиллярах.
1.5 Практическая и теоретическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в гидродинамике, теории квантовой турбулентности, теории интегрируемых систем.
1.6 Апробация работы
Результаты диссертации докладывались:
• на семинаре кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ им. М.В. Ломоносова;
• на семинаре кафедры низких температур Московского энергетического института, 2008 год;
• на семинаре по статистической механике ЛТФ им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, Дубна, 2008 год;
• на семинаре отдела механики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 2008 год;
• на конференции «Ломоносовские чтения» в МГУ в 2007 году;
• на конференции молодых ученых «Ломоносов» в МГУ (2006 год);
• на международной конференции «Fluxes and Structures in Fluids», С.-Петербург, 2007 г.; • на международной конференции WEHSFF-2007, Москва, 2007 год.
1.7 Публикации
Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [4, 5, 6, 7, 8].
1.8 Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, и списка литературы, содержащего 55 наименований. Общий объем работы -85 страниц.
Цель работы
Целью настоящей работы является изучение некоторых свойств решений уравнения Гросса-Питаевского, а также развитие предложенной Немировским модели вихревого клубка в сверхтекучем гелии. В частности, перед автором стояли следующие задачи: Изучение влияния уменьшения длины нити при перезамыкании вихревых петель на динамику вихревого клубка и распад турбулентного состояния; Установление границ применимости модели Немировского и связей с известными гидродинамическими моделями турбулентности; Изучение спектра звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами при их перезамыкании; Изучение существенно нестационарных режимов эволюции и распада вихревого клубка в сверхтекучей жидкости; Учет влияния нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучение различных режимов эволюции; Выяснение применимости модели случайного блуждания вихревых петель к изучению релаксационных процессов в вихревом клубке; Рассмотрение других возможных моделей турбулентности в бозе-конденсате. 1.3 Методы исследования Результаты диссертации получены с использованием современных методов теоретической и математической физики и функционального анализа. 1.4 Научная новизна Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: Получен спектр звуковых волн, излучаемых вихревым кольцом при перезамыкании. Отмечено сходство с классическим случаем. Предложена модель вихревого клубка в сверхтекучей жидкости, учитывающая потери энергии при перезамыкании нитей. Установлены границы применимости модели и ее связи с гидродинамическими моделями турбулентности. В предложенной модели обнаружены точные решения. Таким образом, найдена еще одна нелинейная интегрируе- мая система, представляющая собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Впервые исследованы быстрые, существенно нестационарные режимы распада турбулентности в бозе-конденсате. Изучено поведение вихревого клубка при его нестационарной эволюции. Учтено влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучены различные режимы эволюции и их связь с описанными в литературе ранее. При помощи модели случайного блуждания замкнутых вихревых петель изучены процессы релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию.
Определены времена и законы релаксации. Дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик на некотором однородном пространстве полупрямого произведения групп Гейзенберга и Вирасоро. Тем самым, получен ряд интегрируемых обобщений уравнения Камассы-Холма, вероятно, описывающих турбулентное движение в капиллярах. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в гидродинамике, теории квантовой турбулентности, теории интегрируемых систем. Результаты диссертации докладывались: на семинаре кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ им. М.В. Ломоносова; на семинаре кафедры низких температур Московского энергетического института, 2008 год; на семинаре по статистической механике ЛТФ им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, Дубна, 2008 год; на семинаре отдела механики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 2008 год; на конференции «Ломоносовские чтения» в МГУ в 2007 году; на конференции молодых ученых «Ломоносов» в МГУ (2006 год); на международной конференции «Fluxes and Structures in Fluids», С.-Петербург, 2007 г.; на международной конференции WEHSFF-2007, Москва, 2007 год. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [4, 5, 6, 7, 8]. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, и списка литературы, содержащего 55 наименований. Общий объем работы -85 страниц. 10 В данной главе приведен обзор моделей сверхтекучей турбулентности, изучаемых в настоящее время. Понятие сверхтекучей турбулентности было введено еще Фейнманом в 1955 году. Он описал сверхтекучую турбулентность как беспорядочный набор квантованных вихревых нитей, названный им вихревым клубком.
