Содержание к диссертации
Введение
1. Методы измерения кривой намагничивания и расчета функции распределения по размерам частиц магнитной жидкости 23
1.1. Постановка задачи исследования влияния дисперсного состава магнит ной жидкости на ее магнитные свойства по экспериментально полученной кривой намагничивания 23
1.1.1. Оценка характерного времени агрегирования ферромагнитных частиц и времени магнитной релаксации в магнитной жидкости 24
1.1.2. Выбор экспериментального метода определения кривой намагничивания 27
1.1.3. Постановка математической задачи определения дисперсного состава магнитной жидкости по кривой намагничивания 30
1.2. Описание и результаты экспериментальных исследований 31
1.2.1. Описание экспериментальной установки по измерению кривой намагничивания магнитной жидкости 31
1.2.2. Оценка погрешности измерения намагниченности 38
1.2.3. Результаты экспериментальных исследований 42
1.3. Численное решение задачи об определении функции распределения ферромагнитных частиц по размерам по результатам измерений кривой на магничивания магнитной жидкости 52
1.3.1. Интегральное уравнение для функции распределения 52
1.3.2. Алгоритм нахождения значений функции распределения 56
1.3.3. Результаты расчетов 58
1.4. Выводы 60
2. Поведение тел из магнитомягких материалов и магнитов в ограниченном объеме магнитной жидкости. Влияние на реологию суспензий пристеночных эффектов 62
2.1. Постановка задачи о вычислении силы и момента силы, действующих на тело из магнитомягкого материала (в однородном приложенном магнитном поле) и магнит в ограниченном объеме магнитной жидкости 62
2.2. Решение задачи в безиндукционном приближении 64
2.2.1. Аналогия между силами, действующими на магнит и тело из магнитомягкого материала в сосудах с магнитной жидкостью в безиндукционном приближении. Вычисление силы и момента силы, действующих на парамагнитное тело и магнит, в безиндукционном приближении при произвольном смещении 64
2.2.2. Расчет траекторий магнита и тела из магнитомягкого материала в сферическом сосуде с магнитной жидкостью в безиндукционном приближении 68
2.3. Решение задачи в случае произвольных магнитных проницаемостей 70
2.3.1. Аналогия между силами, действующими на магнит и тело из магнитомягкого материала в сосудах специальной формы с магнитной жидкостью при произвольных однородных магнитных проницае-мостях всех сред 70
2.3.2. Вычисление силы, действующей на сферическое тело, в случае произвольных магнитных проницаемостей всех сред 74
2.3.3. Сила, действующая на сферический магнит в сферическом сосуде при произвольных значениях магнитных проницаемостей 77
2.3.4. Движение сферического магнита или тела из магнитомягкого материала в вибрирующем сферическом сосуде с магнитной жидкостью 77
2.4. Реология полидисперсных смесей на основе магнитной жидкости в магнитном поле с учетом сил, действующих на включения в окрестности границы смеси 80
2.5. Выводы 88
3. Упругие свойства композитов, с намагничивающимися включениями, и магнитореологических суспензий в магнитных полях 90
3.1. Модель упругого равновесно намагничивающегося композита с учетом конечности деформации 90
3.2. Деформация упругого намагничивающегося композита в магнитном поле. Эффективный модуль Юнга. Сравнение с экспериментом 91
3.3. Упругие и магнитные свойства структурированных в однородном магнитном поле суспензий. Экспериментальные методики определения коэффициентов, определяющих упругие и магнитные свойства 95
3.3.1. Модель намагничивающейся суспензии с цепочками постоянной длины 95
3.3.2. Экспериментальное определение коэффициентов модели 96
3.3.3. Начальное напряжение сдвига 100
3.4. Выводы 101
Заключение 102
Список литературы 106
- Оценка характерного времени агрегирования ферромагнитных частиц и времени магнитной релаксации в магнитной жидкости
- Численное решение задачи об определении функции распределения ферромагнитных частиц по размерам по результатам измерений кривой на магничивания магнитной жидкости
- Аналогия между силами, действующими на магнит и тело из магнитомягкого материала в сосудах с магнитной жидкостью в безиндукционном приближении. Вычисление силы и момента силы, действующих на парамагнитное тело и магнит, в безиндукционном приближении при произвольном смещении
- Вычисление силы, действующей на сферическое тело, в случае произвольных магнитных проницаемостей всех сред
Введение к работе
Предмет исследования
Диссертация посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию физических свойств и поведения дисперсных намагничивающихся жидких (суспензий, эмульсий) и твердых (композиты) сред в однородном приложенном магнитном поле.
Примером дисперсных намагничивающихся сред являются магнитные жидкости (МЖ), различные смеси магнитной жидкости с твердыми частицами, магнитореологиче-ские суспензии (МРС), упругие композиты с включениями намагничивающихся частиц или капель. Такие среды широко применяются в технике, химической технологии и медицине. Как правило, их применение на практике основано на способности этих сред реагировать на магнитное поле, в частности, изменять свои физические свойства в магнитном поле.
Магнитная жидкость является искусственно синтезируемой дисперсной намагничивающейся средой, представляющей из себя коллоидный раствор ферромагнитных частиц в немагнитной несущей жидкости. Ферромагнитные частицы имеют размер порядка 100 А и находятся в броуновском движении, препятствующем их осаждению. Ферромагнитные частицы магнитной жидкости должны иметь достаточно большой размер, чтобы проявлялись ферромагнитные свойства материала, из которого они состоят. В то же время для большей устойчивости магнитной жидкости их размер должен быть как можно меньше. Такие ограничения на размер ферромагнитных частиц приводят к тому, что, как правило, они являются однодоменными. Таким образом, ферромагнитные частицы обладают магнитным дипольным моментом и при отсутствии внешнего магнитного поля. Частицы, обладающие дипольным магнитным моментом притягиваются друг к другу под действием магнитных сил. Для того, чтобы уменьшить слипание частиц, используются различные способы стабилизации магнитной жидкости, например, при изготовлении магнитной жидкости добавляются поверхностно-активные вещества, которые покрывают ферромагнитные частицы тонким слоем, препятствующим слипанию. Исходно, ферромагнитные частицы могут быть различного размера и несмотря на все принимаемые меры могут возникать агрегаты ферромагнитных частиц, особенно под действием магнитного поля. Наличие броуновского движения приводит к тому, что в отсутствие магнитного поля магнитные моменты частиц ориентированы хаотически, их суммарный магнитный момент равен нулю. При наложении магнитного поля магнитные моменты частиц стремятся ориентироваться вдоль вектора напряженности магнитного поля, в результате чего суммарный магнитный момент перестает быть равным нулю, т.е. магнитная жидкость намагничивается. Таким образом, магнитная жидкость является парамагнитной полидисперсной средой, дисперсный состав которой влияет на все ее физические свойства.
Интересным объектом исследования являются магнитореологические суспензии, которые как и магнитные жидкости являются искусственно синтезируемой дисперсной намагничивающейся средой. МРС представляют собой суспензию микронных парамагнитных частиц в немагничивающейся жидкости-носителе. Основным свойством МРС является сильная зависимость их реологических свойств от величины магнитного поля, в котором происходит структурирование частиц и суспензия может "затвердеть".
Близкими к МРС характеристиками обладают смеси магнитной жидкости с твердыми парамагнитными микронными частицами. Такие суспензии далее называются магнитными композиционными жидкостями (МКЖ). Реологические свойства МКЖ обладают некоторыми особенностями, обсуждаемыми в диссертации.
В последние годы интерес исследователей привлекли упругие намагничивающиеся композиционные материалы. Такие композиты способны деформироваться и менять свои упругие характеристики в приложенном магнитном поле.
Физическими свойствами и движением всех намагничивающихся дисперсных материалов можно управлять при помощи магнитных полей. Кроме того, эти материалы, благодаря их способности намагничиваться, вносят искажения в приложенные магнитные поля. Совокупность всех этих свойств позволяет отнести такие материалы к классу "умных (smart)" материалов и создавать на их основе различные технические устройства с управляемыми характеристиками.
Актуальность темы
Данное исследование представляет интерес в связи с применением дисперсных намагничивающихся сред в различных технических устройствах, приборостроении и ме* дицине. Практическое использование намагничивающихся сред, как правило, основано на уникальном сочетании текучести или деформируемости и способности взаимодействовать с магнитным полем. Магнитные жидкости и магнитореологические суспензии уже используются в различных технических устройствах (уплотнителях, демпферах, подшипниках, магнитожидкостных сепараторах, затворах, тепло- и массообменных аппаратах, контрольно-измерительных устройствах) в биологии и медицине. Тогда как возможность применения магнитных композиционных жидкостей и намагничивающихся упругих композитов находится в стадии исследования. В связи с этим является актуальным теоретическое исследование их физических свойств (магнитных, реологических, упругих и др.) и создание новых экспериментальных методик и установок по исследованию намагничивающихся сред.
