Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теория возмущений в задаче о фазовом переходе в полевой модели 19
1. Постановка задачи. Гамильтониан 19
2. Нулевое приближение 22
3. Флуктуационные поправки к результатам теории Ландау 27
4. Полевая модель с многокомпонентным параметром порядка во внешнем поле 36
5. Самосогласованное фононное приближение в теории фазовых переходов 39
6. Дипольные силы и параметр Гинзбурга-Леванюка в сегнетоэлектриках 44
Глава 2. Метод группы в теории критических явлений 51
7. Основные идеи метода РГ 52
8. Техника РГ в задаче о фазовом переходе второго рода 57
9. Критические флуктуации и анизотропия 75
Глава 3. Объединенная теория критических явлений 82
10. Постановка задачи 82
11. Ультрафиолетовые графики, дополнительная шестихвостка и уравнения РГ 86
12. Решение уравнений РГ 96
13. Восприимчивость и теплоемкость 103
14. Высшие вершины и уравнение состояния 111
Глава 4. Два примера предасимптотических режимов критического поведения 114
15. Одноосный кристалл со слабым дипольным взаимодействием в критической области 114
16. Особенности термодинамики кристаллов с несколькими взаимодействующими упорядочивающимися подсистемами 123
Глава 5. Критическая термодинамика систем с обобщенной кубической симметрии 128
17. Паркетное приближение и критическая размерность параметра порядка 129
18. За пределами "паркета": функции ИЛ, Ис и критические индексы 136
19. Фазовый переход в одноосном кристалле с дефектами 149
20. О знаке критического индекса теплоемкости примесных систем 157
21. Критическое поведение тетрагональных кристаллов, склонных к образованию несоизмеримых фаз 160
Глава 6. Фазовые переходы в кубических и тетрагональных сегнетоэлектриках (ферромагнетиках) 165
22. Постановка задачи. Гамильтониан 165
23. Критическое поведение кубического сегнето-электрика с изотропной корреляционной функцией 168
24. Влияние анизотропии спектра флуктуации: пропагатор и уравнения ГМЛ 174
25. Фазовые траектории, фиксированные точки и диаграмма состояний кубического сегнетоэлектрика (ферромагнетика) 177
26. Обсуждение экспериментальной ситуации 185
27. Термодинамика тетрагонального кристалла с дипольними силами выше Тс 191
28. Свободные энергии ромбической и моноклинной фаз в области сильных критических флуктуации 195
29. Диаграмма состояний кубического кристалла с короткодействующим межатомным потенциалом 204
Глава 7. Критическая термодинамика сверхтжучих фермижидкостей 208
30. Сверхтекучесть гелия-3 и флуктуации 208
31. Корреляционная функция и уравнения ГМЛ 211
32. Фазовые траектории, фиксированные точки и диаграмма состояний 220
33. Свободные энергии сверхтекучих фаз гелия-3 во флуктуационной области 232
34. Фазовые переходы в сверхтекучей нейтронной жидкости 244
Заключение 250
Приложение 255
Литература 260
- Полевая модель с многокомпонентным параметром порядка во внешнем поле
- Ультрафиолетовые графики, дополнительная шестихвостка и уравнения РГ
- Особенности термодинамики кристаллов с несколькими взаимодействующими упорядочивающимися подсистемами
- Критическое поведение тетрагональных кристаллов, склонных к образованию несоизмеримых фаз
Введение к работе
Фазовые превращения в веществе - это явления, с которыми мы сталкиваемся ежедневно. Будучи с давних пор предметом пристального внимания специалистов: физиков, химиков, теплотехников, биологов и др., они в то же время не перестают вызывать живой интерес у-каждого любознательного человека. Целенаправленное изучение аномальных свойств газов, жидкостей и твердых тел вблизи точек (линий) фазовых переходов ведется более ста лет. Однако лишь в последние десятилетия эти исследования стали настолько интенсивными и многосторонними, а их результаты приобрели столь большое общенаучное значение, что появилась возможность говорить о возникновении новой области физики - физики фазовых переходов. Важную роль здесь сыграло осознание факта универсальности критического поведения различных, порой весьма несхожих друг с другом во всех прочих отношениях веществ.
Более короткую, но не менее яркую историю, чем экспериментальная физика критического состояния, имеет теория фазовых переходов и критических явлений. Зародившись в классических работах Ван дер Ваальса, Максвелла, Вейсса, эта теория превратилась сегодня в один из наиболее быстро развивающихся разделов теоретической физики. Традиционно этот раздел представляет собой сферу возникновения или же испытательную площадку новых, как правило весьма изощренных математических методов, обнаруживая в этом плане свое родство с квантовой теорией поля и теорией элементарных частиц.
Современная теория критических явлений очень молода. Если отнести начало ее биографии к тому времени, когда задача о фазовом переходе второго рода была сформулирована Л.Д.Ландау в ее сегодняшнем виде Ql,2] и было осознано, что она представляет собой фундаментальную проблему теоретической физики, то окажется, что этой теории нет еще 25 лет. За истекшую четверть века была воссоздана детальная физическая картина явлений, происходящих в веществе вблизи критической точки, выяснена роль флуктуации параметра порядка в формировании критического поведения систем различных классов, вычислены флуктуационные поправки к результатам феноменологической теории [3-5}, развит современный теоретико-полевой формализм в задаче о фазовом переходе pf], сформулирована гипотеза подобия и разработана феноменология скейлинга б-9І» дано микроскопическое обоснование гипотезы подобия [I0-I2J, успешно применен в теории критических явлений метод ренормализационной группы в его стандартной теоретико-полевой формулировке [l3,I4), разработана техника полугруппы ренормировок [is], изобретены методы - и -т--разложений [І6-2І], с их помощью проанализировано критическое поведение множества конкретных физических систем (см. обзоры и книги [і,22-2б]), приближенно, но с очень высокой точностью вычислены критические индексы основных трехмерных моделей [27-3l].