Вихревой клубок, по его представлениям, возникал в потоке гелия-Н, когда скорость превышала некоторое малое значение. Первой моделью квантовой турбрулентности следует считать модель Онсагера и Фейнмана.[9] Они предположили, что условие Ландау rotvs = О для сверхтекучей компоненты может нарушаться на одномерных нитях, на которых указанный ротор не существует. При этом сама циркуляция скорости по контуру, окружающему вихревую линию, квантуется. Квантом циркуляции было принято отношение к = — = 9.97 х KTW/S, тне где h = 2nh, h - постоянная Планка, а га#е - масса атома гелия. Легко видеть, что поле скоростей, создаваемое уединенной прямой бесконечной вихревой нитью имеет вид: т.е. имеет сингулярность на вихревой линии. Поэтому на малых расстояниях гипотеза о вихревых линиях не может быть применимой. Важным шагом в теоретическом освоении явления квантовой турбулентности было применение квазиклассической теории слабо неидеального бозе-газа. Как известно, простейшее описание динамики слабо взаимодействующего бозе-газа дает уравнение Гросса-Питаевского - уравнение Хартри для одночастичной волновой функции ф системы взаимодействующих бозонов: где U - постоянная взаимодействия, п - плотность газа.[1] Модель Гросса-Питаевского до сих пор является основой численного моделирования поведения слабо неидеального бозе-газа, позволяя получать как качественные, так и количественнные результаты. Первые количественные модели квантовой турбулентности разработаны в классических работах Вайнена [10, 11, 12, 13].
О некоторых свойствах решений уравнения Гросса-Питаевского
Простейшее описание динамики слабо взаимодействующего бозе-газа дает уравнение Гросса-Питаевского, представляющее собой уравнение Хартри для одночастичной волновой функции системы взаимодействующих бозонов: [1] Подстановка тр = pll2elS дает гидродинамическую интерпретацию уравнения Гросса-Питаевского - уравнение непрерывности и интеграл Лагранжа-Коши с квантовым давлением: Безразмерные единицы в уравнении выбраны так, чтобы \ф(х)\ — 1 при х —» со, h = т — 1, единица длины полагается равной длине когерентности - характерному масштабу, обезразмеривающему уравнение Гросса-Питаевского. Для жидкого гелия-4 плотность конденсата п = 2 1022см_3, длина когерентности Л = 0.18 нм, единица времени г = - = 4 пс. Уравнение Гросса-Питаевского качественно описывает эволюцию конденсата при нулевой температуре, в частности, в работах [18, 19, 25] с помощью уравнения изучены такие процессы, как зарождение вихрей, перезамыкание вихревых нитей, излучение звука нитями, распространение азимутальных волн. Одним из основных факторов, возмущающих свободное движение вихревых колец, является перезамыкание вихрей. Моделирование процесса перезамыкания вихрей впервые выполнено в работе [17], факт излучения звуковых волн установлен в численном эксперименте [18]. Солитонные решения уравнения Гросса-Питаевского определяются двумя условиями. Первое условие соответствует требованию убывания на бесконечности возмущения, вызванного солитоном: Потребуем также сохранения формы солитона при распространении: для каждого значения U скорости движения солитона Перейдем в систему отсчета {х ъх 2,х ъ) = (xi,x2,x3 — Ut), движущуюся со скоростью U: Тогда для любого фиксированного t уравнение Гросса-Питаевского примет вид: Решения такой краевой задачи и определяют солитоны уравнения Гросса-Питаевского. Для моделирования эволюции в бесконечном пространстве автор предложил отобразить все пространство в куб [—L,L] х [—L,L] х [-L,L]: где /-константа.