Одними из основных характеристик намагничивающейся полидисперсной среды являются кривая намагничивания и функция распределения частиц по размерам. Исследование связи этих характеристик друг с другом и возможность использования измерения кривой намагничивания для вычисления дисперсного состава среды являются важными и актуальными.
Исследование поведения частиц (фаз) жидких многофазных сред около стенок (пристеночный эффект), ограничивающих их объемы, в магнитном поле также является важной и интересной проблемой, мало изученной в настоящее время. Учет влияния пристеночного эффекта на эффективные реологические свойства суспензий позволит объяснить разницу между реологическими свойствами магнитных композиционных жидкостей и магнитореологических суспензий, наблюдаемую экспериментально. Аналитическое вычисление сил, действующих на тела около стенок сосуда, может быть использовано для проектирования и расчета различных сенсорных устройств.
Создание новых упругих намагничивающихся композитов делат проблемы создания математических моделей и решения задач деформации таких сред в магнитном поле, позволяющих определить зависимость эффективных упругих характеристик от величины и направления поля, актуальными и необходимыми для практического применения. Жидкие дисперсные среды (МЖ и МРС) при достаточно больших полях "затведевают"и начинают вести себя как твердые упругие материалы. Это явление, связанное со структурированием частиц в цепеобразные агрегаты, используется в различных технических устройствах. Известные феноменологические модели содержат коэффициенты, которые нужно определять либо теоретически, делая умозрительные предположения о микроструктуре, либо из эксперимента. В связи с этим появляется необходимость создания новых простых методик измерения этих коэффициентов.
Перечисленные выше важные и актуальные проблемы рассматриваются в данной диссертации.
Состояние вопроса
Методы измерения кривой намагничивания и расчета функции распределения по размерам частиц магнитной жидкости Основное свойство магнитных жидкостей (МЖ) - намагничиваться в приложенном магнитном поле. Зависимость равновесной намагниченности от величины магнитного поля, так называемая кривая намагничивания, является одной из характеристик МЖ.
МЖ является полидисперсной средой, дисперсный состав которой зависит от величины магнитного поля, времени выдержки в магнитном поле, температуры, химического состава МЖ и т.д. МЖ представляют собой коллоидный раствор ферромагнитных частиц в жидкости-носителе в присутствии поверхностно активного вещества (ПАВ). Несмотря на наличие ПАВ, частицы могут образовывать агрегаты, т.е. МЖ является средой дисперсный состав, которой может существенно меняться и с течением времени, и в зависимости от внешних условий. В присутствии магнитного поля процесс агрегирования может заметно интенсифицироваться [100]. Температура также существенно влияет на об- разование агрегатов. Процесс образования или распада агрегатов может длиться довольно долго (минуты), поэтому структура МЖ зависит от времени выдержки в магнитном поле.
Свойства полидисперсной магнитной жидкости, в том числе, и изменение ее дисперсного состава изучается с помощью различных методов: оптических [100, 102,107,125]; ультразвуковых [39, 56, 75, 76, 77, 78, 79]; магнитных [2, 86] и др. Обычно, для измерения равновесной намагниченности используются стандартные методы измерения намагниченности твердых материалов [88]: баллистический, вибрационный или метод Гюи (силовой).
Во многих работах [5, 10, 22, 49, 67, 68], полученные классическими методами, кривые намагничивания используются для оценки дисперсного состава МЖ. Процесс измерения намагниченности или снятие всей кривой намагничивания в этих методах длится от 30 сек до десятков минут. При этом в МЖ успевает происходить образование новых агрегатов.
В работах [5, 22] кривая намагничивания, снятая баллистическим или вибрационным методом, использовалась в предположении, что структура МЖ, т.е. функция распределения по размерам, сохраняется в течение эксперимента во всем диапазоне изменения магнитного поля. В этих работах пренебрегается взаимодействием ферромагнитных частиц. Считается, что намагниченность каждой фракции описывается законом Ланжевена. Вычисляется средний размер по начальной восприимчивости и по намагниченности насыщения. Заметную разницу между ними (а она и должна быть из-за изменения дисперсного состава МЖ за время эксперимента) относят за счет взаимодействия между частицами.
В ряде работ [67, 68] функция распределения по размерам выбирается в виде двухпараметрической функции (гамма-распределение с экспотенциальным затуханием на бесконечности). Далее по кривой намагничивания, получаемой классическими методами,-вычисляются два параметра функции распределения (по начальной восприимчивости и по намагниченности насыщения). Также как и в работах [5, 22] в [67, 68] считается, что функция распределения сохраняется в процессе получения кривой намагничивания. Плохое совпадение рассчитанной кривой намагничивания по закону Ланжевена с учетом вычисленной функции распределения с экспериментальной кривой объясняется тем, что в теории не учтено взаимодействии частиц [29].
В работах [10, 49] также как и в работах [5, 22, 67, 68] предполагается, что функция распределения по размерам сохраняется при измерении намагниченности. В [10, 49] выписывается связь намагниченности с функцией распределения (по Ланжевену, без учета взаимодействия частиц) и решается обратная задача - интегральное уравнение Фред-гольма I рода с известным ядром. Полученная таким образом функция распределения по размерам достаточно хорошо описывает экспериментальную функцию распределения. Однако, возникает вопрос: какое отношение вычисленная функция распределения имеет к функции распределения, которая соответствует начальному моменту времени?
Как и в предыдущих работах [5, 22, 67, 68] в работах [10, 49] не ставится задача создания метода измерения намагниченности и получения кривой намагничивания, при которой структура МЖ (т.е. функция распределения по размерам) не меняется за время эксперимента.
Таким образом, во многих вышеуказанных работах дисперсный состав МЖ определялся с помощью традиционных способов измерения кривой намагничивания, когда магнитные измерения продолжаются значительное время. При этом авторы не обращали внимание на парадоксальную ситуацию, когда каждая точка кривой намагничивания соответствует различному дисперсному составу МЖ и различным функциям распределения частиц по размерам. При этом определяется (из численных расчетов) одна единственная функция распределения частиц по размерам.
В связи с этим, в данной диссертации ставятся и решаются проблемы: создания метода измерения кривой намагничивания, с возможностью управления временем проведения экспериментов; создания автоматизированной установки по измерению кривой намагничивания, позволяющей менять скорость изменения магнитного поля в широком диапазоне; проведение расчетов и определение функции распределения частиц по размерам с использованием результатов измерения кривых намагничивания МЖ при определенных скоростях изменения магнитного поля, когда дисперсный состав МЖ можно считать постоянным.
Поведение тел из магнитомягких материалов и магнитов в ограниченном объеме магнитной жидкости. Влияние на реологию суспензий пристеночных эффектов. В электромагнитном поле на включения (частицы, капли, пузыри) в намагничивающиеся жидкость действуют электромагнитные силы и момент силы, вызывающие диффузию диспергированной фазы (включений), которая ведет к пераспределению кон-. центрации, неоднородности дисперсного состава среды. Существуют ситуации, когда эти силы и их моменты связаны с наличием границ намагничивающейся жидкости. В частности, электромагнитные силы могут оказывать влияние на реологические свойства дисперсных сред. В связи с этим является актуальной проблема вычисления силы, действующей на отдельное тело, помещенное в ограниченный объем намагничивающейся жидкости, в присутствии магнитного поля, с учетом различия магнитных свойств тел, жидкости и среды, окружающей этот объем.
В случае, когда источники магнитного поля находятся вне тела и жидкость занимает бесконечный объем, сила, действующая на тело, зависит от магнитных свойств тела и жидкости и от характера приложенного (не возмущенного телом) магнитного поля. В частности, в случае однородности магнитной проницаемости неограниченной жидкости, сила, действующая на тело, связана только с неоднородностью приложенного магнитного поля (в однородном магнитном поле сила равна нулю), формой тела и магнитными свойствами тела.
Сила действующая на тела в неоднородных магнитных полях исследована во многих работах. В [41] показано, что сила, действующая на намагничивающееся тело объемом V, в неограниченной ненамагничивающейся жидкости в присутствии неоднородного магнитного поля с градиентом напряженности V# равна F = (mV)H, где m - магнитный момент тела, определяемый формулой т = f M^dV (М^ - намагниченность единицы v объеме тела). Формула [41] справедлива для тела произвольной формы, когда напряженность магнитного поля слабо меняется на размере тела. Задача о вычислении распределения намагниченности единицы объема тела, М^ решается в каждом конкретном случае в зависимости от формы тела и уравнения состояния для M(i).