Особенно стремительный взлет теория фазовых переходов и критических явлений испытала в последнее десятилетие. Он был инициирован известными работами К.Вильсона JJ5-I7J, базировавшимися на пионерских исследованиях, выполненных в 60-е годы в СССР и США, и положившими начало широкому применению метода ренормализационной группы в теории конденсированного состояния. Метод ренормгруп-пы позволил единым образом подойти к решению большого числа задач физики фазовых переходов, объяснить множество экспериментальных фактов и закономерностей, предсказать целый ряд нетривиальных флукгуационных эффектов. Здесь возникло новое, обширное и очень быстро растущее направление современной теоретической физики. Развитию этого направления и посвящена, в основном, настоящая диссертационная работа.
Задачи, которые решает сегодня физик, занимающийся теорией фазовых переходов, можно разбить на три большие группы. К первой группе мы отнесем проблемы, анализ которых не требует выхода за рамки приближения самосогласованного поля. Они возникают тогда, когда мы рассматриваем системы (или режимы), характеризующиеся достаточно слабыми критическими флуктуациями. Вторую группу составляют задачи, в которых критические флуктуации играют главную роль, однако их учет приводит лишь к количественному видоизменению результатов по сравнению с предсказаниями теории Ландау - меняются значения критических индексов, критических амплитуд и т.п. И, наконец, в третью группу можно объединить все те случаи, когда учет флуктуации параметра порядка меняет критическое поведение системы кардинально, т.е. на качественном уровне (изменяются род фазового перехода, геометрия или топология диаграммы состояний и т.п.).
В предлагаемой диссертационной работе решается широкий круг задач современной теории фазовых переходов и критических явлений. Этот круг естественным образом распадается на три цикла в соответствии с приведенной выше классификацией.
Первый цикл работ, включенных в диссертацию, посвящен разработке теории возмущений в задаче о фазовом переходе в модели, которую мы будем называть полевой. Эта модель, чей гамильтониан идентичен гамильтониану евклидовой теории поля с мнимой массой и самодействием типа 7\(Р , представляет собой своего рода альтернативу решеточным моделям фазовых переходов типа моделей Изинга и Гейзен-берга. Полевая модель и ее многочисленные модификации приобрели большую популярность в связи с изучением структурных фазовых переходов в слабоангармонических кристаллах, в частности, сегнето-электрических переходов типа смещения. В то же время "каноническая" итерационная процедура для вычисления флуктуационных поправок типа той, которая была построена В.Г.Баксом, А.Маркиным и С.А.Пикиным для моделей Изинга С32] и Гейзенберга Гзз]» Для полевой модели отсутствовала. В диссертации предлагается подобная итерационная схема, позволяющая на основе соответствующей диаграммной техники находить флуктуационные поправки к результатам теории Ландау в любом порядке по параметру Гинзбурга-Леванюка. Конкретные вычисления проводятся в нулевом, первом и втором приближениях теории возмущений как для высокотемпературной, так и для упорядоченной фазы.
К этой проблематике тесно примыкает вопрос о природе и пределах применимости в теории фазовых переходов так называемого самосогласованного фононного приближения (СФП). Данная аппроксимация первоначально возникла в теории квантовых кристаллов, где с ее помощью удалось описать динамику кристаллических решеток, неустойчивых в гармоническом приближении (см. обзоры [34,35]). Затем было сделано несколько попыток использовать этот подход в теории структурных фазовых переходов [Зб-39], однако при этом был получен ряд довольно странных результатов, что навело на мысль о неприменимости СФП в рассматриваемом случае [40]. В диссертации проводится критический анализ сложившейся ситуации, указывается то место, которое занимает СФП в микроскопической теории фазовых переходов, и очерчивается круг задач, чье решение можно получить в рамках этого приближения.
В заключение первого цикла рассматривается вопрос о влиянии дипольных сил на ширину критической области сегнетоэлектрическо-го кристалла. Этот вопрос приобрел особую актуальность в последние годы в связи с развитием экспериментальных исследований критических явлений в сегнетоэлектриках и родственных им материалах. Поскольку дипольные силы имеют дальнодействующий характер, принято считать (см., например, [41])» что параметр Гинзбурга-Леваню-ка в сегнетоэлектриках должен быть очень малым (~Ю~*). Однако анализ экспериментальных данных [42-И], в том числе и результатов недавних высокопрецизионных измерений [45J, показывает, что реально этот параметр имеет величину порядка 10 х - 10 S В диссертации выясняется, в какой мере наличие дипольных сил сказывается на ширине критической области и какие факторы ответственны за относительную малость параметра Гинзбурга-Леванюка в сегнето-электрических кристаллах.
