Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
2 Модели различных внутренних движений ДНК 14
2.1 Динамика раскрытия двойной спирали: учет крутиль ной подвижности 15
2.1.1 Двухкомпонентные модели Yomosa и Федянина 16
2.1.2 Модель Якушевич 22
2.1.3 Влияние последовательности 25
2.2 Динамика раскрытия двойной спирали: учет трансверсалы-юй подвижности 28
2.2.1 Модель Перарда-Бипгопа 28
2.2.2 Комбинированные модели 32
2.3 Динамика В-А переходов 34
2.3.1 Модель В-А переходов Волкова 34
2.4 Модели объединенных атомов 37
2.5 Приложение к нанотехнологиям 37
3 Дискретная модель двойной спирали ДНК. 39
3.1 Молекула ДНК 39
3.2 Модель. Аргументация и описание 40
3.3 Дисперсионное соотношение 48
4 Солитонные решения 52
4.1 Аналитические методы нахождения солитонных волновых решения 52
4.2 Численные методы нахождения солитонных волновых решений 54
4.2.1 Стационарное решение 58
4.2.2 Нестационарные решения 63
4.3 Взаимодействие топологических солитонов 65
4.4 Влияние иеоднородностей цепи на динамику топологических солитонов 71
4.5 Взаимодействие топологических солитонов с тепловыми колебаниями цепи 77
5 Бризеры и периодические волны 84
5.1 Сильная связь 86
5.1.1 Синфазные колебания 87
5.1.2 Синфазные колебания без перехода в систему центра масс 94
5.1.3 Колебания бризеров в противофазе 96
5.1.4 Периодические волны 99
5.2 Режимы, реализующие обмен энергией. Слабая связь 99
5.2.1 Обмен энергии реализованный через бризеры 100
5.2.2 Обмен энергией, реализованный через периодические волны 106
Выводы 109
- Динамика раскрытия двойной спирали: учет трансверсалы-юй подвижности
- Приложение к нанотехнологиям
- Численные методы нахождения солитонных волновых решений
- Взаимодействие топологических солитонов с тепловыми колебаниями цепи
Введение к работе
Широко известно, что внутренняя динамика молекулы ДНК, и в особенности, внутренние движения большой амплитуды, такие как раскрытие пар оснований или локальные переходы между различными формами, играют важную роль в ее функционировании. В последние годы эти движения интенсивно исследуются как теоретически, так и экспериментально. Многие авторы пишут о нелинейных возбуждениях того или иного типа, описывающих такие явления как конформационный В-А переход, раскрытие двойной спирали, механическая денатурация и т. д.
Исследование нелинейных возбуждений в ДНК-структурах привлекает большое внимание в связи с их возможной ролью в процессах генетического регулирования. Несмотря на большой интерес к этой проблеме и относительно широкомасштабные исследования [1-3], медленный прогресс в ее решении обусловлен сложностью самой системы и недостатком прямых наблюдений нелинейных явлений в ДНК.
В природных условиях ДНК находится в В-форме двойной спи-
Динамика раскрытия двойной спирали: учет трансверсалы-юй подвижности
То же явление раскрытия двойной спирали ДНК исследовалось в ряде работ [1,7,17,48,92] в несколько ином контексте. Раскрытие двойной спирали в рамках данного подхода происходит не за счет кручения, а за счет поперечной деформации цепей. Впоследствии была построена модель, учитывающая оба этих типа движения [58,84]. Данный подход чаще всего применяется для интерпритации различных явлений механической денатурации. 2.2.1 Модель Перарда-Бишопа Для описания процесса денатурации Перард и Вишоп [7] предложили простую решеточную модель двойной спирали ДНК. Модель состоит из двух цепей. Каждая пара оснований имеет две степени свободы ип и vn, которые соответствуют смещению оснований от их положений равновесия вдоль направления водородной связи, соеди- Для простоты не учитываются неоднородность в последовательности оснований, и асимметрия двух цепей; в модель вводится общая масса оснований, а также одна и та же константа связи вдоль каждой из цепей. Потенциал Морзе V - это усредненный потенциал, характеризующий две или три связи, соединяющие два основания в паре. Параметры этого потенциала получались из характеристик колебательных мод отдельных цепей ДНК [94]. Авторы определили температурную зависимость разделения нитей двойной спирали, и показали, что механизм, включающий локализацию энергии, аналогичен самофокуссировке и может иницииро- вать денатурацию [7]. Перард и Бишоп [7] получили зависимость растяжения водородной связи от температуры при разных константах связи к. Температура денатурации чувствительна не только к параметрам водородных связей, которые соединяют две цепи, но и к константе внутрицепного взаимодействия к, параметр который не очень хорошо определен экспериментально. Если к возрастает, температура денатурации также растет. Это согласуется с возрастанием, наблюдаемым экспериментально в присутствии реагента, который увеличивает гидрофобное взаимодействие [6]. Результаты работы [7] показывают, что параметр к должен быть порядка 3.0 10 3eV/A2 для получения разумной температуры денатурации. Это значение указывает на слабое связывание между поперечными движениями оснований в ДНК, а также, на необходимость учета эффектов дискретности в модели, описывающей денатурацию ДНК в терминах солитонных волн [7,34,47,65,66] Авторы работы [7] объясняют денатурационные "пузыри", наблюдаемые экспериментально в начале процесса денатурации, локализацией энергии вследствие нелинейных эффектов.