В работах [131, 132] вычисляется сила, действующая на сферическую диэлектрическую частицу в жидком диэлектрике в присутствии неоднородного электрического поля. Рассмотрен случай малых полей, когда можно считать диэлектрические проницаемости тела и жидкости постоянными. Результаты работ [131, 132] можно перенести на случай намагничивающейся сферы в намагничивающейся жидкости в неоднородном магнитном поле, выражение для силы при этом имеет вид F = Ъу№ (еГр ^ ff Vff. Эта формула верна для малых магнитных полей, когда магнитные проницаемости тела и жидкости //*\ у№ постоянны и размеры тела малы по сравнению с характерной длиной изменения поля. Точность предложенной формулы в работах [131, 132] не оценивалась.
В работе [110] вычислялась сила и момент сил, действующие на намагничивающееся тело в намагничивающейся жидкости в случае малых магнитных полей, когда (Ж*\ ц(е) постоянны и их разность мала \^ — ц(гЦ <^[ 1. В этой работе сила вычислена с точностью до слагаемых порядка квадрата отношения размера тела к характерному размеру изменения магнитного поля, которые зависят от формы тела и его ориентации. В нулевом приближении при выше указанных предположениях сила не зависит от формы тела.
В выше упомянутых работах [ПО, 131, 132, 135] предполагается, что параметр є — отношение размера тела к характерному размеру изменения магнитного поля - мал. В [93] вычисляется сила, действующая на сферическую частицу в намагничивающейся жидкости в неоднородном магнитном поле бесконечно длинного намагниченного поперек оси цилиндра. Магнитные проницаемости жидкости fi^ и частицы //') считаются постоянными и мало отличающимися друг от друга |//^ — ц^гЦ < 1. В отличие от выше упомянутых работ, в работе [93] не предполагается, что магнитное поле слабо меняется на размере частицы.
В работах [37,106] предложен наиболее общий способ вычисления потенциала силы, действующей на магнитомягкий шар в намагничивающейся жидкости в произвольном неоднородном магнитном поле. Магнитные проницаемости тела и жидкости постоянны и произвольны. При этом потенциал силы вычисляется из общеизвестной формулы для энергии тела в магнитном поле, создаваемом токами вне магнитной жидкости, но внутри некоторого объема ограниченного сферой Sq. Приложенное магнитное поле на бесконечности должно убывать не медленнее чем 1/г3. Используя разложение приложенного магнитного поля в ряд Тейлора, получено решение задачи об искажении поля сферическим телом и вычислен потенциал силы для двумерного поля. При вычислении потенциала силы не предполагалась малость размеров тела по сравнению с характерным размером изменения поля. Далее полученная формула использовалась для вычисления потенциала силы, действующей на сферическое тело в неоднородном поле намагниченного поперек оси цилиндра при наличии однородного на бесконечности магнитного поля Но.
Поведение деформируемых капель магнитной жидкости и пузырей, находящихся в магнитной жидкости, в различных магнитных полях исследовалось в работах [38, 70, 87], с учетом поверхностного натяжения в работах [16, 17, 18, 19, 20].
Случай, когда магнитная проницаемость зависит от магнитного поля и намагниченность близка к насыщению рассмотрен в работах [95, 64,135]. В [135] вычисляется сила, действующая на помещенное в магнитную жидкость немагнитное тело. Рассматривается случай, когда напряженность магнитного поля мало меняется на размере тела, и когда можно пренебречь искажением магнитного поля, вызываемым телом (х = 4пМ/Н « 1). Показано, что при таких предположениях сила, действующая на тело объемом V в неоднородном магнитном поле с градиентом напряженности Vi/, не зависит от его формы и выражается формулой F = —М0 V#, где М<р - среднее значение намагниченности жидкости в отсутствии тела, вычисленное по объему тела v намагниченность единицы объема жидкости). Порядок слагаемых, которыми пренебрегав ется при вычислении формулы для силы, т.е. точность данной формулы, в работе [135] не оценивался.
В работе [95] вычисляется сила, действующая на немагнитные сферу, цилиндр и пластину, помещенные в намагничивающуюся жидкость, намагниченность которой зависит от напряженности магнитного поля в ней М^ = М^(Н^). Формула для силы в работе [95] получена при тех же предположениях, что и в работе [135]: считаются малыми параметры є - отношение размера тела к характерному размеру изменения магнитного поля и 6 - отношение намагниченности жидкости к напряженности магнитного поля. В нулевом приближении по этим параметрам сила не зависит от формы и ориентации тела. Полученное выражение для силы учитывает добавочные слагаемые первого порядке по є и 5 для двух частных случаев: вектор градиента абсолютной величины напряженности магнитного поля параллелен или перпендикулярен вектору напряженности магнитного поля, эти слагаемые зависят от формы тела и его ориентации. В работе [95] утверждается, что неучтенные слагаемые в формуле для силы имеют порядок квадрата малых параметров. В работе [64] вычисляется сила, действующая на сферу в предположения работы [95] для произвольной конфигурации приложенного магнитного поля.
Как видно из выше изложенного, в случае, когда магнитная проницаемость жидкости постоянна или зависит только от магнитного поля, сила, действующая на тело в неограниченной жидкости, связана с градиентом приложенного магнитного поля.
В однородном приложенном магнитном поле, когда магнитная проницаемость жидкости однородна, сила действующая на тела может быть связана только с границами жидкости. Поведение тел в ограниченных объемах намагничивающихся жидкостей хорошо исследовано для случая, когда тело само является источником магнитного поля (тело является постоянным магнитом). Явление левитации постоянного магнита в ограниченном объеме магнитной жидкости впервые было обнаружено Р. Розенцвейгом [134] и экспериментально исследовано во многих других работах, например, [3]. Расчет силы, действующей на постоянный магнит в сосуде произвольной формы, представляет собой весьма трудную задачу. Аналитическое решение в случае постоянного цилиндрического магнита, намагниченного поперек своей оси и находящегося в цилиндрическом сосуде с магнитной жидкостью, было получено в работах [6, 84].
В работе [6] в безиндукционном приближении вычислена сила, действующая на сферический магнит (создающий поле магнитного диполя) внутри горизонтального слоя магнитной жидкости с постоянной магнитной проницаемостью. При этом используется верная в безиндукционном приближении формула для силы, действующей на магнит (внешнее приложенное поле отсутствует) F = — ((/г — 1)/8тг) fs H^ndS, в которой Sv -поверхность сосуда, Но - поле магнита в неограниченной жидкости. В формулу для силы при этом входит магнитный момент магнита. Эту же формулу предлагается использовать для вычисления силы, действующей на немагнитные сферические тела в горизонтальном слое магнитной жидкости, в однородном на бесконечности магнитном поле, заменяя в формуле для силы магнитный момент магнита на эффективный магнитный момент тела в приложенном магнитном поле. Доказательства справедливости и возможности такой замены отсутствуют.
Вопросы левитации парамагнитного тела в ограниченном объеме намагничивающейся жидкости в однородном приложенном магнитном поле затронуты в работах [81, 89]. В работе [89] численно вычисляется сила, действующая на сферическое парамагнитное (ненамагниченное в отсутствии внешнего магнитного поля) тело в цилиндрическом стакане, заполненным магнитной жидкостью, на одинаковом расстоянии от торцев. Магнитное поле направлено параллельно оси цилиндра. Вычисления показали, что на тело действует сила, притягивающая тело к вертикальным стенкам, в случае, когда торцы цилиндра достаточно близки к телу. При достаточно большой длине цилиндра (торцы расположены далеко от тела) сила меняет знак и тело начинает отталкивается от стенок. Видно, что, с отличие от постоянного магнита, парамагнитное тело не всегда можно подвесить в сосуде с намагничивающейся жидкостью с помощью однородного магнитного поля. Сила, действующая на тело, существенно зависит от формы сосуда. Например, в работе [81] экспериментально исследовалось поведение сферического тела в сферическом сосуде, заполненном магнитной жидкостью, в приложенном однородном магнитном поле. Измерялась сила действующая на тело, при его смещении от центра сосуда. Показано, что в случае, когда направление поля было параллельно линии, соединяющей центры сфер, то сила отталкивает тело от стенки сосуда.
Достоверных аналитических формул для силы, действующей на парамагнитное тело в ограниченном объеме намагничивающейся жидкости в приложенном однородном магнитном поле, в настоящее время нет (за исключением случая сферического тела около плоской границы магнитной жидкости [9]). Кроме того, не исследованы вопросы о сравнении поведения магнитов и тел из магнитомягкого материала в сосудах, заполненных намагничивающейся жидкостью, и о возможности левитации парамагнитного тела в сосудах с намагничивающейся жидкостью в однородном магнитном поле.
В связи с этим, в диссертационной работе исследуется аналогия между силами, действующими на магнит и тело из магнитомягкого материала (в однородном магнитном поле) в сосудах, заполненных намагничивающейся жидкостью, ставится и решается задача об аналитическом вычислении силы, действующей на сферическое парамагнитное тело (в магнитном поле) или сферический магнит в сферическом сосуде, заполненном намагничивающейся жидкостью, находятся условия левитации парамагнитного тела в сосудах с намагничивающейся жидкостью в однородном магнитном поле.