Центральное место в диссертации занимают второй и третий циклы, которые включают в себя работы, посвященные собственно флук-туационной теории критических явлений в различных системах. Основной задачей, решаемой во втором цикле, является разработка объединенной теории критических и трикригических явлений для моделей с физической размерностью пространства. Главная цель, которая здесь ставится, - это вывод системы уравнений ренормализационной группы (РГ), позволяющей единым образом описывать термодинамические свойства вещества в критическом, трикритическом и переходном (crossover) секторах диаграммы состояний. Построение объединенной теории поли- - II - критических явлений наталкивается на ряд серьезных трудностей как принципиального, так и технического характера. Получить о них некоторое представление можно, вспомнив хотя бы тот факт, что в задачах данного типа существенны не одна, а несколько вершин, имеющих разные масштабные размерности. Поэтому здесь теряет смысл такое фундаментальное понятие как граничная размерность пространства, возникают проблемы, связанные с определением одетых констант связи, и т.п. В диссертации эти трудности удалось преодолеть. В результате появилась возможность находить выражения для основных термодинамических величин, применимые во всех перечисленных выше секторах фазовой диаграммы. На основе развитой общей теории легко находятся также поправки к критическим асимптотикам, порождаемые многочастичными взаимодействиями (высшими затравочными вершинами).
Продолжает второй цикл исследование критического поведения одноосных кристаллов со слабым дипольным взаимодействием и веществ, в структуре которых можно выделить две или более упорядочивающиеся при фазовом переходе подсистемы, взаимодействующие друг с другом. Теоретическое изучение указанных объектов сейчас весьма актуально в связи с появлением значительного числа экспериментальных работ по критической термодинамике одноосных ферромагнетиков, одноосных несобственных сегнетоэлектриков и кристаллов со сложными видами магнитного упорядочения. Основное внимание в этом разделе диссертации уделено рассмотрению предасимптотических (переходных) режимов и поправок к скейлингу, специфичных для исследуемых систем.
Последний круг вопросов, рассматриваемых во втором цикле, связан с исследованием критического поведения трехмерной модели с К1-компонентным параметром порядка и обобщенной кубической ани- зотропией. Данная задача представляет большой интерес, поскольку, с одной стороны, кубическая анизотропия есть простейший вид кристаллической анизотропии, нетривиальным образом влияющей на пове-дение системы в критической области, а с другой - указанной моделью описываются фазовые переходы в большом числе реальных веществ: в кубических ( VI = 3) и тетрагональных ( VI = 2) кристаллах с короткодействующим межатомным потенциалом, в одноосных кристаллах, испытывающих фазовые переходы в несоизмеримые фазы ( VI = = 2), в одноосных кристаллах с примесями {VI-^- 0) и в некоторых других системах. Изучение этой модели проводится в диссертации с помощью техники ренормализационнои группы в трехмерном пространстве. При этом функции Гелл-Манна-Лоу, особые точки уравнений РГ и критические индексы вычисляются в четвертом порядке по инвариантным зарядам, что позволяет получить информацию о степени и характере влияния высших членов в рядах перенормированной теории возмущений на результаты, даваемые паркетным приближением. Особое внимание уделено выяснению вопроса о критической размерности параметра порядка, представляющей собой максимальное значение VI , при котором еще наблюдается флуктуационная изотропизация системы в критической области.
Отдельно исследуется критическое поведение модели йзинга с дефектами. Здесь помимо вычисления координат примесной фиксированной точки уравнений РГ и критических индексов формулируется и доказывается теорема, касающаяся знака критического индекса теплоемкости. В заключение этого раздела рассматривается фазовый переход в несоизмеримую фазу в тетрагональном кристалле с двухкомпо-нентным параметром порядка.
Третий цикл работ, включенных в диссертацию, посвящен теорети- - ІЗ - ческому изучению критической термодинамики кубических сегнето-электриков и ферромагнетиков, тетрагональных (типа "легкая плоскость") кристаллов с дипольними силами, сверхтекучего гелия-3 и сверхтекучей нейтронной жидкости. Объединяет перечисленные системы то, что в формировании критического поведения каждой из них флуктуации параметра порядка играют принципиальную роль и учет этих флуктуации дает во всех названных случаях качественно близкие результаты.
Первая задача, которая рассматривается в этом цикле, - это задача о критическом поведении кубического сегнетоэлектрика. Мы начинаем ее решение с анализа упрощенной модели, игнорирующей кристаллическую анизотропию спектра флуктуации. Действуя в рамках метода РГ, мы исследуем характер эволюции эффективных констант связи при Т-^ТС + 0 и приходим к выводу, что фазовый переход в данном случае должен быть переходом I рода.
Далее анализируется более реалистическая модель, описывающая кубический сегнетоэлектрик (ферромагнетик), спектр флуктуации поляризации которого обладает наряду с дипольной и кристаллической анизотропией. Несмотря на значительные технические трудности в этом случае также оказалось возможным воссоздать "глобальную" (а не только "локальную", как, например, в [Чб]) картину эволюции одетых зарядов в критической области. Попытки проинтерпретировать эту картину физически приводят к следующему заключению: критические флуктуации в рассматриваемой ситуации, помимо изменения рода фазового перехода, могут менять и соотношение между свободными энергиями упорядоченных фаз по сравнению с тем, которое дается теорией Ландау. В результате на диаграмме состояний системы возникает характерная особенность - "клюв", образованный линиями фазовых переходов I рода. При определенных условиях эта особен- ность может проявляться как "расщепление" непрерывного в рамках теории Ландау фазового перехода на два перехода I рода, близких друг к другу по температуре. Если кубическая анизотропия спектра флуктуации достаточно велика, то описанное явление будет наблюдаться и в отсутствие дипольных сил.
