Содержание к диссертации
Введение
1. Методы теоретического исследования развития пористости в материалах ЯЭУ и ТЯР 10
1.1. Общая теория конденсации пересыщенных растворов 10
1.2. Общая кинетическая теория гомогенного зарождения 13
1.3. Модель Катца-Видерзиха 16
1.4. Модель Лифшица-Слезова 19
1.5. Модель коалесценции газовых пор по механизму броуновской миграции 20
1.6. Модель коалесценции газовых пор за счет перерастворения газа 22
1.7. Проблема численного решения основного кинетического уравнения 25
1.8. Уравнение Фоккер-Планка 25
1.9. Метод группирования кластеров по размерам 28
1.10. Метод суммирования по путям 30
1.11. Метод моментов 31
1.12. Метод Монте-Карло 33 Заключение по разделу 1 34
2. Новый метод численного решения больших систем кинетических уравнений 36
2.1. Идея метода группирования кластеров по размерам 36
2.2. Метод группирования Киритани 38
2.3. Уравнение Фоккер-Планка с дискретизацией 39
2.4. Анализ и критика метода Киритани 40
2.5. Группирование на основе метода моментов 42
2.5.1. Основное кинетическое уравнение в групповом приближении для случая однокомпонентных частиц вторичных фаз 43
2.5.2. Основное кинетическое уравнение в групповом приближении для случая двухкомпонентных частиц вторичных фаз 44
2.5.3. Уравнение агрегации в групповом приближении 46
2.6. ЭВМ-программа 47
Заключение по разделу 2 48
3. Верификация предложенного метода 50
3.1. Численное решение модельной задачи Койвы 50
3.2. Моделирование процесса Оствальда и сравнение результатов с асимптотическим решением задачи Лифшица-Слезова 53
3.3. Моделирование зарождения вакансионных скоплений под облучением и сравнение с результатами теории гомогенного зарождения Катца-Видерзиха 56
Заключение по разделу 3 60
4. Моделирование зарождения и роста пор и пузырьков газа с применением предложенного метода 62
4.1. Развитие вакансионной пористости под облучением 62
4.1.1. Общая теория 62
4.1.2. Обобщение теории с учетом влияния каскадообразующего облучения 63
4.1.3. Моделирование эволюции вакансионных пор с учетом стохастических флуктуаций концентраций точечных дефектов, инициированных в каскадах смещений 68
4.2. Газовая пористость при отжиге 77
4.2.1. Моделирование коалесценции газовых пор, протекающей по механизму броуновской миграции 78
4.2.2. Моделирование коалесценции газовых пор, происходящей за счет термического перерастворения газа 92
Заключение по разделу 4 107
Основные выводы 109
Литература
- Общая кинетическая теория гомогенного зарождения
- Метод группирования Киритани
- Моделирование процесса Оствальда и сравнение результатов с асимптотическим решением задачи Лифшица-Слезова
- Моделирование эволюции вакансионных пор с учетом стохастических флуктуаций концентраций точечных дефектов, инициированных в каскадах смещений
Введение к работе
Актуальность проблемы. Накопление инертных газов в материалах ядерных энергетических установок (ЯЭУ), например, путем (и, а)-реакций, а также в результате прямой имплантации из плазмы и за счет распада трития в термоядерных реакторах (ТЯР), оказывают влияние на эволюцию микроструктуры материала, прежде всего, на эволюцию трехмерных вакансионных скоплений - пор. Известно, что атомы инертных газов способствуют зарождению и росту пор в облучаемых материалах, оказывая влияние на такие явления, как, например, распухание, и усиливая высокотемпературное радиационное охрупчивание. Эти явления приводят к нежелательным изменениям форм изделий активной зоны реакторов на быстрых нейтронах и механических свойств конструкционных материалов, что необходимо учитывать при разработке материалов для перспективных ядерных и термоядерных установок. Для этого необходимы теоретические знания основных механизмов диффузии газа в металлах, механизмов радиационного и термического растворения газа из газовакансионных пор. Кроме того, требуется понимание особенностей протекания характерных процессов эволюции газовакансионных скоплений - зарождения, роста, коалесценции газовых пузырьков в металлах как в условиях облучения, так и высокотемпературных отжигов для выявления их механизмов.
