Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вводная часть 4
1.1. Проникновение магнитного поля в сверхпроводники I и II рода .4
1.2. Джозефсоновские среды .5
1.3. Длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт 7
1.4. Двумерные джозефсоновские среды .11
1.5. Трехмерные джозефсоновские среды .12
1.6. Постановка задачи 18
Глава 2. Эффект Мейсснера в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде 28
2.1 Основные уравнения 29
2.2 Случай малых скачков фазы .33
2.3 Квазинепрерывный случай 36
2.4 Точное решение .39
2.5 Результаты расчетов, их интерпретация и анализ .40
2.6 Критическое значение IC параметра пиннинга, разделяющее два режима проникновения поля .45
2.7 Выводы 46
Глава 3. Возможные конфигурации линейного вихря в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде 47
3.1 Расчет структуры и энергии линейного вихря 48
3.2 Центр вихря в центре ячейки - конфигурация «а» 49
3.3 Центр вихря на контакте – конфигурация “b” .56
3.4 Итоги по конфигурации «а» 59
3.5 Итоги по конфигурации «b» 68
3.6 Выводы 74
Глава 4. Возможные расстояния между двумя линейными вихрями в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и критическое значение параметра пиннинга .75
4.1 Методика расчета и основные уравнения 75
4.2 Результаты расчетов, их интерпретация и анализ .83
4.3 Вывод формулы для критического значения параметра пиннинга Id 84
4.4 Расчет максимальной силы пиннинга 84
4.5 Выводы 98
Заключение .100
Список литературы 102
- Длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт
- Критическое значение IC параметра пиннинга, разделяющее два режима проникновения поля
- Центр вихря на контакте – конфигурация “b”
- Расчет максимальной силы пиннинга
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена исследованию ряда физических явлений, происходящих в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, помещенной во внешнее магнитное поле. Понятие джозефсоновской среды было введено при изучении высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП), имеющих сложную неоднородную структуру, обусловленную присутствием в ВТСП большого количества сверхпроводящих гранул, разделенных диэлектрическими областями. Наличие джозефсоновских контактов, возникающих между соседними гранулами, делает ВТСП-керамику сильно нелинейной средой. Среды, содержащие большое количество таких контактов, принято называть джозефсоновскими.
Важной особенностью гранулированных сверхпроводников является ячеистая структура среды, когда между соприкасающимися сверхпроводящими гранулами находятся диэлектрические области. В местах соприкосновения гранул друг с другом образуются джозефсоновские контакты, являющиеся нелинейными элементами, что сильно усложняет анализ таких сред. Токовые состояния, как экранирующие, так и вихревые, отличаются по своей структуре от существующих в обьшных сверхпроводниках. Уравнения Гинзбурга-Ландау неприменимы в этой ситуации, и нужно искать другую основу для математического описания гранулированных сверхпроводников. Возникла необходимость разработки нового математического аппарата для джозефсоновских сред. На этом пути часто используются макроскопические (континуальные) подходы [3-5], в которых описание основано на усреднении описывающих параметров. Такие подходы позволяют получить ценную информацию о свойствах среды без учета ее дискретности. Однако подходы, учитывающие дискретность, дают более детальную информацию.
Такие исследования на основе уравнений, выводимых из условий минимума потенциала Гиббса, проводились и для одномерных джозефсоновских контактов, и для двумерных. Удалось ответить на ряд вопросов, связанных, например, с критическим состоянием цепочки СКВИДов [1], рассчитать профиль проникающего магнитного поля [2], исследовать лавинную динамику проникновения вихрей магнитного потока и вопросы самоорганизации [3], были изучены так называемый Bulk-SQUID-эффект [4] и самоорганизованное критическое состояние двумерной сетки джозефсоновских контактов [5], вопросы несоизмеримости [6], вычислено значение Hqi и энергия вихря для случая, когда линейный размер гранул
значительно превышает лондоновскую длину А, [7].
В работе [8] было показано, что более простой подход, основанный на условиях квантования флюксоида в отдельных ячейках среды, приводит к тем же уравнениям, что и минимизация потенциала Гиббса.
Фа ^-^ (гп)
Флюксоидом называется выражение вида Фт-\ Х^А ' где ^т ~ полный
2тг к
магнитный поток через я?-ую ячейку, Фа - квант магнитного потока, У^фі - сумма
к скачков фазы на джозефсоновских контактах я?-ой ячейки с учетом знака. Согласно условию квантования флюксоида, полный флюксоид должен быть кратен кванту магнитного потока, то есть
ф-+^ІФІш)=^фо
(1)
тдеКт - целое число, равное количеству квантов потока в я?-ой ячейке. Если в
контуре нет джозефсоновских контактов, квантование флюксоида переходит в квантование магнитного потока. Выписав уравнение (1) для каждой ячейки, получаем систему разностных уравнений для конкретного распределения токов.