Однако трудно обеспечить количественный анализ этого явления в рамках модели [7j, так как коэффициенты нелинейного уравнения Шредингс-ра, полученные в приближении малой разности смещений оснований (ип — vn) в комплиментарной паре, зависят от частоты введенной несущей волны. Хотя эта частота может лежать внутри частот фононных мод решетки, она не очень хорошо определена для те- пловых флуктуации, которые рассматриваются в [7]. Нелинейные движения большой амплитуды в рамках модели Перарда-Бишопа могут интерпретироваться как предвестник тепловой денатурации ДНК [7,9,15,59]. Позже в подтверждение своей гипотезы Перард [92] предложил эксперимент, использующий микро-механическое растягивание ДНК для изучения нелинейной локализации энергии в решетке, так как реальные эксперименты затруднены в связи со сложностью объекта исследования. С использованием численного моделирование и кинетических вычислений [92] была оценена степень ожидаемых силовых колебаний, но они оказываются за пределом современных экспериментальных возможностей. Результаты работы [92] показывают, что механическая денатурация ДНК управляема не только последовательностью оснований, но и нелинейной локализацией энергии. Этот эффект следует рассматривать и в случае неоднородной ДНК. В экспериментах по растяжению молекулы ДНК стеклянной иглой [39], скорость растяжения мала и время жизни пары оснований превышает время жизни локализованных мод, так что их влияние усредняется. Это объясняет, почему довольно отчетливая взаимосвязь между растягивающей силой и последовательностью оснований может наблюдаться несмотря на тепловые флуктуации. Перард в 92] использовал более высокие скорости растяжения, полученные при действии сил 60 рН вместо 3-Ю рН в эксперименте [39]. Ограничение па временной масштаб вычислений в рамках молекулярной динамики, которые могут едва превышать несколько сотен наносекунд, не позволяют экстраполировать эти результаты с достаточной точностью для выявления точного значения оптимальной скорости растяжения. Но, вероятно, наиболее подходящая техника для исследования нелинейной локализации энергии в ДНК будет атомноси-ловая микроскопия, а не микроманипуляции со стеклянной иглой. 2.2.2 Комбинированные модели Модель Перарда-Бишопа стала основой для целого ряда исследований [55,61,95], а также для разработки новых моделей [58,84]. В частности, в работе [61] одномерная модель Пейрарда-Бишопа применена для вычисления кривых плавления коротких фрагментов ДНК. В случае коротких цепей необходимо учитывать не только разрушение водородных связей между отдельными парами оснований, но также полную диссоциацию двух нитей, образующих двойную спираль. Стекинговое взаимодействие описывалось ангармоническим потенциалом, а взаимодействие между основаниями - потенциалом Морзе.