Уравнение Гросса-Питаевского примет в новых переменных вид: з Аналогично можно переписать и уравнение, определяющее солитон-ные решения: Вихревые кольца построены методом Ньютона, основанным на методе взаимных градиентов. [26] В качестве первого приближения выбирается асимптотическое решение для малого кольца, полученное в [27] минимизацией функционала энергии соответствующего (1): После уточнения приведенного решения методом Ньютона, значение U уменьшается на 0.1, затем решение снова уточняется методом Ньютона, что позволяет построить кольцо большего радиуса. Последовательно уменьшая параметр U, можно построить солитон-ную конфигурацию для U = 0.3 - вихревое кольцо радиуса 5.5. Вычисления проводились на сетке размером (172)3 при L = 43, / = 38, уравнение эволюции решалось методом переменных направлений с временным шагом 0.02. Начальное состояние представляет собой произведение двух состояний с вихревыми кольцами радиуса 5.5, распространяющимися в противоположных направлениях. Начальное расстояние между плоскостями колец выбрано равным 40, расстояние между осями колец - 7. На рис. 2 представлена характерная картина перезамыкания вихревых колец. Столкновение происходит при t = 70 и приводит к образованию двух вытянутых колеблющихся вихревых колец, распространяющихся в противоположных направлениях, под углом к направлению движения исходных колец. Перезамыкание колец приводит также к образованию двух волн разрежения, распространяющихся в направлении, перпендикулярном к плоскости, проведенной через оси вихревых колец (в направлении оси х\). Распространение волны разрежения иллюстрирует рис. 3, на котором изображена зависимость плотности конденсата от времени в различных точках, лежащих на оси Х\. В других направлениях волны разрежения не излучаются. Видно, что по мере распространения от места столк- новения колец импульсы разрежения эволюционируют в звуковые волны. После прохождения волны разрежения через точку, лежащую на оси xi, наблюдаются слабо затухающие колебания плотности малой амплитуды (рис. 4, участок графика после t = 110), соответствующие звуковым волнам. Следуя [28, 29, 19], полагаем, что причиной возникновения таких волн являются возмущенные при столкновен-нии колеблющиеся вихревые кольца.
Спектр указанного участка обнаруживает ярко выраженный узкополосный характер (рис. 4), который, очевидно, объясняется описанным выше механизмом образования звуковых волн. В пользу последнего утверждения свидетельствует соответствие периода звуковых волн характерному периоду распространения азимутальных волн вдоль кольца. Из рис. 4 видно, что максимум спектра излучения находится около частоты 0.065. Период распространения азимутальных волн вдоль кольца можно оценить, имея в виду формулу для групповой скорости волн длины Л [30]: равной для рассматриваемого диапазона частот Л 7 приблизительно 0.4. Отсюда получаем оценку для частоты азимутальных волн: / r j 0.05. Совпадения результатов с высокой точностью ожидать не приходится, поскольку для малых колец формула для групповой скорости неприменима. Полученные результаты для формы спектра согласуются с экспериментальными данными [21] для классической жидкости. Сходство результатов, вероятно, связано с общим для классического и квантового случая механизмом образования волн. Таким образом, один из механизмов распада турбулентного состояния при малых температурах обнаруживает сходство с классическим явлением излучения звука вихревым кольцом. Связанный с перезамыканием вихрей механизм рассеяния энергии турбулентности характерен для квантовой жидкости. Образующиеся в этом случае импульсы разрежения, распространяясь, эволюционируют в звуковые волны. Следует отметить, что в отсутствие вязкости столкновение вихрей является важным фактором, возмущающим движение вихревых колец; в связи с этим явление перезамыкания вихрей приобретает первостепенное значение для обоих отмеченных в [28, 29] механизмов распада турбулентности.
Точные решения уравнения нестационарной эволюции вихревого клубка
Вычисление абсолютного значения якобиана в (16) проведем, используя равенство \J\ = \ЛЯ- Более того, из соображений общности было бы удобно использовать вектор скорости в виде Vj = ds/dt,, вместо того, чтобы вычислять его в явном виде, выражая скорость через конфигурацию вихревых нитей {s()}. Вычисление J2 можно провести, выписав якобиан в явном виде и затем применив теорему Вика. Простые, но громоздкие вычисления [31] приводят к следующему результату: где p.p. - все перестановки относительно х,у, z. Оценивая ((dsy/di)2) и подобные члены как 1/3, получим \J\ = V/. После интегрирования J J d \d ( 2 — i — i) окончательно имеем: где bs = (л/3/87г9/4) pa 0.0164772. Такое выражение для вероятности перезамыкания было впервые получено в [22]. Мы ввели в коэффициент В дополнительный множитель 1/2 для того, чтобы избежать двойного учета перезамыканий, так как процессы I — l\ +12 и I — І2 + h описывают одно PI ТО же событие, но оба входят в уравнения. Напомним, что величина о средний радиус кривизны вихревых нитей. Числовой множитель bs pa 0.0164772 - это результат некоторой аппроксимации, сделанной Немировским. Если же, например, мы воспользуемся винеровским распределением с характерной длиной о и не будем учитывать замкнутость вихревых нитей, мы получим для коэффициента В(1\, 1 — її, I) выражение где os Pa 0.11. Этот результат напоминает формулу, полученную ранее в работе [22] из качественных соображений. Важно заметить, что, вообще говоря, не ясно, как связать характерную длину о со средним радиусом кривизны. Приступим теперь к вычислению величины А(1і, І2,1). Снова, как и в предыдущем случае, вычислим средний якобиан и -функцию отдельно. Вклад якобиана совпадает с предыдущим результатом \J\ = V/. Оставшаяся часть 5-функции может быть вычислена с помощью характеристического функционала, полученного выше. В отличие от предыдущего случая, мы должны знать двухпетлевую функцию распределения. Поскольку мы пренебрегаем взаимодействием петель (до тех пор, пока они не перезамыкаются), характеристический функционал для двух петель длинами її и /2 - это просто произведение выражений типа (13) Величины Nftfa - &) и Nffa - 6) отличаются друг от друга только длинами петель її и , входящими в выражения для Лу . Далее, используя стандартное интегральное представление 6-функции, имеем Снова подчеркнем, что параметры г и i относятся к двум разным петлям.