В серии работ [8-11] было продемонстрировано применение условий квантования флюксоида к модели трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, представляющей собой кубическую решетку из сверхпроводящих проводов, каждая связь которой содержит один джозефсоновский контакт, помещенную во внешнее магнитное поле. На основе этой модели удалось рассчитать мейсснеровскую токовую конфигурацию, получить характерные значения магнитных полей, до которых возможен эффект Мейсснера, описать возникающие вихри и их взаимодействие друг с другом. Одним из важных результатов является определение критического значения параметра пиннинга [10], разделяющего два режима проникновения поля. Интересные результаты получены при анализе устойчивости [9] мейсснеровского состояния относительно малых флуктуации скачков фазы на контактах и развития этих флуктуации, а также при исследовании устанавливающихся профилей магнитного поля в образце [11]. Важным достоинством этой модели является то, что ей внутренне присущ пиннинг, связанный с дискретностью. В результате нет необходимости вводить дополнительные центры пиннинга.
В целях упрощения анализа уравнений в этих работах был рассмотрен случай,
когда рассматриваемая модель не дискретна вдоль направления внешнего магнитного
поля. На рисунке 1а показан простейший элемент этой модели, представляющий
собой «нить» с крестообразным сечением, а на рисунке lb - структура, составленная
из 4 таких элементов. Джозефсоновскими контактами являются заштрихованные
области - поверхности соединения таких элементов. Структура, составленная из
множества таких «нитей», периодична вдоль плоскости, перпендикулярной оси
«нити», однако не периодична вдоль внешнего поля, направление которого показано
на рисунке 1.
а) Ь)
Рисунок 1. Пример трехмерной джозефсоновской среды, дискретной только в двух направлениях, a - простейший элемент этой среды; b - структура из 4 таких элементов.
В этой модели магнитное поле внутри каждого замкнутого участка (см. рисунок lb) будет однородным. Такая картина справедлива [12], в частности, для искусственной структуры, созданной из сверхпроводящих нитей, склеенных друг с
другом по всей длине, так что джозефсоновскими контактами являются поверхности соединения нитей. Внешнее поле направлено вдоль нитей. Таким образом, условие Ь = 0, удобное для решения системы уравнений, соответствует другой физической модели, так как не учитывает периодичность среды вдоль направления приложенного поля.
Поскольку для случая Ь=0 модель оказалась полезной, представляется важным рассмотреть более общий случай и учесть дискретность среды в направлении внешнего магнитного поля. Этот вариант гораздо ближе к реальным гранулированным средам.
Дополнительным аргументом для использования модели с периодическим расположением джозефсоновских контактов [8] может служить фотография структуры композита Гп-опал [13] (Рисунок 2).
Рисунок 2. Электронно-микроскопические снимки композита In-опал. Светлые области соответствуют металлу, темные - диэлектрику [13].
В настоящей диссертации рассматривается трехмерная упорядоченная джозефсоновская среда, имеющая более сложную структуру. На рисунке За показан ее простейший элемент, а на рисунке ЪЬ - структура из 4 таких элементов.
Рисунок 3. Пример трехмерной джозефсоновской среды, дискретной в трех направлениях, а - простейший элемент этой среды; b - структура из 4 таких элементов.
Джозефсоновскими контактами здесь являются 6 заштрихованных торцов элемента на рисунке За. В модели, представленной на рисунке Зо, линии индукции магнитного поля искривлены из-за дискретности среды вдоль оси внешнего поля. Учет неоднородности поля приводит к появлению в уравнениях так называемого структурного фактора о, величина которого определяется периодом решетки а и радиусом провода 5. Чем более искривлены линии индукции магнитного поля, тем больше значение параметра о.
Представляется важным изучить влияние неоднородности поля на происходящие процессы. Математически это соответствует поиску решений систем разностных нелинейных уравнений для случая о Ф 0.
В работе Гинзбурга [14] (2009 год) говорится о недостаточном внимании к вопросу о влиянии структурных свойств сложных сетей на происходящие в них процессы. Учет различных значений структурного фактора о можно считать шагом на пути устранения этой недоработки.
Таким образом, актуальность диссертационной работы определяется тем, что она является дальнейшим этапом исследования трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, которую можно считать упрощенной моделью гранулированных сверхпроводников.
Степень разработанности: в рамках диссертации полностью рассчитаны конкретные физические ситуации, на все поставленные вопросы получены полные ответы.
Цель диссертационной работы: изучение поведения трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды во внешнем магнитном поле, в рамках которого были проведены следующие конкретные исследования:
-
Анализ влияния структурного фактора о на мейсснеровские токовые конфигурации и максимальное значение магнитного поля, до которого еще возможно мейсснеровское состояние.
-
Описание и расчет возможных конфигураций уединенного линейного вихря, вычисление энергии вихря, сравнение устойчивости конфигураций во всем диапазоне значений о.
-
Расчет конфигураций двух взаимодействующих линейных вихрей. Вычисление критических значений параметра пиннинга 1^, при которых вихри еще могут
находиться на заданном расстоянии d друг от друга. Изучение влияния параметра о на эти значения.
4. Нахождение максимальной силы пиннинга F и исследование ее зависимости от
величины структурного фактора о.
Для достижения указанных целей потребовалось решение следующих задач:
Вывод систем разностных нелинейных уравнений для мейсснеровского и вихревого случаев и разработка идей их решения.