При этом кривые плавления для трех неоднородных последовательностей сравнивались с экспериментальными кривыми плавления и было достигнуто с хорошее согласование. В работах [7,9,59] вычислялись кривые плавления их длинных фрагментов методами статистической термодинамики. В рамках модели Пейрарда-Бишопа исследовалось поведение бри-зерного решения, получающегося из уравнения Шредингера, в зависимости от волнового числа при наличии различных неоднород- ностей, как то граница двух однородных областей [55]. Если бризер не отражается и не проходит через границу (трансмиссия), то он трансформируется в периодические волны. В работе [96] вычислялась удельная теплопроводность в ДНК при низкой температуре в сопоставлении с экспериментальными результатами, а также определялись условия конформационного перехода В-ДНК - А-ДНК. В работах [58,84] в модель Пейрарда-Бишопа [7] были введены вращательные степени свободы оснований. Таким образом, в этой модели учитывалась спиральность молекулы, углы отклонения от положения равновесия оснований, а также изменение расстояния от основания до оси спирали. При этом основания не выходят из плоскости, перпендикулярной главной оси спирали. На каждое основание приходится две степени свободы: радиальная, отвечающая за открытие водородной связи, и угловая, отвечающая за вращение основания в спиральной структуре. Не учитывается возможная неоднородность в последовательности пар оснований. Водородная связь по-прежнему описывается потенциалом Морзе. Аналитически изучалась малоамплитудная динамика модели: а именно решения, сформированного как бризер но радиальной переменной и как кинк по угловой. Показана роль топологических ограничений, связанных со спиральной геометрией системы. Устойчивость полученного решения проверялась численно. На основе модели Барби [95] исследовалось распространение вы- сокоамплитудных локализованных возмущений, которые описывают "пузыри", возникающие при транскрипции. При этом численное моделирование показало, что после формирования пузырь может перемещаться вдоль цепи на более чем 1000 пар оснований. 2.3 Динамика В-А переходов В естественных физиологических условиях молекула ДНК находится в В-конформации, и возможны лишь локальные переходы в другие формы, в частности А-конформацию. 2.3.1 Модель В-А переходов Волкова Одним из продуктивных направлений, связанных с проявлением роли локализованных возбуждений, является описание переходов от В-формы двойной спирали к А-форме. Модель С.Н. Волкова была разработана для исследования солитопиой динамики локальных В-А переходов в ДНК 69,97 100. В работе [101] показывается, что нелинейные бризерттьте возбуждения могут формироваться в В-ДНК при трансформации фрагмента макромолекулы в метастабильную А конформацию. Обсуждается возможная роль бризеров в распознавании функциональных областей протеинами.
Приложение к нанотехнологиям
В последние годы проведены пионерские эксперименты на уровне отдельных молекул, позволяющие, в частности, количественно определить их жесткость и условия плавления, индуцированного дефор- мацией [3,106,107]. Эти эксперименты открывают новые возможности развития особых "ДНК-технологий" [108-110], что подтверждается целым рядом экспериментальных исследований [111-115]. В связи с этим особую роль приобретает моделирование ДНК в условиях, типичных для "ДНК-технологий". Уникальные свойства молекул ДНК стали привлекать внимание не только биологов, но и исследователей, работающих в области нанотехнологии. Так, только в 2006 г. этой теме было посвящено более сотни статей и многочисленные обзоры (см., например, обзоры [109,116-120]. Быстрый рост исследований в этой области позволяет говорить уже о возникновении нескольких направлений использования ДНК в нанотехнологиях таких, как управляемая самосборка молекул ДНК, ДНК-наномашины, использование в электронике, в наноконструировании и др. Хорошо определенная и контролируемая первичная структура этих молекул позволяет создавать относительно большие упорядоченные 2-мерные молекулярные структуры [121]. Короткие молекулы ДНК с определенной третичной структурой, так называемые аптамеры, могут использоваться для определения (детектирования), связывания или контроля молекул белка, малых молекул или ионов. В серии работ Мао и др. [122,123 молекулы ДНК используются для построения управляемых мапоячсск на твердой поверхности. Такие ячейки можно применять как молекулярные ловушки, открывающиеся или закрывающиеся при температурном или химическом воздействии, вызывающих обратимое плавление ДНК. Основная биологическая функция молекулы ДНК состоит в хранении и передаче генетической информации, записанной в виде определенной последовательности нуклеотидов в двойной спирали. Поэтому связанное с этим основное требование к структуре ДНК -стабильность и сохранность генов - должно вполне определенным образом сочетаться с конкретными изменениями ее структуры, в частности в процессах взаимодействия с белками. Обычные тепловые флуктуации вызывают структурные изменения ДНК, не приводящие, ни к разрыву водородной связей, ни к изменению межплоскостных расстояний между основаниями. В то же время спираль ДНК сохраняется при тепловых флуктуациях, а также и при более сильных внешних воздействиях. Для оценки потенциальных структурных возможностей ДНК большое значение имеют теоретические методы и модели. Существует два ряда теоретических методов изучения структуры ДНК: методы построения упрощенных физических моделей, основанные на экспериментальных данных и отражающие совокупность свойств целостной молекулы ДНК, и методы конформационного анализа и квантовой химии.