Общеизвестно, что эффективная вязкость магнитной жидкости зависит от магнитного поля [30, 52, 53, 65, 69, 90, 99, 104, 111]. Магнитореологические суспензии (МРС широко применяются в технике в связи с возможностью менять их реологические свойства с помощью магнитного поля. В частности, эффективная вязкость МРС меняется в магнитном поле в гораздо больших диапазонах чем для МЖ. МРС представляют собой обычные жидкости с парамагнитными частицами микронного размера. В присутствии магнитного поля частицы образуют цепеобразные агрегаты (структурируются) и этот процесс существенно меняет эффективную вязкость суспензии, вплоть до того, что эта среда в достаточно больших магнитных полях становится твердым упругим телом. Одной из важнейших реологических характеристик такой суспензии является начальное напряжение сдвига, проявляющаяся в достаточно больших магнитных полях. В работах [32, 137] описан новый материал, который назван в работе [137] магнитными композиционными жидкостями (МКЖ) или как было написано в оригинале: magnetic compound fluid (MCF). МКЖ представляет собой смесь магнитной жидкости (немагничивающаяся жидкость-носитель с ферромагнитными наночастицами) с парамагнитными частицами микронного размера. Японские авторы [137] предполагают использовать его для процессов шлифовки. Электрические и оптические свойства таких сред изучались в работе [96, 97]. В работе [137] исследовались различные реологические характеристики МКЖ и проведено сравнение реологических свойств МКЖ с МРС на основе жидкости-носителя, совпадающего с жидкостью-носителем магнитной жидкости в МКЖ. Парамагнитные частицы в исследуемых МКЖ и МРС также одинаковые. Оказалось, что, в отличие от МРС, начальное напряжение сдвига в МКЖ отсутствует. Данная работа содержит и другие интересные экспериментальные данные о МКЖ, которые не получили ни физического, ни математического объяснения.
В связи с этим, в данной диссертационной работе исследуется вопрос о связи реологических свойств МКЖ с пристеночными эффектами (с силами, действующими на парамагнитные тела около границы намагничивающейся жидкости в магнитном поле).
Упругие свойства композитов, с намагничивающимися включениями, и магни-тореологических суспензий в магнитных полях. Упругие дисперсные намагничивающиеся композиты, представляющие собой различные упругие полимеры или резины с включениями намагничивающего материала, в частности, каплями магнитной жидкости, являются новыми и перспективными материалами [101, 113, 139].
В работах [126, 127, 128, 129] описаны экспериментальные исследования упругих свойств намагничивающегося композита, состоящего из упругого полимера и капель МЖ или капель МРС, в однородном магнитном поле. Показано, что такие композиты обладают магнитострикционными свойствами: при намагничивании образцов этих композитов в однородном магнитном поле возникает деформация, кроме того, обнаружено, что магнитное поле существенно влияет на эффективный модуль Юнга. Построение математических моделей таких сред в настоящее время является важной и актуальной проблемой.
Общая теория поляризующихся и намагничивающихся сред в электромагнитных полях и формулы для пондеромоторных сил предложена в [73, 74]. Явление магнитострик-ции и электрострикции известны давно. Например, в электрическом поле поляризующееся тело деформируется, а при деформации меняются его поляризационные свойства (диэлектрическая проницаемость). Модель упругого изотропного диэлектрика в электрическом поле хорошо известна [41]. Эта модель является основой для описания электрострикцион-ных явлений и построения более сложных моделей (моделей, учитывающих анизотропию диэлектрика, не квадратичную зависимость компонент тензора напряжения от электрического поля, пьезоэффекты и т.д.). Модель, аналогичную модели упругого диэлектрика [41], можно выписать для упругого изотропного намагничивающегося материала в магнитном поле. Однако эта классическая модель годится при малых деформациях (для материалов с достаточно большими модулем Юнга). Классическая модель не предсказывает влияния магнитного поля на эффективные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона.
В связи с этим, в данной работе ставится и решается задача построения модели, описывающей однородную намагничивающуюся (магнитная проницаемость предполагается линейно зависящей от тензора деформации) среду с малым модулем Юнга, когда деформации могут быть достаточно велики. Также решены задачи об однородных деформациях образцов упругого намагничивающегося композита в однородном магнитном поле, дано объяснение наблюдаемого в эксперименте [126] уменьшение эффективного модуля Юнга в магнитном поле, показана возможность вычисления некоторых модельных коэффициентов по результатам этого эксперимента.
Упругими свойствами, как было выше указано, могут обладать не только твердые композиты, но и структурированные в магнитном поле МЖ и структурированные МРС. Свойство "твердеть" в магнитном поле МЖ и МРС используются в различных технических устройствах (затворы, клапаны, депферы, магнито-управляемые тормоз и сцепление). В достаточно больших магнитных полях в намагничивающихся реологических суспензиях формируются цепи ферромагнитных частиц. Нитевидные структуры магнит- ных жидкостях наблюдались [100, 102, 107] при помощи микроскопов. Различные модели намагничивающихся суспензий без учета структурирования даны в пионерских работах Р. Розенцвейга [71, 124], М.И. Шлиомиса [91] и в обзоре [15]. Модель суспензии, частицы которой могут структурироваться в цепочки, предложена в работах [35, 105]. На основе этой модели в работе [28] вычислено начальное напряжение сдвига МЖ при ее течении в плоском капилляре в присутствии магнитного поля и дано объяснение эксперимента [13]. Эта модель содержит набор феноменологических коэффициентов, которые должны быть определены через прямые измерения или микроскопические соображения. Так как микроскопический анализ требует дополнительных предположений, имеет смысл разработать экспериментальные методики определения коэффициентов модели. Следует заметить, что как и для упругого намагничивающегося композита параметры, описывающие упругие и магнитные свойства структурированных суспензий, взаимосвязаны.
В связи с этим в данной диссертационной работе предложены простые методы, 1^ основанные на измерении магнитных свойств среды, с помощью которых можно опреде- лить коэффициенты модели структурированной намагничивающейся жидкости, описывающие как магнитные, так и упругие свойства таких сред.
Цель работы
Разработка метода измерения кривой намагничивания, с возможностью управления временем проведения экспериментов.
Создание автоматизированной установки по измерению кривой намагничивания (КН), позволяющей менять скорость изменения магнитного поля (время измерения КН) в широком диапазоне.
Исследование влияние времени измерения КН на ее форму. Проведение расчетов и определение функции распределения частиц по размерам МЖ с использованием № результатов измерения кривых намагничивания при определенных измерения КН, когда дисперсный состав МЖ можно считать постоянным.
Изучение аналогии между силами, действующими на магнит и тело из магнитомяг-кого материала (в однородном магнитном поле) в сосудах, заполненных намагничивающейся жидкостью.
Решение задачи об аналитическом вычислении силы и момента силы, действующих на сферическое парамагнитное тело или магнит в сферическом сосуде, заполненном намагничивающейся жидкостью. Нахождение условия левитации парамагнитного тела в сосудах с намагничивающейся жидкостью в однородном магнитном поле.
Исследование вопроса о связи реологических свойств МКЖ с пристеночными эффектами (с силами, действующими на парамагнитные тела около границы намагни-чивующейся жидкости в однородном магнитном поле).
Построение модели, описывающей намагничивающийся упругий (магнитная проницаемость предполагается линейно зависящей от тензора деформации) композит с малым модулем Юнга, когда деформации могут быть достаточно велики.
Решение задачи об однородных деформациях образцов упругого намагничивающегося композита в однородном магнитном поле. Объяснение наблюдаемого в эксперименте уменьшение эффективного модуля Юнга в магнитном поле и определение возможности вычисления некоторых модельных коэффициентов по результатам этого эксперимента.
Разработка экспериментальных методов, основанные на измерении магнитных свойств среды, с помощью которых можно определить коэффициенты модели структурированной намагничивающейся жидкости, описывающие как магнитные, так и упругие свойства таких сред.
Научная новизна
Научная новизна работы состоит в следующем:
Предложен новый метод измерения кривой намагничивания дисперсной намагничивающейся среды, позволяющий проводить измерение в широком диапазоне скоростей изменения магнитного поля для получения различных времен выдержки образцов в магнитном поле.
На основе предложенного метода измерения кривой намагничивания создана автоматизированная установка.
Впервые экспериментально обнаружено влияние скорости измерения кривой намагничивания на ее форму.
Создана программа численного решения обратной некорректно поставленной задачи определения функции распределения частиц по размерам по измеренной кривой намагничивания магнитной жидкости. Показано, что время измерения кривой намагничивания существенно влияет на результат расчета.