Разработка алгоритмов численного решения систем разностных уравнений, описывающих каждый из исследуемых вопросов.
Вывод формул для структурного фактора о в случае мейсснеровского состояния и в случае вихрей.
Вывод формул для магнитной составляющей энергии уединенного вихря для случая ненулевого значения о.
Вывод зависимости максимальной силы пиннинга от структурного фактора Ъ.
Научная новизна работы
Работа является логическим продолжением исследований процессов в джозефсоновских средах [1-5,7-12,14,17-19], основанных на дискретном описании. В работах [1-5,7,14,17,18] рассматривались длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт и двумерные системы. В [8-12,19] рассматривалась трехмерная джозефсоновская среда, но не учитывалась неоднородность магнитного поля внутри среды, что соответствовало равенству нулю параметра Ь, входящего в систему уравнений. В настоящей диссертации впервые проводится рассмотрение для всех возможных значений параметра Ь, что соответствует учету этой неоднородности. Новизна полученных результатов подтверждается отсутствием аналогичных результатов в других работах по этой тематике.
Научная ценность результатов, представленных в диссертации, состоит в том, что полученные новые результаты являются вкладом в теорию трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды. Следует отметить, что в 2006 году были получены экспериментальные данные [15,16], для объяснения которых авторы привлекли теорию, предложенную в [8]. Кроме того, в работах [15,17,18] имеются ссылки на определенные теоретические выводы, полученные на базе этой модели, что подтверждает ее полезность.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты способствуют более детальному пониманию процессов в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, которую можно считать упрощенной моделью гранулированных сверхпроводников. Результаты проведенного исследования могут быть использованы при анализе экспериментальных данных для ВТСП-образцов: изучении характерных магнитных полей, формы вихрей, характера вихревой решетки, зависимости расстояния между вихрями от температуры и т. д. Разработанные методы решения систем разностных нелинейных уравнений, соответствующих мейсснеровскому состоянию, одиночному линейному вихрю и двум взаимодействующим вихрям, могут быть применены и для анализа других конфигураций.
Методология и методы исследования: работа представляет собой теоретическое исследование, включающее в себя вывод основных уравнений на основе физики сверхпроводников и электродинамики, их аналитическое решение, а также составление программ численного расчета для случаев, не поддающихся аналитическому решению.
Положения, выносимые на защиту
1. При внесении трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды во внешнее магнитное поле в ней возникают экранирующие токи, обеспечивающие мейсснеровское состояние, которое может существовать до некоторого критического значения hc магнитного поля. Это значение определяется
параметром пиннинга / и структурным фактором Ь. Величина hc является
монотонно возрастающей функцией как параметра /, так и параметра Ъ.
-
При любых значениях параметра пиннинга / и структурного фактора Ъ линейный вихрь в дискретной джозефсоновской среде имеет центральную часть (остов вихря), в которой токи и скачки фаз на контактах значительно больше, чем в наружной области вихря.
-
Энергия линейного вихря с центром на контакте при всех значениях In b больше энергии конфигурации с центром в середине ячейки. В обеих конфигурациях с увеличением структурного фактора b при одном и том же значении параметра пиннинга / скачки фаз на контактах и токи в центральной области вихря, а также полные энергии вихрей уменьшаются. Рост структурного фактора b ведет к снижению значения критического поля И су, при котором возникновение вихревой
решетки является энергетически выгодным.
4. При заданном расстоянии между центральными ячейками вихрей d и
фиксированной величине структурного фактора b система уравнений,
описывающая конфигурацию двух взаимодействующих вихрей, имеет решение
только при значениях параметра пиннинга, превышающих некоторое критическое
значение Ifj(b). Рассчитанная на базе этих значений максимальная величина силы
пиннинга является монотонно растущей функцией параметров In Ь.
5. Для всех значений b при стремлении / к нулю минимальное расстояние между
двумя уединенными линейными вихрями в дискретной среде не возрастает
неограниченно (как для абрикосовских вихрей в непрерывной среде), а достигает
некоторой конечной величины c/q и далее остается постоянным, что говорит о том,
что при стремлении /к нулю пренебречь пиннингом линейных вихрей нельзя.
Достоверность полученных результатов подтверждается адекватностью примененного математического подхода: условия квантования флюксоида выполнены для всех ячеек среды. Кроме того, ожидаемые физические факты, а именно существование как мейсснеровского, так и вихревых состояний, взаимодействие вихрей, их пиннинг, наличие критического значения параметра пиннинга, при котором вихри еще могут находиться на заданном расстоянии друг от друга и т.д. - все это подтвердилось. Результаты, соответствующие частному значению Ь=0, совпали с результатами предыдущих работ.