Молекула ДНК в В-форме представляет собой двойную спираль полунуклеотидных цепей. Ось спирали проходит через пары оснований В-формы вблизи их центра тяжести. Период спирали 3.4нм, диаметр спирали 2.0нм [124]. 3.2 Модель. Аргументация и описание. Молекула ДНК представляет собой весьма сложную систему, обладающую богатой внутренней динамикой. Комплексное рассмотрение ее функционирования в физиологических процессах весьма затруднительная задача. В настоящее время проводятся исследования различных аспектов функционирования ДНК целым рядом методов, в частности методом молекулярной динамики (МД). Но такая постановка задачи при использовании детальных моделей требует больших вычислительных ресурсов, так как всего лишь один виток двойной спирали ДНК содержит порядка 400 атомов. Поэтому явления затрагивающие длинные фрагменты, неподвластны методу МД. Параллельно развивается другой подход исследования многоатомных систем, а именно построение и изучение упрощенных моделей, в которых описываются определенный интересующий исследователя процесс. Данная работа выполнена в рамках этого метода. В работе рассматривается один из возможных механизмов передачи импульсного возбуждения вдоль длинного фрагмента молекулы посредством некоторых коллективных нелинейных мод. В рамках упрощенной модели, внимание концентрируется на раскрытии двойной спирали за счет вращательного движения нуклеотидных оснований. Для математического моделирования внутренней динамики ДНК требуется детальная информация о таких геометрических и физических характеристиках как координаты, массы и моменты инерции структурных элементов, а также о параметрах, отвечающих за взаимодействие между элементами. Задача может быть упрощена, если использовать модель, учитывающую внутренние движения, которые вносят основной вклад в рассматриваемый биологический процесс [125-129]. Такие упрощения дают возможность найти аналитические решения соответствующих динамических уравнений. Рассмотрим В-форму молекулы ДНК, фрагмент которой схематически представлен на рис. (3.1). Линии соответствуют скелету двойной спирали, черные и серые параллелограммы - парам оснований (AT и GC). Сосредоточимся на вращениях оснований вокруг скелета цепи в плоскости, перпендикулярной оси спирали. Левую цепочку будем называть первой, а правую второй.
Положительные направления поворотов оснований для каждой цепи указаны на рисунке (3.1). Рассмотрим модель плоской ДНК, где цепи макромолекул фор- мируют две параллельные линии, расположенные на расстоянии h друг от друга, а основания могут совершать лишь вращательные движения вокруг их собственной цепи и остаются перпендикулярными ей. Рассматриваются колебания оснований, которые в данном приближении можно рассматривать как связанные осцилляторы. Левой цепи будем приписывать индекс 1, правой 2. Предположим, ЧТО Рщ1 - уГЛОВОе Перемещение 71-ГО ОСНОВаНИЯ ПерВОЙ ЦЄПИ, (/7,,2 - угловое перемещение п-го основания второй цепи. Предполагается, что потенциальная энергия взаимодействия оснований равна сумме парных взаимодействий. Поэтому достаточно обсудить только форму парного взаимодействия двух осцилляторов. При этом возможны два типа взаимодействия: ориентационное взаимодействие вдоль цепи и ориентационное взаимодействие оснований в комплиментарной паре. Взаимодействие между соседними основаниями одной цепи описывается в линейном приближении потенциалом 7пд;п+1д = Єпд гн-тд- /Чі)2/2. В нелинейном приближении это взаимодействие удобно описывать модельным потенциалом С/П)і;тИ-ід = є„д[1 - cos(ipn+\,i - n,l)]-Этот модельный потенциал удовлетворяет следующим требованиям: 1) периодичность потенциала (при повороте на 27Г потенциал не меняется), 2) равновесное положение соответствует минимуму потенциальной энергии, 3)минимальная энергия равна нулю. Тогда функция Гамильтона двойной цепи имеет вид: Два первых слагаемых в гамильтониане (3.1) отвечают кинетической энергии п-х пар оснований. Здесь /пд - момент инерции п-го