Сформулированы условия (условия аналогии) при которых сила, действующая на тело из магнитомягкого материала в ограниченных объемах магнитной жидкости в приложенном однородном магнитном поле, может быть автоматически получена, если вычислена сила действующая на однородно намагниченный магнит той же формы в том же объеме магнитной жидкости, что позволяет использовать ранее полученные аналитические формулы для сил, действующих на магниты. Доказанная аналогия позволяют сделать вывод о возможности левитации тел из магнитомягкого материала в сосудах специальной формы (сферической, цилиндрической, эллипсоидальной и плоском канале) с магнитной жидкостью в однородном приложенном магнитном поле.
Выведено упрощенное выражение для силы, действующей на тело из магнитомягкого материала в сосудах специальной формы (сферической, цилиндрической, эллипсоидальной и плоском канале) в однородном приложенном магнитном поле, в безиндукционном приближении.
Вычислены формулы для силы и момента силы, действующих на сферическое тело в сферическом сосуде с магнитной жидкостью в однородном приложенном магнитном поле или на сферический магнит, в безиндукционном приближении при произвольном смещении тела или магнита из центра сосуда.
Вычислены формулы для силы и момента силы, действующих на сферическое тело в сферическом сосуде с магнитной жидкостью в однородном приложенном магнитном поле или на сферический магнит, при малых смещениях тела или магнита из центра сосуда для произвольных магнитных проницаемостях.
Показано отсутствие аналогии между моментами сил, действующими на парамагнитные тела и магниты в сосудах намагничивающейся жидкостью. Показано, что сферический магнит, в отличие от парамагнитного тела, в общем случае, вращается.
Показано существенное различие траекторий парамагнитного тела (в приложенном однородном магнитном поле) и магнита в сферическом сосуде с магнитной жидкостью при одинаковых начальных условиях, связанное с вращением магнита.
Численно исследованы траектории парамагнитного тела (в приложенном однородном магнитном поле) и магнита в вибрирующем сферическом сосуде с магнитной жидкостью. Показано, что время выхода на предельную траекторию парамагнитного тела существенно меньше.
С использованием выражения для силы, действующей на тело в магнитной жидкости в приложенном однородном магнитном поле, (пристеночный эффект в объемах с МКЖ) дано объяснение экспериментально наблюдаемому явлению отсутствия начального напряжения сдвига в МКЖ.
Построена новая модель изотропного упругого намагничивающегося композита, в которой тензор напряжения имеет дополнительные "перекрестные" слагаемые (содержащие параметры магнитного поля и компоненты тензора напряжения), которые не малы в случае больших деформаций. Предложенная модель может описывать магнитострикционные свойства изотропных композитных намагничивающихся материалов на основе нежестких полимеров или резин.
Решены задачи о деформации упругого намагничивающегося материала в магнитном поле. Приведен пример деформации, когда классическая модель не предсказывает влияния магнитного поля на упругие свойства, а учет новых "перекрестных" слагаемых позволяет ввести эффективное значение модуля Юнга, существенно зависящее от магнитного поля. Предсказано уменьшение эффективного значения модуля Юнга в магнитном поле. Найдено согласие между теоретическим предсказанием и экспериментальными результатами.
Разработаны экспериментальные методы, основанные на измерении магнитных свойств среды, с помощью которых можно определить коэффициенты ранее известной модели структурированной намагничивающейся жидкости, описывающие как магнитные, так и упругие свойства таких сред.
Практическая ценность
Практическая ценность работы определяется возможностью использовать разработанные методики и созданную автоматизированную установку для измерения различных характеристик дисперсных намагничивающихся сред: кривой намагничивания, функции распределения частиц по размерам, феноменологических коэффициентов, описывающих упругие и магнитные свойства структурированных в магнитном поле суспензий.
Исследование поведения тел в ограниченных объемах магнитной жидкости и полученные аналитические формулы для сил и момента сил, действующих на магниты и парамагнитные тела в сосудах, могут являться основой для расчета сенсорных датчиков, и позволяют учесть влияние стенок каналов на эффективные реологические свойства МКЖ.
Предложенная новая модель намагничивающегося упругого композита может быть применена для решения задач о деформации композита в различных магнитных полях и вычисления его эффективных упругих свойств.
Содержание, структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и восьми приложений. Нумерация приложений соответствует нумерации глав. Общий объем диссертационной работы составляет 170 страниц (из них приложения занимают 58 с), включая 37 рисунков и списка литературы из 140 наименований.
В главе 1 на основе оценки характерного времени агрегирования ферромагнитных частиц и времени магнитной релаксации МЖ проведен выбор экспериментального метода измерения кривой намагничивания, позволяющий менять время проведения измерений. Дано описание экспериментальной установки по измерению кривой намагничивания на основе модифицированного баллистического метода. Описаны результаты экспериментальных исследований с различными образцами МЖ при различных временах измерения кривой намагничивания. Поставлена математическая задача определения дисперсного состава МЖ, использующая измеренную кривую намагничивания. Проведено численное решение этой задачи с использованием измеренных кривых намагничивания МЖ. Предложен принцип подбора времени измерения кривой намагничивания, которая используется при расчете функции распределения частиц по размерам, не изменяющейся за время измерения.
В главе 2 дана постановка задачи о вычислении силы и момента силы, действующих на магнит и тело из магнитомягкого материала (в однородном приложенном магнитном поле) в ограниченном объеме МЖ. Доказана аналогия между силами, действующими на магнит и тело из магнитомягкого материала в сосудах специальной формы с магнитной жидкостью. Вычислены силы и моменты сил, действующие на сферическое магнитомягкое тело и сферический магнит в сферическом сосуде с МЖ в двух случаях: в безиндукцион-ном приближении при произвольном смещении их из центра сосуда; при малом смещении при произвольных значениях магнитных проницаемостей. На основе полученных формул произведен численный расчет траекторий магнита и тела из магнитомягкого материала в покоящемся сферическом сосуде с МЖ в безиндукционном приближении и в вибрирующем сосуде в предположении малости смещения. Рассмотрено течение Куэтта структурированных в магнитном поле МКЖ. Проведена оценка толщины пристеночных слоев чистой МЖ, возникающих из-за сил, действующих на микронные парамагнитные частицы вблизи стенок канала. Вычислена эффективная вязкость структурированной МКЖ и показано отсутствие начального напряжения сдвига в таких средах. Проводится обсуждение результатов экспериментов по исследованию реологических свойств МКЖ.
В главе 3 предложена модель упругого намагничивающегося композита, учитывающая зависимость тензора магнитной проницаемости от тензора деформации. На основе предложенной модели решена задача о деформации упругого параллелепипеда в однородном магнитном поле. Вычислен эффективный модуль Юнга при различных направлениях магнитного поля. Предсказано уменьшение эффективного модуля Юнга в магнитном поле. Обнаружено совпадение предсказанного явления с экспериментом, проведенным с полимером с включениями в виде капель нанодисперсной магнитной жидкости. Предложены экспериментальные методики определения феноменологических коэффициентов модели, описывающей упругие и магнитные свойства структурированных в магнитном поле сус- ц пензий. Методики основаны на регистрации изменения магнитных свойств среды при ее деформации в различных магнитных полях. Показано, что в случае малых полей все свойства определяются двумя коэффициентами, зависящими только от температуры, а в случае больших полей - пятью. Вычислено начальное напряжение сдвига такой суспензии.
В приложении 1 находятся материалы относящиеся к главе 1. В П. 1.1 приведен текст программы управления автоматизированной установкой по измерению кривой намагничивания магнитной жидкости. В П.1.2 приведены программные модули по расчету функции распределения дисперсного состава магнитной жидкости по экспериментально измеренной кривой намагничивания. В П.1.3 показаны таблицы тестовых и экспериментальных значений напряженности магнитного поля и намагниченности магнитной жидкости, которые были использованы при расчетах функции распределения по кривой намагничивания магнитной жидкости.
В приложении 2 находятся материалы относящиеся к главе 2. В П.2.1 приведено доказательство равенства нулю второго интеграла в выражении для силы, действующей на парамагнитное тело в сосудах специальной формы и выкладки по преобразованию третьего интеграла в выражении для силы в безиндукционном приближении. В П.2.2 приведено вычисление констант Af, В/, а/, входящих в выражение для потенциала магнитного поля в магнитной жидкости, окружающей сферическое тело в сферическом сосуде. В П.2.3 приведены выкладки для вывода формулы по вычислению силы, действующей на сферическое тело в сферическом сосуде в однородном приложенном поле в случае произвольных магнитных проницаемостей. В П.2.4 приведены программы численного решения в пакете Maple задач о движении сферического магнита и парамагнитного тела в сферическом сосуде.
В приложении 3 находятся материалы относящиеся к главе 3. В П.3.1 приведен вывод уравнений структурированной несжимаемой равновесно намагниченной магнитной жидкости с постоянной длиной цепочек.
Апробация работы
Основные материалы и результаты исследований докладывались и получили положительную оценку на:
Международных конференциях по фундаментальной и прикладной магнитной гидродинамике (1995, 2000, 2002 гг.).
Международных конференциях по магнитным жидкостям (1992, 1998, 2001 гг.).
IV Международной конференции по достижениям в механике жидкостей 2002 г.
Московском международном симпозиуме по магнетизму 2002 г.
Международных Плесских конференциях по магнитным жидкостям (1991,1996 гг.). VI и VII Международных конференциях "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей"(2001, 2003 г.).
Результаты диссертации обсуждались и были одобрены на семинарах кафедры физики (ИТ-3) Московской Государственной академии приборостроения и информатики, и семинарах Института механики МГУ.
Публикации
Основное содержание работы опубликовано в 27 работах, основные из которых приведены в списке литературы на с. 104.
Благодарности
Автор искренне благодарен своим соавторам - за неоценимую помощь и совместные исследования.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю - Соколову Виктору Васильевичу, без доброжелательной настойчивости и поддержки которого данная работа никогда бы не состоялась.
Оценка характерного времени агрегирования ферромагнитных частиц и времени магнитной релаксации в магнитной жидкости
При этом (ta texp t т) измеренную намагниченность можно считать равновесной, а агрегирование не успевает происходить. Полученная таким образом кривая равновесной намагниченности (кривая ЕМ, см. рис. 1.1) будет определяться постоянным дисперсным составом исходной магнитной жидкости. Кривая неравновесной намагниченности UNEM при texp ta будет иметь вид, указанный на рис. 1.1. При временах эксперимента texp ta кривая намагничивания должна зависеть от времени экспериментального измерения кривой намагничивания МЖ texp, так в этом диапазоне времен успевает начаться процесс агрегирования и магнитные свойства меняются из-за изменения структуры МЖ. Следует отметить, что процесс агрегирования при включении магнитного поля может длится десятки секунд. При достаточно больших texp ta форма кривой намагничивания (статическая кривая, см. рис. 1.1) перестает зависеть от texpi так как агрегирование успевает не только начаться, но и, в основном, закончиться. В связи с выше изложенным целесообразно: - экспериментально исследовать влияние скорости намагничивания на форму кривой намагничивания МЖ; - получить кривую намагничивания в отсутствие агрегирования, которую затем имеет смысл использовать для расчета дисперсного состава МЖ. Для этого надо предложить метод измерения намагниченности МЖ, позволяющий менять texp (скорость намагничивания). Условие texp ta накладывает сильное ограничение на время измерения кривой намагничивания. Но время структурирования определяется многими трудно учитываемыми процессами. Это время следует оценивать из экспериментов. В таблице 1.1 приведены значения tais.T при Н 30 Э, Мр = 500 Гс, Г = 0,05 для различных значениях динамической вязкости жидкости-носителя. Из таблицы 1.1 следует, например, что при времени эксперимента 2 Ю-3 сек С texp 7-Ю-2 сек в МЖ с жидкостью-носителем, динамическая вязкость которой равна 10 Пуаз, кривая намагничивания определяется дисперсным составом исходной магнитной жидкости и может быть использована при расчете дисперсного состава МЖ. (W Л Известные методы получения кривой намагничивания - баллистический, магнитометрический, пондемоторный и другие были разработаны для исследования твердых материалов. В лабораторных и промышленных установках, применяемых для этой цели [88], МЖ подвергается длительному воздействию магнитного поля - от единиц секунд до нескольких минут. В связи с этим была разработана установка, позволяющая получать кривые намагничивания МЖ за короткое время и варьировать это время в широких пределах. Методом, позволяющим решить эту задачу, является баллистический. Метод основан на измерении ЭДС, которое индуцируется в обмотке, охватывающей образец, в результате изменения потока магнитной индукции через сечение этой обмотки.
Однако, в известных баллистических установках [88] регистрирующим и интегрирующим элементом является баллистический гальванометр с большой постоянной времени (порядка единиц секунд). Поэтому все они также не были пригодны для решения поставленной задачи. Кроме того, с их помощью кривую намагничивания получают путем многократного пере-магничивания образца, задавая последовательно нарастающие значения напряженности магнитного поля. В результате, время нахождения образца в магнитном поле значительно превышает время структурирования ta. Выполнение условия для времени эксперимента texp ta может быть реализовано только при проведении всех измерений за время одного цикла намагничивания. Для этого баллистический метод определения кривой намагничивания было необходимо в значительной степени модифицировать. Структурная схема разработанной установки приведена на рис. 1.2. Для намагничивания образца служит соленоид С. Ток в соленоиде задается управляемым источником питания (ИП). Закон изменения тока I(t) = kt, 0 t texp, определяется генератором линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН). Сигнал отрицательной обратной связи снимается с выхода усилителя (У). В соленоиде размещены две одинаковые измерительные катушки wl и w2, в одну из которых помещается исследуемый образец. + E получим Ь to ИМ- - Э=-К (,20) где Кх = NSS. Измеряемые через равные интервалы времени At значения напряжения U\(t) записываются регистрирующим устройством (РУ) одновременно с соответствующими значениями напряжения U2(t), пропорциональными току в соленоиде (см. рис. 1.2). Таким образом, формируются два массива данных, содержащие L пар измеренных за время texp значений напряжений U\(t) и (7г( ) Данные из массива Ui(t) интегрируются и определяются значения намагниченности M(t) и и M(t) = Jul(t)dt = KMUM, UM jUiWdt, (1.21) о о где U - At г, і = О,1,2... texp/At. Данные из массива Cjj {t) используются для расчета напряженности H(t), создаваемого соленоидом, магнитного поля H(U) = К„ин(и) (1.22) Значения коэффициентов Кн и Км определяются из калибровочных экспериментов.
Данные из массивов M{U) и #(») позволяют получить зависимость М(Н), являющейся кривой намагничивания исследуемого образца. Предложенный способ получения кривой намагничивания позволяет проводить эксперимент за очень короткое время, а также варьировать это время в широких пределах. Калибровка измерительного канала Н. Магнитное поле создаваемое в соленоиде пропорционально величине протекающего в нем тока. Поскольку величину тока в соленоиде оценивают по величине напряжения С/я измеряя его с помощью АЦП, необходимо определить коэффициент Кн (см. формулу (1.22)). Для этого соленоид поключается к источнику тока, последовательно задается некоторый набор значений величины тока в рабочем диапазоне соленоида. С помощью калибровочного датчика Холла, установленного в соленоиде, определяется величина напряженности, создаваемого магнитного поля (H(ti)). Одновременно, по показаниям АЦП определяются соответствующие значения напряжения UH{U) Полученный массив пар измеренных параметров позволяет вычислить коэффициент Кн = UH/H. Калибровка измерительного канала М. Аналогично, для определения коэффициента Км (см. формулу (1.21)) следует экспериментально определить массив пар значений
Численное решение задачи об определении функции распределения ферромагнитных частиц по размерам по результатам измерений кривой на магничивания магнитной жидкости
Задача определения функции распределения по размерам f(V), где V - объем ферромагнитных частиц, сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Намагниченность М(Н) определяется из эксперимента, с точностью 5М, на некотором отрезке [0, Ятах]. Будем предполагать, что максимально допустимые размеры агрегатов, состоящие из частиц магнетита, в реальных условиях ограничены. Тогда уравнение (1.26) запишется в следующем виде: Здесь Утах - максимальный объем ферромагнитных частиц или их агрегатов, Мр - намагниченность единицы объема ферромагнетика, L(MpVHfkT) - функция Ланжевена, к -постоянная Больцмана, Т - температура агрегата, Я - величина напряженности магнитного поля. В безразмерном виде уравнение (1.31) перепишется следующим образом: Здесь а, (3 - безразмерные параметры, Л" , V - безразмерные переменные, М - безразмерные значения намагниченности магнитной жидкости, Mmax = M(Hmax), f (V )dV -объемная концентрация частиц, объем которых меняется от V до V + dV . Значения функции намагниченности М (Н ) в уравнении (1.32) известны не точно, а находятся из эксперимента с погрешностью 5. Обозначим Mg (Я ) значения функции намагниченности, полученные в эксперименте. Отклонение М(Н ) от точных значений функции намагниченности М (Н ) не превосходит величину погрешности 8. Если обозначить как Af правую часть уравнения (1.32), здесь А - интегральный оператор, то с учетом выше изложенного, уравнение (1.32) можно переписать в виде: о Здесь М (Н , V ) - ядро оператора А, непрерывного по совокупности переменных Н и V . Значок у безразмерных переменных далее опущен для упрощения записей. Задача нахождения функции / (V) по известным значениям функции М(Н) из уравнения Фредгольма первого рода (1.33) является некорректно поставленной. Методы решения некорректно поставленных задач изложены в [83, 55]. Рассматриваемую задачу будем решать методом регуляризации неустойчивого функционала Af . Для реализации метода необходимо найти регуляризирующий оператор и определить параметр регуляризации, согласованный с величиной погрешности 6.
Уклонения левой части уравнения (1.33) будем оценивать в метрике пространства L2[0,1] - функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [0,1], а уклонение функции распределения f (V) - в равномерной метрике пространства С[0,1] - функций, непрерывных на отрезке [0,1]. Воспользуемся вариационным способом построения регуляризирующего оператора для уравнения (1.33). Для этого введем в рассмотрение сглаживающий функционал Тихонова [83] о Здесь П(/ ) - неотрицательный функционал, стабилизатор первого порядка, 7 параметр регуляризации, который есть некоторая функция 7 = 7( ) от погрешности 6, pL2(Af, Mg) метрика пространства 1 (0,1] f (Y) - производная функции / (V). В работе [83] показано, что для непрерывного оператора Af , задача нахожде ния регуляризирующего оператора для уравнения (1.33) эквивалентна задаче на минимум функционала Dy[f ,Mg]. Параметр регуляризации 7» при этом, определяется из условия равенства невязки уравнения (1.33) величине погрешности эксперимента 6: Здесь pL2(Af , Mg) - невязка уравнения Af = Mg(H ) на элементе / , на котором функционал Тихонова (1.34) достигает своей точной нижней грани. В [83] доказано, что для любого параметра регуляризации 7 и функции Mg из L2[0,1] существует единственная функция fy(V) на которой функционал D7[f ,M ] достигает своей точной нижней грани на множестве С[0,1] функций / (V), имеющих обобщенную производную первого порядка f (V) и интегрируемых с квадратом на [0,1]. Необходимым условием минимума функционала DJ[f , Mg] (1.34) является равен р ство нулю его первой вариации: Параметр регуляризации 7 в уравнении (1.37) определяется из уравнения (1.35) которое можно переписать в виде: В [83] доказано, что невязка (1.35) уравнения (1.33), если ее рассматривать, как функцию от параметра регуляризации 7 на элементе / : при фиксированной погрешности эксперимента 5, монотонно возрастает с ростом 7 и ip(Q) — 0. Отсюда следует, что уравнение (1.39) имеет единственное решение, а невязка (1.35) должна уменьшаться с уменьшением параметра регуляризации 7. Напишем разностный аналог уравнения Эйлера (1.37) на равномерной сетке по V с шагом hy и равномерной сетке по Н с шагом кц. Отметим, что разбиение по У и по Я независимы. В качестве узловых точек выбираем середины отрезков разбиения. Интегралы в уравнении (1.37) заменяем соответствующими интегральными суммами, взятыми по формуле прямоугольников. Тогда система уравнений (1.37) и условие (1.38) перепишутся в виде: (1.41) Для дальнейшей работы, удобно записать систему линейных уравнений (1.40) в матричном виде: Здесь F, G - векторы, В, Ву, С - матрицы со следующими элементами:
Аналогия между силами, действующими на магнит и тело из магнитомягкого материала в сосудах с магнитной жидкостью в безиндукционном приближении. Вычисление силы и момента силы, действующих на парамагнитное тело и магнит, в безиндукционном приближении при произвольном смещении
Рассмотрим безиндукционное приближение, когда магнитная проницаемость жидкости мало отличается от магнитной проницаемости окружающей среды (/ /—А «)/А 8 "С 1. Можно доказать, что сила, действующая на тело из магнитомягкого материала (далее везде - парамагнитное тело или тело) в сосудах специальной формы (эллипсоидальной, цилиндрической формы или плоский канал), заполненных магнитной жидкостью (ц/ = const), в которых однородное на бесконечности поле создает однородное внутри сосуда поле в отсутствие тела, в безиндукционном приближении вычисляется формулой: Sv Здесь Нь - искажение приложенного однородного магнитного поля телом, погруженным в неограниченную магнитную жидкость. Докажем это. Магнитное поле в магнитной жидкости внутри сосудов специальной формы может быть представлено в виде: Н = Н + Н , Н = const, Н = Нь (1 + О ((fif — fis)/fis)). Формулу для силы (2.1) можно записать в виде: Первый интеграл в силу однородности в пространстве Н равен нулю. Второй интеграл в силу уравнений Максвелла для Н и условия Н = const тоже равен нулю (см. приложение П.2.1). Третий интеграл в силу уравнений Максвелла и условий на поверхности сосуда в безиндукционном приближении преобразуется в доказываемую формулу (2.11) (см. приложение П.2.1). Формула (2.11) аналогична известной формуле для силы, действующей на магнит в сосуде, заполненном магнитной жидкостью, в отсутствие внешнего магнитного поля в безиндукционном приближении [6]: SV V Здесь Hm - магнитное поле магнита в безграничной магнитной жидкости. Формула (2.13), в отличии от формулы для тела (2.11), верна для сосудов любой формы. Следовательно, если решена задача о вычислении силы, действующей на магнит, создающий поле магнитного диполя (Нт = — V(rnr/r3)), в сосудах указанных выше форм, то сила, действующая на сферическое тело в том же сосуде, заполненном магнитной жидкостью, в однородном на бесконечности магнитном поле получается заменой значения магнитного момента магнита т в формуле для силы, действующей на магнит, на значение эффективного магнитного момента тела в однородном на бесконечности приложенном магнитном поле гпь = -( / - / &H W(2/ / + ць) (2.14)
Существенное отличие в поведении магнита и тела связано с тем, что на маг нит действует момент магнитных сил, а момент магнитных сил, действующий, например, X? на сферическое тело из магнитомягкого материала равен нулю. Последнее утверждение ; верно только для сферических тел, вещество которых намагничивается равновесно по произвольному закону, т.е. нет спонтанной намагниченности. Момент сил заставляет магнит вращаться и менять направление магнитного момента т, тогда как эффективный магнитный момент сферического тела сохраняет свое направление. Рассмотрим сферический однородно намагниченный магнит, покоящийся в сферическом сосуде, заполненном магнитной жидкостью. Известно, что такой магнит создает в неограниченной магнитной жидкости (при отсутствии сосуда) поле магнитного диполя Нт — —V(mrfr ), т — ZVmM/(l + 2/л/), здесь М - вектор намагниченности магнита, Vm - объем магнита. Используя известные выражения для силы Fm (2.13) и момента сил Мт: Мт = -((//, - /х8)/8тг) fSy Н [г х n]dS (1 + 0 ((/// - fi„)/fi8)) (г - радиус вектор из центра магнита), с учетом выражения для Нт, получим (a = TQ/RV) ]ґ F-e (H + e ) + / m r) (2.15) Mm = -[r0 x Fr, mi Можно показать, что момент силы, действующий на любой магнит в сферическом сосуде, при произвольных однородных магнитных проницаемостях всех сред описывается полученной формулой для JWm (2.15). Здесь введены обозначения: т Ы$ Л = 2 + ЗЛГ, /2 = 3 (2L - 5N - 2а/) , /3 = 6ЛГ + 6а/ Выражение для L, N, I имеют вид: (1-а2)4 3(1-а2)4 65 , l + o (l + a2)(3-14a2 + 3a4) Jy = In h — 8a4 1-а 12a3(l - a2)4 В силу доказанной выше аналогии между силами, действующими на магнитный диполь и сферическое тело, можно выписать силу (момент сил равен нулю), действующую на сферическое тело в сферическом сосуде в безиндукционном приближении (ть определяется формулой (2.14)): Fb = КЬ ((Ш + /2(а) ) Г» + Л(в)М ) , \\ готь ) ro rQmtJ (тпьго)2, Мь - и к г 8Rb (2.16) Следует отметить, что полученные формулы (2.15), (2.16) верны для произвольных отклонений от центра сосуда. Из (2.15), (2.16) видно, что силы не параллельны смещению г0. Приведенные в таблице 2.1 значения коэффициентов fi(a), г = 1,2,3 при различных о = TQ/RV показывают, что величина силы монотонно растет с ростом TQ И максимальная сила достигается вблизи поверхности сосуда, когда Го = Ry — гъ и вектор эффективного магнитного момента тела параллелен смещению. Левитация тела и магнита возможна только при \if ца. При ц/ цг левитация невозможна, тело или магнит падает на границу магнитной жидкости. Таблица 2.1 Го/Яу /і h /з 0.2 -3.4 -0.1 -1.1 0.4 -11.2 -1.7 -3.2 0.6 -48.1 -16.9 -10.4 0.8 -608.6 -386.3 -74.1 0.95 -128247.8 -115659.7 -4196.0 Рассмотрим левитацию сферического тяжелого парамагнитного тела, в приложенном магнитном поле Н над горизонтальной плоскостью, выше которой налита магнитная жидкость, а ниже - ненамагничивающаяся среда (fis = 1), h - расстояние от центра тела до плоскости. Формула для силы, действующей при этом на тело, следует из формулы (2.16) при h/Rv -+ 0: F» = - ( + JO) п (2.17) ТПьп = ТПь - П , ГПьт = тп ШЬи
Здесь п - внешняя нормаль к поверхности, Н п = (Нооп), вектор ть определен формулой (2.14). Эта сила отталкивает тело от плоскости при любом направлении поля и заставляет тело левитировать. В безиндукционном приближении формула в [9] совпадает с формулой (2.17). Оценим разность плотностей тела и жидкости при Н , ] д \\ п (h гь), когда тяжелое тело левитирует: Ал 4 , _ 30 / - 1)ВД (t f-»b)2 ft Гь. Из последнего равенства при /.& /., следует выражение для Др: Я»/ -1) ту 64ігдгь \h/ Проведем оценку Ар при #, , 102 Э, гь/h 1 -г 1/2, ц/ = 1.1, гь Ю-2 см др=64 з. w. и-» (1 is) 4 (1 а)г/см3 v -И Таким образом, достаточно мелкие тела с плотностью порядка 4 г/см3 могут левитировать над поверхностью раздела жидкость-сосуд. Если поле направлено параллельно плоскости, то сила отталкивания становится в два раза меньше. Сила отталкивания тел от стенок сосуда особенно существенна, если стенки вертикальные, и никаких других сил, прижимающих тела к поверхности, нет. Аналогичная сила отталкивания будет действовать и на магнит около плоской границы магнитной жидкости с ненамагничивающейся средой. В безиндукционном приближении эта сила известна [4, 6]: F---{ 2r))n (2.18) тп = т п, тТ = m — тппп Здесь п - внешняя нормаль к поверхности, вектор m определен формулой m = 3VmM/(l+ 2///), На магнит будет действовать также и момент сил, который как и сила определяется направлением магнитного момента магнита. Момент силы, действующий на магнит около плоской стенки, можно получить из (2.15)., акселерометрах и т.п.
Вычисление силы, действующей на сферическое тело, в случае произвольных магнитных проницаемостей всех сред
Рассмотрим сферическое тело радиуса гь из магнитомягкого материала в сферическом сосуде радиуса Ry, заполненном магнитной жидкостью, в однородном приложенном магнитном поле Ню (Я» = const - поле в отсутствие сосуда, жидкости и тела). Рис. 2.4. Сферическое тело в сферическом сосуде, заполненном магнитной жидкостью, в однородном приложенном магнитном поле. На фиг. 2.4 показано: О - центр тела; О - центр сосуда; т о = (а, Ь, с) - смещение центра тела относительно центра сосуда. Введем две декартовы (и две сферические) системы координат: х , у , z (г , ф , в ) с центром О , совпадающим с центром сосуда, и х, у, z (г, -ф, в) с центром О, совпадающим с центром тела. Координатные оси z и z параллельны вектору Нж. Общее решение уравнения Лапласса имеет вид: Ф = И (rn + JP,ncos0)(AmCosm + BnmsinmVO п,го (п то) n V Здесь P - функции Лежандра первого рода. Будем считать, что смещение тела относительно центра сосуда TQ = (а, Ь, с) мало по отношению к радиусу сосуда. Введем малый параметр є = TQ/RV- Будем искать решение в виде: ф = ф + еф[+0(е2) Уравнения и граничные условия для решения в нулевом приближении сводятся к известной задаче искажения однородного на бесконечности магнитного поля двумя концентрическими сферами, между которыми находится магнитная жидкость; магнитные проницаемости вещества внутри меньшей сферы и снаружи большей постоянные и отличные друг от друга и от магнитной проницаемости жидкости. Решение в этом случае имеет вид [4]: Константы а/, А/, В/ при о = 0 определяются из граничных условий в приложении П.2.2 1а а =2с Используя решения уравнения для 0- и формулу (2.1), в приложении П.2.3 получено выражение для магнитной силы, действующей на сферическое тело в сферическом сосуде, заполненном магнитной жидкостью, в однородном приложенном магнитном поле, через коэффициенты а/, А/, т,2о Сі С Выражение для силы можно выписать в векторном виде: Из формулы (2.46) видно, что магнитная сила Fb не параллельна вектору смещения Го. В случае /х/ /ze сила направлена так, что заставляет тело возвращаться в центр сосуда; при этом, положение равновесия тела устойчиво относительно малых отклонений, и левитация тела внутри сосуда возможна. В случае /// цл положение равновесия не устойчиво и левитация тела в сосуде невозможна. Сила нелинейно зависит от магнитной проницаемости жидкости и имеет максимум при некотором значении ///. Если ць = fJ = 1, то этот максимум достигается при /л/ = 8.88, когда гь/Ry — 0, и при /j,f = 16.1, когда Ть/Rv = 0.8, (см. фиг. 2.5). Можно показать, что момент магнитной силы, действующей на сферическое тело из магнитомягкого материала, относительно центра тела равен нулю. Используя выше доказанную аналогию и формулу (2.46) можно выписать формулу для силы, действующей на сферический магнит в сферическом сосуде с магнитной жидкостью при произвольных значениях магнитных проницаемостей жидкости и окружающей среды при малых смещениях магнита из центра сосуда. Чтобы использовать аналогию надо записать силу (формула (2.46)) в виде PfF bilti jr ЬН0, ). Здесь Н - поле внутри сосуда (в отсутствии тела), которое рав но: Y Р = (2,1.//і» + 1) + lifif/fib -1)(1- lb/14) (1 - щ)
Используя аналогию и (2.47), можно выписать формулу для силы, действующую на сферический магнит в сферическом сосуде с магнитной жидкостью, при малых смещениях магнита из центра сосуда и произвольных д„ fif Рассмотрим движение сферического магнита (гт - радиус магнита) и сферического парамагнитного тела (гь - радиус тела) в вибрирующем сферическом сосуде (Ry "Сц радиус сосуда), заполненном магнитной жидкостью. В случае парамагнитного тела при ложено однородное магнитное поле Н"оо- Магнитные проницаемости вещества тела и жидкости постоянны и произвольны. Магнитная проницаемость тела и среды, окружающей сосуд, равна единице цъ = р.а — 1 и А / Р - Магнит однородно намагничен М = f(t) (может меняться направление намагниченности М, если магнит вращается). Гравитацией пренебрегаем. В начальный момент тело или магнит находятся в положении равновесия в центре сосуда, как показано выше при p,j fis это устойчивое положение равновесия. Начальное направление намагниченности имеет заданное произвольное направление M(t = 0) = JW. Пусть приложенное магнитное поле имеет то же направление Н М0. Предположим, что в момент t = 0 сосуд начинает колебаться и вектор его сме щения Wy меняется по гармоническому закону: toy = avcos(ujvt ) (здесь t , u)v - размер ное время и частота колебаний сосуда). При этом магнит или тело начинают двигаться относительно сосуда. Надо найти траекторию движения центров магнита и тела относи ч# тельно сосуда, и поведение (направление) намагниченности магнита, который как было показано выше должен, в общем случае, вращаться. Предположим: что смещение сосуда мало: ay « Ry. При этом можно воспользоваться выражением для магнитной силы, полученной выше (см. пп. 2.3.2, 2.3.3) для малых смещений тела или магнита. Расчеты проводились с учетом магнитных сил (2.47), (2.48), моментов магнитных сил (2.49) и силы Боссе [40], описывающей силу сопротивления, действующую на поступательно движущуюся и колеблющуюся с постоянной частотой сферу со стороны вязкой несжимаемой жидкости. Безразмерные уравнения движения магнита имеют вид (u v - размерная частота колебаний сосуда) «ч
Безразмерные уравнения движения тела имеют вид: Эти уравнения верны, если тело Будем считать, что НооЦМ0. Можно показать, что магнит (или тело) будут двигаться в плоскости, в которой лежат вектора М (или для тела - 1Т х ) и ау Расчеты были проведены для следующих размерных параметров: рШіь = 5 Г/см3, pf = 1 Г/см3, Rv = 5 см, М = 700 Гн, /х/ = 2, ц, = 1, М = (л/2/2, v /2,0), aVy = 0,002.Ry см, аух = 0 см, ц = 0,1 Пуаз, av = 27г/ сек-1, / = 1 сек-1, Н — 1000 Э. Параметры гт и гь менялись в диапазоне rm = 0,4 -f- 0.8 см, гь = 0,4 -г-1 см. В приложении П.2.4 приведены тексты программ для численного расчета в пакете Maple траекторий магнита и парамагнитного тела в вибрирующем сосуде с МЖ. Расчеты показали, что асимптотическое поведение магнита (предельные траектории магнита) это колебание вдоль оси у (вдоль вектора смещения сосуда) с частотой колебания сосуда. Магнитный момент магнита вращается и стремится встать вдоль оси х. Время выхода магнита на предельную траекторию около 4-=-6 минут.