Апробация результатов работы. Полученные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международной конференции по инновационным материалам и методам, секция «сверхпроводимость и магнетизм» (Conference on Innovative Materials and Techniques (CIMT), Hammamet, Tunisia 12-15 November, 2012); на российской молодежной конференции по физике и астрономии, секция «физика конденсированного состояния» (Физика.СПБ, Санкт-Петербург, 24-25 октября 2012 - Санкт-Петербургский физико-технический институт имени А.Ф.Иоффе); на I всероссийском конгрессе молодых ученых, секция «физика твердого тела и материаловедение» (Санкт-Петербург, 10-13 апреля 2012 - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики); на неделях науки в Санкт-Петербургском Политехническом университете (в 2010,2011,2012 годах).
Личный вклад автора: Диссертант принимал участие в постановке и решении задач, обработке и обсуждении полученных результатов; выбор общего направления
исследований и оптимальных методик вычислений осуществлялся совместно с научным руководителем. Все представленные в диссертации теоретические результаты получены автором лично. Автором также был предложен метод полной линеаризации нелинейных уравнений, не использовавшийся ранее.
Публикации: материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах и 5 тезисов докладов. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы Диссертация состоит из четырех глав и заключения, содержит 112 стр. машинописного текста, включая 29 рисунков и список цитированной литературы (101 наименование).
Длинный периодически модулированный джозефсоновский контакт
Со времени открытия в 1986 году высокотемпературных сверхпроводников [8] прошло уже 27 лет. За этот период накопился обширный экспериментальный материал по исследованию ВТСП. Анализ огромного числа данных по исследованию ВТСП позволяет с уверенностью утверждать, что трудности, возникающие при изучении высокотемпературных сверхпроводников, во многом связаны с их сложной неоднородной структурой, обусловленной присутствием в ВТСП большого количества сверхпроводящих гранул, разделенных диэлектрическими областями. Наличие джозефсоновских контактов, возникающих между соседними гранулами, делает ВТСП-керамику сильно нелинейной средой. Среды, содержащие большое количество таких контактов, принято называть джозефсоновскими. Такие среды до сих пор привлекают внимание физиков [9-22], поэтому изучение их свойств лежит в русле современного исследования ВТСП. Физика гранулированных ВТСП существенно сложнее физики непрерывной среды. Например, достаточно очевидно, что при сильных магнитных полях в отдельных гранулах будут возникать абрикосовские вихри, однако возникает вопрос, что будет при слабых полях? До каких полей возможен эффект Мейсснера? Какого рода вихри будут возникать? В межгранульных областях могут существовать вихри, созданные джозефсоновскими токами через контакты между гранулами. Такие вихри называются джозефсоновскими. Однако основную роль играют другие вихри (гипервихри), рассмотренные в работе Э.Б. Сонина [9]. Они отличаются и от абрикосовских, и от джозефсоновских вихрей тем, что охватывают сразу несколько гранул.
Джозефсоновская среда уже не является непрерывной, поэтому к ней нельзя применить теорию Гинзбурга-Ландау, в частности, авторы работ [23-25] связывают отличие теоретических предсказаний от полученных экспериментальных результатов именно с гранулированностью исследуемых ВТСП. Таким образом, для описания процессов, происходящих в гранулированных ВТСП-средах, необходимо было искать иной математический аппарат.
Для исследования гранулированных сред развито большое количество моделей и подходов, позволяющих изучить отдельные свойства ВТСП. Среди них можно выделить модели (см., например, [9-11]), основанные на макроскопическом описании джозефсоновских сред, при котором используемые параметры усредняются по малому объему сверхпроводника, и модели микроскопического характера, в которых отправной точкой рассуждений является локальная структура ВТСП [14]. Результаты, получаемые в рамках микроскопического (дискретного) описания, в непрерывном пределе не всегда эквивалентны предсказаниям макроскопических (континуальных) подходов (подробнее об этом для сверхпроводников II рода см. [26]). Расхождение предсказаний дискретного и континуального рассмотрений возникает и для трехмерной джозефсоновской среды (об этом в главе 3). При математическом описании дискретных джозефсоновских сред используют уравнения в конечных разностях, которые при переходе к континуальному пределу преобразуются в дифференциальные.
Поскольку в настоящей диссертации рассматривается модель именно трехмерной джозефсоновской среды, представляется разумным сначала осветить некоторые важные результаты, полученные исследователями для более простых случаев. Следует отметить среди исследованных структур важный случай длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта [12-22], обсудить некоторые физические особенности двумерных джозефсоновских сред [34-48], а затем перейти к описанию подходов и методов, разработанных для трехмерных структур [49-76].
Изучению длинного джозефсоновского контакта и подобных систем посвящено значительное количество работ (см., например, [12-22]). Согласно, например, [27], искусственный периодически модулированный джозефсоновский контакт (рисунок 1a) представляет собой тонкий слой диэлектрика (плоскость xz) между двумя сверхпроводниками, пересеченный параллельными друг другу бесконечными вдоль оси z толстыми полосами диэлектрика толщиной 2l вдоль оси y и шириной d вдоль оси x, периодически расположенными вдоль оси x на расстоянии L друг от друга. Внешнее магнитное поле, а также оси вихрей направлены вдоль оси z. На рисунке 1b представлена структура искусственно создаваемого периодически модулированного джозефсоновского контакта [27].