С целью детального изучения нового флуктуационного эффекта в диссертации рассматривается критическая термодинамика системы, родственной кубическому сегнетоэлектрику, но допускающей, в отличие от него, чисто аналитическое решение поставленной задачи. Речь идет о тетрагональном кристалле с дипольными силами и двух-компонентным параметром порядка. Здесь, в дополнение к анализу уравнений РГ для констант связи, вычисляются свободные энергии ромбической и моноклинной фаз в критической области, устанавливается, какую форму имеют линии фазовых переходов I рода и высокотемпературные спинодали, находятся величины скачков параметра порядка на этих кривых. Полученные результаты недвусмыслено говорят о возникновении флуктуационной конкуренции упорядоченных фаз в тех случаях, когда у спектра флуктуации имеется кристаллическая анизотропия, и о появлении "клюва" на диаграмме состояний.
В этом же разделе диссертации обсуждаются эксперименты, в которых можно было бы наблюдать предсказанные здесь явления. Значительный интерес в этом смысле представляют недавние измерения магнитной анизотропии сплава Po/Fe , где была обнаружена сильная температурная зависимость константы одноионной анизотропии в непосредственной близости от Тс. Согласно развитым представлениям именно такое поведение кристалла должно предшествовать флуктуационному расщеплению фазового перехода.
Завершает диссертацию теоретическое исследование сверхтеку- чих фазовых переходов в двух ферми-жидкостях - жидком гелии-3 и нейтронном веществе. Изучение этих систем приобрело особую злободневность после экспериментального открытия сверхтекучих фаз жидкого Не [47] и установления того факта, что пульсары -объекты, весьма распространенные во Вселенной - представляют собой нейтронные звезды, вещество которых находится, полностью или частично, в сверхтекучем состоянии (см., например, [48,49]). Значительно усилило интерес к данному кругу вопросов также недавнее экспериментальное обнаружение температурной аномалии коэффициента поглощения нулевого звука в жидком гелии-3 [5С[], носящей отчетливо выраженный флуктуационных характер Q>l].
Построение теории критического поведения сверхтекучего гелия-3 представляет собой увлекательную, но весьма сложную задачу. Трудности, возникающие при ее решении, порождены громоздкостью структуры флуктуационного гамильтониана Ландау сверхтекучей ферми-жид-кости с b-спариванием. Поэтому авторы первых работ на эту тему ограничились, в основном, рассмотрением частных случаев, в которых задача резко упрощается; именно, они изучали дипольную критическую область и фазовые переходы в магнитном поле [52,53J. Однако, как показал эксперимент 50], ширина критической области в жидком гелии-3 на несколько порядков превышает величину температурного интервала, где дипольные силы существенно влияют на критическое поведение системы. В результате возникла необходимость в детальном исследовании режимов, реализующихся в отсутствие дипольного взаимодействия. (Вероятнее всего, только такие режимы и могут наблюдаться фактически в эксперименте).
В диссертации в рамках метода РГ проводится подобное исследование. Здесь изучается температурная эволюция эффективных констант связи в критической области, вычисляются свободные энерги сверхтекучих фаз Андероона-Бринкмана-Морела и Бальяна-Вертхамера,выясняется вопрос о влиянии флуктуации на вид диаграммы состояний жидкого гелия-3. Установлено, что сверхтекучие фазовые переходы в Не должны быть, в принципе, переходами I рода и одна из линий этих переходов вместе с кривой сосуществования фаз А и В должна образовывать "клюв" с острием в тройной точке. Ширина "клюва" определяется размерами флуктуационной области. Имея в виду результаты [50], можно ожидать, что экспериментальный уровень, необходимый для его обнаружения, будет достигнут в ближайшие годы.
Аналогичным образом анализируется критическое поведение сверхтекучей нейтронной жидкости. Из-за наличия сильного спин-орбитального взаимодействия эта система оказывается ощутимо проще для изучения нежели жидкий гелий-3. В нейтронном веществе, как показано в работе, также возможна флуктуационная конкуренция сверхтекучих фаз, следствием которой может быть фазовый переход из одного анизотропного сверхтекучего состояния в другое, существенно отличающееся от пврвого по своим физическим свойствам. Такие фазовые превращения должны заметным образом влиять на характер эволюции нейтронных звезд.
Итак, на защиту выносятся следующие основные научные положения и результаты:
I. Теория термодинамических свойств полевой модели и родственных ей систем в области слабых критических флуктуации, содержащая: а) последовательную итерационную схему для вычисления флуктуа- ционных поправок, б) анализ применимости СФП в теории фазовых переходов, в) численные оценки и выводы, касающиеся влияния дипольных сил на ширину критической области в сегнетоэлектрических материалах.
2. Объединенная теория критических и трикритических явлений, включающая в себя: а) метод вывода уравнений РГ для одетых констант связи, имеющих разные масштабные размерности, б) технику вычисления и результирующие выражения для основ ных термодинамических величин, применимые в критическом, трикри- тическом и переходном секторах фазовой диаграммы, в) формулы для индексов и амплитуд поправок к скейлингу, по рождаемых высшими затравочными вершинами.
Результаты анализа критического поведения одноосных кристаллов со слабым дипольным взаимодействием.
Механизм возникновения специфических поправок к скейлингу, могущих имитировать расщепление критических индексов в веществах со сложными видами упорядочения (магнитного, структурного и др.).
Результаты исследования критического поведения трехмерной модели с обобщенной кубической симметрией, в числе которых выражения для функций Гелл-Манна-ЗІоу и значения критических индексов и критической размерности параметра порядка в четвертом порядке перенормированной теории возмущений.
