Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Деформационные дефекты в твердых телах 9
1.1. Классификация структурных дефектов в твердых телах 10
1.2. Классическая теория упругости в применении к описанию дефектов 12
1.3. Теория пластичности и упруго-пластические теории в применении к описанию дефектов 15
1.4. Основные определения неевклидовой геометрии 19
1.5. Геометрические теории твердых тел с дефектами 24
1.6. Выводы к главе 1 27
ГЛАВА 2. Калибровочная теория дислокаций 29
2.1. Геометрические основы калибровочной теории дефектов 29
2.2. Основные уравнения калибровочной теории дефектов 33
2.3. Уравнения движения среды 37
2.4. Вынужденные колебания смещений упруго-пластической среды с дефектами 41
2.5. Уравнения динамики дефектов 44
2.6. Система уравнений динамики дислокаций 51
2.7. Выводы к главе 2 52
ГЛАВА 3. Волны дислокаций в упруго-пластической среде 54
3.1. Стационарное распределение дислокаций в объеме кристалла 54
3.2. Собственные колебания упруго-пластической среды с дислокациями 62
3.3. Вынужденные колебания смещений и дислокаций упруго-пластической среды 70
3.4. Выводы к главе 3 75
ГЛАВА 4. Связь колебаний и структуры упруго-пластической среды 78
4.1. Затухающие и нарастающие колебания упруго-пластической среды 78
4.2. Связь направления смещений и ориентации дислокаций 83
4.3. Влияние колебаний температуры на процесс выращивания кристалла из расплава 89
4.4. Выводы к главе 4 91
Заключение 93
Список использованной литературы
- Классическая теория упругости в применении к описанию дефектов
- Основные уравнения калибровочной теории дефектов
- Собственные колебания упруго-пластической среды с дислокациями
- Влияние колебаний температуры на процесс выращивания кристалла из расплава
Введение к работе
Актуальность проблемы
Большинство электрофизических свойств полупроводниковых материалов являются структурно-зависимыми, т.е. определяются степенью совершенства структуры кристалла. Дефекты в кристаллах могут образовываться в процессе роста под действием термических и механических напряжений в области пластичности. В зависимости от условий выращивания, формирующаяся структура может содержать как трансляционные, так и поворотные элементы деформации, взаимодействие которых во многом обуславливает макроскопическую неоднородность материала. В основе взаимодействия структурных дефектов в кристаллах лежат фундаментальные процессы, протекающие в кристаллической решетке.
Снижение плотности дефектов в кристаллах полупроводников позволит получать более качественные материалы, которые используются в различных отраслях современного промышленного производства, таких как радиоэлектроника, микроэлектроника, космические технологии и др. Основной задачей в этом направлении является повышение микроскопической и макроскопической однородности кристаллических структур.
Перспективным методом описания геометрии кристалла со структурными нарушениями является использование калибровочной теории. Методы калибровочной теории дефектов активно развиваются в современной научной литературе и дают качественные результаты при описании реальных кристаллов.
Проблема образования и распространения дефектов в кристаллической структуре, их влияние на характеристики среды и зависимость от различных внешних факторов изучаются уже давно, но единой теории структурных дефектов до сих пор не создано.
Таким образом, исследование распределения дислокаций в кристаллах методами калибровочной теории дефектов — актуальное направление физики конденсированного состояния.
Цель работы
Теоретическое исследование волн деформаций в упруго-пластической среде с дислокациями.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решались следующие задачи:
Вывод системы уравнений динамики упруго-пластической среды с дислокациями на основе калибровочной теории дефектов;
Расчет стационарного распределения дислокаций в объеме тела
Исследование собственных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями;
Исследование образования и распространения вынужденных волн смещений и плотности дислокаций под действием колебаний температуры;
Анализ влияния колебаний температуры в зоне кристаллизации на распределение дислокаций при выращивании кремния методом Степанова.
Научная новизна
Выведено уравнение движения упруго-пластической среды с дефектами, частными предельными случаями которого являются уравнение движения упругой среды и уравнение Навье — Стокса.