Исследования длинного контакта показали, что такого рода структура при малых полях будет находиться в мейсснеровском состоянии, при котором внешнее магнитное поле, направленное вдоль контакта, не проникает в контакт, так как краевые токи полностью компенсируют поле внутри контакта [28]. При превышении внешним магнитным полем некоторого критического значения H C внутрь контакта начинают проникать джозефсоновские вихри. Дискретность расположения джозефсоновских мостиков в длинном контакте создает пиннинг вихря на каждой ячейке. На искусственных структурах типа длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта [27] могут быть проверены теоретические предсказания. Интерес к такому контакту вызван тем, что эта модель, являющаяся простейшим случаем дискретной джозефсоновской среды, допускает точный математический расчет, что позволяет более детально представить физику происходящих процессов при рассмотрении ряда важных задач. При исследовании проникновения магнитного поля в длинный контакт распеределение фаз описывается уравнениями в конечных разностях, получаемыми из условий минимума свободной энергии [16, 28] и совпадающими с уравнениями Френкеля-Конторовой [29], полученными при исследовании совершенно других вопросов. При переходе к континуальному пределу эти разностные уравнения преобразуются в дифференциальные уравнения синус-Гордона (например, когда к рассматриваемой задаче применим квазинепрерывный подход [30]), Уравнения синус-Гордона, составляют основу описания локальной электродинамики джозефсоновской среды [31].
Критическое значение IC параметра пиннинга, разделяющее два режима проникновения поля
Как отмечалось в главе 1, в работах [16,18,63,64], посвященных поведению упорядоченной джозефсоновской среды во внешнем магнитном поле, было показано, что существует критическое значение 1С параметра пиннинга разделяющее два возможных режима проникновения поля. В этих работах параметр b считался равным нулю. Представляет интерес вопрос, как влияет значение параметра Ъ на существование и величину 1С. Из общих соображений понятно, что каким бы ни было значение Ь, при больших значениях / всегда имеется приграничная область проникновения вихрей, увеличивающаяся по мере роста поля, вихри проникают в образец все глубже. Если же / близко к нулю, вихри целиком заполнят весь объем образца. Из этого, очевидно, следует, что при любом значении структурного фактора b критическое значение 1С должно существовать. Чтобы оценить влияние параметра b на 1С, разложим величину 1С в ряд по степеням lb и ограничимся лишь первыми двумя членами разложения: 1с (Ь) = 1с (0) + ксIс (b)b Отсюда получим: Значения /с(0) для трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды составляет 0.9716 [63]. Из последней формулы следует, что ход зависимости Ic(b) определяется лишь параметром кс. Чтобы найти значения кс, необходимо провести анализ развития флуктуаций при неустойчивости мейсснеровского состояния, схожий, вероятно, с [63,64], для случая хотя бы одного ненулевого значения Ь. В работе [101] показано, что при очень малых І, когда Ib«1 и можно считать, что Ь = 0, мейсснеровское состояние остается устойчивым вплоть до значения Нс внешнего магнитного поля. Очевидно, что для таких значений 1 этот результат будет сохраняться при любых значениях структурного фактора Ь, поскольку и в этом случае выполнится условие Ib«1. 2.7 Выводы
1. Подход, основанный на условиях квантования флюксоида в ячейках, предсказывает существование эффекта Мейсснера в трехмерной джозефсоновской среде, внесенной во внешнее магнитное поле. Этот подход позволяет рассчитать мейсснеровскую токовую конфигурацию при любых значениях структурного фактора b и параметра пиннинга I.
2. Характерная глубина проникновения поля определяется эффективным значением параметра пиннига g, равным I /(Ib +1).
3. Мейсснеровский режим существует до некоторого критического значения внешнего магнитного поля hc , величина которого определяется значениями параметров I и b. Величина hc является монотонно возрастающей функцией как от параметра I, так и b.
4. Получены приближенные аналитические решения системы разностных уравнений для случаев малых I и малых значений скачков фазы, хорошо описывающие точное решение на большей части диапазона изменения параметров.
5. Выведена формула зависимости от b критичекого значения параметра, разделяющего два режима проникновения.
Таким образом, показано, что математический подход, основанный на условиях квантования флюксоида, является эффективным инструментом для решения задач, касающихся процессов, происходящих в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, что делает его полезным и для анализа проблем гранулированных ВТСП. Глава 3. Возможные конфигурации линейного вихря в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде
Как было показано в главах 1 и 2, предложенное математическое описание, основанное на условии квантования флюксоида для упорядоченной модели джозефсоновской среды, является достаточно эффективным инструментом как для изучения длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта, так и для исследования мейсснеровского состояния. В настоящей главе будет продемонстрирована возможность применить условия квантования флюксоида для описания одиночного линейного вихря. Отметим, что анализ структуры, движения и пиннинга вихрей, возникающих в образце при внесении его во внешнее магнитное поле, является одной из важнейших проблем в физике высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП). Исследованию вихрей посвящено значительное количество работ [14, 55, 79, 83-87,90-96]. Отметим здесь две работы [55,93] по экспериментальному наблюдению вихрей в ВТСП. В [14,85,91] анализируется поведение вихрей в длинном джозефсоновском контакте. Однако в этом рассмотрении вихрь предполагается непрерывным в пространстве распределением фазы, а его пиннинг обусловлен взаимодействием с дискретно расположенными центрами пиннинга. На самом же деле джозефсоновская среда представляет собой ячеистую структуру, что уже само по себе обусловливает пиннинг, определяемый энергией, необходимой для перемещения центра вихря из одной ячейки в другую.