Результаты исследования критических свойств трехмерной модели Изинга с дефектами и теорема о знаке критического индекса теплоемкости примесных систем.
Теория термодинамических свойств кубических и тетрагональных кристаллов с дипольными силами в области сильных критических флуктуации, позволившая предсказать новые эффекты - флуктуационное изменение знака ангармонической константы одноионной анизотропии и образование "клюва" на диаграмме состояний, который может проявляться как расщепление непрерывного, в рамках теории Ландау,фазо- вого перехода на два перехода I рода.
Теория критического поведения сверхтекучего гелия-3, включающая в себя вычисление свободных энергий фаз А и В во флуктуа-ционной области и исследование роли флуктуации в формировании диаграммы состояний, на основе которого сделан вывод о существовании на этой диаграмме узкого "клюва", образованного линиями фазовых переходов I рода.
Результаты анализа влияния критических флуктуации на характер сверхтекучих фазовых переходов в веществе нейтронных звёзд.
Диссертация построена следующим образом. Вслед за Введением идут семь глав, шесть из которых посвящены изложению оригинальных результатов; их содержание было кратко описано выше. Одна глава -вторая - носит обзорно-методический характер. Ее назначение - познакомить читателя с основными идеями и современным техническим арсеналом метода РГ в теории фазовых переходов. Центральное место здесь занимают два момента: изложение техники РГ в ее теоретико-полевом варианте применительно к трехмерным моделям фазовых переходов и обзор теоретических и, в меньшей мере, экспериментальных работ по изучению критических явлений в системах с нетривиальной симметрией. Основные результаты, полученные в диссертации, резюмированы в Заключении. В Приложение вынесен фрагмент работы, содержащий громоздкие математические выкладки. Завершает диссертацию список цитированной литературы.
Полевая модель с многокомпонентным параметром порядка во внешнем поле
В начале 70-х годов появилось несколько работ, в которых были сделаны попытки исследовать фазовые переходы в системах с гамильтонианами типа (I.I) с помощью СФП 37-39),J62-65J. Несмотря на большое разнообразие использовавшихся конкретных методик расчета (часть авторов, например, применяла вариационные методы, требовавшие серьезных машинных вычислений, другие употребляли приемы типа расцепления многочастичных корреляторов, позволявшие получать искомые зависимости в аналитическом виде) основные качественные результаты во всех случаях оказались практически одинаковыми. При этом некоторые из них выглядели весьма неожиданно. Так, в частности, было найдено, что фазовые переходы в системах рассматриваемого типа должны быть переходами I рода, а температурная зависимость восприимчивости в рамках СФП оказалась ощутимо отличающейся от кюри-вейссовской как в окрестности Тс, так и вдали от точки фазового перехода . Парадоксальность последнего факта станет особенно очевидной, если вспомнить, что СФП представляет собой по сути разновидность метода самосогласованного поля, а этот метод, как известно, должен воспроизводить вблизи Тс результаты феноменологической теории.
Целью настоящего параграфа является выяснение математической природы СФП и установление пределов применимости данной аппроксимации в теории фазовых переходов. Используемый в этой главе формализм образует, как мы увидим, весьма естественную основу для решения поставленной задачи.
Итак, основная идея СФП состоит в следующем. Пусть у нас имеется кристалл, симметричное (неупорядоченное) состояние которого неустойчиво с точки зрения классической динамики решетки. В то же время в системе действуют факторы, динамическим образом стабилизирующие это состояние за счет наличия в гамильтониане ангармонических слагаемых; в качестве таких факторов выступают обычно тепловые и (или) квантовые колебания атомов кристалла. В результате в сим I) Под Тс здесь понимается минимальная температура, при которой неупорядоченная фаза еще может существовать как метастабильная метричной фазе формируется квазигармонический колебательный спектр, причем принципиальную роль в его формировании играют эффекты энгармонизма, в силу чего вид спектра оказывается зависящим от интенсивности термодинамических или квантовых флуктуации. Поскольку средняя амплитуда флуктуации в свою очередь зависит от структуры спектра возбуждений, ясно, что этот спектр может быть найден в рамках самосогласованной процедуры. Эта процедура и порождает аппроксимацию, известную как СФП.
Теперь вернемся несколько назад и посмотрим внимательнее на приближенное уравнение Дайсона (2.4). Совсем нетрудно увидеть, что это уравнение реализует как раз ту идею самосогласования, о которой шла речь выше. Если это так, то на основе уравнения (2.4) должны получаться все основные результаты работ [37-39, 62-бз]. И эти результаты действительно получаются - достаточно лишь решить (2.4) с учетом (2.8) и (2.9) не итерациями по параметру б , а точно. Такое решение уравнения самосогласования в виде темпе-ратурных зависимостей де ш р изображено на рис.1.2. Как хорошо видно из этого рисунка, обе зависимости обнаруживают температурный гистерезис, что свидетельствует о фазовом переходе I рода, а функция ев ( С) сильно отличается от линейной в области,, непосредственно прилегающей к TQ.
Кривые рис.1.2 получены с помощью машинного решения соответствующих трансцендентных уравнений. В то же время в некоторых предельных случаях ряд соотношений может быть найден в аналитической форме. Например, при Є I ширина петли температурного гистерезиса равна
Последний результат носит чисто модельный характер; если учесть, скажем, взаимодействие критических возбуждений с акустическими или "жесткими" оптическими фононами, то кюри-вейссовская асимптотика для ЗЄ (т) на больших X восстановится [бб].