В основе эволюции газовакансионных пор лежит общее явление распада пересыщенных растворов частиц с образованием их скоплений. Наиболее общие качественные термодинамические основы этого явления известны давно. Однако его количественное изучение возможно лишь путем решения основного кинетического уравнения (ОКУ), что представляет известную сложность, которая состоит в том, что, с одной стороны, это уравнение не имеет точного аналитического решения для широкого круга практически значимых задач, за исклю -чением нескольких частных случаев, а с другой стороны - его численное решение затруднено из-за неприемлемо затратных по времени вычислений.
Решение ОКУ, которое наиболее полно и последовательно описывает эволюцию кластеров при облучении и отжиге, является нетривиальной вычислительной проблемой. Она состоит в том, что ОКУ, по-существу, представляет собой систему большого числа дифференциальных уравнений, каждое из которых описывает эволюцию кластера определенного размера. Число таких уравнений даже в случае однокомпонентного раствора дефектов, как правило - вакансий, достигает ~106 и более, а в случае двухкомпонентного раствора - вакансий и атомов газа, - до 1012. Поэтому численное решение такого количества уравнений для моделирования практически значимого времени эволюции кластеров является невыполнимым.
Несмотря на указанные сложности изучения эволюции газовых пор, тем не менее, исследователями-теоретиками был получен ряд важных результатов, в основном, позволяющих выяснить наиболее общие качественные основы развития газовакансионной пористости. Однако основные количественные закономерности, связанные с эволюцией распределения газовых пор по размерам, изучены недостаточно. Например, для случая газовакансионных кластеров точное аналитическое решение ОКУ получить не удается. Все известные приближенные аналитические решения получены при некоторых упрощающих модельных предположе-
ниях и являются асимптотическими. Создание реалистичной математической модели, описывающей все стадии эволюции пузырьков, предсказывающей изменения физических и механических свойств металлов вследствие накопления газовой пористости, остается актуальной проблемой. В связи с этим, настоящая работа является вкладом в решение этой проблемы, что и определяет ее актуальность.
Цель работы. Целью настоящей работы явилось выявление с применением компьютерного моделирования физических закономерностей развития газовакансионной пористости в конструкционных материалах ЯЭУ и перспективных ТЯР.
Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи.
Разработан новый метод группирования кластеров ближайших размеров на основе известного метода моментов для численного решения больших систем линейных дифференциальных уравнений.
Проведен сравнительный анализ нового метода численного решения больших систем кинетических уравнений с известными методами, а также его верификация путем сравнения численных и аналитических решений.
С применением разработанного метода проведены расчеты эволюции однокомпонент-ных скоплений точечных дефектов в металлах.
Предложено обобщение нового метода для решения задачи эволюции газовых пор в металлах и конструкционной стали.
Проведено компьютерное моделирование коалесценции газовых пор за счет механизмов броуновской миграции и перерастворения газа и его переноса в условиях высокотемпературного отжига.
Научная новизна и практическая значимость работы
-
Впервые сформулированы необходимые условия корректности метода группирования размеров ближайших кластеров, на основе которых проведен анализ корректности известных методов группирования, позволяющий сократить число интегрируемых уравнений кинетики.
-
С учетом сформулированных условий разработан новый метод группирования кластеров по размерам с использованием формализма метода моментов функции распределения. Проведена верификация разработанного метода путем численного решения известных модельных задач, имеющих аналитическое решение.
-
Путем численного моделирования впервые показано, что стохастические флуктуации концентраций точечных дефектов, инициированные каскадами смещений, не становятся дополнительным источником избыточных вакансий, влияющих на распухание.
-
Разработанный метод группирования позволяет получить уравнения для моделирования эволюции вторичных частиц, состоящих из произвольного числа компонентов. Используя эту особенность впервые получены кинетические уравнения в групповом
приближении для моделирования эволюции вторичных частиц - газовых пузырьков.