Рассчитаны дисперсионные зависимости и соотношения между амплитудами плотности дислокаций и смещений для собственных колебаний упруго-пластической среды.
Выведены формулы, связывающие амплитуды вынужденных колебаний смещений и плотности дислокаций с амплитудой колебаний температуры.
4. Показана возможность аномального увеличения продольных смещений
и плотности дислокаций. Научная и практическая значимость
Калибровочная теория дефектов дополнена уравнениями, описывающими динамику упруго-пластических тел.
Полученные результаты проясняют волновую природу распространения деформаций и дислокаций в упруго-пластических телах.
Найденные закономерности распределения смещений упруго-пластической среды позволяют объяснить некоторые проявления сейсмической активности.
Раскрыт один из механизмов аномального увеличения плотности дислокаций при выращивании кристаллов.
Достоверность результатов
Использованные методы калибровочной теории дефектов хорошо апробированы в научной литературе.
Использованные методы теории колебаний широко используются и экспериментально подтверждены в физике конденсированного состояния, радиофизике, оптике, механике и др. областях.
Выведенные уравнения динамики упруго-пластической среды обобщают и при определенных значениях коэффициентов переходят в классические уравнения теорий упругости и движения вязкой жидкости.
Изучается волновой характер пластической деформации, подтвержденный фундаментальными исследованиями других авторов.
В расчетах влияния колебаний температуры на плотность дислокаций используются параметры реального ростового процесса.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Уравнения движения упруго-пластической среды с дефектами.
Закономерности стационарного распределения дислокаций в объеме тела.
Дисперсионные соотношения для собственных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями.
Зависимости между амплитудами плотности дислокаций и смещений для собственных колебаний упруго-пластической среды.
Зависимости амплитуд вынужденных колебаний смещений и плотности дислокаций от амплитуды колебаний температуры.
Решения уравнений динамики упруго-пластической среды с затухающими или нарастающими амплитудами колебаний смещений и плотности дислокаций.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на
- научных семинарах кафедры общей физики и информационных
систем Кубанского государственного университета;
IX Всероссийской конференции молодых ученых-физиков, г. Красноярск 2004 г.;
Международной научной конференции «Междисциплинарный уровень интеграции современных научных исследований» г. Анталия (Турция) 17-24 августа 2004г.;
- Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов
«Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных
исследований в регионах», г. Краснодар, 22—24 сентября 2004 г.;
- IX Всероссийской научно-практической конференции «Наука.
Экология. Образование», г. Анапа, 1-Зоктября 2004 г.;
- VII Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем
- 2004» г. Красноярск, 8-10 октября 2004 г.;
- VIII Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных
систем - 2005» г. Красноярск, 14-16 октября 2005 г.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 работ, 2 из которых вышли в изданиях, рекомендуемых ВАК: (Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества (ЧЭС)).
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 103 страницы, включает 20 рисунков и список литературы из 95 наименований.
Классическая теория упругости в применении к описанию дефектов
Изначально исследователи рассматривали кристалл как упругий континуум, поведение которого описывает классическая линейная теория упругости. В работе [8] построена континуальная теория дислокаций. В монографиях [9-11] вопросы прочности материалов, генерации и динамики дислокаций рассмотрены с точки зрения классической механики.
Использование аппарата классической механики для описания трансляционных дефектов оправдывало себя, так как при образовании и движении дислокаций преобладает поступательное движение кристаллической решетки, которое легко описывается законами механики.
В работе [12] построена механическая теория дислокаций, согласно которой источники дислокаций стационарны и в качестве таковых могут в частности выступать источники типа Франка — Рида. Однако, на практике, предположение о статичности плотности источников не оправдало себя и теория не получила должного экспериментального подтверждения. В теории, предложенной Дью-Хугсом, дислокации размножаются в процессе движения, оставляя за собой «след» новых дислокаций. При этом скорость размножения дислокаций пропорциональна числу дислокаций-источников, а также проходимому ими расстоянию: Хотя теоретические предположения Дью-Хугса не оправдались, предложенный математический аппарат, как показали эксперименты, довольно точно описывал процессы размножения дислокаций в кристаллах полупроводников при средних температурах. В частности, определена величина эффективного напряжения, описывающая связь между макроскопическими и микроскопическими параметрами, что позволяет количественно учитывать влияние внешних факторов на структуру кристалла.