Приведенные данные позволяют сделать следующие выводы относительно природы СФП и пределов его применимости. СФП есть аппроксимация, эквивалентная первому порядку теории возмущений для массового оператора, выраженного через одетые пропагаторы. Использование СФП в теории фазовых переходов ведет к некоторым аномальным результатам, которые, однако, относятся к области температур \х\ о , где теория возмущений заведомо неприменима. За пределами этой области предсказания СФП практически не отличаются от предсказаний теории Ландау. Поэтому СФП в полной мере может считаться разновидностью (хотя и довольно специфической) приближения самосогласованного поля. Аномальные результаты, полученные в [37-39, 62-65], являются аппаратным эффектом и не имеют отношения к реальной ситуации.
Здесь стоит отметить, что влияние характера аппроксимации на род фазового перехода обнаруживается и в высших порядках СФП. Так, при учете в разложении П( / Т) графиков второго порядка по 8 фазовый переход снова становится переходом 2 рода [66J.
В заключение укажем, что тождественность СФП и обычного приближения самосогласованного поля в пределе одновременно с автором диссертации [бб] была замечена Э.Айзенриглером.
Ультрафиолетовые графики, дополнительная шестихвостка и уравнения РГ
Причина подобной нечувствительности к наличию в системе диполь-дипольного взаимодействия состоит, очевидно, в следующем. В силу того, что потенциал дипольных сил с точки зрения его зависимости от модуля волнового вектора является короткодействующим. О дальнодействующей природе этих сил свидетель-ствует лишь их специфическая угловая зависимость на малых а Неаналитичность диполь-дипольного потенциала в точке с/ = 0 приводит к возникновению в спектре продольных флуктуации параметра порядка щели, делающей продольную ветвь спектра некритической; на виде спектра поперечных критических флуктуации диполь-дипольное взаимодействие не сказывается. Поэтому единственным следствием наличия в системе дипольных сил является эффективное увеличение числа некритических степеней свободы, приходящихся на одну критическую, что влечет за собой, как и следовало ожидать, некоторое уменьшение параметра Гинзбурга-Леванюка. Этот эффект, однако, численно мал и не приводит к каким-либо качественным изменениям в термодинамике кристалла.
Реально существование области применимости теории Ландау в случае сегнетоэлектриков типа смещения связано с особенностями затравочного фононного спектра этих кристаллов, а именно, с выполнением условия cL -COj) . Уменьшению параметра в" способствует также наличие в спектрах сегнетоэлектрических кристаллов, имеющих, как правило, достаточно сложную структуру элементарной ячейки, большого числа некритических фононных ветвей. Механизм подавления критических флуктуации здесь фактически тот же, что и в рассмотренном выше случае одной "жесткой" продольной ветви, однако действует он значительно более эффективно. Объясняется это тем, что средние частоты фононов некритических ветвей могут быть существенно меньше А , а число этих ветвей в кристалле нередко достигает 10 и более. В результате учет четырехфононно-го ангармонического взаимодействия критических фононов с акустическими и "жесткими" оптическими приводит к уменьшению 6 уже не на несколько процентов, а в несколько раз.
Действие указанных факторов, обеспечивающих малость параметра Гинзбурга-Леванюка, характерно для большинства сегнетоэлект-риков типа смещения. В то же время ясно, что их наличие отнюдь не является неотъемлемой чертой этих кристаллов. Поэтому неудивительно, что существуют сегнетоэлектрики, у которых неравенство cL : СОj, выполняется с небольшим запасом, а стабилизирующее действие некритических ветвей спектра выражено не слишком сильно. Параметр о в таких кристаллах имеет значения порядка 0.1 или 0.01. Соответственно критическая область температур в них может составлять Ю-20 К и более [42,45,69]. В этих кристаллах, очевидно, должны наблюдаться специфические эффекты, обусловленные взаимодействием критических флуктуации. Теория некоторых таких эффектов будет развита в четвертой, пятой и шестой главах настоящей диссертации.
В заключение отметим, что вывод о нечувствительности значения параметра Гинзбурга-Леванюка к наличию в кристалле диполь-дипольного взаимодействия справедлив и для сегнетоэлектриков типа порядок-беспорядок.
В современной теории фазовых переходов и критических явлений используется множество математических методов, весьма разнообразных как по идейному содержанию, так и по техническому облику [і, 24,26,27,60,70-72]. Поскольку для большинства физически интересных моделей фазовых переходов точные решения на сегодня отсутствуют, а также отсутствуют надежды в ближайшие годы такие решения получить, основная масса методов теории критических явлений носит приближенный характер. Иногда эти методы позволяют находить и асимптотически точные решения, но лишь в некоторых, порой малоинтересных предельных случаях.
Особое место среди различных теоретических подходов к проблеме критического состояния занимает метод РГ [24-26,7з]. С этим методом, базирующимся на очень небольшом числе красивых физических идей [8,153, Б ФИЗИКУ конденсированного состояния пришел новый математический аппарат - аппарат квантовой теории поля, который был здесь переосмыслен и в ряде моментов основательно модифицирован. Техника теории поля оказалась, с одной стороны, достаточно мощной для того, чтобы описать большое многообразие свойств вещества вблизи критической точки, а с другой - не слишком сложной и громоздкой, так что ее использование не сопровождалось появлением непреодолимых технических препятствий на пути изучения реалистических моделей фазовых переходов, ориентированных на конкретные материалы. Этим, очевидно, можно объяснить тот факт, что очень многими важными качественными и количественными результатами, полученными в теории критических явлений за последнее десятилетие, мы обязаны именно методу РГ.