В [86] проведен анализ поведения вихря в линейной цепочке СКВИД. Однако в этом случае рассмотрение ведется в двумерной ситуации, т.е. магнитное поле отдельной петли учитывается лишь в магнитном потоке, пронизывающем ее саму. В трехмерном же случае вихрь представляет собой систему коаксиальных „соленоидов“, поэтому магнитный поток через петлю создается не только ею самой, но и другими токовыми участками, в том числе достаточно удаленными. При этом с уменьшением критического тока контакта растет размер вихря, т. е. число петель, принимающих участие в формировании магнитного потока через центральную ячейку вихря, что компенсирует уменьшение вклада в магнитный поток от каждой петли.
Система уравнений, выведенных в [79], содержит два безразмерных параметра I и b, смысл которых будет понятен из дальнейшего изложения. Анализ токовых конфигураций в [88] и в дальнейших исследованиях [60 и др.] проводился только для случая b = 0 (или Ib \, что, по существу, то же самое). В [87] на базе предложенного в [78] подхода было проведено рассмотрение ненулевых значений параметра b для мейсснеровских токовых конфигураций. В настоящей главе будет проведен анализ линейных вихревых состояний на базе того же математического подхода во всем возможном диапазоне значений параметров I и b. Напомним, что b отражает влияние структурных свойств джозефсоновской среды на исследуемые вопросы. Поскольку, как будет видно из дальнейшего, для реальных образцов параметр b не превышает нескольких десятых, то для I 0.25, при которых Ib \, будет справедлив подход, описанный в [87]. Поэтому в данной главе будет рассматриваться случай I 0.25.
Попытки учета неоднородности магнитного поля в джозефсоновской среде предпринимались и другими исследователями, например, в работах [94,95] с этой целью вводилось некоторое эффективное поле Beff. Можно также отметить работу [96], в которой исследуется влияние анизотропии структурных свойств ВТСП-керамики на изучаемые процессы.
Центр вихря на контакте – конфигурация “b”
Переход от бесконечной системы уравнений к конечной проводится так же, как и в рассмотренном ранее случае, пренебрежением токами, достаточно удаленными от центра. Система (3.13)-(3.15) решается так же, как система (3.6), т.е. из линейных уравнений (13) выражаются все yk через j1 и j2 , затем подставляются в (14) и (15), в результате чего получается система двух нелинейных уравнений для j1 и j2 , аналогичная (3.12) и (3.13). Решение этой системы дает искомые значения j1 и j2 , из которых затем находятся все yk .
Джозефсоновская и магнитная энергия единицы длины ищутся по формулам (3.16) и (3.17), получаемым из (3.8) и (3.9) для конфигурации рисунка 12
Расчет показал, что при любых значениях /и b (в диапазоне от 0,045 до 0,454) для всех к, кроме 0 и 1, выполняется условие фА 0.4, что подтверждает справедливость исходного предположения sincp qk при кфО и 1. На рисунке 14 для примера приведено рассчитанное распределение скачка фазы по контактам вихря для 7 = 1, Ь = 0.454. На рисунке 15 представлены зависимости скачков фаз ф0 и cpj от I для максимального (0.454 при 8/а = 0.01) и минимального (0.045 при 8/а = 0.5) возможных значений Ъ. С увеличением 6значения ср0 иф,, т.е. токи в центральной области, заметно уменьшаются. Отметим также, что при всех значениях b величину фх можно считать малой уже при 1 0,25.
На рисунке 16 представлены зависимости от /джозефсоновской и магнитной энергий Ej и Еан при разных Ь. Из хода кривых можно сделать следующие выводы:
1) При малых I (/ 0,25) кривые для разных b совпадают, т.е. значения энергий не зависят от Ь. Этот результат соответствует выводам [88], где было показано, что при Ib«\ можно считать /?равным нулю.
2) Чем больше значение Ь, тем меньше джозефсоновская энергия. Это выполняется при всех I.
3) Магнитная энергия убывает с ростом b только при достаточно больших I.
При малых /зависимость обратная: с ростом b магнитная энергия возрастает.
На рисунке 17 представлены зависимости полной энергии конфигурации "а" линейного вихря от / для разных Ь. Из приведенных графиков видно, что с ростом b полная энергия всегда уменьшается. При малых /кривые для разных b совпадают, т.е. справедливы расчеты [60,88], в которых b считается равным нулю.
При расчетах использовались квадраты 5x5 (7 уравнений) и 7x7 (11 уравнений), т. е. по два и по три ряда от центра в каждую сторону. Видно, что увеличение размеров квадрата с 5x5 (нижние числа на рисунке 14) до 7x7 (верхние числа) не ведет к существенному изменению значений срА на близких к центру контактах. Например, величина ср0 при этом изменяется на десятые доли процента. При переходе от 7x7 к 9x9 изменения были бы еще меньше. Это позволяет сделать вывод, что при сколь угодно малых значениях / для расчета структуры центральной части вихря можно ограничиться квадратом 7x7 (или даже 5x5).