основания первой цепи; /П)2 - момент инерции n-го основания второй цепи, точка обозначает дифференцирование по времени t. Для пары оснований a(3 (а/3 = AT, ТА, CG, GC) момент инерции равен ІП)і = тпаг2а) /П)2 = mpri. Значения массы основания тпа, длины га и соответствующего момента инерции для всех возможных пар оснований приведены в табл. (3.2) [130], где масса протона гпр = 1.67343 х 10 27 кг. Третий и четвертый члены в гамильтониане (3.1) описывают взаимодействие соседних оснований вдоль каждой макромолекулярной цепи. Параметр еп характеризует энергию взаимодействия n-го основания с п + 1-м основанием г-й цепи ( = 1, 2). Но если учесть, что угловые отклонения одного основания сопровождаются не только преодолением барьера в связи со стекинг-взаимодействием, но и существенной деформацией двугранных и валентных углов, мы можем предположить, что энергия поворота єПіі должна быть заведомо больше, чем энергия стекинг-взаимодействия - 40-60 кДж/моль [131], и слабо зависеть от типа основания. Это дает возможность предположить, что б„д = еП)2 = б 60 кДж/моль. Таблица 1. Значения
Численные методы нахождения солитонных волновых решений
Для численного исследования системы (3.5) воспользуемся вариационной техникой, развитой в работах [64,132,144-146,146-149], для численного нахождения солитоноподобных решений сложных нелинейных систем. Рассмотрим однородную молекулу ДНК (для всех п, 7пд = Ia, 1Щ2 — 1р где a/3 = AT (ТА, GC, CG)). Будем искать решение системы (3.6) в виде волны с гладким постоянным профилем. Для этого положим (pn,i(t) — ifi(0) Vn,2{t) = 2((), где волновая переменная — па- vt, v- скорость волны. Предположим, что функции pi и р2 гладко зависят от . Тогда вторые производные по времени аппроксимируются дискретными производными Граничные условия (4.9) для задачи (4.6) определяют тип солитонного решения. Число N нужно взять достаточно большим, чтобы форма решения задачи не зависела от его значения. Для этого достаточно принять N в десять раз большим ширины солитона. Солитонное решение задачи (4.6) можно охарактеризовать топологическим зарядом q={qi, q2), где q{ = ((/ - . )/271-, і = 1, 2, где qi является целым числом ( = 0, ±1, ±2, ...). Для нахождения солитонного решения с топологическим зарядом q нужно решить задачу на минимум (4.8) с граничными условиями Вначале рассмотрим стационарное солитонное решение задачи (4.8,4.9). В безразмерном функционале при v = 0 Ca = Ср = 0. Таким образом, остается лишь один безразмерный параметр g, который характеризует кооперативиость вращательного движения. Существование солитонного решения и его форма зависят от значения параметра. 4.2.1 Стационарное решение Результаты численного исследования задачи (4.8,4.9) показывают, что в однородной цепи стационарное топологическое солитонное решение существует, когда параметр кооперативности д больше, чем пороговое значение, т.е. д д0 0. Отсутствие топологической устойчивости при д до объясняется следующим образом. Любой топологический дефект может быть устранен поворотом оснований ДНК. Поворот одного основания на 360 означает трансформацию системы в первоначальное состояние, рііП = ір п ± 2іг. Узкие соли-тоны с размером, равным одному звену цепи, эквивалентны основному состоянию, поэтому они неустойчивы. Таким образом, только относительно широкие солитоны являются устойчивыми. Зависимость порогового значения до от солитонного топологического заряда q = (gi, (fe) для однородных AT и GC отражена в табл. 2. Солитон с топологическим зарядом q = (1,0) по первой компоненте имеет форму гладкой ступеньки (при монотонном изменении п основания первой цепи совершают полный поворот), сопровождаемой гладкой малоамплитудной деформацией по второй компоненте (рис. 4.3а, 4.36). Солитон с q = (0, 1) имеет форму ступеньки только по второй компоненте (рис. 4.3в, 4.3г). Солитон с q = (1, 1) имеет форму ступеньки по каждой компоненте (рис. 4.3д, 4.3е), причем ступеньки сдвинуты относительно друг друга.