-
Полученные двухкомпонентные кинетические уравнения в групповом приближении позволили впервые провести численное моделирование коалесценции газовакансион-ных скоплений как в случае броуновской миграции пузырьков, так и в случае пере-растворения атомов газа из них при отжиге с учетом реалистичных модельных предположений.
-
Впервые численным моделированием коалесценции ансамбля мигрирующих пузырьков подтверждены асимптотические зависимости концентрации пузырьков и их среднего радиуса, полученные в рамках приближения средних величин, а также рассчитана эволюция двухкомпонентной функции распределения неподвижных газовакансион-ных скоплений по размерам, которая сопоставлена с известной асимптотической универсальной функцией распределения, полученной для жестких модельных условий.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный универсальный метод компьютерного моделирования позволяет решать сложные задачи в области физики радиационных повреждений конструкционных и топливных материалов ядерных и термоядерных реакторов. В частности, это касается задач, где требуется затратный по времени расчет эволюции функции распределения скоплений точечных дефектов, газовых пузырьков, многокомпонентных частиц выделений вторичных фаз. Важным практическим приложением является возможность прогнозирования интенсивности развития вакансионного и газового распухания конструкционных и топливных материалов ядерных энергетических установок, в том числе, результаты решенных задач могут быть использованы для прогнозирования процессов зарождения и эволюции газовакансионной пористости в реакторной конструкционной стали.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Разработанный на основе формализма метода моментов функции распределения кластеров по размерам новый метод группирования для численного решения больших систем кинетических уравнений, позволяющий существенно сократить их число, и доказательство корректности метода на примерах решения простых модельных задач с известными аналитическими решениями.
-
Результаты численного моделирования зарождения вакансионных кластеров, показывающие, что выражение для стационарной скорости зарождения Js справедливо также для нестационарных (квазистационарных) условий, когда вакансионное пересыщение уменьшается с накоплением повреждающей дозы.
-
Результаты численного моделирования эволюции вакансионных кластеров, показывающие, что стохастические флуктуации, инициированные каскадами смещений, не становятся источником избыточных вакансий, однако способны существенно менять соотношение сил стоков точечных дефектов, изменяя скорость распухания материала.
-
Результаты численного моделирования коалесценции подвижных пузырьков по меха-
низму броуновской миграции в сравнении с экспериментальными данными накопления газовой пористости в аустенитной коррозионно-стойкой стали Р7 в течение часового отжига в диапазоне температур 600-900 С и данными асимптотической модели в приближении средних величин. 5. Результаты проведенного численного моделирования коалесценции неподвижных пузырьков в бинарном растворе атомов газа и вакансий в сравнении с данными асимптотической модели коалесценции.
Объем и структура работы
Общая кинетическая теория гомогенного зарождения
Среди исследований первой половины XX века времени, посвященных обсуждению кинетической теории, наиболее значительными стали работы Р. Беккера и В. Дёринга [6], М. Фольмера [7, 8], Я. Б. Зельдовича [9] и Я. И. Френкеля [10]. Работа Зельдовича была посвящена исследованию явления кавитации в жидкостях, однако полученное им выражение для скорости зарождения применимо и к задаче конденсации водяных паров. Предложенный кинетический подход позволил устранить неопределенность в выражении стационарной скорости зарождения и придать теории Фаркаша современный математический вид [9].
