Введение к работе
Актуальность темы. Важнейшее назначение логики - быть аппаратом проверки кор-| ректностн выводов, а также порожденияя нового знания, т.е. формальными средствами получать приращение содержания. В этой связи вопросы выяснения природы логических структур и их обоснования можно представить дилеммой: что такое логика как техника, которую мы вибираєм, и логика как техника, которую мы не выбираем - в силу её необходимой присущности нашему мышлению. Существуют ли фигуры заключения, a priori присущие человеческому разуму? Если да, то как это согласовать с многообразием альтернативных логик (конструктивные - неконструктивные, монотонные - немонотонные и т.д.). Если таковых нет, как определять приоритетность тех или иных логических систем? Как отличать их по степени значимости? Каковы были бы критерии такого отбора?
Актуальность этих вопросов, рассматриваемых в диссертации на более формальном уровне, как представляется нам, не снимается наличием целых классов логик континуальной 1 мощности, т.е. тем. что заведомо существуют логики и целые их множества, которые никогда не будут подвергнуты специальному рассмотрению. Есть целые направления в современной логике, потерявшие связь с первоначальной трактовкой логики как науки о правильных, или слабее - допустимых, способах рассуждения. Предметом исследования многих из них являются не собственно логики как формально строго заданные системы дедуктивных принципов, но - фактически -логики как множества слов.некоторого алфавита, определённым образом организованные, либо как алгебры, либо как системы функций. Не ставя под сомнение теоретическую значимость такого рода исследований, мы считаем и законным, и актуальным вопрос, каким образом из необозримого семейства множеств слов, обычно замкнутых относительно каких-то преобразований, выбирать те, которым соответствуют какие-то і вразумительные системы рассуждения-. В диссертации мы изучаем вопрос обоснования логических систем с семантической точки зрения, рассматривая те допущения, которые лежат в основе различных типов систем. В этих допущениях и заключается ответ - относительно данной логической системы - на вопрос, почему принимаются (считаются правильными) эти, а не другие формы заключения. Интуитивно, различные логики охватывают различные типы рассуждений, и с философской точки зрения интересен и актуален вопрос, от каких пресуппозиций зависят последние. Это одна из главных исследуемых нами проблем, определяющая актуальность диссертационной работы. Поскольку структура и формальный смысл всякого рассуждения держится на условных переходах "если - то", то из сказанного естест-
всішо вытекает, что центральным для нашего исследования является отношение логического следования.
Понятие следования наряду с понятиями логической формы и истинностного значения - наиболее фундаментальны для логики. Есть вполне почтенные логики с пустым классом тавтологий (например, трёхзначная логика Клини), но нет логик, у которых был бы также пуст класс выводимостей. Понятие следования фундаментально для логики по самому 1 замыслу этой науки. (Ср. у Н.Васильева: "Где есть суждения и выводы, там есть и логика, где нет суждений и вывода, таи нет и логики. Законы суждения и вывода есть минимум логического" или у Н.Белнапа: "...ясно, что коль скоро нет необходимости в рассуждении, вряд ли возникает потребность в логике".)
Степень разработанности проблемы. В последние десятилетия проблема следования стала объектом пристального изучения логиков. В связи с намеченным кругом интересующих нас вопросов в диссертации рассматриваются различные подходы к анализу концепции следования. Выделяя направления исследования, задачи, концептуальный аппарат, мы проводим определённую стратификацию этих подходов. У каждого автора проблема следования (также общезначимости импликации) погружена в свой специфический крут вопросов: модальные логики (К.Сегерберг), релевантное следование (Н.Белнап, М.Данн, Е.К.Войшвилло), ' методы построения логик, основанных на различных семантических допущениях (Е.Д.Смирнова), симметрии отрицания (Б.Хёсли, Г.Ягер) и др.
Тем не менее можно выделить некоторое общее у всех авторов поле исследования.
Почти всеми тем или иным образом затрагивается вопрос построения семантик различного типа (и соответственно определение следования), использующих только два истинностных значения - "истина", "ложь", который имеет два наиболее принципиальных уточнения. Первое: построение логик, в которых понятия истины и лжи задаются независимо (Д.Нельсон, И.ДЗаславский, Е.Д.Смирнова). Второй фундаментальный ракурс этой проблемы формулируется Д.Скоттом как тезис о том, что любая логическая система обладает некоторой двузначной семантикой, а Р.Раутли и Р.Мейер показывают его справедливость для 1 очень'широкого класса систем.