В дальнейшем будет показано, что такой солитон является связанным состоянием двух топологических солитонов с зарядами qi = (1, 0) и q2 = (0, 1). Существует два эквивалентных состояния этого солитона: "левое" q = (1, 1)/, и "правое" q = (1, 1)г, когда солитон с зарядом qi находится соответственно слева или справа от солитона с зарядом q2 (рис.4.3д. 4.3е). Солитон с зарядом q = (1, —1), также имеет форму ступеньки по каждой компоненте, однако ступеньки ориентированы в разных направлениях (рис.4.3ж, 4.3з). Этот солитон также имеет "левое" и "правое" состояния. Если є = 6000 кДж/моль и К = 0.234 Н/м, то параметр кооперативное равен д = 150.24, что много больше критического значения go5 а Для промежуточного значения жесткости из области возможных значений К = 0.8714 Н/м величина параметра д — 40.34, что больше критического значения (см. табл.4.2.1) для всех типов топологических солитонов. При данных значениях параметра жесткости К существуют устойчивые солитоны с различными топологическими зарядами. Для максимального значения жесткости К = 4.707 Н/м параметр кооперативности д = 7.41 оказывается меньше критического значения 7о а значит, устойчивые топологические солитоны в этом случае отсутствуют. Таким образом, задача существования топологических солитонов (развернутого состояния) в ДНК сводится к проблеме точной оценки параметров К я е. Мы приняли значения б = 6000 кДж/моль и К = 0.8714 Н/м, когда наблюдаются все четыре типа солитонов. Зависимость энергии Е и диаметра D стационарного топологического солитона от его топологического заряда q в цепи с е = 6000 кДж/моль и поперечной жесткостью формулы (3.4) и (3.8) даны в табл. 3. Как видно, энергия связи солитонов с зарядами (1, 0) и (0, 1) АЕ = Е{1, 0) + Е{0, 1) - Е(1, 1) = 153.7 кДж/моль для цепи с жесткостью поперечного взаимодействия К — 0.8714 Н/м и АЕ — 78.16 кДж/моль для цепи с К = 0.234 Н/м . Численное решение задачи (4.8,4.9) показало, что в однородной цепи топологическому солитону всегда соответствует дозвуковой интервал скоростей 0 s si 1, где s = V/VQ - безразмерная скорость (i o - скорость звука в ДНК) [64,140]. Экспериментальные данные, полученные в том числе и спектральными методами, дают некоторый разброс значений этой величины (1890 - 3500 м/с [150,151]). В настоящей работе принимаем значение 2194.7 м/с (как в статье [64]). Зависимость максимальной безразмерной скорости солитона si от его заряда q, типа оснований цепи а(3 и жесткости поперечного взаимодействия К приведена в табл. 4. Зависимости массы покоя М солитона от его заряда q, типа оснований цепи а(3 и жесткости поперечного взаимодействия К приведены в табл. 4 (значения даны в массах протона тр). Численное моделирование динамики показало, что все топологические солитоны при любых допустимых скоростях устойчивы.