Если f(n, t) – концентрация скоплений молекул размера n в момент времени t, тогда основное кинетическое уравнение (ОКУ) имеет вид:
В этом уравнении предполагается, что все скопления дискретно распределены по размерам, по узлам на оси n, отстоящим друг от друга на расстоянии 1. Изменение числа скоплений f(n,t) в узле n зависит от вероятностей перехода скопления в соседние узлы n-1 и n+1 и перехода из них в узел n. Таким образом, правая часть уравнения (1.9) описывает скорость роста числа вторичных частиц (скоплений) до размера n на единицу объема в единицу времени. Здесь P(n) и Q(n) – скорости реакций прихода и ухода (испарения) молекул, соответственно. Используя условие детального равновесия:
В уравнении (1.11) легко осуществить переход от конечных разностей к производным и представить его в дифференциальной форме для непрерывного пространства размеров частиц x. Предполагая, что f(n)=f(x); f(n+1)=f(x+) и т. д. и используя разложение в ряд Тейлора по и сохраняя члены разложения до второго порядка получаем основное уравнение: #І!Л= иМх)№!ШЩ (1.12)
Зельдович, развивая кинетический подход Фаркаша, впервые получил это уравнение из анализа кинетики в дискретном пространстве размеров исходя из основного кинетического уравнения, т. е. уравнения (1.9). Уравнение (1.12) является уравнением непрерывности, где поток кластеров в пространстве размеров имеет вид
В предшествующих работе Зельдовича исследованиях этот поток записывался сразу в дифференциальном виде непосредственно из уравнения диффузии. Скорость Р(х) - непрерывная функция и здесь играет роль коэффициента диффузии D. Заметим, что в частном случае, когда равновесная функция N(x) и параметр D не зависят от размера скоплений, уравнение (1.12) преобразуется в известный закон Фика:
Таким образом, уравнение (1.14) справедливо, если только все точки пространства х эквивалентны и поле силы -G/x не влияет на движение частиц, что, очевидно, не соответствует кинетике зарождения вторичных частиц.
Чтобы вычислить стационарную скорость зарождения необходимо проинтегрировать уравнение (1.12) с учетом стационарных условий, когда пересыщение неизменно. Таким образом, если df/dt=0, тогда где g(x) - стационарная функция, Js - стационарная скорость зарождения, когда число растущих кластеров из размера х в размер x+dx в единицу времени не зависит от х. Интегрирование уравнения (1.15) с использованием граничных условий: поскольку iV(x) при х, тогда как g(x) всегда конечна, позволяет вычислить стационарную скорость зарождения:
Это выражение впервые было получено Х. Крамерсом в работе, посвященной исследованию броуновской миграции частиц в поле силы и построению диффузионной модели химических реакций [11]. Уравнение (1.17) позволяет рассчитать точное значение стационарной скорости зарождения Js. Заметим, что Js определяется равновесной функцией N(x) (1.8).
Уравнение (1.17) содержит интеграл, который вычисляется численным способом, однако, его можно рассчитать с хорошей точностью в рамках следующих предположений. Из уравнения (1.8) следует, что функция N(x) имеет хорошо выраженный минимум, а 1/N(x) резкий максимум при х=х , поэтому основной вклад в величину интеграла вносят концентрации кластеров из окрестности х . Если считать, что в этой окрестности скорость Р(х) х1/3 (либо Р(х) х2/3), которая меняется медленно, тогда этой зависимостью от х можно пренебречь и, обозначая коэффициент Р(х ) параметром D , вынесем его за знак интеграла. При этом N(x) можно представить следующим выражением, разложив показатель экспоненты в ряд Тейлора до второй производной. Тогда имеем:
Уравнение (1.18) описывает поведение функции распределения п(х) в окрестности критического размера. Интегрирование соотношения (1.17) с учетом формулы (1.18) позволяет получить выражение для стационарной скорости зарождения:
Уравнение (1.19) эквивалентно тому, которое получено Зельдовичем в работе [9] и ранее Фаркашем [5] для стационарной скорости зарождения частиц вторичной фазы. Видно, что эта скорость является произведением равновесной концентрации критических кластеров, скорости захвата мономеров критическими кластерами, и так называемого «неравновесного фактора Зельдовича», учитывающего флуктуаци-онный характер зарождения в окрестности критического размера х .