Настоящая глава посвящена изложению метода РГ применительно к проблеме фазовых переходов второго рода. В первом ее параграфе описаны основные идеи этого метода, причем описаны в предельно упрощенной С&пя пешеходов") форме, позволяющей сделать совершенно прозрачным их физическое содержание. Второй параграф содержит последовательное изложение техники РГ в одном из ее вариантов, который известен под названием формализма Гелл-Манна-Лоу. Эта разновидность метода РГ имеет весьма естественную, с точки зрения физики, математическую структуру, допускает наглядную физическую интерпретацию получаемых результатов и удобна технически, поэтому именно она выбрана в качестве основного рабочего инструмента в данной диссертации.
Особенности термодинамики кристаллов с несколькими взаимодействующими упорядочивающимися подсистемами
Выше мы рассмотрели критическую термодинамику систем, обладающих простейшей возможной симметрией. Эти системы характеризуются инвариантностью гамильтониана относительно вращений вектора параметра порядка в Уі -мерном изотопическом пространстве и изотропией спектра флуктуации. Теперь пришло время обсудить, каким образом влияют на критическое поведение вещества различные виды анизотропии, в той или иной мере присущие подавляющему большинству реальных физических объектов.
Начнем со случая, когда характер этого влияния очевиден, а именно рассмотрим одноосные системы. Здесь анизотропия приводит к уменьшению эффективной пространственной размерности поля флуктуации до I (легкая ось) или до yi- I (легкая "плоскость"), если исходная изотропная модель имела параметр порядка с VI компонентами. При достаточно малых значениях константы анизотропии может наблюдаться переход системы с одной критической асимптотики на другую [П8].
Значительно более радикально влияет анизотропия на критическое поведение легкоосных кристаллов при наличии в них диполь-дипольно-го взаимодействия. В этом случае критические флуктуации электрической или магнитной поляризации не только направлены вдоль какой-то одной оси, но и являются поперечными, что резко уменьшает занимаемый ими объем в импульсном пространстве. В результате флуктуацион-ные перенормировки термодинамических величин оказываются очень слабыми - логарифмическими, и задача о фазовом переходе решается асимптотически точно [із). Присутствие двух видов анизотропии приводит здесь к изменению эффективной размерности конфигурационного пространства с 3 до 4, вследствие чего в критической области возникает нуль-зарядный режим, который и обеспечивает разрешимость теории. Мультипликативные логарифмические поправки к результатам теории Ландау недавно были обнаружены экспериментально в ряде одноосных ферромагнетиков [ЇІ9-І23} и сегнетоэлектриков [45}.
Следующая разновидность кристаллической анизотропии, которую мы рассмотрим, это анизотропия кубическая. Для простоты обратимся сначала к случаю, когда эта анизотропия носит чисто одноионный характер. Флуктуационный гамильтониан Ландау в данной ситуации имеет вид:
Первая попытка исследовать влияние критических флуктуации на термодинамику системы с гамильтонианом типа (9.1) была предпринята Вильсоном и Фишером іб]. Они нашли, что по мере приближения к критической точке величина эффективной анизотропии системы меняет ся, причем, если безразмерная разность ( — /О/$± достаточ но мала, то при Т— О эффективная анизотропия модели исчезает, т.е. система (9.1) в точке Кюри становится термодинамически экви валентной (при К = 2) изотропной ХУ-модели. Зто явление, ко торое, как сегодня известно, носит весьма общий характер, называют флуктуационной изотропизацией или асимптотической симметрией. Если же затравочная анизотропия велика, то система в критической области обнаруживает тенденцию к ее дальнейшему увеличению. Этот эффект, как показали более поздние исследования 024-126], приводит к превращению непрерывного, в отсутствие флуктуации, фазового перехода в переход первого рода. (Сами авторы іб] не провели детального изучения замеченного ими явления и не дали его однозначной физической интерпретации, отчасти, по-видимому, из-за известного технического несовершенства примененного ими варианта метода РГ). Флуктуационная неустойчивость фазовых переходов второго рода, как и асимптотическая симметрия, представляет собой характернейшую черту критического поведения анизотропных систем. Дальнейшее исследование моделей с обобщенной кубической симметрией позволило установить, что с ростом VI флуктуационная дестабилизация непрерывных фазовых переходов становится все более ярко выраженным эффектом, а склонность системы к изотропизации исчезает 124]. При И Ис , где К1с - некоторое пороговое значение размерности поля Сх) , модель (9.1) даже при малой затравочной анизотропии выходит в критической области на анизотропную асимптотику, которой отвечают критические индексы, отличающиеся от индексов VI -компонентной модели Гейзенберга 127,128). В случае
Флуктуационную неустойчивость фазовых переходов второго рода усугубляет учет кристаллической анизотропии коррелятора критических флуктуации. Как было показано Т.Наттерманом и С.Тримпером 129], включение в гамильтониан (9.1) анизотропного члена приводит к превращению непрерывного перехода в переход первого рода даже при в =р2 , если константа -С достаточно велика ( \ 0.5). При этом, поскольку флуктуационные перенормировки -С весьма малы (их темп задается величинами порядка индекса Y) ), поведение кристалла в экспериментально достижимой окрестности линии фазовых переходов определяется фактически затравочным значением 4- ГіЗр].