Они распространяются по цепи с постоянной скоростью, сохраняя свою форму и энергию. Таким образом, в молекуле ДНК может существовать локализованное солитонное возбуждение на одной цепи. Солитон с зарядом (1,1) является связанным состоянием двух топологических солитонов с зарядами qi = (1,0) и q2 = (0,1). 4.3 Взаимодействие топологических солитонов ДНК является длинной молекулой, и в ней могут одновременно активироваться несколько открытых состояний. Поэтому представляет интерес задача об их взаимодействии. Численное решение уравнений (4.8,4.9) позволяет решить и эту проблему, т.е. получить зависимость энергии пары стационарных солитонов, имеющих заряды qi,q2, от расстояния между их центрами пі,П2- Для этого при решении задачи (4.8,4.9) необходимо задать граничные условия и начальную точку таким образом, чтобы они соответствовали паре топологических солитонов с удаленными друг от друга центрами на расстояние R. При минимизации энергии системы Е = —L необ- ходимо также дополнительно зафиксировать повороты оснований, на которые приходятся центры солитонов. Тогда энергия полученного состояния E(R) будет соответствовать энергии пары топологических солитонов, находящихся на расстоянии R = п — п\ друг от друга. Меняя положение центров солитонов, можно рассчитать потенциал взаимодействия Uqiiq2(R) = E(R)-E(qi)-E(q2), где .7(qi),.E(q2)- энергии изолированных солитонов. Вид потенциала взаимодействия U4li42(R) позволяет предсказать результат столкновения солитонов с зарядами qi и q2. Рассмотрим конечную цепь из N=4000 звеньев. На концах цепи введем вязкое трение, обеспечивающее поглощение фононов. Численно проинтегрируем систему уравнений движения (3,6) с п = 1, 2, ..., N ж начальным условием, соответствующим двум топологическим соли-тонам с центрами в узлах п\ = ЛГ/4 и щ = 3N/4 и скоростями Si = — S2 = s 0. Столкновение однознаковых солитонов qi = q2 = (±1, 0), (0, ±1) всегда приводит к их отражению друг от друга. При малых скоростях s отражение солитонов практически является упругим, при больших значениях s оно сопровождается незначительным излучением фононов. Столкновение солитонов с qi = (±1, 0), q2 = (0, =pl) при s = 0.5 приводит к их отражению, сопровождаемому незначительным излучением фононов. Такое поведение хорошо согласуется с видом соответствующего потенциала взаимодействия (рис. 4.5, кривая 2). Для прохождения солитонов сквозь друг друга необходимо преодолеть энергетический барьер Z/qi,q2(0) = 1056 кДж/моль, т.е. необходимо, чтобы их кинетическая энергия удовлетворяла выражению Ek(s) = qi(s)+q2(s)-qi(0)-q2(0) /qi,q2(0).
Взаимодействие топологических солитонов с тепловыми колебаниями цепи
Для описания тепловых колебаний воспользуемся системой уравнений Ланжевена Здесь функция Гамильтона системы задана выражением (1); П)І - случайные силы, описывающие взаимодействие n-го основания г-й цепи (г =1,2) с термостатом, коэффициент трения Г = \/tT (tr -время релаксации скорости вращения одного основания). Случайные силы n j имеют нормальное распределение, их корреляционные функции имеют вид: где п, m = 1, 2, ..., JV, г, j = 1, 2, fc# - постоянная Больцмана, Т - температура термостата. Систему (14) интегрировали численно стандартным методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности с постоянным шагом интегрирования At. При численной реализации дельта-функция представляется как S(t) = 0 при \t\ At/2 и 1/At при \t\ At/2, т. е. шаг интегрирования соответствует времени корреляции случайных сил. Для корректного использования уравнений Ланжевена необходимо, чтобы At « tr. Поэтому примем At = 0.001 пс, а время релаксации tr 1 пс. Проверим устойчивость стационарного топологического солитона к тепловым колебаниям цепи. Рассмотрим однородную периодическую АТ-цепь из N=4000 пар оснований при 300 К. Проинтегрируем систему (4.8) с начальным условием, соответствующим топологическому солитону (s — 0.5) с центром на узле п = N/A. Численное интегрирование показало устойчивость солитонов при всех значениях заряда и обоих значениях поперечной жесткости К — 0.234 и 4.707 Н/м. Вязкость среды приводит к быстрой остановке солитона, после чего он остается неподвижным. Солитон остается устойчивым к тепловым колебаниям в течение всего времени интегрирования t = 5 х 103 пс (рис. 4.14). Отметим еще раз, что в используемой модели ДНК устойчивость солитонов, в отличие от моделей ф-А и sin-Гордон, но имеет топологической природы. Солитоны могут разрушаться. Для этого достаточно чтобы ширина солитона оказалась равной одному звену цепи (такой солитон совметим с основным со- стоянием цепи). Здесь устойчивость связана с энергетическими факторами. На рис. 4.14 хорошо видно, что в области локализации солитона плотность энергии Еп» квТ. Рассмотрим взаимодействие подвижного солитона с тепловыми фононами. При помощи системы (4.8,4.9) зададим периодической цепи температуру Т=300 К, а затем отключим ее связь с термостатом. Для этого в указанной системе достаточно положить tr = со. Проанализируем движение топологического солитона (s = 0.5) в этой цепи. Численное моделирование показало, что тепловые фо-ноны практически не влияют на движение солитона.