Введем начальные точки петель S2(0) и S2(0), и перепишем (24) в следующем виде: Отождествляя начальные положения si(0),s2(0) с величинами Ri,R2 в выражении (8), перепишем его в виде Введем переменные Ri — R2, (Ri + R2)/2. Интегрирование no R2—Ri дает 5(y), интегрирование no (Ri + R2V2 дает полный объем системы. Далее, интегрирование по у дает единицу, а интегрирование по i, 2 дает произведение lil2- Так Немировский получает замечательный результат, состоящий в том, что для невзаимодействующих петель величина А{1\, 12Л)- соответствующая вероятности слияния петель, равна Здесь bm = 1/3. Как и ранее, мы ввели дополнительный множитель 1/2, чтобы избежать повторного учета двух одинаковых перезамыканий. Формулы (26) и (21) (без определенных множителей bs и Ьт ) были также получены в работе [22]. Авторы использовали некоторую качественную картину движения и столкновения элементов вихревых нитей. Это подтверждает применимость подхода, избранного в данной работе, позволяет использовать его в более сложных случаях, например, для исследования нестационарных процессов в вихревом клубке. Приступим к изучению кинетического уравнения для газа вихревых петель. Вероятности перезамыкания вычислены в предположении о броуновском случайном блуждании петель и выражаются формулами: (/1,/2,/) = 6/ 0/1) . Здесь bm, bs - некоторые константы, Vi - характерная скорость вихревых нитей, связанная с радиусом кривизны нити соотношением Vi — т, где «-квант циркуляции, в безразмерных единицах равный 2-7Г. Если не указано обратное, далее все формулы и оценки записываются в безразмерных единицах, в которых за единицу длины принимается длина когерентности (радиус кора), а квант циркуляции равен 27Г. Такие единицы обезразмеривают уравнение Гросса-Питаевского. Величина о обозначает средний радиус кривизны вихревых нитей и является основным параметром теории. Рассматриваемая модель применима только на масштабах, превосходящих о и в работах [24, 22, 23] эта величина использована как параметр обрезания снизу. чем показано, что среднее расстояние между вихревыми нитями " в стационарном состоянии имеет порядок среднего радиуса кривизны о— факт, обнаруженный ранее в численных экспериментах. В процессе эволюции состояния n(Z, t) согласно кинетическому уравнению с интегралом столкновений IQ В каждом из актов слияния или расщепления вихревых петель длина петли сохраняется, следовательно, должно иметь место равенство j = 0. Прямая проверка этого равенства может быть проведена подстановкой п в (31), но выражение J UQ [n(l, t)] dl содержит расходимости и требует регуляризации [33].