Выражение для стационарной скорости зарождения (1.19) содержит коэффициент диффузии, который можно оценить из уравнения кинетики, описывающего изменение среднего размера зародыша:
Метод группирования Киритани
Я.И. Френкель [10] предложил использовать уравнение Фоккер-Планка (ФП) в качестве приемлемой аппроксимации ОКУ для непрерывного пространства размеров применительно к изучению кинетики зарождения вторичных фаз. Действительно, если скорости P(n, t) и Q(n, t) являются функциями в дискретном пространстве размеров, то их можно аппроксимировать непрерывными функциями P(x,t) и Q(x,t), т. е. заменить правую часть уравнения (1.9) непрерывными функция ми от двух переменных хиі. Уравнение Фоккер-Планка можно получить из ОКУ, если воспользоваться разложением в ряд Тейлора, оставляя слагаемые до второй производной:
Первое слагаемое в уравнении (1.45) описывает гидродинамическое течение кластеров, тогда как второе слагаемое - диффузию кластеров в пространстве размеров. Следует отметить, что для крупных кластеров, когда их эволюция контролируется преимущественно гидродинамическим слагаемым, и, поскольку функции P(x,t) и Q(x,f) гладкие, то ОКУ и уравнение ФП одинаково точны. В диапазоне малых размеров кластеров, когда влияние диффузионного слагаемого преобладает, тогда точность решения уравнения (1.45) ухудшается [24-26]. В частности, поскольку зарождение имеет место, как правило, в самом начале облучения, когда кластеры малы, то решение уравнения ФП приводит к существенному искажению в сравнении с точным решением ОКУ.
Очевидно, что ОКУ является более фундаментальным, чем уравнение ФП. Тем не менее, применение формализма ФП обладает рядом преимуществ, позволяя использовать методы дифференциального и интегрального исчисления для нахождения аналитического решения, что является математически оправданным. Среди преимуществ аппроксимации ФП можно отметить, что уравнение (1.45) легко преобразуется в уравнение относительно любой переменной. Например, можно преобразовать функцию распределения по размерам кластеров (х) в функцию распределения по радиусам (і?), воспользовавшись условием J(x)dx=J(R)dR и соотношением Я=(3х/4)1/3. Тогда
Преобразование из одной системы переменных в другую может быть полезно для решения той или иной задачи. Заметим, что динамика зарождения и роста вторичных частиц не зависит от выбранной системы переменных.
Аналитические методы решения уравнения ФП хорошо изучены [24-27]. Проверка формализма ФП посредством сравнения решений проведена в работе К. Клемента и М. Вуда [27]. Точное решение, полученное для специального частного случая и стационарных условий, сравнивалось с решениями уравнения ФП. Было показано, что диффузионный параметр в форме Ф. Гудрича (1.48) обеспечивает наилучшую аппроксимацию в сравнении с точным решением. Заметим, однако, что в работах Ф. Гудрича [25, 24], К. Клемента и М. Вуда [26, 27] рассматривались упрощенные модели, которые не имеют физического аналога. Показано, что аналитические решения уравнения ФП имеют место только для ограниченного числа специальных случаев. Также делается вывод о том, что аналитическое решение ОКУ/ФП в общем виде для физически значимых моделей, имеющих практическое значение, не существует.
Очень часто уравнение Фоккер-Планка использовалось также для получения численного решения, которое проводилось в основном путем дискретизации. Такой подход использовался, например, в работах [28-33], что позволило сократить число решаемых уравнений и, благодаря чему, рассчитывать крупные скопления, содержащие до 107 дефектов [29]. Хотя этот метод выглядит весьма эффективным для численных расчетов, однако его точность не проверялась. Методы численного решения уравнения Фоккер-Планка, позволяющие сократить число решаемых уравнений, выглядят недостаточно обоснованными. Действительно, в этом случае система уравнений эквивалентна системе, полученной простым суммированием ОКУ внутри группы близких по размеру кластеров в предположении, что функция распределения в такой группе аппроксимируется константой. Это означает, что метод численного решения уравнения Фок-кера-Планка с дискретизацией следует рассматривать в качестве одного из эквивалентных методов группирования, примененного для решения исходного ОКУ. Очевидно, корректность этих методов также требует подтверждения. Условия корректного применения методов группирования изложены ниже в п.1.9. Кроме того, метод Фоккер-Планка с дискретизацией вносит значительную погрешность в описание кинетики мелких кластеров. Это является существенным недостатком, поскольку именно корректное описание зарождения в области мелких скоплений имеет большое значение для моделирования эволюции вторичных частиц.