Согласно [8], для того, чтобы образовать дислокацию в совершенном кристалле нужно произвести сдвиг в некоторой части плоскости скольжения. Напряжение, необходимое для начала образования дислокаций называется критическим скалывающим напряжением и может быть вычислено из первых принципов. tc G/30, (1.1) где G - модуль сдвига кристаллической решетки.
Опыт показал, что сдвиг в большинстве реальных кристаллов начинается при значительно меньших напряжениях: (1(Г -1(Г5)С Такие низкие значения связаны с тем, что сдвиг в реальных кристаллах происходит не путем смещения целых кристаллических плоскостей, а путем скольжения дислокаций, уже существующих в кристалле.
Поле напряжений вокруг винтовой дислокации согласно классической теории упругости описывается выражением: TD=G-i (1.2) 2лг где b - постоянная кристаллической решетки; г - расстояние до центра дислокации.
Видно, что на расстоянии (103-104)Ь напряжения составляют (10 -10"5)G, и если на этом расстоянии окажется еще одна дислокация, то под действием такого напряжения она может начать скольжение, т.е. между дислокациями существует сильное упругое взаимодействие. Теория взаимодействия дислокаций получила экспериментальное подтверждение. В работе П. Хаазена на основе результатов электронно-микроскопического исследования деформированного германия был предложен дипольный механизм размножения дислокаций. Согласно этой модели, дислокации, образующие диполь, могут под действием приложенного напряжения преодолеть существующие между ними силы притяжения и в результате образовать дислокационное кольцо. Предложено соотношение между величиной сдвиговой деформации а и плотностью дислокаций N, выражающее упрочнение кристалла с увеличением деформации 2Bif AVN , ,, AVN (1.3) a = r- ln(l ) KA2 x T где A = G-b/2tt(l- v); v — коэффициент Пуассона; К и В экспериментальные константы.
Выражение (1.3) подтверждено экспериментами, проведенными на кристаллах германия при Т = 582С. Плотность дислокаций менялась в А 7 "7 диапазоне N=10 10 см". Более детально механизм упрочнения проработан в работе [13]. Методом дифракции гамма-лучей выявлено, что в медной пленке на поверхности алюминия, упрочнение происходит в основном за счет ограничения движения дислокаций под действием внешних напряжений, при плотности дислокаций N = 6,4 см-2.
Из выражения (1.2) следует, что при г— 0 напряжение стремится к бесконечности, т.е. в ядре дислокации с радиусом r0 Ь, линейная теория упругости не применима. Для описания поля напряжений в ядре дислокаций используются иные подходы: пластические модели, дискретные атомные модели и др.