Независимо от значения топологического заряда, он распространяется по цепи с постоянной скоростью. Торможение солитона в однородной цепи обусловлено лишь вязкостью. Тепловые фононы существенно влияют на характер взаимодействия солитонов. В работе [153] на примере модели 0-4, показано, что топологические солитоны могут взаимодействовать между собой опосредовано, через тепловые фононы. Такое взаимодействие сводится к эффективному отталкиванию солитонов. В результате в термализованной цепи значительно изменяется характер взаимодействия разнознаковых топологических солитонов. На больших расстояниях они всегда отталкиваются. Чтобы промоделировать это явление, рассмотрим столкновение разнознаковых разиополярных топологических солитонов в термализованной циклической АТ-цепи (qi = (1, 1)ьЧг = (—1 —l)n si = s2 — 0-5)-В нетермализованной цепи (Т=0 К) солитоны выше упомянутых типов всегда притягиваются, а столкновение приводит к рекомбинации. В термализованной циклической цепи (Т=300 К) их столкновение всегда сопровождается отражением, что можно объяснить сжатием фононного газа между солитонами при их сближении. Это сжатие является причиной отталкивания солитогюв, которое возрастает по мере их сближения. В цепи со свободными концами сжатием фононного газа можно объяснить дальнодействующее отталкивание солитонов от концов цепи. Таким образом, топологические солитоны в молекуле ДНК устойчивы к тепловым колебаниям. Взаимодействие с тепловыми фононами не приводит к разрушению или торможению солитона, изменяется лишь характер взаимодействия солитонов. В термализованной цепи у солитонов появляется дальнодействующее отталкивание. Изучали также взаимодействие топологического солитона с тепловыми колебаниями на случайной последовательности из N = 4041 пар оснований, соответствующей реальной молекуле ДНК, при 300 К.
Установлено, что тепловые фононы способствуют распространению солитонов в неоднородной области, увеличивая дальность пробега (рис. 4.15). В однородной области солитоны, взаимодействующие с фононами и не взаимодействующие с ними, распространяются примерно одинаково. Но когда солитоны проникают в неоднородную область (п 1980), фононы сглаживают потенциальные барьеры на неодиородностях, что способствует прохождению солитона. В предыдущей главе рассматривались высокоамплитудные нелинейные возбуждения, эта же глава посвящена низкоамплитудным локализованным колебаниям (бризерам). Вернемся к дисперсионной кривой линеаризованной системы, которая имеет две ветви (3.2). Как уже говорилось, верхняя кривая и = uas (q) соответствует асимметричному, а нижняя ш = cus (q) - симметричному движению оснований. Наименьшие частоты не равны нулю (при q = 0), т.е. в частотном спектре имеется щель. Именно в цели частотного спектра можно, наблюдать нелинейные возбуждения, которые нас интересуют. С этой целью в уравнениях движения для дискретной системы перейдем к квазиконтинууму: х = V z — у/єпа, где расстояние между основаниями а = ЗЛА, а е- малый параметр, равный отношению расстояния между основаниями а к характерной длине волны; Х- непрерывная координата вдоль цепи. Учитывая. Нелинейное поведение полученной модели существенно зависит от величины параметра Г)\. В связи с этим рассмотрим ряд значений параметра, в качестве верхней границы которого примем оценку этого параметра, используемую в более ранних работах [64,132] и указанную в таблице. Параметр щ отвечает за межцепное взаимодействие, которое зависит от физического окружения молекулы ( как то соль, рН и т.д). Если при максимальном значении 77і в рамках модели существуют лишь спаренные локализованные возбуждения (бризеры) [132], т.е. имеем случай сильной связи между цепями, то с уменьшением rji становятся возможным перенос большой части энергии, сообщенной одной цепи, на другую (и обратно) или локализация этой энергии на первоначально возбужденной цепи (случай слабого межцепного взаимодействия). 5.1 Сильная связь Принимая значение щ из табл. 5 как соответствующее сильному взаимодействию между цепями, покажем, что в нашей системе могут существовать лишь симметричные локализованные колебания (это подтверждается результатами численного анализа). Получение синфазных колебаний бризера на обоих цепях возможно с переходом в систему центров масс. Если же рассматривать две цепи как равноправные, то возможно получить как синфазные решения, так и бризерные колебания, происходящие в противофазе.