Что касается расчета полной энергии вихря Щ, то вычисления дадут правильный результат только при таких значениях /, при которых можно считать, что весь вихрь умещается в рассматриваемом квадрате. Характерный размер вихря при малых /равен a/V7[78], поэтому при квадрате 7x7 можно ожидать, что расчет даст верные значения энергии при I 0.25. Это подтверждается незначительностью изменений величин энергий для этих значений I при изменении размеров квадрата с 5x5 до 7x7. Отметим, что сам факт незначительности этих изменений не может являться гарантией правильности вычисленных значений энергии, поскольку увеличение размеров квадрата ведет к добавлению к общей энергии вклада от еще одного наружного "кольца" ячеек, а малость этой добавки не гарантирует малости суммы вкладов таких колец, простирающихся до бесконечности. При малых значениях /существенный вклад в энергию вихря будут вносить его внешние области.
Для более точной оценки влияния размеров квадрата воспользуемся следующей интерпретацией. Квадрат NxN на самом деле соответствует не уединенному вихрю, а являющемуся одним из узлов плоской квадратной решетки вихрей с периодом (7V + 1) ячеек, причем соседние вихри имеют противоположные ориентации. На рисунке 18а изображена такая решетка для N = 3. Точки и крестики расположены в центрах вихрей и соответствуют противоположным ориентациям. Вследствие симметрии, токи в участках, изображенных жирными линиями, будут равны нулю. Рассматриваемый квадрат 3x3 показан штриховкой. Его ближайшие соседи ориентированы противоположно ему, т. е. притягивают его к себе. Притяжение соответствует отрицательной энергии взаимодействия, т. е. энергия вихря в такой решетке меньше энергии уединенного вихря. Другая геометрия (рисунок 18б), в которой нулю равняются токи по внешним сторонам квадрата, соответствует решетке одинаково ориентированных вихрей с периодом N. В решетке рисунке 18б жирными линиями показаны участки с нулевыми токами. Взаимное отталкивание соответствует положительной энергии взаимодействия, и энергия вихря в такой решетке больше энергии уединенного. Расчет энергий для двух случаев дает верхнюю и нижнюю границы для энергии уединенного вихря. На рисунке 19 приведены графики относительной ширины диапазона для энергии уединенного вихря ЪЕа =(Е ах-E in)/Е ах, рассчитанные для квадрата 7x7 при 6=0,045 (кривая 1) и 6=0,454 (кривая 2). Как говорилось ранее, для всех Ъ при 1 0,25 остаются справедливыми рассмотрения [87,88], соответствующие случаю Ъ = 0. Поэтому в настоящей главе мы интересуемся только значениями 1 0,25. Видно, что для таких значений / относительные погрешности значения энергии не превышают нескольких процентов. Следует отметить также следующий факт. Энергия взаимодействия вихря с соседями для решетки, изображенной на рисунке 18а, относительно невелика, поскольку для ближайших соседей эта энергия отрицательна (притяжение), для следующих по удаленности она положительна (отталкивание) и т.д. Эти члены за счет разных знаков частично компенсируют друг друга
Расчет максимальной силы пиннинга
В таблице 1 приведены результаты расчета критических значений параметра Id при различных расстояниях d между центрами вихрей и различных значениях
b. Вычисления проводились при ширине полосы 13 ячеек {N=1}.
Для проверки справедливости исходных допущений рассмотрим получившуюся структуру типичной картины. Для примера на рисунке 24 изображено рассчитанное распределение скачка фазы по контактам для случая d=5 при b = 0.45 и критическом значении I5 =0.0174 . Из рисунка 24 видно, что предположение о малости всех фk, кроме cpj -г- ф7, справедливо.
На рисунке 25 приведены графики зависимости Id от b для разных расстояний d между центрами вихрей. С ростом b значения Id убывают при всех d. Отметим, что значения Idпри b = 0 совпадают с полученными ранее [98]. 4.3 Вывод формулы для критического значения параметра пиннинга Id
На первый взгляд результаты, описанные в предыдущем абзаце, кажутся удивительными. Ведь в исходную систему уравнений параметр b входит только в комбинации Ib, значения которой малы при всех Id . Поэтому можно было бы ожидать, что величина Id при Ib 1 не зависит от b, а она, как видно из рисунка
24, зависит, причем довольно заметно. Чтобы понять причину такого феномена, найдем математическое выражение, описывающее кривые рисунка 25. Для этого ограничимся двумя первыми членами в разложении Id (b) = Id (0) - kd Id (b)b + … Отсюда Id (b) = Id (0)/(1+ kdb) (4.22)
Значения kd для разных расстояний d приведены во втором столбце таблицы
1. Выражение (4.22) очень точно описывает графики рисунка 25 для всех d . Погрешности описания не превышают долей процента во всем диапазоне изменения b (от 0 до 0,45).