Благодаря своей простоте, классические теории и сейчас находят применение в описании некоторых аспектов дефектообразования. Упругие поля в однородных тонких пленках с дефектами исследуются в [14, 15], в [14] подробно рассмотрен случай краевых дислокаций с вектором Бюргерса, направленным параллельно поверхностям. Однако использование теории упругости в тонких пленках на наш взгляд разумно лишь при высоких температурах, когда процент идеальных (безъядерных) дислокаций достаточно высок. Это подтверждают результаты, полученные в
Основные уравнения калибровочной теории дефектов
Выберем плотность Лагранжиана упругого континуума с дефектами в виде L = (L0 + SlL,-O + s2L2)g1/2. (2.19) Величины, входящие в правую часть (2.10) имеют следующий смысл. L0 =( ( -ссРїТ)(ирт -01 )/2 (2.20) включает кинетическую энергию среды и энергию упругой деформации, где C0h0lL=pc2gh\ Cijkh=-cijk\ где cljkh - коэффициенты упругой жесткости кристалла; p=const - плотность материала; с - скорость света; ctjj - тензор теплового расширения кристалла, ctoa—0; alj = -C,jkh (ukh - a T) - компоненты тензора напряжений; ph = 2C0h0ku0k - плотность импульса материальной среды. s.L, = (3R XtJ,w -R toR o») (2.21) есть плотность Лагранжиана ротационной составляющей свободного калибровочного поля объекта связности A Vi). Ф - плотность потенциальной энергии ротационных элементов деформации. В избранном локальном базисе определим компоненты тензора ПД,=АГ(1,0)-Г;00), (2.22) в которых из компонент объекта связности пространства L5 исключаются эффекты, связанные с выбором системы координат; Гу! - коэффициенты Кристоффеля пространства Rj, Гу0)у) = Гу , r;r (dygki + dU-dkgt)/2. (2.23)
С помощью тензора Пкц), построенного из связностей двух римановых пространств, в работе [68] сконструирован тензор конформного соответствия. Компоненты вида п j) = п 6 l\j) не связаны с элементарными поворотами локального базиса, поэтому функция Ф должна зависеть от величин ПД) = ПТ{% -6(i)(j,nr(k)(k)/3, (2.24) например, Ф = ФМ%»(і)Пр,ь,,г,Пї,і)(,. (2.25) Построим величину S2L2 и определим ее физический смысл L2=-gitv5gCiXj)(vTB;i -vtlB;i,xvsBv(j)-vvBs(J))/2= = -ga Ag(iXj)sign(g)(Pp(i) + sign(g)Bv( V",, ) (PW(J + sign(g)Bv( VV )/2, (2.26) где Vy оператор ковариантной производной с коэффициентом связности Ау\ для индексов без скобок и AT(0(j) (в избранном локальном базисе) для индексов в скобках. Пусть Пу(1)(л=0, из этого равенства следует, что отличны от 0 могут быть только компоненты Rpy 0(4), тогда hi зависит только от компонент тензора плотности дислокаций. Например, в случае статической, однородной плотности дислокаций Nd, направленных вдоль единичного вектора 1 , с элементарным вектором Бюргерса b(k), элемент Лагранжиана L2 = -Nd2b2 /2.
Для определения энергии образования дислокаций воспользуемся моделью, изложенной в [66]. Дислокации нарушают периодичность кристаллической решетки. Образование новой дислокации под действием касательных напряжений связано с перемещением существующих дислокаций в некоторой ее окрестности радиуса Ro- Работа Ао на единицу длины дислокации при ее перемещении прямо пропорциональна критической силе fc, действующей на единицу длины, и смещению b , где fc xcb , тс критическое значение касательного скалывающего напряжения. Работу по созданию dNd дислокаций длиной lj обозначим dA, dA=7rR0 NdAoljSdNd, где S - площадь боковой поверхности кристалла. Отсюда следует, что плотность потенциальной энергии образования дислокаций под действием критического скалывающего напряжения Wop = -s2L2 = s2Nd V /2 = 7iR2TcNdV /2. (2.27)
Слагаемые -glngkmg(i)(j)sign(g)Pkl(,,Pmn(j), входящие в L2, пропорциональны кинетической энергии дислокаций. Таким образом, S2L2 есть плотность Лагранжиана трансляционных дефектов. Слагаемые, содержащие Пк (і) в (2.26), необходимо добавить для интегрируемости полевых уравнений, они компенсируют вклад ротационных дефектов. Выражения (2.20, 2.21, 2.25, 2.26) учитывают вклады второго порядка относительно малых деформаций и смещений. Величины Si, s2 не являются универсальными постоянными, а определяются условиями задачи.
Плотность Лагранжиана в области упругости твердого тела Le получается из L, если положить П (j) =0 и 0р = 0, в этой области касательные скалывающие напряжения не превышают критическое значение тс.