Моделирование процесса Оствальда и сравнение результатов с асимптотическим решением задачи Лифшица-Слезова
Одним из самых известных методов группирования является метод группирования Киритани. В целом, этот метод подобен простейшему методу, изложенному в п. 2.1. Действительно, в методе Киритани используется аналогичное предположение о независимости функции распределения кластеров от их размера внутри группы, а также о независимости от размера кластеров скоростей реакций Pt и Qt внутри группы. Из уравнения (1.52) легко видеть, что выражение для потока (условно «поток Киритани») выглядит следующим образом:
Видно, что это уравнение отличается от уравнения (2.4) лишь дробными коэффициентами, зависящими от ширины соседних групп, однако исходные скорости реакций Р, и Q, в уравнении (2.5) можно заменить эффективными скоростями Лэф и Qэф с учетом дробных коэффициентов:
Заметим, что в частном случае групп одинаковой ширины дробные коэффициенты равны единице и, следовательно, не изменяют уравнение (2.3), полученное из ОКУ. Однако на практике, чтобы существенно сократить число уравнений и, следовательно, объем вычислений, ширина групп выбирается неодинаковой. Для этого используют те или иные алгоритмы группирования, обеспечивающие постепенное увеличение ширины групп, чтобы ширина предыдущей группы была меньше последующей, т.е. п,1 п, пІ+1. В таком случае дробные коэффициенты Киритани приводят к искажению скоростей реакций - скорость захвата мономеров кластерами уменьшается, а скорость испарения мономеров увеличивается, т.е. Лэф Л и Qэф Qt, соответственно, что изменяет групповое уравнение (2.3). Характер этих изменений можно оценить для случая больших скоплений (т.е. n 1), если рассмотреть уравнение ФП, то коэффициенты Vi и Di равны
Очевидно, что в этом случае выражения для коэффициентов в уравнении (2.7) отличаются от исходных – уравнения (1.46) и (1.48). Действительно, в случае, когда ni-1 ni ni+1, из уравнения (2.7) следует, что параметр V, ответственный за рост кластеров, уменьшается, а параметр D, ответственный за дисперсию функции распределения кластеров, увеличивается. Искажения параметров V и D неконтролируемо изменяют исходное уравнение кинетики и, следовательно, искажают его решение. Таким образом, решение группового уравнения Киритани (2.3) и (2.5) отличается от решения простейшего группового уравнения (2.3) и (2.4). Кроме того, что важнее, оно отличается от решения исходного кинетического уравнения (1.9). Последнее подтверждается сравнением результатов численных расчетов, которое будет приведено ниже.
В целом, необходимо признать, что метод группирования, предложенный Ки-ритани, искажает описание физики процесса эволюции скоплений частиц и, поэтому, выглядит малообоснованным для применения. Действительно, дробные коэффициенты в уравнениях (1.52) и (2.5) лишены физического смысла, произвольно меняя скорости реакций Pi и Qi в зависимости от ширины соседних групп. Не смотря на то, что уравнение (1.52) внешне напоминает основное кинетическое уравнение (1.9), однако оно не является его строгим математическим следствием, что неизбежно приводит к накоплению неконтролируемых ошибок решения.
Помимо применения метода Киритани, численное моделирование эволюции скоплений точечных дефектов часто проводилось путем решения уравнения ФП в непрерывном R-пространстве (см. уравнение (1.49)). Такой подход оправдан в случае нахождения аналитического решения, когда использование ФП формализма в непрерывном пространстве размеров, позволяя использовать методы дифференци-39 ального и интегрального исчисления, например, преобразование Лапласа. Однако численное решение уравнение ФП требует дискретизации непрерывного пространства размеров. Поэтому корректность применения уравнения Фоккер-Планка для численного решения не так очевидна и требует удовлетворительного обоснования.