При d 5 критическое состояние отсутствует, т.е. система имеет решения при любых, сколь угодно малых, значениях I. Этот результат подтверждает вывод работы [99] о том, что при стремлении I к нулю минимально возможное расстояние между линейными вихрями не возрастает неограниченно, как в случае плоских вихрей, а достигает некоторой конечной величины d0 и далее остается постоянным. Правда, в [99] предсказывается большее значение этой постоянной: d0 =7-8.
Найдем максимальную силу пиннинга вихря, т.е. такую силу, которую надо приложить к вихрю, чтобы он пришел в движение. Она равна силе, действующей на вихрь при критическом значении параметра пиннинга Id . Для расчета этой силы воспользуемся приближением непрерывной среды. Каждый вихрь имеет центральную часть (остов) размером в несколько ячеек, в которой существенна дискретность среды, а в наружных областях зависимость ср от координат можно считать квазинепрерывной. Поскольку взаимодействие вихрей определяется их наружными областями, то при анализе условий равновесия можно использовать выражения для сил взаимодействия вихрей в непрерывной среде. В [79] рассмотрен вопрос о переходе от дискретного случая к непрерывному при малых значениях параметра пиннинга / для b = 0. Там показано, что вихрь в непрерывной среде описывается теми же уравнениями, что и обычный абрикосовский [89], но роль лондоновской глубины проникновения играет величина X = а/лП.
При ненулевых Ъ в области малых скачков фазы уравнения систем (4.3) и (4.21), как легко видеть, имеют тот же вид, что и при b = 0, только параметр / заменяется на g- ll(Ib + \). Проведя соответствующую замену в формулах [79], получим выражение для энергии взаимодействия двух вихрей в расчете на один вихрь Uint = +E0KgK0 (r Jg la), (4-23) где плюс соответствует отталкиванию, а минус - притяжению; К0 - функция Бесселя (Ганкеля) нулевого порядка от мнимого аргумента, г - расстояние между центрами вихрей, Е0 =ФІ/4п2[і0а2. Воспользовавшись тем, что dK0/dx=-Kl(x), найдем силу, действующую на вихрь со стороны другого вихря:
Fint =-dUint/dr = ±E0%/ a- g3/2Kl(ryJ g/ а) (4.24)
Формула (4.24) позволяет найти силу взаимодействия двух уединенных вихрей в бесконечном во всех направлениях образце, однако рассмотренная геометрия, строго говоря, описывает иную ситуацию. При расстояниях между вихрями, сопоставимых с шириной полосы, считать вихри уединенными и пренебрегать границами нельзя. Влияние границ можно оценить на базе следующих соображений [98]. Легко видеть, что рассмотренная выше конфигурация эквивалентна периодической последовательности пар вихрей попеременно чередующейся ориентации. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим такую последовательность, в которой расстояние между центральными линиями соседних пар равняется 2N ячеек, т.е. между их центральными ячейками размещается (2N-1) ячеек. Для примера на рисунке 26а изображена такая конфигурация с N = 3 и d = 2. Центральные ячейки вихрей будем обозначать точками или крестиками в зависимости от их ориентации. Из симметрии картины ясно, что в ряду ячеек, расположенном посредине между центральными линиями соседних пар (на рисунке 26а он пересекается линией АА) все горизонтальные токи равны нулю. Поэтому структура картины между двумя такими соседними “осевыми” вертикальными рядами (между линией АА и симметричной ей слева от вихрей) идентична рассмотренному нами случаю одной пары вихрей, расположенной в центральном ряду слоя шириной (2N-1) ячеек. Таким образом, влияние границ полосы может быть учтено и оценено как воздействие на рассматриваемые два вихря всей системы периодически расположенных дополнительных вихрей. Ситуация напоминает метод зеркального отражения в электростатике.
Проведенное выше рассмотрение справедливо лишь в том случае, если расстояние между центральными линиями соседних пар равняется четному числу ячеек. Конфигурацию рисунка 26а будем называть “чередующаяся (alternate) четная” в соответствии с ориентацией соседних пар. Рассмотрим также следующие конфигурации: “чередующаяся нечетная” (рисунок 26b), “параллельная (parallel) четная” (рисунок 26c), и “параллельная нечетная” (рисунок 26d). В каждой из этих конфигураций последнее уравнение (4.3), а значит, и матрица (4.9), будут иметь свой вид, в результате чего изменятся соотношения (4.11)-(4.18). В частности, для рисунка 26b в матрице (4.9) надо заменить крайний правый элемент t в нижнем ряду на (t + l), для рисунка 26c его же на (t - l) , а для рисунка 26d - второй справа элемент нижнего ряда (-l)на (-2l). Рассмотрим один из вихрей исходной пары для рассмотренной выше «чередующейся» конфигурации. Он взаимодействует со всеми вихрями в обеих бесконечных цепочках. Но вихри из его собственной цепочки могут лишь деформировать его, но не стремятся его сдвинуть. Поэтому при рассмотрении условий его равновесия нужно учесть только силы, действующие на него со стороны вихрей другой цепочки.