На основе кинетического уравнения (28) в [24, 6] получено выражение для верхней границы скорости убывания плотности вихревых нитей при наличии механизмов распада малых вихревых колец в фононы: где Cvinen - константа, не зависящая от о- Совпадение правой части (33) с правой частью уравнения Вайнена, по-видимому, является случайным; из этого совпадения не следует, что имеет место квантовый режим турбулентности. [34, 35] Основной целью настоящей главы является выяснение закона убывания плотности вихревых нитей C{t) в бозе-конденсате за счет потерь энергии на излучение в акте перезамыкания нитей. Величина потери длины вихревой нити вычислена в численном эксперименте [18], основанном на уравнении Гросса-Питаевского, в этой же работе установлена зависимость потери длины от угла пересечения вихревых нитей. Из результатов работы [18] видно, что потеря длины при перезамыкании составляет несколько безразмерных единиц длины. В данной работе потеря длины при каждом перезамыкании предполагается постоянной и равной А1. Пусть при каждом слиянии петель теряется длина А/, а при распаде вихревой петли обе новые петли теряют длину . Исходя из этих предположений, можно записать новый интеграл столкновений, учитывающий диссипацию энергии при перезамыкании: Заметим, что оба интеграла в последнем выражении расходятся на верхнем пределе, однако их разность сходится. В качестве нижнего предела используем параметр обрезания о средний радиус кривизны вихревых нитей. Окончательно для разности (36) имеем: на I и интегрируя по /, а также учитывая, что f 11$ [n(l,t)}dl = О, получаем уравнение для C{t) - основную теорему настоящей главы: Теорема 1 Пусть состояние вихревого клубка описывается плотностью распределения петель по длинам n(/, t). Пусть эволюция состояния во времени определяется кинетическим уравнением с интегралом столкновений (34). Тогда изменение полной длины C(t) — fln(l,t)dl описывается уравнением г 9е длл V; имеет место оценка Vi f-- Полученное уравнение определяет закон убывания плотности вихревых нитей за счет излучения при перезамыкании. Отметим, что уравнение (39) для первого момента распределения n(l,t), являясь точным для модели (34), не содержит высших моментов при любых значениях параметров А1, о, в частности, для высоких плотностей турбулентности. Таким образом, уравнение (39) может описывать быстрые, существенно нестационарные режимы эволюции вихревого клубка, когда распределение вихревых петель по длинам существенно отличается от (30) и соотношение (32) не выполняется.
Другие точно решаемые модели
Потоки сверхтекучей жидкости математически описываются двужидкостной моделью Ландау [1], в отличие от классических идеальных или вязких жидкостей, которые описываются уравнениями Эйлера или Навье-Стокса, соответственно. Когда температура достаточно низка, чтобы считать фракцию нормальной компоненты незначительной, модель Ландау сводится к уравнению Эйлера для идеальной жидкости, которая является безвихревой, за исключением вихревых линий, циркуляция скорости вокруг которых квантуется. Квантовая природа движения жидкости появляется в этой модели как дополнительное условие, совместимое с уравнениями Эйлера. Когда и нормальные, и сверхтекучие вихри присутствуют, их взаимодействие, называемое взаимным трением, должно быть принято во внимание. Такие модели необходимы, например, для изучения сверхтекучей турбулентности в противопотоке, произведенном потоком тепла. При низких температурах альтернативное математическое описание сверхтекучих потоков дается уравнением Гросса-Питаевского. Уравнение Гросса-Питаевского - дифференциальное уравнение с частными производными для комплексной волновой функции поля, связанной с плотностью потока и скоростью преобразованием типа Маделунга. Сверхтекучий поток является безвихревым, кроме окрестности узловых линий (вихревых линий) комплексной волновой функции. Эти топологические дефекты соответствуют квантовым вихрям в сверхтекучем гелии и естественно возникают в данной модели. В этом контексте, уравнение Гросса-Питаевского - корректное динамическое уравнение для сверхтекучих жидкостей. Уравнение Гросса-Питаевского моделирует сложные динамические механизмы типа перезамыкания вихрей, образования ядра вихря и взаимодействия вихрей со звуком. Однако в этой модели нет никаких точных решений. Таким образом, интересно изучить любые точно разрешимые модели. Этот раздел посвящен дальнейшему развитию метода кинетиче- ского уравнения в применении к квантовой турбулентности. В этом разделе проанализирована эволюция хаотического однородного изотропного вихревого клубка в бесконечном пространстве.