Собственные колебания упруго-пластической среды с дислокациями
Найдем распределение плотности дислокаций в пластине кремния шириной W=0,012 см. Коэффициенты cm( )sq выразим через коэффициенты упругой податливости кремния [76-78], значение константы связи S2 вычислено в [61]. Распределение плотности дислокаций на поверхности (100) вдоль координаты у представлено следующими иллюстрациями: рис. 2 -поверхностная плотность краевых дислокаций ND (решение 2 типа); рис. 3 -поверхностная плотность винтовых дислокаций ND (решение 1 типа); рис, 4 -поверхностная плотность винтовых дислокаций ND (решения 2 и 3 типа); рис. 5 - основная часть зависимости для поверхностной плотности винтовых дислокаций ND (решение 2 типа).
На рис. 4—6 представлена область изменения плотности дислокаций, ограниченная нижним значением 10 м , которое соответствует структурно совершенному материалу. Для наглядности эти графики построены в полулогарифмическом масштабе. Спад плотности дислокаций от Ю16 м-2 до 10 м происходит на интервалах: 14 мкм (рис. 5) и 2,5 мкм (рис. 6) для винтовых дислокаций; 25 мкм (рис, 4) — для краевых дислокаций.
Длина волны X периодического решения для краевых дислокаций определяется значениями коэффициентов упругой жесткости кристалла, для кремния 1=6,8 мкм.
Монотонно убывающие решения (рис. 4, 5) описывают распределение как краевых, так и винтовых дислокаций. Коэффициент пространственного затухания а постоянен по всей ширине образца и определяется упругими свойствами кристалла. Рассчитанное значение акр для краевых дислокаций — 1,45 мкм-1; для винтовых дислокаций ов = 2,76 мкм-1. Значения коэффициентов затухания обратно пропорциональны величине константы s2.
Для винтовых дислокаций существует два класса затухающих осциллирующих решений (рис. 7). Коэффициент затухания для этих решений выражаются константой \JI. Теоретическое значение vj/ для кремния — 1,38 мкм-1. Длина волны осцилляции также зависит от упругих свойств материала и в кремнии имеет значение 7,4 мкм.
Таким образом, решение уравнений калибровочной теории с краевыми условиями, заданными на гранях у = ±W/2, приводит к следующим механизмам стационарного распределения дислокаций вдоль оси Y: монотонно убывающие решения существуют как для краевых, так и для винтовых дислокаций; убывающие решения с осцилляциями — только для винтовых дислокаций; волновые решения — только для краевых дислокаций.
Период осцилляции и коэффициенты затухания плотности дефектов зависят от упругих свойств материала и константы связи калибровочной теории. Рассчитаны коэффициенты затухания в кремнии для монотонно убывающего распределения краевых дислокаций - 0 =1,45 мкм"1, винтовых дислокаций - сгв=2,76 мкм"1, для осциллирующих затухающих решений -\[/=1,38 мкм-1. Длина волны незатухающего решения для краевых дислокаций в кремнии Х,=6,8 мкм. Данные значения являются модельными, так как зависят от условий пластической деформации.
Характерное расстояние изменения плотности краевых дислокаций в е раз в кремнии при величине скалывающего напряжения тс=75-108 Н-м"2 / 1 мкм.
Используя уравнения (2.49), (2.94), (2.95), изучим характеристики собственных и вынужденных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями в поле постоянной температуры, определим взаимосвязь волн смещений и дислокаций в упруго-пластической среде [83].
Пусть волны распространяются в направлении оси Y декартовой системы координат X, Y, Z. Представим волны смещений и деформаций в виде гармонических функций: и}а,у) = Цехр{1(0)-1-к-у)}, (3.21) 0« (t, у) = В (3.22) где Uj и Вц — амплитуды колебаний полей Uj(t, у), 0jj(t, у), соответственно; ю -частота гармонических колебаний; к— волновое число.
Рассмотрим продольные волны смещений среды, тогда U2 фО, \]\ — 0, U3" 0. Разложим уравнение (2.75) для продольных колебаний по свободному индексу (s).