Уравнение Фоккер-Планка (1.45) выводится из ОКУ (1.9) путем разложения в ряд Тейлора в предположении, что n=1, оставляя слагаемые до второй производной. Таким образом, корректная дискретизация уравнения (1.45) должна соответствовать шагу n=1 в пространстве размеров кластеров, т. е. аналогично ОКУ. И поскольку, как правило, численно решается уравнение (1.49), записанное относительно переменной R, т. е. в пространстве радиусов, тогда корректная дискретизация уравнения в R-пространстве, должна также соответствовать шагу n=1 в пространстве размеров кластеров. Однако это условие никогда не соблюдается, и дискретизация осуществляется с шагом n 1. Тогда полученная система уравнений в сущности эквивалентна системе уравнений (2.3), полученной суммированием ОКУ внутри группы размеров кластеров, где функция распределения аппроксимируется константой. Очевидно, что такой подход, с одной стороны, позволяет существенно сократить число решаемых уравнений, а с другой – вызывает сомнения относительно точности получаемого решения также, как в случае применения простейшего группового уравнения (2.3) и уравнения Киритани (1.52).
Таким образом, метод численного решения уравнения Фоккера-Планка с дискретизацией следует рассматривать в качестве одного из эквивалентных методов группирования, применяемого для решения исходного ОКУ. Следует отметить, что подробная верификация метода численного решения уравнения Фоккера-Планка с дискретизацией авторами, использовавшими этот метод [28–33], не проводилась.
Анализ и критика метода Киритани
Корректность группового метода, основанного на уравнениях (2.3) и (2.4), требует проверки. Групповое уравнение (2.3) получено из соотношения (2.2), которое, в сущности, является выражением закона сохранения полного числа кластеров в группе. Однако этого недостаточно для решения задач физики радиационных повреждений, где одновременно требуется выполнение условия консервативности системы по числу дефектов, запасенных в кластерах.
Моделирование эволюции вакансионных пор с учетом стохастических флуктуаций концентраций точечных дефектов, инициированных в каскадах смещений
Решетка пор – явление упорядочения пор в облученных металлах. Предположение, что в кубических металлах упорядочение пор связано с анизотропией движения СМА вдоль плотноупакованных кристаллографических направлений было впервые выдвинуто А. Форманом [68] в 1972 г. и впоследствии подтверждено теоретическим анализом, например, в работе [69]. Первое сообщение об этом явлении, обнаруженном при облучении молибдена ионами азота, было сделано Дж. Эвансом в 1971 году [70]. Однако еще в 1966 году К. Коуторн и Е. Фултон [71] в своей первой публикации о распухании материалов под облучением указали на отсутствие случайного пространственного распределения пор. Это явление авторы объяснили влиянием частиц выделений вторичных фаз. Впоследствии решетка пор была обнаружена Г. Кульчинским [72] при облучении никеля ионами селена и Ф. Виффеном [73] при облучении нейтронами молибдена, ниобия и тантала. После того решетка пор наблюдалась в ОЦК, ГЦК, ГПУ металлах, ряде сталей и сплавах [74–78]. Помимо решетки пор при ионной имплантации гелия до предблистерных доз наблюдается и решетка пузырьков, обнаруженная впервые при облучении молибдена ионами гелия при комнатной температуре [79]. Основная наблюдаемая разница между сверхрешетками пор и пузырьков состоит в том, что размеры пузырьков и период их сверхрешетки в несколько раз меньше, чем у пор. В то же время, отношение периода сверхрешетки x0 к среднему размеру пор или пузырьков r примерно постоянно для каждого металла. Для сверхрешеток вакансионных пор в зависимости от материала отношение x0/r составляет 6–13, тогда как для сверхрешеток пузырьков оно равно 2–9. Следует отметить также, что решетка пор и пузырьков наблюдается в условиях каскадообразующего облучения, за единственным известным исключением, когда упорядочение пор фиксировалось при облучении электронами коррозионно-стойкой стали с высокой концентрацией азота [80]. Обзор характеристик упорядочения дефектов и анализ известных теорий, предложенных к тому времени, приведены в работах [81, 82], где отмечается, что симметрия и кристаллографическая ориентация решетки пор всегда воспроизводит симметрию кристаллической решетки металла. Кроме того, важной особенностью при возникновении решетки пор является эффект насыщения распухания облучаемых материалов. Этот эффект обсуждался в работах [83–85]. Указанные явления не имеют объяснения в рамках общей теории, поэтому разумно предположить, что она содержит принципиальные недостатки. Есть свидетельства, что они не связаны с влиянием атомов примесей и не зависят от особенностей кристаллической структуры материала. Действительно, аустенитные стали существенно различных составов и инкубационных периодов демонстрируют сходные стационарные скорости распухания, равные 1% на сна [86, 87]. В целом, ОЦК материалы демонстрируют хорошую стойкость к распуханию [87, 88], однако сплав V-5%Fe показал очень высокую скорость распухания – 2% на сна, достигая степени распухания 90% при 30 сна [89].