Если не оговорено иное, в дальнейшем мы не предполагаем, что температура низкая: принимается во внимание плотность нормальной компоненты и взаимное трения. Главные результаты - уравнение (50) для частоты перезамыканий, и уравнения (56) (55) для полного числа вихревых нитей и частоты перезамыканий в существенно нестационарном вихревом клубке, состоящим из замкнутых вихревых петель. Анализ эволюции вихревого клубка основан на уравнении марковской эволюции для распределения вихревых петель по длинам. Этот метод был развит в [22] для космических струн и недавно использовался в [24] для получения стационарного распределения вихревых петель по длинам в сверхтекучем гелии. В рамках данного подхода Немировский [24] также получил соотношение между средним радиусом кривизны нити и средним расстоянием между нитями в стационарном вихревом клубке, уравнение Вайнена для распада турбулентности в квазистационарном режиме за счет волн Кельвина, и вычислил частоту перезамыканий для стационарного состояния. В [5] обсуждался предел применимости модели и соотношение между результатами [24, 40, 5] и современной гидродинамической теорией [35, 34, 36, 37, 39]. Напомним основные результаты [24, 40, 5, 6, 8]. Немировский [24] получил стационарное решение (30) кинетического уравнения с интегралом столкновений (29) Немировский также вывел уравнение Вайнена, получил выражение для полной частоты перезамыканий в стационарном состоянии (30). Немного видоизмененный интеграл столкновений, учитывающий диссипацию энергии при перезамыкании, изучен автором [5], где он получил закон нестационарного распада плотного вихревого клубка: и оценил характерные времена распада. Автор также получил выражение (45) для полной частоты перезамыканий в нестационарном состоянии. В [40] Немировский получил полное уравнение Вайнена, которое включает член, описывающий рост вихревого клубка за счет взаимного трения. Запишем кинетическое уравнение с учетом влияния взаимного трения на вихревой клубок: Этот результат также является существенно новым. Здесь мы предположили, что C(t) изменяется много медленнее, чем происходит релаксация вихревого клубка к равновесному распределению петель по длинам. Оценка времени релаксации дается ниже формулой (58). Если доминирует сила, связанная с влиянием на нити поля скоростей, создаваемого самими нитями, первый член мал, и мы имеем В противном случае, если превалирует сила, обусловленная током нормальной компоненты, мы получаем другой закон: Оба результата были получены ранее [42] из простых качественных соображений. Уравнение (50) описывает переходный режим между упомянутыми в [42] законами. Далее в данном разделе мы снова предположим диссипацию малой. Запишем уравнение для полного числа вихревых петель, для чего проинтегрируем кинетическое уравнение с интегралом столкновений IQ по I: где мы учли, что т = 0. Легко заметить, что постоянная С в степенном решении как и в соотношении (32), может быть получена и непосредственно. В самом деле, для равновесного состояния мы имеем N(t) = 0. Однако уравнение (51) имеет очевидный недостаток.
В самом деле, в предположении о медленном изменении C(t) уравнение (51) означает, что величина N(t) растет или убывает до бесконечности для любого состояния п(1), за исключением стационарного (или любого другого состояния, удовлетворяющего (32)). Причина этого недостатка, видимо, состоит в недостаточной точности выбранной модели случайного блуждания. Существует и другая модель изотропного броуновского случайного блуждания, полученная в [31]. Эта модель, в отличие от (27), учитывает замкнутость вихревых петель и кажется более релевантной. Выражения для А(Іі,І2,1) и В (її, І2,1) в этой модели имеют вид: [31] Во-вторых, достигнуто понимание того, что модель с открытыми вихревыми нитями не подходит для изучения таких тонких явлений, как процесс релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Вместо нее мы использовали модель с замкнутыми нитями, что позволило нам дать оценки времени релаксации вихревого клубка, и получить новое, более точное, соотношение между средним радиусом кривизны вихревых петель и их полной длиной. В последние годы в литературе широко обсуждается применение гидродинамических моделей типа Камассы-Холма в теории тубу-лентности. [43, 44] В связи с этим, представляется интересным расширение класса вполне интегрируемых систем типа Камассы-Холма с целью их применения в качестве моделей сверхтекучей турбулентности. Одно из таких обобщений предложено автором в работе [7]. Полученные системы, возможно, могут быть применены для описания сверхтекучей турбулентности в одномерных системах. Известно, что уравнение Камассы-Холма может быть интерпретировано как бигамильтонова система на коприсоединенной орбите группы диффеоморфизмов окружности. Уравнение было впервые получено в [45, 46, 47], двухкомпонентные обобщения введены в [48, 49, 50, 51, 52], где также изучены некоторые свойства этих систем. Все эти системы оказываются бигамильтоновыми потоками на регулярной части Q eg двойственного пространства к алгебре Ли fl=Vect(51) кС00 1). В данной работе рассматривается класс гамильтоновых потоков на пространстве Q reg с квадратичными функциями Гамильтона специального вида. Целью является описание всех бигамильтоновых потоков относительно модифицированной структуры Ли-Пуассона на д . Получено семейство двухкомпонентных вполне интегрируемых систем, обобщающих уравнение Камассы-Холма. Существует общий способ построения пары согласованных пуас-соновых структур и получения интегрируемого потока.