Влияние колебаний температуры на процесс выращивания кристалла из расплава
Как уже отмечалось ранее, одна из причин появления геометрических дефектов и изменения морфологии кристалла - нестационарность температурных условий на фронте кристаллизации. Температурные условия являются важным фактором, влияющим на кинетику роста поликристаллов, и потому становятся объектом многочисленных экспериментальных исследований [86-89]. В работе [90] приведены экспериментальные данные, указывающие на то, что колебания температуры вблизи торца формообразователя при выращивании кремниевого профиля имеют достаточно выраженный периодический характер, обусловленный вращением тигля с расплавом. Аналогичная закономерность отмечена и при выращивании кремния по Чохральскому [86]. В работе [90] приводятся данные, полученные при измерении колебаний температуры на фронте кристаллизации. В спектре колебаний температуры наблюдались аномальные гармоники с амплитудой колебаний То = 10-20 К и частотой со р = 0,3-0,6 с"
В области пластичности минимальная частота незатухающих собственных продольных колебаний ЙІ(0) ЮП с-1. Так как экспериментальные частоты сосхр« tOi(0), то они соответствуют затуханию (нарастанию) колебаний среды и плотности дислокаций в области пластичности.
Рассмотрим модель, представленную на рисунке 20. Кристалл 2 вытягивается из расплава 4 в направлении оси Y. На кромке формообразователя 1 по техническим (или иным) причинам существуют периодические колебания температуры, которые приводят к периодическим смещениям фронта кристаллизации 3. В области пластичности 5 образовавшиеся смещения могут нарастать или затухать.
В диапазоне от температуры плавления Тт до Тпл—100 К, кристалл можно рассматривать как упруго-пластическую среду. При вытягивании ленты со средней скоростью температурный градиент равен 200 К см-1, тогда размер области пластичности w 0,5 см [91-93].
Изменение высоты мениска h расплава в формообразователе, вызванное колебаниями температуры u0=h-aT0, (4.13)
Коэффициент теплового расширения для кремния aK = б-Ю-6 К-1. Согласно литературным данным [90, 94-95], при выращивании кремния средняя высота мениска h = 0,05 см, тогда на фронте кристаллизации возникают продольные смещений с амплитудой и0 = 1,2-Ю-6 см. Проходя сквозь область пластичности, амплитуда смещений может нарастать или затухать по экспоненциальному закону. Коэффициент усиления для пластичного кремния к«р = 4,5 103 м-1. При протяженности пластичного слоя w = 0,l см амплитуда смещений на выходе достигает величины U= 10 см.
Такие смещения могут приводить не только к образованию структурных дефектов, но и к растрескиванию и отрыву растущего кристалла. Следовательно, колебания температуры на кромке формообразователя могут явиться одной из причин нестабильного роста кристалла. Согласно (3.42), продольные смещения среды в области пластичности сопровождаются колебанием плотности дислокаций. В случае усиления колебаний, амплитуда колебаний плотности дислокаций на выходе из области пластичности достигает значения ND = 1014 см-2.
По мере вытягивания кристалла, образовавшиеся дислокации выходят из области пластичности и «застывают» в кристаллической решетке, образуя периодическую дислокационную структуру выращенного кристалла. Следовательно, колебания температуры на кромке формообразователя — одна из причин формирования распределения дислокаций в кристалле.
Итак, колебания температуры на кромке формообразователя могут стать причиной: — образования на фронте кристаллизации продольных смещений, которые, усиливаясь в области пластичности кристалла могут привести к растрескиванию и отрыву растущего кристалла. Отметим, что помимо колебаний температуры, источником возникновения смещений могут быть вибрации ростовой установки, грунта, случайные толчки и др.; — увеличения плотности дислокаций в области пластичности. По мере вытягивания кристалла, образовавшиеся дислокации выходят из области высоких температур и образуют периодическое распределение плотности дислокаций вдоль оси роста. Контроль состояния кристалла вблизи фронта кристаллизации позволит снизить амплитуду колебаний смещений и плотности дислокаций.