Главным недостатком общей теории является отсутствие в ней учета последствий кластеризации СМА в области каскада. Кроме того, дислокационный фактор предпочтения рассматривается в качестве единственного источника движущей силы, обеспечивающей рост пор и распухание. В работах [90, 91] изучено влияние внутрикаскадной кластеризации СМА и вакансий на распухание. Внутрикаскадная кластеризация и существующая разница в термической устойчивости межузельных и вакансионных кластеров приводит к так называемому каскадному фактору предпочтения (cascade production bias), который рассматривается в качестве основной движущей силы для стационарного распухания. Однако неподвижность или слабая подвижность межузельных кластеров, генерируемых в каскадах, при их высокой стабильности неизбежно приводит к чрезвычайному избыточному накоплению этих кластеров, что противоречит эксперименту [92]. Поэтому ключевым усовершенствованием модели, учитывающей каскадный фактор предпочтения, стало предположение об интенсивной одномерной диффузии мельчайших межузельных кластеров, обычно состоящих из 10 СМА. Подтверждения этого предположения были получены экспериментально [93–96]. Также имеются подтверждения, полученные посредством моделирования с применением методов молекулярной динамики [97, 98].
Теоретическое изучение особенностей кинетики развития пористости с учетом одномерной диффузии межузленных кластеров позволило дать объяснение зер-нограничному эффекту. Также этот подход позволяет приблизиться к пониманию механизмов образования решетки пор [99], что вызвало встречное обсуждение и критические замечания [100]. И, кроме того, он позволяет понять, например, такое явление, как высокая скорость распухания при низкой плотности дислокаций [101], что не имеет объяснения в рамках стандартной теории.
В модели каскадного фактора предпочтения считается, что в условиях каска дообразующего облучения микроструктура материала состоит из двух качественно различных типов дефектов: подвижных (одиночные вакансии и СМА, а также ва кансионные и СМА кластеры) и неподвижных (поры, межузельные петли, дислока ции, и т.д.). При этом часть вакансионных кластеров и кластеров СМА возникает непосредственно в области каскадов. Конфигурация, термическая стабильность и подвижность таких кластеров важна для кинетики накопления дефектов. В целом, вакансионные кластеры (дислокационные петли или тетраэдры дефекта упаковки) неподвижны и термически неустойчивы при температурах, которые выше темпера туры, соответствующей пятой стадии возврата ( 0,4Tпл , где Tпл – температура плав ления). Например, для аустенитной коррозионно-стойкой стали пятая стадия воз врата, соответствующая интенсивной термической диссоциации мелких вакансион ных кластеров, наступает при температуре 325 oC [102], а для сплава V-4Cr 4Ti – при температуре 375 oC [103]. В противоположность вакансионным кла стерам, кластеры СМА в основном имеют форму плоского (т.е. двумерного) узла краудионов или мелких дислокационных петель. Они термически устойчивы и чрезвычайно подвижны, мигрируя вдоль плотноупакованных кристаллографиче ских направлений. Способность СМА кластеров к одномерной диффузии до погло щения на дислокациях, порах и т.д. приводит к полностью отличной кинетике в сравнении с той, которой подчиняются трехмерно мигрирующие дефекты. Это, в свою очередь, приводит к качественно иной динамике накопления дефектов, отлич ной от прогнозируемой общей теорией.