Следующий естественно возникающий общий момент в различных исследованиях: проблема введения аналога метаязыков'ого следования в объектный язык и связанный с этим вопрос о теореме дедукции. Вообще вопрос о следовании этих двух уровней может ставится двояко: либо кандидат на объектное следование уже заранее известен и проблема заключается в нахождении такого определения вывода (определения отношения логического следования), при котором дедукционная теорема значима, либо исходно располагаем определением
4 s
вывода из непустого множества формул (определением следования) и проверяем, выполняет ли импликация системы теорему, если - нет (или если её не было среди исходных связок), питаемся подыскать такую, либо переопределяем понятие вывода, либо налагаем какие-то ограничения на условие теоремы. Рассматривается также вопрос, как семантика языка детерминирует принятие тех или иных правил вывода в логике, в первую очередь - теорем)' дедукции. Тогда одни семантические допущения и определения (оценки, следования, тавтологии) делают её значимой, другие - проваливают. Важно проследить такого рода зависимости. (Вопрос о теореме дедукции можно поставить и по-другому, именно: найти определение вывода (для целого класса логических систем), инвариантное относительно значимости теоремы дедукции. Так этот вопрос разбирается Е.А.Сидоренко-для всех пропозициональных систем, замкнутых относительно modus ponens).
Из вышесказанного вытекает ещё одна проблема: как определять импликацию (объектное следование). Хорошо известно, что эта задача и по содержательным, и по чисто техническим соображениям! может решаться самыми разнообразными способами (речь идет не о различных, но в некотором смысле эквивалентных, заданиях одной связки, а о различных неклассических импликациях). Кроме того, при содержательном подходе часто неклас-сическн трактуются и другие связки (в первую очередь, отрицание), что прямо или косвенно может изменить смысл следования в системе.
Обратим внимание на тот способ введения импликаций, когда сначала в объектный язык вводятся операторы оценок - одноместные функторы с интуитивным прочтением "истинно ф", "ложно ф", "противоречиво <р", "истинно и не ложно <р" и т.д.. Тогда новые импликации1 мб" гут определяться на базе исходной (если она есть) по типу: "Если ф истинно, то у истинно и не ложно", "Если ф истинно и не ложно, то \|/ истинно" и т.д. Если использованные при определении операторы истины (соответственно ложности, противоречивости) не эквивалентны, то получаем разные импликации.
Наконец многими авторами рассматривается вопрос введения отношений следования различных типов. Исходный крут задач, используемый концептуальный аппарат определяют характер и содержание получаемых при этом результатов: общие принципы типологии следований, построение иерархии отношений следования, детерминируемой принимаемой семантикой языка (М.Данн, Е.К.Войшвилло, Е.Д.Смирнова), установление связи между типом семантики и допускаемым им классом неэквивалентных следований, построение семейства логик варьированием исходных параметров (функции оценки, отношение следования -
М.Данн, ЄД Смирнова), связь между типом следования и специфическими свойствами адек
ватного ему формализма (Б.Хбсли, ГЛгер) и др. ...-., .
і ' .. - !; -us.
'' Цель и задачи исследования. Главная цель настоящей работы - анализ и уточнение
понятия логического следования, выяснение вопроса, от каких предпосылок (параметров) зависит определение следования, как их варьирование модифицирует следовадиен импликацию; наконец, какие характеристики отношения следования детерминируют логики различного типа. В диссертации мы в основном сосредоточим внимание на нестандартных се-
І
мантиках с истиннозначными провалами и пресыщенными оценками. .. , г , ,, .
В соответствии с поставленной целью в диссертации решаются следующие задачи:
- . проанализировать различные методы задания отношения логического следования, выявить основные принципы, лежащие в их основе, а также те параметры, от которых зависит введение целого спектра отношений типа следования и соответствую-
'I , ЩИХ ЛОГИК; :- і :--.:.:; V Г '.;--> :.;.' . .-> : ..jf.V , ..., .-.,
: представить метод построения определённой иерархии логик (в которую вой
дут и ряд известных систем: де Моргана, Хао Вана и др.) варьированием некоторого
перечня исходных семантических параметров; :L.- -irf , v . , „
- ' рассмотреть алгебраический аспект этой проблемы, обращение к которому по
зволяет прояснить некоторые результаты в области нестандартных семантик и общие
принципы построения иерархии логик;- рассмотреть возможность приложения пред
ложенного метода задания семейства логик к другим типам алгебр, в первую очередь
ГейтингаиБрауэра; :-..,-.-с. ;> ,, - -.,.
- f ' проанализировать основные метатеоретические свойства и характеристики по
лученных логик (наличие тавтологий, значимость дедукционной теоремы, modus рс-
'' пєібитл); -:.-..;., -...у - -.^-: ,-. .,-,-
формализовать построенные системы следования; [:-/'
выявить, как принятие тех или иных соотношений между'областямн истинности и ложности высказывания изменяет (или не изменяет) схему Тарского; Методопогической и теоретической основой решения поставленных задач являются методы построения «мантик, используемые в современной логической науке, ра-боты российских и зарубежных логиков в области неклассических логик, в первую очередь, работы Д.Бочвара, ': ДЛельсона,,, ИБелнапа,. М.Данна, Х.Вригта, Е.К.Войшвилло, В.А.Смирнова, Е.Д.Смирновой, Б.Хесли, ГЛгера. ..-
Научная новизна исследования Предложен метод построения иерархий отношений '' . следования и логик, основанный на введённом понятии типа истинностного значения. На :
этой основе построена иерархия отношений типа следования и базирующаяся на ней иерархия логических систем, обобщающая построения, предложенные М.Данном и Е.Д.Смирновой.
В процессе исследования получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.
-
Обобщены подходы к заданию отношения типа следования; предложена их трансформация, на основе которой удалось более систематично и единообразно получать различные иерархии логик и доказать для них полноту и непротиворечивость.
-
Разработан общий метод задания иерархии лргик варьированием исходных семантических понятий; в нашем случае основными параметрами варьирования являются типы истинности и ложности. В соответствии со сделанным уточнением (обобщением) понятия области истинности и ложности высказывания введено семейство отношений типа следования, на котором введён порядок (задано отношение сравнимости).
-
Предлагается определённая иерархия логических систем, у которых множество значений атомарных высказываний есть (какой-то) элемент множества-степени {t, f, gaps, gluts}; в результате получена иерархия более богатая, чем рассмотренная при подходах М.Данна и Е.Д.Смирновой, а также отличная по классу теорем от предложенных X. фон Вригтом и СА.Павловым.
-
Введено полезное, на наш взгляд, понятие коммутирующих параметров варьирования для логики: если тип логики задается через и параметров (хі;...,х„), Х;єХі, х; и Уі есть
конкретные значения параметра Xj, то говорим, что параметры (xSi xSk) коммутируют
для некоторых (всех) значений из XSi,...,Xsk соответственно, если найдутся такие значе
ния (если для всех значений) для xSj,..;,Xsk: (xi,... xSi xSk.—,xn) =
(xi Уїі,..., у*,...Д„) = (a, b. с), т.е. если они задают одну и ту же логику; показано, для
каких логик какие условия (при нашем подходе) являются связанными. При нашем под
ходе определение коммутирующих условий для логики детерминируется, в отличие от
остальных авторов, общей процедурой сопоставления генценовского исчисления данно
му типу следования. ' 'J
5. Все введенные отношения следования формализованы; изучены их метатеоретические
свойства; показано, какие семантические условия коммутируют для данной логики, т.е.
при каких именно допущениях и определениях различные семантики задают одну и ту
же логику; в частности, обоснован тезис о том, что релевантная семантика (с gaps и gluts)
:.- ft '
может быть формалізована различными нерелевантными исчислениями в зависимости от принимаемого определения следования.
-
Показано, как принятие тех или иных соотношений между областями истинности и ложности высказывания влияет на принятие, или непринятие, схемы Тарского.
-
Предложены системы конструктивного и неконструктивного типа, обобщающие рассмотренные М.Даяном;
-
Указан общий метод построения иерархии следований для алгебр, отличных от рассмотренных - булевой, де Моргана и т.д.
В результате проведённого исследования обоснованы следующие тезисы.
Типы различных логик можно определить варьированием некоторых исходных семантических параметров, в первую очередь - истинности и ложности.
Суть нестандартных семантик заключается не в абстрактной многозначности, введении модальностей и т.д., а именно в реконструкции целой системы ме-тапонятий: истины, лжи, следования, отрицания и т.д.
С одной логикой может быть ассоциировано несколько типов семантик. Последнее поднимает вопрос, насколько с данным исчислением действительно связана та или иная интуиция (как это нередко делается). Говоря об "интуиции", предполагаемой данным формализмом, следует иметь в виду не один параметр (например, тип функции оценки), а систему взаимосвязанных семантических условий и определений. С одним и тем же исчислением не просто могут быть связаны разные типы оценок, их варьирование также связано с параметризацией других метапонятий. Именно последнюю мы положили в основу-предлагаемой типологии следования и иерархии логик.
Практическая значимость диссертации определяется возможностью использования её результатов в логико-теоретических исследованиях, а также в учебно-педагогической работе при чтении спецкурсов по неоассическим логикам и логической семантике.
Апробация работы. Основные идеи и результаты диссертации излагались на первой и второй международной конференции "Смирновские чтения" (1997, !999) и на конференции "Развитие логики в России: итоги и перспективы" (1997). По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух, глав, заключения и списка литературы.