Другой фактор, дестабилизирующий изотропную критическую асимптотику - это дипольные силы. Диполь-дипольное взаимодействие в той или иной мере присутствует в любом ферромагнетике и сегнетоэлект-рике. Оно подавляет продольную компоненту длинноволновых флуктуации поляризации и таким образом сказывается на характере эволюции эффективных констант связи при Т—= TQ. Как было обнаружено А.Ааро-ни и М.Фишером l3l], влияние дипольных сил результативно сводится к превращению изотропной фиксированной точки уравнений Гелл-Манна-Лоу из устойчивого узла в "седло".
Критическое поведение тетрагональных кристаллов, склонных к образованию несоизмеримых фаз
Так, если oL 0 , т.е. теплоемкость С X расходится в точке Кюри, то примеси существенно меняют температурные и полевые зависимости термодинамических величин в окрестности Тс по сравнению с чистой системой; критические индексы для этого случая вычислялись методом . -разложения в [214-220]. Если же cL О , то критическое поведение неупорядоченной системы не отличается от критического поведения системы без дефектов.
Несомненно, одним из наиболее важных является случай примесной системы с однокомпонентним параметром порядка. Оказывается, что результаты, относящиеся к примесной модели Изинга, невозможно получить непосредственным переходом к пределу nt— в решениях, полученных для yvi -компонентной системы, так как коэффициенты при всех степенях в разложениях критических индексов в этом пределе обращаются в бесконечность. Причина этого затруднения состоит в том, что уравнения ШЛ для системы с примесями в паркетном приближении являются вырожденными и не имеют устойчивых решений, соответствующих физическим начальным условиям. Вырождение это случайное и не имеет места для точных уравнений РГ; для снятия вырождения достаточно вычислить функции ШЛ с точностью до третьего порядка по инвариантным зарядам [.216]. Случайное вырождение уравнений ШЛ приводит к тому, что в (4 -)-мерной неупорядоченной модели Изинга критические индексы и значения координат фиксированных точек при малых записываются в виде разложений по степеням {Ї& . В четырехмерной модели и трехмерном примесном легкоосном дипольном ферромагнетике благодаря вырождению в температурных зависимостях восприимчивости, намагниченности и других физических величин в окрестности точки перехода (в нулевом внешнем поле) помимо степеней Т и 7НТ появляется необычный множитель вхМХч-ри/т// где Ю - некоторое число [218,219,2211.
На фоне обильной теоретической информации о фазовых переходах в точно решаемых четырех- и (4 -)-мерных примесных системах современные данные о критическом поведении трехмерной неоднородной модели Изинга с короткодействующим межатомным потенциалом выглядят довольно скромно. Одной из причин такого положения является то, что оценка критических индексов трехмерной примесной системы по первым двум порядкам І -разложения не может считаться удовлетворительной. Нине приведены выражения для фиксированных значений ин-вариантных зарядов Ц , V и критических индексов V , У? для примесной модели Изинга во втором порядке по fs , полученные в [219,220]: примесная фиксированная точка становится при = I нефизической. Эти трудности и наводят на мысль о целесообразности вычисления критических индексов изинговского неупорядоченного ферромагнетика каким-либо методом, отличным от у-разложения. В качестве такой альтернативы мы возьмем технику РГ в трехмерном пространстве. Укажем при этом, что проведение подобных расчетов сейчас представляется вполне своевременным, поскольку уже выполнены первые эксперименты, направленные на выяснение характера поведения одноосных примесных ферромагнетиков в критической области [222,22І]. Итак, методом реплик можно показать 217,218], что примесная модель Изинга эквивалентна К -компонентному гейзенберговскому ферромагнетику с кубической анизотропией в пределе нулевого числа компонент параметра порядка К— 0 . Эффективный гамильтониан этой модели совпадает с (17.I), где В2 играет роль голой "при месной" вершины U0 , а В,— В = V0 описывает "чистое" за травочное изинговское взаимодействие. Если с - концентрация примесей, то \Л0 v С — С , и, следовательно, при с -1 Uff 0. Это значит, что дополнительное взаимодействие критических флуктуации параметра порядка через примеси носит характер притяжения. Для выяснения особенностей критического поведения трехмерной примесной модели Изинга, в частности, для определения координат примесной аиксированной точки необходимо знать функции ШЛ задачи по крайней мере в четвергом порядке теории возмущений (трехпетле-вое приближение). В самом деле, как уже упоминалось выше, уравнения ШЛ при п = 0 в низшем приближении вырождены и не имеют нетривиальных решений. В следующем, двухпетлевом приближении вырождения нет, однако отсутствует фиксированная точка Qf, О , а =0 описывающая фазовый переход в чистой модели Изинга. И только в трехпетлевом приближении имеются как чистая, так и примесная фиксированные точки. В итоге наша задача сводится к исследованию системы уравнений (18.24) - (18.27) в пределе. Фазовый портрет этой системы приведен на рис.5.5. Физический интерес здесь представляют две фиксированные точки: изинговская dt = 0,93986, ctz = 0 (седло) и примесная а±= 0,95473, #2 = -1,02234 (устойчивый узел). Неподвижная точка а - cjz = 1,03784, описывающая фазовый переход в полимерах, хотя и является устойчивым узлом, но как видно-из рисунка, недостижима при начальных условиях ЧуХ уо » %u 0 Знание координат примесной особой точки дает возможность найти (приближенно) критические индексы модели Изинга с дефектами. Подставляя эти числа в (18.23)" и (18.29) при Yl = 0, мы будем иметь:
